ANALIZA NUMERYCZNA KOÅšCIOÅA NajÅ›wiÄ™tszej Marii Panny NA ...

POLITECHNIKA POZNAŃSKA 

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, ARCHITEKTURY I INŻYNIERII ŚRODOWISKA 

ZAKŁAD KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA PROJEKTOWANIA 

ANALIZA NUMERYCZNA KONSTRUKCJI KOŚCIOŁA NAJŚWIĘTSZEJ MARII 

PANNY NA OSTROWIE TUMSKIM W POZNANIU 

PRACA MAGISTERSKA 

DZ/65/2004/2005 

AUTORZY: 

ANNA PASSOWICZ 

DARIUSZ NORBERCIAK 

PIOTR SIELICKI 

PROMOTORZY: 

PROF. DR HAB. INŻ. 

TOMASZ ŁODYGOWSKI 

DR INŻ. PIOTR RAPP 

DR HAB. INŻ. MARIAN WÓJCIK

Spis treści 

Spis treści …………………………………………………………. 2 

Wstęp …………………………………………………………. 5 

Rozdział I – Historia i charakterystyka budynku kościoła 

1.1. Historia kościoła NMP ………………………………………… 8 

1.2. Charakterystyka budowli ………………………………… 16 

Rozdział II – Stan aktualny kościoła 

2.1. Stan aktualny kościoła …………………………………………. 28 

2.1.1. Przemieszczenia bryły kościoła …………………………. 28 

2.1.2. Przeprowadzone prace wzmacniające …………………. 28 

2.1.2.1. Wzmocnienie filarów międzyokiennych …. 29 

2.1.2.2. Wieniec stalowy w obrębie murów …………. 33 

2.1.2.3. Połączenie wieńca z belkami stropowymi …. 33 

2.1.3. Istniejące ściągi ………………………………………… 35 

2.2. Prace geodezyjne …………………………………………………. 38 

2.2.1.Geodezyjne pomiary deformacji kościoła Pomiary 

Inwentaryzacyjne ………………………………………….. 38 

2.2.2. Krótko i długookresowe badania przemieszczeń budowli 

i konstrukcji metodami geodezyjnymi …………………… 39 

2.2.3. Etap pierwszy …………………………………………... 42 

2.2.4. Etap drugi ………………………………………………….. 44 

2.2.5. Wnioski ………………………………………………….. 45 

2.3. Wymiary cegieł ………………………………………………….. 46 

Analiza numeryczna Kościoła Najświętszej Marii Panny na Ostrowie Tumskim w Poznaniu 

Spis Treści 

2

Rozdział III – Pomiary geodezyjne 

3.1. Informacje wstępne …………………………………………. 50 

3.2. Techniki i sposoby pomiarów – teoria i praktyka ………….. 51 

3.2.1. Pomiary liniowe …………………………………………. 51 

3.2.2. Pomiar kątów poziomych i pionowych ………………….. 53 

3.2.3. Pomiary wysokościowe – niwelacja ………………….. 53 

3.2.4. Tachimetryczna metoda pomiarów 

sytuacyjno – wysokościowych ...................................... 57 

3.3. Założenie osnowy ………………………………………………… 59 

3.4. Niwelacja punktów osnowy wewnątrz kościoła …………. 61 

3.5. Niwelacja punktów osnowy założonej na zewnątrz kościoła 64 

3.6. Rzut poziomy kościoła NMP …………………………………. 68 

3.7. Pomiar wychylenia ściany zachodniej od pionu ………….. 72 

3.8. Punkty znajdujące się na cokole zewnętrznym kościoła …... 76 

3.9. Pomiar grubości ściany ………………………………………….. 80 

3.10. „Wcięcie v1.07” – uproszczenie powtarzalnych obliczeń …... 86 

3.11. Charakterystyczne punkty konstrukcji ………………….. 89 

3.12. Inwentaryzacja kolumny wewnętrznej nr 6 ………………..… 94 

Rozdział IV – Analiza numeryczna 

4.1. Homogenizacja – teoria ………………………………………….. 103 

4.1.1. Metoda wygładzania ................................................ 104 

4.1.2. Metoda matematyczna ................................................ 105 

4.1.3. Mur – podstawowe właściwości i cechy ........................... 107 

4.1.3.1. Mur – kompozyt dwóch materiałów ................ 107 

4.1.3.2. Mur – charakterystyka pracy ........................... 108 

4.1.3.3. Kryteria wytrzymałościowe ........................... 112 

4.1.3.4. Współczynnik materiałowy 

muru – moduł Young’a .......................... 124 


Spis Treści 

3

4.1.4. Modelowanie numeryczne muru .................................... 128 

4.1.4.1. Model 2D muru ............................................... 129 

4.2. Zadania numeryczne .......................................................... 133 

4.2.1. Kolumna wewnętrzna ................................................ 133 

4.2.1.1. Model numeryczny kolumny .......................... 134 

Zadanie 1 – kolumna prosta …………………. 134 

Zadanie 2 – kolumna rzeczywista …………. 136 

4.2.1.2. Prezentacja wyników ..................................... 140 

4.2.1.3. Porównanie i podsumowanie .......................... 144 

4.2.2. Filar międzyokienny ............................................... 145 

4.2.2.1. Model numeryczny filara .......................... 146 

Zadanie 1 – filar idealnie prosty ………………….. 148 

Zadanie 2 – filar przed wzmocnieniem …………. 150 

Zadanie 3 – filar rzeczywisty, wzmocniony …. 151 

4.2.2.2.Prezentacja wyników .................................... 156 

4.2.2.3. Porównanie wyników i podsumowanie ............... 162 

4.2.3. Sklepienie .................................................................... 164 

4.2.3.1. Model numeryczny sklepienia ......................... 164 

4.2.3.2. Prezentacja wyników ................................... 170 

4.2.4. Kościół ……………………………………………….. 173 

Wnioski ........................................................................................ 177 

Bibliografia ........................................................................................ 179 

Załączniki: 

A – punkty kolumny ……………………………………………….. 181 

B – zewnętrzne punkty kościoła ……………………………….. 183 

C – przekroje gruntu ……………………………………….. 185 

D – Dzienniki niwelacji ……………………………………….. 191 


Spis Treści 

4

Wstęp 

Kościół Najświętszej Marii Panny to gotycka świątynia, leżąca na 

poznańskiej wyspie Ostrów Tumski. Konsekrowana ponad 550 lat temu jest 

jednym z najstarszym zabytków miasta. Prawdopodobnie stanęła ona na 

miejscu świątyni o wiele starszej, której początki związane są z przybyciem do 

Polski czeskiej księżniczki Dobrawy, żony Mieszka I. 

Od wielu lat w obrębie kościoła prowadzone są przez Instytut Prahistorii 

UAM badania archeologiczne, podczas których odkryto m.in. fragmenty muru, 

potwierdzające istnienie w tym miejscu okazałej budowli, datowanej na wiek X. 

Konstrukcja kościoła uległa na przestrzeni wieków dużym deformacjom. 

Przyczyną tego jest posadowienie obiektu na podmokłym i niestabilnym 

gruncie. Znaczne wychylenia wykazują ściany oraz kolumny wewnątrz 

kościoła, podpierające sklepienie. W ostatnich latach zostały przeprowadzone 

prace konstrukcyjne, dzięki którym będzie możliwe przywrócenie świątyni do 

dobrego stanu technicznego. 

Tematem niniejszej pracy magisterskiej jest analiza numeryczna 

wybranych elementów konstrukcyjnych kościoła. Ma ona na celu weryfikację 

wcześniejszych założeń i obliczeń według klasycznych metod, oraz podejmuje 

próbę określenia zachowania się budowli pod wpływem dalszych osiadań. 

W rozdziale pierwszym pracy, opisana została dotychczasowa historia 

i architektura tej interesującej budowli. Wzmocnienie kościoła przedstawiono 

w rozdziale drugim. 

Zastosowanie zaawansowanych obliczeń numerycznych spowodowane 

było między innymi skomplikowaną geometrią budowli. W celu zbudowania 

wiernego modelu konstrukcji, przeprowadzono szczegółowe pomiary 

geodezyjne, które opisano w części trzeciej. 


Wstęp 

5

Natomiast w czwartym rozdziale skupiono się bezpośrednio na analizie 

numerycznej, opartej na metodzie elementów skończonych. Do opisu 

zachowania się muru, jako kompozytowej struktury o nieliniowej 

charakterystyce, przyjęto zhomogenizowany ośrodek zastępczy. 

Przedstawiliśmy również złożony proces budowy modelu geometrii za pomocą 

licznych programów inżynierskich. Ostatecznie prezentujemy wyniki obliczeń 

kolejnych zadań oraz wnioski z nich wynikające. 

Autorzy wyrażają serdeczne podziękowania Panu Profesorowi 

dr hab. inż. Tomaszowi Łodygowskiemu za cenne uwagi, pomocne 

w licznych problemach jakie napotkaliśmy podczas pisania pracy. 

Dziękujemy również panu doktorowi inż. Piotrowi Rappowi, za 

udostępnienie wszelkich materiałów, liczne konsultacje i wartościowe 

wskazówki. 

Doktorowi hab. inż. Marianowi Wójcikowi dziękujemy za częstą 

obecność w trakcie pomiarów geodezyjnych, możliwość korzystania 

z instrumentów pomiarowych oraz wnikliwą recenzję pracy. 

Panu Robertowi Nowakowi z Instytutu Geodezji za nieocenioną pomoc 

w pomiarach geodezyjnych. 

Chcielibyśmy również podziękować mgr inż. Tomaszowi Jankowiakowi, 

który poświęcił nam wiele czasu, dzieląc się swoją wiedzą na temat obliczeń 

w środowisku ABAQUS. 


Wstęp 

6

ROZDZIAŁ I 

HISTORIA I CHARAKTERYSTYKA BUDYNKU 

KOŚCIOŁA

1.1. Historia Kościoła 

Historia tej świątyni wiąże się nie tylko z początkami dziejów miasta 

Poznania, ale również z historią państwa polskiego oraz ich pierwszych 

władców z dynastii Piastów. 

Kościół zlokalizowany jest na Ostrowie Tumskim, wyspie wydzielonej rzeką 

Wartą i jej dopływem Cybiną. Wyspa ta była miejscem założenia najstarszego 

grodu poznańskiego, które datuje się na początek X w. Dalszy rozwój grodu 

związany był z przyjęciem w 966 r. chrześcijaństwa przez księcia Mieszka I 

i utworzenia w Poznaniu pierwszego biskupstwa misyjnego. 

W miejscu, w którym dziś wznosi się kościół NMP, znajdowała się 

przypuszczalnie rezydencja władców, czyli palatium [5]. 

Rys. 1.1. Zespół grodowy na Ostrowie Tumskim. XI w. Rys. W. Gałka [1] 


Rozdział I 

8

Położona była ona w zachodniej części grodu, zaś na wschód od niej 

leżało obszerne podgrodzie, gdzie stanęła pierwsza na ziemiach polskich 

katedra. Podczas prac wykopaliskowych, podjętych w 1999 roku przez Instytut 

Prahistorii, Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, natrafiono 

na fragment murów palatium. Przypuszczalne położenie fundamentów 

przedstawia ilustracja 1.2 (ewentualny zarys fundamentów zaznaczono linią 

przerywaną). 

Rys. 1.2. Hipotetyczny zarys fundamentów palatium Mieszka I z X w. Wg [8] 


Rozdział I 

9

Wzniesiona z kamienia budowla założona została prawdopodobnie 

na rzucie ustawionego na osi północ – południe prostokąta. Jej integralną 

część stanowiła przylegająca od wschodu kaplica zamkowa pod wezwaniem 

Najświętszej Marii Panny, do XIX w. określana „in Summo” („na grodzie”), 

ufundowana – według tradycji – przez księżną Dobrawę. Byłaby więc 

to najstarsza świątynia chrześcijańska na ziemiach polskich, przypuszczalnie 

miejsce chrztu księcia i najbliższego otoczenia władcy.[4] 

Rys. 1.3. Palatium wraz z kaplicą NMP. Rys. Piotr Jurga [4] 

O wyjątkowym znaczeniu tego miejsca, świadczy jedna z nielicznych 

poznańskich legend, związana z osobą Kazimierza Odnowiciela. Kiedy władca, 

znękany klęskami w czasie buntu możnowładcy Masława, korzył się w kościele 

na Ostrowie i rozważał powrót do klasztoru, w którym spędził młodość, 

zdarzyło mu się zasnąć na modlitwie. We śnie jakiś głos wezwał go jednak 

do walki, a gdy doszło do bitwy, tajemniczy rycerz na białym koniu poprowadził 

książęce wojska do zwycięstwa. 


Rozdział I 

10

W 1038 roku, podczas najazdu czeskiego księcia Brzetysława I, zespół 

grodowy został zniszczony. Kaplica zamkowa została odbudowana z inicjatywy 

Dobroniegi, żony Kazimierza Odnowiciela. 

W końcu XIII wieku, po przeniesieniu rezydencji książęcej na lewy brzeg 

Warty, kaplica pałacowa przeszła na własność kapituły katedralnej. Obecna 

świątynia wzniesiona została na jej miejscu, staraniem kapituły i biskupa 

Andrzeja z Bnina. 

Rys. 1.4. Widok na kościół NMP i Psałterię [1] 

W roku 1380 w związku z modernizacją architektury katedry przybyli 

do Poznania budowniczowie zaznajomieni z architekturą Pomorza 

Zachodniego. Oni to najprawdopodobniej rozpoczęli przebudowę kościoła 


Rozdział I 

11

NMP. Po podjęciu decyzji o zredukowaniu bryły w stosunku do pierwotnego 

zamierzenia, budowę zakończyli wielkopolscy rzemieślnicy, między innymi 

Hanusz Prus, należący zapewne do warsztatu pomorskiego architekta Henryka 

Brunsberga. Do 1444 roku wzniesiono przęsło prezbiterialne i dwa przęsła 

korpusu, następnie z niewiadomych przyczyn prace zostały przerwane. 

Być może pierwotnie planowany jako większy, został ograniczony 

do trzech przęseł, prawdopodobnie ze względu na trudności z właściwym 

posadowieniem. Tym sposobem powstała trójnawowa hala z trójbocznie 

zamkniętym prezbiterium. 

W 1445 roku Jan Lorek z Kościana zamknął korpus od zachodu bogato 

zdobionym szczytem fasady. 

W latach 1445 – 1447 wnętrze kościoła zostało przykryte sklepieniami 

gwiaździstymi przez Mikołaja z Poznania i jego syna o tym samym imieniu. 

W 1448 roku odbyła się konsekracja świątyni. 

Budowla jak na owe czasy, była niezwykle nowatorska i oryginalna, 

świadczyć o tym może fakt, że stała się ona inspiracją dla wielu naśladowców 

w Wielkopolsce. Powielano przede wszystkim rozwiązania konstrukcyjne 

organizacji przestrzeni halowej, jak i dekoracyjne, choćby malarskie efekty 

elewacji, zróżnicowanej glazurowanymi cegłami. Z omawianym kościołem 

wiąże się architektura fary w Kórniku. Jeszcze w początkach XVI wieku 

zanotowano w kontrakcie budowy kościoła w Opalenicy, że jego fundator 

życzył sobie, by powtórzono formy kościoła NMP w Poznaniu. 


Rozdział I 

12

Rys. 1.5. Widok na kościół NMP, Psałterię i katedrę. Fot. A. Florkowski [8] 

Istotne dla Świątyni remonty oraz renowacje [2]: 

1595 r. zaniedbana kolegiata odnowiona dzięki staraniom bpa Łukasza 

Kościelskiego 

1695 r. stwierdzono zły stan sklepień 

1698 r. z uwagi na zniszczenia spowodowane powodzią tegoż roku 

przystąpiono do remontu 

1727 r. zastąpiono zniszczone sklepienia w prezbiterium i ambicie 

(obejściu) sklepnieniami żaglastymi na gurtach 

1781 r. stwierdzono zarysowanie ścian 

1805 r. Bp I. Raczyński, pod wpływem władz pruskich, kasuje kolegiatę 

i ogłasza zamiar rozbiórki kościoła, ze względu na zły stan 

techniczny. Projekt ten został zaniechany dzięki usunięciu 


Rozdział I 

13

Prusaków w 1806 r., a kościół pełnił od tego czasu rolę 

magazynu na zboże. 

1817 r. ponowny zamiar rozbiórki, publiczna licytacja nie dochodzi 

do skutku ze względu na zbyt niskie oszacowanie wartości 

kościoła 

1819 r. pojawia się koncepcja adaptacji kościoła na mauzoleum 

pierwszych władców i chociaż pomysłu tego zaniechano, udało 

się, za zebrane fundusze, przełożyć dach 

1841 r. władze pruskie naciskają na przyspieszenie rozbiórki 

na podstawie orzeczenia inspektora budowlanego Karola 

Henryka Schinkla, w którym stwierdzono: 

- wychylenie ściany szczytowej budowli od zachodu od góry do dołu, 

stojącej bez powiązania z resztą murów, 

- rysy w bocznych elewacjach, 

- wychylenie ściany północnej, oddzielonej od wschodniego zamknięcia, 

- odspojenie sklepień od ścian; 

Kapituła odrzuca również projekt zabezpieczenia przewidujący rozbiórkę 

szczytu, gdyż to oszpeciłoby znacznie budynek. 

1859 – 62 r. restauracja kościoła, dzięki staraniom abpa Leona Przyłuskiego 

- skotwienie ścian i filarów, 

- wzmocnienie szczytu, 

- przemurowanie pęknięć oraz wypełnienie rys, 

- naprawa dachu i więźby, 

- zasklepienie na nowo czterech nisz, 

- postawienie nowej wieżyczki na sygnaturkę; 

1890 r. wymiana cokołów filarów i cokołu zewnętrznego 

1928 r. remont dachu i wieżyczki na sygnaturkę, z czym związane 

usztywnienie szczytu dwiema przyporami od wewnątrz 

1956 r. rekonstrukcji wnętrza (po II Wojnie Światowej) podjął się 

Wacław Taranczewski. Ten sam autor zaproponował 


Rozdział I 

14

odnowienie witraży oraz wzorowanego na gotyckim poliptyku 

ołtarza (typ ołtarza szafkowego, składającego się z części 

środkowej oraz dwóch par, o połowę węższych, ruchomych 

skrzydeł, które były zamykane lub otwieranew zależności od 

okresu roku liturgicznego.) 

1976 r. remont elewacji z częściową wymianą i uzupełnieniem lica, 

kształtek w lizenach i w sterczynach szczytu 

1999 – 2003 r. w ostatnich latach zostały przeprowadzone prace konstrukcyjne 

mające na celu wzmocnienie nadokiennej bryły kościoła, które 

szerzej opisano w rozdziale II 


Rozdział I 

15

1.2. Charakterystyka budowli 

Bryła 

Kościół został zbudowany w stylu późnogotyckim. Jest to konstrukcja 

murowana z cegły w układzie gotyckim, z użyciem glazurowanych kształtek. 

Bryła kościoła jest krótka, wielobocznie zamknięta ujawnia realizację 

zredukowaną w stosunku do pierwotnego zamierzenia. 

Rys. 1.6. Rzut poziomy oraz zarys sklepienia. Rys. B. Giernatowska [5] 


Rozdział I 

16

Wnętrze stanowi trójnawowa i trójprzęsłowa hala, z pięciobocznym 

ambitem wokół trójbocznie zamkniętego prezbiterialnego przęsła nawy głównej. 

Rys. 1.7. Widok Kościoła od strony południowej. Fot. P. Sielicki 


Rozdział I 

17

Filary 

O tym, ze obecny kościół pierwotnie miał posiadać przynajmniej jeszcze 

jedno przęsło, świadczyć może para filarów wtopionych od wewnątrz w ścianę 

zachodnią, o krawędziach profilowanych do połowy wysokości. Powyżej filary 

te są uproszczone. 

We wnętrzu kościoła znajdują się trzy pary filarów na profilowanych 

bazach, z których zachodnie i środkowe są sześcioboczne, ustawione 

poprzecznie do osi kościoła, z wałkami na krawędziach i ujętą w dwa wałki 

służką. Wschodnie filary zamknięcia prezbiterium są ośmioboczne z wałkami, 

w górnym odcinku z glazurowanych kształtek o zmienionym profilu; u podstawy 

sklepienia znajdują się krótkie pilastry podpierające łęki sklepienia. 

Filary połączone są między sobą ostrołukowymi łękami (rys.8), które 

rozdzielają nawy. 

Rys. 1.8. Widok na sklepienia i łęki. Fot. D. Norberciak 


Rozdział I 

18

1.2.4. Ściany północna, południowa i wschodnia 

Ściany te wewnątrz, na obwodzie posiadają płytkie, ostrołukowe wnęki, 

wydzielone przez filarki międzyokienne, powstałe w wyniku wciągnięcia 

do wnętrza podpór. W tych wnękach znajdują się otwory okienne, ostrołukowe 

(w ścianie północnej zamurowane zapewne w końcowej fazie budowy), 

z laskowaniem, trójdzielne. W ścianie południowej, w zachodnim przęśle, pod 

zamurowanym otworem okiennym, znajduje się ostrołukowy portal (na tej 

samej osi, na ścianie północnej, znajduje się podobny, zamurowany portal). 

Wokół całego kościoła wyodrębniono cokół, w który wmontowano głazy 

granitowe i wtórnie użyte ciosy piaskowcowe z XI wieku. 

Rys. 1.9. Część ściany północnej Fot. P. Sielicki 


Rozdział I 

19

Ściana zachodnia 

Ścianę zachodnią oparto prawdopodobnie na starszym, kamiennym 

murze, pozostałym po wznoszącym się na tym miejscu palatium. Ściana 

w części południowej cofnięta jest uskokiem, odpowiadającym aneksowi 

o szerokości nawy głównej, ze schodami przyległymi od strony północnej. 

Aneks jest trójkondygnacyjny. W przyziemiu mieści zakrystię, nad nią chór 

muzyczny i wyżej emporę. Klatka schodowa jest cylindryczna, w narożu 

odchodzą z niej jednobiegowe schody na chór, a wyżej na emporę. 

Od wewnątrz na środku znajduje się ostrołukowa wnęka z portalem 

do zakrystii, po stronie północnej wejście na schody. Chór i empora są otwarte 

do wnętrza wielkimi, ostrołukowymi arkadami, z których dolna jest nieco 

szersza. 

Rys. 1.10. Elewacja zachodnia [5] 


Rozdział I 

20

Od zewnątrz, w przyziemiu znajduje się małe, odcinkowo zamknięte 

okno zakrystii, wyżej ostrołukowe, trójdzielne okno chóru, najwyżej ostrołukowa 

wnęka z otworami szczelinowymi i okrągłą blendą. Po stronie północnej widać 

kilka nieregularnie rozmieszczonych okien klatki schodowej. 

W szczycie ściany u dołu ostrołukowych wnęk znajdują się trzy okna, 

a powyżej dwa otwory szczelinowe. 

Sklepienie 

W części nawowej wnętrze jest przykryte w dwóch przęsłach 

(zachodnim i środkowym) sklepieniem gwiaździstym, z gwiazdami 

ośmioramiennymi w nawie głównej i czteroramiennymi w nawach bocznych, 

o połowę węższych od głównej. We wschodnim przęśle prezbiterialnym 

i obejściu sklepienie gwiaździste na gurtach z 1727 r. 

Rys. 1.11. Sklepienie w nawie głównej. Fot. P. Sielicki 


Rozdział I 

21

Rys. 1.12. Sklepienie nad ołtarzem. Fot. P. Sielicki 

Zakrystia przykryta jest sklepieniem kolebkowym, chór muzyczny 

sklepieniem krzyżowo – żebrowym, a górna empora sklepieniem żebrowo 

promienistym, dziesięciopolowym. 

Dach i więźba 

Dach jest wysoki, o więźbie stolcowej, dwuspadowy, nad obejściem 

pięciopołaciowy, kryty dachówka gąsiorkową. Więźba składa się z pięciu 

poziomów belek, liczne zastrzały oraz różnorodność połączeń belek 

drewnianych, powoduje, iż jej inwentaryzacja jest szczególnie trudna 

i skomplikowana. Wiele elementów, przede wszystkim drobnych zastrzałów, 

zostało usuniętych. Dominują przekroje prostokątne, o wymiarach 

dochodzących nawet do 300x300 mm. 


Rozdział I 

22

Rys. 1.13. Więźba dachowa. Fot. P. Sielicki 

Rys. 1.14. Więźba dachowa. Fot. P. Sielicki 


Rozdział I 

23

Posadowienie 

Kościół od strony zachodniej oddalony jest od rzeki Warty o około 70 m 

w linii prostej, a o ok. 200 m od rzeki Cybiny, której koryto znajduję się 

na wschód od kościoła. Pod względem geomorfologicznym teren położony jest 

w dolinie Warty, na jej zachodnim brzegu. Powierzchnia terenu w rejonie 

kościoła NMP prawdopodobnie na przestrzeni wieków była niejednokrotnie 

zmieniana, obecnie – podwyższona nasypami – ukształtowana jest 

na rzędnych 57.16 – 57.47 m n.p.m. 

W podłożu terenu, od powierzchni stwierdzono występowanie nasypów 

antropogenicznych, złożonych w sposób niekontrolowany (różnorodny skład). 

Miąższość gruntów nasypowych w rejonie kościoła waha się od 2.8 do 4.0 m. 

Stanowią one warstwę przepuszczalną dla wód gruntowych. 

Poziom zwierciadła wody utrzymuje się między rzędnymi 53.3 a 51.0 m 

n.p.m. i jest on uzależniony od pionowych wahań wodostanu Warty. [9] 

W podłożu gruntowym znajdującym się pod fundamentami kościoła 

zalegają warstwy namułów organicznych i torfu, ich zasięg pokazano 

na poniższym rysunku. W części południowej kościoła fundamenty znajdują 

się powyżej tych warstw, gdyż tu zalegają na głębokości powyżej 8.5 m 

od poziomu terenu. 

Pod północną częścią znajdują się one w strefie posadowienia, 

na głębokości 4,5 m. Powoduje to nierównomierne osiadania bryły kościoła, 

a co za tym idzie przechylenie i obrót budynku w kierunku północno – 

zachodnim (w kierunku koryta rzeki Warty). 


