Hi kvadrat distribucija - drugostepena ograničenja - Telfor 2008

Hi kvadrat distribucija -drugostepena ograničenjaZoran Popović, Hana Stefanović, Dejan Blagojević i Dimitrije StefanovićSadržaj — Zbog važnosti Hi-kvadrat distribucije uteoriji telekomunikacija, razmatranje i analiza njenihkarakeristika bi bilo korisno. Ovaj rad se odnosi nauprošćen model razmatranja funkcije gustineverovatnoće, kroz obvojnicu koja obuhvata sve familijekrivih po parametru. Postoje familije krivih i njihovaobvojnica egzistira kao partikularno rešenje sistemadiferencijalnih jednačina. Egzistencija partikularnihrešenja je razmotrena, a funkcije obvojnica suizračunate. Takođe, grafici familija krivih i njihovihobvojnica su prikazani.Ključne reči — Aproksimacija, Hi kvadrat distribucija,funkcija gustine verovatnoće, Rejlijeva distribucija,slučajna promenljiva, SIR.UI. UVODSLOVI propagacije signala kroz prostor izazivajuvarijacije signala na ulazu prijemnika, tako da upojedinim trenucima dolazi do delimičnog, pa i dopotpunog iščezavanja korisnog signala. Sem varijabilnostianvelope od značaja su i promene faze signala, štozajedno utiče na performanse telekomunikacionih sistema[1]-[4]. Takođe, prenos u bežičnim telekomunikacijamakarakterišu različite vrste fedinga i predstavljaju jednu oddominantnih smetnji i ograničenja. Da verovatnoćagreške u kanalu sa fedingom bude što manja ili što bližanekoj zadatoj vrednosti, ne znači da je dovoljno povećatisnagu predajnika, a u tom smislu se koriste različitasistemska rešenja i tehnike ( diverziti prenos, prenos sapovratnim kanalom, adaptivni prenos, korišćenje zaštitnihkodova, itd. ).Kao primer, navodimo sistem koji koristi proširenispektar FH-DPSK , koji je u stanju da mobilnim radiomrežamaobezbedi uslove za opsluživanje velikog brojakorisnika u urbanim sredinama. FH-DPSK signal jesinusoidalan, konstantne anvelope i kontinualne fazepodeljene u diskretne vremenske intervale – odlomke iliZ. J. Popović, Tehnički fakultet u Čačku, Srbija (telefon: 381-65-3301550; faks: 381-32-330155; e-mail: pop@tfc.kg.ac.yu).H. Z. Stefanović, Visoka škola elektrotehnike i računarstva strukovnihstudija u Beogradu, 11000 Beograd, Srbija; (e-mail: hanap@eunet.yu).D. R. Blagojević, Elektronski fakultet u Nišu, Aleksandra Medvedeva14, 18000 Niš, Srbija; (e-mail: vule@elfak.ni.ac.yu).D. Č. Stefanović, Elektronski fakultet u Nišu, Aleksandra Medvedeva14, 18000 Niš, Srbija; (e-mail: vule@elfak.ni.ac.yu).čipove, čije je vreme trajanja t 1 . U jednoj periodi T senalazi L čipova, odnosno različitih frekvencija koje sekoriste za opsuživanje korisnika. Dodeljivanje frekvencijase obavlja po formi:kkf f fgdei c ikfipredstavlja frekvenciju pomerenu u odnosu naknoseću frekvenciju fc, ipredstavlja prirodan broj sa k-tim kodom kodnog skupa od i=1,2,...,L elemenata,a f 1osnovnu frekvenciju posle deljenja spektra. Na ovajnačin se dobija L različitih kanala određenog frekventnogopsega, spremnih za korišćenje. Zbog ne savršenostiprimo-predajnika i ambijentalnih uslova dolazi dosmetnji, odnosno međusobnog ometanja kanala. Akokorisni i interferirajući signali imaju iste nosećefrekvencije dolazi do interkanalne interference. Onapogoršava performanse sistema, a može biti izazvananamernim ili slučajnim ometanjem.U sistemima mobilne telefonije visokog