Part1: Optimization and Nonsmooth Analysis

講題 : 微積分與高等微積分的銜接及未來發展演講者 : 陳嘉文日期 :2008 年 6 月 3 日如何迎戰二十一新世紀未來教育發展趨勢 !陳嘉文小檔案學歷 : 清華大學數學博士現職 : 國立嘉義大學應用數學系教授兼系主任新禾美司軟體研發中心主任美司多媒體文化事業股份有限公司技術指導 ( 顧問 )百立生物科技股份有限公司技術指導 ( 顧問 )經歷 : 義守大學應用數學系教授兼系主任國立高雄大學應用數學系兼任教授國立中山大學應用數學系兼任副教授Chinese Institute of Industrial Engineers(EI) 編輯委員

微積分與高等微積分課程的銜接微積分課程的架構與內容 :微積分是一門數理科學研究的基礎課程 , 其所建構的科學理論與方法 , 已廣泛整合應用在我們日常生活中 , 因此舉凡一切科學研究皆有其身影 , 深深影響我們一切科學探討與發展 , 故微積分已為各大學校院理工、管理或社會科學等領域的必修基礎課程。微積分課程是銜接在高中數學的基礎上 , 是其它高等數學的基礎 , 介紹數系架構、函數的極限概念、連續性、微分與積分方法、以及在數學與相關學科上的應用 , 其基本內容如下 :課程內容 :一、集合 ( 實數系基本概念 ): 單一空間結構概念集合、數學語句與符號 , 介紹實數系的基本架構及性質 , 如 :有理數的稠密性與實數系的完備性。二、函數 : 連接二空間結構的轉換或轉變函數、基本函數 ( 如 : 多項式、有理函數、冪次函數、三角函數、反三角函數、指數函數、對數函數、雙曲函數等等 )、單變數函數的極限與連續、函數在有限點與無窮遠處的極限與單II

側極限、數列的極限、極限與連續函數的基本性質、中間值定理、最大最小值定理及其應用。三、單變數函數的導數及其應用 :導數的意義、基本函數微分、微分公式、導函數、隱微分法、變率、均值定理、函數的遞增及遞減、函數的極值、函數圖形的漸近線與凹性、L'Hospital 法則、Taylor 多項式、Newton 法。四、單變數函數的積分及其應用 :基本函數積分、不定積分的各種技巧 ( 如 : 分部積分法、變數代換法、分項分式法 )、定積分的意義及其基本性質、Riemann和、連續函數的可積分性、微積分基本定理、積分的均值定理 ,定積分的近似求法、瑕積分、定積分的應用。五、無窮級數 :收斂級數的基本性質、正項級數、交錯級數、絕對收斂、斂散性的檢驗、冪級數、Taylor 級數。六、多變數函數的微積分 :偏導數的概念與應用、重積分的概念與應用、線積分、面積分、Green 定理、Gauss 定理、Stoke 定理、散度定理。III

高等微積分課程的架構與內容 :先修科目 : 微積分高等微積分是微積分的進階課程 , 是近代分析數學的最基本科目 , 其目的在承接微積分課程 , 加強微積分基本概念、理論架構、原理及方法。以培養學生的科學分析能力及推理能力 , 作為學習其他進階數理、數學及應用數學之基礎。課程內容 :一、基本概念 :集合與函數的概念及運算 , 包括有限集、無限及、可數集與不可數集等。二、實數系 :完備性及其相關性質的證明。三、高維度空間的基本拓樸性質 :高維度空間中的距離、開集、閉集、連通性、緊緻性、並包括Bolzano-Weierstrass 定理、Heine-Borel 定理、Cantor 交集定理。四、序列與級數 :高維度空間中序列的收斂性、實數數列的上極限與下極限、函數序列的均勻收斂、函數均勻收斂與連續性、函數序列微分與IV