Rozdział I 

24

Rys. 1.15. Grunty zalegające w obrębie Kościoła [10] 


Rozdział I 

25

Rys. 1.16. Fundament Fot. A. Passowicz 

Rys. 1.17. Fundament Fot. A.Sikorski [8] 


Rozdział I 

26

ROZDZIAŁ II 

STAN AKTUALNY KOŚCIOŁA

2.1. Stan aktualny kościoła 

2.1.1. Przemieszczenia bryły kościoła 

Z geodezyjnych pomiarów deformacji kościoła NMP, przeprowadzonych 

przez Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki Poznańskiej wynika, 

że w przypadku tego budynku mamy do czynienia z dwoma rodzajami 

przemieszczeń: pierwsze są skutkiem ruchu bryły sztywnej, drugie – lokalnych 

deformacji. Wypadkowe przemieszczenie nastąpiło w kierunku północno – 

zachodnim, gdzie również występują największe wychylenia elementów 

konstrukcji, a w ścianie północnej stwierdzono 6 wyraźnych rys o szerokości 

1 - 2 cm. Oprócz przemieszczenia miało również miejsce obrót bryły zgodnie 

z ruchem wskazówek zegara. 

Maksymalne przemieszczenia ścian i kolumn dochodzą do 50 cm. 

Na szczególną uwagę zasługuje kolumna nr 6, której przekrój w poziomie pod 

kapitelem jest nie tylko przemieszczony względem przekroju w poziomie bazy, 

ale również obrócony o kąt 23°. Tak duże deformacje mają decydujący wpływ 

na wielkości mimośrodów w ścianach i kolumnach. 

2.1.2. Przeprowadzone prace wzmacniające 

W ostatnich latach w związku ze złym stanem technicznym świątyni 

wykonano prace mające na celu wzmocnienie bryły, szczególnie jej 

sztywności przestrzennej. Dzięki temu zmniejszono wrażliwość kościoła 

na nierównomierne osiadanie podłoża gruntowego oraz wyrównano 

i zmniejszono poziome deformacje, szczególnie w górnych partiach ścian. 

Prace odbywały się w trzech etapach. Pierwszy obejmował wzmocnienie 

filarów międzyokiennych, drugi - spięcie korony murów wieńcem obwodowym, 

trzeci – remont belkowania oraz połączenie wieńca z belkami stropowymi nad 


Rozdział II 

28

sklepieniem. Doprowadziło to do powstania wewnętrznej, przestrzennej 

konstrukcji, wzmacniającej i usztywniającej nadziemną bryłę kościoła. Poniżej 

omówiono pokrótce szczegóły projektów tych prac [10]. 

2.1.2.1. Wzmocnienie filarów międzyokiennych [11], [12] 

Filary wzmocniono poprzez wprowadzenie zbrojenia podłużnego 

w ścięte naroża filarów wewnątrz kościoła (HEB 100) oraz w boczne skrzydła 

filarów przy profilowanych pilastrach po stronie zewnętrznej kościoła 

(płaskowniki 50 x 140 mm). Profile HEB 100 wewnątrz kościoła wstawiano 

w pionowe bruzdy wykonane w murze przez rozbiórkę cegieł. Po wykonaniu 

bruzd i dopasowaniu profili stalowych, w odstępach 50 cm wywiercono 

w murze otwory na osadzenie stalowych prętów o Φ=22 mm, służących do 

zakotwienia profili HEB 100. Po stronie zewnętrznej płaskowniki 50 x 140 

mm mocowano w ścianach za pomocą prętów 36 x 16 mm co 50 cm. Kotwy 

zostały wklejone w mur za pomocą zaprawy mikrocementowej wtłaczanej 

pod ciśnieniem. Po zakotwieniu profili stalowych zamurowano bruzdy 

w ścianach za pomocą oryginalnej cegły zachowując wiązanie. 

Według projektu, wykonane wzmocnienie zwiększa nośność filara o ok. 2,4 

razy w stosunku do nośności istniejącej. 


Rozdział II 

29

Rys. 2.1. Zbrojenie filara międzyokiennego. [11] 


Rozdział II 

30

Rys. 2.2. Zewnętrzne zbrojenie filara międzyokiennego [11] 


Rozdział II 

31

Rys. 2.3. Wewnętrzne zbrojenie filara międzyokiennego [11] 


Rozdział II 

32

2.1.2.2. Wieniec stalowy w obrębie murów 

Wieniec wykonany został na koronie murów, nad sklepieniami, 

a dokładniej na odsadzce ściany pod belkami stropowymi. Jest to płaskownik 

o przekroju 100mm x 10mm, zamocowany do ściany poprzez kotwy, wykonane 

z prętów stalowych o Φ =20mm i długości 1m, nagwintowanych 

na całej długości. Znajdują się one w rozstawach około 50cm. Otwory na kotwy 

mają średnicę 32mm i zostały nawiercone metodą nieudarową, pod kątem 30 

stopni do wnętrza ściany, a po osadzeniu kotew zalano je żywicą epoksydową 

z utwardzaczem. Płaskownik ułożono odcinkami, na ok. 10 milimetrowej 

warstwie zaprawy, połączono za pomocą nakładek stalowych, a w miejscach 

załamań na spoinę czołową. Jest on również zabezpieczony przed korozją za 

pomocą powłoki żywicznej. 

2.1.2.3. Połączenie wieńca z belkami stropowymi 

Połączenie wieńca obwodowego z belkami stropu możliwe było dopiero 

po remoncie belkowania, tak, aby podłużne styki i połączenia belek stropu 

zapewniały przenoszenie sił rozciągających. Większość z belek wymagała 

natychmiastowego wzmocnienia w formie dwóch przykładek i jednej nakładki 

drewnianej. Wymieniono również większość końcówek krokwi. 

Belkę podwalinową połączono z belką stropową dwustronnie za pomocą 

kątownika stalowego. 

W koronie muru nawiercono otwór, w którym umieszczono kotwy, 

wykonane z prętów stalowych o Φ =16mm i długości 50 cm 


Rozdział II 

33

Rys. 2.4. Połączenie wieńca z konstrukcją dachu Fot. D. Norberciak 

Dzięki tym pracom możliwe będzie w najbliższym czasie przywrócenie kościoła 

do funkcji liturgicznej, a być może również otworzenie dwóch blend 

i wstawienie witraży w północnej części kościoła. 


Rozdział II 

34

2.1.3. Istniejące ściągi [13] 

Obecnie w kościele istnieją dwa układy ściągów, nad i pod sklepieniami. 

Spinają one górne partie ściany i filary w kierunkach poprzecznym i podłużnym. 

Ściągi ponad sklepieniami wykonane są z prętów stalowych o przekrojach 

Φ =26mm. Ściąg przy ścianie zachodniej wykonany jest z płaskownika 

o przekroju 50 x 8mm. Układ ściągów nad sklepieniem pokazany został na 

kolejnym rysunku 2.5. 


Rozdział II 

35

Rys. 2.5. Stalowe ściągi nad sklepieniami [13] 


Rozdział II 

36

Ściągi pod sklepieniami (rys. 2.6) występują w poziomie głowic kolumn 

i pilastrów i wykonane są z prętów o przekroju kwadratowym 28mm x 28mm. 

Rys. 2.6. Stalowe ściągi pod sklepieniami [13] 


Rozdział II 

37

2.2. Prace geodezyjne 

2.2.1. Geodezyjne pomiary deformacji kościoła. Pomiary inwentaryzacyjne 

Wykonane prace sprowadzały się do czynności pomiarowych 

przeprowadzonych w styczniu 1999 roku, na zlecenie Fundacji Uniwersytetu 

im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. Badania obejmowały wyznaczenie 

charakterystycznych punktów budowli, rozpiętości łuków oraz ich wysokości, 

sprawdzenie poziomów oraz pionowości filarów. Pomiary wykonywane były 

równolegle z wykopaliskami prowadzonymi przez Instytut Prahistorii 

Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza. 

Prace geodezyjne rozpoczęto od założenia bazy pomiarowej w formie 

prostokąta. A następnie od uzupełnienia tej bazy punktami na jego bokach lub 

na przedłużeniach. Pomiary bazy wykonano z dokładnością ±1 mm 

na długości, ±5” dla kątów, a współrzędne punktów bazowych wykonano 

z błędem m ∆X = m ∆X = 1 mm . Z punktów bazowych wykonano wcięcia 

przestrzenne do charakterystycznych miejsc na krawędziach filarów 

i na wierzchołkach łuków. Stwierdzono duże problemy z identyfikacją punktów 

badanych z różnych stanowisk. Ustalenie krawędzi i punktów wierzchołkowych 

mogło być jak zauważają autorzy operatu obarczone dość znacznym błędem 

około 3 - 5 cm. Podczas badania stwierdzono również, iż problemem jest 

ustalenie miejsc w których rozpoczynały się łuki i z tego powodu również 

tu wyznaczenie długości łuków obarczone jest błędem dochodzącym do kilku 

centymetrów. 

Aby obliczenie współrzędnych punktów było możliwe, przeprowadzono 

również niwelację punktów na posadzce (21 punktów) oraz punktów na bazach 

kolumn (28 punktów) . Sieć niwelacyjną rozwinięto o 10 punktów na zewnątrz 

kościoła na cokołach pilastrów. Niwelację wykonano z dokładnością m ∆H = 

±1mm. Wysokości wszystkich punktów odniesiono do punktu nr1 na filarze nr1, 

dla którego przyjęto wysokość H 1 = 0,000 m (podobnie postąpiono w pomiarach 

przeprowadzonych na potrzeby wymodelowania elementów bryły do obliczeń 


Rozdział II 

38

w programie ABAQUS CAE) rys. 3.19. Ostatecznie otrzymano między innymi 

współrzędne punktów bazowych na posadzce, a co za tym idzie względne 

różnice wysokości posadzki kościoła. I tak maksymalna różnica wysokości 

na posadzce wynosiła 58 mm między punktami 12 i 20, a między punktami 

na podstawie pilastrów (5 i 18) 129 mm. 

Równolegle, prowadzono pomiary pionowości filarów, oparty 

na stanowiskach obieranych na kierunkach prostopadłych do wyznaczanych 

składowych wychyleń górnych punktów filarów. Dokładność wyznaczenia 

składowych wychyleń od pionu filarów i pilastrów była równa 1 do 2 mm. 

Z badania tego wynikał wniosek, iż największe wychylenia mają miejsce 

w strefie zachodniej oraz w strefie północnej kościoła, gdzie też znajdują 

się rysy o szerokości ok. 1 cm. Znacznie mniejsze wychylenia występują 

w południowo-wschodniej części kościoła. 

2.2.2. Krótko i długookresowe badania przemieszczeń budowli 

i konstrukcji metodami geodezyjnymi. 

Badania te były rozwinięciem pomiarów kontrolnych i inwentaryzacyjnych 

opisanych wyżej. Zostały one podzielone na dwa etapy : 

o Badania prowadzone od sierpnia 1999 r. o 2000 r. ; obejmujące 

badanie kościoła NMP i jego najbliższego otoczenia na bazie 21 

punktów 

o Badanie przemieszczeń pionowych punktów znajdujących się 

na katedrze i w jej sąsiedztwie na bazie 38 punktów 

Rysunki 2.7, 2.8 przedstawiają deformacje kościoła w ciągu ostatnich lat. 

Deformacje nie wskazują, że kościół odkształca się jak bryła sztywna, 

stanowiło to podstawowy powód rozpoczęcia wcześniej omówionych prac 

wzmocnienia konstrukcji. 


Rozdział II 

39

Rys. 2.7. Deformacja kolumn na podstawie [16,17] 


Rozdział II 

40

Rys. 2.8. Deformacja bryły kościoła na podstawie [16,17] 


Rozdział II 

41

2.2.3. Etap pierwszy. 

Przeprowadzono i opracowano 13 pomiarów kontrolnych. Miały one 

miejsce w odstępach miesięcznych poczynając od sierpnia 1999 roku: 

1. pomiar 0 – przy pracach wykopaliskowych przy ścianie 

południowej 

2. pomiar 1 – przy pracach wykopaliskowych i przy 

wzmacnianiu filarów 







6. pomiar 5 – przy zakończeniu prac wykopaliskowych 

7. pomiar 6 – przy zakończeniu wzmacniania filarów 

8. pomiar 7 – w czasie przerwy w pracach 

9. pomiar 8 – w czasie prac drogowych wokół katedry 



12. pomiar 11 – w czasie prac drogowych wokół katedry oraz 

prac wykopaliskowych przy ścianie południowej kościoła 

NMP 

13. pomiar 12 – w czasie zakończenia prac drogowych, pracy 

wykopaliskowej i wzmacnianiu filarów . 

14. pomiar 13 – pracy wykopaliskowej i wzmacnianiu filarów. 

Na początku całego zamierzenia, utworzono sieć pomiarową, składającą 

się z 21 reperów, z których 16 było zupełnie nowych. Cztery punkty, 

znajdowały się na Katedrze, Psałterii oraz na budynkach przyległych 

(ul. Ostrów Tumski nr 3 i nr 14) . Stanowiska te miały stanowić sieć punktów 

odniesienia. Natomiast pozostałych 17 punktów zastabilizowano na filarach 

kościoła NMP, które stanowiły sieć punktów badanych. Jednak okazało się, 


Rozdział II 

42

że punkty odniesienia, tzn. wyżej wymienione 4 punkty, na obiektach przy 

kościele, nie zachowują między sobą stałości. Wyniki przedstawione 

przez zespół badający przemieszczenia stwierdza jednoznacznie, 

że przemieszczeniom ulegał cały fragment Ostrowa Tumskiego, który został 

objęty badaniami w I etapie. Dlatego też koniecznym było wyznaczenie 

przemieszczeń pionowych względem jednego punktu, który wykazywał 

najmniejsze przemieszczenia. Był to punkt nr 10 znajdujący się wewnątrz 

kościoła, na kolumnie przy ołtarzu. Sieć pomiarową tworzyło 29 ciągów 

niwelacyjnych, w których różnice wysokości określano w każdym z pomiarów 

czterokrotnie. Obliczenia niwelacji geometrycznej przeprowadzono metodą 

ścisłą. Obliczono przemieszczenia pionowe, następnie wyliczono parametry 

zmiany położenia i odkształcenia fundamentu kościoła NMP. Celem tych 

obliczeń było wyznaczenie następujących parametrów: 

a) Średnich osiadań fundamentu w punkcie (0,0) 

b) Kątów nachylenia powierzchni fundamentu wzdłuż osi X i osi Y 

c) Wektorów deformacji wysokościowych w miejscach wszystkich 

reperów względem przemieszczonej powierzchni fundamentu 

Wszystkie obliczenia parametrów zmiany położenia fundamentu 

przeprowadzono w dwóch wariantach. Pierwszy dotyczył całego fundamentu 

kościoła NMP, drugi zaś jego czterech fragmentów, tzn. części wschodniej, 

południowej, zachodniej oraz północnej. W wyniku obliczeń pierwszego 

wariantu otrzymano stan zdeformowania całego fundamentu. Natomiast 

obliczenia drugiego wariantu dostarczają nam obraz nachyleń czterech 

wydzielonych fragmentów fundamentu mogących wywołać nachylenie ściany 

w różnych kierunkach. 

Na podstawie wyników i obserwacji stwierdzono, iż w okresie sierpnia 

1999 do sierpnia 2000 roku, następowało stopniowe narastanie przemieszczeń 

pionowych kościoła NMP. Największymi przemieszczeniami pionowymi 

wykazały się punkty znajdujące się po stronie północnej kościoła, natomiast 

najmniejszymi punkty zastabilizowane w wewnątrz kościoła w otoczeniu 

ołtarza. Z wykresów izolinii [15] wynika, że kierunek wzrostu osiadań przebiega 

pod kątem około 250 g w stosunku do osi X-ów, czyli w kierunku północno – 


Rozdział II 

43

zachodnim. Przeciętnie osiadanie kościoła systematycznie wzrastało, 

a co ciekawe większe przyrosty osiadań zaobserwowano w miesiącach letnich 

i wynosiło ok. 0.5 mm . 

Zostało również obliczone przemieszczenie czterech punktów 

z najbliższego sąsiedztwa kościoła. Punkty te to: punkt A (dawne probostwo 

katedralne, ul. Ostrów Tumski nr 3), punkt B (ul. Ostrów Tumski nr13), K (punkt 

przy wejściu do katedry), oraz punkt P (psałteria). Największymi 

przemieszczeniami charakteryzował się punkt B i wynosił blisko – 3.00 mm. 

Pozostałe punkty również się przemieszczają, ale w granicach do –1.00 mm. 

Jak wnioskowali autorzy operatu geodezyjnego [16], można przyjąć, 

że brak jest jednolitego nachylenia w obrębie całego fundamentu. Najbardziej 

jednoznaczne są nachylenia ścian w kierunku: północnym, południowym 

i zachodnim. 

2.2.4. Etap drugi. 

W ramach tego etapu przewidziano włączenie do obserwacji 

przemieszczeń pionowych 12 nowych punktów na katedrze oraz 5 punktów 

na budynkach dotychczas nie obserwowanych. Wyniki potwierdzają fakt, 

że przyjęty jako odniesienie punkt 10 nie jest najmniej osiadającym punktem 

na Ostrowie Tumskim. Widać również, że część wschodnia katedry 

przemieszcza się mniej niż jej część zachodnia. Może okazać się, 

iż przemieszczenia pionowe katedry mogą być znacznie większe niż kościoła 

NMP. 


Rozdział II 

44

2.2.5. Wnioski. 

1. W wyniku badań kościoła NMP stwierdzono powolne, 

ale systematyczne zmiany wszystkich badanych parametrów. Zmiany 

te jednak są bardzo małe, często na granicy błędu i dla nowego 

obiektu nie stanowiłyby żadnego problemu. Aczkolwiek my mamy 

tu do czynienia z dużymi deformacjami kościoła (do 400 mm 

wychylenie ściany; do 5 mm/m nachylenia cokołu ). 

2. Nie stwierdzono związku między pracami archeologicznymi 

i pracami wzmacniającymi filary, a przemieszczeniami pionowymi 

i odkształceniami budynku. 

3. Obserwuje się na obszarze całego Ostrowa Tumskiego 

przemieszczenia pionowe. Ponadto występują znaczne różnice 

przemieszczeń pionowych między poszczególnymi obiektami 

(ok. 3 mm na rok) , a także w obrębie samych obiektów (1mm/1 rok - 

kościół NMP; 0,8mm / 3miesiące - katedra) . 


Rozdział II 

45

2.3. Wymiary cegieł 

W celu uzyskania uśrednionych wymiarów cegły wybrano losowo około 

dwustu spośród nich, na wysokości nie przekraczającej 2.0m ponad poziomem 

terenu. Następnie przeanalizowano je mierząc ich wymiary w płaszczyźnie 

muru. 

Rys. 2.9. Mur po stronie południowej 


Rozdział II 

46

Rys. 2.10. Mur po stronie północnej, wymiary w cm. 

Rys. 2.11. Mur po stronie południowo – wschodniej ,wymiary w cm. 


Rozdział II 

47

Przykładowe pomiary pokazano na rys.2.9., rys.2.10., rys.2.11. 

Przeprowadzono je za pomocą prostych przymiarów liniowych. Z licznej grupy 

wyników uzyskano wymiary cegły użytej do budowy kościoła NMP (tabela.2.1.). 

Uśrednione wymiary w płaszczyźnie muru [mm] 

cegła "wozówka" "główka" 

wysokość 87 87 

długość 259 125 

Tabela 2.1. Uśrednione wymiary cegieł 


Rozdział II 

48

ROZDZIAŁ III 

POMIARY GEODEZYJNE

3.1. Informacje wstępne 

Celem pomiarów geodezyjnych przy kościele NMP było sprawdzenie 

kształtu wybranych elementów świątyni oraz określenie współrzędnych 

charakterystycznych punktów obiektu. Posłużyły one później do zbudowania 

przestrzennego modelu obiektu. 

Sprowadzało się to do wyznaczenia zależności liniowych, kątowych 

i wysokościowych między różnymi punktami. Oparto się na punktach 

wyznaczonych i zastabilizowanych wcześniej [15], które przyjęto jako punkty 

odniesienia w dalszych szczegółowych pomiarach. W trakcie określania 

przestrzennego położenia punktów, zastosowano kilka podstawowych metod 

pomiarowych, tj. wcięcie kątowe w przód, przestrzenne wcięcie kątowe oraz 

wcięcie biegunowe. W celu określenia współrzędnych przestrzennych X, Y, Z 

nowych punktów, poza pomiarem długości, kątów poziomych i kątów 

pionowych, należało również wyznaczyć różnice wysokości między tymi 

punktami, a reperami o znanych wysokościach. Zostało to wykonane 

za pomocą technicznej niwelacji geometrycznej, a jako repery o znanych 

wysokościach, przyjęto punkty założone przez Zakład Geodezji Instytutu 

Inżynierii Lądowej Politechniki Poznańskiej. 

W czasie wykonywania pomiarów geodezyjnych wyniki obserwacji 

zapisywano w dziennikach polowych, na szkicach, a następnie opracowywano 

je w formie elektronicznej. Wyniki pomiarów były na bieżąco kontrolowane, 

błędy systematyczne wyeliminowano poprzez dobór odpowiedniej metody 

pomiaru. Dążono do tego, by odczyty były wykonywane kilkakrotnie, a gdy 

różnice między parami spostrzeżeń nie przekraczały wartości granicznych, 

obliczano z nich odpowiednie średnie. W niniejszej pracy jako dopuszczalne 

odchyłki przyjęto: dla pomiarów odległości ±3mm, dla kątów ±20 CC , ± 3mm dla 

niwelacji. Jeśli zdarzało się, iż różnica między dwoma odczytami przekraczała 

wartość dopuszczalną, element mierzono ponownie. 


Rozdział III 

50

3.2. Techniki i sposoby pomiarów – teoria i praktyka 

3.2.1. Pomiary liniowe 

Pomiary, nazwane w tej pracy liniowymi, rozumieć należy jako 

wyznaczenie odległości pomiędzy punktami w kościele i jego otoczeniu. 

Celem pomiarów jest określenie odległości poziomej lub ukośnej między 

dwoma punktami. Wykorzystać można tu było metody bezpośrednie 

i pośrednie oraz metody oparte na pomiarze dalmierzem elektronicznym. 

Sposób bezpośredni to pomiar taśmą lub innymi przymiarami 

w terenie, prowadzony wzdłuż odcinka między mierzonymi punktami. 

Natomiast metody pośrednie to pomiary, pozwalające na określenie długości 

danego odcinka na podstawie wyznaczenia innych wielkości liniowych. Osobną 

grupą metod są pomiary przyrządami dalmierczymi, czyli zdalnego pomiaru 

odległości. Każdą z użytych technik cechują odpowiednie błędy pomiaru. 

Wynikają one albo z błędów instrumentu albo z czynników zewnętrznych. 

Zdarzyć się może również, iż błąd powstał w wyniku źle przyjętych założeń 

geometrycznych. Aby zatem uzyskać poprawne wyniki końcowe nie wystarczy 

dobór odpowiedniej techniki lub instrumentu, lecz przede wszystkim należy 

poznać istotę metody oraz zapoznać się z charakterystyką mierzonego obiektu. 

Technika pomiarów wymaga przystosowania się do określonych zasad, 

których spełnienia wymagają geodezyjne instrukcje techniczne. Mamy tu 

na myśli odpowiedni przebieg pomiaru i obliczeń. Opracowanie wyników 

powinno zawierać korektę błędów oraz redukcję do poziomu. Zazwyczaj 

stosuje się przymiary w postaci taśmy mierniczej, domiarówki lub dalmierza 

elektronicznego. 


Rozdział III 

51

Przed przystąpieniem do zasadniczego pomiaru mierzoną linię 

przetycza się, to znaczy określa się pomocnicze miejsca pośrednie, które 

wyznaczą nam linię prostą między dwoma punktami. Podczas pomiarów 

wykonywanych przez autorów niniejszej pracy, zazwyczaj wystarczało użycie 

domiarówki, a ze względu na stosunkowo małe odległości nie było konieczne 

przetyczanie odcinków. Większość pomiarów ze względu na stosunkowo małe 

spadki uznano jako poziome, a jak to jest udowodnione poniżej, wpływ 

poprawek pomięto. 

- Najdłuższy z pomiarów liniowych w kościele L≈16.00 [m] 

- Współczynnik rozszerzalności termicznej stali λ=11,5 ·10 -6 [m/˚C] 

Poprawka komparacyjna : 

∆ L k = k ⋅n 

gdzie: 

n – liczba przyłożeń przymiaru 

k – błąd przymiaru 

Poprawkę komparacyjną (porównawczą) pominięto ze względu 

na jednostkową liczbę przyłożeń oraz ze względu na zastosowanie domiarówki, 

a nie taśmy. 

Poprawka termiczna : 

∆ Lt 

= (tp 

− to 

) ⋅ λ ⋅ L 

−6 

∆Lt = (15 − 20) ⋅11.5 

⋅10 

⋅16.0 

= 0.00092[m] 

- co stanowi niecały 1 mm podczas pomiaru 16 metrowego 

odcinka w temperaturze 15˚C. Co za tym idzie, poprawki te pominięto 

ze względu na mały wpływ na wyniki podczas pomiarów. Większe 

znaczenie przy odczycie miało szacowanie długości na podziałce 

domiarówki. 


Rozdział III 

52

3.2.2. Pomiar kątów poziomych i pionowych 

Pomiar kątów był jednym z elementów wyznaczania współrzędnych 

punktów charakterystycznych obiektu. W tym konkretnym przypadku były 

to zewnętrzne, jak i wewnętrzne punkty kościoła NMP. Szczególnie te ostatnie, 

trudne w identyfikacji, sprawiły największy problem. Spowodowane to było dość 

dużym nachyleniem lunety do poziomu, podczas obserwacji elementów 

konstrukcji, położonych na znacznej wysokości (ponad 8 m), z niewielkiej 

odległości. Kąty pionowe są wtedy znaczne i dążą do prostego, a taki kąt jest 

trudny do pomierzenia, bez specjalnego okularu. 

Do pomiarów kątów poziomych i pionowych stosuje się głównie 

teodolity. W naszym przypadku, oprócz kątów niezbędne były także inne dane 

pomiarowe, dlatego też skorzystano z tachimetru. 

Błąd odczytu kierunku poziomego i kąta pionowego w tym instrumencie 

wynosił ±10 CC . Błędy odczytu, celowania i spoziomowania instrumentu 

są pomijalne w stosunku do błędów identyfikacji punktów wyznaczonych. 

Przyjmując dla naszych warunków błąd identyfikacji punktu rzędu ±5mm 

przy przeciętnej odległości rzędu 10 m otrzymuje się błąd kierunku: 

5mm 

m = 

10m 

636620 

CC 318 

CC 

α = ⋅ 

. 

