Statističke karakteristike izlaznog signala ASK sistema ... - Telfor 2008

Statističke karakteristike izlaznog signala ASK
sistema u prisustvu Gausovog šuma,
interferencije i Nakagami-m fedinga
Miloš Banñur, ðoko Banñur, Аnñelija Raičević
Sadržaj — U ovom radu analizira se jedan ASK
(Amplitude Shift Keyed) sistem sa nekoherentnom detekcijom
signala. Na ulazu u prijemnik prisutni su signal,
interferencija i Gausov šum. Amplitude signala i
interferencije su promenljive sa Nakagami-m raspodelom.
Faza interfencije je promenljiva sa uniformnom raspodelom.
Odredićemo funkciju gustine verovatnoće (PDF – probability
density function) anvelope sume signala, interferencije i
Gausovog šuma, kao i kumulativnu funkciju raspodele
verovatnoće (CDF – cumulative ditribution function),
karakterističnu funkciju (MGF – moment-generating
function) i moment n-tog reda pomenute anvelope.
Ključne reči — ASK, CDF, Gausov šum, funkcija gustine
verovatnoće, interferencija, MGF, moment, Nakagami-m
raspodela.
T
I. UVOD
EMA ovog rada je statistička analiza ASK (Amplitude
Shift Keyed) sistema sa nekoherentnim prijemnikom u
prisustvu interferencije, Gausovog šuma i fedinga.
Analiziraćemo slučaj kada promene amplitude signala i
interferencije odgovaraju Nakagami-m raspodeli, dok je
faza interferencije promenljiva sa uniformnom
raspodelom. U radu ćemo najpre odrediti funkciju gustine
verovatnoće anvelope sume signala, interferencije i
Gausovog šuma, a zatim i odgovarajuću kumulativnu
funkciju raspodele verovatnoće (CDF) pomenute anvelope,
njenu karakterističnu funkciju (MGF), kao i moment n-tog
reda. Detaljan pregled, statistička analiza, i poreñenje
performansi sistema za koherentnu i nekoherentnu
detekciju signala u prisustvu fedinga data je u [1], dok je
statistička analiza ASK signala u prisustvu fedinga detaljno
izložena u [2]. U delu II, predstavljen je model
analiziranog sistema, dok je u delu III izveden izraz za
funkciju gustine verovatnoće anvelope sume signala,
interferencije i Gausovog šuma, a prikazana je i grafička
interpretacija iste. U delu IV, izvedeni su izrazi za
kumulativnu funkciju raspodele verovatnoće, MGF
funkciju kao i moment n-tog reda pomenute anvelope.
M. Banñur, Fakultet Tehničkih Nauka u K. Mitrovici, Kneza Miloša
7, 38220 K. Mitrovica, Srbija, bandjo@ptt.yu
ð. Banñur, Fakultet Tehničkih Nauka u K. Mitrovici, Kneza Miloša
7, 38220 K. Mitrovica, Srbija.
A. Raičević, Fakultet Tehničkih Nauka u K. Mitrovici, Kneza Miloša
7, 38220 K. Mitrovica, Srbija.
II. MODEL SISTEMA
Model nekoherentnog prijemnika koji se analizira u
ovom radu prikazan je na Sl. 1. Prijemnik se sastoji iz
uskopojasnog filtera i detektora anvelope.
Sl. 1. Nekoherentni ASK prijemnik
Signal na izlazu iz filtera može se predstaviti izrazom:
z1 = A cosωt
+ A1 cos( ωt
+ θ ) + x cosωt
+ y sin ωt
pri čemu su amplitude signala i interferencije A i A 1
promenljive sa Nakagamijevom raspodelom:
p
m m
A
A( − Ω
2 m 2m
1
A)
= ⎛ ⎞ −
⎜ ⎟ A e dA
Γ( m)
⎝ Ω ⎠
, A ≥ 0 (1)
m
m
1 2
1 − A
2 m
1
1 2m1
1
p
1
A ( A
1 1)
= ⎛ ⎞ − Ω
⎜ ⎟ A1
e dA1
Γ( m1
) ⎝ Ω 1 ⎠
, A 1 ≥ 0 (2)
Raspodela faze interferencije θ je unifromna i
1
predstavljena je izrazom: p θ ( θ ) = , θ ≤ π .
