stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

Úlohy30. Určte intervaly, na ktorých sú funkcie rastúce a klesajúce:a) f(x) = x 3 + 4x 2 − 3x + 6, b) f(x) = x33 − x2− 2x + 1,231. Určte lokálne extrémy funkciíc) f(x) = x 4 − 4x 2 + 5, d) f(x) = x 3 e −x ,e) f(x) = x2, f) f(x) = arctg(x) − x.ln xa) y = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 4, b) y = x 3 + 3x 2 − 4,c) y = 3x2 − 1x 2 , d) y = y =(x + 2)2,xe) y = x2 − 2x + 2, f) y = x3x − 1x − 1 ,g) y = x − arctg x, h) y = ln(x) + 1 x .3.5 Najväčšia a najmenšia hodnota funkcieA. Medzi časté aplikácie matematiky patrí úloha nájsť najväčšiu hodnotu (maximum) anajmenšiu hodnotu (minimum) funkcie f na danom intervale I.Nech I je uzavretý interval, I =< a, b > a funkcia f je spojitá na I. Potom podľaWeierstrassovej vety má funkcia f na I maximum aj minimum. Maximum a minimumfunkcie f hľadáme takto1. Nájdeme body z intervalu (a, b) v ktorých je f ′ (x) = 0 a body z tohoto intervalu,v ktorých f ′ (x) neexistuje.2. Zistíme, v ktorých z týchto bodov má funkcia f lokálny extrém.3. Vypočítajme hodnoty f(a), f(b) a hodnoty funkcie f v bodoch, v ktorých málokálny extrém. Najväčšie z týchto čísel je maximum a najmenšie je minimum funkcie fna intervale < a, b >.Ak I nie je uzavretý interval, nemôžeme použiť Weierstrassovu vetu. Môžeme si pomôcťskúmaním jednostranných limít v koncových bodoch. Môže sa stať, že funkcia naI nemá maximum ani minimum.Môžme použiť aj nasledujúcu vlastnosť (v) spojitých funkcií: ak f je spojitá funkciana intervale I a má práve v jednom bode x 0 ∈ I lokálne maximum (lokálne minimum),tak f(x 0 ) je najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie f na intervale I.Príklad 12.Nájdime najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkciea) f(x) = x 3 + 3x 2 − 9x − 3 na intervale < −4, 4 >,b) f(x) = 2 tg x − tg 2 x na intervale < 0, π 2 ).40