stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

3.6 Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod funkcie.A. Nech funkcia f je spojitá na intervale I a nech v každom vnútornom bode tohotointervalu má deriáciu. Funkciu f nazývame konvexnou (konkávnou) na intervale I, akvšetky body jej grafu ležia nad (pod) dotyčnicou zostrojenou v ľubovoľnom bode grafu(okrem dotykových bodov).Na zisťovanie konvexnosti a konkávnosti funkcie používame nasledujúce tvrdenie:majme funkciu f spojitú na intervale I. Ak v každom vnútornom bode x tohoto intervaluplatí f ′′ (x) > 0 (f ′′ (x) < 0), tak funkcia f je konvexná (konkávna) na intervaleJ.Príklad 14.Nájdime intervaly, v ktorých je konvexná, resp. konkávna funkciaf(x) = ln(1 + x 2 ).Riešenie. Definičný obor D(f) = (−∞, ∞). Vypočítame f ′′ (x) a vyriešime nerovnicef ′′ (x) > 0 a f ′′ (x) < 0.f ′ (x) =2x1 + x , x ∈ D(f),2a) Položíme f ′′ (x) > 0f ′′ (x) = 2(1 + x2 ) − 2x2x(1 + x 2 ) 2 = 2 1 − x2(1 + x 2 ) 2 , x ∈ D(f).2 1 − x2(1 + x 2 ) 2 > 0, 1 − x2 > 0, x 2 < 1, x ∈ (−1, 1).b) Položíme f ′′ (x) < 0 a dostaneme2 1 − x2(1 + x 2 ) 2 < 0, 1 − x2 < 0, x 2 > 1, x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).Funkcia f je konvexná na intervale (−1, 1). Funkcia f je konkávna na intervale (−∞, −1)a na intervale (1, ∞). □B. Nech funkcia f má deriváciu v bode x 0 . Bod x 0 nazývame inflexným bodom funkcief, ak existuje také okolie bodu x 0 , že v tomto okolí naľavo od bodu x 0 je funkciakonvexná (konkávna) a napravo od bodu x 0 je konkávna (konvexná). Názov ”inflexnýbod” používame aj pre bod P (x 0 , f(x 0 )) grafu funkcie f. Graf funkcie f v inflexnombode prechádza z jednej strany dotyčnice na jej druhú stranu. Inflexné body funkcie fhľadáme týmto postupom:1. Nájdeme body, v ktorých f ′′ (x) = 0 a body, v ktorých neexistuje f ′′ (x) (existuje všakf ′ (x)).2. Inflexnými bodmi funkcie f môžu byť len tieto body. Či skutočne sú, rozhodnemepodľa definície alebo použitím tretej derivácie (ak existuje) nasledujúcim pravidlom:ak f ′′ (x 0 ) = 0 a f ′′′ (x 0 ) ≠ 0, tak x 0 je inflexný bod funkcie f.Príklad 15.Nájdime inflexné body funkcie f(x) = ln xx .44