Rekurzivne relacije - FESB

Linearne homogene rekurzivne relacije s konstantnim
koecijentima
Rekurzivna relacija (1) je homogena ako je f (n) 0
za sve n. Dakle, imamo
a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + ::: + c r a n r ; n r: (2)
Propozicija 2 Ako za dva slijeda (a 0 n) i (a 00 n) ; n 0
vrijedi rekurzivna relacija (2), onda vrijedi i za njihovu
linearnu kombinaciju (a 0 n + a 00 n) ; gdje su ; 2 R
(ili C) bilo koji skalari.
Rješenje od (2) traimo u obliku:
a n = x n ;
Eulerova supstitucija:
Uvrštavanjem u (2) za x 6= 0 dobivamo
x n = c 1 x n 1 + c 2 x n 2 + ::: + c r x n r ; n r;
što povlaci (dijeljenjem s x n r 6= 0)
x r c 1 x r 1 c 2 x r 2 ::: c r = 0: (3)
Po Osnovnom teoremu algebre karakteristicna jednadba
(3) ima u skupu kompleksnih brojeva r korijena
x 1 ; x 2 ; :::; x r (neki mogu biti me ¯dusobno jednaki).
Zbog pretpostavke c r 6= 0 niti jedan x i nije 0.