Prezentacja: szeregi liczbowe

Szeregi liczbowe 


Szeregi potęgowe 

Szeregi Fouriera 

Definicja 

Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie 

∞∑ 

a n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · (1) 

n=1 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

a n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · (1) 

n=1 

Liczby a n , n = 1, 2, . . . nazywamy wyrazami szeregu. 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

a n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · (1) 

n=1 

Liczby a n , n = 1, 2, . . . nazywamy wyrazami szeregu.Sumę 

s n = 

n∑ 

a k (2) 

k=1 

nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli istnieje granica 

lim n→∞ s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

a n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · (1) 

n=1 


s n = 

n∑ 

a k (2) 

k=1 



W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny. 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

a n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · (1) 

n=1 


s n = 

n∑ 

a k (2) 

k=1 



W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny. 

Liczbę S nazywamy sumą szeregu. 

Szeregi




Przykłady. Znaleźć wzór na sumę s n i zbadać zbieżność szeregu 

∞∑ 

a n . 

n=1 

1. 

2. 

3. 

4. 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

n=1 

300 

2 n ; 

2 n 

300 ; 

(−1) n ; 

1 

n(n + 1) . 

Szeregi

Achilles i żółw 




Podany przez Zenona z Elei paradoks Achillesa i żółwia przedstawia 

się zazwyczaj tak: Achilles (słynący jako szybkobiegacz) ściga 

żółwia, który jest daleko w przodzie, gdy heros zaczyna bieg. 

Następnie Achilles dobiega do miejsca, w którym niedawno był 

żółw, ale w tym czasie zwierzak dochodzi już do następnego 

miejsca, które za chwilę osiąga Achilles, ale żółw dochodzi w tym 

czasie do nowego, Achilles znowu dobiega, ale żółw jest dalej, itd. 

A więc Achilles nigdy nie dogoni żółwia – konkludował Zenon. 

Szeregi





Podany przez Zenona z Elei paradoks Achillesa i żółwia przedstawia 

się zazwyczaj tak: Achilles (słynący jako szybkobiegacz) ściga 

żółwia, który jest daleko w przodzie, gdy heros zaczyna bieg. 

Następnie Achilles dobiega do miejsca, w którym niedawno był 

żółw, ale w tym czasie zwierzak dochodzi już do następnego 

miejsca, które za chwilę osiąga Achilles, ale żółw dochodzi w tym 

czasie do nowego, Achilles znowu dobiega, ale żółw jest dalej, itd. 

A więc Achilles nigdy nie dogoni żółwia – konkludował Zenon. 

Paradoks Zenona można wyjaśnić przy pomocy szeregów. 

Szeregi





Zadanie. Achilles znajduje się w odległości d od żółwia i ściga go 

z prędkością V . Żółw porusza się z prędkością v. 

Niech t 1 oznacza czas w jakim Achilles przebędzie odległość d, a 

s 1 — drogę przebytą przez żółwia w tym czasie. 

Szeregi









Ogólnie: t n oznacza czas w jakim Achilles przebędzie odległość 

s n−1 , a s n — drogę przebytą przez żółwia w czasie t n . 

Szeregi











Obliczyć sumy szeregów ∑ ∞ 

n=1 t n i ∑ ∞ 

n=1 s n . 

Szeregi











Obliczyć sumy szeregów ∑ ∞ 

n=1 t n i ∑ ∞ 

n=1 s n . 

Po jakim czasie Achilles dogoni żółwia 

Szeregi




Zauważmy, że gdy szereg ∑ ∞ 

n=1 a n jest zbieżny, to zarówno s n jak i 

s n−1 dążą do granicy S. Ponieważ a n = s n − s n−1 , więc 

lim n→∞ a n = 0. Mamy więc następujące twierdzenie 

Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregu) 

Jeżeli szereg ∑ ∞ 

n=1 a n jest zbieżny, to jego wyraz ogólny a n dąży do 

0. 

Szeregi











0. 

Ten warunek nie jest wystarczający. Jest wiele szeregów, których 

wyraz ogólny a n dąży do 0, ale które są rozbieżne. 

Szeregi











0. 

Ten warunek nie jest wystarczający. Jest wiele szeregów, których 

wyraz ogólny a n dąży do 0, ale które są rozbieżne. 

Bardzo ważnym przykładem jest szereg harmoniczny: 

∞∑ 

n=1 

1 

n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + · · · 

Szeregi




Twierdzenie 

∑ 

1. Jeżeli szereg ∞ a n jest zbieżny, to dla dowolnego c ∈ R szereg 

n=1 

∞∑ 

ca n jest zbieżny oraz 

n=1 

∞∑ 

∞∑ 

ca n = c a n . 

n=1 n=1 

Szeregi




Twierdzenie 

∑ 

1. Jeżeli szereg ∞ a n jest zbieżny, to dla dowolnego c ∈ R szereg 

n=1 

∞∑ 

ca n jest zbieżny oraz 

n=1 

∞∑ 

∞∑ 

ca n = c a n . 

n=1 n=1 

∞∑ ∞∑ 

∑ 

2. Jeżeli szeregi a n , b n są zbieżne, to szereg ∞ (a n + b n ) 

n=1 n=1 

n=1 

jest zbieżny oraz 

∞∑ 

∞∑ ∞∑ 

(a n + b n ) = a n + b n . 

n=1 

n=1 n=1 

Szeregi




Na ogół trudne jest wyznaczenie wzoru na sumę s n , a co za tym 

idzie wyznaczenie sumy szeregu S. 

Szeregi






Zadanie łatwiejsze: zbadać tylko zbieżność szeregu. 

Szeregi







Jeśli wiadomo, że szereg jest zbieżny, to można potem obliczać 

chociaż jego wartość przybliżoną (biorąc np. 100 czy 1000 wyrazów 

szeregu, zależnie od dokładności przybliżenia jaką chcemy 

osiągnąć). 

