2.∫Ω

5 th week
A. 一 維 問 題 之 理 解 : 概 念 和 步 驟
(3 種 方 法 :
○1 Trefftz method,
○2 Fundamental solution method)
加 權 殘 差 法 -weak formulation, 二 次 部 分 積 分 .
⎛ d w ⎞
⎝ dx ⎠
dw 1
dx 0
du
dw
2
1
1
○1
∫ u − − + = 0
0
⎜
2
⎟dx
∫ xwdx u w
0
2
d w
使 用 = 0 求 w. 代 入 積 分 式 , 使 用 Bc’s 求 解 , 求 出 邊 界 上 的 未 知 值 。
2
dx
1
0
2
d w
○2 = −Δ( x − x i
) < 負 號 為 配 合 積 分 式 符 號 >
2
dx
求 出 w 表 示 式 ,w 稱 為 基 本 解 ,w 代 入 積 分 式 , 把 x 定 在 邊 界 上 , 求 解
⎛ dw ⎞
得 到 邊 界 上 的 未 知 函 數 值 ⎜u or ⎟ ( 此 時 , 邊 界 積 分 式 合 為 x 的 函 數 )
⎝ dx ⎠ i
du( xi
)
因 此 , 可 以 計 算 任 意 位 置 x
i
的 函 數 值 u
i
, 且 可 以 計 算 微 分 值 在 任 意 位 置
d( xi
)
上 。
B. 二 維 問 題 : 以 Elliptic 型 態 問 題 先 作 說 明
使 用 G.E. 配 合 加 權 殘 差 法 , 二 次 部 分 積 分 得 到
∫
Ω
2 ∂w
∂u
u ∇ wdΩ − ∫ u dΓ +
Γ ∫ wdΓ = 0
∂n
Γ
∂n
* ∂w
使 用 基 本 解 名 稱 w = u , = q
∂n
邊 界 積 分 式 寫 為
令 ∇ 2 u
*
= −Δ
i
∫
Ω
∫
Γ
∗
∂u , = q
∂n
2 *
*
*
u ∇ u dΩ − uq dΓ + qu dΓ = 0
代 入 積 分 式
∫
Γ
−
u i
−
∫
Γ
*
uq dΓ +
∫
Γ
*
qu dΓ = 0
∫
*
*
or − u i − uq dΓ + qu dΓ = 0
Γ
∫
後 續 型 式 改 為 ( )u=( )q
2
Note:1. 二 維 ∇ u = 0 的 基 本 解 ( 推 導 )
Γ
2 *
2.∫ u∇
u dΩ = −u
Ω
i
( 積 分 出 來 的 型 式 必 須 相 同 , 會 有 singularity) 在 奇 異

點 積 分 上 需 要 討 論 , 對 ∇ 2 u = 0 而 言 , 其 基 本 解 可 表 示 為
1
(1) 3D Prob. u
* 2 * i
= ( ∇ u = −Δ
)
4πr
以 圖 形 表 示
r
= x − x 1
r 為
1
x 到 x 的 距 離
r
=
x
−
x 1
* 1 1
(2) 2D Prob. u = ln
2π
r
使 用 前 述 基 本 解 (3D,2D)
∫
Ω
u∇
2
u
*
dΩ
= −u
i
Ω 為 半 徑 ε 的 圓 (2D)
球 (3D)
最 後 令 ε → 0
∫
Ω
u∇
2
u
*
dΩ
∫
=
∫
Ω ε
其 中 上 式 ( )
Ω − Ω ε
( ) dΩ
+ ( ) dΩ
d Ω 項 為 0
∫
Ω − Ω ε
2 *
i
積 分 結 果 ∫ u∇
u dΩ
= −u
Ω
在 邊 界 方 法 中 , Δ i 函 數 必 須 定 義 到 邊 界 上 , 引 進 邊 界 條 件 , 求 解
邊 界 分 為 smooth 和 corner

i
x 定 義 在 邊 界 上 時 ,∫
Ω
i
2 * u
u ∇ u dΩ = − (smooth 邊 界 )
2
(corner 邊 界 另 外 討 論 )
邊 界 積 分 式 為
u i
∫
*
*
− − q udΓ + u qdΓ = 0
2
Γ
∫
Γ
i
此 式 每 一 次 都 會 有 有 基 本 解 x 的 定 義 , 部 分 為 隱 含 表 示
綜 合 整 理 :
u i
i
*
*
x ∈ Γ , − − ∫q
udΓ + ∫u
qdΓ = 0
2
Γ
i
*
*
x ∈ Ω , − u i − ∫ q udΓ + ∫u
qdΓ = 0
Γ
or − = ∫q
udΓ − ∫
u i *
Γ
Γ
Γ
* u qdΓ
( 此 時 u 和 q 均 為 已 知 )
Γ
上 兩 式 均 含 一 般 的 任 意 形 態 邊 界 的 積 分 , 因 此 , 在 計 算 上 則 使 用 " 元 素 ",
(element) 的 概 念 作 計 算 。 此 元 素 的 概 念 和 " 有 限 元 素 法 " 的 概 念 類 似 , 差 異 只 在
於 基 本 解 的 正 確 使 用 。