stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

1 Lineárna algebra1.1 Matice. Operácie s maticami.Maticou typu m × n nazývame tabuľku čísel pozostávajúcu z m riadkov a n stĺpcov⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA = (a ij ) = ⎜⎟⎝ . . . . ⎠ .a m1 a m2 . . . a mnČísla a ij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) nazývame prvky matice A.Ak všetky prvky matice sú rovné nule, maticu nazývame nulovou maticou. Ak m =n, matica A sa volá štvorcová matica. Prvky a ii , i = 1, 2, . . . , n štvorcovej matice tvoriajej hlavnú diagonálu. Ak všetky prvky hlavnej diagonály štvorcovej matice sú rôzne odnuly a všetky prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule, hovoríme o trojuholníkovejmatici. Štvorcová matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sú rovné číslu 1 a všetkyjej ostatné prvky sú rovné nule, sa nazýva jednotková matica. Budeme ju označovaťE.Rovnosť dvoch matícDve matice A = (a ij ) a B = (B ij ) považujeme za rovnaké a píšeme A = B, ak sú tohoistého typu m × n a ak všetky prvky obidvoch matíc na rovnakých miestach sú rovnaké,t.j. a ij = b ij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).Súčet dvoch matícSúčtom dvoch matíc A = (a ij ) a B = (b ij ) toho istého typu m × n rozumieme maticuC = (c ij ) typu m × n, pre ktorej prvky platí c ij = a ij + b ij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).Násobenie matice reálnym číslomMaticu násobíme reálnym číslom tak, že každý jej prvok násobíme týmto číslom.Súčin dvoch matícNech A = (a ij ) je matica typu m × n a B = (b ij ) je matica typu n × p. MaticuC = (c ij ) typu m × p, pre prvky ktorej platíc ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . + a in b nj (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , p)nazývame súčinom matíc A a B a píšeme C = A ∗ B.Súčin dvoch matíc je definovaný práve vtedy, ak počet stĺpcov prvej matice sa rovnápočtu riadkov druhej matice, t.j. i-tý riadok matice A násobíme j-tým stĺpcom maticeB.Maticu⎛⎞a 11 a 21 . . . a n1a 12 a 22 . . . a n2⎜⎟⎝ . . . . ⎠a 1n a 2n . . . a nmoznačujeme A T a nazývame transponovanou maticou k matici A.Príklad 1.Nájdime maticu X, pre ktorú platí 3A + 2X = B, kde( ) ( )5 23 4A = , B = .−8 12 74