Matematyka. Poznać, zrozumieć

LICEUM 

I TECHNIKUM 

zakres podstawowy 

i rozszerzony 

Matematyka 

poznać, zrozumieć 

Podręcznik, klasa

Alina Przychoda 

Zygmunt Łaszczyk 

Matematyka 

poznać, zrozumieć 

KLASA 1 

ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY 

Podręcznik do liceum i technikum

SPIS TREŚCI 

O podręczniku .................................................................................................................. 6 

1. Zbiór liczb rzeczywistych 

i jego podzbiory ............................................................................ 11 

1.1 Język matematyki .................................................................................................... 12 

1.2 Zbiory i działania na zbiorach ................................................................................. 19 

1.3 Liczby naturalne i liczby całkowite .......................................................................... 25 

1.4 Liczby wymierne i liczby niewymierne .................................................................... 32 

1.5 Liczby rzeczywiste ................................................................................................... 39 

1.6 Potęga o wykładniku całkowitym. Notacja wykładnicza ........................................... 43 

1.7 Wzory skróconego mnożenia .................................................................................. 48 

1.8 Pierwiastek dowolnego stopnia ............................................................................... 53 

1.9 Potęga o wykładniku wymiernym ........................................................................... 59 

1.10 Procenty .................................................................................................................. 65 

1.11 Przedziały liczbowe ................................................................................................. 71 

1.12 Wartość bezwzględna .............................................................................................. 76 

1.13 Błąd przybliżenia ..................................................................................................... 83 

1.14 Pojęcie logarytmu .................................................................................................... 87 

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu .................................................. 93 

2. Funkcja 

i jej własności ................................................................................. 97 

2.1 Pojęcie funkcji. Sposoby opisywania funkcji ........................................................... 98 

2.2 Wykres funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji ................................................. 107 

2.3 Wzór funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji ..................................................... 113 

2.4 Monotoniczność i różnowartościowość funkcji ....................................................... 119 

2.5 Odczytywanie własności funkcji z wykresu ............................................................. 127 

2.6 Rysowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach ........................................... 134 

2.7 Zastosowanie wiadomości o funkcjach w zadaniach praktycznych ......................... 141 

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu .................................................. 149 

3. Funkcja liniowa ....................................................................... 153 

3.1 Proporcjonalność prosta .......................................................................................... 154 

3.2 Funkcja liniowa i jej własności ................................................................................ 158 

3.3 Równoległość i prostopadłość prostych ................................................................... 167 

3.4 Zastosowanie funkcji liniowej do opisywania zjawisk z życia codziennego ............ 177 

3.5 Funkcja przedziałami liniowa ................................................................................. 180 

3.6 Równania liniowe .................................................................................................... 184

SPIS TREŚCI 

3.7 Nierówności liniowe ............................................................................................... 189 

3.8 Równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną ..................................... 198 

3.9 Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi .............................................. 204 

3.10 Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem układów równań liniowych ...... 210 

3.11 Nierówności i układy nierówności stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi .. 214 

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................. 218 

4. Wektory ........................................................................................... 221 

4.1 Wektory w układzie współrzędnych ....................................................................... 222 

4.2 Wektory na płaszczyźnie ....................................................................................... 227 

4.3 Działania na wektorach na płaszczyźnie ................................................................ 230 

4.4 Działania na wektorach w układzie współrzędnych ............................................... 235 

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................ 238 

5. Przekształcanie 

wykresów funkcji ........................................................................ 239 

5.1 Symetria względem osi układu współrzędnych ...................................................... 240 

5.2 Symetria względem początku układu współrzędnych ............................................ 245 

5.3 Przesunięcia wykresu funkcji równolegle do osi x i do osi y .................................. 250 

5.4 Wykres funkcji y = |f(x)| ......................................................................................... 257 

5.5 Wykresy funkcji y = f(k . x), y = k . f(x), k R\{0} ..................................................... 262 


6. Funkcja 

kwadratowa ....................................................................................... 269 

6.1 Funkcja f(x) = ax 2 , a 0.......................................................................................... 270 

6.2 Przesunięcia wykresu funkcji f(x) = ax 2 , a 0 .......................................................... 275 

6.3 Postać ogólna i postać kanoniczna funkcji kwadratowej ......................................... 278 

6.4 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ....... 283 

6.5 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale 

domkniętym ........................................................................................................... 290 

6.6 Zastosowanie własności funkcji kwadratowej ........................................................ 293 

6.7 Funkcja kwadratowa w zadaniach optymalizacyjnych ............................................ 297 

6.8 Wzory Viète’a i ich zastosowanie ............................................................................ 301 

6.9 Równania kwadratowe ........................................................................................... 305 

6.10 Równania i układy równań rozwiązywane za pomocą równań kwadratowych ....... 310 

6.11 Nierówności kwadratowe ....................................................................................... 313

SPIS TREŚCI 

6.12 Zadania tekstowe z zastosowaniem równań i nierówności kwadratowych ............. 317 

6.13 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem .............................................. 320 

6.14 Wykresy funkcji kwadratowych z wartością bezwzględną....................................... 325 


7. Trygonometria 

część 1 ....................................................................................................... 333 

7.1 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ............................. 334 

7.2 Funkcje trygonometryczne kątów o miarach od 0° do 180° w układzie 

współrzędnych ....................................................................................................... 340 

7.3 Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 

od 0° do 180° ......................................................................................................... 347 

7.4 Podstawowe tożsamości trygonometryczne............................................................ 352 

7.5 Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest wartość 

sinusa lub cosinusa kąta ........................................................................................ 357 

7.6 Zastosowanie trygonometrii ................................................................................... 361 


Bank zadań ........................................................................................ 369 

Wartości funkcji trygonometrycznych ............................................................................ 404 

Odpowiedzi ....................................................................................... 405 

Indeks ................................................................................................................................................................. 429

O podręczniku 

Pamiętaj, Matematyka. Poznać, zrozumieć. Klasa 1 jest podręcznikiem wieloletnim, 

dlatego zakazane jest pisanie po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj w zeszycie. 

Podręcznik został podzielony na siedem rozdziałów tematycznych. 

Na jego końcu zamieszczono odpowiedzi do większości znajdujących się w nim zadań. 

6 

Strona działowa 

z wymaganiami 

szczegółowymi 

z podstawy 

programowej 

dla zakresu 

podstawowego 

i rozszerzonego 

Funkcja 

wad atowa 

Treści nauczania – wymagania szczegółowe: 

niem jej wzoru 

szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej z wykorzystaniem jej wzoru 

odczytywanie z wykresu własności funkcji 

wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej 

interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji 

zorze ze funkcji 

kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w 

postaci 

iloczynowej (o ile istnieje) 

szej funkcji 

kwadratowej w przedziale domkniętym 

terpretacji 

różnych zagadnień 

z jedną niewiadomą 

wyznaczanie wartości najmniejszej i wartości największej funkcji 

wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji 

rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą 

stosowanie wzorów Viète’a 

rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem 

rozwiązywanie układów równań, prowadzących do równań kwadratowych 

szkicowanie wykresów funkcji y = | 

szkicowanie wykresu funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami 

z parametrem 

ównań kwadratowyc 

h 

y f( 

( x)| na podstawie wykresu funkcji 

y = 

f( 

(x 

x 

) 

rzedziałach różnymi 

wzo 

rami 

Odsyłacz do 

Banku zadań 

A gdyby sprawdzian był teraz? 

Zestawy krótkich zadań 

zamkniętych i otwartych, 

sprawdzających opanowanie 

wiadomości z danego tematu

̸ 

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ? 

ZESTAW II – poziom rozszerzony 

A gdyby matura 

była teraz? 

Zestawy zadań 

skonstruowanych 

na wzór zadań 

maturalnych, oparte 

na materiale 

danego działu 

Zadanie 1. (2 p.) 

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej 

y = f(x) są liczby –5 i 3. Do paraboli będącej 

wykresem funkcji f należy punkt A = (5, 4). 

Rozwiąż równanie f(x) =4. 


Wyznacz współczynniki we wzorze funkcji kwadratowej f(x) =ax 2 + bx + c, jeżeli jej 

zbiorem wartości jest przedział (−∞; 4〉, natomiast zbiorem rozwiązań nierówności 

f(x) < 0 jest (−∞; −2) ∪ (5; +∞). 

Temat lekcji 


Wpłacamy do banku na lokatę 5000 zł. Jakie powinno być oprocentowanie lokaty, jeżeli 

oczekujemy, że przy rocznej kapitalizacji odsetek po dwóch latach na koncie będzie co najmniej 

5500 zł? 


Zbadaj, dla jakich wartości parametru k nierówność x 2 + (2k − 2)x − k + 3 > 0 jest spełniona 

przez każdą liczbę rzeczywistą. 

Zd Zadanie 5. 5(4 p.) 

Ustal, dla jakich wartości parametru m jeden pierwiastek równania 

x 2 + 2mx 

+ 2m − 1=0jest 0 większy od 3, a drugi mniejszy od 3. 

Zadanie 

6. (5 5p. 

p.) 

Dana jest prosta o równaniu x + y + 3=0oraz parabola o równaniu 

x 2 − (m − 2)x x − y + m =0, gdzie m jest parametrem. 

