1. 2. Realne funkcije realne varijable - FESB

Matematika 1
1. Osnove matematike
2. Realne funkcije realne varijable
3. Derivacije i primjene
4. Nizovi i redovi
5. Linearna algebra
6. Vektorska algebra
7. Analiticka geometrija

Literatura:
Slapnicar, I.: Matematika I, Sveucilište u Splitu,
Split, 2002.
Pilot projekt “Matematika 1”, http://www.fesb.hr/mat1,
FESB, Split, 1998.-2002.
Slapnicar, I.; Krešić-Jurić, S.; Barić, J.; Matić, M.:
Matematika 1 – vjebe, FESB, Split, 2002.
Javor, P.: Matematicka analiza 1, Element, Zagreb,
1999.
Elezović, N.: Linearna algebra, Element, Zagreb,
2001.
Elezović, N. ; Aglić, A.: Linearna algebra – zbirka
zadataka, Element, Zagreb.
Krnić, L. ; Šikić, Z.: Racun diferencijalni i integralni,
I. Dio, Školska knjiga, Zagreb, 1993.
Pavasović S.; Radelja, T.; Banić, S.; Milišić, P.:
Matematika – riješeni zadaci, Gra ¯devinski fakultet,
Split, 1999.
Demidovic, B. P.: Zadaci i riješeni primjeri iz
više matematike s primjenom na tehnicke nauke,
Tehnicka knjiga, Zagreb, 1980.

Obveze:
predavanja ( 70%)
vjebe ( 70%)
Provjere znanja:
tri kolokvija (parcijalna ispita):
- sva tri pozitivna
- zadaci ( 50%) i teoretska pitanja ( 50%)
- pismeni i usmeni.
završni ispit:
- zadaci ( 50%) i teoretska pitanja ( 50%)

1. SKUPOVI BROJEVA

1.1. Prirodni brojevi
prvi pojam broja (izraavanje kolicine elemenata
nekog skupa)
Skup prirodnih brojeva uzimamo kao osnovni skup, a
oznacavamo ga sa
N = f1; 2; 3; :::; n; :::g :
Operacije zbrajanja i mnoenja u skupu N su uvijek
izvedive, tj.
(8m; n 2 N)
m + n 2 N
(8m; n 2 N)
m n 2 N
Za svaki m; n; r 2 N vrijede sljedeća svojstva:
i) komutativnost
m + n = n + m m n = n m
ii) asocijativnost
(m + n) + r = m + (n + r) (m n) r = m (n r)
iii) distributivnost
(m + n) r = m r + n r r (m + n) = r m + r n

Neka su m; n 2 N:
Kaemo da je m manji od n i pišemo m < n ako i
samo ako postoji p 2 N tako da je
m + p = n:
Kaemo da je m manji ili jednak n i pišemo m n
ako i samo ako je
m < n _ m = n:
Neka svojstva:
(N; ) je (potpuno) ure ¯den skup.
(N; ) je diskretno ure ¯den skup, tj. za svaki n 2 N
vrijedi
fp 2 N j n < p < n + 1g = ;:
Za skup X kaemo da je prebrojiv ili
prebrojivo beskonacan ako je ekvipotentan sa N:
Pišemo cardX = @ 0 (alef nula).
Za skup X kaemo da ima n elemenata ako je
ekvipotentan sa skupom f1; 2; 3; :::ng :
Pišemo cardX = n:

Neka su m; n 2 N:
Kaemo da je m manji od n i pišemo m < n ako i
samo ako postoji p 2 N tako da je
m + p = n:
Kaemo da je m manji ili jednak n i pišemo m n
ako i samo ako je
m < n _ m = n:
Napomena: Skup N je na jedinstven nacin deniran
tzv. Peanovim aksiomima P1. - P4.
Aksiom P4., kojeg još nazivamo princip matematicke
indukcije, glasi:
Ako je M N i ako vrijedi:
i) 1 2 M;
ii) n 2 M =) n + 1 2 M
tada je M = N:
Aksiom P4. koristimo za dokazivanje raznih tvrdnji.