Szeregi







Jeśli wiadomo, że szereg jest zbieżny, to można potem obliczać 

chociaż jego wartość przybliżoną (biorąc np. 100 czy 1000 wyrazów 

szeregu, zależnie od dokładności przybliżenia jaką chcemy 

osiągnąć). 

Twierdzenia podające warunki zbieżności szeregu nazywamy 

kryteriami zbieżności. 

Szeregi




Kryteria zbieżności 

Twierdzenie (kryterium porównawcze) 

Jeżeli 0 a n b n dla n ∈ N, to 

∑ 

1. Jeżeli szereg ∞ ∑ 

b n jest zbieżny, to szereg ∞ a n jest zbieżny; 

n=1 

n=1 

Szeregi







∑ 



n=1 

n=1 

∑ 


a n jest rozbieżny, to szereg ∞ b n jest 

rozbieżny. 

n=1 

n=1 

Szeregi







∑ 



n=1 

n=1 

∑ 



rozbieżny. 

n=1 

n=1 

Aby to twierdzenie stosować trzeba znać jakąś grupę szeregów 

zbieżnych bądź rozbieżnych. 

Szeregi







∑ 



n=1 

n=1 

∑ 



rozbieżny. 

n=1 

n=1 

Aby to twierdzenie stosować trzeba znać jakąś grupę szeregów 

zbieżnych bądź rozbieżnych. 

Szereg postaci 

∞∑ 1 

n α 

n=1 

(tzw. szereg Dirichleta) jest zbieżny dla α > 1, a rozbieżny dla 

α 1. 

Szeregi





Przykłady. Zbadać zbieżność szeregu: 

∞∑ 

1. 

n=1 

sin 2 n 

n 2 ; 

Szeregi






∞∑ 

1. 

n=1 

sin 2 n 

n 2 ; 

Ponieważ sin2 n 

n 2 1 n 2 oraz ∞ ∑ 

n=1 

1 

n 2 

jest zbieżny, 

Szeregi






∞∑ 

1. 

n=1 

sin 2 n 

n 2 ; 


n 2 1 n 2 oraz ∞ ∑ 

więc ∞ ∑ 

n=1 

sin 2 n 

n 2 

n=1 

też jest zbieżny. 

1 

n 2 


Szeregi






∞∑ 

1. 

n=1 

sin 2 n 

n 2 ; 


n 2 1 n 2 oraz ∞ ∑ 

więc ∞ ∑ 

2. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

sin 2 n 

n 2 

√ 1 

; n(n+1) 

n=1 


1 

n 2 


Szeregi






∞∑ 

1. 

n=1 

sin 2 n 

n 2 ; 


n 2 1 n 2 oraz ∞ ∑ 

więc ∞ ∑ 

2. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

sin 2 n 

n 2 

√ 1 

; n(n+1) 

n=1 


1 

n 2 

√ 1 

√ 1 

= 1 

n(n+1) (n+1) 2 n+1 oraz ∑ ∞ 


n=1 

1 

n+1 

szereg harmoniczny bez pierwszego wyrazu), 

jest rozbieżny (bo jest to 

Szeregi






∞∑ 

1. 

n=1 

sin 2 n 

n 2 ; 


n 2 1 n 2 oraz ∞ ∑ 

więc ∞ ∑ 

2. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

sin 2 n 

n 2 

√ 1 

; n(n+1) 

n=1 


1 

n 2 

√ 1 

√ 1 

= 1 

n(n+1) (n+1) 2 n+1 oraz ∑ ∞ 


n=1 

1 

n+1 

szereg harmoniczny bez pierwszego wyrazu), 

∑ 

więc ∞ √ 1 

też jest rozbieżny. 

n(n+1) 

n=1 

jest rozbieżny (bo jest to 

Szeregi




3. 

∞∑ 

n=1 

3n+1 

n 2 −3 ; 

Szeregi




3. 

4. 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

n=1 

3n+1 

n 2 −3 ; 

3n+1 

n 3 +3 . 

Szeregi





Twierdzenie (kryterium ilorazowe) 

Jeżeli a n 0 i lim n→∞ 

a n+1 

a n 

= q, to 

Szeregi






a 

Jeżeli a n 0 i lim n+1 

n→∞ a n 

= q, to 

∑ 

1. jeżeli q < 1, to szereg ∞ a n jest zbieżny; 

n=1 

Szeregi






a 


n→∞ a n 

= q, to 

∑ 


n=1 

∑ 

2. jeżeli q > 1, to szereg ∞ a n jest rozbieżny. 

n=1 

Szeregi






a 


n→∞ a n 

= q, to 

∑ 


n=1 

∑ 


n=1 

Kryterium ilorazowe nazywane jest też kryterium d’Alemberta. Nie 

rozstrzyga ono zbieżności, gdy q = 1, a takich przypadków jest 

wiele. 

Szeregi






a 


n→∞ a n 

= q, to 

∑ 


n=1 

∑ 


n=1 

Kryterium ilorazowe nazywane jest też kryterium d’Alemberta. Nie 

rozstrzyga ono zbieżności, gdy q = 1, a takich przypadków jest 

wiele. Np. dla szeregów 

∞∑ 

n=1 

1 

n , 

∞ ∑ 

n=1 

1 

n 2 

otrzymamy q = 1. 

Szeregi





∞∑ 

1. 

n=1 

n! 

n n ; 

Szeregi





∞∑ 

1. 

2. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

n! 

n n ; 

1 

(2n)! . 

Szeregi





Twierdzenie (kryterium pierwiastkowe) 

Jeżeli a n 0 i lim n→∞ 

n √ a n = q, to 

Szeregi






Jeżeli a n 0 i lim √ n n→∞ a n = q, to 

∑ 


n=1 

Szeregi







∑ 


n=1 

∑ 


n=1 

Szeregi







∑ 


n=1 

∑ 


n=1 

Inna nazwa: kryterium Cauchy’ego. Gdy q = 1, nie rozstrzyga ono 

zbieżności. 

Szeregi







∑ 


n=1 

∑ 


n=1 


zbieżności. 