Dla jakich wartości parametru m częścią wspólną paraboli i prostej jest jeden punkt? 

Zadanie 7. (5 5p 

p.) 

Dla jakiej wartości parametru k odległość między punktami przecięcia prostej 

x − y − k =0i ipar 

paraboli abol 

y = x 2 + 2x − 1 jest najmniejsza? 

Zadanie 8. (4 4p 

p.) 

Wykaż, że jeśli m ̸= 

n 

oraz funkcje f(x) =x 2 + (m + 1)x + n i g(x) =x 2 + (n + 1)x + m 

mają wspólne 

miejsce zerowe, to m + n = −2. 

331 

Rozwiązane 

przykłady 

Treści i zadania do realizacji 

w zakresie rozszerzonym

W podręczniku wprowadzono następujące wyróżnienia: 

Treści nauczania – wymagania szczegółowe – przed każdym rozdziałem podręcznika 

zamieszczamy wykaz umiejętności zgodny 

z nową podstawą programową. 

Definicja 

– definicje. 

Twierdzenie 

– twierdzenia. 

– ważne informacje do zapamiętania. 

– treści rozszerzające zakres podstawowy. 

– wskazane użycie kalkulatora. 

C IEKAWOSTKA 

– interesujące wiadomości. 

Z ADANIA 

A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ? 

– zestaw zadań do każdego tematu. 

– zestaw krótkich zadań sprawdzających 

opanowanie wiadomości z danego tematu. 

P ROJEKT 

BANK ZADAŃ z. 273–278 » » » 


BANK ZADAŃ 

– praca długoterminowa. 

– odsyłacz do Banku zadań. 

– zadania skonstruowane na wzór zadań maturalnych, 

oparte na materiale danego działu. 

– zbiór dodatkowych zadań, umożliwiających 

utrwalenie zdobytych wiadomości i umiejętności.

MOST 

BROOKLIŃSKI, 

NOWY JORK 

5 

Przekształcanie 

wykresów funkcji 

Treści nauczania – wymagania szczegółowe: 

szkicowanie wykresów funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, 

y = –f(x), y = f(–x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) 

szkicowanie wykresu funkcji określonej w różnych przedziałach 

różnymi wzorami; odczytywanie własności takiej funkcji z wykresu 

stosowanie wektorów do opisu przesunięcia wykresu funkcji 

szkicowanie wykresów funkcji y = |f(x)|, y = c . f(x), y = f(cx) 

na podstawie wykresu funkcji y = f(x)

5. Przekształcanie wykresów funkcji 

5.3 

Przesunięcia wykresu 

funkcji równolegle 

do osi x i do osi 

Wykres funkcji to zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają zależność 

y = f(x). Aby przesunąć wykres funkcji o dany wektor, należy przesunąć każdy punkt wykresu 

o ten wektor. 

ĆWICZENIE 1. 

Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji 

y = f(x) oraz y = g(x). Wykres funkcji g jest wynikiem 

przesunięcia wykresu funkcji f równolegle do 

osi x o 4 jednostki w prawo, czyli o wektor [4, 0]. 

Odczytaj współrzędne punktów A ′ , B ′ , C ′ należących 

do wykresu funkcji g. Porównaj współrzędne 

punktów A i A ′ , B i B ′ oraz C i C ′ . 

ĆWICZENIE 2. 

Wyznacz współrzędne punktów A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ będących obrazami punktów 

A =(−5, 6), B = (2, −5), C = (7, 10), D = (0, 3), E = (4, 0) w przesunięciu równoległym 

do osi x o: 

a) 3 jednostki w prawo, b) 4 jednostki w lewo, c) 2 jednostki w lewo. 

3 

PRZYKŁAD 1. 

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji f, g oraz h. Wyznaczmy zależności między 

wzorami funkcji f i g oraz f i h. 

Z rysunku odczytujemy, że: 

g(2) = f(0) 

g(3) = f(1) 

ogólnie g(x) =f(x − 2) 

oraz 

h(−3) = f(0) 

h(−2) = f(1) 

ogólnie h(x) =f(x + 3) 

250

5.3. Przesunięcia wykresu funkcji równolegle do osi x i do osi 

Zauważmy, że: 

wykres funkcji g możemy otrzymać po przesunięciu wykresu funkcji f równolegle do 

osi x o 2 jednostki w prawo, czyli o wektor [2, 0]; wartości funkcji g są równe odpowiednio 

wartościom funkcji f dla argumentów o 2 mniejszych: g(x) =f(x − 2); 

wykres funkcji h możemy otrzymać po przesunięciu wykresu funkcji f równolegle do osi 

x o 3 jednostki w lewo, czyli o wektor [−3, 0]; wartości funkcji h są równe odpowiednio 

wartościom funkcji f dla argumentów o 3 większych: h(x) =f(x + 3); 

wykres funkcji g możemy otrzymać po przesunięciu wykresu funkcji h równolegle do osi 

x o 5 jednostek w prawo, czyli o wektor [5, 0], oraz g(x) =h(x − 5). 

Po przesunięciu wykresu funkcji y = f(x) równolegle do osi x o p jednostek, 

czyli o wektor [p, 0], otrzymujemy wykres funkcji y = f(x − p). Jeżeli p > 0, 

to przesunięcie będzie w prawo, jeżeli p < 0, to w lewo. 

PRZYKŁAD 2. 

Wyznaczmy wzór funkcji y = g(x), której wykres powstaje w wyniku przesunięcia wykresu 

funkcji f(x) = √ x równolegle do osi x o wektor: 

a) [−2, 0], b) [4, 0]. 

a) Ponieważ pierwsza współrzędna wektora 

p = −2, więc g(x) =f(x + 2) = √ x + 2. 

b) Ponieważ pierwsza współrzędna wektora 

p =4, więc g(x) =f(x − 4) = √ x − 4. 

[−2, 0] 

y = f(x) 

[4, 0] 

ĆWICZENIE 3. 

Wyznacz wzór funkcji g, której wykres powstał po przesunięciu wykresu funkcji f równolegle 

do osi x o podany wektor. 

a) f(x) =x + 2, [−4, 0] b) f(x) =|x|, [3, 0] 

c) f(x) =x 3 , [5, 0] d) f(x) = 1 ,[−6, 0] 

x 

ĆWICZENIE 4. 

Na rysunku przedstawiono wykresy dwóch 

funkcji. Wykres funkcji g powstał w wyniku 

przesunięcia wykresu funkcji f równolegle do 

osi y o 3 jednostki w górę, czyli o wektor [0, 3]. 

Odczytaj współrzędne punktów A ′ , B ′ , C ′ , D ′ 

należących do wykresu funkcji g, będącej obrazem 

funkcji f w tym przesunięciu. 

251


PRZYKŁAD 3. 

Wyznaczmy wzór funkcji, której wykres otrzymamy w wyniku przesunięcia wykresu 

funkcji y = 2 , x ≠0, o wektor [0, −3]. 

x 

Obrazem punktu P =(x, y) należącego do wykresu 

funkcji y = 2 x jest punkt P 1 = ( ) 

x 1 , y 1 . Z rysunku 

odczytujemy, że x 1 = x, y 1 = y − 3, stąd x = x 1 , 

y = 2 x 

y = y 1 + 3. Po wstawieniu zależności do wzoru y = 2 x 

otrzymujemy y 1 + 3= 2 , czyli y 1 = 2 − 3. Zatem 

x 1 x 1 

otrzymaliśmy wzór y = 2 − 3 opisujący funkcję 

x 

y = 2 po przesunięciu o wektor [0, −3]. 

x 

PRZYKŁAD 4. 

Przeanalizujmy funkcje f, g, h przedstawione na rysunku. 

Zauważmy, że po przesunięciu wykresu funkcji f równolegle 

do osi y: 

o 2 jednostki w dół możemy otrzymać wykres funkcji g, 

o 3 jednostki w górę możemy otrzymać wykres funkcji h. 

Zapiszmy zależności między wartościami tych funkcji: 

g(1) = f(1) − 2 h(1) = f(1) + 3 

g(0) = f(0) − 2 h(0) = f(0) + 3 

ogólnie g(x) =f(x) − 2 ogólnie h(x) =f(x) + 3 

Po przesunięciu wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół (o wektor [0, −2])) otrzymujemy 

wykres funkcji g(x) =f(x) − 2. 

Po przesunięciu wykresu funkcji f o 3 jednostki w górę (o wektor [0, 3]) otrzymujemy 

wykres funkcji h(x) =f(x) + 3. 

Po przesunięciu wykresu funkcji y = f(x) równolegle do osi y o q jednostek, 

czyli o wektor [0, q], otrzymujemy wykres funkcji y = f(x) + q. Jeżeli q > 0, 

to przesunięcie będzie w górę, a jeżeli q < 0, to – w dół. 

ĆWICZENIE 5. 

Wykres funkcji danej wzorem przesunięto równolegle do osi y o podany wektor. Wyznacz 

wzór funkcji, której wykres otrzymano. 

[ ] 

a) y =3x, [0, −5] b) y = −0,5x + 2, [0, 2] c) y =3x 2 , 0, 5 2 

PRZYKŁAD 5. 

Wyznaczmy wzór funkcji, której wykres otrzymamy w wyniku przesunięcia wykresu 

funkcji y = x 3 o wektor [4, 3]. 

