rama przestrzenna statycznie niewyznaczalna metoda sił

Zakład Mechaniki BudowliRAMA PRZESTRZENNA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNAMETODA SIŁKonsultacje:STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, III ROKWykonał:Grupa 3 TOBRok akad. 2005/2006

Układ rzeczywisty :2 kN/m2,5 m3 m4 m4 kNzyxPrzyjęty układ podstawowy :2 kN/mA4 kNX1BX2Pomijam wpływ sił normalnych i tnących na przemieszczenia :11⋅δik = ∑ ∫ Ms EIyyi⋅ Myk1ds + ∑ ∫ Ms EIzzi⋅ Mzk1 sds + ∑ ∫GIMis s⋅ MksdsδAδBZX= 0= 0Przyjęto, Ŝe:EI y = EI z = EIGI s = 0,75EI⇒⇒δAZδB= δ 11⋅XX= δ211⋅ X+ δ112+ δ⋅ X222⋅ X+ δ21P+ δ= 02P= 0- 2 -

+ 4,02,5+ 2,54,02,5M1 [m]X1sM1 [m]X12,53,03,0- 3,0M2 [m]sM2 [m]X2X210,032,06,256,2510,012,06,2510,012,0- 32,0- 6,25+ 12,0oMp [m]sMp [m]EI ⋅δEI ⋅δEI ⋅δ112212⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞= ⎜ ⋅ 4 ⋅ 4⎟ ⋅ ⎜ ⋅ 4⎟+ ⎜ ⋅ 2,5 ⋅ 2,5⎟ ⋅ ⎜ ⋅ 2,5⎟ ⋅ 2 +⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2= ⎜ ⋅ 2,5 ⋅ 2,5⎟ ⋅ ⎜ ⋅ 2,5⎟+ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎛ 1 ⎞ 1−192= ⎜ ⋅ 4 ⋅ 4⎟ ⋅ ( − 3) + ⋅ ( 4 ⋅ 2,5) ⋅ ( − 3)=⎝ 2 ⎠ 0,75310,75( 2,5 ⋅ 4) ⋅ 4 + ⋅ ( 4 ⋅ 2,5)10,7510,75( 3⋅4) ⋅ 3 + ⋅ 3⋅3 ⋅ 3 + ⋅ ( 3⋅2,5)⋅⎞⎟⎠⋅ 3 =240,6253⋅ 2,5 =355,253- 3 -

EI ⋅δ1p⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞= ⎜ ⋅2,5⋅2,5⎟⋅⎜−⋅6,25+ ⋅6,25⎟ + ⎜ ⋅4⋅4⎟⋅⎜−12− ⋅20⎟ +⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 2⋅2,5⎜ ⋅2,5⋅2,5⎟⋅⎜− ⋅6,25⎟ + ⎜ 2,523⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 811⋅0,750,75( 2,5⋅4) ⋅( − 32) + ⋅( 4⋅2,5) ⋅( − 6,25)2⎞ 1⎟⎛ ⎞⋅⎜⋅2,5⎟ +⎠ ⎝ 2 ⎠− 2186,828125=3⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1EI ⋅δ2 p = ⎜ ⋅ 2,5 ⋅ 2,5⎟ ⋅⎜−⋅10+ ⋅6,25⎟ + ( 3⋅4 ⋅ 4) ⋅⎜12+ ⋅ 20⎟ + ⋅ ( 2,5 ⋅3) ⋅ ( 32)=⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 0,751720,753Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:⎧⎪⎨⎪⎩355,25 192 2186,828125⋅ X 1 − ⋅ X 2 −= 03 33192 240,625 1720,75− ⋅ X 1 + ⋅ X 2 + = 03 33Z rozwiązania powyŜszego układu otrzymano wartości sił nadliczbowych:⎧⎨⎩XX12= 4,027754982= −3,937334207[ kN][ kN]Wartości momentów zginających i skręcających w układzie niewyznaczalnym otrzymamy korzystającz zasady superpozycji:MM( n)s(n)= Mp0= Mp+ Ms01+ M⋅ Xs1 01+ M⋅ X12⋅ X+ M2s2 0⋅ X2Numeracja prętów do obliczeń :12345- 4 -