2π
Slučajne promenljive x i y su meñusobno nezavisne
Gausove promenljive sa srednjom vrednošću jednakom
2
nuli i varijansom σ .
III. FUNKCIJA GUSTINE VEROVATNOĆE IZLAZNOG SIGNALA
Izvešćemo izraz za funkciju gustine verovatnoće
anvelope sume signala, interferencije i uskopojasnog
Gausovog šuma [1]:
z = Acosωt
+ A1 cos( ωt
+ θ ) + xcosωt
+ ysinωt
(3)
z = r cos( ω t + ϕ)
Slučajne promenljive r i ϕ predstavljaju anvelopu i fazu
slučajnog procesa z na izlazu is detektora anvelope. Iz
prethodnog izraza sledi:
x + A + A 1 cosθ = r cosϕ , y − A 1 sinθ = r sinϕ
(4)
x = r cosϕ
− A1 cosθ
− A , y = r sinϕ
+ A1
sinθ
Anvelopa i faza procesa z su:
2
344

2
2
1 cosθ
) + ( y − A1
sin )
r = ( x + A + A
θ (5)
y − A1
sinθ
tgϕ
=
x + A + A cosθ
dok je Jakobijan transformacije iz x i y u r i ϕ :
1
∂(
x,
y)
J = = r
∂(
r,
ϕ)
Združena funkcija gustine verovatnoće Gausovih slučajnih
promenljivih x i y data je sledećim izrazom [2]:
x + y
1
−
2
( , )
2σ
xy x y e
2
p = (6)
2πσ
Na osnovu (2), (3) i (4) sledi:
p
2
2
( r cos ϕ − A−
A1
cos θ ) + ( r sin ϕ + A1
sin θ )
r −
2
( , / )
2σ
rϕ
r ϕ θ = e
2
2πσ
2 2 2
r + A + A1
−2rA
cos ϕ + 2 AA1
cos θ −2rA1
cos( ϕ + θ )
r −
2
( , / )
2σ
rϕ
r ϕ θ = e
2
p (7)
2πσ
Dalje, na osnovu formule
sledi:
r
−
e
+ A
α cosϕ
2
=
2
ϕ ( r
p , / )
σ
r r ϕ θ e
2
2πσ
× e
2
−
AA1
2
2
2
1
+ A
2σ
=
×
− rA1
2
2
∑ ∞
n=
−∞
cosθ −2rAcosϕ
2 cos( ϕ + θ )
2
2
2
I n ( α) cos nϕ
[3],
r + A + A1
r −
⎛ ⎞
= ∑ ∞ 2
ϕ θ
2σ
rA
prϕ ( r,
/ ) e
I ⎜ ⎟ cos k1ϕ
×
2
k1
2
2πσ
k = −∞ ⎝ σ ⎠
∞
⎛ AA1
⎞
⎛ rA1
⎞
× ∑ I k ⎜ ⎟cos 2θ
⎜ ⎟cos
3(
ϕ + θ )
2
− k
2 ∑ I k k
3 2
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
k2
=−∞
∞
2
k3=−∞
Usrednjavanjem prethodnog izraza po θ , a zatim i
integraljenjem istog po ϕ dobijamo sledeći izraz za
funkciju gustine verovatnoće anvelope r :
r
pr
( r)
= e
2
σ
r
pr
( r)
= e
2
σ
2
2
2
r + A + A1
−
2
2σ
2
2
2
∑ ∞ I k
k=
−∞
r + A + A1
−
∑ ∞
2
2σ
ε k
k=
0
1
⎛ rA ⎞
⎜ ⎟ I
2
⎝ σ ⎠
k
⎛ rA ⎞
I k ⎜
2 ⎟ I
⎝ σ ⎠
⎛ AA
⎜ −
2
⎝ σ
k
1
⎛ AA
⎜ −
2
⎝ σ
(8)
gde je ε k = 1 za k = 0 i ε k = 2 za k > 0 .