252


Przesuńmy punkt P =(x, y) należący do wykresu funkcji 

y = x 3 o wektor [4, 3]. Otrzymamy punkt P 1 =(x 1 , y 1 ) 

taki, że x 1 = x + 4, y 1 = y + 3, czyli x = x 1 − 4, y = y 1 − 3. 

Po wstawieniu zależności do wzoru y = x 3 otrzymujemy 

y 1 − 3= ( x 1 − 4 ) 3 

, stąd y1 = ( x 1 − 4 ) 3 

+ 3. Zatem wzór 

funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 

y = x 3 o wektor [4, 3] ma postać y = (x − 4) 3 + 3. 

Po przesunięciu wykresu funkcji y = f(x) o wektor [p, q] otrzymujemy wykres funkcji 

y = f(x − p) + q. 

Zauważmy, że przesunięcie o wektor [p, q] możemy zastąpić dwoma przesunięciami: 

o wektor [p, 0], a następnie o wektor [0, q]. 

ĆWICZENIE 6. 

Napisz wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f 

o wektor ⃗u. 

[ 

a) f(x) =3x − 5, -fi u = [3, −5] b) f(x) = 1 2 x2 − 1, -fi √ 2 

u = 

2 , 3 ] 

5 

ĆWICZENIE 7. 

Podaj współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć funkcję f(x) =−|x| równolegle do: 

a) osi x, tak aby otrzymać wykres funkcji g(x) =−|x − 2|, 

b) osi y, tak aby otrzymać wykres funkcji h(x) =−|x| + 3. 

Narysuj wykresy funkcji f i g oraz f i h oraz zaznacz wektory przesunięcia. 

PRZYKŁAD 6. 

Naszkicujmy wykres funkcji f(x) = 2 

x + 4 − 2. 

Rozpoczniemy od naszkicowania wykresu 

funkcji y = 2 . Po przesunięciu tego wykresu 

o wektor [p, q] otrzymamy wykres 

x 

funkcji o wzorze y = 2 

x − p + q. 

Dla p = −4 oraz q = −2 mamy funkcję 

f(x) = 2 

x + 4 − 2. 

Aby otrzymać wykres funkcji 

f(x) = 2 − 2, należy przesunąć wykres 

x + 4 

funkcji y = 2 równolegle do osi x o4jednostki 

w lewo i równolegle do osi y o 2 jednostki w dół, czyli o wektor [−4, 

x 

−2]. 

y = 2 x 

f(x) = 2 

x + 4 − 2 

253


Z ADANIA 

1. Po przesunięciu wykresu funkcji f(x) = 3 

x − 2 − 2 o wektor -fi u = [3, 1] otrzymano wykres 

funkcji g określonej wzorem 

A. g(x) = 3 

3 

3 

3 

+ 1 B. g(x) = − 1 C. g(x) = − 3 D. g(x) =− 

x − 3 x − 5 x + 1 x + 1 + 1 

2. Wykres funkcji f(x) =ax + b przesunięto o wektor -fi u =[−3, 2] i otrzymano wykres 

funkcji g(x) =−2x − 1. Współczynniki a i b we wzorze funkcji f są równe 

A. a =3, b = −2 B. a = −3, b =2 C. a = −2, b =3 D. a =2, b = −1 

3. Wykresy funkcji przedstawione na rysunku przesuń równolegle do: 

a) osi x o 3 jednostki w lewo, 

b) osi y o 2 jednostki w górę, 

c) osi x o 4 jednostki w prawo, a następnie równolegle do osi y o 2 jednostki w dół. 

I 

II 

4. Napisz wzór funkcji, której wykres otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji: 

a) y = −2x, równolegle do osi x o 1 jednostkę w lewo, 

b) y = −|x|, równolegle do osi x o 3 jednostki w prawo, 

c) y = 4 , równolegle do osi x o 2 jednostki w prawo, a następnie równolegle do 

x 

osi y o 2 jednostki w dół, 

d) y = √ x, równolegle do osi x o 4 jednostki w lewo, a następnie równolegle do 

osi y o 3 jednostki w górę. 

5. Sporządź wykres funkcji, a następnie przesuń go o dany wektor. Podaj dziedzinę i zbiór 

wartości danej funkcji oraz funkcji, której wykres otrzymasz po przesunięciu. 

a) y = −3x, [−2, 0] b) y = −2|x|, [0, 4] c) y = 1 x,[−3, 2] 

2√ 

6. Wykres funkcji g otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f o pewien wektor 

-fi u. Podaj wzór funkcji f oraz współrzędne wektora przesunięcia -fi u. Czy funkcja f jest 

wyznaczona jednoznacznie? 

a) g(x) =3(x − 2) + 1 b) g(x) = √ 4(x + 2) + 12 

c) g(x) = ∣ ∣(x − 4) 3∣ ∣ + 2 d) g(x) =x 5 − √ 2 

254


7. Skorzystaj z wykresu funkcji f i naszkicuj wykres funkcji g. Opisz wykonane przekształcenie. 

Porównaj przedziały monotoniczności obu funkcji. 

a) f(x) =|x|, g(x) =|x + 5| 

b) f(x) = 1 2 x2 , g(x) = 1 2 x2 − 5 

c) f(x) =x 3 , g(x) =(x + 5) 3 − 5 

d) f(x) = 3 x , g(x) = 3 

x + 3 − 3 

8. Sporządź wykres funkcji f, a następnie wykonaj odpowiednie przekształcenie jej wykresu 

i naszkicuj wykres funkcji g. Opisz wykonane przekształcenie. Porównaj zbiory wartości 

obu funkcji. Jaką zauważasz zależność? 

a) f(x) =|x|, g(x) =|x + 5| − 2 

b) f(x) =− 1 2 x3 , g(x) =− 1 2 (x − 3)3 + 2 

9. Przerysuj fragment wykresu funkcji przedstawiony na rysunku i uzupełnij go tak, aby 

otrzymać wykres funkcji: 

a) parzystej, b) nieparzystej. 

Otrzymany wykres przesuń o wektor [0, 3]. Czy po przesunięciu otrzymasz również 

wykres funkcji parzystej lub nieparzystej? 

a) b) 

10. Dana jest funkcja f(x) = sgn x. Naszkicuj wykres funkcji y = g(x). 

a) g(x) =−f(x + 3) 

b) g(x) =f(x − 2) + 2 

c) g(x) =−f(−x) + 2 

d) g(x) =f(−x) − 2 

11. Wykres funkcji f(x) =|x|, x ∈ 〈−1; 2), jest częścią wykresu funkcji okresowej g 

o okresie podstawowym T =3. Sporządź wykres funkcji g. Opisz sposób konstruowania 

wykresu funkcji g. 

BANK ZADAŃ z. 224–226 » » » 

255



1. Wykres funkcji g(x) =(x − 4) 3 − 1 otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji 

f(x) =(x − 1) 3 + 2 o wektor 

-fi 

A. u = [3, − 3] B. 

-fi u =[−3, 3] C. 

-fi u = [4, − 1] D. 

-fi u =[−4, 1] 

2. Wykres funkcji f(x) =2x + 1, x ∈ R, przesuń o 2 jednostki w prawo równolegle do 

osi x, a następnie otrzymany obraz przesuń o 3 jednostki do góry równolegle do osi y. 

Napisz wzór funkcji, której wykres otrzymałeś. 

3. Wykres funkcji f(x) =(x − 6) 2 − 3, x ∈ R, otrzymano po przesunięciu wykresu 

funkcji g równolegle do osi x, a następnie po przesunięciu otrzymanego obrazu 

równolegle do osi y. Podaj przykład wzoru funkcji g oraz opisz te przesunięcia. 

Naszkicuj wykresy funkcji g i funkcji f. Podaj zbiór wartości i przedziały 

monotoniczności obu funkcji. Czy jest tylko jedna taka funkcja g? 

4. Podaj przykład funkcji, której obrazy wykresu w symetrii względem osi x oraz 

w przesunięciu o pewien wektor będą tą samą figurą. 

5. Narysuj wykres funkcji f(x) =− 1 , a następnie przekształć go tak, aby otrzymać 

x 

wykres funkcji g(x) =−f(−x). Co zauważyłeś? 

256

5.4 

Wykres funkcji = | f(x)| 

PRZYKŁAD 1. 

Sporządźmy wykres funkcji f(x) =2|x − 2|, x ∈ R. 

Wzór funkcji f możemy zapisać następująco: 

f(x) =|2x − 4|, x ∈ R 

Z definicji wartości bezwzględnej mamy 

{ 

2x − 4 dla x 2 

|2x − 4| = 

−2x + 4 dla x < 2 

więc dla x 2 wartości funkcji f(x) =2|x − 2| odpowiadają 

wartościom funkcji g(x) =2x − 4, a ich wykresy się pokrywają. 

Dla x < 2 wartości funkcji f odpowiadają wartościom funkcji 

h(x) =−2x + 4. 

Wykresy funkcji f i g są symetryczne względem osi x dla x ∈ (−∞; 2), natomiast wykresy 

funkcji f i h są symetryczne względem osi x dla x ∈ (2; +∞). 

y = g(x) 

y = f(x) 

y = h(x) 

Wykres funkcji y = |f(x)| otrzymujemy przez: 

pozostawienie bez zmian tej części wykresu funkcji f, która znajduje się nad osią x 

oraz na osi x, 

odbicie symetryczne względem osi x tej części wykresu funkcji f, która znajduje się 

pod osią x. 