- 5 -][100010][9,8433355172,500][3,81938745502,56,25][6,25006,251)21)(21)(21)(21)(kNmXXMkNmXXMkNmXXMkNmXXMnnnn=⋅+⋅+==⋅−⋅+==⋅+⋅+= −=⋅+⋅+=][10][10][0,187997383012][4,07697745234322))()(21)(21)(kNmMkNmMkNmXXMkNmXXMnnnn===⋅+⋅+==⋅+⋅−=][0][10][0000][3,81938745502,56,253))()(21)(21)(kNmMkNmMkNmXXMkNmXXMnnnn===⋅+⋅+== −⋅+⋅−=][0][124))()(kNmMkNmMnn==][0][11,812002623005))(21)(kNmMkNmXXMnn== −⋅+⋅+=][1200123)][3,81938745502,56,252)][4,07697745234321)21)(21)(21)(kNmXXkNmXXkNmXXnsnsns=⋅−⋅+=Μ=⋅+⋅+= −Μ= −⋅−⋅+= −ΜNastępnie przeprowadzamy kontrole otrzymanych wyników.- Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach3,819[kNm]zyx103,8194,07694,0769103,8190,18711,8123,8191010

Kontrola kinematycznaW celu wykonania kontroli kinematycznej korzystamy z twierdzenia redukcyjnego. Dosprawdzenia przyjęto wyjściowy układ podstawowy oraz wykresy momentów powstałe odobciąŜenia siłami X 1 =1 oraz X 2 =1 (tym razem przyłoŜone siły jedynkowe są traktowanejako siły wirtualne).ZEI ⋅δA⎛ 1 ⎞ ⎛ 21 ⎞= ⎜ ⋅ 2,5 ⋅ 2,5⎟ ⋅⎜⋅3,819387455+ ⋅ 6,25⎟ +⎝ 2 ⎠ ⎝ 33 ⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 21⎞⎜ ⋅ 4 ⋅ 4⎟ ⋅⎜−⋅ 4,076977452 − ⋅ 0,18799738⎟ +⎝ 2 ⎠ ⎝ 33⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞⎜ ⋅ 2,5 ⋅ 2,5⎟ ⋅⎜⋅3,819387455⎟+⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠⎛ 2⎜ ⋅⎝ 310,7510,752 ⋅ 2,52,5 ⋅8⋅⋅2⎞ ⎛ 1 ⎞⎟ ⋅⎜⋅ 2,5⎟+⎠ ⎝ 2 ⎠( 4 ⋅ 2,5) ⋅ ( − 4,076977452)( 2,5 ⋅ 4) ⋅ ( 3,819387455)+δ AZ 0,000000011833329=EIEI ⋅δBX⎛ 1 ⎞ ⎛ 21 ⎞= ⎜ ⋅ 2,5 ⋅ 2,5⎟ ⋅ ⎜−⋅ 9,843335517 − ⋅10⎟ +⎝ 2 ⎠ ⎝ 33 ⎠⎛ 11⎞( 3⋅4)⋅ ⎜ ⋅ 0,18799738 + ⋅ 4,076977452⎟ +⎝ 22⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞⎜ ⋅ 3⋅3⎟ ⋅ ⎜−⋅11,81200262⎟+⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠1⋅ ( 2,5 ⋅ 3) ⋅ ( 4,076977452)0,75δ BX 0, 000003=EIWartości przemieszczeń są bliskie zeru, co świadczy o poprawności rozwiązań.Ostatnim etapem rozwiązania zadania jest wyznaczenie sił tnących i normalnych.PoniewaŜ przy obliczeniu przemieszczeń pominięto wpływ sił normalnych i tnących i niestworzyliśmy wykresów tych sił w stanach jednostkowych, to teraz nie moŜemyskorzystać z zasady superpozycji. Wykresy te w układzie niewyznaczalnym musimywykonać rozwiązując ramę obciąŜoną siłami nadliczbowymi i zewnętrznymi.- 6 -

+0,9722-4,0-4,0277+0,06266+0,9722+0,9722+4,0-3,9373T(n)[kN]-4,02776-0,06267N(n)[kN]9,8436,2512,04,07610,03,819 0,18710,011,83,91910,0M(n)[kNm]- 7 -

Sprawdzenie równowagi sił normalnych i tnących w węzłach0,972240,062670,062670,972240,062670,972240,97224,0[kN]3,93734,04,02784,04,0278- 8 -