Primjer: Treba pokazati da formula
nX
i = 1 + 2 + 3 + ::: + (n 1) + n =
i=1
vrijedi za svaki prirodan broj n 2 N:
n (n + 1)
2
(F )
Dokaz:
Neka je M N skup svih prirodnih brojeva za koje
formula (F ) vrijedi. Treba (pomoću P4.) dokazati da
je M = N:
Baza indukcije. (Dokazujemo da je 1 2 M)
1X 1 (1 + 1)
i = 1 =
2
i=1
Pretpostavka indukcije. (Pretpostavimo da je n 2 M)
nX
n (n + 1)
i = 1 + 2 + ::: + (n 1) + n = :
2
i=1
Korak indukcije. (Pokazujemo da je n + 1 2 M)
Xn+1
i=1
i = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1) P:I:
=
=
=
n (n + 1)
+ (n + 1) = n2 + 3n + 2
2
2
(n + 1) (n + 2) (n + 1) ((n + 1) + 1)
=
2
2

Binomni poucak
Poopćenje:
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Traimo:
(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
(x + y) n = za bilo koji n 2 N
Neke oznake:
(8n 2 N) n! def
= 1 2 3 ::: n (n faktorijela)
Primjer:
Vrijedi:
0! def
= 1
1! = 1
2! = 1 2 = 2
3! = 1 2 3 = 6
4! = 1 2 3 4 = 24
5! = 1 2 3 4 5 = 120
(n + 1)! = n! (n + 1)
Primjer:
6! = 5! 6 = 120 6 = 720

Neka su k; n 2 N[ f0g i k n; deniramo
binomni koecijent:
n
k
def
=
n!
k! (n k)!
(n povrh k):
Napomena: binomni koecijent je uvijek prirodan
broj, tj
Primjer:
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
=
=
=
=
=
n
k
4!
0! (4 0)! = 4!
2 N:
4! = 1
4!
1! (4 1)! = 4!
3! = 3! 4
3!
= 4
4!
2! (4 2)! = 4!
2! 2! = 2! 3 4
2! 2
4!
3! (4 3)! = 4!
3! 1! = 3! 4
3!
4!
4! (4 4)! = 4!
4! 0! = 1
= 4
= 6

Svojstva:
1.
2.
3.
4.
n
0
n
1
n
k
n
k
=
n
n
= 1
=
n
n 1
= n
=
n
n k
+ =
n+1
n
k+1
k+1
Pascalov trokut
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
. . . . . . . . . . . .
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4
Iz svojstva 4. slijedi npr.
5 5
+
3
4
=
6
= 15
4

Teorem 1.2 (Binomni poucak)
Za svaki n 2 N vrijedi
(x + y) n =
nX
k=0
n
k
x n k y k :
Dokaz. Matematickom indukcijom.
Raspis:
nP
n
k
x
n k y k = n 0
x
n 0 y 0 + n 1
x
n 1 y 1 + :::+
k=0
+ n
n 1
x
n (n 1) y n 1 + n n
x
n n y n =
= x n + nx n 1 y + ::: + nxy n 1 + y n
Primjer:
(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 2 + y 4
Domaći rad:
(x + y) 6 =
(x y) 6 =
(x y) n = P n ( 1) k n k
x
n k y k = x n nx n 1 y +
k=0 x
n 2 y 2 n x
n 3 y 3 + :::: + ( 1) n y n
n
2
3

Cijeli brojevi
Motivacija: Svaka jednadba oblika
m + x = n;
gdje su m; n 2 N, nema rješenje u skupu N:
Primjer: Jednadba
7 + x = 3
nema rješenje u skupu N:
Proširujemo skup N skupom
Z = f:::; n; ::: 2; 1; 0; 1; 2; ; :::; n; :::g :
kojeg nazivamo skup cijelih brojeva.
Operacije zbrajanja i mnoenja proširujemo na skup
Z. U skupu Z te operacije su uvijek izvedive, tj.
(8m; n 2 Z)
(8m; n 2 Z)
m + n 2 Z
m n 2 Z
i za njih vrijede svojstva komutativnosti, asocija-

tivnosti i distributivnosti.
Sada jednadba m + x = n ima rješenje za svaki
m; n 2 Z; tj.
x = n + ( m) def
= n m:
Na ovaj nacin je denirano oduzimanje u skupu Z:
Neka svojstva:
(Z; ) je (potpuno) ure ¯den skup.
(Z; ) je diskretno ure ¯den skup, tj. za svaki m 2 Z
vrijedi
fp 2 Z j m < p < m + 1g = ;:
Za skup Z je prebrojiv, tj. ekvipotentan je sa N:
Pišemo cardZ = @ 0 (alef nula).
Napomena: postoji bijekcija f : N ! Z; dana sa
f (1) = 0; f (2) = 1; f (3) = 1; f (4) = 2; f (5) = 2; :::