ĆWICZENIE 1. 

Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej podstawowe własności. 

a) f(x) =|−x + 4| b) g(x) = ∣ ∣x 3∣ ∣ 

∣ 

c) h(x) = ∣ 

d) k(x) = ∣ √ x ∣ ∣ 2 x 

PRZYKŁAD 2. 

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x). Naszkicujmy wykres funkcji 

g(x) =|f(x)|. Na podstawie wykresów funkcji f i g porównajmy własności tych funkcji. 

257


y = f(x) 

D f = 〈−5; 2) ∪ (2; 7〉 

Z wf = 〈−3; 3〉 

Miejsce zerowe x = −3. 

Funkcja jest malejąca w przedziale 

〈−5; −1〉, rosnąca w przedziałach 〈−1; 1〉 

oraz 〈4; 7〉, stała w przedziałach 〈1; 2) 

oraz (2; 4〉. 

g(x) =|f(x)| 

D g = 〈−5; 2) ∪ (2; 7〉 

Z wg = 〈0; 3〉 

Miejsce zerowe x = −3. 

Funkcja jest malejąca w przedziałach 

〈−5; −3〉 oraz 〈−1; 1〉, rosnąca 

w przedziałach 〈−3; −1〉 oraz 〈4; 7〉, 

stała w przedziałach 〈1; 2) oraz (2; 4〉. 

Funkcja y = |f(x)| ma taką samą dziedzinę i miejsca zerowe co funkcja f. 

PRZYKŁAD 3. 

Sporządźmy wykres funkcji g(x) =|f(x)|, gdzie f(x) = 2 − 3. Na podstawie wykresu 

x − 1 

funkcji g wyznaczmy, dla jakich wartości parametru k równanie g(x) =k − 2 ma dwa rozwiązania 

różnych znaków. 

Wykres funkcji f otrzymujemy po przesunięciu 

wykresu funkcji y = 2 x owektor 

[1, −3]. 

Następnie szkicujemy wykres funkcji 

g(x) =|f(x)|. 

Zauważmy, że równanie g(x) =m ma 

dwa rozwiązania różnych znaków dla 

3 < m < 5. Zatem 3 < k − 2 < 5, 

a stąd 5 < k < 7. 

y = g(x) 

y = f(x) 

y = 2 x 

ĆWICZENIE 2. 

Na podstawie wykresu funkcji g z przykładu 3. wyznacz, dla jakich wartości parametru k 

równanie g(x) =k + 2 ma dwa rozwiązania dodatnie. 

258

5.4. Wykres funkcji = |f(x)| 

ĆWICZENIE 3. 

Dana jest funkcja f(x) =|x − 3| − 2. Dla jakich wartości parametru k równanie 

|f(x)| = k + 1 ma: 

a) dwa rozwiązania różnych znaków, 

b) cztery rozwiązania dodatnie? 

PRZYKŁAD 4. 

Sporządźmy wykres funkcji: 

a) f(x) = ∣ ∣|x + 3| − 2 ∣ , b) f(x) =|x + 2| + |x − 1|. 

a) Szkicujemy wykres funkcji pomocniczej g(x) =|x|, 

a następnie wykonujemy kolejne przekształcenia tego 

y = f(x) 

wykresu. 

1. Wykres funkcji g przesuwamy o wektor [−3, −2] 

y = g(x) 

i otrzymujemy wykres funkcji h(x) =|x + 3| − 2. 

2. Część wykresu funkcji h znajdującą się pod osią x 

przekształcamy w symetrii względem osi x i otrzymujemy 

y = h(x) 

wykres funkcji f. 

b) Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby. 

Rozpatrujemy funkcję f w przedziałach: 

(−∞; −2) 

y = f(x) 

f 1 (x) =(−x − 2) + (−x + 1) = −2x − 1 

〈−2; 1) 

f 2 (x) =(x + 2) + (−x + 1) = 3 

〈1; +∞) 

f 3 (x) =(x + 2) + (x − 1) = 2x + 1 

y = f 2 (x) 

y = f 1 (x) y = f 3 (x) 

Szkicujemy wykresy funkcji f 1 , f 2 , f 3 w odpowiednich przedziałach, w wyniku czego 

otrzymujemy wykres funkcji f w zbiorze R. 

Z ADANIA 

1. Dany jest wykres funkcji y = f(x), x ∈ R. Naszkicuj wykres funkcji y = |f(x)|. Porównaj 

własności funkcji y = f(x) oraz y = |f(x)|. 

a) b) 

259


c) d) 

2. Naszkicuj wykres funkcji y = |f(x)|, x ∈ R. Podaj dziedzinę, zbiór wartości oraz miejsca 

zerowe funkcji f i y = |f(x)|. 

a) f(x) =−2x + 1 b) f(x) = 2 3 x − 2 

c) f(x) =x 2 + 3 d) f(x) =|x| − 4 

3. Skorzystaj z wykresu funkcji f i naszkicuj wykres funkcji g. Podaj dziedzinę, zbiór 

wartości oraz miejsca zerowe funkcji f i g. 

a) f(x) = √ −x, g(x) = ∣ √ −x ∣ b) f(x) =−(x − 1) 3 , g(x) = ∣ ∣−(x − 1) 3∣ ∣ 

c) f(x) = 1 x 2 , g(x) = ∣ ∣∣ 1 

x 2 ∣ ∣∣ 

∣ 

−2 ∣∣− d) f(x) = 

|x| , g(x) = 2 

|x| 

4. Funkcja f jest malejąca w przedziale (−∞; −3〉, stała w przedziale 〈−3; 4〉 i rosnąca 

w przedziale 〈4; +∞). Jej miejscami zerowymi są x = −5 i x =6. Określ monotoniczność 

funkcji g. 

a) g(x) =f(x − 3) b) g(x) =|f(x)| 

c) g(x) =|f(x − 3)| + 2 d) g(x) =−|f(x)| 

5. Funkcja f dla x =3przyjmuje najmniejszą wartość y =2. Dla jakiego argumentu funkcja 

g przyjmuje najmniejszą (lub największą) wartość? Podaj najmniejszą (lub największą) 

wartość funkcji g. 

a) g(x) =f(x + 4) b) g(x) =|f(x + 4)| − 2 

c) g(x) =3− |f(x)| d) g(x) = ∣ ∣2 − |f(x)| ∣ ∣ 

∣ 

6. Naszkicuj wykres funkcji g(x) =|f(x)|, jeżeli: 

a) f(x) = 3√ x, b) f(x) =x 3 − 1, 

c) f(x) = √ x − 4, d) f(x) =|x| − x, 

e) f(x) =x − 2|x|, f) f(x) =|x + 1| − |x|. 

BANK ZADAŃ z. 227–230 » » » 

260

5.4. Wykres funkcji = |f(x)| 


1. Narysuj wykres funkcji f(x) =|x + 4|, x ∈ 〈−5; 2〉, i wyznacz jej zbiór wartości. 

2. Wykorzystaj wykres funkcji f(x) =x 3 + 3, x ∈ R, i naszkicuj wykres funkcji 

y = |f(x)| oraz y = ∣ ∣| f(x)| − 2 ∣ ∣ . 

3. Na podstawie wykresu funkcji g(x) = ∣ ∣ √ x + 4 − 1 ∣ ∣ , x ∈ 〈−4; 5〉, podaj zbiór wartości 

funkcji g oraz przedziały monotoniczności. 

4. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) =|g(x)| − 2, jeżeli g(x) = √ x − 1, x ∈ R. 

P ROJEKT 

Rozważ rodzinę wykresów funkcji f(x) =|x| + a, a ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. 

1. Przekształć kolejno wykres każdej funkcji f w symetrii względem prostej x =2. 

2. Odgadnij wzory funkcji, których wykresy otrzymałeś w wyniku symetrycznego odbicia 

rodziny wykresów funkcji f względem prostej x =2. 

3. Zastanów się, w wyniku jakiego innego przekształcenia otrzymasz te wykresy. 

4. Podaj wzór ogólny funkcji g, której wykres otrzymasz w wyniku symetrycznego odbicia 

względem prostej x =2wykresu funkcji f, dla dowolnego a ∈ R. 

W celu dokładnego zbadania problemu możesz posłużyć się kalkulatorem graficznym 

lub odpowiednim programem komputerowym. 

261


5.5 Wykresy funkcji = f(k . x), 

= k . f(x), k ∈R\{0} 

PRZYKŁAD 1. 

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x). Sporządźmy wykres funkcji: 

( ) 

a) g(x) =f(2x), b) h(x) =f 1 

2 x . 

a) Porównajmy funkcję f z funkcją g. Funkcja g przyjmuje 

wartości funkcji y = f(x) dla argumentów dwa razy mniejszych. 

Zatem, aby otrzymać wykres funkcji g(x) =f(2x), 

należy przekształcić wykres funkcji y = f(x) – zmienić 

w skali 1 jednostkę na osi x. Każdy punkt P =(x, y) należący 

do wykresu funkcji f zamieniamy na punkt 

2 

( ) 

P 1 = x 

2 , y należący do wykresu funkcji g. 