3.2.3. Pomiary wysokościowe – niwelacja 

Niwelacja punktów jest to pomiar różnicy wysokości pomiędzy nimi, 

w określonym układzie odniesienia. Zdarza się bardzo często, iż na podstawie 

różnicy wysokości określa się tak zwaną wysokość bezwzględną. Wysokość 

ta to wyniesienie punktów nad powierzchnią geoidy, potocznie zwana 

wysokością nad poziomem morza. Mierzona jest ona wzdłuż linii pionowych, 


Rozdział III 

53

przechodzących przez te punkty. Jeśli wysokość znajduje się ponad poziomem 

morza to mówimy o wysokościach dodatnich, a jeśli znajduje się poniżej to 

mówimy o wysokościach ujemnych. W Polsce za poziom zerowy przyjęto 

średni poziom morza w Kronsztadzie. W tym opracowaniu posługiwano się 

wysokościami względnymi, zdając sobie oczywiście sprawę, iż nie są to 

wysokości „prawdziwe”. Odnosiliśmy nasze pomiary i współrzędne punktów do 

lokalnego układu współrzędnych prostokątnych i lokalnego układu 

wysokościowego. 

Wysokość dowolnego punktu w wyniku niwelacji określa się wg wzoru: 

HB 

= , oznaczenia jak na rysunku nr 3.1 

HA 

+ ∆hAB 

Rys. 3.1. Niwelacja terenu 

Jeżeli punkt B jest położony wyżej niż punkt A, różnica wysokości ∆ hAB 

jest dodatnia, a teren wznosi się ku górze, natomiast jeżeli punkt B jest 

położony niżej, to wysokość jest ujemna, co oznacza, że teren opada. 


Rozdział III 

54

Wyróżnić możemy trzy podstawowe, metody pomiaru różnicy wysokości: 

a. Precyzyjna niwelacja geometryczna. Polega ona na bezpośrednim 

pomiarze różnic wysokości, za pomocą najdokładniejszego sprzętu. 

Błąd to ok. 1 do 2 mm / km. 

b. Techniczna niwelacja geometryczna, którą wykonujemy instrumentami 

o niższej dokładności. Błąd wynosi ok. 4 do 20 mm / km. 

c. Niwelacja trygonometryczna, która jest metodą bazującą na pomiarze 

kąta pionowego i zmierzonej lub wyliczonej odległości. 

W niniejszej pracy zdecydowano się na niwelację geometryczną, 

na przykład przy pomiarze punktów osnowy poziomej. Niwelację 

trygonometryczną, uzupełnioną metodą biegunową stosowano, dla pomiaru 

punktów charakterystycznych kościoła (tachimetria). 

Niwelacja geometryczna (rys. 3.1.) polega na odnalezieniu różnicy 

wysokości między dwoma punktami A i B, poprzez wytyczenie płaszczyzny 

poziomej i odmierzeniu od niej pionowych odcinków a i b, do punktów A i B. 

Zatem oczywistym jest, że różnica wysokości będzie wynosić ∆ h AB = a − b . 

Do wyznaczenia płaszczyzny poziomej posłuży nam niwelator, 

a do zmierzenia odcinków a i b łata niwelacyjna z podziałką centymetrową. 

Jeżeli wyznaczymy wysokość punktu B, na podstawie znanej wysokości punktu 

A i zmierzonej różnicy wysokości ∆ hAB 

, to łatę ustawioną na punkcie A 

nazwać możemy łatą „wstecz”, a w punkcie B łatą „w przód”. 

Ważnym jest ustalenie, jakie mogą być konsekwencje błędów, 

niezależnych od spoziomowania instrumentu. I tak, błąd odczytu zależy 

od dokładności oszacowania go na łacie oraz od dokładności z jaką możemy 

spoziomować libellę. Po przyjęciu zdolności rozdzielczej oka, równej 60”, błąd 

oszacowania odczytu to: 

m C = 60" / G , gdzie G to powiększenie lunety (G = 20) 

zatem, m C = 60" / 20 = 3" 


Rozdział III 

55

Z kolei błąd poziomowania libelli wynosi ok. 0,1 działki libelli, co przy 

przewadze libelli 30” daje m p =3” . Łącząc więc błąd poziomowania i odczytu 

otrzymamy: 

m 

PC 

= 

3 

2 

+ 3 

2 

≈ 4" 

Widać stąd wyraźnie, że odległość z której odcinek 1 mm widziany jest 

pod kątem 4”, wyniesie : d = ρ " ⋅1mm 

/ 4" ≈ 50m 

, co oznacza, że maksymalną 

odległością, dla której odczyty z łat są poprawne, jest 50 m do instrumentu. 

Dla niwelacji ze środka będzie to odpowiednio 50 m wstecz i 50 m w przód, 

czyli 100 m między punktami. W pomiarach wykonanych na potrzeby niniejszej 

pracy nie przekroczono tej odległości. 

W tym opracowaniu spotykamy się najczęściej z niwelacją całego ciągu 

punktów (rys. 3.2). Zadaniem może być określenie różnicy wysokości, między 

skrajnymi punktami, w celu wyznaczenia wysokości punktu końcowego, 

ale zazwyczaj będzie to wyznaczenie wysokości punktów pośrednich. 

Wygodne jest stosowanie ciągów zamkniętych, gdzie oczywisty jest warunek: 

∑ ∆ h = 0 , 

Rys. 3.2. Ciąg niwelacyjny-schemat. 

Jest to wartość teoretyczna, a odstępstwo od tego warunku, czyli tzw. 

odchyłka zamknięcia ciągu, np. dla osnowy pomiarowej, nie powinna być 

większa niż: 


Rozdział III 

56

fH. 

dop 

= 20mm ⋅ L , 

gdzie L – długość ciągu w km . 

3.2.4. Tachimetryczna metoda pomiarów sytuacyjno – wysokościowych. 

Metoda ta polega na biegunowym pomiarze położenia szczegółów 

terenowych, połączonym z pomiarem wysokości metodą niwelacji 

trygonometrycznej. Zakres jej stosowania jest uzależniony od zastosowanego 

urządzenia dalmierczego. Sposób pomiaru odległości rzutuje na technikę 

pomiaru. Wyróżniamy zatem tachimetry kreskowe, diagramowe oraz 

elektroniczne. Opis tachimetrów pominięto, a zainteresowanych odsyłamy 

do literatury, np. [17]. 

Pomiar polega na : 

- określeniu numeru stanowiska, 

- pomiarze wysokości osi instrumentu ponad znakiem 

określającym punkt, 

- wyznaczeniu kierunków do dwóch sąsiednich punktów osnowy, 

- odczycie dla każdej pikiety kąta poziomego i pionowego, 

- pomiarze odległości 

Istotnym elementem, w trakcie pomiarów jest spoziomowanie 

i scentrowanie instrumentu. 

W pomiarach przeprowadzonych na cele niniejszej pracy scentrowanie 

wpływało dość znacznie na wyniki pomiarów. Dlatego też do ustawienia osi 

obrotu instrumentu nad punktem, używano pionu optycznego. Jest 

to najdokładniejsze z dostępnych obecnie scentrowań. Dokładność 

scentrowania za pomocą pionu optycznego wynosi 0.3 – 0.5 mm . Jednak takie 

dokładności były dość trudne do osiągnięcia podczas niektórych z pomiarów, 


Rozdział III 

57

ze względu na niedostateczne warunki optyczne (np. ciemne wnętrze kościoła). 

Warto też wspomnieć, że jakość tych scentrowań z pewnością była 

dokładniejsza, niż gdybyśmy zastosowali inny sposób, na przykład użycie 

pionu sznurkowego, gdzie dokładność scentrowania wynosi ok. 3 – 5 mm. 

W przypadku poziomowania instrumentu wpływ błędu libelli, rzutujący 

na pomiar kierunku poziomego, można wyrazić prostą trygonometryczną 

zależnością: 

ε λ 

= λ ⋅ tg α ⋅ sinβ 

, 

gdzie: 

λ – odchylenie osi obrotu instrumentu od pionu z powodu błędu 

libelli, 

α – kąt pionowy, 

β – kąt między płaszczyzną celowania a kierunkiem wystąpienia 

odchylenia osi obrotu instrumentu. 

Z powyższego wynika, że wyeliminowanie wpływu błędu libelli, przez 

zastosowanie odpowiedniej metody pomiaru, jest niemożliwe. Błąd zależy 

od kąta β, a co za tym idzie najbardziej niebezpiecznymi są odchylenia osi 

obrotu instrumentu, które powinny być prostopadłe do kierunku celowania. 

Ma to istotne znaczenie w pomiarach kierunków do obiektów wysokich np. do 

takich jak kolumny kościoła. Wtedy błąd libelli równa się ε λ = λ = 30′ 

′ . 

Aczkolwiek błąd ten, jak wspomniano wcześniej, jest nieistotny w porównaniu 

z błędem identyfikacji punktu, wynoszącym kilka minut. 


Rozdział III 

58

3.3. Założenie osnowy. 

Przy rozbudowie osnowy dla naszych potrzeb wykorzystano już 

istniejącą i opisaną w pracy [17] osnowę, znajdującą się wewnątrz kościoła. Jej 

schemat przedstawiono na rysunku 3.19. 

Osnowę zewnętrzną założyliśmy, wychodząc z punktu „1”, wewnątrz 

kościoła, o współrzędnych [10.00,10.00]. Punkty założono w miejscach dla nas 

przydatnych i wygodnych, tak, aby budynek Psałterii i drzewa wokół kościoła 

nie przesłaniały nam obiektu. Punkty 10, 11, 12, 14, 18 zostały zastabilizowane 

poprzez drewniany palik z wbitym gwoździem. Gwóźdź osadzony w centralnym 

miejscu palika stanowił punkt osnowy. Palik natomiast wbijano do poziomu 

gruntu, aby uniknąć uszkodzenia punktu. 

Punkt 10 znajduje się dokładnie na przedłużeniu linii, którą tworzą ze 

sobą punkty 1 i 5. Linia ta jest równoległa do osi współrzędnych Y, zatem 

punkty te mają tą samą współrzędną X = 10,000. 

Poza punktami zastabilizowanymi w sposób opisany wyżej, posłużono 

się inną, bardziej prymitywną formą utrwalenia punktów, mianowicie wbijano 

np. między kostkę brukową sam gwóźdź bez drewnianego palika (punkty 13, 

16, 17, 18). Jednak taki sposób utrwalenia punktu nie wpływał z pewnością na 

wyniki pomiarów i ich dokładność. 

Po założeniu punktów osnowy zewnętrznej wykonano obserwacje kątów 

i odległości, za pomocą tachimetru elektronicznego na podstawie obliczono 

współrzędne X i Y. 

Schemat sieci poziomej przedstawia rysunek 3.3. 


Rozdział III 

59

Rys. 3.3. Osnowa wykorzystana przy większości pomiarów przy kościele NMP. 


Rozdział III 

60

3.4. Niwelacja punktów osnowy wewnątrz Kościoła. 

Pomiar polegał na zniwelowaniu punktów osnowy poziomej wewnątrz 

kościoła. Były to punkty tymczasowe, nie zastabilizowano ich w sposób trwały 

w posadzce. Punkty oznaczono jedynie nakreślając farbą lub czarnym 

pisakiem „krzyż celowniczy” i punkt w centrum krzyża. 

Spośród tych punktów wybrano siedem, z których przeprowadzono 

pomiar trzech współrzędnych X, Y, Z charakterystycznych punktów obiektu 

(sposób i przebieg tych działań opisano w części 3.11. niniejszej pracy). Zatem 

poza dwoma współrzędnymi X i Y, które można było otrzymać różnymi 

metodami, potrzebna była również trzecia współrzędna Z, najpierw stanowisk, 

a następnie samych punktów. 

Tą współrzędną wyznaczono metodą niwelacji geometrycznej. Aby 

wyniki pomiarów i obliczeń były łatwiejsze do weryfikacji, przyjęto jako punkt 

odniesienia, punkt nr 1, o współrzędnych X=10.000; Y=10.000 [m] i wysokości 

0.000 [m]. 

Pomiar przeprowadzono niwelatorem automatycznym, z dokładnością 

±1 mm. Odległość między instrumentem a punktami określono krokami, gdyż 

nie potrzebna była większa dokładność określenia długości osi celowej lunety. 

Zastosowano łatę aluminiową, teleskopową, którą przykładano bezpośrednio 

do punktów na posadzce. 

Badanie wysokości punktów przeprowadzono w ciągu zamkniętym, 

metodą niwelacji ze środka, przy najdłuższych celowych równych około 6.0 [m]. 

Pomiar wykonano w dwóch kierunkach: głównym i powrotnym. 

Rozpoczęto pomiar od stanowiska między punktami 1 i 5, a zakończono 

na stanowisku między punktami 5 i 2. A następnie, jak wspomniano, pomiar 

przeprowadzono w kierunku powrotnym. 

Szkic osnowy przedstawiono na rys. 3.4. 


Rozdział III 

61

Rys. 3.4 Osnowa pomiarowa punktów wewnątrz kościoła. 

Zapis pomiarów pokazano w załączniku w dzienniku pomiarów nr 1. 

Obliczoną współrzędną zestawiono z pozostałymi współrzędnymi 

w tablicy 3.1. Warto nadmienić, iż oś x jest to oś biegnąca równolegle do ściany 

północnej w kierunku ściany wschodniej (rys. 3.4.). 

Oznaczenie punktu Współrzędna X Współrzędna Y Współrzędna Z 

1 10,000 10,000 0,000 

2 10,000 22,484 -0,007 

3 19,559 22,484 +0,017 

4 19,559 10,001 -0,003 

5 10,000 16,238 -0,028 

6 16,800 10,001 -0,012 

7 16,800 22,484 +0,015 

Tablica 3.1 Wykaz współrzędnych punktów wewnątrz kościoła 


Rozdział III 

62

Jak widać środkowy punkt nr 5 jest położony niżej niż punkt nr 1 

o prawie 3 cm. Taka różnica wysokości na kilkunastu metrach długości celowej, 

w metodzie przestrzennego wcięcia w przód, dałaby znaczne błędy pomiaru 

współrzędnych punktów. Dlatego też zdecydowano, iż nie można potraktować 

całej posadzki jako płaszczyzny poziomej. 


Rozdział III 

63

3.5. Niwelacja punktów osnowy założonej 

na zewnątrz Kościoła NMP. 

Pomiar polegał na wyznaczeniu różnic wysokości pomiędzy punktami 

osnowy, założonej w celu wyznaczenia współrzędnych wybranych 

zewnętrznych punktów obiektu. 

Najpierw zniwelowano osnowę I, składającą się z trzech punktów 10, 

11, 12 i jednego nawiązania do punktu 5 we wnętrzu kościoła. Podobnie jak 

w pomiarach niwelacyjnych wewnątrz obiektu, tak i tutaj ustalano wysokości 

punktów przy pomocy niwelacji geometrycznej ze środka. Przez nawiązanie się 

do punktu 5 można było odnieść wszystkie wysokości do jednego poziomu, 

czyli do punktu 1, o współrzędnych (10.000 ; 10.000 ; 0.000). 

Warto wspomnieć, iż nawiązano się również do reperu znajdującego się 

na budynku Psałterii. Nawiązanie takie umożliwi, jeśli to będzie kiedyś 

konieczne, wyznaczenie wysokości bezwzględnych wszystkich wyznaczonych 

w kościele punktów. 

Wyznaczenie wysokości punktów nowej osnowy przeprowadzono 

w ciągu zamkniętym, z jednym „kierunkiem” na punkt 5. Pomiar wykonano 

w dwóch kierunkach: głównym i powrotnym. Rozpoczęto pomiar od stanowiska 

między punktami 5 i 10, wychodząc tym samym z kościoła na zewnątrz, 

a zakończono na stanowisku między punktami 11 i 10. Następnie pomiar 

przeprowadzono w kierunku powrotnym. 

Szkic osnowy (I) i kierunek głównego pomiaru przedstawiono na rys.3.5. 


Rozdział III 

64

Rys. 3.5 Osnowa pomiarowa (I) na zewnątrz kościoła. 


Osnowa II składała się z siedmiu punktów 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. 

Wyznaczenie wysokości punktów tej osnowy przeprowadzono również w ciągu 

zamkniętym. Punktem odniesienia był punkt 12, należący do osnowy (I). 

Rozpoczęto pomiar od stanowiska między punktami 12 i 14, a zakończono 

na stanowisku między punktami 12 i 15. Następnie niwelację przeprowadzono 

w kierunku powrotnym. 

Szkic osnowy(II) i kierunek głównego pomiaru przedstawiono na rys.3.6. 


Rozdział III 

65

Rys. 3.6. Osnowa pomiarowa (II) na zewnątrz kościoła. 


Natomiast obliczone współrzędne wysokościowe punktów osnowy 

zewnętrznej zestawiono z pozostałymi współrzędnymi w tablicy 3.2. 


Rozdział III 

66

Oznaczenie punktu Współrzędna X Współrzędna Y Współrzędna Z 

10 10,000 41,595 -0,343 

11 -29,782 48,785 +0,729 

12 -6,3778 58,317 +0,359 

13 41,339 1,324 -0,206 

14 28,468 61,280 +0,150 

15 9,353 -17,536 +0,004 

16 14,612 -14,889 +0,031 

17 -13,969 -20,217 -0,191 

18 46,224 13,624 -0,269 

Tablica 3.2 Wykaz współrzędnych punktów na zewnątrz kościoła ( II ) 

Szkice wszystkich trzech ciągów pokazano na rys 3.7. 

Rys. 3.7 Osnowa pomiarowa pokazana w całości 

kolor fioletowy osnowa we wnętrzu Kościoła 

kolor niebieski – osnowa na zewnątrz Kościoła (I) 

kolor czerwony– osnowa na zewnątrz Kościoła (II) 


Rozdział III 

67

3.6. Rzut poziomy kościoła NMP 

W pierwszej części pomiarów postanowiono stworzyć rzut kościoła. 

Ustalono również, że pomiarów dokonać trzeba na wysokości h=0,4 m 

(± 0,05 m) nad poziomem terenu. Wysokość jaką przyjęto wypada w połowie 

cokołu kościoła, czyli poszerzonej części muru. Schemat miejsca przekroju 

przedstawiono schematycznie na rys. 3.8. 

Przekrój poziomy 

Rys. 3.8. Rysunek schematyczny miejsca przekroju poziomego na wysokości +0,04m. 


Rozdział III 

68

Pomiarów dokonano korzystając z domiarówki, ponieważ małe 

odległości między badanymi elementami uniemożliwiły prace 

z taśmą mierniczą. Skorzystano z wyznaczonych wcześniej punktów osnowy 

i określono odległości do punktów na cokole. Określono także odległości 

pomiędzy samymi punktami cokołu i porównano je z wcześniej znanymi 

rysunkami i rzutami konstrukcji kościoła. Na tej podstawie powstał przekrój 

kościoła (zamieszczony w tej pracy przekrój na rys.3.9. nie posiada 

odpowiedniej skali, rzut wydrukowany w skali jest dostępny u autorów niniejszej 

pracy). 


Rozdział III 

69

Rys. 3.9 Rzut muru i kolumn na wysokości 0.4 m nad powierzchnią terenu (rzut_01.plt) 


Rozdział III 

70

Aby uszczegółowić wcześniejsze pomiary, zinwentaryzowano istotne 

detale konstrukcyjne wewnątrz kościoła. W tym celu rozpięto, pomiędzy 

poszczególnymi punktami, dwie tzw. „siatki odległości”, które pomogły 

w lokalizacji wzajemnego położenia punktów względem siebie (rys.3.10.). Aby 

lepiej można było uchwycić wzajemne relacje, zastosowano przesunięty układ 

współrzędnych, lecz nie miało to żadnego wpływu na dalsze obliczenia. 

Rys. 3.10. Schemat sieci odległości między punktami charakterystycznymi NMP (rzut_02AB.plt) 

Linia wykropkowana – „siatka odległości A” wyznaczona w [10] 

Linia przerywana – „siatka odległości B” wyznaczona w [10] 


Rozdział III 

71

3.7. Pomiar wychylenia ściany zachodniej od pionu. 

Celem pomiaru było wyznaczenie wychylenia ściany od pionu 

zachodniej kościoła NMP. Pomiar przeprowadzono na różnych wysokościach 

ściany dla każdej z czterech krawędzi. Cztery krawędzie (rys. 3.11) wystarczyły 

nam do opisania w interesujący nas sposób wychyleń ściany zachodniej. 

Rys. 3.11. Ściana zachodnia – badane krawędzie 


Rozdział III 

72

Rys. 3.12. Krawędzie ściany zachodniej z wychyleniami. 

W tym badaniu geodezyjnym użyto teodolitu elektronicznego, a pomiar 

przeprowadzono w dwóch seriach, przy czym odległość osi celowej lunety 

do muru określano na łatach niwelacyjnych. Łaty położono na ziemi 

prostopadle do ściany zachodniej, ułożono je w sposób umożliwiający 

wyznaczenie ewentualnych wychyleń w dwóch kierunkach. Pomiar polegał na 

rzutowaniu punktu na łatę niwelacyjną, poprzez płaszczyznę pionową 

utworzoną przez oś celową lunety. Badanie przeprowadzono dla punktów 

charakterystycznych ściany, dobranych tak, aby łatwo było je zlokalizować 

w drugiej serii spostrzeżeń. Warto jeszcze nadmienić, iż punkty o numerach 1 

nie są punktami o odczycie na łacie równym 0.000, gdyż jak wspomniano 

wcześniej łata nie była dostawiona do ściany stopką prostopadle do muru, 

a jedynie położona wzdłuż sąsiedniej prostopadłej ściany. Punkty jednak te, dla 

każdej z czterech krawędzi, potraktowano jako najniższe i od nich liczono 

wychylenie pozostałych punktów, jako reprezentacje wychylenia ściany. Wyniki 


Rozdział III 

73

obliczeń, wielkości wychyleń dla konkretnych punktów, na krawędziach 1, 2, 3, 

4 przedstawiono w poniższej tabeli 3.3 oraz na rys. 3.13. 

Wychylenie 

Wychylenie 

Wychylenie 

Wychylenie 

punktów nr 1 

punktów nr 2 

punktów nr 3 

punktów nr 4 

Krawędź 1 0,000 +0,078 +0,256 +0,349 

Krawędź 2 0,000 +0,095 +0,259 +0,502 

Krawędź 3 0,000 +0,080 +0,226 +0,402 

Krawędź 4 0,000 +0,147 +0,242 +0,302 

Tab. 3.3. Wychylenie badanych krawędzi ściany zachodniej. 

Pomiar sporządzono dwa razy , co potwierdza wiarygodność wyników. 

Błąd instrumentu wynosił ±1 mm oraz błąd oszacowania wskazań na łacie, 

wynosił, przy takich celowych, ±1 mm. Pozostaje jeszcze błąd identyfikacji 

punktu przy dwóch spostrzeżeniach lunety, który można przyjąć ±3 mm. 

Całkowity błąd dla tego pomiaru wynosi ±5 mm. 

Analizując wyniki warto zauważyć dwie prawidłowości. Pierwsza to taka, 

że ściana jest znacznie wychylona w swej górnej części od pionu, gdyż 

w najwyższym badanym punkcie odnotowano wychylenie ok. 50 cm dla 

krawędzi nr 2. Druga to taka, że cała ściana wychyla się w podobny sposób, 

w kierunku zachodnim, wybrzuszając się bardziej w miejscu zmiany grubości 

ściany, tzn. w pobliżu krawędzi 2 i 3, gdzie odnotowano największe wychylenia 

od pionu. 


Rozdział III 

74

0,502m 

0,402m 

4 

17,00m 

0,302m 

0,226m 0,242m 

4 

4,400 

3 

0,260m 

3 

17,00m 

4 

3 

0,349m 

3 

2 

1 

0,257m 

0,079m 

4 

0,147m 

4,800 5,600 

4,80m 

0,080m 

2 

2 

0,096m 

2 

5,60m 

1 1 1 

1,100 

1,10m 

4,80m 

5,60m 

1,10m 

4,40m 

4,80m 

5,60m 

1,10m 

Rys.3.13. Wychylenie krawędzi ściany zachodniej 


Rozdział III 

75

3.8. Punkty znajdujące się na cokole 

zewnętrznym kościoła 

Pomiar polegał na zniwelowaniu poziomu cokołu, przyjmując punkt 

pomiarowy na każdej z lizen zewnętrznych. 

Badanie przeprowadzono bardzo podobnie jak poprzednie niwelacje, 

z tą różnicą, iż łatę przykładano bezpośrednio na ceglany cokół, a nie 

na zastabilizowany punkt. Zdecydowano, iż lepszym rozwiązaniem będzie 

ustawienie łaty z prawej strony punktu, w kierunku głównym i z lewej strony 

punktu, w kierunku powrotnym. Uśrednione spostrzeżenia dały nam ostateczne 

wyniki badania. Kąt poziomy między obserwowanymi punktami mieścił się 

w granicach 60˚ do 100˚, celowe w tym zadaniu starano się zachować bardzo 

małe. Nie przekraczały one 2,5 m, co niewątpliwie poprawiało dokładność 

odczytu oraz oszacowanie milimetrów na łacie niwelacyjnej. Schemat pomiaru 

pokazano na rys.3.14. 


Rozdział III 

76

Rys. 3.14 Schemat pomiaru wysokości cokołu kościoła. 

Wyznaczenie wysokości punktów przeprowadzono w ciągu zamkniętym. 

Rozpoczęto pomiar od stanowiska między punktami A i B, a zakończono na 

stanowisku między punktami L i M, wchodząc tym samym do kościoła. Warto 

zauważyć, że rzędna punktu M została przyjęta jako 0,000, jednak 

w rzeczywistości leży ona na około –0,007 m poniżej tego poziomu (podobnie 

jak punkt 2 znajdujący się w bardzo bliskiej jego odległości). Ponadto 

pomierzone punkty K, L nie są punktami cokołów filarów, gdyż znajdowały się 

one na ścianie zachodniej. Były to punkty pomocnicze, wyznaczone po to, 

by zamknąć ciąg niwelacyjny. 

Szkic ciągu i położenia punktów przedstawiono na rys.3.15. 


Rozdział III 

77

Rys. 3.15. Badane punkty na cokole Kościoła. 

Zapis pomiarów pokazano w załączniku w dzienniku pomiarów nr 4 

Korzystając z wyników niwelacji posadzki i cokołu kościoła, 

prowadzonych w ostatnich latach przez Zakład Geodezji Instytutu Inżynierii 

Lądowej [16] oraz na podstawie pomiarów opisanych powyżej, można 

wyznaczyć parametry zmiany położenia tj. zmiany nachylenia kościoła i jego 

kierunku. 


