А. К. ЗВОНКИН

3
Дети и C 2 5 :
история одной
задачи
В этой главе использованы материалы
моей статьи вжурнале
, № 2 за 1986 год.
Читатель уже мог заметить, что в наших
занятиях, скажем, теорией вероятностей,
нет ни определений, ни формул,
ни теорем — ни даже арифметических
подсчётов. Термин
используется просто за неимением
лучшего. Ну, а что же тогда есть, если
все эти стандартные математические
ингредиенты отсутствуют
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно
задать другой: а откуда вообще
возникла теория вероятностей Где её
источник Ясно: как и многие другие
науки, как даже сама арифметика,
теория вероятностей возникла из наблюдений
над определёнными явлениями
реального мира, а именно, над
случайными, непредсказуемыми явлениями.
Так в ´от, как раз такие наблюдения,
предшествующие науке, вполне
можно проводить вместе с детьми. Не
любые, конечно, лишь самые простые.
Да дети и сами, без нас, этим занимаются
— например, тогда, когда играют
в игры с использованием игральной
кости (кубика с написанными на нём
очками от 1 до 6). В наших силах,
однако, чуть-чуть выпятить, самую малость
подчеркнуть вероятностную природу
их наблюдений, а также познакомить
их с тем, что вероятностный мир
тоже несёт в себе значительное многообразие.
Можно, например, вместо
кубика предложить детям кособокий
многогранник, чтобы они увидели,
как игра становится :
одни цифры выпадают чаще, чем другие.
Или можно придумать игру, в которой
требуется считать сумму очков
на двух костях. Здесь тоже дети рано
или поздно заметят, что, скажем, сумма
7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2.
В такого рода деятельности мы не ограничены
ничем, кроме собственной фантазии
и реальных возможностей реальных
детей. Если дети поняли что-то,
если какое-то зерно запало в разум —
очень хорошо. Если нет — неважно;
тогда, значит, мы .
Попробую сформулировать ещё раз.
Нас интересует не наука сама по себе
как готовый продукт деятельности
прошлых поколений, а те предварительные,
предшествующие ей наблюдения,
которые когда-то послужили
толчком к её появлению.
В этой главе я хочу рассмотреть более
подробно один пример. В главе 1
рассказывалось об одном занятии;
в этой главе речь пойдёт об одной задаче.
Всего одна задача — а сколько
она даёт поводов для размышлений!
Комбинаторная задача
Задача эта относится к области комбинаторики.
Когда-то такую науку
проходили в школе, в девятом классе
(имеется в виду школа-десятилетка).
Потом сочли очень трудной (вспомните
хотя бы такое п ´угало, как б и-
н о м Н ь ю т о н а!) и из программы
исключили. А все трудности старшеклассников
состояли попросту в том,
что им приходилось сразу начинать
с формул, не пощупав ничего руками.
В данном случае выражение надо понимать буквально.
Ведь в комбинаторике речь идёт
о подсчёте количества тех или иных
комбинаций предметов. Только самих
предметов-то и нет — их надо вообразить,
и комбинации тоже. Вот если бы
начать с комбинирования реальных