1. 

∞∑ 

n=1 

( ) 3n+2 n; 

2n+3 

Szeregi







∑ 


n=1 

∑ 


n=1 


zbieżności. 


1. 

∞∑ 

n=1 

( 3n+2 

2n+3) n; 

2. 

∞∑ 

n=2 

1 

(ln n) n . 

Szeregi





Twierdzenie (kryterium całkowe) 

Niech funkcja f (x) będzie nieujemna i nierosnąca dla x ∈ [1, ∞). 

∑ 

Wtedy szereg ∞ f (n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka 

niewłaściwa ∞ ∫ 

1 

n=1 

f (x) dx jest zbieżna. 

Szeregi







∑ 



1 

n=1 


Przykłady. 1. Wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego 

∫ 

obliczając całkę ∞ 1 

x dx. 

1 

Szeregi







∑ 



1 

n=1 


Przykłady. 1. Wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego 

∫ 

obliczając całkę ∞ 1 

x dx. 

1 

2. Wykazać zbieżność szeregu ∞ ∑ 

n=1 

1 

(n) α dla α > 1. 

Szeregi





Wszystkie powyższe kryteria zakładały nieujemność wyrazów 

szeregu. 

Szeregi






szeregu. 

Definicja 

∑ 

Szereg ∞ a n nazywamy bezwzględnie zbieżnym, gdy szereg 

n=1 

∞∑ 

|a n | utworzony z jego wartości bezwzględnych jest zbieżny. 

n=1 

Szeregi






szeregu. 

Definicja 

∑ 


n=1 

∞∑ 


n=1 

Szereg zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny, nazywamy 

warunkowo zbieżnym. 

Szeregi






szeregu. 

Definicja 

∑ 


n=1 

∞∑ 


n=1 

Szereg zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny, nazywamy 

warunkowo zbieżnym. 

∞∑ 

Jeżeli a n jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. 

n=1 

Szeregi




Przy badaniu zbieżności szeregu najpierw należy wyjaśnić, czy 

szereg jest bezwzględnie zbieżny. Mamy tu do dyspozycji cztery 

wymienione wyżej kryteria zbieżności. 

Szeregi




Przy badaniu zbieżności szeregu najpierw należy wyjaśnić, czy 

szereg jest bezwzględnie zbieżny. Mamy tu do dyspozycji cztery 

wymienione wyżej kryteria zbieżności. 

Jeśli okaże się, że szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, to powstaje 

problem zbadania zbieżności warunkowej. 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

(−1) n−1 a n = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + · · · 

n=1 

gdzie a n 0 nazywamy naprzemiennym. 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

(−1) n−1 a n = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + · · · 

n=1 

gdzie a n 0 nazywamy naprzemiennym. 

Takim szeregiem jest np. szereg anharmoniczny. 

∞∑ 

(−1) n−1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · 

n=1 

Szeregi




Twierdzenie (kryterium Leibniza) 

Jeśli ciąg a n jest nieujemny, nierosnący i dąży do 0, to 

∞∑ 

(−1) n−1 a n jest zbieżny. 

n=1 

Szeregi





Przykłady. 

1. Ciąg 1 n 

jest nieujemny, nierosnący i dąży do 0. 

Szeregi





Przykłady. 

1. Ciąg 1 n 


Zatem szereg anharmoniczny jest zbieżny, ale tylko warunkowo, bo 

utworzony z jego wartości bezwzględnych szereg harmoniczny jest 

rozbieżny. 

Szeregi





Przykłady. 

1. Ciąg 1 n 




rozbieżny. 

∞∑ 

2. (−1) 

n−1 ln n. (warunkowo zbieżny) 

n=1 

n 

Szeregi





Przykłady. 

1. Ciąg 1 n 




rozbieżny. 

∞∑ 

2. (−1) 


3. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

n 

(−1) n−1 

√ n+1+ 

√ n 

. (warunkowo zbieżny) 

Szeregi





Przykłady. 

1. Ciąg 1 n 




rozbieżny. 

∞∑ 

2. (−1) 


3. 

4. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

n=1 

spełniony) 

n 

(−1) n−1 

√ n+1+ 

√ n 


(−1) n−1 

√ n+1− 

√ n 

. (rozbieżny — warunek konieczny nie jest 

Szeregi





Przykłady. 

1. Ciąg 1 n 




rozbieżny. 

∞∑ 

2. (−1) 


3. 

4. 

n=1 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

n=1 

n 

(−1) n−1 

√ n+1+ 

√ n 


(−1) n−1 

√ n+1− 

√ n 

. (rozbieżny — warunek konieczny nie jest 

spełniony) 

∞∑ (−1) 

5. 

n−1 

. (bezwzględnie zbieżny) 

n 2 

n=1 

Szeregi

Szeregi funkcyjne 





∞∑ 

f n (x) 

n=1 

którego wyrazy są funkcjami zmiennej x, określone w tej samej 

dziedzinie D, nazywamy szeregiem funkcyjnym. 

Szeregi






∞∑ 

f n (x) 

n=1 



Dla ustalonego x ∈ D szereg może być zbieżny lub nie. 

Szeregi






∞∑ 

f n (x) 

n=1 




Zbiór wszystkich x ∈ D dla których szereg jest zbieżny nazywamy 

obszarem zbieżności szeregu. 

Szeregi






∞∑ 

f n (x) 

n=1 




Zbiór wszystkich x ∈ D dla których szereg jest zbieżny nazywamy 

obszarem zbieżności szeregu. 

Obszar ten może być zbiorem pustym. 

Szeregi




Np. dla szeregu 

∞∑ 

n=1 

1 

n x 

obszarem zbieżności jest przedział (1, ∞), 

Szeregi





∞∑ 

n=1 

1 

n x 


a dla szeregu 

∞∑ 

x n 

n=1 

Szeregi





∞∑ 

n=1 

1 

n x 


a dla szeregu 

∞∑ 

x n 

n=1 

obszarem zbieżności jest przedział (−1, 1). 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

a n (x − x 0 ) n , (3) 

n=0 

nazywamy szeregiem potęgowym. 