Rozdział III 

78

Niwelacja cokołu 

w 1999r. 

Niwelacja posadzki 

w 2003r. 

Parametry z lat 

1999 - 2003 

ε = 4,791 mm/m ε = 2,222 mm/m ∆ε = 0,0446 mm/m 

φ = 198,4 g φ = 231,9 g φ = 232 g 

Tabela 3.7. Parametry zmiany położenia i odkształceń. 

Stwierdzono stopniowe narastanie przemieszczeń obiektu, i tak, wartość 

nachylenia wzrosła w ciągu 4 lat (1999 – 2003r. ) o ∆ε = 0,0446 mm/m. W roku 

1999 stwierdzono nachylenie cokołu równe 4,791 mm/m. Z tego wynika, 

że punkty na cokole osiadają od około 

4,791mm / m 

0,0446mm / m 

Natomiast posadzka kościoła ulega przemieszczeniom od około: 

⋅ 4lata = 430lat 

. 

2,222mm / m 

0,0446mm / m 

⋅ 4lata = 200lat. 

Stąd przypuszczenie, iż prawdopodobnie posadzka mogła być 

wymieniana podczas przeniesienia prochów biskupów w 1784 roku lub 

podczas generalnego remontu w 1841 roku. 

Zmiana parametru nachylenia φ wskazuje na fakt, że bryła kościoła 

zmienia nieznacznie kierunek przemieszczeń z północno-zachodniego 

na zachodni. 

Badania przemieszczeń kościoła są kontynuowane przez Zakład 

Geodezji Instytutu Inżynierii Lądowej i powyższe wnioski mogą ulec weryfikacji. 


Rozdział III 

79

3.9. Pomiar grubości ściany 

Celem pomiaru było wyznaczenie grubości ściany. Przeprowadzono go 

w sześciu miejscach na dwóch wysokościach ściany. Badanie grubości na 

dwóch poziomach podyktowane było faktem, iż od strony zewnętrznej kościół 

posiada wyraźny cokół. Ma on wysokość około 40 cm, licząc od poziomu 

posadzki w kościole. Natomiast od strony wewnętrznej kościoła nie ma skoku 

grubości ściany (nie ma cokołu) na interesującej nas wysokości. 

Punkty przyłożenia łat do muru zostały tak dobrane, by ukazać 

przybliżone grubości murów dla całego kościoła. Potwierdzeniem wyników 

pomiarów geodezyjnych, np. dla ściany przeciwległej, mogłoby być jedynie 

przewiercenie ściany w miejscu spoin. Jednak, ten sposób weryfikacji, nie 

wydaje się być koniecznym. Ostatecznie, do analizy i obliczeń numerycznych 

przyjęto uśrednione grubości murów. I takie też wartości przyjęto jako 

prawdziwe dla wszystkich ścian w całym kościele. 

Warto jednak zauważyć, że w miejscach najcieńszych ścian (np. pod 

otworami okiennymi, w miejscach, gdzie znajdują się obecnie wnęki 

z malowidłami naściennymi), błąd takiego przybliżenia może okazać się 

szczególnie niebezpieczny. 

Pomiar przeprowadzono teodolitem elektronicznym, odległość osi 

celowej lunety do muru określono na łatach niwelacyjnych, a odległości na linii 

pomocniczej odmierzono domiarówką. 

Badanie grubości ściany przeprowadzono opierając się na założeniu, 

że wymiar liniowy przekroju muru uzyskamy jako dopełnienie odległości między 

pionowymi płaszczyznami, nakreślonymi przez oś celową lunety, 

poprowadzonymi równolegle do płaszczyzny ściany. Instrument stojąc 

na stanowisku pierwszym zakreśla płaszczyznę pionową wewnątrz kościoła, 

którą to płaszczyznę przebijają łaty dostawione do muru w konkretnych 

punktach. W ten sposób można na łatach niwelacyjnych określić odległość od 

muru do płaszczyzny pionowej. Po zakończeniu odczytów na pierwszym 

stanowisku dokładnie odłożono kąt 90˚ (100 g ) i w odległości 4.5 m wyznaczono 


Rozdział III 

80

punkt będący nowym, drugim stanowiskiem pomiarowym. Odległość 4.5 m jest 

odległością dowolną i nie wpływa ona na wyniki pomiaru, a umożliwiła nam 

jedynie odpowiednio łatwy dostęp do ściany i punktów przyłożenia łaty. 

Czynność powtarzamy na stanowisku drugim przykładając łatę na dwóch 

wysokościach tzn. powyżej i poniżej granicy cokołu. Miejsca przyłożenia łaty 

zostały dokładnie określone poprzez odmierzenie ich domiarówką, 

rozpoczynając od punktu najdalszego, do znajdującego się najbliżej 

instrumentu. Łaty przykładano prostopadle do linii wyznaczonych przez 

pionowe płaszczyzny stworzone przez instrument, a nie do muru. Schemat 

pomiaru przedstawiono na rys.3.16. 

Rys. 3.16. Schemat metoda pomiaru grubości ściany (opis w tekście). 

Grubość ściany obliczono z danych : 

- Odległość między pionowymi płaszczyznami nakreślonymi przez 

instrument: 4.500 m. 

- Długość odcinków prostych reprezentujących płaszczyzny pionowe: 

9.320 m. 


Rozdział III 

81

- Odczyty na łacie, np. w odległości 0.900 m, od najdalszego 

wyznaczonego punktu prostej na posadzce kościoła 

(tzn. w odległości 9.320 – 0.900 = 8.420 m od 

instrumentu) , wynosił : 

wewnątrz kościoła: 0811, co odpowiada L w =0.811 m 

na zewnątrz kościoła (H

Numer 

pomiaru 

[ - ] 

Odległość 

między 

pionowymi 

płaszczyznami. 

[ m ] 

Odległość pozioma, 

równoległa do 

płaszczyzny 

pionowej 

[ m ] 

Odczyt na 

łacie 

wewnątrz 

kościoła 

[ - ] 

Odczyt na 

łacie na 

zewnątrz 

kościoła 

[ - ] 

Grubość ściany 

(obliczona na 

podstawie 

kolumny 4,5,2) 

[ m ] 

1 2 3 4 5 6 

1 4,500 0,900 0811 2212 1,477 

2 4,500 1,85 1416 2310 0,774 

3 4,500 3,70 1767 2198 0,535 

4 4,500 5,50 1616 2108 0,776 

5 4,500 6,70 1121 1824 1,555 

6 4,500 7,60 1718 1900 0,882 

Tabela 3.9. Wyniki dla odczytu na zewnątrz Kościoła NMP na wysokości H > 0.4 m 

Wyniki w postaci rzutu z wymiarami liniowymi przedstawiono na 

rys.3.17., dla wysokości mniejszej niż 0.4 m i rys.3.18. dla wysokości większej 

niż 0.4 m . 


Rozdział III 

83

Rys. 3.17. Grubość muru na wysokości H < 0.4 m 


Rozdział III 

84

Rys. 3.18. Grubość muru na wysokości H > 0.4 m 

Błąd pomiaru szacować można na podstawie dokładności wytyczenia 

dwóch równoległych płaszczyzn, błędu odczytu oraz nie prostopadłości 

przyłożenia łaty do muru. 

Grubości ściany wyznaczono z dokładnością na ±5 mm. 


Rozdział III 

85

3.10. „Wcięcie v1.07” – uproszczenie powtarzalnych 

obliczeń. 

W chwili gdy przystąpiliśmy do pomiarów w terenie tzw. chmur punktów 

konstrukcji, już w trakcie pracy zdaliśmy sobie sprawę, że obliczanie żądanych 

wartości (współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej) będzie powtarzalnym 

etapem naszej pracy i zajmie mnóstwo czasu. Stwierdziliśmy, iż niewątpliwie 

cennym, dla nas narzędziem, okazałby się program, który samoczynnie 

wykonuje konwersję danych na współrzędne punktów i dodatkowo 

bezpośrednio rysuje je w programie typu CAD (AutoCAD 2000). Nie udało nam 

się znaleźć wersji takiego programu w tym celu postanowiliśmy sami go 

stworzyć. 

W programie, napisanym w języku C++, wykorzystaliśmy wzory 

wg formuły Hausbrandta [15]. Do uzyskania konkretnego położenia, każdego 

z kilkuset żądanych punktów konstrukcji budowli, potrzebowaliśmy czternastu 

danych pomiarowych (w tym jednaj nadliczbowej). 


Rozdział III 

86

Rys.3.19. Układ odniesienia wraz z punktami osnowy.[17] 

Krokiem kolejnym byłoby wprowadzenie punktów w programie 

graficznym – AutoCAD. Dla jednego tylko punktu należałoby wprowadzić trzy 

jego współrzędne, po pięć cyfr każda. 

Skrócenie tej żmudnej procedury, znacznie ułatwił program 

„Wcięcie v1.07”. Wykorzystuje on wspomniane wzory Hausbrandta. 

Korzystając z pliku wejściowego, w którym są podane dane z pomiarów, 

uzyskujemy wynikowy plik tekstowy ze współrzędnymi punktów. 

W kolejnym kroku, program AutoCAD, na podstawie danych z pliku, rysuje 


Rozdział III 

87

punkty. Program ułatwił w znacznym stopniu zadanie oraz zaoszczędził wielu 

błędów związanych z ręczną analizą danych. Szczegóły działania programu 

oraz algorytm, na którym opiera się obliczanie współrzędnych punktu, 

zamieszczono w załączniku. Program jest obecnie dostępny w Zakładzie 

Geodezji Inżynierii Lądowej Politechniki Poznańskiej. 

Rys. 3.20. Program Wcięcie v1.07 


Rozdział III 

88

3.11. Charakterystyczne punkty konstrukcji. 

Przy budowie modelu przestrzennego konstrukcji kościoła, należało 

uwzględnić punkty zlokalizowane na różnych wysokościach muru. Wiele z nich 

znajdowało się poza zasięgiem tradycyjnych przyrządów pomiarowych. W celu 

możliwie wysokiej dokładności pomiarów zastosowano metodę przestrzennego 

wcięcia kątowego wg algorytmu Hausbrandta. W obliczeniach wparliśmy się 

wspomnianym już wcześniej programem: Wcięcie v1.07. Każdy punkt mierzony 

był z dwóch stanowisk, wg osnowy pomiarowej rys.3.7. i rys.3.19, 

charakteryzowało go 14 parametrów (np. wysokość instrumentów, współrzędne 

stanowisk, kąty poziome na stanowiska, kąty poziome i pionowe na 

wyznaczany punkt), które zostały przeliczone na trzy współrzędne 

przestrzenne X,Y,Z. 

Pomiary wg powyższej metody podzielono na 3 części: 

- punkty wewnątrz kościoła, na sklepieniu oraz kolumnach, w oparciu 

o wcześniejsze pomiary dr hab. inż. M. Wójcika wg operatu 12-245/B/98 

Tab. 3.2 oraz Tab. 3.3. 

- dodatkowe punkty charakterystyczne wewnątrz kościoła (w liczbie około 

100 punktów) 

- punkty na zewnątrz kościoła ( w liczbie około 193 punktów) 

Pomiar polegał na odczycie spostrzeżeń (z dwóch różnych stanowisk) 

w postaci: 

a) kąta poziomego na stanowisko drugie, 

b) wysokości instrumentu (osi celowej instrumentu), 

c) kąta poziomego i pionowego na dany punkt, 

oraz ustaleniu współrzędnych punktu na którym stał instrument. 

Przykładowe dane z pomiarów umieszczono w tabeli 3.10 oraz w tabeli 3.11. 


Rozdział III 

89

numer 

punktu 

Pomiar z punktu pierwszego - 12 

Współrzędna 

X punktu A 


Y punktu A 


Z punktu A 

Wysokość 

instrumentu 

A [m] 

Kąt 

poziomy 

na punkt 

B [grad] 

Kąt 

poziomy 

na P 

[grad] 

Kąt 

pionowy 

na P 

[grad] 

1 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 32.7575 101.9865 

2 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 32.2755 81.1110 

3 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 35.1345 101.9575 

4 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 34.7935 81.2335 

5 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 32.8045 83.0815 

6 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 32.8580 84.7150 

7 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 33.0920 94.3500 

8 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 33.1645 97.0220 

9 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 42.8825 101.7140 

10 -6.3777 58.3173 0.3590 1.5290 116.4020 42.3790 82.4165 

Tabela 3.10. Pomiar ze stanowiska pierwszego. 

numer 

punktu 

Pomiar z punktu drugiego - 14 


X punktu B 


Y punktu B 


Z punktu B 

Wysokość 

instrumentu 

B [m] 

Kąt 

poziomy 

na punkt 

A [grad] 

Kąt 

poziomy 

na P 

[grad] 

Kąt 

pionowy 

na P 

[grad] 

1 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 350.7170 101.4065 

2 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 350.4250 85.0825 

3 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 352.5210 101.4130 

4 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 352.1815 83.7285 

5 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 350.8335 85.6610 

6 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 350.8435 87.0350 

7 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 351.0395 95.0315 

8 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 351.0850 97.2530 

9 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 359.4885 101.3735 

10 28.4684 61.2800 0.1500 1.5480 291.7445 359.1710 82.9970 

Tabela 3.11. Pomiar ze stanowiska drugiego. 


Rozdział III 

90

Powyższe dane pozwalały na uzyskanie dokładnego położenia punktów 

w przestrzeni, przyjmując początek układu w punkcie „O” (na zewnątrz 

kościoła). Wyniki dziesięciu przykładowych pomiarów przedstawiono w tabeli 

3.12. 

numer 

punktu 

X [m] Y [m] Z [m] 

1 5.570 24.727 2.826 

2 5.302 24.674 12.407 

3 6.996 24.742 2.819 

4 6.767 24.798 12.805 

5 5.621 24.661 11.601 

6 5.645 24.685 10.618 

7 1.255 37.209 4.212 

8 5.831 24.675 3.560 

9 12.038 24.670 2.742 

10 11.761 24.544 12.747 

Tabela 3.12. Wykaz współrzędnych przykładowych 10 punktów. 

W rezultacie otrzymano „chmurę punktów”, będących reprezentacją 

charakterystycznych miejsc i elementów kościoła NMP. Jak wspomniano 

wcześniej efekty pomiarów i obliczeń można było przetransportować w pliku do 

programu AutoCAD (jedno z ujęć tych punktów na tle rzutu kościoła na 

poziomie 0,4 m pokazano na rysunku 3.21). 


Rozdział III 

91

Rys. 3.21. Widok punktów charakterystycznych kościoła. 

Błąd średni określenia współrzędnych punktów charakterystycznych. 

Na ostateczny błąd średni wyznaczenia współrzędnych punktów 

charakterystycznych obiektu składają się w szczególności: 

- błędy średnie wyznaczenia współrzędnych punktów osnowy 

- błędy średnie ustalenia osi głównej instrumentu w pionie 

- błąd średni identyfikacji badanego punktu. 

Na błąd osnowy poziomej wpływa głównie błąd instrumentu i oszacowania, 

który wynosił : 

- dla osnowy wewnętrznej m x = m y = ±3 mm 

m 

I 

p 

= 

m 

2 

X 

+ m 

2 

Y 

= 4mm 

- dla osnowy zewnętrznej (ze względu na sposób 

zastabilizowania) m x = m y = ±10 mm. 

m 

I 

p 

= 

m 

2 

X 

+ m 

2 

Y 

= 15mm 

Punkty charakterystyczne mierzono tachimetrem, dla którego błąd wynosi 

30’’ na długości 10m, co daje m ’’ p = ±2 mm. Jednak zdecydowanie ważniejsze 

są w tym przypadku błędy identyfikacji, które wynoszą ±10 mm. 


Rozdział III 

92

Ostateczny błąd wynosi: 

WEW 2 2 2 

mp = 4 + 2 + 10 = ± 11mm 

I 2 II 2 2 

m p = m P + m P + mident. 

ZEW 2 2 2 

mp = 15 + 2 + 10 = ± 18 mm 

gdzie: 

WEW 

m p 

błąd wyznaczenia współrzędnej punktu wewnątrz kościoła 

ZEW 

m p 

błąd wyznaczenia współrzędnej punktu na zewnątrz 

kościoła 

Współrzędne charakterystycznych punktów konstrukcji, wyznaczone z taką 

dokładnością, są wystarczające do zbudowania modelu numerycznego 

kościoła NMP. 


Rozdział III 

93

3.12. Inwentaryzacja kolumny nr 6 

Kolejnym etapem po zbudowaniu modelu przestrzennego murów 

kościoła, było wyznaczenie charakterystycznych punktów na kolumnie 

o największym przemieszczeniu i skręceniu. Przedmiotem pomiarów była 

kolumna nr 6, pomierzona tą samą metodą, co punkty charakterystyczne 

kościoła (rozdział 3.9.). 

Badania rozpoczęto od założenia bazy pomiarowej w formie pięciokąta, 

którego dwa wierzchołki, znajdowały się w punkcie osnowy wewnętrznej, 

a pozostałe trzy były do niej dowiązane. Schemat układu pokazano na rys. 

3.22. 

Rys. 3.22. Baza pomiarowa. 


Rozdział III 

94

Pomiar bazy i wcięcia przestrzenne wykonano za pomocą tachimetru 

elektronicznego. Wybrano 9 poziomów, co około 1 metr, od wysokości 0,3 m 

(poziom cokołu), aż do wysokości 8,3 m (głowica kolumny). Poziomy określono 

za pomocą łaty przystawionej do kolumny, a identyfikacja punktu na krawędzi 

ułatwiona była przez plamkę dalmierza laserowego, prowadzoną od wysokości 

na łacie. Ze stanowisk P i R wykonano wcięcia przestrzenne do punktów, 

znajdujących się na czterech krawędziach kolumny 6.1, 6.2, 6.3, 6.6. 

Następnie ze stanowisk S i T zmierzono krawędzie 6.4, 6.5 i 6.6, na tych 

samych poziomach. Rozmieszczenie punktów przedstawia rysunek 3.23. 

Rys. 3.23. Rozmieszczenie mierzonych punktów. 

Na podstawie pomiarów obliczono współrzędne X, Y, Z. punktów 

kolumny. Ich wykaz zawierają tabele zamieszczone w załączniku. 


Rozdział III 

95

Ponieważ plamka dalmierza prowadzona była po spoinie, wyznaczone 

punkty na krawędziach nie znajdowały się na tej samej wysokości, czyli miały 

różną współrzędną Z. Aby uzyskać punkty na tych samych poziomach 

wyznaczono współrzędne X i Y dla tej samej Z, korzystając z równania prostej 

przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni. Otrzymano 9 przekrojów 

poziomych kolumny (rys.3.24). 

Krawędź 6.1 Krawędź 6.2 Krawędź 6.3 

Poziom 

[m] 

x y x y x y 

0,3 17,905 12,913 17,998 12,360 18,541 11,903 

1,3 17,927 12,915 18,010 12,348 18,560 11,885 

2,3 17,950 12,914 18,037 12,341 18,583 11,866 

3,3 17,980 12,911 18,058 12,331 18,608 11,840 

4,3 18,012 12,904 18,079 12,328 18,622 11,809 

5,3 18,030 12,890 18,094 12,332 18,651 11,796 

6,3 18,050 12,891 18,117 12,315 18,685 11,778 

7,3 18,065 12,886 18,123 12,304 18,682 11,788 

8,3 18,068 12,875 18,125 12,294 18,689 11,783 

Tabela 3.13. Współrzędne obliczonych punktów na krawędziach 6.1, 6.2, 6.3. 

Krawędź 6.4 Krawędź 6.5 Krawędź 6.6 

Poziom 

[m] 

x y x y x y 

0,3 19,204 12,580 19,091 13,146 18,349 13,596 

1,3 19,226 12,565 19,123 13,131 18,412 13,593 

2,3 19,248 12,548 19,153 13,115 18,458 13,589 

3,3 19,279 12,520 19,177 13,095 18,503 13,585 

4,3 19,307 12,511 19,213 13,065 18,538 13,573 

5,3 19,335 12,493 19,249 13,056 18,581 13,575 

6,3 19,353 12,475 19,284 13,052 18,609 13,567 

7,3 19,336 12,453 19,272 13,020 18,633 13,536 

8,3 19,352 12,448 19,268 13,988 18,661 13,525 

Tabela 3.14. Współrzędne obliczonych punktów na krawędziach 6.4, 6.5, 6.6. 


Rozdział III 

96

Rys. 3.24. Widok z góry na 9 przekrojów kolumny nr 6. 

Największym przemieszczeniom i skręceniu uległa krawędź 6.6. 

Aby wyznaczyć odkształcenia bryły na metr wyznaczono środki ciężkości dla 

każdego z przekrojów kolumny, a ich odchylenia po kierunku osi X i Y 

pokazano na rys. 3.25. 


Rozdział III 

97

Poziom 

[m] 

X sc [m] Y sc [m] ∆X [m] ∆Y [m] ∆P [m] ε z [º] φ [º] 

0,3 18,533 12,756 

0,024 0,013 0,027 28,4429 1,5639 

1,3 18,557 12,743 

0,027 0,010 0,029 20,3231 1,6497 

2,3 18,584 12,733 

0,028 0,018 0,033 32,7352 1,9072 

3,3 18,612 12,715 

0,027 0,019 0,033 35,1342 1,8916 

4,3 18,639 12,696 

0,028 0,007 0,029 14,0362 1,6537 

5,3 18,667 12,689 

0,025 0,009 0,027 19,7989 1,5224 

6,3 18,692 12,680 

0,001 0,015 0,015 86,1859 0,8613 

7,3 18,691 12,665 

0,004 0,014 0,015 74,0546 0,8342 

8,3 18,695 12,651 

∆Y ∆P 

Gdzie : ε z = arctg , φ = = ⋅ρ 

∆ X H 

dla H= 1m 

Tabela 3.15. Parametry odkształceń środków ciężkości na poszczególnych poziomach. 


Rozdział III 

98

Rys. 3.25. Przemieszczenia środków ciężkości poszczególnych przekrojów 


Rozdział III 

99

ROZDZIAŁ IV 

ANALIZA NUMERYCZNA

W poprzednich rozdziałach staraliśmy się zwrócić szczególną uwagę 

na skomplikowaną geometrię budynku kościoła, jak również na fakt, 

że poszczególne jego elementy uległy znacznym wychyleniom i deformacjom. 

Zazwyczaj przy obliczaniu konstrukcji murowych siły wewnętrzne wyznaczane 

są za pomocą uproszczonych zależności liniowej sprężystości, a takie 

postępowanie spełnia wymagania nośności i użytkowania nakazane normami. 

Często w przypadkach skomplikowanych zagadnień podejście to wymaga od 

inżyniera podejmowania arbitralnych decyzji, na podstawie własnego 

doświadczenia. Jednakże w przypadku obiektu kościoła NMP, klasyczny opis 

analityczny wymagałby zastosowania bardzo uproszczonego modelu, 

nie oddającego rzeczywistej geometrii. Model taki mógłby być przyczyną 

otrzymania mało satysfakcjonujących wyników, obarczonych dużym błędem. 

Obecnie, zwłaszcza w przypadku, gdy zależy nam na określeniu 

bezpieczeństwa konstrukcji, która uległa już przemieszczeniom i zarysowaniu, 

stosuje się nieliniową analizę przy użyciu metody elementów skończonych 

(MES). Jest ona szczególnie przydatna w przypadku budowli o znaczeniu 

historycznym lub wymagających wzmocnienia. Umożliwia nie tylko określenie 

nośności, ale także dostarcza informacji o zachowaniu się konstrukcji w stanie 

liniowym, przez zarysowany, aż do zupełnego zniszczenia. 

Istotą tej metody jest zastąpienie problemu analitycznego, zapisywanego 

za pomocą równań różniczkowych, problemem algebraicznym. Analiza taka 

opiera się na aproksymacji pola przemieszczeń lub pola naprężeń w każdym 

elemencie skończonym, będącym podobszarem zdyskretyzowanego 

kontinuum. 

Korzystając z tej metody, przeprowadzono na potrzeby niniejszej pracy, 

analizę numeryczną wybranych elementów nośnych kościoła oraz jego 

konstrukcji jako całości. Posługiwano się przy tym programem analizy 

nieliniowej ABAQUS/Explicit. 


Rozdział IV 

101

Każde zadanie wymagało wykonania kilku, zasadniczych kroków: 

1. budowa modelu geometrycznego, 

2. przyjęcie modelu fizycznego, tzn. parametrów fizycznych zastępczego 

materiału o uśrednionych właściwościach (zhomogenizowanego) oraz 

związków konstytutywnych (matematyczny opis zależności naprężenia 

od odkształcenia) dla tego materiału, 

3. przyjęcie odpowiednich warunków brzegowych oraz obciążeń 

(w tej pracy nadanie przemieszczeń w odpowiednim punkcie 

i o odpowiedniej intensywności), 

4. analiza numeryczna. 

Rozdział ten rozpoczniemy od opisu punktu drugiego, gdyż parametry 

materiałowe muru przyjęliśmy we wszystkich naszych zadaniach takie 

same. 


Rozdział IV 

102

4.1. Homogenizacja – teoria 

W większości materiałów rzeczywistych wyróżniamy dwie główne 

koncepcje modelowania ośrodków o wyraźnej niejednorodności. Jest to: 

1) Mikromodelowanie tzn. modelowanie polimateriałowe, 

2) Makromodelowanie tzn. modelowanie ekwiwalentnego materiału. 

Za pomocą pierwszej metody otrzymuje się najdokładniejsze opisy 

relacji i zachowania się interesującego nas zagadnienia, na poziomie 

materiałowym. Jednak okazuje się ona bardzo często niemożliwa 

do zrealizowania, ze względu na dużą liczbę otrzymanych elementów 

w zadaniu. 

Natomiast druga z metod jest opisem, który można zastosować 

z zadowalającą nas dokładnością w ośrodkach, zarówno o małej, jak i o dużej 

niejednorodności. Przy czym dla ośrodków o niewielkiej niejednorodności 

często rozwiązanie numeryczne jest możliwe do zweryfikowania poprzez 

sprawdzenia analityczne. Problemy zaczynają się jednak, gdy liczba 

niejednorodności jest znaczna. Wówczas okazuje się, że niemożliwe jest 

rozwiązanie analityczne zadania, a znalezienie rozwiązanie numerycznego 

staje się bardzo zaawansowanym procesem. Pamiętać należy również, 

że wraz ze wzrostem niejednorodności wzrasta niestabilność rozwiązania 

takiego zadania. 