Daljim usrednjavanjem (8) po A i A 1 , sledi:
p
∞
∞
1
⎞
⎟I
⎠
k
⎞
⎟I
⎠
⎛ rA1
⎞
⎜ ⎟
2
⎝ σ ⎠
k
⎛ rA1
⎜
2
⎝ σ
( r) = dA pr
AA ( r / AA1
) p A ( A) p A ( A1
) dA1
r ∫ ∫
0 0
/ 1
1
p A A 1 1 napred
definisane izrazima (1) i (2), respektivno, kao i da se
modifikovane Beselove funkcije mogu transformisati na
sledeći način [3]:
Imajući u vidu da su funkcije p A ( A)
i ( )
sledi:
I
k
( x)
=
∑ ∞
h=
0
2
2h+
k
x
2h+
k
⋅ h!
Γ
( k + h + 1)
⎞
⎟
⎠
p
r
( r)
=
σ
r
2
e
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞ 2i+
k
r
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
2
r
1
−
m m
2
2
4
1
σ
r
σ
Γ
2h+
k
4h+
2k
( m) Γ( m )
1
2i+
k
2 ! Γ
1
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
⎛ m
⎜
⎝ Ω
1
⎞
⎟
⎠
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
∞
⎛ m 1 ⎞ 2
−⎜
+ ⎟A
2( h+
k + j+
m)
−1
× ⎝ Ω 2
2 ⎠
∫ A
e σ dA×
0
⎛ m ⎞
∞
⎜ 1 1
⎟ 2
−
+
+ + + −
A1
2( i k j m ) 1 ⎝ Ω 2
1 1 2σ
×
⎠
∫ A1
e
dA1
(9)
0
Odnosno, daljim sreñivanjem (9), dolazimo do konačnog
izraza za funkciju gustine verovatnoće anvelope r u
zatvorenom obliku:
p
r
( r)
=
σ
r
2
e
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞ 2i+
k
r
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
2
r
1
−
m m
2
2
1
1
σ
r
σ
Γ
2h+
k
4h+
2k
( m) Γ( m )
1
2i+
k
2 ! Γ
1
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
⎛ m
⎜
⎝ Ω
1
⎞
⎟
⎠
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
h+ k+
j+
m
i+
k+
j+
m1
⎛
2
⎞ ⎛
2
2Ωσ
2Ω
⎞
⎜ ⎟ ⎜ 1σ
×
⎟
×
2
2
⎝ 2mσ
+ Ω ⎠ ⎝ 2m1σ
+ Ω1
⎠
× Γ( h + k + j + m) Γ( i + k + j + m 1 ) (10)
Sl. 2. Funkcija gustine verovatnoće anvelope r ,
σ = 2, m = m = 1, Ω = Ω 1)
( 1 1 =
Na Sl.2 prikazana je funkcija raspodele gustine
verovatnoće trenutnih vrednosti anvelope sume
uskopojasnog korisnog signala, interferencije i Gausovog
šuma.
IV. CDF, MGF, MOMENT
Kumulativna funkcija raspodele verovatnoće anvelope r
je:
×
×
×
×
345

F
1
Fr
( r)
==
2
σ
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞
1
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
σ
r (
Γ
r)
r
= ∫
0
1
p
r (
( m) Γ( m )
1
4h+
2k
1
1
2i+
k
2 ! Γ
x)
dx
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
m
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
⎛ m
⎜
⎝ Ω
1
1
⎞
⎟
⎠
m1
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
h k + j+
m
i+
k + j+
m
⎛ 2Ωσ
⎞ ⎛
⎞
⎜ 2Ω
× ⎜ ⎟
1σ
⎟
2
⎝ + Ω ⎠
2
2mσ
⎝ 2m1σ
+ Ω1
⎠
× Γ( h + k + j + m) Γ( i + k + j + m1
)×
r
×
∫
0
x
+ 1
i+
2h+
2k
+ 1
e
x
−
2
2 2
2
×
×
×
σ dx
(11)
h k + j+
m
i+
k + j+
m
⎛ 2Ωσ
⎞ ⎛
⎞
⎜ 2Ω
× ⎜ ⎟
1σ
⎟
2
⎝ + Ω ⎠
2
2mσ
⎝ 2m1σ
+ Ω1
⎠
× Γ( h + k + j + m) Γ( i + k + j + m1
)×
×
∞
∑
t = 0
+ 1
( )
t
− s 2 i+
h+
k + t / 2+
1
( 2 ) Γ( i + h + k + t / 2 + 1)
t!