Szeregi





Definicja 


∞∑ 

a n (x − x 0 ) n , (3) 

n=0 

nazywamy szeregiem potęgowym. 

∑ 

Dla x 0 = 0 mamy szereg ∞ a n x n . 

n=0 

Szeregi





Twierdzenie (o obszarze zbieżności szeregu potęgowego) 

Jeśli R jest liczbą wyznaczoną ze wzoru 

|a n | 

R = lim 

n→∞ |a n+1 | , (4) 

Szeregi







|a n | 

R = lim 

n→∞ |a n+1 | , (4) 

lub ze wzoru 

R = lim 

n→∞ 

1 

√ 

|an | , (5) 

n 

Szeregi







|a n | 

R = lim 

n→∞ |a n+1 | , (4) 

lub ze wzoru 

R = lim 

n→∞ 

1 

√ 

|an | , (5) 

n 

to szereg (3) jest zbieżny w przedziale (x 0 − R, x 0 + R) i rozbieżny 

w przedziałach (−∞, x 0 − R), (x 0 + R, ∞). 

Szeregi







|a n | 

R = lim 

n→∞ |a n+1 | , (4) 

lub ze wzoru 

R = lim 

n→∞ 

1 

√ 

|an | , (5) 

n 

to szereg (3) jest zbieżny w przedziale (x 0 − R, x 0 + R) i rozbieżny 

w przedziałach (−∞, x 0 − R), (x 0 + R, ∞). 

W punktach x 0 − R, x 0 + R szereg może być zbieżny lub nie. 

Szeregi





Określoną wyżej liczbę R nazywamy promieniem zbieżności 

szeregu, a przedział (x 0 − R, x 0 + R) — przedziałem zbieżności. 

Szeregi







Przykłady. Zbadać zbieżność szeregów: 

1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Szeregi








1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Tutaj a n = 1 

n3 n . Obliczamy 

R = lim 

n→∞ 

1 

n3 n 

1 

(n+1)3 n+1 = 

Szeregi








1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Tutaj a n = 1 


R = lim 

n→∞ 

1 

n3 n 

(n + 1)3 n+1 

1 

= lim 

n→∞ n3 

(n+1)3 n = 

n+1 

Szeregi








1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Tutaj a n = 1 


R = lim 

n→∞ 

1 

n3 n 

(n + 1)3 n+1 

1 

= lim 

n→∞ n3 

(n+1)3 n 

n+1 

n + 1 

= 3 lim = 3, 

n→∞ n 

Szeregi








1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Tutaj a n = 1 


R = lim 

n→∞ 

1 

n3 n 

(n + 1)3 n+1 

1 

= lim 

n→∞ n3 

(n+1)3 n 

n+1 

Zatem szereg jest na pewno zbieżny w (−3, 3). 

n + 1 

= 3 lim = 3, 

n→∞ n 

Szeregi








1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Tutaj a n = 1 


R = lim 

n→∞ 

1 

n3 n 

(n + 1)3 n+1 

1 

= lim 

n→∞ n3 

(n+1)3 n 

n+1 


Dla x = 3 otrzymujemy szereg harmoniczny ∞ ∑ 

rozbieżny, 

n + 1 

= 3 lim = 3, 

n→∞ n 

n=1 

1 

n 

, który jest 

Szeregi








1. 

∞∑ 

n=1 

x n 

n3 n . 

Tutaj a n = 1 


R = lim 

n→∞ 

1 

n3 n 

(n + 1)3 n+1 

1 

= lim 

n→∞ n3 

(n+1)3 n 

n+1 


Dla x = 3 otrzymujemy szereg harmoniczny ∞ ∑ 

n + 1 

= 3 lim = 3, 

n→∞ n 

n=1 

1 

n 

, który jest 

rozbieżny, 

∑ 

a dla x = −3 szereg anharmoniczny ∞ (−1) n−1 1 n , warunkowo 

zbieżny. 

n=1 

Szeregi




Ostatecznie przedziałem zbieżności jest [−3, 3). 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 

Teraz a n = √ 1 

n 

, więc 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 

n→∞ n 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

Przedział zbieżności [−1, 1). 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 


W następnym przykładzie ograniczymy się do promienia zbieżności. 

∞∑ (n!) 

3. 

2 

(2n)! x n . 

n=0 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 



∞∑ (n!) 

3. 

2 

(2n)! x n . 

n=0 

R = lim 

n→∞ 

|a n | 

|a n+1 | = Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 



∞∑ (n!) 

3. 

2 

(2n)! x n . 

n=0 

|a n | 

R = lim 

n→∞ |a n+1 | = lim (n!) 2 [2(n + 1)]! 

n→∞ (2n)![(n + 1)!] 2 = 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 



∞∑ (n!) 

3. 

2 

(2n)! x n . 

n=0 

R = lim 

n→∞ 

= lim 

n→∞ 

|a n | 

|a n+1 | = lim n→∞ 

(2n + 1)(2n + 2) 

(n + 1) 2 = 

(n!) 2 [2(n + 1)]! 

(2n)![(n + 1)!] 2 = 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 



∞∑ (n!) 

3. 

2 

(2n)! x n . 

n=0 

R = lim 

n→∞ 

= lim 

n→∞ 

|a n | 

|a n+1 | = lim n→∞ 

(n!) 2 [2(n + 1)]! 

(2n)![(n + 1)!] 2 = 

(2n + 1)(2n + 2) 

(n + 1) 2 = lim 

n→∞ 

4n + 2 

n + 1 = 

Szeregi





∞∑ x 

2. √ n 

n 

. 

n=1 


n 

, więc 

R = lim 

n→∞ 

√1 

n 

√ 1 

= 

n+1 

√ n + 1 

lim √ = 1. 

n→∞ n 



∞∑ (n!) 

3. 

