stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

a) Zaujíma nás, kde je funkcia f rastúca, teda pre ktoré x platí, že f ′ (x) > 0. Pretopoložíme f ′ (x) > 0 a dosadíme. Máme−2x1 − x 2 > 0.Riešením nerovnice je x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞). Nemôžeme povedať, že funkcia f je rastúcana týchto dvoch intervaloch. Môže byť rastúca len tam, kde je definovaná. Preto nájdemespoločnú časť tejto množiny a D(f).Dostaneme[(−1, 0) ∪ (1, ∞)] ∩ (−1, 1) = (−1, 0).Funkcia f je rastúca na intervale (−1, 0).b) Skúmame, kde je funkcia klesajúca. Položíme f ′ (x) < 0 a podobným postupom zistíme,že funkcia f je klesajúca na intervale (0, 1). □B. Body, v ktorých má funkcia f lokálne extrémy hľadáme týmto postupom1. Nájdime stacionárne body funkcie f, t.j. body, pre ktoré platí f ′ (x) = 0 a body, vktorých funkcia f nemá deriváciu.2. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v týchto bodoch. O tom, či funkcia f má vtýchto bodoch lokálny extrém, rozhodneme podľa niektorého z nasledujúcich dvoch pravidiel:pravidlo 1. Ak f ′ (x 0 ) = 0 a f ′′ (x 0) ≠ 0, tak funkcia má v bode x 0 lokálny extrém,a toa) lokálne minimum, ak f ′′ (x 0 ) > 0,b) lokálne maximum, ak f ′′ (x 0 ) < 0.Nech x 0 je stacionárny bod funkcie f alebo bod v ktorom funkcia f nemá deriváciu.Potom platípravidlo 2. Ak funkcia f je spojitá v bode x 0 a ak existuje také okolie bodu x 0 , žev tomto okolí naľavo od bodu x 0 je funkcia rastúca (klesajúca) a napravo je klesajúca(rastúca), tak funkcia f má v bode x 0 lokálne maximum (minimum).Príklad 10.Nájdime lokálne extrémy funkcief(x) = x33 − x2 − 3x.Riešenie. Definičný obor funkcie f je D(f) = (−∞, ∞).Upravíme a dostanemef ′ (x) = x 2 − 2x − 3.f ′ (x) = (x − 3)(x + 1).Funkcia f má deriváciu v každom bode definičného oboru D(f). Nájdeme stacionárnebody. Položíme f ′ (x) = 0 a získame stacionárne body x 1 = −1 a x 2 = 3. Lokálne extrémymôže funkcia mať len v týchto dvoch bodoch. Či skutočne má, rozhodneme teraz napr.podľa pravidla 1.f ′′ (x) = 2x − 238