W metodzie makromodelowania, zwanym dalej homogenizacją, 

opieramy się na założeniu, że reakcja materiału o wielu niejednorodnościach, 

jako całości, po odpowiednim uśrednieniu, jest taka sama jak gdyby materiał 

był jednorodny. Dlatego właśnie ośrodek taki zastępuje się ośrodkiem 

quasi-jednorodnym, którego hipotetyczne zachowanie pod wpływem zadanych 

wymuszeń (np. warunków brzegowych) jest równoważne odpowiednio 

uśrednionemu zachowaniu rozważanego ośrodka niejednorodnego. 


Rozdział IV 

103

Celem homogenizacji jest sformułowanie dla zadanego ośrodka 

niejednorodnego równoważnego mu w „średnim zachowaniu”, ośrodka 

jednorodnego. Innymi słowy, biorąc pod uwagę sam opis materiału, poszukuje 

się ekwiwalentnego opisu makroskopowego rozważanego procesu, gdy znany 

jest całkowicie opis tego procesu w ośrodku mikro-niejednorodnym. 

Proces homogenizacji może być formułowany różnymi metodami między 

innymi: 

1) Tzw. metoda wygładzania (REO) – opartą na Reprezentatywnej 

Elementarnej Objętości 

2) Metoda oparta na dążeniu parametru niejednorodności do pewnej 

wartości granicznej tzw. metoda matematyczna 

4.1.1. Metoda wygładzania [27] 

Założeniem podstawowym tej metody jest możliwość zdefiniowania 

tzw. reprezentatywnej, elementarnej objętości. Jest to objętość najmniejsza 

z pola możliwych, ale równocześnie na tyle duża, by móc opisać wszystkie 

własności i cechy ośrodka mikro-niejednorodnego. Na tym założeniu opierają 

się podstawowe techniki metody wygładzania tj.: 

- metoda objętościowego i wagowego uśredniania, 

- mechanika ciągła. 

Sformułowanie metody wygładzania w formie zapisu matematycznego, 

opisującego proces przejścia z poziomu mikro na makro, określa się poprzez 

operację uśredniania. Jeżeli rozważamy określone pole fizyczne opisu 


Rozdział IV 

104

makroskopowego, to zakłada się, że stowarzyszoną z nią wielkością opisującą 

to pole w skali makroskopowej jest jego uśredniona wartość: 

W celu całkowitego i pełnego przejścia z jednej skali do drugiej 

niezbędne jest uwzględnienie warunków brzegowych na granicy 

reprezentatywnej, elementarnej objętości a pozostałą częścią materiału. 

Określone warunki brzegowe to nic innego jak nałożenie ograniczenia na klasę 

możliwych oddziaływań między REO a rozważanym materiałem. Ograniczenie 

to umożliwia wydzielenie REO od reszty materiału i zawężenie analizy 

zachowania się ośrodka do analizy tylko reprezentatywnej elementarnej 

objętości (w literaturze np.[27] nazywa się ją „hipotezą zamykającą”). 

4.1.2. Metoda matematyczna [27] 

Metoda matematyczna homogenizacji w ośrodkach o bardzo dużej 

niejednorodności, opiera się na parametryzacji mikroskopowego opisu 

matematycznego oraz dążeniu zmiennej do wartości granicznej. 

Jeżeli parametrem tym będzie wymiar niejednorodności ε > 0, poszukiwać 

możemy pola u ε (x) dla ośrodka niejednorodnego z rozwiązania zadania 

brzegowego w postaci równań: 

⎪⎧ 

ε 

Lε(u 

(x)) = 0 _ wΩ 

⎨ 

⎪⎩ warunki _ brzegowe _ na∂σ 

gdzie: L ε jest operatorem różniczkowym opisu makroskopowego 

u ε (x) traktować można jako ciąg rozwiązań powyższego 

zagadnienia brzegowego przy zmniejszających się wartościach parametru ε, 

a następnie przechodzi się przez postulat ε → 0 , do granicy u ε (x). 


Rozdział IV 

105

Otrzymujemy w tym procesie dla danego równoważnego ośrodka 

jednorodnego: 

- Pole makroskopowe w postaci u(x) = lim u (x) 

ε→0 

ε 

- Opis makroskopowy w postaci 

⎧L 

(u(x)) = 0 _ wΩ 

⎨ 

⎩warunki 

_ brzegowe _ na∂Ω 

Zatem, rozważa się cały zbiór zagadnień parametryzowanych przez ε, 

a nie jedną konkretną sytuację, jak w metodzie wygładzania. 


Rozdział IV 

106

4.1.3. Mur – podstawowe właściwości i cechy 

4.1.3.1. Mur – kompozyt dwóch materiałów 

Stosowane obecnie uproszczone obliczenia konstrukcji murowych 

charakteryzują się dużą zbieżnością z wynikami empirycznych badań, jednak 

tylko w prostych przypadkach. Dzieje się tak, gdyż większość z metod bazuje 

na eksperymentalnych, uproszczonych modelach lub rzeczywistych konstrukcji 

murowych. Jednak w przypadku dokładnych analiz zachowania się, zarówno 

samego materiału, jak i wykonanej z niego konstrukcji, podejście takie okazuje 

się niewystarczająco precyzyjne. Często dokładność taka jest wymagana, gdy 

mamy do czynienia z analizą obiektów zabytkowych, o historycznym znaczeniu 

lub o bardzo skomplikowanej geometrii. W takich obiektach niesłychanie 

ważnym staje się dobranie odpowiednio dokładnego i efektywnego modelu 

materiału, który stosuje się do opisu zachowania muru. 

Jak się okazuje nie jest to zadanie łatwe. Trudności wynikają z faktu, 

iż mur to kompozyt dwóch materiałów ułożonych warstwowo: 

a) materiału nośnego, tzn. drobnowymiarowych elementów o dużej 

sztywności i wytrzymałości (cegieł), 

b) materiału łączącego i wypełniającego, tzn. warstwy zaprawy 

o mniejszej wytrzymałości. 

Materiały te są ośrodkami kruchymi, dobrze pracującymi na ściskanie. 

Odznacza je również mała nośność na rozciąganie. Właściwości ich są 

relatywnie podobne, ale wzajemna współpraca w przenoszeniu obciążeń jest 

trudna do modelowania. Przeprowadzane licznie badania [29,31,32] dowodzą, 

że mur jako konglomerat elementów ceglanych i zaprawy, charakteryzuje się 

wyraźną anizotropią. Dokładna analiza prowadzonych dotychczas badań 


Rozdział IV 

107

prowadzi do wniosku, że wyniki eksperymentów różnią się między sobą w wielu 

przypadkach, a także bywają sprzeczne. Wynika to z faktu, iż na właściwości 

muru duży wpływ ma szereg czynników, takich jak: 

- kształt i parametry wytrzymałościowe elementów murowych, 

- właściwości zaprawy, 

- kształt elementów badawczych, 

- kierunek i sposób przyłożenia obciążenia, 

- i inne. 

4.1.3.2. Mur - charakterystyka pracy 

Konstrukcje murowe pod względem materiałowym i wytrzymałościowym to 

elementy, których głównym zadaniem jest przenoszenie naprężeń 

ściskających. Szczególnie dobrze pracuje na ściskanie prostopadłe do układu 

warstw. Zaleta ta wykorzystywana była przy wznoszeniu łuków i sklepień, 

o kształcie zbliżonym do kształtu linii ciśnień. 

Jak wspomniano wyżej, mur (z inżynierskiego punktu widzenia) 

praktycznie nie przenosi naprężeń rozciągających. Jest to główna cecha tego 

elementu konstrukcyjnego wpływająca w wielu przypadkach na zachowanie się 

muru przy zniszczeniu. 

Przy analizie zachowania się muru, jako całości, należy wspomnieć 

o istotnej roli oporu, jaki stawiają naprężeniom ścinającym poszczególne 

składniki muru, a zwłaszcza zaprawa w warstwach spoin poziomych 

(wsporczych). 

Większość cech zachowania się muru znana jest już od dawna. Wiedza 

poparta wielowiekowym doświadczeniem budowlanym, potwierdzana jest od 

niedawna prowadzonymi badaniami doświadczalnymi i analizą numeryczną. 

Wciąż jednak mamy do czynienia z wieloma uproszczeniami. 


Rozdział IV 

108

Jedną z nich jest przyjmowanie wyidealizowanego modelu quasi-kruchego 

materiału o nieliniowej charakterystyce. Podstawową cechą takiego ośrodka 

jest mechanizm zniszczenia wskutek pojawienia się wewnętrznych mikrorys, 

zmieniających się w makrorysy, tuż przed osiągnięciem granicznych naprężeń 

rozciągających lub ściskających (ewentualnie ścinających). 

Rozpatrując podstawowe cechy i stany naprężeń elementu murowego 

można wyróżnić pięć głównych mechanizmów zniszczenia w spoinach 

poziomych wg Laurenco [19]: 

ZNISZCZENIE: 

Poślizg w spoinie poziomej 

STAN NAPRĘŻENIA: 

Ścinanie równoległe do spoin 

ZNISZCZENIE: 

Rozerwanie spoiny poziomej i cegły 


Rozciąganie osiowe równoległe do spoin 

ZNISZCZENIE: 

Rozerwanie spoiny lub jej połączenie z cegłą 


Rozciąganie osiowe prostopadłe do spoin 

ZNISZCZENIE: 

Ukośne zarysowanie cegły przylegającej do spoin 


Ściskanie ze ścinaniem 

ZNISZCZENIE: 

Rozkruszenie spoiny oraz zniszczenie cegły 


Osiowe ściskanie prostopadłe do spoin 

Rys.4.1. Podstawowe mechanizmy zniszczenia w spoinach poziomych [19]. 


Rozdział IV 

109

W większości inżynierskich przypadków wytrzymałość zaprawy jest 

zdecydowanie mniejsza niż wytrzymałość pojedynczego elementu ceglanego. 

Powoduje to przede wszystkim inną odkształcalność tych części kompozytu 

przy tym samym naprężeniu ściskającym. W próbce muru cegła powstrzymuje 

większą odkształcalność zaprawy, utrzymując ją w trójosiowym stanie 

naprężeń ściskających sama jednocześnie znajduje się w dwuosiowym 

rozciąganiu w płaszczyźnie poziomej (wywołanym odkształcalnością zaprawy), 

z pionowym ściskaniem (obciążenia zewnętrznego). Schemat układu sił 

pokazano na rys 4.2. 

Rys.4.2. Stan naprężenia w elementach murowych : 

a- ściskanie z rozciąganiem w cegle 

b- stan trójosiowego ściskania w zaprawie [19] 

Odmienna odkształcalność elementów kompozytu murowego oraz 

warstwowa budowa muru o dużej niejednorodności materiałowej 

i geometrycznej, tłumaczy mechanizm zniszczenia i charakter zarysowań. 

Warto podkreślić, iż w jednoosiowym stanie ściskania rysy powstają 

przede wszystkim z powodu naprężeń rozciągających spowodowanych: 

- różną odkształcalnością elementów muru, 

- niejednorodnością muru na poziomie makro, 

- niejednorodnością składników muru na poziomie mikro. 


Rozdział IV 

110

Niejednorodności na poziomie mikro są najtrudniejsze do przedstawienia 

i modelowania podczas analizy konkretnych przypadków. Niebagatelny wpływ 

ma również smukłość ściskanych elementów, mimośród obciążenia, mimośród 

geometryczny oraz wzajemny stosunek sztywności elementu ściskanego do 

jemu przyległych. Dlatego też, rzeczywisty stan naprężeń może różnić się od 

stanu idealnego pokazanego na rysunku 4.2. Możliwe jest zarysowanie po linii 

ukośnej i schodkowej wskutek rozdzielenia spoin od cegieł w wyniku 

rozerwania przez rozciąganie lub ścięcia w spoinach, a także według 

mechanizmu mieszanego (np. wraz z rozerwaniem cegieł). Zarysowania mogą 

być także ukośne ze względu na orientację głównego naprężenia 

rozciągającego względem układu warstw rysunek 4.1. Ustalenie czy rysa 

ukośna jest wywołana ścięciem wzdłuż jej kierunku, czy też prostopadłym do 

niej rozciąganiem, wymaga zastosowania odpowiedniego kryterium 

wytrzymałościowego. Dobór takiego kryterium jest ważny ze względu na to, że 

ograniczenie to predestynuje zakres niebezpiecznego stanu wytężenia muru 

oraz odpowiedni opisu zarysowań tego elementu konstrukcji. 


Rozdział IV 

111

4.1.3.3. Kryteria wytrzymałościowe 

Kryterium wytrzymałościowe ma fundamentalne znaczenie przy ocenianiu 

bezpieczeństwa elementu konstrukcyjnego. Kryteria takie bazują na 

konfrontacji naprężeń występujących w murze, określonych obliczeniowo, 

z wytrzymałością wyznaczoną doświadczalnie. W materiale jednorodnym 

izotropowym o różnych właściwościach mechanicznych oraz przy rozciąganiu 

i ściskaniu wystarczą dwa parametry wytrzymałościowe: 

- wytrzymałość na ściskanie (f c ), 

- wytrzymałość na rozciąganie (f t ). 

Rzeczywista konstrukcja nie znajduje się w prostych warunkach 

naprężeniowych. W praktyce często jest to złożony stan naprężenia np. 

dwuosiowe rozciąganie lub ściskanie, czy też ściskanie z rozciąganiem. 

W takiej sytuacji posługujemy się różnymi kryteriami wytrzymałościowymi, 

reprezentowanych graficznie w przestrzeni naprężeń, przez płaszczyznę 

graniczną. Interpretacja takiej postaci hipotezy jest bardzo prosta, tzn. 

wewnątrz powierzchni granicznej znajdują się punkty o bezpiecznych stanach 

naprężeń, a wszystkie punkty poza nią reprezentują stan przekroczonych 

dopuszczalnych naprężeń. 


Rozdział IV 

112

Kryterium wg HEGEMIER’A 

Rys.4.3 Kryterium wytrzymałościowe muru wg Hegemiera. 

A-dwuosiowe ściskanie; 

B- dwuosiowe rozciąganie; 

C- ściskanie z rozciąganiem [19] 

Na rysunku 4.3. przedstawiono przykład konturu granicznego 

w przestrzeni naprężeń głównych σ 1, σ 2 w płaskim stanie naprężenia wg pracy 

Hegemier’a i innych, dla pustaków betonowych o zabetonowanych drążeniach. 

Mur z takiego materiału ma właściwości zbliżone do izotropowych. W zakresie 

dwuosiowego rozciągania i ściskania z rozciąganiem ma kontur liniowy 

a w dwuosiowym ściskaniu opisany jest krzywą wg hipotezy Hubera- Misesa- 

Hencky’go (największej jednostkowej energii odkształcenia postaciowego), tj.: 

σ 

2 

1 

+ σ 

2 

2 

− σ 

1 

⋅ σ 

2 

= f 

2 

C 

Mur składający się z cegły i zaprawy ułożonych warstwowo, 

nie wykazuje izotropowych właściwości mechanicznych, a raczej są to cechy 

ujednoliconego (zhomogenizowanego) materiału tzn. cechy ortotropowe. 


Rozdział IV 

113

Wartości wytrzymałości na rozciąganie oraz na ściskanie zależą od orientacji 

wektorów naprężeń głównych w stosunku do układu warstw muru. Dodatkowo 

należałoby uwzględnić, omówione wcześniej różne mechanizmy zniszczenia 

wynikające z właściwości mechanicznych słabszej zaprawy. 

Kryterium wg RANKINE’A 

Istnieje wiele kryteriów wytrzymałościowych uwzględniających 

ortotropowe właściwości muru. Jedną z pierwszych hipotez stosowaną dla 

materiałów kruchych była hipoteza największego naprężenia normalnego 

zaproponowanego przez Rankine’a zilustrowana na rysunku 4.4.: 

Rys.4.4. Obszar graniczny wg hipotezy Rankineà – Powierzchnia opisująca dwuosiowe 

rozciąganie 

Hipoteza ta ogranicza wartości naprężeń głównych do przedziału między 

wytrzymałością przy ściskaniu f c i przy rozciąganiu f t . 

f 

≤ max σ ≤ 

C f t 


Rozdział IV 

114

Rys.4.5.Obszar graniczny wg hipotezy Rankineà – kontur w płaszczyźnie naprężeń głównych 

W płaskim stanie naprężenia, dla rozciągania można zapisać ją w postaci: 

1 

( σ 

2 

x 

+ σ 

y 

) + 

1 

2 

( σ 

x 

+ σ 

y 

) 

2 

+ 4τ 

2 

xy 

≤ f 

t 

lub inaczej: 

τ 

2 xy − σ − f ) ⋅( 

σ − f ) ≤ 0 

( x t y t 

Kryterium wg GANZ’a, THÜRLIMANN’a 

Rys. 4.6. Ogólny stan naprężeń w elemencie konstrukcji muru[ A] 


Rozdział IV 

115

Koncepcję Rankine’a wykorzystał Ganz formułując cztery spójne kryteria 

wytrzymałościowe, uwzględniające anizotropowe właściwości muru: 

1) Dla rozciągania – zakładając wytrzymałość na rozciąganie f t =0 

τ 

2 xy − σx 

⋅ σy 

≤ 

0 

- interpretacją graficzną jest stożek eliptyczny. 

2) Dla dwuosiowego ściskania – rozróżniając wytrzymałość 

na ściskanie w kierunku pionowym f cx i poziomym f cy 

τ 

2 xy − σ − f ) ⋅( 

σ − f ) ≤ 0 

( x cx y cy 

- interpretacją graficzną jest stożek eliptyczny. 

3) Dla ściskania z rozciąganiem (ścinanie) – zakładając σ x ≅ −σy 

, 

oraz f t =0 

τ 

2 xy + σ ⋅ σ + f ) ≤ 0 

y 

( y cy 

- interpretacją graficzną jest walec. 

4) Dla ścinania wzdłuż spoin – stosuje się hipotezę Coulomba- 

Mohra, gdzie izotropowe właściwości zaprawy w spoinie są 

określane przez kąt tarcia wewnętrznego Φ oraz kohezję c. Dla 

c=0 można zapisać: 

τ 

2 xy + ( σx 

⋅ tgφ) 

≤ 

0 

- interpretacją graficzną jest płaszczyzna. 


Rozdział IV 

116

Rys. 4.7. Powierzchnia graniczna dla muru w płaskim stanie napręż. 

wg Ganza-Thürlimann [19] 

Kontur opisujący te cztery kryteria pokazano na rysunku 4.7. Powierzchnię 

graniczną w układzie osi 

podstawowe parametry: 

τ można wyznaczyć poprzez trzy 

xy , σx, 

σy 

- wytrzymałość na ściskanie w kierunku pionowym f cx 

- wytrzymałość na ściskanie w kierunku poziomym f cy 

- tangens kąt tarcia wewnętrznego tg φ 


Rozdział IV 

117

Kryterium wg SEIMà 

Następną modyfikacją powyższego kryterium jest to zaproponowane 

przez Seim’a. Założono tutaj możliwość przenoszenia przez mur naprężeń 

rozciągających do wartości f ty w kierunku poziomym. Zmodyfikowanie tej 

metody dobrze widoczne jest w interpretacji graficznej na rysunku 4.8. 

Rys. 4.8. Powierzchnia graniczna dla muru w płaskim stanie naprężenia wg Seima [19]. 

Opis takiego kryterium generuje dodatkowe dwa parametry, mianowicie: 

- wytrzymałość na rozciąganie w kierunku poziomym f ty, 

- kohezją c 

Na rys.4.9. oraz rys.4.10. pokazano przekroje powierzchni granicznej 

opisujące zachowanie się muru, gdy oprócz obciążenia pionowego, 

wywołującego σ x , działa obciążenie poziome wywołujące naprężenia ścinające. 

Rys .4.9. Powierzchnia graniczna muru w płaskim stanie naprężenia wg Seima 

PRZEKRÓJ A-A [19] 


Rozdział IV 

118

Rys. 4.10. Powierzchnia graniczna muru w płaskim stanie naprężenia wg Seima 

PRZEKRÓJ B-B [19] 

Kryterium wg J.Lopez’a, E.Onate i J. Lubliner’a [20], [25] 

Dotychczas omówione w niniejszej pracy kryteria, opisywały mur jako 

materiał izotropowy co, jest dość znacznym uproszczeniem. W niektórych 

sytuacjach celowe może być określenie tylko anizotropii sprężystości, albo gdy 

decydujące są kryteria wytrzymałościowe jedynie anizotropii konturu 

powierzchni granicznej. Jednak analiza ośrodka murowego z uwzględnieniem 

jego anizotropii w pełnym zakresie jest skomplikowanym zagadnieniem. 

W literaturze nie występują modele zawierające wszystkie aspekty tego 

zagadnienia. Spotkać można jedynie próby numerycznego modelowania muru, 

łączące anizotropię sprężystości z anizotropią zachowania niesprężystego. 

Pragnie się osiągnąć kompromis pomiędzy efektywnością i prostotą 

a maksymalnie precyzyjnym opisem związków konstytutywnych, stosowanych 

modeli homogenizacji. 

Model konstytutywny dla ośrodka murowego zaproponowany przez 

J.Lopez’a, E.Onate i J. Lubliner’a próbuje spełnić opisane wyżej 

uwzględnienie anizotropii. Oparty jest on na zhomogenizowanym, 

anizotropowym modelu sprężysto - plastycznym. Posłużono się fikcyjnymi, 

izotropowymi przestrzeniami naprężeń i odkształceń. Następnie odwzorowano 


Rozdział IV 

119

właściwości materiału z fikcyjnych do docelowych przestrzeni izotropowych. 

U podstaw tego kryterium leżą dwa następujące założenia: 

a) Wysokość i szerokość podstawowego elementu jest duża 

w porównaniu do jego grubości, co pozwala założyć płaski stan 

naprężeń dla obciążenia w ich płaszczyźnie, 

b) Układ jednostek murowych i spoin może być traktowany jako 

ortotropowy. 

Związek konstytutywny w tym podejściu sformułowany jest na bazie 

równań równowagi i zgodności odkształceń. Równania te określa się dla każdej 

deformacji modelowanej komórki, a następnie, korzystając z równań 

konstytutywnych każdego ze składowych, modelowanej komórki muru, 

otrzymujemy wyrażenia pozwalające opisać zależności pomiędzy naprężeniami 

i odkształceniami już jako zhomogenizowane parametry mechaniczne [25]. 

Poniżej w tabeli 4.1. zestawiono równania równowagi, odkształceń oraz 

równania konstytutywne dla warstwy materiału, dla kilku przypadków stanu 

naprężenia i odkształcenia (ich schematy przedstawiono na rys. 4.12.). 

Dodatkowego wyjaśnienia wymaga trzecia sytuacja tzn. deformacja 

pod wpływem ścinania w płaszczyźnie XY. Zakłada się tutaj, że deformacje 

zaprawy i cegły są takie same i przyrastają liniowo. 

Inaczej rozpatrywać możemy czwarty przypadek tzn. deformacji poza 

płaszczyzną obciążenia XY. Wartość zhomogenizowanych parametrów 

mechanicznych określamy przyjmując za punkt wyjścia macierz sztywności dla 

materiału ortotropowego. Zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami 

zhomogenizowanego materiału można zapisać w następujący sposób [20],[25]: 

S 

σ G = D ⋅ εG 

, 

gdzie: 

σ 

G 

-jest wektorem naprężeń, 

macierzą sztywności dla materiału ortotropowego. 

εG 

-jest wektorem odkształceń, 

S 

D -jest 


Rozdział IV 

120

Wyprowadzenie tych zależności, oraz szczegółowe wzory można 

znaleźć w pracach [20,25,27]. 

LM2=LG 

LL 

LM1 

hM2 

hG 

hL=hM1 

Rys 4.11. Wymiary reprezentatywnej jednostki muru. 


Rozdział IV 

121

XL 

XM1 

X 

X 

XM2 

XM2 

Y 

YL 

YM1 

YM2 

Y 

t 

gL 

gG 

tL 

gM1 

tM1 

gM2 

tM2 

t 

gM2 

Y 

ZB 

ZG 

ZM2 

Rys. 4.12. Analizowane sytuacje stanu naprężenia i deformacji. 


Rozdział IV 

122

Tabela 4.1. Zestawienie równań równowagi, zgodności odkształceń oraz równań 

konstytutywnych dla warstw materiału dla: 

- 1 . Ściskanie i rozciąganie po kierunku X; 

- 2 . Ściskanie i rozciąganie po kierunku Y; 

- 3 . Ścinanie w płaszczyźnie XY. 


Rozdział IV 

123

Gdzie, 

σ 

ij 

- odpowiada zhomogenizwanym naprężeniom po i-tym 

kierunku j- tego materiału, 

εij 

- odpowiada zhomogenizwanym odkształceniom 

po i-tym kierunku j- tego materiału, 

p 

ε ij 

- odpowiada zhomogenizwanym odkształceniom plastycznym 

po i-tym kierunku j- tego materiału, 

ωi 

- to parametr zniszczenia i- tej warstwy, zmniejszający wartość 

modułu Younga po przekroczeniu granicy plastyczności, 

τ 

i 

- odpowiada naprężeniom ścinającym w płaszczyźnie XY dla 

i- tego materiału, 

γ 

j 

- odpowiada kątowi odkształcenia postaciowego 

w płaszczyźnie XY dla j- tego materiału, 

4.1.3.4. Współczynnik materiałowy muru – moduł Young’a 

Podczas klasycznego podejścia do projektowania konstrukcji murowych 

wartości panujących w nich naprężeń określa się na podstawie uproszczonych 

zależności. Jest to zależność liniowo sprężysta dla materiału izotropowego. 

Podstawą tego opisu jest moduł Young’a. Sposób jego wyznaczenia ma 

zasadnicze znaczenie dla opisu związku konstytutywnego materiału. Zdajemy 

sobie sprawę, że używany opis inżynierski, bazujący na zależności 

liniowo-sprężystej stanowi aproksymację właściwości silnie anizotropowych 

muru i nieliniowej charakterystyki jego zachowania. Uproszczony opis jest 

dostatecznie poprawny dla modułu Young’a w przedziale około od 0 do 0.33 

maksymalnych naprężeń ściskających [30], [29]. W tym przedziale opis liniowy 

zachowania muru jest wystarczająco bliski zachowaniu rzeczywistemu. Jednak 

jeżeli konstrukcja murowa poddana jest obciążeniom dynamicznym oraz 

w pewnych uzasadnionych przypadkach, słuszne jest przyjęcie innego sposobu 

wyznaczania modułu sprężystości. 