2 

(2n)! x n . 

n=0 

R = lim 

n→∞ 

= lim 

n→∞ 

|a n | 

|a n+1 | = lim n→∞ 

(n!) 2 [2(n + 1)]! 

(2n)![(n + 1)!] 2 = 

(2n + 1)(2n + 2) 

(n + 1) 2 = lim 

n→∞ 

4n + 2 

n + 1 = 4. 

Szeregi




Podstawowym zagadnieniem jest przedstawienie danej funkcji w 

postaci szeregu potęgowego. 

Szeregi






Definicja 

Załóżmy, że funkcja f ma w punkcie x 0 pochodne dowolnego 

rzędu. Można wtedy utworzyć szereg 

∞∑ 

n=0 

f (n) (x 0 ) 

n! 

(x−x 0 ) n = f (x 0 )+ f ′ (x 0 ) 

1! 

(x−x 0 )+ f ′′ (x 0 ) 

(x−x 0 ) 2 +· · · , 

2! 

Szeregi






Definicja 



∞∑ 

n=0 

f (n) (x 0 ) 

n! 

(x−x 0 ) n = f (x 0 )+ f ′ (x 0 ) 

1! 

(x−x 0 )+ f ′′ (x 0 ) 

(x−x 0 ) 2 +· · · , 

2! 

który nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie 

x 0 . 

Szeregi






Definicja 



∞∑ 

n=0 

f (n) (x 0 ) 

n! 

(x−x 0 ) n = f (x 0 )+ f ′ (x 0 ) 

1! 

(x−x 0 )+ f ′′ (x 0 ) 

(x−x 0 ) 2 +· · · , 

2! 


x 0 . 

Jeżeli x 0 = 0, to ten szereg nazywamy szeregiem Maclaurina 

funkcji f . 

Szeregi






Definicja 



∞∑ 

n=0 

f (n) (x 0 ) 

n! 

(x−x 0 ) n = f (x 0 )+ f ′ (x 0 ) 

1! 

(x−x 0 )+ f ′′ (x 0 ) 

(x−x 0 ) 2 +· · · , 

2! 


x 0 . 

Jeżeli x 0 = 0, to ten szereg nazywamy szeregiem Maclaurina 

funkcji f . 

Zatem pod warunkiem, że funkcja ma wszystkie pochodne można 

utworzyć pewien szereg z nią związany. 

Szeregi




Ale: 

szereg nie musi być zbieżny w całej dziedzinie tej funkcji; 

Szeregi




Ale: 


nawet jeśli jest zbieżny, to jego suma nie musi być równa tej 

funkcji. 

Szeregi




Ale: 


nawet jeśli jest zbieżny, to jego suma nie musi być równa tej 

funkcji. 

Potrzebne są dodatkowe założenia. 

Szeregi




Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora) 

Jeżeli 

1 funkcja f ma na otoczeniu U punktu x 0 pochodne dowolnego 

rzędu; 

Szeregi





Jeżeli 


rzędu; 

2 dla każdego x ∈ U reszta wzoru Taylora dąży do 0, tj. 

lim R n(x) = lim 

n→∞ n→∞ 

f (n) (c) 

(x − x 0 ) n = 0, 

n! 

Szeregi





Jeżeli 

to 


rzędu; 

2 dla każdego x ∈ U reszta wzoru Taylora dąży do 0, tj. 

dla każdego x ∈ U. 

lim R n(x) = lim 

n→∞ n→∞ 

f (x) = 

∞∑ 

n=0 

f (n) (c) 

(x − x 0 ) n = 0, 

n! 

f (n) (x 0 ) 

(x − x 0 ) n 

n! 

Szeregi




Przykłady. Posługując się powyższym wzorem wykazać, że dla 

x ∈ R 

∞∑ 

e x 1 

= 

n! x n = 1 + x 1! + x 2 

2! + · · · ; 

n=0 

Szeregi





x ∈ R 

∞∑ 

e x 1 

= 

n! x n = 1 + x 1! + x 2 

2! + · · · ; 

sin x = 

∞∑ 

n=0 

n=0 

(−1) n 

(2n + 1)! x 2n+1 = x − x 3 

3! + x 5 

5! − x 7 

7! + · · · ; 

Szeregi





x ∈ R 

∞∑ 

e x 1 

= 

n! x n = 1 + x 1! + x 2 

2! + · · · ; 

sin x = 

∞∑ 

cos x = 

n=0 

∞∑ 

n=0 

(−1) n 

(2n + 1)! x 2n+1 = x − x 3 

3! + x 5 

5! − x 7 

n=0 

(−1) n 

(2n)! x 2n = 1 − x 2 

2! + x 4 

4! − x 6 

7! + · · · ; 

6! + · · · . 

Szeregi




Posługując się już wyprowadzonymi rozwinięciami można znaleźć 

dalsze wykonując operacje na szeregach (dodawanie, mnożenie 

przez stałą, całkowanie, różniczkowanie ...) 

Szeregi







Przykłady. Wykorzystując równości sinh x = 1 2 (ex − e −x ), 

cosh x = 1 2 (ex + e −x ) wykazać, że dla x ∈ R 

Szeregi









sinh x = 

∞∑ 

n=0 

x 2n+1 

(2n + 1)! = x + x 3 

3! + x 5 

5! + x 7 

7! + · · · ; 

Szeregi









sinh x = 

∞∑ 

n=0 

cosh x = 

x 2n+1 

(2n + 1)! = x + x 3 

3! + x 5 

5! + x 7 

∞∑ 

n=0 

x 2n 

(2n)! = 1 + x 2 

2! + x 4 

4! + x 6 

7! + · · · ; 

6! + · · · . 

Szeregi




Przykład. Znana jest równość 

(szereg geometryczny). 