( ) 

b) Przy sporządzaniu wykresu funkcji h(x) =f 1 

2 x posługujemy się również wykresem 

( ) 

funkcji f. Funkcja h(x) =f 1 

2 x przyjmuje wartości funkcji f dla argumentów dwa razy 

( ) 

większych. Zatem, aby otrzymać wykres funkcji h(x) =f 1 

2 x , należy przekształcić 

wykres funkcji y = f(x) – zmienić 

w skali 2 jednostkę na osi x. Każdy 

punkt P =(x, y) należący do wykresu 

funkcji f zamieniamy na punkt 

P 1 =(2x, y) należący do wykresu 

funkcji h. 

Aby z wykresu funkcji y = f(x) otrzymać wykres funkcji y = f(k · x), k ̸= 0, należy 

( ) 

każdy punkt P =(x, y) wykresu funkcji y = f(x) przekształcić na punkt P 1 = x 

k , y 

należący do wykresu funkcji y = f(k · x), tzn. trzeba przekształcić wykres funkcji 

y = f(x) poprzez zmianę jednostki na osi x w skali 1 k . 

262

5.5. Wykresy funkcji = f(k . x), = k . f(x), k ∈R \{0} 

ĆWICZENIE 1. 

Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) z przykładu 1. naszkicuj wykres funkcji 

( ) 

g(x) =f(3x) oraz h(x) =f 1 

3 x . 

PRZYKŁAD 2. 

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x). Sporządźmy wykres funkcji: 

a) g(x) =2f(x), b) h(x) = 1 2 f(x). 

a) Porównajmy funkcję f z funkcją g. Funkcja g 

przyjmuje dla tych samych argumentów dwa razy 

większe wartości niż funkcja y = f(x). Zatem, aby 

otrzymać wykres funkcji g(x) =2f(x), należy przekształcić 

wykres funkcji y = f(x) – zmienić w skali 2 

jednostkę na osi y. Każdy punkt P =(x, y) należący 

do wykresu funkcji f zamieniamy na punkt 

P 1 = (x,2y) należący do wykresu funkcji g. 

b) Przy sporządzaniu wykresu funkcji h(x) = 1 2 f(x) 

posługujemy się również wykresem funkcji f. 

Funkcja h przyjmuje dla tych samych argumentów 

dwa razy mniejsze wartości niż funkcja y = f(x). 

Zatem, aby otrzymać wykres funkcji h(x) = 1 2 f(x), 

należy przekształcić wykres funkcji y = f(x) – zmienić 

w skali 1 jednostkę na osi y. Każdy punkt 

2 

P =(x, y) należący do wykresu funkcji f zamieniamy 

na punkt P 1 = 

(x, 1 ) 

2 y należący do wykresu 

funkcji h. 

Aby z wykresu funkcji y = f(x) otrzymać wykres funkcji y = k · f(x), k ̸= 0, należy 

każdy punkt P =(x, y) wykresu funkcji y = f(x) przekształcić na punkt P 1 = (x, ky) 

należący do wykresu funkcji y = k · f(x), tzn. trzeba przekształcić wykres funkcji 

y = f(x) poprzez zmianę jednostki na osi y w skali k. 

ĆWICZENIE 2. 

Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) z przykładu 2. naszkicuj wykres funkcji 

( ) 1 

g(x) = 1,5f(x) oraz h(x) =f 

4 x . 

263


Z ADANIA 

1. Naszkicuj wykres funkcji f(x) =3g(x), jeżeli: 

a) g(x) =−x, b) g(x) =|x|, c) g(x) =x 3 , d) g(x) = 1 x . 

Porównaj monotoniczność funkcji f i g. Zapisz wzór otrzymanej funkcji. 

2. Narysuj wykres funkcji f(x) = 1 g(x), jeżeli: 

4 

a) g(x) =x + 1, b) g(x) =|2x|, c) g(x) =−x 3 , d) g(x) = 2 x . 

Porównaj monotoniczność funkcji f i g. Zapisz wzór otrzymanej funkcji. 

3. Funkcja f(x) =|x + 2| określona jest dla x ∈ 〈−1; 4〉. Naszkicuj wykres funkcji g. 

Podaj jej dziedzinę i zbiór wartości. 

( ) 

a) g(x) =f(3x) b) g(x) =f 1 

3 x c) g(x) =4f(x) d) g(x) = 1 4 f(x) 

4. Beczka z kranem jest napełniona 100 l wody. 

Po odkręceniu kranu wypływa z beczki 5 l 

wody w czasie 1 minuty. Po 10 minutach zakręcono 

kran na 15 minut, a następnie odkręcono 

go ponownie. 

a) Narysuj wykres funkcji f opisującej ilość 

wody w beczce w zależności od czasu. 

b) Naszkicuj wykres funkcji g opisującej 

ilość pozostałej wody w beczce, jeżeli 

z kranu w ciągu minuty wypływa trzy razy więcej wody. 

c) Naszkicuj wykres funkcji h opisującej ilość pozostałej wody w beczce, jeżeli z kranu 

w ciągu minuty wypływa trzy razy mniej wody. 

BANK ZADAŃ z. 231–236 » » » 


1. Dana jest funkcja f(x) =x − 1, x ∈ (−3; 3). Porównaj własności funkcji 

g(x) =3f(x) oraz h(x) =f(3x). 

2. Posłuż się wykresem funkcji f(x) =|2x|, x ∈ R, i narysuj wykres funkcji: 

( ) 

a) y =2f(x), b) y = f 1 

2 x . 

Porównaj dziedzinę, zbiór wartości i przedziały monotoniczności otrzymanej 

funkcji oraz funkcji f. 

3. Posłuż się wykresem funkcji f(x) =x 3 , x ∈ 〈0; +∞), i naszkicuj wykres funkcji: 

( ) 

a) y = f(2x), b) y = f 1 

3 x . 

264


ZESTAW I – poziom podstawowy 


Wykres funkcji f(x) =−2x + 6 przesunięto równolegle do osi x o 3 jednostki w lewo 

i równolegle do osi y o 1 jednostkę w górę. Otrzymano wykres funkcji g. Wskaż zdanie 

prawdziwe. 

A. Do wykresu funkcji g należy punkt P = (0, 1). 

B. Miejscem zerowym funkcji g jest x = −3. 

C. Funkcja g jest rosnąca. 

D. Funkcja g jest określona wzorem g(x) =−2x. 


Na rysunku 1. przedstawiono wykres pewnej funkcji y = f(x). Wobec tego na rysunku 2. 

naszkicowano wykres funkcji 

A. y = f(x) − 2 

B. y = −f(x) 

C. y = f(−x) 

D. y = f(x − 1) 

rys. 1. rys. 2. 


Punktem symetrycznym względem początku układu współrzędnych do punktu 

P = ( 3, − √ 2 ) jest punkt 

A. P 1 = ( 3, √ 2 ) B. P 1 = ( −3, − √ 2 ) C. P 1 = ( −3, √ 2 ) ( ) 1 

D. P 1 = 

3 , 1 √2 


Wykres funkcji y = f(x) przesunięto o 2 jednostki w górę i otrzymano wykres funkcji 

y = g(x). Zatem 

A. g(x) =f(x − 2) B. g(x) =f(x + 2) 

C. g(x) =f(x) + 2 D. g(x) =f(x) − 2 


Dana jest funkcja f(x) =2x − 3. Aby otrzymać wykres funkcji g(x) =−2x + 3, należy 

wykres funkcji f 

A. przekształcić w symetrii względem osi x. 

B. przekształcić w symetrii względem osi y. 

C. przekształcić w symetrii względem początku układu współrzędnych. 

D. przesunąć o 6 jednostek w górę. 

265



Po przesunięciu wykresu funkcji f(x) =x − 3 równolegle do osi x o 1 jednostkę w lewo, 

a następnie po przesunięciu otrzymanego wykresu równolegle do osi y o 3 jednostki w górę 

otrzymujemy wykres funkcji g. Oceń prawdziwość zdania. 

a) Funkcję g opisuje wzór g(x) =x. 

b) Do wykresu funkcji g należy punkt P = (0, 1). 

c) Miejscem zerowym funkcji g jest x = −1. 

d) Funkcja g jest rosnąca. 


W tabelce przedstawiono wartości funkcji f, określonej w zbiorze R, przyporządkowane 

wybranym argumentom. 

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16 

a) Zaproponuj wzór funkcji f. 

b) Zapisz wzór funkcji g, której wykres otrzymasz po przesunięciu wykresu funkcji f równolegle 

do osi x o 3 jednostki w prawo, a następnie po przesunięciu otrzymanego wy- 

( 

kresu równolegle do osi y o 4 jednostki w górę. Oblicz g 

− 1 2 

) 

, g 

( 

2 1 3 

) 

, g ( 2 + √ 3 ) . 


Wykres funkcji y = x + 2, x ∈ R, przekształć w symetrii względem punktu (0, 0). 

( 1 

Sprawdź, czy punkt 

3 , − 5 należy do otrzymanego wykresu funkcji. 

3) 


Wykres funkcji f(x) =−|x|, x ∈ R, przesuń równolegle do osi x o 1 jednostkę w prawo, 

a następnie otrzymany wykres przesuń równolegle do osi y o 4 jednostki w górę. Jaką 

figurą jest zbiór punktów ograniczonych otrzymanym wykresem funkcji oraz osią x? 