積分 , 函數級數的收斂性、函數級數的絕對收斂、函數級數的斂散性檢驗法、函數項級數的均勻收斂及檢驗法。五、結構保持定理 :含連通性與緊緻性之結構保持定理及其應用、連續函數序列的極限函數的性質、Bernstein 近似定理、Weierstrass 近似定理 ,均勻連續。六、函數微分 :一維空間的微分理論 ( 如 : 均值定理 ,L'Hospital 法則 )、偏導數、方向導數、微分、Jacobian 矩陣、連鎖律、高維度空間上的均值定理及其應用、Taylor 定理、反函數定理與隱函數定理、極值的求法 ( 含 :Lagrange's 乘子法 )。七、函數積分 :Riemann-Stieltjes 和、Riemann 和、可積性判別定理、Fubini 定理、零測度的概念、Riemann 可積性判別定理、變數變換公式。八、積分應用 :瑕積分的迭代積分 ,Gamma 函數與 Beta 函數、線積分與面積分、Gauss 定理、Stoke 定理、Green 定理與散度定理。V

高等微積分課程的延伸與銜接高等微積分的先修科目是微積分 , 因此高等微積分是微積分的進階課程 , 事實上高等微積分近代分析數學的最基本科目 , 除了在承接微積分課程之外 , 加強微積分基本概念、理論架構、原理及方法 , 同時亦加入許多新的內容與元素 , 如 :• 拓樸學 ( 位相學 )• 測度學 ( 測度、Riemann-Stieltjes 積分、、等等。)• 結構保持理論與原理• 近似理論與原理• 函數級數、、、等等。並延伸加強學生的科學分析能力及推理能力 , 作為未來學習其他進階數理、數學及應用數學之基礎 , 如 : 實變函數論、複變函數論、泛函分析、微分幾何、、、等等課程。VI

微積分與高等微積分課程的未來發展• 微積分的改變 , 帶動未來科技的改變與發展• 不連續函數 , 是否可微分 ? 新數學科學知識的發展 ,數學教育正面臨空前的挑戰 !從十七世紀末 , 人類科技的發展深受到微積分影響至今 , 因此微積分的改變 , 將帶動未來科技的改變與發展。從十七世紀末至二十世紀初所有自然科學的發展 , 含蓋愛因斯坦 (AlbertEinstein, 1879-1955) 的量子物理研究 , 其中數理理論的探討 , 主要建構在牛頓 (S.I.Newton,1642-1727) 與萊布尼茲 (G..W. Leibnitz,1646-1716) 微積分原理上 ,自從量子物理崛起到二十世紀末 , 短短數十年間 , 開啟了人類令人目不暇給的科學領域 , 如 : 原子核的分裂、細胞核的分解與人類基因圖譜的定序 , 讓我們對物質和生命現象有了基本了解 ; 微電腦的發明 , 網路時代的來臨 , 更改變了所有產業和生活方式。但在這二十世紀科技發展過程中 , 許多科學家發現在自然界中 ,常常充斥著『奇異點』的物理現象 , 如 : 折點、尖點、跳躍點與不連續點 , 這些奇異點的變化對整個系統非常重要 , 常常影響系統的穩定性 , 因此奇異點變化的基本性質之研究 , 是二十一世紀非常重要的課題 , 深究其科學原理 , 發現牛頓與萊布尼茲所建構的微積分理論無法有效來說明這些奇異點現象變化 , 這些現象簡稱為非平滑現象或奇異點現象。近年來 , 我們在微積分教學課程中方面 : 重新定義微分 , 引入廣義微分概念於微積分課程 , 同時處理以往無法處理的實際重要問題 , 如 : 血管蠕動現象、人體動力學、、、等等 , 編著『近代微積分』。VII