kapaciteta, kojikoriste ćelijsku strukturu mreže baznih stanica, izmeđususednih ćelija često dolazi do interference, dok jeverovatnoća da se to desi između ne susednih dalekomanja, zbog velikog slabljenja signala na većimudaljenostima. S tim u vezi, najgori sličaj interference sejavlja kada neka od mobilnih stanica dođe u poziciju dabude podjednako udaljena od tri bazne stanice – na mestutzv. čvora ćelijske mreže. Tada, su interferirajući signalijednako udaljeni od mobilne jedinice, a jačina signalauslovljena pravilima propagacije.Ako je ukupna snaga P t i snaga i-ćelije Y i preneta sanjene bazne stanice do mobilne jedinice, onda sedeljenjem ukupne snage P t zbirom doprinosa svake od N-1 ćelija, koje utiču na interferenciju, dobija se odnossignala prema interferenciji SIR ćelije bazne stanice. Akosvaka ćelija ima M korisnika (M>>1), to se SIR za jednumobilnu jedinicu na svakom prilagođenom filtru na izlazumože izraziti kao PtfN 1M P1i1 YiZa nas je značajan prosečan SIR na izlazu linearnogkombinera na osnovu koga procenjujemo efikasnostsistema. Na njega utiče N ćelija, a svaka opslužujemaksimalnih M korisnika. Pod pretpostavkom da ima L-1nezavisna putanja po kojima prilikom detekcije date rečimože doći do greške, procenjujemo i verovatnoću otkazana izlazu sistema.315

II. MODEL SA REJLIJEVIM FEDINGOMU okruženju sa fedingom po više putanja, možemopretpostaviti da individualni signali slabe. Međutim, sumasvih interferirajućih signala ne slabi zbog efektauprosečavanja. Prema tome, na izlazu i-tog prilagođenogfiltra linearnog kombinera imamogde jej t rj t Asinit it Is, i t sinit Ic,i t cosit2rjtslučajna promenljiva p rj 2 rj exprjsa Rejlijevom distribucijom.Kada postoji feding, slučajna promenljiva R biće zbirkvadrata statistički nezavisnih L slučajnih promenljivihRejlijeve raspodeleL2jj 1 R r ta pri propagaciji bez fedinga je R=1/2.Slučajna promenljiva R ima Hi-kvadrat raspodelu takoda je, dalje, od interesa detaljnija analiza Hi-kvadratraspodele čiji je stepen slobode 2L, odnosno L jerposmatramo opširniji slučajL L 12 2r2 r 2pRr e , r 0 (1) L 2 Grafički prikaz Hi-kvadrat funkcije gustine raspodele,opšte poznat u literaturi, kada je stepen slobode Lnezavisni parametar, a r promenljiva dat je na sl. 1. Zagranični slučaj, kad je L=2 dobijamo eksponencijalnukrivu p r L rR 2 exp , 0.5 .i dobijamo tačke maksimuma funkcije gustineverovatnoće kada se u jednom slučaju stepen slobode L, au drugom slučaju r posmatra kao nezavisni parametar. Uprvom slučaju su maksimumi u tačkama r=L-2, dok je tou drugom slučaju (nešto komplikovanije) u tačkamaL≈r+1. Odnosno,max 2 iR 1p L r L p r L r (3)maxRMaksimumi funkcije jesu veoma deskriptivanparametar za analizu. Ipak mi ćemo se baviti nešto širimmodelom, koji apsolutno obuhvata sve krive familije pojednom od ova dva parametra. Na slikama 2. i 3. sulogaritamsko-logaritamski prikazi familija krivih; uprvom slučaju kada je L nezavisni parametar i u drugomslučaju kada je r nezavisni parametar.Sl. 2. Log-Log prikaz funkcija gustine verovatnoće uzavisnosti od r za vrednosti parametra L=2 do 10 .Sl. 1. Funkcija gustine verovatnoće Hi-kvadrat raspodeleu zavisnosti od r za vrednosti L=2 do 10 .III. ANALIZA OSOBINA FUNKCIJE GUSTINE RASPODELEU ovom radu se nećemo baviti opšte poznatimpokazateljima raspodele, pa ni analizom metodomnajmanjih kvadrata. Sistem diferencijalnih jednačina odkojih polazi i metoda najmanjih kvadrata je R , R , d p L r d p L r 0 i 0 (2)dxdLSl. 