Wyznacz oś symetrii tej figury. 


Sprawdź, czy wartość wyrażenia 5 1 

3 · 5 √ 5 · 125 − 5 18 

( 1 

25) − 

1 

2 

może być wartością funkcji f(x) =x 2 

dla argumentu będącego liczbą całkowitą. Jeżeli tak, to wyznacz ten argument. 


Wyznacz część wspólną zbiorów wartości funkcji f(x) =−x 2 + 3, x ∈ R, oraz 

g(x) =|x| − 1, x ∈ R. 

266



Narysuj wykres funkcji rosnącej, określonej w zbiorze 〈−3; 2〉 ∪ (4; 7), która nie ma 

miejsc zerowych. Przekształć wykres w symetrii względem osi y. Określ monotoniczność 

otrzymanej funkcji. 


Wykres funkcji f(x) =− 1 x + 2, x ∈ R, przesunięto równolegle do osi x o 6 jednostek 

2 

w lewo i otrzymano wykres funkcji g. 

a) Oblicz pole P 1 figury ograniczonej wykresem funkcji f i osiami układu 

współrzędnych. 

b) Oblicz pole P 2 figury ograniczonej wykresem funkcji g i osiami układu 

współrzędnych. 

c) O ile procent pole P 2 jest mniejsze od pola P 1 ? 


Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji y = f(x) 

oraz y = g(x). 

a) Odgadnij wzory funkcji f i g. 

b) Określ wzór funkcji y = f(x) · g(x). 

c) Oblicz iloczyny: f(−3) · g(−3), f(−2) · g(−2), 

f(−1) · g(−1), f(0) · g(0), f(1) · g(1), f(2) · g(2), 

f(3) · g(3). 

d) Zaznacz w układzie współrzędnych punkty 

o współrzędnych (m, f(m) · g(m)), gdzie 

m ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. 

e) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x) · g(x). 

ZESTAW II – poziom rozszerzony 


Wykres funkcji f(x) =3|x| − 2 przesunięto równolegle o wektor [−3, 2] i otrzymano 

wykres funkcji g. Zapisz wzór funkcji g. Podaj jej zbiór wartości oraz miejsca zerowe. 


Dana jest funkcja f(x) =−|x + 2| + 3, x ∈ R. O jaki wektor należy przesunąć wykres tej 

funkcji, aby otrzymać wykres funkcji, która przyjmuje dla x =3 wartość największą 

y = −3? Sporządź odpowiedni rysunek. 


Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji określonej wzorem f(x) =2x − |−x| dla 

x ∈ {1, 2, 3, ..., 10}. Wyznacz zbiór wartości funkcji g(x) =2f(x). 

267



〈〉 1 

Funkcja f(x) =2określona jest w zbiorze D = 

2 ;1 ∪ 

〈1 2 〉 

3 ;2 ∪ 

〈2 3 〉 

4 ;3 ∪ ... 

a) Wskaż zbiór D 1 ⊂ R taki, że zbiór D ∪ D 1 jest dziedziną funkcji parzystej g, tak aby 

wykres funkcji f był częścią wykresu funkcji g. 

b) Wykorzystaj funkcję f i podaj wzór funkcji nieparzystej h określonej w zbiorze 

będącym dziedziną funkcji parzystej g. 


Dane są funkcje f(x) = √ x + 5 oraz g(x) = x2 − 16 

x + 4 . 

a) Wyznacz dziedziny funkcji f i g. 

b) Oblicz f(m), gdzie m jest miejscem zerowym funkcji g. 


Podaj przykład liczby niewymiernej p należącej jednocześnie do dziedziny funkcji 

f(x) = √ 4 − x oraz do dziedziny funkcji g(x) = √ x − 3. Wyznacz wzory funkcji, których 

wykresy są symetryczne do wykresów funkcji f i g względem punktu (0, 0) i podaj 

przykład liczby niewymiernej q należącej do dziedzin otrzymanych funkcji. 


Naszkicuj wykres funkcji f(x) =2|x − 3| − 1, x ∈ R. Wyznacz zbiór wartości funkcji. 

Podaj wszystkie punkty o współrzędnych całkowitych, które należą do obszaru ograniczonego 

wykresem funkcji f i osią x. 


Sprawdź, czy wartość wyrażenia 313 · 9 7 + 5 · 27 9 

(√ 3 

) 16 · 9 

9 

y = − 1 |x − 14| + 2. 

2 

jest miejscem zerowym funkcji 


Wykres funkcji f(x) =5x + 2, x ∈ R, przesuń o wektor -fi a = [3, 1]. Podaj wzór funkcji g, 

której wykres otrzymasz w wyniku tego przesunięcia. Oblicz pole wielokąta, którego 

wierzchołkami są punkty przecięcia wykresów funkcji f i g z osiami układu współrzędnych. 


Wykaż, że funkcja f(x) =− 4 jest rosnąca w przedziale (−∞; 0). Sporządź wykres funkcji 

x 

g(x) =−|f(x + 3) − 2| i zbadaj jej monotoniczność w przedziale (−∞; 0). 

268

BANK ZADAŃ 

6. Funkcja kwadratowa 

229. Naszkicuj wykres funkcji g(x) =|f(x)| − 3. 

a) f(x) =−x + 2 b) f(x) = 5 2 x − 3 c) f(x) =−|x + 2| d) f(x) =x3 + 2 

230. Naszkicuj wykres funkcji g(x) =|f(x − 2)|. W punkcie c skorzystaj z informacji z zadania 123. 

a) f(x) = 1 4 x − 4 b) f(x) =√ x − 3 c) f(x) =[x] − x d) f(x) =|x − 4| − 2 

231. Dana jest funkcja f(x) =|x − 4| − 3, x ∈ R. Sporządź jej wykres, a następnie wykresy funkcji 

g(x) =3f(x) i h(x) = 1 f(x). Oblicz, o ile procent pole wielokąta ograniczonego wykresem 

4 

funkcji f i osią x jest odpowiednio mniejsze lub większe od pola figur ograniczonych odpowiednio 

wykresem funkcji g i osią x oraz wykresem funkcji h iosią x. 

232. Funkcja f(x) = ∣ ∣|x + 2| − 3 ∣ ∣ określona jest w zbiorze 〈−6; 2〉. Narysuj wykresy funkcji 

g(x) =−2f(x) oraz h(x) =f(2x). Podaj dziedzinę, zbiór wartości i przedziały monotoniczności 

otrzymanych funkcji. 

233. Opisz, jak należy przekształcić wykres funkcji f, aby otrzymać wykres funkcji g. 

a) f(x) =3 √ x, g(x) = √ 9x − 3 b) f(x) =x 2 , g(x) =−x 2 − 2 

c) f(x) =x 3 , g(x) = ∣ ∣(1 − x) 3∣ ∣ ∣ d) f(x) = 1 ∣∣4 

x , g(x) = 2 

− ∣ 

234. Wykres danej funkcji przekształć tak, aby otrzymać wykres funkcji, której zbiorem wartości 

będzie 〈−3; +∞). Opisz kolejne etapy tworzenia wykresu. 

a) f(x) =x + 2 b) f(x) = 4 c) f(x) = √ x + 3 d) f(x) =−|x + 3| + 5 

x 

x 

235. Oblicz pole wielokąta ograniczonego wykresem funkcji i osią x. 

a) y = −|x + 2| + 3 b) y = ∣ ∣|x| − 5 ∣ c) y = 1 |1 − x| − 2 d) y =2− |x − 1| 

2 

236. Dana jest funkcja y = f(x). Opisz kolejne etapy tworzenia wykresu funkcji o podanym wzorze. 

a) g(x) =|f(x)| − a b) g(x) =|3f(x)| + b c) g(x) =−f(−x + a) − b 

237. Który wzór określa funkcję kwadratową? 

a) f(x) =2(x + 3) 2 − 3 b) g(x) = 5x2 − x + 5 

x − 5 

c) h(x) =2x 2 + 3x − 7 − 2x(3x − 9) d) k(x) =(2x − 1) 2 − (3 − 2x) 2 

238. Wyznacz równanie paraboli y = ax 2 , jeżeli należy do niej podany punkt. 

a) A =(−1, 1) b) B = (0, 0) c) C = (6, 2) d) D =( √ 3, √ 2) 

239. W jednym układzie współrzędnych sporządź wykresy funkcji: y =4x 2 , y = 2 3 x2 , y = 1,25x 2 . 

a) Wypisz własności, które są wspólne dla tych funkcji. 

b) Opisz różnice między wykresami tych funkcji. 