Rozdział IV 

124

Biorąc pod uwagę obliczeniowe sposoby wyznaczania modułu 

sprężystości muru wyróżnić można trzy podstawowe metody: 

a) Jako iloczyn dwóch wartości: 

gdzie fck 

E = ⋅ α , 

f ck 

- wytrzymałość charakterystyczna muru na ściskanie, 

α 

c 

- współczynnik sprężystości. 

Według [30] 

c 

α c 

przyjmuje się w zależności od rodzaju elementu 

murowego i wytrzymałości zaprawy na ściskanie tzn.: 

- 1000 dla zaprawy o wytrzymałości większej niż 5 MPa, 

- 600 dla zaprawy o wytrzymałości mniejszej niż 5 MPa. 

Z badań wg [29,24] wynika, że dla murów o wytrzymałości zaprawy 

większej niż 5 MPa otrzymano α c = 830 , natomiast dla murów 

o wytrzymałości zaprawy mniejszej niż 5 MPa α c = 498 . Jednak jak 

dowodzą autorzy pracy [29] w badaniach przeprowadzonych na innych 

elementach drobnowymiarowych, a wykorzystanych w normach 

zagranicznych, wyniki odbiegają dość znacznie (nawet do 100%) od 

tych przyjętych w polskiej normie[30]. 

Jak widać, ta metoda zhomogenizowanego opisu ośrodka murowego 

jest sformułowana w prosty sposób. Jednak pomimo że, uwzględnia 

(w sposób niejawny) dwumateriałową strukturę muru, dla bardziej 

szczegółowych obliczeń staje się mało dokładna. 

b) Wzór empiryczny Brooksa [29]: 

gdzie 

0,86 0,14 

E = + , 

E 

c E z 

Ec 

- modułu sprężystości elementu murowego, 

Ez 

- modułu sprężystości zaprawy. 

c) Wzór empiryczny Matyska [29],[31] : 


Rozdział IV 

125

1,25 ⋅ ξ + 1 

E = ⋅E c , 

1,25 ⋅ ξ + β 

gdzie ξ - stosunek wysokości elementu murowego do grubości spoiny, 

β - stosunek modułu sprężystości elementu murowego do modułu 

sprężystości zaprawy, 

Ec 

- modułu sprężystości elementu murowego. 

Jak wynika z pracy [29] w obliczonych i wyznaczonych wartościach 

modułu sprężystości zauważyć można znaczącą różnicą. Jednak najbliższy 

wynikom badań okazał się moduł sprężystości wyznaczony z pierwszego 

wzoru. 

Badania i obliczenia przeprowadzono na cegłach klasy 15, i zaprawie 

cementowo-wapiennej (w stosunku cementu, wapna i piasku 1:1:6). Wyniki 

zestawiono w tabeli 4.2. 

E badania [MPa]* E a) [MPa] E b) [MPa] E c) [MPa] 

2851 3157 4766 4733 

*przy założeniu α=498 wg krzywych wyznaczonych w badaniach [1] 

Tabela 4.2. Porównanie modułów sprężystości 

W przypadku analizy kościoła NMP, przyjęto inne parametry 

mechaniczne muru niż te w pracach [29], [24], [25]. Przedstawione poniżej 

obliczenia zhomogenizowanych wartości modułów sprężystości wykonano na 

podstawie przyjętych w pracy [11] cech materiałowych: 

- wytrzymałość średnia cegły 7,5MPa, 

- wytrzymałość średnia zaprawy 0,8MPa, 

- moduł sprężystości podłużnej cegły E c =7000MPa [25], 

- moduł sprężystości podłużnej zaprawy E z =350MPa [25], 

- wysokość cegły 0,087m, 

- wysokość warstwy zaprawy 0,012m. 


Rozdział IV 

126

Wg wzoru Matyska [29] : 

1.25 ⋅ ξ + 1 

E = ⋅E 

1.25 ⋅ ξ + β 

c 

hc 

0.087 

Ec 

7000 

ξ = = = 7.25 ; β = = = 20. 00 

hz 

0.012 

Ez 

350 

1.25 ⋅ ξ + 1 1.25 ⋅7.25 

+ 1 

E = ⋅Ec = 

⋅7000 

= 2423.66 MPa 

1.25 ⋅ ξ + β 1.25 ⋅7.25 

+ 20 

Wg wzoru Brooks’a [29] : 

0.86 0.14 

E = + 

E 

c E z 

Ec 

⋅Ez 

E = 

Ez 

⋅ 0.86 + Ec 

⋅ 0.14 

7000 ⋅350 

E = = 1912.57 MPa 

350 ⋅0.86 

+ 7000 ⋅0.14 

Wynik obliczeń modułu sprężystości muru, uzyskany ze wzoru Brooks’a, 

jest mniejszy od uzyskanego ze wzoru Matyska. Jednak wartości te są 

zbliżone, a różnica wynika z faktu, iż w drugim wzorze brak jest możliwości 

uwzględnienia zależności geometrycznych pomiędzy zaprawą a cegłą. 

Do dalszych obliczeń przyjęto wartość parametru Younga równą: 

E=2400MPa=2.4 GPa. 

Wartości te mogą jedynie służyć jako wartości szacunkowe, ale 

niekoniecznie prawdziwe, gdyż żadne z prezentowanych wyżej podejść nie 

opisuje rozwoju tego parametru w czasie. Opis pierwszy zalecany przez [30] 

umożliwia jedynie obliczenie długotrwałego modułu sprężystości muru (wartość 

średnią): 

E 

∞ = αc, 

∞ ⋅ fk 

, 

gdzie: α 

c, ∞ 

jest końcową wartością współczynnika pełzania (wyznaczoną 

na podstawie badań). 

Należy zastrzec, że przyjęte wartości powinny być zweryfikowane 

doświadczeniami laboratoryjnymi na próbkach rzeczywistego muru. 


Rozdział IV 

127

Umowne cechy materiałowe zostały dobrane na podstawie dostępnej 

literatury. Przybliżenia na poziomie materiałowym mają wpływ na wszystkie 

otrzymane w tej pracy wyniki. 

4.1.4. Modelowanie numeryczne muru 

Modelowanie numeryczne można było przeprowadzić na różne sposoby 

(patrz.4.1.) W pierwszej, zwanej „podejściem mikro-makro”, dąży się do ujęcia 

w jednym modelu obliczeniowym zarówno mikro-struktury, jak i schematu 

globalnego, przez wprowadzenie dużej liczby elementów skończonych, co 

najmniej odpowiadających podziałowi muru na elementy drobnowymiarowe 

oraz warstwy zaprawy. Jednak generuje to ogromne wymiary zadania. 

W naszym przypadku postępujemy inaczej, wprowadzamy ekwiwalentny 

ośrodek jednorodny, równoważny danemu ośrodkowi z mikrostrukturą 

periodyczną. Przed przystąpieniem do analizy na poziomie makro konieczna 

jest identyfikacja modelu obliczeniowego tego ośrodka zastępczego, czyli jego 

homogenizacja [27]. 


Rozdział IV 

128

4.1.4.1. Model 2D muru 

Analiza fragmentu muru, przeprowadzona w środowisku MES, 

umożliwia uzyskanie w sposób nieniszczący parametrów, określających 

zachowanie się materiału zhomogenizowanego, oraz bezpieczną przestrzeń 

nośności lub użytkowalności analizowanego elementu. Bazowano tutaj przede 

wszystkim na sposobie i modelowaniu zaprezentowanym szerzej w pracy [27]. 

Cenny był również opis podobnej symulacji, choć z innym modelem materiału 

(CONCRETE) w pracy [25]. W pracy [27] przedstawiono konsystentną metodę 

homogenizacji ośrodka typu „mur z cegły”, bazującej na analizie 

przeprowadzonej dla komórki reprezentatywnej ośrodka. Celem takiego 

modelowania było wyznaczenia parametrów odkształcalności i nośności 

takiego kompozytu. 

Korzystając z rezultatów rozważań i analizy numerycznej opisanej 

w pracy [27] przeprowadziliśmy obliczenia potwierdzające zależności 

otrzymane przez autora. Wyniki tej konfrontacji umożliwiły nam uzyskanie 

parametrów opisujących cechy mechaniczne materiału zhomogenizowanego. 

Ten szczegółowy opis pracy materiału i jego zachowania się w różnych 

sytuacjach naprężeniowo-odkształceniowych posłużył nam jako model 

materiału do analizy konkretnych elementów konstrukcji kościoła NMP. 

Zdecydowano się na opis materiału jako: 

- model betonu plastycznego ze zniszczeniem - CONCRETE 

DAMAGE PLASTICITY [33]. 

Model ten bazuje na koncepcji izotropowego sprężystego zniszczenia 

w połączeniu z izotropową plastycznością w rozciąganiu i ściskaniu. Służy on 

do opisu nieliniowego zachowania się materiałów kruchych, takich jak beton, 

ale i z powodzeniem użyć go można dla zaprawy i cegieł. Przybliżenie to 

zawiera kombinację nie stowarzyszonej plastyczności ze wzmocnieniem oraz 

skalarnego izotropowego zniszczenia sprężystego do określenia 

nieodwracalnych zmian powstałych podczas procesu obciążenia [27]. 

Dla modelowania takiego materiału w środowisku ABAQUS konieczne 

jest określenie wartości parametrów materiału (zestawiono je w tabeli 4.3): 


Rozdział IV 

129

Moduł sprężystości (Younga) E= 2,4 [GPa] 

Współczynnik Poissona ν =0,16 

Gęstość objętościowa ρ =2200 [kg/m 3 ] 

Beton* plastyczny ze zniszczeniem 

(COCRETE DAMAGE PLASTICITY) 

β 38 

m 1 

f 1.5 

K c 0.6 

V(lepkość) 0 

Ściskanie ze wzmocnieniem 

(COMPRESION HARDERING) 

2 [MPa] 0 

0.5 [MPa] 0.007920 

Osłabienie izotropowe w rozciąganiu 

(TENSION STIFFENING) 

0.2 [MPa] 0 

0.05 [MPa] 0.000792 

Zniszczenie w ściskaniu 

(COMPRESION DAMAGE) 

0.00 [%] 0 

0.75[%] 0.00792 

Zniszczenie w rozciąganiu 

(TENSION DAMAGE) 

0.00 [%] 0 

0.75 [%] 0.000792 

Tabela 4.3 Parametry zhomogenizowanego muru. 

* zachowanie muru przybliżamy modelem materiałowym betonu 


Rozdział IV 

130

gdzie: 

- Parametr β to kąt tarcia wewnętrznego materiału. Model Concrete 

Damage Plasticity wykorzystuje hiperboliczną powierzchnię potencjału 

plastycznego, reprezentowaną przez powierzchnię Drückera- Pragera. 

Zatem parametr β to kąt nachylenia asymptoty tej powierzchni do osi 

hydrostatycznej, mierzony w płaszczyźnie południkowej, 

- Parametr m opisuje mimośród potencjału plastycznego. Jest to dodatnia 

wartość, która informuje nas o szybkości zbliżania się hiperboli potencjału 

plastycznego do swojej asymptoty. Miarą tego parametru jest stosunek 

wytrzymałości na rozciąganie do wytrzymałości na ściskanie, 

- Parametr f określa stosunek wytrzymałości na ściskanie w płaskim stanie 

naprężenia przy dwuosiowym ściskaniu do wytrzymałości materiału przy 

jednoosiowym ściskaniu, 

- Parametr K c określa kształt w płaszczyźnie dewiatorowej powierzchni 

potencjału plastycznego, zależnego od trzeciego niezmiennika stanu 

naprężenia. 


Rozdział IV 

131

Parametry podane w tabeli 4.3. zilustrowano na rysunku nr 4.13. Wykres 

ten jest związkiem konstytutywnym dla zhomogenizowanego muru, przyjętym 

do dalszych obliczeń. 

0.5 

0.0005; 0.2 

0.001; 0.05 

0 

-0.012 -0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 

0.01; 0.5 

-0.5 

naprężenie [MPa] 

-1 

-1.5 

związek konstytutywny 

0.005; 2 

-2 

odkształcenie [%] 

-2.5 

Rys. 4.13. Ilustracja związku konstytutywnego dla zhomogenizowanego muru. 


Rozdział IV 

132

4.2. Zadania numeryczne 

4.2.1. Kolumna wewnętrzna 

Wewnątrz kościoła znajduje się sześć kolumn, które wraz z murem 

stanowią główne elementy konstrukcji. Ich zadaniem to przede wszystkim 

przeniesienie obciążeń pionowych ze sklepienia oraz z więźby dachowej na 

fundament. Jedna z nich, kolumna numer 6, pokazana na poniższym rysunku 

(Rys. 4.14), uległa znacznemu wychyleniu i skręceniu. Realna staje się groźba 

wzrostu tych przemieszczeń, wówczas sklepienie kościoła mogłoby ulec 

zniszczeniu. 

Rys. 4.14. Rzut kościoła – kolumna nr 6 


Rozdział IV 

133

Dlatego interesująca jest dla nas nośność powyższej kolumny. 

Przeprowadziliśmy dwa zadania numeryczne: w pierwszym, staraliśmy się 

oszacować siłę niszczącą kolumny prostej i nie skręconej, a w drugim kolumny 

o rzeczywistej geometrii. Porównanie wyników dało nam odpowiedź jaki jest 

wpływ deformacji na nośność elementu. 

Górną powierzchnię kolumny potraktowaliśmy jako ruchomą podporę 

i nadaliśmy jej przemieszczenie o prędkości 1cm na sekundę w kierunku 

pionowym, ściskając ją. Suma reakcji każdego z węzłów siatki elementów 

skończonych powierzchni górnej tej podpory, dała nam poszukiwaną wartość 

siły, przy której nastąpi zniszczenie kolumny. Podczas wszystkich analiz 

korzystaliśmy ze środowiska programu ABAQUS/Explicit. 

4.2.1.1. Model numeryczny kolumny 

Zadanie 1 – Kolumna prosta 

Model statyczny stanowi pręt wspornikowy o wysokości 8m, stałym 

przekroju, utwierdzony u podstawy. Zbudowano go w całości w programie 

ABAQUS CAE, wyciągając po linii prostej przekrój o następującej 

charakterystyce: 

Rys. 4.15. Przekrój kolumny nr 6 


Rozdział IV 

134

• Pole 1,4034 m 2 

• Obwód 4,5207 m 

• Moment bezwładności X: 0,1294 m 4 

Y: 0,1959 m 4 

• Promienie bezwładności X: 0,3037 m 4 

Y: 0,3736 m 4 

Wszelkie dane wierzchołków przekroju modelowaliśmy na podstawie 

pomiarów opisanych w rozdziale III, przekrój zerowy. Utwierdzenie podstawy 

zdefiniowano poprzez odebranie węzłom dolnej powierzchni wszystkich trzech 

stopni swobody. 

Na modelu rozpięto siatkę elementów skończonych, przedstawioną na 

rysunku 4.16, o następujących parametrach: 

• Liczba węzłów 12879 

• Liczba elementów 10400 

• Nazwa elementu skończonego C3D8R 

• Kształt elementu skończonego 8 - węzłowy, sześcienny, pierwszego 

rzędu 

• Typ elementu skończonego naprężeniowo - przemieszczeniowy 

• Aktywne stopnie swobody X1, X2, X3 (przemieszczenia) 

• Całkowita liczba stopni 

swobody układu 38637 


Rozdział IV 

135

Rys. 4.16. Model numeryczny kolumny prostej z nałożoną siatką elementów skończonych 

Zadanie 2 – Kolumna o rzeczywistej geometrii 

Geometrię stworzyliśmy na podstawie pomiarów geodezyjnych, których 

uwieńczeniem było wyznaczenie współrzędnych przestrzennych, chmury 

punktów charakterystycznych, całkowicie opisujących kształt kolumny. W tym 

celu, dane z sześciu krawędzi każdego z dziewięciu poziomów, 

przetransponowaliśmy do programu Solid Works 2000, a następnie do 

programu ABAQUS CAE. Kolejne etapy tworzenia modelu bryłowego 

pokazano na poniższych rysunkach. 


Rozdział IV 

136

Rys. 4.17. Plastry przekrojów na dziewięciu poziomach wysokości 

Na uprzednio naniesionych punktach rozpięto powierzchnie, które 

kolejno wyciągnięto wzdłuż zakrzywionej osi kolumny. 

Rys. 4.18. Wyciągnięcie powierzchni „po przekrojach” 


Rozdział IV 

137

Program Solid Works 2000 umożliwił uwzględnienie nieregularnego 

kształtu kolumny, w każdym z kierunków, a także jej skręcenia względem 

własnej osi. Program jest bardzo dobrze przystosowany do pracy nad 

modelami przestrzennymi, posiada unikalne możliwości edycji modeli oraz 

współpracuje z dużą liczbą aplikacji inżynierskich. Zastosowanie Solid Works 

2000 przy pracy nad tą geometrią każdego z modeli przyniosło nam duże 

korzyści i niewątpliwie przyczyniło się do znacznego zwiększenia efektywności 

naszej pracy. 

Import do środowiska Abaqus nie przysporzył problemów, bowiem 

program jest przystosowany do eksportu modeli między poszczególnymi 

programami CAD, CAE oraz CAM (Computer Aided Manufacturing), między 

innymi takimi jak: Nastran, Ansys, Engineer PRO, Permas, w tym także do 

Abaqus CAE. Bogata liczba obsługiwanych formatów plików danych 

geometrycznych, znacznie ułatwia pracę. 

Podstawowe cechy przyjętej siatki MES: 





rzędu 






Rozdział IV 

138

Rys. 4.19. Model numeryczny kolumny krzywej z przyjętą siatką elementów skończonych 


Rozdział IV 

139

4.2.1.2. Prezentacja wyników 

Analizując wyniki obliczeń kolumny prostej można stwierdzić, iż 

przekroczenie wartości granicznych naprężeń, czyli zniszczenie, nastąpi 

w skutek zmiażdżenia materiału na około 1/3 wysokości kolumny, licząc od jej 

podstawy. Ilustracją tego procesu jest rozkład parametru degradacji 

elementów, przedstawiony na poniższym rysunku. 

Rys. 4.20. Rozkład parametru zniszczenia (degradacji) przy ściskaniu 

Zauważmy, że zniszczenie nastąpiłoby równomiernie na obwodzie 

w jednym z przekrojów. 


Rozdział IV 

140

Mapa naprężeń wg Mises. 

Rys. 4.21. Rozkład naprężeń zredukowanych wg teorii Misesa [N/m 2 ] 

Zniszczenie kolumny o rzeczywistych deformacjach będzie wynikiem 

pojawienia się rys poziomych, powstałych wskutek rozciągania materiału, które 

wystąpią u dołu kolumny po obu stronach krawędzi 6.6 oraz przy podporze 

górnej na krawędzi 6.3. 

Obrazem rys są elementy siatki, zaznaczone kolorem czerwonym, 

widoczne na poniższych rysunkach. 


Rozdział IV 

141

Rys. 4.22. Rozkład parametru zniszczenia w skutek rozciągania (degradacji) 

Rys. 4.23. Rozkład parametru zniszczenia (degradacji) 


Rozdział IV 

142

Odkształcenia ekwiwalentne plastyczne od rozciągania widzimy 

u podstawy kolumny. 

Rys. 4.24. Odkształcenia ekwiwalentne plastyczne od rozciągania 


Rozdział IV 

143

4.2.1.3. Porównanie i podsumowanie 

Siła ściskająca, przy której kolumna ulegnie zniszczeniu wynosi: 

Kolumna prosta P = 2782.0 kN 

Kolumna rzeczywista P = 2231.0 kN 

Deformacje spowodowały spadek nośności kolumny w skutek nie 

osiowej geometrii o 20%. 

Na poniższym wykresie porównano przy jakiej sile i dla jakiego 

przemieszczenia nastąpi zniszczenie kolumny prostej oraz krzywej. 

0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 

-500 

Kolumna prosta 

Kolumna odchylona 

siła ściskająca [kN] 

-1000 

-1500 

-2000 

-2500 

-2230.57 kN 

-3000 

-2783.46 kN 

przemieszczenie [cm] 

Rys. 4.25. Wykres porównujący nośności kolumny prostej i odchylonej (stan rzeczywisty) 

zależnie od przemieszczenia pionowego górnej podpory 


Rozdział IV 

144

4.2.2. Filar międzyokienny 

Filary międzyokienne stanowią główne elementy nośne w murze 

kościoła, przenoszące obciążenia z dachu i sklepienia na fundamenty. Uległy 

one, podobnie jak i inne części budynku znacznym wychyleniom, szczególnie 

od strony północnej. Wzmocnienie filarów stalowymi elementami, opisane 

w rozdziale II, istotnie poprawiło ich nośność. W celu oszacowania konkretnych 

wartości analizowaliśmy model jednego z nich – filara numer 1 wg [11]. Wybór 

ten był spowodowany największym jego wychyleniem względnym, 

wynoszącym 9 centymetrów. Filar zlokalizowany jest na północno – zachodniej 

ścianie kościoła, rysunek 4.26. 

Rys. 4.26. Rzuty kościoła – filar nr 1 


Rozdział IV 

145

W tym przypadku przeprowadzono trzy analizy numeryczne: 

1. określenie siły niszczącej dla filara prostego, bez deformacji, 

2. określenie siły niszczącej dla filara krzywego, 

3. określenie siły niszczącej dla filara rzeczywistego (zakrzywionego 

i wzmocnionego profilami stalowymi). 

Celem naszych obliczeń było sprawdzenie wpływu deformacji 

i wzmocnienia na wzrost nośności filara oraz porównanie otrzymanych wyników 

z rozwiązaniami analitycznymi zamieszczonymi w projekcie [11]. 

4.2.2.1. Model numeryczny filara 

W tym zadaniu filar modelowano jako wspornik o wysokości 6.5 m, 

utwierdzony na 3 m nad poziomem posadzki kościoła. Utwierdzenie przyjęliśmy 

zgodnie z projektem [11] tym samym uwzględniając znaczną zmianę grubości 

muru. Przyjęliśmy stały przekrój na całej wysokości elementu na podstawie 

pomiarów, w miejscu połączenia z wieńcem. 

Filar przejmuje obciążenia pionowe z części wieńca oraz sklepienia, jedyne siły 

działające w płaszczyźnie poziomej pochodzą od mocowań okien, jednak ze 

względu na ich znikomy wpływ pomijaliśmy je w obliczeniach. 

Wymiary przekroju oraz wykres wychyleń przedstawiono na kolejnych 

rysunkach 4.27, 4.28. 


Rozdział IV 

146

Rys. 4.27. Przekrój pionowy kościoła – filar nr 1 [11] 


Rozdział IV 

147

Zadanie 1 – Filar prosty 

Model stworzyliśmy w programie ABAQUS CAE przez wyciągnięcie 

przekroju po linii prostej. 

Wymiary przekroju filara przedstawiono na rysunku kolejnym. 

Rys. 4.28. Przekrój filara nr 1 (wymiary [m]) 

Charakterystyka przekroju: 

• Pole 2,1419 m 2 

• Obwód 6,8800 m 

• Moment bezwładności X: 0,5524 m 4 

Y: 0,2831 m 4 

• Promienie bezwładności X: 0,5078 m 4 

Y: 0,3635 m 4 


Rozdział IV 

148

Następnie odebrano węzłom podstawy wszystkie trzy stopnie swobody. 

Tak jak i w przypadku kolumny, górną powierzchnię filara traktowaliśmy jako 

ruchomą podporę i nadaliśmy jej przemieszczenie o prędkości 1cm na sekundę 

w kierunku pionowym, ściskając ją. 

Kolejnym krokiem było nałożenie siatki elementów skończonych, 

o następujących cechach: 

Rys. 4.29. Model numeryczny filara prostego z nałożoną siatką 





rzędu 






Rozdział IV 

149

Zadanie 2 – Filar przed wzmocnieniem 

Tworzenie geometrii filara krzywego rozpoczęliśmy w programie 

AutoCAD 2000, wykorzystując dane z rysunków 4.27 i 4.28. Następnie 

stworzyliśmy model bryłowy wyciągając powyższy przekrój, wzdłuż prostej, 

definiującej pochylenie filara (90 mm) w kierunku północnym. Powstałą bryłę 

wyeksportowaliśmy do środowiska ABAQUS CAE, korzystając z tzw. 

neutralnego formatu wymiany danych – pliku SAT, który opiera się na jądrze 

ACIS, posiadającym dokładność zapisu 10 -6 . Format ten jest zalecany przy 

korzystaniu z obiektów typu solid. Ze względu na prostą geometrię nie 

napotkaliśmy problemów na etapie nakładania siatki elementów skończonych. 

Po zaimportowaniu geometrii do programu Abaqus CAE, utwierdziliśmy 

dolną powierzchnię, rozpięliśmy siatkę 8 – węzłowych, bryłowych elementów 

skończonych i otrzymaliśmy model przedstawiony na poniższym rysunku 4.30. 

Rys. 4.30. Model numeryczny filara krzywego z nałożoną siatką 


Rozdział IV 

150

Parametry siatki MES: 





rzędu 





Zadanie 3 – Filar wzmocniony 

Wzmocnienie przekroju omówiono szczegółowo w rozdziale II. Zadanie 

było interesujące ze względu obliczeniowego. Istotnym do zastanowienia 

problemem okazał się sposób uwzględnienia współpracy profili stalowych 

połączonych z cegłami w filarze. Stosowaliśmy trzy, możliwe 

w programie Abaqus, metody uwzględniające istnienie przekrojów 

wzmacniających. Każda z nich stanowiła obliczeniowo odmienne zadanie, 

wspólna praca na granicy dwóch ośrodków materiałowych była przez nas 

definiowana przy pomocy opcji programu: 

- REBAR 

- Contact (Hard) 

- TIE 


Rozdział IV 

151

Rys. 4.31. Przekrój filara wzmocnionego wg [11] 

Model tego filara stworzono środowisku programu Abaqus CAE, 

wprowadzając wzmocnienie, jak wspomniano wcześniej, na trzy sposoby. 

Początkowo w bryłę zdeformowanego filara wprowadzono zbrojenie, 

korzystając z funkcji REBAR, stosowanej przy modelowaniu wkładek zbrojenia 

rozciąganego w konstrukcjach żelbetowych, jako pręt o zadanym polu 

przekroju. Metoda nie uwzględniała występujących sił poziomych a jedynie 

osiowe. Znacznym ułatwieniem była stosunkowo mała liczba stopni swobody 

układu, tym samym krótki czas jego analizy. Wyniki jednak skłoniły nas do 

kolejnej analizy. 