1 

∞ 

1 − x = ∑ 

x n dla x ∈ (−1, 1) 

n=0 

Szeregi





1 

∞ 

1 − x = ∑ 

x n dla x ∈ (−1, 1) 

n=0 


Zamieniając w niej x na −x otrzymamy 

1 

∞ 

1 + x = ∑ 

(−1) n x n dla x ∈ (−1, 1). 

n=0 

Szeregi





1 

∞ 

1 − x = ∑ 

x n dla x ∈ (−1, 1) 

n=0 



Całkujemy od 0 do x: 

1 

∞ 

1 + x = ∑ 

(−1) n x n dla x ∈ (−1, 1). 

n=0 

ln(1 + x) = 

∫ x 

0 

1 

1 + t dt = Szeregi





1 

∞ 

1 − x = ∑ 

x n dla x ∈ (−1, 1) 

n=0 




ln(1 + x) = 

1 

∞ 

1 + x = ∑ 

(−1) n x n dla x ∈ (−1, 1). 

∫ x 

0 

n=0 

1 

∞ 

1 + t dt = ∑ 

n=0 

∫ x 

0 

(−1) n t n dt = 

Szeregi





1 

∞ 

1 − x = ∑ 

x n dla x ∈ (−1, 1) 

n=0 




1 

∞ 

1 + x = ∑ 

(−1) n x n dla x ∈ (−1, 1). 

n=0 

ln(1 + x) = 

∫ x 

0 

1 

∞ 

1 + t dt = ∑ 

n=0 

∫ x 

0 

(−1) n t n dt = 

∞∑ 

n=0 

(−1) n 

n + 1 x n+1 

dla x ∈ (−1, 1). 

Szeregi




Szereg geometryczny jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego 

szeregu dwumianowego: 

( 

∞∑ α 

(1 + x) α = x 

n) 

n dla α ∈ R, x ∈ (−1, 1) 

n=0 

Szeregi






( 

∞∑ α 

(1 + x) α = x 

n) 

n dla α ∈ R, x ∈ (−1, 1) 

n=0 

gdzie symbol ( α 

n) określamy następująco: 

( 

α α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) 

= . 

n) 

n! 

Szeregi






( 

∞∑ α 

(1 + x) α = x 

n) 

n dla α ∈ R, x ∈ (−1, 1) 

n=0 

gdzie symbol ( α 

n) określamy następująco: 

( 

α α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) 

= . 

n) 

n! 

Przykładowo dla α = 1 3 mamy: 

3√ 

1 + x = 1 + 

1 

3 x − 2 

2!3 2 x 2 + 2 · 5 

3!3 3 − 2 · 5 · 8 

4!3 4 + · · · 

Szeregi




Zastosowania szeregów potęgowych 

Znając rozkład funkcji w szereg Maclaurina można z dowolną 

dokładnością obliczyć wartości tej funkcji. 

Przykład Obliczyć 10√ e = e 1 10 z dokładnością 0, 00001. 

Szeregi








e 1 ∑ ∞ 1 1 ) n 

10 = = 

n!( 

10 

n=0 

Szeregi








e 1 ∑ ∞ 1 1 ) n 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 

10 = = = 1 + + + + + · · · 

n!( 

10 

1! 2! 3! 4! 

n=0 

Szeregi








e 1 ∑ ∞ 1 1 ) n 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 

10 = = = 1 + + + + + · · · 

n!( 

10 

1! 2! 3! 4! 

n=0 

Jeżeli dodamy pierwszych k wyrazów tego szeregu, to reszta 

szeregu jest postaci 

10 −k 

k! 

e ϑ , 0 < ϑ < 0,1 

Szeregi








e 1 ∑ ∞ 1 1 ) n 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 

10 = = = 1 + + + + + · · · 

n!( 

10 

1! 2! 3! 4! 

n=0 

Jeżeli dodamy pierwszych k wyrazów tego szeregu, to reszta 

szeregu jest postaci 

10 −k 

k! 

e ϑ , 0 < ϑ < 0,1 

Żądaną dokładność uzyskamy, gdy reszta będzie mniejsza od 

0, 00001. Wystarczy k = 4. 

Szeregi





Przy obliczaniu wartości ważne jest, jakiego szeregu użyjemy do 

obliczeń. 

Szeregi






obliczeń. 

Przykład Obliczyć ln 2. 

Szeregi






obliczeń. 


Punktem wyjścia jest szereg 

ln(1 + x) = 

∞∑ (−1) n 

n + 1 x n+1 = x − x 2 

2 + x 3 

3 − · · · + (−1)n−1 x n + · · · 

n 

n=0 

dla x ∈ (−1, 1]. 

Szeregi






obliczeń. 



ln(1 + x) = 

∞∑ (−1) n 

n + 1 x n+1 = x − x 2 

2 + x 3 

3 − · · · + (−1)n−1 x n + · · · 

n 

n=0 

dla x ∈ (−1, 1].Podstawiając w nim x = 1 otrzymamy 

ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n−1 1 n + · · · . 

Szeregi






obliczeń. 



ln(1 + x) = 

∞∑ (−1) n 

n + 1 x n+1 = x − x 2 

2 + x 3 

3 − · · · + (−1)n−1 x n + · · · 

n 

n=0 

dla x ∈ (−1, 1].Podstawiając w nim x = 1 otrzymamy 

ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n−1 1 n + · · · . 

Szereg ten jest bardzo wolno zbieżny. Np. biorąc 10 wyrazów 

popełniamy błąd szacowany liczbą 1 

11 . 

Szeregi





Znajdziemy szereg znacznie szybciej zbieżny. 

Szeregi






W tym celu wykorzystamy szereg 

∞∑ x n+1 

ln(1 − x) = − 

n + 1 = −x − x 2 

2 − x 3 

3 − · · · − (−1)n−1 x n + · · · 

n 

dla x ∈ [−1, 1). 

n=0 

Szeregi







∞∑ x n+1 

ln(1 − x) = − 

n + 1 = −x − x 2 

2 − x 3 

3 − · · · − (−1)n−1 x n + · · · 

n 

n=0 

dla x ∈ [−1, 1).Odejmując szeregi dla ln(1 + x) i ln(1 − x) 

otrzymamy 

ln 1 + x ( 

1 − x = 2 x + x 3 

3 + x 5 

5 + x 7 ) 

7 + · · · . 