393

ODPOWIEDZI 


5. Przekszta∏canie wykresów funkcji 

5.1. Symetria względem osi układu współrzędnych (s. 242). 1. A 2. C 

3. A–V, B–II, C–IV, D–I, E–III 5. a) y =3x + 5 b) y =2x 2 c) y = −2|x| d) y = x 3 

6. a) y = −πx − 1,5 b) y =3x 2 + 2 c) y = −3|x| − x d) y = x 3 − x 

7. rosnąca dla x ∈ 〈−2; 2〉, malejąca dla x ∈ 〈−7; −4〉 oraz dla x ∈ 〈2; 4〉, stała dla x ∈ 〈−4; −2〉 

a) rosnąca dla x ∈ 〈−7; −4〉 oraz dla x ∈ 〈2; 4〉, malejąca dla x ∈ 〈−2; 2〉, stała dla x ∈ 〈−4; 2〉 

b) rosnąca dla x ∈ 〈−4; −2〉 oraz dla x ∈ 〈4; 7〉, malejąca dla x ∈ 〈−2; 2〉, stała dla x ∈ 〈2; 4〉 

9. a) P =18 b) P =18 11. y = 3 5 x + 3, 

y = −3x + 1, 

y =2x − 6 

A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 244) 1. B 2. względem osi x: A ′ =(−2, 2), 

B ′ = (3, −6), C ′ =(−5, 0), względem osi y: A ′′ = (2, −2), B ′′ =(−3, 6), C ′′ = (5, 0) 

3. a) y =10x − 4 b) y =10x + 4 5. f: y = −2x − 9, g: y = −2x + 9 

5.2. Symetria względem początku układu współrzędnych (s. 247). 1. D 2. B 

4. a) y =6x + 2 b) y = x 2 c) y = −2 √ −x d) y = −x 3 7. a) f(x) > 0 dla x ∈ R \ {0}, 

g(x) < 0 dla x ∈ R \ {0} b) f(x) > 0 dla x > 0, g(x) < 0 dla x < 0 c) nie ma takiego x, 

nie ma takiego x d) f(x) > 0 dla x > 0, g(x) < 0 dla x < 0 

8. symetrią względem (0, 0) 9. a), b) i c) 

a) 

y = f(x) 

c) 

b) 

A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 249) 1. A 2. A ′ =(−7, 9), B ′ = (4, 10), C ′ =(−17, 0) 

4. y =12x + 2,3 6. y = − 3√ x − 5 

5.3. Przesunięcia wykresu funkcji równolegle do osi x i do osi y (s. 254). 1. B 2. C 

4. a) y = −2x − 2 b) y = −|x − 3| c) y = 4 

x − 2 − 2 d) y = √ x + 4 + 3 5. a) D = R, Z w = R, 

y 1 = −3x − 6, D 1 = R, Z w1 = R b) D = R, Z w =(−∞; 0〉, y 1 = −2|x| + 4, D 1 = R, 

Z w1 =(−∞; 4〉 c) D = 〈0; +∞), Z w = 〈0; +∞), y 1 = 1 2√ 

x + 3 + 2, D1 = 〈−3; +∞), 

Z w1 = 〈2; +∞) 6. f wyznaczona niejednoznacznie, np. a) f(x) =3x, fi u = [2, 1] 

b) f(x) =2 √ x, -fi u =[−2, 12] c) f(x) =|x 3 |, -fi u = [4, 2] d) f(x) =x 5 , fi u = [0, − √ 2] 

7. a) przesunięcie f o fi u =[−5, 0], f: rosnąca dla x ∈ 〈0; +∞), malejąca dla x ∈ (−∞; 0〉, 

g: rosnąca dla x ∈ 〈−5; +∞), malejąca dla x ∈ (−∞; −5〉 b) przesunięcie f o fi u = [0, −5], 

414

Indeks 

A 

alternatywa zdań / 14 

argument funkcji / 99 

B 

błąd (przybliżenia) bezwzględny 

/ 83 

błąd (przybliżenia) względny / 83 

C 

cechy podzielności / 26 

cosinus kąta ostrego w trójkącie 

prostokątnym / 335 

cosinus kąta w układzie 

współrzędnych / 342 

cotangens kąta ostrego w trójkącie 


część wspólna zbiorów / 21 

D 

długość wektora / 225 

dopełnienie zbioru / 22 

dowód nie wprost / 36 

dziedzina funkcji / 99 

dzielnik liczby naturalnej / 25 

F 

fałsz (w logice matematycznej) 

/ 12 

figury symetryczne względem 

prostej / 240 

figury symetryczne względem 

punktu / 245 

forma zdaniowa (w logice 

matematycznej) / 12 

funkcja / 99 

funkcja kwadratowa / 271 

funkcja liczbowa / 101 

funkcja liniowa / 158 

funkcja malejąca / 119 

funkcja monotoniczna / 119 

funkcja monotoniczna 

przedziałami / 120 

funkcja niemalejąca / 120 

funkcja nieparzysta / 247 

funkcja nierosnąca / 120 

funkcja okresowa / 137 

funkcja parzysta / 247 

funkcja przedziałami liniowa / 180 

funkcja rosnąca / 119 

funkcja różnowartościowa / 123 

funkcja stała / 119 

funkcje równe / 116 

funkcje trygonometryczne kąta 

ostrego w trójkącie 


funkcje trygonometryczne kąta 

w układzie współrzędnych / 342 

I 

iloczyn zbiorów / 21 

implikacja zdań / 14 

J 

jedynka trygonometryczna / 353 

K 

kąt ostry w układzie 


kąt skierowany / 340 

kąty skierowane przeciwnie / 340 

kierunek wektora / 223 

koniec wektora / 223 

koniunkcja zdań / 14 

kontrprzykład / 16 

kwadrat różnicy / 49 

kwadrat sumy / 48 

L 

liczba całkowita / 19, 28 

liczba naturalna / 19, 25 

liczba niewymierna / 35 

liczba pierwsza / 26 

liczba rzeczywista / 19, 39 

liczba wymierna / 19, 32 

liczba złożona / 26 

liczby względnie pierwsze / 27 

logarytm / 88 

logarytm dziesiętny / 90 

logarytmowanie / 87 

M 

metoda podstawiania / 204 

metoda przeciwnych 

współczynników / 205 

metoda równań równoważnych 

/ 184 

metoda równoległoboku / 231 

miejsce zerowe funkcji / 109 

miejsce zerowe funkcji 

kwadratowej / 284 

miejsce zerowe funkcji liniowej 

/ 163 

N 

nachylenie prostej do osi x / 159 

następnik implikacji / 14 

negacja zdania / 13 

nierówności równoważne / 189 

nierówność kwadratowa / 313 

nierówność liniowa z jedną 

niewiadomą / 189 

nierówność sprzeczna / 194 

nierówność tożsamościowa / 194 

notacja wykładnicza / 44 

O 

okres podstawowy funkcji 

okresowej / 137 

okres rozwinięcia dziesiętnego 

liczby / 34 

P 

parabola / 271 

parametr równania / 186 

pęk prostych / 162 

pierwiastek kwadratowy / 53 

pierwiastek n-tego stopnia / 55 

pierwiastek równania 

kwadratowego / 305 

pierwiastek (równania 

kwadratowego) dwukrotny 

/ 306 

pierwiastek (równania 

kwadratowego) podwójny / 306 

pierwiastek sześcienny / 53 

początek wektora / 222 

podzbiór / 20 

poprzednik implikacji / 14 

postać iloczynowa funkcji 


postać kanoniczna funkcji 


postać ogólna funkcji 


potęga / 43, 59 

prawa działań / 39 

429

Indeks 

prawda (w logice matematycznej) 