Racionalni brojevi
Motivacija: Svaka jednadba oblika
m x = n;
gdje su m; n 2 Z, nema rješenje u skupu Z:
Primjer: Jednadba
7 x = 3
nema rješenje u skupu Z:
Proširujemo skup Z skupom
n m
o
Q =
n j m 2 Z ^ n 2 N
kojeg nazivamo skup racionalnih brojeva.
Napomena Podrazumijevamo da je
Dakle,
m 1
n 1
= m 2
n 2
() m 1 n 2 = m 2 n 1
16
12 = 8 6 = 3 2 :
Isto tako vrijedi dogovor da je, npr.
3
5 = 3 5 = 3 5 :

Operacije zbrajanja i mnoenja proširujemo na skup
Q. U skupu Q te operacije su uvijek izvedive, tj.
8 m 1
2 Q
n 2
; m 2
n 1
8 m 1
; m 2
2 Q
n 1 n 2
m1
n 1
+ m 2
n 2
= m 1n 2 + m 2 n 1
n 1 n 2
m1
n 1
m 2
n 2
= m 1 m 2
n 1 n 2
Na skupu Qn f0g se denira i dijeljenje
8 m 1
; m
2
2 Q ^ m 2 6= 0
n 1 n 2
2 Q
2 Q
m1
n 1
: m 2
n 2
= m 1 n 2
n 1 m 2
2 Q
m 1
n 1
m 2
n 2
() m 1 n 2 m 2 n 1 :
Neka svojstva:
(Q; ) je (potpuno) ure ¯den skup.
(Q; ) je svuda gust, tj. izme ¯du svaka dva
racionalna broja postoji barem jedan racionalan
broj (a to znaci i beskonacno njih).
Za skup Q je prebrojiv, tj. ekvipotentan je sa N:
Pišemo cardQ = @ 0 (alef nula).
Napomena: postoji bijekcija f : N
beskonacnom shemom).
! Q (zadana

Realni brojevi
Motivacija: Neke jednadbe, kao što su
x 2 = 2; x 3 = 5; :::
nemaju rješenje u skupu Q:
Kad racionalne brojeve nanosimo na brojevni pravac,
oni ne popune citav pravac, iako je Q gust. Te ”rupice”
na pravcu popunjavamo tzv. iracionalnim brojevima.
Skup svih iracionalnih brojeva oznacavamo sa I; a
skup
R = Q [ I
nazivamo skup realnih brojeva.
Svaki racionalan broj moe se prikazati kao
konacan decimalan broj ili kao beskonacan periodican
decimalan broj.
Svaki iracionalan broj moe se prikazati kao
beskonacan neperiodican decimalan broj.
Primjer:
1
4 = 0:25 1
3 = 0: _3 = 0:3333:::
p
2 = 1:4121356237::::
e = 2: 718 3::::
= 3: 141 6::::

Neka svojstva:
Na skupu R su uvijek izvedive opracije " + ", " ":
Na skupu Rn f0g je uvijek izvediva operacija " : " .
(R; ) je (potpuno) ure ¯den skup.
R je svuda gust, tj. izme ¯du svaka dva realna broja
postoji barem jedan realan broj.
Q je gust u R, tj. izme ¯du svaka dva realna broja
postoji barem jedan racionalan broj.
Skup I je neprebrojiv ili neprebrojivo beskonacan.
Skup R je neprebrojiv ili neprebrojivo beskonacan.

Kompleksni brojevi
Motivacija: neke jednadbe kao što je
x 2 = 1
nemaju rješenje u skupu R:
Uvodimo novi objekt, kojeg oznacavamo sa i, tako da
je
i 2 = 1:
Formalno, deniramo
i def
= p 1:
Denicija 1.14 Skup kompleksnih brojeva je skup
C = fx + iy j x; y 2 Rg :
Za svaki z = x + iy 2 C; realni broj
x = Re z
nazivamo realni dio od z; a realni broj
y = Im z
nazivamo imaginarni dio od z.

Napomena: Vrijedi
R C
iR = fiy j y 2 Rg C
Skup iR se naziva skup imaginarnih brojeva.
Za z 1 = x 1 + iy 1 ; z 2 = x 2 + iy 2 2 C kaemo da su
jednaki ako i samo ako su im jednaki realni i imaginarni
djelovi, tj.
x 1 + iy 1 = x 1 + iy 1 () x 1 = x 2 ^ y 1 = y 2 :
Za svaki z = x + iy 2 C; deniramo pripadni
konjugirano kompleksni broj
z = x iy 2 C:
Za svaki z = x + iy 2 C; deniramo modul ili
apsolutnu vrijednost kompleksnog broja z kao
nenegativni realni broj
r = jzj = p x 2 + y 2 2 R + [ f0g :

