stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

Riešenie.a) Dosadením x = π zistíme, že limita je typu 0 . Môžeme použiť L’Hospitalovo pravidlo.2 0limx→ π 21 − sin xπ − 2x= limx→ π 2− cos x−2= 1 2 lim · cos x = 1x→ π 22 cos π 2 = 1 2 · 0 = 0.b) Limita je typu ∞ − ∞ (pre x → 0+ je to typ +∞ − (+∞), pre x → 0− je to typ−∞ − (−∞)). Upravíme na typ 0.0(lim cotg x − 1 )2x − tg x= limx→02x x→0 2x tg x= lim 2 − 1cos 2 xx→0 2 ( ) =tg x + x 1cos 2 x= limx→02 cos 2 x − 12(sin x cos x + x) = limx→02 cos 2 x − 1sin 2x + 2x = limx→0−4 cos x sin x2 cos 2x + 2 = −4 · 1 · 02 · 1 + 2 = 0.c) Máme počítať limitu súčinu f(x)g(x). Súčin fg prepíšeme na podiel alebo g 1 afmáme typ 0 alebo ∞ . Ak sa výpočet limity skomplikuje po úprave na jeden z týchto0 ∞typov, použijeme úpravu na druhý typ. V našom príklade je limita typu ∞ · 0. Upravímef1gju na typ ∞. ∞lim x 2 e −x x 2= limx→∞ x→∞ e = limx x→∞2xe x = 2 limx→∞1e x = 2 · 0 = 0.□ÚlohyVypočítajte nasledujúce limity.Typ ∞ ∞25.a) limx→∞3x 4 + 5x − 12x 4 − 3x 3 + 2x ,d) limx→∞2x 3 − 4x − 16x + 3x 2 − x 3 ,b) limx→∞e) limx→∞2x 3 + x 2 − x + 15x 2 − 6x + 3(x + 1) 2(x − 1)(x + 3)g) lim , h) limx→∞ 2x 2 x→∞ 3x 2 + 5x 3 − 100x 2 + 1100x 2 + 15x7x 2 − 2x + 6c) limx→∞ 4x 3 + 5x − 2 ,f) limx→∞x 2 − 13 − x 3 ,i) limx→∞(2x − 1) 2(4x − 1)(3x + 2) .26.ln sin xln sin 2xa) lim , b) limx→0 + ln sin 5x x→0 + ln sin x ,ln xd) limx→0 + cotg x ,ln xg) limx→∞ x ,ln xe) limx→∞ x , 2h) limx→ π 2c) limx→ π 2tg 5xtg 3x ,xf) limx→∞ ln(1 + x) ,ln( π − x) 2e x, i) limtg xx→∞ x . 2Typ 0 027.a) limx→2x 2 − 4x 2 − 3x + 2 ,b) limx→1x 4 + 2x 2 − 3x 2 − 3x + 2x 3 − 4x 2 + 5x − 2c) lim,x→1 x 5 − 3x + 236