近代微積分Modern Calculus與高等微積分Advanced CalculusVIII

前言「牛頓與萊布尼茲的微積分 , 影響人類科技發展從十七世紀末至二十世紀初 , 甚至到未來 , 其中橫跨愛因斯坦的量子物理研究 , 二十世紀末非平滑分析將補強人類在奇異點變化方面的研究 , 預計將未來科學研究提升到另一高峰」非平滑分析的介紹對於這些奇異點現象一直困擾科學家們 , 至 1960 後 , 部分數學家與學者開始討論如何有效來解決這些現象 , 例如 :R.T. Rockafellar(1965-)、F.H. Clarke(1975-)、A.D. Ioffe(1972)、V.L. Levin(1972)、J. P. Aubin(1978)、Hang-ChinLai(1992),Jia-Wen Chen(1992) 等等 , 他們重新定義函數的微分理論 , 同時得到一些好的結果 , 特別地 , 美國成立 Clarke 講座從事這方面的研究 , 研究範圍包括 :Lagrangian 力學、近代力學 (Modern Mechanics)、追蹤控制 (TrackingControl)、最佳控制 (Optimal Control) 及動態系統 (Dynamical Systems) 等方面技術研究及應用 , 這些結果引起國際上廣泛討論與研究。本書將引進新的微積分理論 , 重新建構新的微積分課程 , 稱為『近代微積分』, 即重新定義函數的微分 , 討論牛頓無法解決的奇異點問題。本書所建構新的教材 , 以培育前瞻數理科技人材為主要目標 , 提升競爭力 , 對於未來科學研究及應用影響非常深遠 , 我們將使用一段話來加以註解「牛頓與萊布尼茲的微積分 , 影響人類科技發展從十七世紀末至二十世紀初 , 甚至到未來 , 其中橫跨愛因斯坦的量子物理研究 , 二十世紀末非平滑分析將補強人類在奇異點變化方面的研究 , 預計將未來科學研究提升到另一高峰」。圖 : 充滿奇異點現象的世界IX

近代微積分目錄教材內容第 ○ 章集合0.1 數系0.2 自然數與數學歸納法0.3 數的大小0.4 數的綢密性0.5 實數的完備性第一章函數1.1 函數1.2 函數的圖形與性質1.3 合成函數1.4 反函數第二章函數的極限與連續2.1 極限的定義2.2 極限的性質2.3 單邊極限2.4 連續2.5 無窮極限與漸近線第三章導數3.1 導數與導函數3.2 導數的基本性質3.3 基本函數的導數3.4 連鎖法則3.5 隱函數微分法3.6 高階導函數3.7 反函數的導函數第四章導函數的應用4.1 函數的極值4.2 羅雷定理與均值定理4.3 單調 ( 遞增或遞減 ) 函數與相對極值判別法4.4 函數的凹性及反曲點分析與其判別法4.5 函數圖形的討論4.6 極大值和極小值的應用問題4.7 牛頓法X

第五章積分5.1 定積分5.2 定積分的性質5.3 一般面積的概念5.4 微積分的基本定理5.5 變數代換法求定積分5.6 不定積分5.6 不定積分的應用第六章定積分的應用6.1 兩曲線之間的面積6.2 立體的體積6.3 平面曲線的弧度6.4 旋轉體曲面的表面積6.5 平面區域的力矩與重心第七章三角函數與反三角函數7.1 反函數7.2 三角函數與其極限7.3 三角函數的導數與積分7.4 反三角函數與其極限7.5 反三角函數的導數及積分第八章對數函數與指數函數8.1 對數函數8.2 對數函數之微分和積分8.3 指數函數8.4 指數函數之微分和積分8.5 對數函數的微分法8.6 一階線性微分方程式8.6 對數函數與指數函數的應用8.7 雙曲函數第九章積分技巧與方法9.1 不定積分的概念與公式9.2 分部積分法9.3 三角函數的積分法9.4 三角代換積分法9.5 有理函數的部分分式積分法、其他積分法9.6 數值積分法與計算 ( 辛普森法 )XI