Primjer
z 1 = 2 i = 2+( 1)i =)
8
><
>:
Re z 1 = 2; Im z 1 = 1;
z 1 = 2 ( 1) i = 2 + i;
q
jz 1 j = 2 2 + ( 1) 2 = p 3
z 2 = 2 = 2+0i =)
8
><
>:
Re z 2 = 2; Im z 2 = 0;
z 2 = 2 0 i = 2;
q
jz 2 j = ( 2) 2 + (0) 2 = p 4 = 2
z 3 = 3i = 0 + 3i =)
8
><
>:
Re z 3 = 0; Im z 3 = 3;
z 3 = 0 3 i = 3i;
q
jz 3 j = (0) 2 + (3) 2 = p 9 = 3

Racunske operacije s kompleksnim brojevima
Neka su z 1 = x 1 + iy 1 ; z 2 = x 2 + iy 2 2 C; deniramo:
z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i (y 1 + y 2 ) ;
z 1 z 2 = x 1 x 2 + i (y 1 y 2 ) ;
z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) =
= x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 i
y 1 y 2 1
2 =
= x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 ) i;
z 1
z 2
= x 1 + iy 1
x 2 + iy 2
= x 1 + iy 1
x 2 + iy 2
x 2 iy 2
x 2 iy 2
=
= x 1x 2 ix 1 y 2 + iy 1 x 2 y 1 y 2 i 2 i 2 1
x 2 2 y2 2 =
i2
= x 1x 2 + y 1 y 2
x 2 2 + y2 2
+ y 1x 2 y 1 y 2
x 2 2 + y2 2
i za z 2 6= 0:

Svojstva: Za sve z; z 1 ; z 2 2 C vrijedi:
1. z 1 z 2 = z 1 z 2 ;
2. z 1 z 2 = z 1 z 2 ;
z
3. 1
z 2
= z 1
z 2
; za z 2 6= 0:
4. z = z;
5. z = z () z 2 R;
6. Re z = z+z
2 ;
7. Im z = z z
2i ;
8. z z = z z = jzj 2 ;
9. jzj = 0 () z = 0
10.jz 1 + z 2 j jz 1 j + jz 2 j
(nejednakost trokuta)
Geometrijski prikaz kompleksnog broja
Svakom kompleksnom broju z = x + iy jednoznacno
je pridruen ure ¯deni par (x; y) 2 R R; odnosno
tocka T = (x; y) u koordinatnoj ravnini i obratno.
Ravninu u kojoj kompleksne brojeve predocujemo
kao tocke (na gore opisan nacin) nazivamo brojevna
ili Gaussova ravnina.

Svaki kompleksni broj z = x + iy u Gaussovoj ravnini
jednoznacno je odre ¯den udaljenošću r 2 [0; 1)
od ishodišta 0 = (0; 0) tocke T = (x; y) ; te kutem
' 2 [0; 2) kojeg duina OT zatvara s pozitivnim
smijerom x osi: Kut
' = arg z
nazivamo argument kompleksnog broja z.
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Budući je
onda je
x = Re z = r cos '
y = Im z = r sin ':
z = r cos ' + ir sin ' = r (cos ' + i sin ')
trigonometrijski oblik kompleksnog broja, gdje je
r = jzj = p x 2 + y 2 ;
tg ' = tg (arg z) = y x
(oprez !).

Primjer Prikaite kompleksni broj z = 1 i u
trigonometrijskom obliku.
r = jzj =
q
( 1) 2 + ( 1) 2 = p 2;
pa je
tg' = 1 1 = 1 =) ' = 5 4 ;
z = p 2
cos 5 4 + i sin 5 4
:
Primjer Prikaite kompleksni broj z =
trigonometrijskom obliku.
pa je
r = jzj =
q
(0) 2 + ( 1) 2 = 1;
tg' = 1
0 =) ' = 3 2 ;
z = 1 cos 3 2 + i sin 3
:
2
i u

Racunske operacije s kompleksnim brojevima
zadanim u trigonometrijskom obliku
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje
jednostavno izvo ¯denje nekih racunskih operacija.
Neka su z 1 = r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 ) i z 2 = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 )
dva kompleksna broja. Tada je
z 1 z 2 = r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 ) r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 )
= r 1 r 2 (cos ' 1 cos ' 2 + i cos ' 1 sin ' 2 +
+i sin ' 1 cos ' 2 sin ' 1 sin ' 2 )
= r 1 r 2 [(cos ' 1 cos ' 2 sin ' 1 sin ' 2 ) +
+i (sin ' 1 cos ' 2 + sin ' 1 cos ' 2 )]
a:t:
= r 1 r 2 (cos (' 1 + ' 2 ) + i sin (' 1 + ' 2 )) :
Slicno, za z 2 6= 0; vrijedi
z 1
= r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 )
z 2 r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ) =
= r 1
r 2
(cos (' 1 ' 2 ) + i sin (' 1 ' 2 )) :