σ (12 )
Moment n-tog reda anvelope r je:
∞
n
mn
= ∫ r pr
( r)
dr
0
m
n
1
=
2
2σ
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞
1
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
σ
Γ
1
( m) Γ( m )
1
4h+
2k
1
1
2i+
k
2 ! Γ
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
m
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
⎛ m
⎜
⎝ Ω
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
1
1
⎞
⎟
⎠
m1
×
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
h+ k + j+
m
i+
k + j+
m1
⎛ 2Ωσ
⎞ ⎛
⎞
⎜ 2Ω
× ⎜ ⎟
1σ
⎟ ×
2
⎝ + Ω ⎠
2
2mσ
⎝ 2m1σ
+ Ω1
⎠
× Γ( h + k + j + m) Γ( i + k + j + m1
)×
2 i+
h+
k + n / 2+
1
× (2σ )
Γ
(13)
( i + h + k + n / 2 + 1)
×
×
LITERATURA
Sl. 3. CDF funkcija anvelope r
σ = 2, m = m = 0.5, Ω = Ω 0.5)
( 1 1 =
Na Sl.3 prikazana je kumulativna funkcija raspodele
gustine verovatnoće trenutnih vrednosti anvelope sume
uskopojasnog korisnog signala, interferencije i Gausovog
šuma.
MGF funkcija anvelope r je:
M
1
M r ( s)
=
2
σ Γ
∞ ∞
× ∑ε
k ∑
k = 0 h=
0
∞
1
× ∑ 4i+
2k
i=
0 σ
∞
σ
r
∞
∫
0
( ) − sr
s = e p ( r)
1
( m) Γ( m )
1
4h+
2k
1
1
2i+
k
2 ! Γ
r
⎛ m ⎞
⎜ ⎟
⎝ Ω ⎠
m
1
2h+
k
2 h!
Γ
i
( i + k + 1)
2 j+
k
−
× ∑ 1 ( 1)
4 j+
2k
2 j+
k
σ 2 j!
Γ 1
j=
0
dr
⎛ m
⎜
⎝ Ω
1
1
⎞
⎟
⎠
m1
( h + k + 1)
×
( j + k + ) ×
×
×
[1] Marvin K. Simon, Mohamed-Slim Alouni, Digital Communication
over Fading Channels. John Wiley&Sons, Inc., 2000.
[2] Mihajlo Č. Stefanović, Detekcija signala u belom i obojenom
Gausovom šumu, Monografija, Univerzitet u Nisu, 1999.
[3] Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.) Modified Bessel
Functions I and K , §9.6 in Handbook of Mathematical
Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th
printing. New York: Dover, 1972.
ABSTRACT
In this paper an ASK (Amplitude Shift Keyed) system
with non-coherent signal detection is considered. Signal,
interference and Gaussian noise are present at the receiver
entry. Amplitudes of the input signal and interference are
random processes with Nakagami-m distribution. The
interference phase is a random process with uniform
distribution. We will determinate probability density
functions of the envelope representing sum of the signal,
interference and Gaussian noise, cumulative distribution
function (CDF), moment-generating function (MGF) as
well as appropriate envelope moment ( m n ).
STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE
OUTPUT SIGNAL OF THE ASK SYSTEM IN THE
PRESENCE OF INTERFERENCE, GAUSSIAN
NOISE AND NAKAGAMI-m FADING
Miloš Banñur, ðoko Banñur, Anñelija Raičević
346