Rozdział IV 

152

przekrój 

HEB100 

płaskownik 140x50 

Rys. 4.32. Umieszczenie profili „rebar” odbywa się na zasadzie wtopienia w przekrój główny 

Otrzymane dla takiego zadania wyniki były 4 razy większe od 

spodziewanych, nośność okazała się zbyt duża jak na tego typu element 

konstrukcyjny. Prawdopodobnie występujące ściskanie elementów, uwzględniło 

wyłącznie dużą zdolność przenoszenia osiowych sił przez profile stalowe, 

których wyboczenie blokowane jest przez okalający mur. 

Następnie w bryle krzywego filara wycięto symetryczne otwory dla 

elementów wzmacniających wg rysunku 4.33 i wstawiono przekroje 

o rzeczywistych wymiarach, którym nadano kontakt z murem za pomocą funkcji 

TIE. 


Rozdział IV 

153

Rys. 4.33. Przekrój filara z rzeczywistymi profilami 

Po nałożeniu siatki okazało się, że problem taki jest istotnie złożony 

obliczeniowo. Model, przy odpowiedniej, wymaganej gęstości siatki, posiadał, 

kilkaset tysięcy swobody. Liczba elementów występujących w samych 

przekrojach stalowych przekraczała kilkunastokrotnie liczbę elementów 

przypadających na część murową. W skutek czego czas obliczeń wydłużyłby 

się co najmniej 10 – krotnie. 

Zastąpiono więc rzeczywiste profile, przekrojami symetrycznymi, 

kwadratowymi o takich samych polach powierzchni i położeniu środka 

ciężkości (Rys. 4.32.). Tym razem, stosunkowo krótki (12 godzin) czas analizy 

pozwolił nam wykonanie dwóch wariantów tego zadania. W pierwszym, 

zadaliśmy kontakt w każdej ze wspólnych płaszczyzn profili wzmacniających 

i ośrodka murowego, za pomocą opcji HARD CONTACT, uwzględniającej 

jedynie przejmowanie docisku od innych elementów. Drugi wariant to 

zastosowanie opcji TIE, imitującej sztywne połączenie na granicy profili 


Rozdział IV 

154

stalowych i muru. Dała nam ona nieznacznie większą wartość siły niszczącej 

(+8%), niż w przypadku funkcji HARD CONTACT. 

Ostateczną geometrię, przeznaczoną do analizy numerycznej 

przedstawiono na poniższym rysunku. Jej układ w pobliżu profili wzmocnienia 

staraliśmy się celowo rozrzedzić, zmniejszając tym samym liczbę stopni 

swobody układu. 

Rys. 4.34. Model numeryczny filara wzmocnionego z nałożoną MES 

Parametry siatki: 





rzędu 






Rozdział IV 

155


Zadanie 1 – Filar prosty 

Zniszczenie filara prostego nastąpiło, podobnie jak w przypadku prostej 

kolumny w skutek zmiażdżenia elementów znajdujących się na wysokości 

ponad 1/3 całego elementu. 

Rys. 4.35. Rozkład parametru zniszczenia (degradacji 75%) 

Pojawiły się również pionowe rysy, zlokalizowane w narożach po wewnętrznej 

stronie kościoła. Spowodowane rozciąganiem w kierunku poziomym. 


Rozdział IV 

156

Rys. 4.36. Rozkład parametru zniszczenia (degradacji) 

Ich powstanie jest wynikiem koncentracji naprężeń w tych miejscach, co 

przedstawia poniższy rysunek. 

Rys. 4.37. Rozkład naprężeń głównych 


Rozdział IV 

157

Wyznaczona przez nas siła, odpowiadająca zniszczeniu przekroju 

ma wartości 4223.54 kN. 

Zadanie 2 – Filar krzywy 

Deformacja filara sprawia, że siły nie działają osiowo, pojawia się 

zginanie, co prowadzi do powstania rys poziomych od rozciągania. 

Rys. 4.38. Rozkład parametru zniszczenia – rozciąganie (degradacji) 

Pojawiają się one w dolnej części filara, natomiast w narożach 

zaobserwować można również rysy pionowe. 

W górnej części filara występują elementy, których zniszczenie 

spowodowane było czystym ściskaniem. 


Rozdział IV 

158

Rys. 4.39. Rozkład parametru zniszczenia – ściskanie (degradacji) 

Zadanie 3 – Filar wzmocniony 

Filar rzeczywisty z uwzględnieniem pracy wewnętrznego zbrojenia był 

szczególnie ciekawym zadaniem w trakcie analizy. Wykorzystane przez nas 

metody symulujące istnienie przekrojów stalowych w ośrodku murowym, 

dawały rozbieżne wyniki. Po wielu rozważaniach i przeprowadzonych 

analizach, przedstawiam wyniki z wykorzystaniem połączenia stal – mur przy 

pomocy opcji TIE, traktowane przez nas jako prawidłowe. 


Rozdział IV 

159

Rys. 4.40. Rozkład parametru zniszczenia przy ściskaniu (degradacji) 

Rys. 4.41. Rozkład parametru zniszczenia przy rozciąganiu (degradacji) 


Rozdział IV 

160

Rys. 4.42. Ekwiwalentne odkształcenia plastyczne w elementach 


Rozdział IV 

161

4.2.2.3. Porównanie wyników i podsumowanie 

Porównanie granicznych sił ściskających, otrzymanych w programie 

ABAQUS przedstawiono na rys. 4.43. 

0 

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 

-1000 

-2000 


-3000 

-4000 

-5000 

-3927.32 kN 

-4223.54 kN 

Filar prosty 

Filar odchylony 

Filar odchylony wzmocniony 

-6000 

-7000 

-8000 

-7325.53 kN 


Rys. 4.43. Wykres porównujący nośności filara prostego, odchylonego i wzmocnionego (stan 

rzeczywisty) zależnie od przemieszczenia pionowego górnej podpory. 

Poniżej w tabeli przedstawiono wyniki sił niszczących otrzymane 

w programie ABAQUS, dopuszczalne wartości wg MES, dopuszczalne 

nośności obliczone analitycznie w projekcie [11]. 

Wyniki otrzymane 

Wartości Nośność otrzymana wg Różnica 

w programie 

dopuszczalne metody naprężeń pomiędzy 

Abaqus 

wg MES dopuszczalnych [11] wynikami 

zniszczenie 

Filar prosty 4224,0 kN 1690,0 kN 1520,0 kN 10% 

Filar krzywy 3927,0 kN 1571,0 kN 1274,0 kN 20% 

Filar krzywy ze 

wzmocnieniem 

7326,0 kN 2930,0 kN 3086,0 kN 5% 

Tab. 4.4. Porównanie wyników obliczeń analitycznych i MES 


Rozdział IV 

162

Wartości sił dopuszczalnych wg MES otrzymaliśmy poprzez podzielenie 

wyników otrzymanych w Abaqus przez współczynnik pewności 2.5 wg [34]. 

W analizie komputerowej liczyliśmy faktycznie zniszczenie, a nie zgodną 

z normą, dopuszczalną wartość. 

Według otrzymanych przez nas wyników nośność filara po deformacji 

spadła o 7%. 

Z kolei wzmocnienie spowodowało dwukrotny wzrost nośności 

w przypadku obliczeń metodą MES. Wynik ten jest potwierdzeniem obliczeń 

zamieszonych w projekcie wzmocnień [11], gdzie wartość ta zwiększyła się 2.4 

– krotnie. 


Rozdział IV 

163

4.2.3. Sklepienie 

Sklepienie jest najbardziej wrażliwym elementem konstrukcji kościoła. 

Wprawdzie przenosi ono jedynie ciężar własny i stanowi wyłącznie funkcję 

wizualną, lecz jego kształt oraz mała grubość sprawiają, że może ulec 

zniszczeniu nawet przy niewielkich oddziaływaniach. Najbardziej 

niebezpieczne byłoby osiadanie jednej z kolumn stanowiących podstawową 

podporę dla sklepienia, co mogłoby nastąpić podczas ewentualnych wykopalisk 

we wnętrzu świątyni. 

Celem tego zadania będzie obliczenie nie tyle samej nośności 

sklepienia, lecz przede wszystkim przemieszczeń, jakim musiałaby ulec 

podpora (kolumna), by uległo ono zniszczeniu. W zadaniu zakładamy brak 

przemieszczeń na obwodzie w miejscu podpór. 

4.2.3.1. Model numeryczny sklepienia 

Najbardziej skomplikowany etap, związany z budową numerycznych 

modeli, miał na celu możliwie jak najdokładniejsze odwzorowanie geometrii 

sklepienia. Niesymetryczne łuki, zarówno względem osi północ – południe, jak 

i wschód – zachód, znacznie utrudniły prace w trakcie tworzenia projektu. 

Sklepienie wymodelowano jako powłokę o jednakowej grubości 14 

centymetrów, używając programu Solid Works 2000. 

W pierwszym etapie utworzono „ścieżki” wyznaczające kształt i kierunek 

pojedynczych „płatów”. Wykorzystaliśmy dane z przeprowadzonych przez nas 

pomiarów opisanych w Rozdziale III oraz [15]. 


Rozdział IV 

164

Rys. 4.44. Krzywe definiujące płaszczyzny sklepienia, Solid Works 2000 

Wykorzystując wyżej przedstawione krzywe definiujące, ograniczające 

zakres pojedynczych powłok, budowaliśmy kolejne części sklepienia. Ważnym 

elementem w trakcie pracy, było zdefiniowanie każdej z krzywych poprzez tą 

samą liczbę punktów charakterystycznych, bowiem stosowane przez program 

metody, interpolują przez każdą z zadanych współrzędnych. 

Musieliśmy również zadbać o to, by każda krawędź na granicy styku 

między dowolnymi powierzchniami była ciągła, zawierała się w jednej krzywej. 

Kolejne etapy pracy, płaty sklepień przedstawiono na poniższym rysunku. 


Rozdział IV 

165

Rys. 4.45. Powierzchnie sklepień (Solid Works 2000) 

Export do Programu Abaqus nie był tym razem przeprowadzony przy użyciu 

plików SAT. Geometrię powłoki wyeksportowaliśmy w postaci pliku IGS, 

o podwójnej dokładności. Następnie, w programie Abaqus CAE nałożyliśmy na 

sklepienie siatkę elementów skończonych, wpierw dowolną jedynie dla 

sprawdzenia jej jakości. W tym przypadku gęstość siatki oraz kształt 

stosowanych elementów był wyjątkowo istotny. Eksperymentowaliśmy 

z wieloma złożeniami z różnych elementów, jednak zawsze powłokowych. 

Każde z tych próbnych zadań, było dla nas istotne ze względu na szybkość 

prowadzenia analizy, uzyskiwania wyników oraz ich jakość. 


Rozdział IV 

166

Rys. 4.46. Siatka elementów sklepienia 




• Nazwa elementu skończonego S4R 

• Kształt elementu skończonego 4 - węzłowy, powłokowy, 

pierwszego rzędu 


Rozdział IV 

167





Przygotowaliśmy również bardziej złożoną siatkę elementów 

skończonych, jednak wielkość zadania, uniemożliwiła przeprowadzenie pełnej 

analizy. 

Rys. 4.47. Siatka elementów sklepienia. 




• Nazwa elementu skończonego S3R, S4R 

• Kształt elementu skończonego 3 - i 4 - węzłowe, powierzchniowe, 

pierwszego rzędu 






Rozdział IV 

168

Istotną trudnością w obliczeniach metodą elementów skończonych staje 

się określenie warunków brzegowych. Mają one zasadniczy wpływ na 

otrzymane wyniki. Dlatego dużym problemem było w przypadku sklepienia 

odtworzenie modelu jego podparcia. Idealnym rozwiązaniem byłoby 

przeprowadzenie analizy kościoła jako całości wraz z wewnętrznymi 

kolumnami i sklepieniem, lecz póki co jest to niemożliwe ze względu na rozmiar 

zadania oraz ograniczenia sprzętowe. 

Ostatecznie przyjęto, że dolne krawędzie sklepienia nie mają możliwości 

przemieszczeń poziomych oraz mur kościoła i kolumny stanowią niepodatną 

powierzchnię. Założono jednak możliwość obrotu każdej krawędzi, tak więc 

model warunków brzegowych symuluje podparcie przegubowe. 

Na powierzchni górnej kolumny numer 6, na której bezpośrednio 

spoczywa część sklepienia wymuszono przemieszczenie pionowe w dół 

(rozciągające sklepienie, kolumna osiada) tak jak w poprzednich przypadkach 

prędkość osiadania była równa 1cm na sekundę. Jako rozwiązanie 

otrzymaliśmy reakcje węzłów na tej powierzchni, w momencie gdy następuje 

zniszczenie widoczny jest spadek sumy tych sił oraz odpowiadające jemu 

przemieszczenie. 


Rozdział IV 

169


Zależność siły od przemieszczenia przedstawiono na wykresie na 

rysunku 4.48. Siła niszcząca sklepienie wynosi 56 kN, co odpowiada 

przemieszczeniu ok. 1.5 cm. Wynika z tego, że sklepienia w obecnym stanie to 

wyjątkowo delikatna powłoka, którą nawet niewielkie osiadania, najbardziej 

realne kolumny nr 6 mogą spowodować katastrofę. 

nośność sklepienia 

0 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 

-10 


-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

-60 kN 

-56 kN 

nośność sklepienia 

-70 


Rys. 4.48. Wykres zależności siły ściskającej od przemieszczenia 

Przebieg zmienności wartości reakcji po przekroczeniu 1.5 cm nie jest 

poprawny, a jego trygonometryczny przebieg w późniejszej fazie spowodował 

koniec analizy przy wartości 2.0 cm. 

Zauważmy zniszczenie w łączeniu poszczególnych powłok między sobą. 

Propagacja rys w tych miejscach następuje gwałtownie, na skutek zaledwie 

milimetrowych ruchów podpory. 


Rozdział IV 

170

Rys. 4.49. Mapa naprężeń głównych 

Elementy zaznaczone kolorem czerwonym wskazują nam największe 

wytężenie powłoki i w prosty sposób ilustrują, która jej część uległaby 

zniszczeniu, spowodowanemu przemieszczeniem krawędzi sklepienia. 

Strefa zniszczenia objęłaby również centralną część kościoła w nawie 

głównej, co widać na poniższych rysunkach 4.50 i 4.51. Szczególne zagrożony 

jest ołtarz główny oraz nawy boczne na jego wysokości. 

W analizie sklepienia nie uwzględniliśmy bezpośrednio występujących 

ściągów, opisanych w rozdziale II, ponieważ nie gwarantują one stateczności 

przy niepodatnych podporach. 

Ściągi nie uchronią sklepienia przed runięciem w przypadku wystąpienia 

osiadań filarów. 


Rozdział IV 

171




Rozdział IV 

172

4.2.4. Kościół 

W fazie końcowych obliczeń, chcieliśmy analizować całą konstrukcję 

kościoła. W tym celu powstały zadania z części 4.2. Ostatnim ogniwem okazała 

się bryła kościoła, konstrukcja muru zewnętrznego. Posiadała ona jednak 

istotnie złożoną geometrię, na podstawie doświadczeń, które nabyliśmy 

w trakcie prac nad sklepieniem postanowiliśmy, że do modelowania geometrii 

przystąpimy bezpośrednio w środowisku Abaqus CAE. Na podstawie danych 

z podrozdziału 3.11 zaczęliśmy pracę. Wstępnie uwzględniliśmy skręcenie 

bryły kościoła (Rys. 4.53), jednak na etapie rozciągania siatki elementów 

skończonych wystąpiły znaczne problemy z jakością elementów, spowodowały 

one, iż postanowiliśmy dalej pracować z modelem nie skręconym. 

Rys. 4.52. Bryła kościoła, uwzględnienie skręcenia 

W kolejnym etapie w bryle konstrukcji należało „wyciąć” wszelkie otwory, 

chór, okna, drzwi, schody. Wszelkie dane, wymiary potrzebne mieliśmy 

z przeprowadzonych przez nas prac inwentaryzacyjnych. Powstały wstępnie 

model konstrukcji murowej przedstawiono na rysunku 4.53. 


Rozdział IV 

173

Rys. 4.53. Bryła kościoła, modelowanie wnęk 

Rys. 4.54. Bryła kościoła, (model β-eta) 


Rozdział IV 

174

Rys. 4.55. Model ostateczny 


Rozdział IV 

175

W trakcie pracy uwzględniliśmy cokół kościoła oraz zamknięte blendy (wnęki 

okienne), wraz z wszelkimi innymi otworami w konstrukcji np.: drzwi itp. 

Rysunek 4.55 przedstawia ostateczną wersję przyjętą przez nas do dalszych 

badań. Postanowiliśmy dokonać wstępnej analizy, jednak na etapie podziału 

na elementy skończone okazało się, że chcąc uzyskać wyniki obarczone 

małym błędem, na grubości muru powinniśmy zastosować co najmniej 6 lub 8 

elementów. Tak postawione zadanie stanowiło matematyczny układ o kilkuset 

tysiącach stopni swobody. W przypadku gdybyśmy zdecydowali się na 

włączenie do zadania kolumn, zbrojonych filarów oraz sklepienia to 

uzyskaliśmy układ o liczbie stopnie swobody pomiędzy 1 500 000 a 2 000 000. 

Płynące ograniczenia sprzętowe nie pozwoliły w chwili obecnej podjąć próbę 

i dokończyć tej złożonej analizy. Jedną z analizowanych siatek elementów, 

samej zewnętrznej konstrukcji murowej przedstawia poniższy rysunek 4.56. 

Rys. 4.56. Podział na elementy skończone 


Rozdział IV 

176

Wnioski 

Na koniec warto podkreślić, że na uzyskane wyniki, miało wpływ wiele 

czynników. Na każdym etapie analizy numerycznej musieliśmy czynić 

założenia, wynikające z braku możliwości uzyskania dostatecznych informacji 

na temat materiału, z jakiego konstrukcja została wykonana, warunków 

brzegowych oraz charakteru obciążenia. 

Dzięki dokładnej inwentaryzacji można było stworzyć rzeczywistą 

geometrię modelowanych elementów kościoła, zgodną z prawdziwą 

konstrukcją. Problemem okazało się jednak przyjęcie odpowiednich warunków 

brzegowych. W rzeczywistości nie wiadomo jak wyglądają fundamenty obiektu 

oraz jak posadowione są wewnętrzne kolumny. Przyjęcie pełnego utwierdzenia 

w przypadku filara międzyokiennego podyktowane było zmianą grubości ściany 

znajdującej się poniżej. Takie założenie ma ogromny wpływ na ostateczne 

wyniki. Dużą trudnością stało się również określenie sposobu oparcia 

sklepienia na murze i kolumnach. W przypadku tak złożonej i wiekowej 

konstrukcji, niezmiernie trudno jest opisać warunki brzegowe za pomocą 

prostych schematów. 

Jednym z głównych problemów w przeprowadzonych symulacjach, 

okazało się określenie związku konstytutywnego, opisującego zachowanie się 

muru. Wymagało to przyjęcia ujednoliconego, zhomogenizowanego ośrodka 

zastępczego, będącego uproszczeniem rzeczywistego materiału. Przyjęta 

metoda homogenizacji dawała szansę wystarczająco dokładnego opisu 

zachowania się materiału dla przyjętych parametrów mechanicznych. 

Jak widać, nawet podczas tak zaawansowanych obliczeń jak analiza 

metodą elementów skończonych, napotyka się na trudności, mających istotny 

wpływ na ostateczne wyniki. Pomimo ograniczeń możliwa jest wiarygodna 

ocena zachowania się elementów konstrukcyjnych, z której wynika, że 

najbardziej wrażliwe na przemieszczenia jest sklepienie. Mając na względzie 

uproszczenia i przyjęte kompromisy, o których wspomniano wcześniej, 

możemy podać, że zapas dopuszczalnych osiadań kolumn w tym przypadku 


Wnioski ® 

177

jest szczególnie znikomy, wynosi zaledwie 1.5cm. Wynik ten nie jest obciążony 

globalnym współczynnikiem bezpieczeństwa 2.5. 

Wykonane prace konstrukcyjne w rodzimej bryle Kościoła Najświętszej 

Marii Panny, znacznie wzmocniły elementy nośne, a także uprzestrzenniły 

charakter pracy obiektu. Według naszych obliczeń, stalowe kształtowniki 

znacznie poprawiają nośność odkształconych filarów. Wzmocnione elementy 

są zdolne przenieść prawie dwukrotnie większe siły. Przestrzenny charakter 

pracy udało się również uzyskać w wyniku połączenia kompozytowych filarów 

z wieńcem spinającym koronę murów i belkami stropowymi. 

Model całości muru zewnętrznego kościoła (4.2.4) stanowi dobry punkt 

wyjściowy do dalszych analiz, które mogą połączyć każde z naszych zadań 

w jeden złożony model, jednak liczba jego stopni swobody z pewnością 

przekroczy wartość 2 000 000. 


Wnioski ® 

178

Bibliografia 

Rozdział I 

[1] Witold Gałka, „O architekturze i plastyce dawnego Poznania do końca epoki baroku”, 

Poznań, Wydawnictwo Miejskie, 2001r. 

[2] „Katalog zabytków sztuki w Polsce. Miasto Poznań.” Pod redakcją E. Linette i Z. 

Kurzawy, Warszawa, 1983r. 

[3] „W kręgu katedry” (Zofia Kurzawa, „Dziewiętnastowieczna restauracja „starożytnych” 

budynków na Ostrowie Tumskim”), KMP, Poznań, Wydawnictwo Miejskie, 2003r. 

[4] „W kręgu katedry” (Hanna Koćka - Kerenz, „Dzieje Ostrowa Tumskiego w Poznaniu 

przed lokacją miasta”), KMP, Poznań, Wydawnictwo Miejskie, 2003r. 

[5] „Poznań od A do Z. Leksykon krajoznawczy.”, pod redakcją W. Łęckiego i P. 

Maluśkiewicza, Wydawnictwo Kurpisz, Poznań, 1998r. 

[6] Julius Kohte „Verzeichnis der Kunstdenkmäler der Provinz Posen“ Bd. II Berlin, 1896r. 

[7] „Poznań – przewodnik po zabytkach i historii”, Poznań, Wydawnictwo Miejskie, 2003r. 

[8] Sieć internetowa: http://www.city.poznan.pl/palatium/ 

[9] Dokumentacja geotechniczna dla zbadania podłoża w rejonie kościoła NMP na 

Ostrowie Tumskim w Poznaniu, Opracowanie: Geoprojekt - Poznań, Poznań, listopad 

1998r. 

Rozdział II 

[10] Ocena stanu technicznego kościoła p.w. NMP na Ostrowie Tumskim w Poznaniu. 

Opracowanie: dr inż. Piotr Rapp, Poznań, listopad 1998r. 

[11] Projekt wzmocnienia filarów międzyokiennych w kościele p.w. NMP na Ostrowie 

Tumskim w Poznaniu. Opracowanie: dr inż. Piotr Rapp, Poznań, czerwiec 1999r. 

[12] Sprawozdanie z prac przy wzmocnieniu filarów międzyokiennych w kościele p.w. NMP 

na Ostrowie Tumskim w Poznaniu. Opracowanie: dr inż. Piotr Rapp, Poznań, czerwiec 

1999r. 

[13] Projekt spięcia korony murów oraz inwentaryzacja ściągów nad i pod sklepieniami. 


[14] Projekt połączenia wieńca spinającego koronę murów z belkami stropowymi. 


Rozdział III 

[15] M. Wójcik, I. Wyczałek, „Geodezja”, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1999r. 

[16] Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki Poznańskiej, Geodezyjne pomiary deformacji 

kościoła p.w. Najświętszej Marii Panny, Poznań , listopad 1998r. 

[17] Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki Poznańskiej, Geodezyjne pomiary deformacji 

kościoła p.w. Najświętszej Marii Panny, Poznań , styczeń 1999r. 

[18] D. Sęczuk, „Podstawy teorii błędów.”, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 2003r. 


Bibliografia 

179

Rozdział IV 

[19] L. Małyszko, R. Orłowicz, „Konstrukcje murowe. Zarysowania i naprawy.”, 

Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko – Mazurskiego, Olsztyn 2000r. 

[20] J. Lopez, S. Oller, J. Lubliner, „A homogeneous model for masonry.”, International 

Journal for Numerical Methods in Engineering. 46, 1999r. 

[21] Arnold W. Hendry, "Structural Masonry", MCMILLAN EDUCATION LTD., printed in 

Hong Kong first edition, 1990r. 

[22] Zbigniew Janowski, "Remonty i wzmocnienia murów oraz sklepień w obiektach 

zabytkowych", XIV ogólnopolska konferencja pracy projektanta konstruktora, Ustroń 

25-27 luty 1999 TOM 1, część 1 

[23] T. Łodygowski, W. Kąkol, „Metoda elementów skończonych w wybranych 

zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich”, Wydawnictwo Politechniki 

Poznańskiej, 1991r. 

[24] K. Piszczek, J. Szarliński, A. Urbański, „Modelowanie numeryczne odkształcalności i 

wytrzymałości muru wraz z weryfikacją doświadczalną”, XLV Konferencja Naukowa 

Komitetu Inżynierii Lądowej i Wodnej PAN i Komitetu Nauk PZITB, Wrocław – Krynica, 

1999r. 

[25] M. Wierszycki, „Analiza numeryczna ceglanej kopuły kościoła p.w. Św. Jana 

Chrzciciela w Owińskich koło Poznania”, Zakład Metod Komputerowego Wspomagania 

Projektowania Politechniki Poznańskiej, 2001r. 

[26] T. Jankowiak, „Analiza teoretyczno numeryczna zachowania się próbek betonowych 

przy teście wyciągania zbrojenia”, Zakład Metod Komputerowego Wspomagania 

Projektowania Politechniki Poznańskiej, 2003r. 

[27] W. Bogacz, „Wybrane problemy homogenizacji w konstrukcjach murowych i 

drewnianych”, Zakład Metod Komputerowego Wspomagania Projektowania 

Politechniki Poznańskiej, 2003r. 

[28] Ryszard Grądzki, „Wprowadzenie do metody elementów skończonych”, Łódź, 2002r. 

[29] J. Kubica, Ł. Drobiec, R. Jasiński, XLV Konferencja Naukowa „Badanie siecznego 

modułu sprężystości murów z cegły”, Wrocław – Krynica 1999r 

[30] PN-99/B-03002 „Konstrukcje murowe. Obliczenia statyczne i projektowanie” 

[31] Z. Janowski, T. Matysek, „Analiza nośności murów ceglanych z uwzględnieniem 

nieliniowej zależności obciążenie – odkształcenie”, XXXVIII Konferencja Naukowa 

KILiW PZITB, Łódź – Krynica 1992r. 