Szeregi







∞∑ x n+1 

ln(1 − x) = − 

n + 1 = −x − x 2 

2 − x 3 

3 − · · · − (−1)n−1 x n + · · · 

n 

n=0 


otrzymamy 

ln 1 + x ( 

1 − x = 2 x + x 3 

3 + x 5 

5 + x 7 ) 

7 + · · · . 

Ponieważ 1+x 

1−x = 2 dla x = 1 3 

, więc podstawiając do powyższej 

równości x = 1 3 uzyskamy 

( 1 

ln 2 = 2 

3 + 1 

3 · 3 3 + 1 

5 · 3 5 + 1 ) 

7 · 3 7 + · · · . 

Szeregi







∞∑ x n+1 

ln(1 − x) = − 

n + 1 = −x − x 2 

2 − x 3 

3 − · · · − (−1)n−1 x n + · · · 

n 

n=0 


otrzymamy 

ln 1 + x ( 

1 − x = 2 x + x 3 

3 + x 5 

5 + x 7 ) 

7 + · · · . 

Ponieważ 1+x 

1−x = 2 dla x = 1 3 

, więc podstawiając do powyższej 

równości x = 1 3 uzyskamy 

( 1 

ln 2 = 2 

3 + 1 

3 · 3 3 + 1 

5 · 3 5 + 1 ) 

7 · 3 7 + · · · . 

Teraz biorąc 10 wyrazów popełniamy błąd niewiększy niż 10 −9 . 

Szeregi






1 

2 a 0 + (a 1 cos x + b 1 sin x) + (a 2 cos 2x + b 2 sin 2x) + · · · = 

= 1 ∞∑ 

2 a 0 + a n cos nx + b n sin nx (6) 

n=1 

nazywamy szeregiem trygonometrycznym. 

Szeregi






1 


= 1 ∞∑ 


n=1 


Każdy wyraz tego szeregu jest funkcją trygonometryczną o okresie 

2π. 

Szeregi






1 


= 1 ∞∑ 


n=1 



2π. 

Jeżeli szereg jest zbieżny w przedziale [−π, π], to jest zbieżny dla 

wszystkich x i jego suma jest funkcją okresową. 

Szeregi






1 


= 1 ∞∑ 


n=1 



2π. 

Jeżeli szereg jest zbieżny w przedziale [−π, π], to jest zbieżny dla 

wszystkich x i jego suma jest funkcją okresową. 

Stąd wynika, że rozwinięcie w szereg trygonometryczny mogą mieć 

tylko funkcje okresowe o okresie 2π. 

Szeregi




Zadanie. Przypuśmy, że funkcja f (x), o okresie 2π, ma 

przedstawienie 

f (x) = 1 ∞∑ 

2 a 0 + a n cos nx + b n sin nx. (7) 

n=1 

Szeregi






f (x) = 1 ∞∑ 


n=1 

Ile wynoszą współczynniki a n i b n 

Szeregi






f (x) = 1 ∞∑ 


n=1 


Zauważmy najpierw, że dla n ∈ N jest ∫ π 

sin x dx = 0. 

Szeregi 

∫ π 

−π 

−π 

cos x dx = 0 oraz






f (x) = 1 ∞∑ 


n=1 



∫ π 

−π 

sin x dx = 0. 

Zatem całkując równość (7) otrzymamy 

∫ π 

−π 

f (x) dx = 1 2 a 0 

∫ π 

−π 

−π 

cos x dx = 0 oraz 

dx = a 0 π, 

Szeregi






f (x) = 1 ∞∑ 


n=1 



∫ π 

−π 

sin x dx = 0. 

Zatem całkując równość (7) otrzymamy 

∫ π 

−π 

f (x) dx = 1 2 a 0 

∫ π 

−π 

−π 

cos x dx = 0 oraz 

dx = a 0 π, 

a więc 

a 0 = 1 π 

∫ π 

−π 

f (x) dx. 

Szeregi




Aby obliczyć a n dla n > 0 mnożymy najpierw równość (7) zapisaną 

w postaci 

f (x) = 1 2 a 0 + 

∞∑ 

a k cos kx + b k sin kx 

k=1 

przez cos nx i potem całkujemy: 

Szeregi




Aby obliczyć a n dla n > 0 mnożymy najpierw równość (7) zapisaną 

w postaci 

f (x) = 1 2 a 0 + 

∞∑ 

a k cos kx + b k sin kx 

k=1 

przez cos nx i potem całkujemy: 

+ 

∫ π 

−π 

∞∑ 

k=1 

f (x) cos nx dx = 1 2 a 0 

(a k 

∫ π 

−π 

∫ π 

−π 

cos nx dx + 

cos kx cos nx dx + b k 

∫ π 

−π 

) 

sin kx cos nx dx . 

Szeregi




Ale całki ∫ π 

−π 

cos kx cos nx dx są równe 0 dla k ≠ n. 

Szeregi





−π 


Żeby to stwierdzić, wystarczy skorzystać ze wzoru 

trygonometrycznego 

cos kx cos nx = 1 (cos(k + n)x + cos(k − n)x). 

2 

Szeregi





−π 





2 

Również ∫ π 

−π 

sin kx cos nx dx są równe 0 dla k ∈ N. Tym razem 

korzystamy ze wzoru trygonometrycznego 

sin kx cos nx = 1 (sin(k + n)x + sin(k − n)x). 

2 

Szeregi





−π 





2 

Również ∫ π 

−π 

sin kx cos nx dx są równe 0 dla k ∈ N. Tym razem 

korzystamy ze wzoru trygonometrycznego 

sin kx cos nx = 1 (sin(k + n)x + sin(k − n)x). 