3. Log-Log prikaz funkcije gustine verovatnoće uzavisnosti od L za vrednosti parametra r=1 do 10 .Očigledno je da postoji kriva, koju nazivamoobvojnicom familije krivih, koja isključuje mogućnost daza neku vrednost promenljive, funkcija gustineverovatnoće ima veću vrednost od vrednosti funkcijeobvojnice za istu tu vrednost. Odnosno, ako su f(r) i g(L)funkcije obvojnica ove dve familije krivih, onda je316

R i R f r p r L g L p L r (4)Tačnije, kriva funkcije obvojnice tangira svaku odkrivih iz familije po nezavisnim parametrima. To namprikazuju slike 4. i 5.1 L 2 g L (6)2 2 2 Zatim, numeričkim fitovanjem dobijamo funkcijeobvojnica1f r(7)2 r 0.13i1g L2 L 1.63612(8)IV. ZAKLJUČAKU slučaju da imamo komplikovana izračunavanja, ukojima nam je potrebna Hi-kvadrat funkcija gustineverovatnoće, za koje ne možemo dobiti izraze uzatvorenoj formi, možemo koristiti osobine funkcijeobvojnice. U zavisnost od toga šta nam je parametarskavrednost, a šta promenljiva, dobijamo uprošćenmehanizam za izračunavanja.Sl. 4. Log-Log prikaz funkcija obvojnice familije krivihkada se stepen slobode L posmatra kao parametarDODATAKU proračunima koristimo aproksimaciju za funkcijusledećeg oblikaxxe x 1 x( x 1) 212(9)Sl. 5. Log-Log prikaz funkcija obvojnice familije krivihkada se r posmatra kao parametarTakođe se vidi da tačke maksimuma iz druge familijekrivih pripadaju i funkciji obvojnice prve familije krivih,a u obrnutom se preslikavaju u tačke pomerene za 1. To jespecifičnost koju koristimo da izračunamo izraze funkcijaobvojnica.Odgovarajućim zamenama iz (3) i (4) u funkcijigustine verovatnoće (1), pa aproksimiranjem po modelu izdodatka (9) dobijamoi f r1 r 2 2 2 12(5)LITERATURA[1] W. C. Y. Lee, “Mobile Communications Engineering: Theory andapplications,” New York: McGraw-Hill, 1998.[2] J. G. Proakis, “Digital Communications,” New York: McGraw-Hill,2000.[3] G. Lukatela, “Statistička teorija telekomunikacija i teorijainformacija,” Beograd: Građevinska knjiga, 1981.[4] D. Drajić, “Uvod u statističku teorija telekomunikacija ,” Beograd:Akademska misao, 2003.[5] M. Abramowitz, I. A. Stegun, “Handbook of Mathematical Functions:With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,” Washington:U.S. Government printing office, 1972.[6] Z. Popović i D. Stefanović, “A some integral properities of Chi squaredistribution from the viewpoint of its application intelecommunication systems,” INFOTEH-Jahorina Vol.7, ref. B-I-9,p.89-92, March 2008.THE CHI SQUARE DISTRIBUTION- THE SECONDARY LIMITATIONSZ. J. Popovic, H. Z. Stefanovic, D. R. Blagojevic,and D. C. StefanovicAbstract — Considering importance of the Chi-squaredistribution at the telecommunication theory, observing andanalyzing its properties should be very useful. This workrefers to the simplified model of consideration theprobability density function as the envelope of overall curvesfamily. There are the curves families and theirs theenvelopes exists as particular solutions of the system ofdifferential equations. The existance of singular solution isconsidered and the envelopes functions obtained in closedform.In addition the graphics representation are displayed.317