第十章不定型與瑕積分10.1 不定型與10.2 不定型與10.3 不定型 , 與10.4 瑕積分第十一章參數方程式與極坐標11.1 平面曲線的參數方程式11.2 參數方程式圖形的切線11.3 面積與弧長11.4 極坐標11.5 使用極坐標求面積11.6 使用極坐標求弧長第十二章數列與無窮級數12.1 數列12.2 無窮級數12.3 正項級數12.4 交錯級數12.5 絕對收斂12.6 冪級數12.7 泰勒級數與麥克勞林級數12.8 二項級數12.9 泰勒級數的應用第十三章三維空間概念13.1 三維空間直角坐標系13.2 三維空間中的直線與平面13.3 三維空間中的曲面13.4 柱面坐標與球面坐標第十四章偏導數14.1 多變數函數14.2 偏導函數14.3 偏導數的幾何意義14.4 全微分14.5 連鎖法則14.6 方向導數、梯度與切平面14.7 極大值與極小值14.8 受限制條件的極大值與極小值XII

第十五章廣義方向導數與廣義微分15.1 廣義方向導數15.2 廣義方向導數的性質15.3 廣義微分與廣義梯度15.4 廣義梯度的性質15.5 非平滑函數的極大值與極小值15.6 廣義均值定理與連鎖法則第十六章重積分16.1 矩形區域上的二重積分16.2 二重積分與富比尼定理16.3 非矩形區域上的二重積分16.4 極坐標下的二重積分16.5 曲面面積16.6 三重積分16.7 柱面座標與球面座標下的三重積分16.8 重積分的的變數轉換第十七章向量分析17.1 線積分17.2 保守向量函數17.3 與路徑無關的線積分17.4 格林定理17.5 散度與旋度17.6 面積分17.7 散度定理與史托克定理XIII

高等微積分 (Advanced Calculus) 目錄CONTENTSChapter 1. The Real and Complex Number Systems• The fieled axioms and the order axioms• Least upper bound and• The completeness axiomChapter 2. Set Theory• Relations and functions• Sequences• Countable and uncountable sets• Countable collection of countable setsChapter 3. Elements of Point Set Topology• Open balls and open sets• Closed sets• Adherent points and Accumulation points• The Bolzano-Weierstrass theorem• The Lindelof covering theorem• The Heine-Borel covering theorem• Compactness in metric spacesChapter 4. Limits and continuity• Convergent in a metric space• Cauchy sequences• Complete metric spaces• Bolzano’s theorem• Connectedness and Arcwise connectedness in metric spaces• Uniform continuity and compact sets• Fixed-point theorem for contractions• Discontinuities of real-valued functionsChapter 5. Differentiation• The derivative of a function• Derivatives and continuity• The chain rule• Roll’s theorems• The mean value theorems for derivatives• Indeterminate-value theorem for derivatives• Taylor’s formula with remainderXIV

Chapter 6. Integration• Definition of the Riemann-Stieltjes integral• Existence of the Riemann-Stieltjes integral• The fundamental theorem of the Integral Calculus• Functions of Bounded variation• Integration by parts• Miscellaneous theorems on integrationChapter 7. Infinite Series with Constant Terms• Convergence of Infinite Series• Series with Non-negative Terms• The Upper and Lower Limits of a Sequence• The Root and Ratio Tests• The Dirichlet’s Test• Rearrangement of Series• Multiplication of Series and Infinite ProductsChapter 8. Infinite Series of Functions• Uniform Convergence• Term by Term Integration and Differentiation• Power Series• Operations with Power Series• The Taylor Expansion• Abel’s Theorem on Power SeriesChapter 9. Partial Differentiation• The Gradient• Partial Derivatives of Higher Order• Tayloe’s FormulaChapter 10. Applications of Partial Differentiation• Extremal Problems and Extremal Problems with Constraints• The Implicit Function Theorem for One Unknown• The Implicit Function Theorem for Several Unknown• Inverse TransformationsChapter 11. Multiple Integral• Definition of Multiple Integrals and Their Properties• Interated Integrals, Fubini Theorem• Applications of Multiple Integrals• Change of Variables for Multiple IntegralsXV

Part1: Optimization and Nonsmooth Analysis

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