Matematickom indukcijom moe se pokazati
nY
z k =
k=1
!
nY
r k
k=1
cos
!
nX
' k + i sin
k=1
!!
nX
' k
k=1
Specijalno, za z 1 = z 2 = ::: = z n = z =
r (cos ' + i sin '), dobivamo tzv. Moivreovu formulu
za potenciranje s prirodnim brojem n
z n = r n (cos n' + i sin n') :
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja posebno
je pogodan za potenciranje s racionalnom eksponentom
q = m n : Dakle, treba izracunati potenciju z n;
1
gdje je n 2 N; koju oznacavamo np z i nazivamo
n ti korijen iz kompleksnog broja z:
Vrijedi, w = np z tocno onda kad je w n = z: Ako je
z = r (cos ' + i sin '), onda n ti korijen iz kompleksnog
broja z ima n me ¯dusobno razlicitih vrijednosti
w = z 0 ; z 1 ; :::; z n
z k = np r
cos ' + 2k
n
1 koje su dane sa
+ i sin ' + 2k
n
; k = 0; 1; :::; n 1:
Svi ovi brojevi lee na centralnoj krunici radijusa np r
i dijele tu krunicu na n jednakih djelova.

Primjer Neka su z 1 = 1 i i z 2 = 1 2 + p 3
2
i: Tada je
z 1 = p
2 cos 5 4 + i sin 5
4
r 2 = jz 2 j =
v
u
t 2
1
+
2
p ! 2
3
= 1;
2
pa je
tg' 2 =
p
3
2
1
2
z 2 = 1
= p 3 =) ' 2 = 2 3 ;
cos 2 3 + i sin 2 3
:
Sada je
z 1 z 2 = p 2 1
5
cos
4 + 2
3
= p
2 cos 23
23
+ i sin
12 12
5
+ i sin
4 + 2
3

z 1
z 2
=
p
2
1
= p 2
5 2
cos
+ i sin
4 3
cos 7 12 + i sin 7
12
5
4
2
3
z 5 1 =
p 5
2 cos 5 5
4
= 4 p 2
= 4 p 2
= 4 p 2
= 4 p 2
= 4 p 2
cos 25
4
cos
cos
+ i sin 5 5
=
4
=
+ i sin
25
4
(24 + 1) (24 + 1)
+ i sin =
4
4
4 + 3 2 + i sin
4 + 3 2
cos 4 + i sin
=
4
p p !
2 2
2 + i = 4 + 4i
2
=

Primjer Riješite jednadbu z 6 = 1:
Trigonometrijski oblik:
1 = 1 + 0i =)
p
r = 12 + 0 2 = 1
tg' = 0 =)
1
=) ' = 0
1 = 1 (cos 0 + i sin 0) ;
p
Rješenja jednadbe su dana sa z = 6 1 = zk ; gdje je
p
z k = 6 1 cos 0 + 2k + i sin 0 + 2k
; k = 0; 1; :::; 5:
6
6
Specijalno
z 0 = 1 (cos 0 + i sin 0) = 1
z 1 = 1 cos 3 + i sin
= 1 p
3
3 2 + 2 i
z 2 = 1 cos 2 3 + i sin 2
= 1 p
3
3 2 + 2 i
z 3 = 1 (cos + i sin ) = 1
z 4 = 1 cos 4 3 + i sin 4
= 1 3 2
z 5 = 1 cos 5 3 + i sin 5
= 1 3 2
p
3
2 i
p
3
2 i

Eksponencijalni ili Eulerov oblik kompleksnog broja
Moe se pokazati da je
e i' = cos ' + i sin ':
Sada iz trigonometrijskog oblika kompleksnog broja
z = r (cos ' + i sin ') slijedi
z = re i' :
Ovaj oblik nazivamo eksponencijalni ili Eulerov oblik
kompleksnog broja z:
Racunske operacije:
Ako su z 1 = r 1 e i' 1 , z2 = r 2 e i' 2 ; z = re i' kompleksni
brojevi, onda je
z 1 z 2 = r 1 e i' 1 r 2e i' 2 = r 1r 2 e i(' 1+' 2 )
z 1
= r 1e i' 1
z 2 r 2 e i' 2
z n =
= r 1
r 2
e i(' 1 ' 2 ) ; za z 2 6= 0
re i' n
= r n e in'