2 

A zatem jedyną niezerową całką po prawej stronie jest 

∫ π 

−π cos2 nx dx = π. Zatem mamy 

∫ π 

−π 

f (x) cos nx dx = a n 

∫ π 

−π 

cos 2 nx dx = πa n , 

Szeregi




skąd otrzymujemy 

a n = 1 π 

∫ π 

−π 

f (x) cos nx dx. 

Szeregi





a n = 1 π 

∫ π 

−π 


Analogicznie znajdziemy wzór na b n ; należy pomnożyć równość (7) 

przez sin nx i całkować, korzystając przy tym ze wzoru 

∫ π 

−π 

sin kx sin nx dx = 0 dla k ≠ n. Tę zależność otrzymamy 

wykorzystując równość 

sin kx sin nx = 1 (cos(k − n)x − cos(k + n)x). 

2 

Szeregi





a n = 1 π 

∫ π 

−π 


Analogicznie znajdziemy wzór na b n ; należy pomnożyć równość (7) 

przez sin nx i całkować, korzystając przy tym ze wzoru 

∫ π 

−π 

sin kx sin nx dx = 0 dla k ≠ n. Tę zależność otrzymamy 

wykorzystując równość 

sin kx sin nx = 1 (cos(k − n)x − cos(k + n)x). 

2 

Po rachunkach podobnych do poprzednich uzyskamy: 

b n = 1 π 

∫ π 

−π 

f (x) sin nx dx. 

Szeregi




Otrzymane wzory 

a 0 = 1 π 

∫ π 

−π 

f (x) dx, 

Szeregi





a 0 = 1 π 

a n = 1 π 

∫ π 

−π 

∫ π 

−π 

f (x) dx, 


Szeregi





a 0 = 1 π 

a n = 1 π 

b n = 1 π 

∫ π 

−π 

∫ π 

−π 

∫ π 

−π 

nazywamy wzorami Eulera-Fouriera. 

f (x) dx, 


f (x) sin nx dx. 

Szeregi




Stosując te wzory można dla dowolnej funkcji całkowalnej w 

przedziale [−π, π] utworzyć szereg trygonometryczny nazywany 

szeregiem Fouriera funkcji f (x). 

Szeregi







Ale ten szereg nie musi być wcale zbieżny. 

Szeregi








A jeśli nawet jest zbieżny, to niekoniecznie do funkcji f (x). Żeby to 

zapewnić potrzebne są dodatkowe założenia. 

Definicja 

Mówimy, że funkcja f (x) spełnia warunki Dirichleta, gdy 

1 f (x) jest przedziałami monotoniczna w [−π, π]; 

Szeregi










Definicja 



2 f (x) = 1 2 

(f (x − 0) + f (x + 0)) dla x ∈ (−π, π); 

Szeregi










Definicja 



2 f (x) = 1 2 

(f (x − 0) + f (x + 0)) dla x ∈ (−π, π); 

3 f (−π) = f (π) = 1 2 

(f (−π + 0) + f (π − 0)). 

Szeregi










Definicja 



2 f (x) = 1 2 

(f (x − 0) + f (x + 0)) dla x ∈ (−π, π); 

3 f (−π) = f (π) = 1 2 

(f (−π + 0) + f (π − 0)). 

Symbole f (x − 0) i f (x + 0) oznaczają granicę lewostronną i 

prawostronną w punkcie x. 

Szeregi




Twierdzenie (Dirichleta) 

Jeżeli funkcja f (x) spełnia warunki Dirichleta, to jej szereg 

Fouriera jest zbieżny do funkcji f (x) w przedziale [−π, π]. 

Szeregi




Twierdzenie (Dirichleta) 

Jeżeli funkcja f (x) spełnia warunki Dirichleta, to jej szereg 

Fouriera jest zbieżny do funkcji f (x) w przedziale [−π, π]. 

Poza tym przedziałem równość zachodzi jedynie wtedy, gdy funkcja 

f (x) jest okresowa o okresie 2π. 

Szeregi




Przykład Znajdziemy szereg Fouriera funkcji f (x) = |x|. 

Obliczamy 

a 0 = π, a n = 2 

πn 2 [(−1)n − 1], b n = 0. 

Szeregi




Przykład Znajdziemy szereg Fouriera funkcji f (x) = |x|. 

Obliczamy 

Zatem 

a 0 = π, a n = 2 

πn 2 [(−1)n − 1], b n = 0. 

∞∑ 

|x| = 1 2 π + 2 π 

= π 2 − 4 ∞∑ 

π 

n=1 

k=1 

1 

n 2 [(−1)n − 1] cos nx = 

1 

cos(2k − 1)x 

(2k − 1) 2 

dla x ∈ [−π, π]. 

Szeregi




Przykład Dla funkcji f (x) = x cos x obliczamy 

a 0 = 0 a n = 0, b 1 = − 1 2 , b n = 2n 

n 2 − 1 (−1)n dla n > 1. 

Szeregi





a 0 = 0 a n = 0, b 1 = − 1 2 , b n = 2n 

n 2 − 1 (−1)n dla n > 1. 

A więc 

dla x ∈ (−π, π). 

x cos x = − 1 2 sin x + ∞ ∑ 

n=2 

2n 

n 2 − 1 (−1)n sin nx 

Szeregi





a 0 = 0 a n = 0, b 1 = − 1 2 , b n = 2n 

n 2 − 1 (−1)n dla n > 1. 

A więc 

x cos x = − 1 2 sin x + ∞ ∑ 

n=2 

2n 

n 2 − 1 (−1)n sin nx 

dla x ∈ (−π, π). 

Równość zachodzi tylko w przedziale otwartym, bo trzeci warunek 

Dirichleta nie jest spełniony. 

Szeregi




Przykład Niech 

f (x) = 

Szereg Fouriera tej funkcji: 

f (x) = π ∞ 4 − ∑ 

[ 2 

π 

n=1 

{ 

0 dla −π < x < 0 

x dla 0 x < π 

· cos(2n − 1)x 

(2n − 1) 2 + (−1) 

n sin nx 

n 

] 

. 

Szeregi

Prezentacja: szeregi liczbowe

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?