/ 12 

procent / 65 

proste prostopadłe (w układzie 

współrzędnych) / 170 

proste równoległe (w układzie 

współrzędnych) / 168 

przeciwdziedzina funkcji / 99 

przedział domknięty / 72 

przedział domknięty 

nieograniczony / 73 

przedział liczbowy / 71 

przedział otwarty / 71 

przedział otwarty nieograniczony 

/ 72 

przedziały monotoniczności 

funkcji / 120 

przedziały monotoniczności 

funkcji maksymalne / 121 

przyporządkowanie jednoznaczne 

/ 99 

przyporządkowanie 

niejednoznaczne / 99 

punkty procentowe / 67 

R 

ramię końcowe kąta 

skierowanego / 340 

ramię początkowe kąta 

skierowanego / 340 

reszta z dzielenia / 27 

rozkład liczby naturalnej 

na czynniki pierwsze / 27 

rozwiązanie nierówności 


rozwiązanie nierówności liniowej 

/ 189 

rozwiązanie równania 

kwadratowego / 305, 308 

rozwiązanie równania liniowego 

/ 184 

rozwinięcie dziesiętne liczby / 34 

równanie dwukwadratowe / 310 

równanie kierunkowe prostej / 167 

równanie kwadratowe / 305 

równanie kwadratowe niezupełne 

/ 305 

równanie kwadratowe zupełne 

/ 306 

równanie ogólne prostej / 173 

równanie sprzeczne / 185 

równanie tożsamościowe / 185 

równoważność zdań / 15 

różnica kwadratów / 49 

różnica zbiorów / 21 

S 

sinus kąta ostrego w trójkącie 


sinus kąta w układzie 


suma zbiorów / 20 

T 

tangens kąta ostrego w trójkącie 


tangens kąta w układzie 


teza twierdzenia / 15 

tożsamość trygonometryczna 

/ 353 

trójmian kwadratowy / 271 

twierdzenie o zmianie podstawy 

logarytmu / 89 

U 

układ (równań) nieoznaczony 

/ 206 

układ równań niezależnych / 206 

układ (równań) oznaczony / 206 

układ (równań) sprzeczny / 206 

układ równań zależnych / 206 

ułamek niewłaściwy / 32 

ułamek właściwy / 32 

W 

wartości funkcji 

trygonometrycznych / 404 

wartość bezwzględna liczby / 76 

wartość bezwzględna różnicy 

liczb / 78 

wartość funkcji / 99 

wartość (funkcji) najmniejsza 

/ 128 

wartość (funkcji) największa 

/ 128 

wektor przeciwny do danego 

wektora / 224 

wektor swobodny / 223 

wektor zaczepiony / 223 

wektor zerowy / 227 

wektory równe / 225, 227 

wielkości wprost proporcjonalne 

/ 155 

współczynnik kierunkowy prostej 

/ 158 

współczynnik proporcjonalności 

/ 155 

współrzędne wektora / 222 

współrzędne wierzchołka paraboli 

/ 279 

wykres funkcji liczbowej / 102 

wyraz wolny we wzorze funkcji 

liniowej / 158 

wyróżnik funkcji kwadratowej 

/ 279 

wzory skróconego mnożenia / 50 

wzory Viète’a / 301 

Z 

założenie twierdzenia / 15 

zaprzeczenie zdania / 13 

zbiory rozłączne / 21 

zbiory równe / 20 

zbiór / 19 

zbiór liczb całkowitych / 19, 28 

zbiór liczb naturalnych / 19, 25 

zbiór liczb niewymiernych / 35 

zbiór liczb rzeczywistych / 19, 39 

zbiór liczb wymiernych / 19, 32 

zbiór pusty / 19 

zbiór rozwiązań nierówności 

liniowej / 189 

zbiór rozwiązań równania 

liniowego / 184 

zbiór wartości funkcji / 99 

zdanie proste (w logice 


zdanie złożone (w logice 


zmienna / 98 

zmienna niezależna / 98, 158 

zmienna zależna / 98, 158 

znak (funkcji) dodatni / 127 

znak (funkcji) ujemny / 127 

zwrot wektora / 223 

430

Źródła ilustracji i fotografii 

Okładka: s. I (kamienie) Anatoli Styf/Shutterstock.com; s. IV (dziewczyna z laptopem) Szekeres Szabolcs/ 

Shutterstock.com, (latop) Evgeny Karandaev/Shutterstock.com, (kamienie) Anatoli Styf/Shutterstock.com 

Strony działowe: s. 11 (układ galaktyk „Kwintet Stefana”) NASA, ESA, and the Hubble SM4 ERO Team; 

s. 97 (wykres funkcji) apdesign/Shutterstock.com; s. 153 (Hogeschool w Holandii) Worldpics/Shutterstock.com; 

s. 221 (kręgle) James Steidl/Shutterstock.com; s. 239 (most Brookliński) javarman/ Shutterstock.com; 

s. 269 (kamienie) Anatoli Styf/Shutterstock.com; s. 333 (snowboardzista) Ipatov/Shutterstock.com 

Tekst główny: s. 3 (układ galaktyk „Kwintet Stefana”) NASA, ESA, and the Hubble SM4 ERO Team, 

(wykres funkcji) apdesign/Shutterstock.com, (Hogeschool w Holandii) Worldpics/Shutterstock.com; 

s. 4 (kręgle) James Steidl/Shutterstock.com, (most Brookliński) javarman/Shutterstock.com, (kamienie) 

Anatoli Styf/Shutterstock.com; s. 5 (snowboardzista) Ipatov/Shutterstock.com; s. 6 (kamienie) Anatoli Styf/ 

Shutterstock.com; s. 8 i inne (fragment kartki) thumb/Shutterstock.com; s. 12 (książki) ajt/Shutterstock.com; 

s. 16 (Układ Słoneczny) martiin/fluidworkshop/Shutterstock.com; s. 23 (rowerzyści) PAP/Andrzej 

Rybczyński, (matura) PAP/Piotr Polak; s. 24 (grupa młodych ludzi) Rido/Shutterstock.com; s. 25 (kamienie) 

ruslanchik/Shutterstock.com; s. 41 (wizja artystyczna Marsa) NASA/JPL-CALTECH/SCIENCE PHOTO 

LIBRARY/East News; s. 45 (czerwone krwinki) J. Gramling/Phototake/BE&W; s. 46 (atom kryptonu) 

Studio Verde; s. 59 (Układ Słoneczny) JCElv/Shutterstock.com; s. 65 (diagram) Pedro Tavares 

/Shutterstock.com, (turyści na szlaku) Galyna Andrushko/Shutterstock.com; s. 67 (wycinki prasowe) WSiP; 

s. 69 (kalkulator) karen roach/Shutterstock.com; s. 70 (telewizor) Carlos E. Santa Maria/Shutterstock.com; 

s. 84 (rysunek z cyrklem) Scorpp/Shutterstock.com; s. 87 (alga morska brunatna) Alamy/BE&W; 

s. 91 (góry) Daniel Prudek/Shutterstock.com; s. 94 (jacht) Comstock; s. 98 (wodorost) Lisovskaya Natalia/ 

Shutterstock.com; s. 99 (osoby przy laptopie) Konstantin Chagin/Shutterstock.com; s. 100 (samochód) 

efiplus/Shutterstock.com; s. 104 (gniazda i wtyczki) tele52/Shutterstock.com; s. 118 (tankowanie) Comstock; 

s. 124 (bolid) renkshot/Shutterstock.com; s. 131 (termometr) Fotofermer/Shutterstock.com; s. 142 (banknoty) 

Patryk Stanisz/Shutterstock.com; s. 143 (złotówka) rsooll/Shutterstock.com; s. 144 s. (rower) steamroller_blues/ 

Shutterstock.com; 145 (ikony) Pixotico/Shutterstock.com; (euro i dolar na równoważni) lznogood/ 

Shutterstock.com; s. 146 (banknoty) Przemek Tokar/Shutterstock.com; s. 148 (paczki) AGITA LEIMANE/ 

Shutterstock.com; s. 154 (uderzenie pioruna) kwest/Shutterstock.com; s. 155 (świstak) Photoshot/Medium; 

s. 156 (łyżka z nasionami) Roblan/Shutterstock.com; s. 157 (łyżka ze śmietaną) angelo ilardelli/Shutterstock.com; 

s. 159 (pustynia) LianeM/Shutterstock.com; s. 161 (znak drogowy) hunta/Shutterstock.com; s. 177 (kran z wodą) 

ifong/Shutterstock.com; s. 178 (zgnieciony papier) Picsfive/Shutterstock.com, (warstwy gleby) J. Helgason/ 

Shutterstock.com; s. 184 (rakieta tenisowa) ID1974/ Shutterstock.com; s. 190 (emotikon) beboy/ 

Shutterstock.com; s. 193 (długopisy) jeka84/Shutterstock.com; s. 210 (piłka) Le Do/Shutterstock.com; 

s. 212 (czapka) Kameel4u/Shutterstock.com, (koparka z operatorem) PAP/Andrzej Rybczyński; s. 219 (rower) 

steamroller_blues/Shutterstock.com; s. 244 (motyl) Ingram Publishing/ Hetta; s. 264 (beczki) Jim West/ 

Alamy/BE&W; s. 270 (skoczek spadochronowy) EPA/W. Smith; s. 277 (wieżowiec Kingdom Center w Rijadzie, 

Arabia Saudyjska) AGRfoto/Alex Rowbotham/Alamy/ BE&W; s. 289 (fontanny Uniwersytetu w Adelajdzie) 

gkphotography/Alamy/BE&W; s. 299 (kąpielisko) PHILIPPE ROY/Alamy/BE&W; s. 300 (truskawki) Valentyn 

Volkov/Shutterstock.com; s. 307 (Partenon) Fergus McNeill/Alamy/BE&W; s. 315 (dywan) karam 

Miri/Shutterstock.com; s. 317 (tulipany) Susan Fox/Shutterstock.com; s. 334 (samolot na pasie startowym) 

Mikael Damkier/Shutterstock.com; s. 337 (rowerzyści w regionie Bolzano) PAP/EPA/Olivier Maire;

s. 339 (samolot podchodzący do lądowania na wyspie) Z. Łaszczyk; s. 362 (motolotniarz) PAP/Piotr Polak; 

s. 364 (mężczyzna na żaglówce) aragami12345s/Shutterstock.com; s. 370 (buty) Nadezda Cruzowa/ 

Shutterstock.com; s. 374 (nabiał) Lidante/Shutterstock.com; s. 381 (giełda) Bianda Ahmad Hisham/ 

Shutterstock.com; s. 382 (paczka) Oliver Hoffmann/Shutterstock.com; s. 383 (osoba uprawiająca nordic 

walking) Mauritius/BE&W; s. 399 (rabata kwiatowa) Paweł Napieraj/DiGiTouch; s. 402 (narciarz) 

JupiterImages/Comstock/ PhotoStock 

Mapy: s. 68 (mapa Polski) Jerzy Domosud; s. 85 (mapa okolic Gorlic) Jerzy Domosud 

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne oświadczają, że podjęły starania mające na celu dotarcie do właścicieli 

i dysponentów praw autorskich wszystkich zamieszczonych utworów. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, przytaczając 

w celach dydaktycznych utwory lub fragmenty, postępują zgodnie z art. 29 ustawy o prawie autorskim. Jednocześnie 

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne oświadczają, że są jedynym podmiotem właściwym do kontaktu 

autorów tych utworów lub innych podmiotów uprawnionych w wypadkach, w których twórcy przysługuje prawo 

do wynagrodzenia.

Matematyka. Poznać, zrozumieć

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?