[32] J. Kubica, „Badania zależności σ-ε niezbrojnych murów z cegły”, XLI Konferencja 

Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, Kraków – Krynica 1995r. 

[33] HKS, Inc. ABAQUS Theory Manual, 2000r. 

[34] S. Janicki, J. Sikorski „Wymiarowanie konstrukcji murowych i zespolonych” Arkady 

1974r. 


Bibliografia 

180

pomiar z dnia 16.IV.2004 KOLUMNA nr 6 NMP 

pomiary prowadzone ze stanowiska A 

pomiary prowadzone ze stanowiska B 

Ax [m] Ay [m] Az [m] hA [m] 

Hz A -> B 

[grad] 

krawędź kolumny numer 6 6.1 

Hz A -> C 

[grad] 

Vk A -> C 

[grad] 

Bx [m] By [m] Bz [m] hB [m] 

Hz B -> 

A [grad] 

Hz B -> 

C [grad] 

Vk B -> 

C [grad] 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.4195 61.2805 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.1795 57.5435 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.4710 66.1505 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.2725 62.6225 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.4460 71.0050 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.3405 67.7260 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.3685 76.3815 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.3805 73.4520 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.3785 82.5005 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.5245 80.1140 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.3055 88.5435 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.6485 86.7715 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.2155 95.2470 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.7555 94.2080 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.1355 101.9600 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.8230 101.7175 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 215.0410 108.6110 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 142.8620 109.1465 


Hz A -> B 

[grad] 


Hz A -> C 

[grad] 

Vk A -> C 

[grad] 


Hz B -> 

A [grad] 

Hz B -> 

C [grad] 

Vk B -> 

C [grad] 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.4985 62.4005 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 137.9100 57.1035 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.5440 67.2795 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 137.9870 62.2710 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.5760 72.0475 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.0785 67.4585 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.5820 77.1050 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.1630 73.0590 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.4985 83.1615 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.2455 79.8910 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.4400 89.0430 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.3090 86.6610 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.4150 95.5315 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.4340 94.2510 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.3490 101.8660 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.5410 101.7150 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.3650 108.2505 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 138.6495 109.2305 


Hz A -> B 

[grad] 


Hz A -> C 

[grad] 

Vk A -> C 

[grad] 


Hz B -> 

A [grad] 

Hz B -> 

C [grad] 

Vk B -> 

C [grad] 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.9630 64.3575 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 133.2710 58.4375 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.9535 69.6245 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 133.3050 64.1400 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.9220 73.8180 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 133.2465 68.7335 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.8905 78.4985 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 133.4105 74.0440 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.8575 84.5400 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 133.5690 81.0510 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.9555 89.8815 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 133.7945 87.3830 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 211.9895 95.8460 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 134.0165 94.5375 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.0075 101.8860 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 134.1905 101.8045 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 212.0240 107.7170 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 134.3425 108.8265 


Hz A -> B 

[grad] 


Hz A -> C 

[grad] 

Vk A -> C 

[grad] 


Hz B -> 

A [grad] 

Hz B -> 

C [grad] 

Vk B -> 

C [grad] 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 221.0740 61.7300 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 144.9930 60.0760 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 221.0655 66.6535 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 145.1550 65.1150 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 221.1580 71.4770 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 145.3975 70.0860 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 221.1290 76.5070 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 145.5135 75.2285 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 220.9760 82.9240 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 145.6250 81.8305 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 220.9425 88.8600 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 145.7890 87.9805 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 220.8245 95.3135 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 145.9330 94.6745 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 220.7020 101.9555 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 146.0855 101.6140 

10.0000 18.0640 0.0000 1.5568 151.8075 220.5295 108.5360 10.0000 10.0000 0.0000 1.5480 220.3858 146.2760 108.4465 


Hz A -> B 

[grad] 


Hz A -> C 

[grad] 

Vk A -> C 

[grad] 


Hz B -> 

A [grad] 

Hz B -> 

C [grad] 

Vk B -> 

C [grad] 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 124.2005 62.9195 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 282.3680 45.3370 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 124.1015 67.3955 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 282.2885 50.4120 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 124.1960 72.0365 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 282.0890 56.2370 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 124.0555 77.6700 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 281.8400 64.0750 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.8745 83.1595 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 281.6005 72.4400 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.6990 88.9355 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 281.4870 81.8505 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.4650 95.4560 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 281.1100 93.0190 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.3045 102.0260 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 280.8855 104.4030 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.1590 108.1530 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 280.6965 114.7025 


Hz A -> B 

[grad] 


Hz A -> C 

[grad] 

Vk A -> C 

[grad] 


Hz B -> 

A [grad] 

Hz B -> 

C [grad] 

Vk B -> 

C [grad] 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.1535 61.2745 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 276.2780 45.2510 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.1450 65.6045 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 275.9465 50.2730 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 123.2110 70.5165 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 275.5765 56.1875 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 122.9605 76.4055 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 275.5135 64.0355 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 122.7235 82.2075 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 275.4060 72.4810 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 122.4615 88.0985 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 275.0735 81.6160 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 122.2650 95.1950 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 274.8225 93.0680 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 122.0380 102.1835 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 274.6350 104.4285 

20.7670 22.4840 0.0000 1.6121 160.5420 121.8165 108.6115 24.9778 13.3201 0.0000 1.6746 200.0000 274.4580 114.6135 


Załącznik A 

181

WYNIKI 


X [m] Y [m] Z [m] 

18.06762 12.87456 8.300 

18.06461 12.88642 7.300 

18.04983 12.89148 6.300 

18.02974 12.89016 5.300 

18.01202 12.90373 4.300 

17.98042 12.91057 3.300 

17.95017 12.91444 2.300 

17.92681 12.91544 1.300 

17.84535 12.87000 0.300 


X [m] Y [m] Z [m] 

18.12477 12.29439 8.300 

18.12345 12.30376 7.300 

18.11733 12.31478 6.300 

18.09409 12.33223 5.300 

18.07898 12.32758 4.300 

18.05835 12.33070 3.300 

18.03719 12.34130 2.300 

18.00959 12.34814 1.300 

17.81965 12.23719 0.300 


X [m] +0.14 Y [m] -0.05 Z [m] 

18.68937 11.78317 8.300 

18.68166 11.78814 7.300 

18.68532 11.77786 6.300 

18.65087 11.79576 5.300 

18.62160 11.80872 4.300 

18.60841 11.84006 3.300 

18.58265 11.86566 2.300 

18.56050 11.88533 1.300 

18.54081 11.90301 0.300 


X [m] Y [m] Z [m] 

18.66062 13.52476 8.300 

18.63350 13.53608 7.300 

18.60865 13.56672 6.300 

18.58115 13.57511 5.300 

18.53821 13.57253 4.300 

18.50338 13.58510 3.300 

18.45816 13.58873 2.300 

18.41160 13.59272 1.300 

17.93141 13.28620 0.300 


X [m] Y [m] Z [m] 

19.35176 12.44799 8.300 

19.33637 12.45314 7.300 

19.35334 12.47475 6.300 

19.33474 12.49326 5.300 

19.30732 12.51148 4.300 

19.27887 12.51978 3.300 

19.24774 12.54805 2.300 

19.22565 12.56500 1.300 

18.40675 12.05745 0.300 


X [m] Y [m] Z [m] 

19.26796 12.98838 8.300 

19.27214 13.01972 7.300 

19.28426 13.05222 6.300 

19.24875 13.05601 5.300 

19.21300 13.06538 4.300 

19.17711 13.09496 3.300 

19.15297 13.11511 2.300 

19.12280 13.13056 1.300 

18.47538 12.72225 0.300 


Załącznik A 

182

Szkic roboczy, wg którego ustalaliśmy lokalizację konkretnych punktów 

na zewnątrz konstrukcji muru, w trakcie pomiarów. Kolejno tabela a w niej 

współrzędne szczególnych punktów otrzymane przy pomocy programu 

„Wcięcie”. Dokładność wyznaczenia współrzędnych miała na celu jedynie 

sprawdzenie możliwości programu. W rzeczywistości punkty wprowadzaliśmy 

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku (milimetra). 


Załącznik B 

183

x y z1 

1 5.5698477875834 24.7270139646184 3.0008354470981 

2 5.3023974809529 24.6743604192735 12.7759956863215 

3 6.9963223630862 24.7422619515516 2.9996157137677 

4 6.7665217942158 24.7980205475168 12.8199887710270 

5 5.6214610290727 24.6606223252317 11.6139270651762 

6 5.6446429310559 24.6849799353286 10.6320709281221 

7 5.7903603640001 24.6680671045174 5.0719926976115 

8 5.8310625050855 24.6753621849694 3.5633590699038 

9 12.0377211659911 24.6699572243434 2.9209565151512 

10 11.7607832675574 24.5444478067272 12.7540282991264 

11 13.4584177845308 24.6589671966562 2.9152435089574 

12 13.3135329550066 24.6404948739322 12.7541384789364 

13 12.1292214244864 24.5336521439408 11.5279199145624 

14 12.1536682379431 24.5350071545174 10.6686732919977 

15 12.2895997229770 24.6037520832606 5.2814436228311 

16 12.3104083869325 24.6423525261954 3.7897228226412 

17 9.6796383390781 24.3616818616651 12.0402608203375 

18 9.6530955169649 24.0480346806925 11.6704193691651 

19 8.4630468066660 24.4279931948178 10.4905570654770 

20 10.9025850704835 24.3457442082255 10.6854468404800 

21 8.6245668452380 24.3340812017767 4.4941321521223 

22 10.8254825023529 24.2593690434342 4.5453307376318 

23 9.7674511943609 24.5070805331585 3.9278128066611 

24 8.4910463644931 24.5202069239654 2.5454862731025 

25 11.0227368269634 24.4904167147712 2.5375773517124 

26 8.4984745928105 24.5407533616050 3.1743837784353 

27 11.0577083915426 24.4858194483307 3.1421342762772 

28 9.7054172300463 23.7084073497848 2.4278575339712 

29 8.3061393389509 24.5657757861296 4.0737276088441 

30 17.6899036646006 24.6186283832072 2.8824474674777 

31 17.5360059919061 24.4588029504006 12.7534334631713 

32 19.1665035475487 24.4877059449134 2.8663325040440 

33 19.0762833615358 24.3226844623907 12.7780888336974 

34 17.8950263590862 24.4412402921456 11.6197093456663 

35 17.8895129474426 24.4612924887748 10.7055455599013 

36 17.9925878690281 24.5068421673907 5.3203430754031 

37 17.9860492188190 24.5299014322874 3.8284881614321 

38 15.4073124368687 24.1253541336807 12.0900221195436 

39 15.4646282212967 23.9872225281826 11.7696641808009 

40 14.0824658784439 24.4412013418968 10.3319510246321 

41 16.7208659541518 24.2041179176717 10.5945832537210 

42 14.4130090077332 24.2064546727610 3.0887573967708 

43 16.7247112834775 24.1747626136430 3.1093091301996 

44 14.0867796284588 23.5784051158407 2.8980436934175 

45 26.2616594480452 12.1198870661257 3.2121233887960 

46 15.2299545849196 23.9509979374914 4.9783141359532 

47 15.8314785506450 23.9612933752620 4.3360242143992 

48 22.9585495127185 23.5261674985027 2.8471110929591 

49 22.9530516715923 23.4427455095306 12.7293855814627 

50 24.2312236490004 22.6150174801053 2.8728334199698 

51 24.1709933220336 22.6648748708616 12.7246240804124 

52 23.2552464147745 23.7347139138500 11.4902523965556 

53 23.3150912688177 23.6648730756224 5.1449889040704 

54 20.8642378416636 23.5832209990158 12.0875888877433 

55 20.8123819247117 23.2614546945452 11.6109303531507 

56 19.7726025655535 23.8367405439958 10.4765508430113 

57 22.1640383533384 23.3218453774955 10.3144331006317 

58 19.9160050809611 23.8083630980972 3.1146573133824 

59 22.1016798492556 23.3209291658940 3.1318070536524 

60 19.1921573407336 24.2811723356380 2.9183350436794 

61 22.8946262950375 23.2491259379177 2.9329159454343 

62 20.6575938576554 23.3494360955854 4.4030164525020 

63 21.2167956219824 23.2098532061915 4.4070292662181 

64 6.8469471461570 24.5085779619805 12.4579329623602 

65 13.5090001048009 24.2681586151130 12.4259203726218 

66 19.2279022034377 23.9945002114763 12.4250493163976 

67 63.9889549661723 30.1543512645380 14.5480676582624 

68 112.4894745623120 -13.6111167968965 6.6285141749877 

69 98.1707256756674 -5.0517759726825 5.7449508749377 

70 118.8823851710900 -18.0816187127811 5.5070668249221 

71 92.5613117468418 -2.4333873025410 4.3356133662873 

72 63.3456061374051 29.5557445679093 4.8334319713367 

73 63.0099021015198 29.2433872976686 5.0291855132145 

74 91.5157716509969 -2.0630970384514 3.4923600189666 

75 85.9014262141912 2.2563847193193 3.2731849681714 

83 90.7546813507443 -32.5175841236598 6.5165457418160 

85 79.9308097513637 -23.9096080188852 5.0071839059855 

88 25.1288443935158 11.4968102165536 5.3426563275672 

89 25.1321575630577 11.5334503274096 3.7140160960694 

94 24.3457740497124 9.7723721655713 2.9791392799265 

95 23.2409373037595 7.7914170853616 2.9740620846238 

96 23.5893354949388 9.1610521478962 4.3068937894877 

97 23.3917938429775 8.6176672183061 4.3040793859448 

98 24.8775274444052 10.3833584893336 2.8149157164105 

99 23.0216752238638 7.1038818447862 2.7902292566829 

100 24.4124169657044 14.0085966269334 4.3210023621980 

101 24.4877331589265 13.3955572535632 4.3200392337938 

107 22.9550381432224 6.7178463405859 5.0466275412963 

108 22.9649406840584 6.7176052504592 3.6547132483052 

109 23.1349167204944 6.9622056551406 1.8325261604101 

110 22.0584808293443 5.9605572894912 1.8191773283932 

111 25.0301030211711 10.4158906192176 1.7878886601965 

112 25.3028323850684 11.8327520946719 1.6977235841041 

124 14.1013223022162 -19.1762716872128 1.9955187256266 

125 13.9324931437070 -18.9139675723516 1.9697777257729 

126 13.8360033136722 -18.6907176865221 1.9079636333257 

127 15.3732103522102 7.7479149711247 12.1618565953905 

128 15.3989354435762 7.9180449801744 11.8450533393085 

129 16.6104260105936 7.8017284727979 10.8015675083718 

130 14.1979343585463 7.7688943932399 10.7790192014801 

131 18.3830415058219 7.5439805215469 12.4405576047938 

132 18.5240311845464 7.3821532016008 9.8494207909426 

133 17.8876605161941 7.4582279920016 9.9199605086822 

134 18.3395382565793 7.6700756530830 12.1639746259972 

135 13.6347841496648 -18.4329692978423 2.6332163310583 

136 12.4062226351428 7.5409107794015 12.2180105941733 

137 12.9697614070920 7.5220639146542 9.9433910603093 

138 11.8201693388495 6.5937160267958 9.6162270726642 

139 14.5771057439738 -19.8838832559513 2.9941337966099 

140 14.5725298723654 -19.8870519340445 2.4712401446256 

141 14.5758252798293 -19.8927320938260 2.1613741144477 

142 14.5061082175333 -19.7886750571245 1.8737873927551 

143 14.8615454408706 -20.3315245154920 1.8985189001846 

144 9.8326106565091 7.9213458515468 12.0272197440666 

145 10.9252889060120 7.8770959154297 10.4730415152877 

146 8.5898011700608 7.9783055942076 10.4762757639316 

147 10.8375552308285 8.0775396078015 4.6463736134821 

148 15.0146335864049 -20.5828902147962 2.4086166450901 

149 15.4478500806174 -21.2614470560544 2.3940795179802 

150 15.0506577481019 -20.6402438988234 1.9968454199847 

151 15.0388487502518 -20.6365901669022 1.8433817907009 

152 15.4239900370430 -21.2455521506587 2.2468235323192 

154 6.0125423748884 7.6786936364086 12.1106603991599 

155 6.5741056856676 7.7526627189340 9.9576529425070 

156 5.6000176932433 7.7874821906687 9.9227587961735 

157 6.5761581270077 7.7596018085883 8.6924696805171 

158 4.4333279362187 8.0667624651972 13.3165975932747 

159 4.5517329068540 8.1599317607298 6.4749937131649 

160 17.4682840115893 7.6696783469705 12.3108035752884 

161 13.2291242765847 7.5808828939357 12.2956784665608 

162 11.6008197384799 7.8393035847916 12.1421124569849 

163 7.0678220638753 8.1098163300474 12.2395649280702 


Załącznik B 

184


Załącznik B 

181

Przekroje gruntowe – na podstawie opracowania [9] 


Załącznik C 

185


Załącznik C 

186


Załącznik C 

187


Załącznik C 

188


Załącznik C 

189


Załącznik C 

190

Dziennik niwelacji: punktów na posadzce wewnątrz kościoła . 

Niwelacja nr.1 

Ciąg (linia) 

Nr: ........... 

Oznaczenie odcinków niwelacji: 

Od pkt. nr .....5................. 0,45 km...... 

Do pkt. nr .....5................. 0,45 km..... 

Data pomiaru:.......................... 

Kierunek: 

Obserwator: D. Norberciak.... 

główny 

powrotny Sekretarz: A. Passowicz.... 

Pomiar różnicy wysokości 

Średnia różnica wysokości h 

Nr stanowiska 

Oznaczenie 

stanowisk łat 

i reperów 

Dlugosci 

celowych 

I pomiar 

wstecz – t 1 

w przód- p 1 

(t 1 – p 1 ) 

II pomiar 


w przód- p 2 

(t 2 – p 2 ) 

dodatnia 

+h 

ujemna 

–h 

Wysokości 

punktów 

Uwagi, 

zestawienia, szkice 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

1 

Z przeniesienia: × 

5 1398 1422 

-0,028 

3,00 1370 1394 

Poprawka komparacyjna łat dla 

odcinka: ........................ 

wynosi: ............ mm 

1(przy filarze ) +0028 +0028 0028 

0,000 

1(przy filarze ) 1309 1372 

2 

3,50 1321 1384 -00005 

6 -0012 -0012 0012 

-0,012 5 

UWAGA: 

3 

4 

-0,003 

+0,017 5 

6 1350 1420 

1,50 1341 1410 

4 +0009 +0010 0009 5 

4 1721 1672 

6,0 1700 1652 

3 +0021 +0020 0020 5 

3 1322 1375 

1. Punkt 1 to punkt przyjęty identycznie 

jak dla pomiarów 

p. dr .M. Wójcika 

5 

1,50 1324 1377 

7 -0002 -0002 0002 

7 1368 1422 

+0,015 5 

5 

3,50 1390 1445 -00005 

-0,007 5 

2 -0022 -0023 0022 5 

2 1405 1323 

6 

3,00 1426 1343 

-0,028 

5 -0021 -0020 0020 5 

Zestawienie wyników 

pomiarów odcinka: 

Długość odcinka: .......... km 

Różnica wysokości w kierunku 

głównym 0,00 

powrotnym 0,00 

średnia 0,00 

Do przeniesienia: 


× × 305 5 305 5 Kontrola: 

otrzymana: 0,00 

∑ t 4712 4655 1 

2 (Σ t dopuszczalna 

1 – Σ p 1 +Σ t 2 – Σ p 2 ) = 

: 

Σ(+h) – Σ(-h) 

∑ p 4717 4650 (Σ t–Σ p) śr Σ(+h)-Σ(-h) Data sprawdzenia: 

∑t–∑p +0005 -0005 0000 0000 

Odchylki: 

Sprawdził: 


Załącznik D 

191

Dziennik niwelacji: punktów osnowy(I) zewnętrznej przy kościele. 


Ciąg (linia) 

Nr: ........... 


Od pkt. nr .....5................. km......... 

Do pkt. nr .....10................km......... 

Data pomiaru:.......................... 

Kierunek: 


główny 




Nr stanowiska 

Oznaczenie 


i reperów 

Dlugosci 

celowych 

I pomiar 


w przód- p 1 

(t 1 – p 1 ) 

II pomiar 


w przód- p 2 

(t 2 – p 2 ) 

dodatnia 

+h 

ujemna 

–h 

Wysokości 

punktów 

Uwagi, 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

1 


5 1541 1468 

-0,028 

1856 1783 


odcinka: ........................ 

wynosi: ............ mm 

10 -0315 -0315 0315 

-0,343 

2 

3 

10 1400 1450 

0699 0748 +00005 

+0,359 

12 +0701 +0702 0701 5 

12 0780 0731 

1011 0963 

+0,127 5 

R p -0231 -0232 0231 5 

R p 0990 1050 

UWAGA: 

1. Jako wysokość punktu 5 przyjęto – 

0,028 m, co wynika z dziennika 

niwelacji punktów osnowy wewnętrznej 

(Niwelacja Nr.1.) 

4 

5 

5 

0389 0449 +00005 

11 +0601 +0601 0601 

11 0554 0531 

1626 1603 

10 -1072 -1072 1072 

10 1500 1540 

sprawdzenie 1185 1225 

5 0315 0315 0315 

+0,729 

-0,343 

-0,028 







średnia 0,00 



× × 1617 5 1618 5 Kontrola: 


∑ t 6765 6770 1 


1 – Σ p 1 +Σ t 2 – Σ p 2 ) = 

: 

Σ(+h) – Σ(-h) 


∑t–∑p -0001 -0001 -0001 -0001 

Odchylki: 

Sprawdził: 


Załącznik D 

192

Dziennik niwelacji: punktów osnowy(II) zewnętrznej przy kościele. 


Ciąg (linia) 

Nr: ........... 


Od pkt. nr .....12................. km......... 

Do pkt. nr .....12..................km......... 

Data pomiaru:.......................... 

Kierunek: 


główny 




Nr stanowiska 

Oznaczenie 


i reperów 

Dlugosci 

celowych 

I pomiar 


w przód- p 1 

(t 1 – p 1 ) 

II pomiar 


w przód- p 2 

(t 2 – p 2 ) 

dodatnia 

+h 

ujemna 

–h 

Wysokości 

punktów 

Uwagi, 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

7 


12 1391 1251 

+0,359 

1600 1560 


odcinka: ........................ 

wynosi: ............ mm 

14 -0209 -0209 0209 

+0,150 

14 1138 1119 

8 

1495 1474 

13 -0357 -0355 0356 

-0,206 

UWAGA: 

9 

13 1532 1500 

1595 1562 -00005 

-0,269 

18 -0063 -0062 0062 5 

18 1700 1643 

1. Jako wysokość punktu 12 przyjęto 

+0,359 m, co wynika z dziennika 

niwelacji punktów osnowy zewnętrznej. 

(Niwelacja Nr.2.) 

10 

1401 1342 -00005 

16 +0299 +0301 0300 

16 1377 1339 

+0,030 5 

11 

1599 1560 

-0,191 

17 -0222 -0221 0221 5 

17 1540 1505 

12 

1352 1318 

+0,003 5 

15 +0188 +0187 0187 5 

13 

14 

15 1189 1264 

1540 1615 -00005 

Ż +0351 +0351 0351 

Ż 1280 1303 

0566 0589 

12 +0714 +0714 0714 

-0,355 

-0,359 







średnia 0,00 



× × 305 5 305 5 Kontrola: 


∑ t 4712 4655 1 


1 – Σ p 1 +Σ t 2 – Σ p 2 ) = 

: 

Σ(+h) – Σ(-h) 


∑t–∑p +0005 -0005 0000 0000 

Odchylki: 

Sprawdził: 


Załącznik D 

193

Dziennik niwelacji punktów na cokołach zewnętrznych kościoła. 


Ciąg (linia) 

Nr: ........... 


Od pkt. nr .....1................. km......... 

Do pkt. nr .....13................km......... 

Data pomiaru:.......................... 

Kierunek: 


główny 




Nr stanowiska 

Oznaczenie 


i reperów 

Dlugosci 

celowych 

I pomiar 


w przód- p 1 

(t 1 – p 1 ) 

II pomiar 


w przód- p 2 

(t 2 – p 2 ) 

dodatnia 

+h 

ujemna 

–h 

Wysokości 

punktów 

Uwagi, 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

1 

2 

3 

4 

5 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 


+0,896 

+0,845 5 


0240 0241 

+0,784 5 odcinka: ........................ 

A 0295 0295 

+0,784 5 

wynosi: ............ mm 

0213 0213 

B +0082 +0082 0082 

+0,866 5 

B 0286 0308 

0257 0278 

UWAGA: 

C +0029 +0030 0029 5 

C 0398 0369 

1. Punkt M to punkt na posadzce 

kościoła NMP. 

0379 0350 

+0,915 

D +0019 +0019 0019 

2. Punkty od A – L to punkty na cokole 

D 0350 0350 

kościoła od strony zewnętrznej. 

0385 0385 

+0,880 

3. Szkic poglądowy przedstawiono w 

E -0035 -0035 0035 

tekscie.. 

E 0308 0336 

0275 0303 

+0,913 4. Jako punkt 0.000 przyjęto punkt M 

wewnątrz kościoła. 

F +0033 +0033 0033 

F 0261 0238 

0305 0282 

+0,868 

G -0044 -0044 0044 

G 0534 0489 

0488 0441 

+0,916 

H +0046 +0048 0047 

H 0407 0462 

0478 0532 

I -0071 -0070 0070 5 

I 0548 0524 

0591 0565 

+0,803 5 

J -0043 -0041 0042 

J 0543 0562 

0658 0675 

+0,689 5 

K -0115 -0113 114 

K 0456 0395 

0448 0385 

+0,698 5 

L +0008 +0010 0009 

L 0326 0327 

M +0086 +0086 0086 


Załącznik D 

194

12 

M 0197 0300 

00,000 

0981 1085 

A -0784 -0785 0784 5 







średnia 0,00 



× × 305 5 305 5 Kontrola: 


∑ t 4712 4655 1 


1 – Σ p 1 +Σ t 2 – Σ p 2 ) = 

: 

Σ(+h) – Σ(-h) 


∑t–∑p +0005 -0005 0000 0000 

Odchylki: 

Sprawdził: 


Załącznik D 

195

ANALIZA NUMERYCZNA KOÅšCIOÅA NajÅ›wiÄ™tszej Marii Panny NA ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

ANALIZA NUMERYCZNA KOÅšCIOÅA NajÅ›wiÄ™tszej Marii Panny NA ...