1.cvičení - Geometrie

Syntetická geometrie1.cvičení1. • Bod, přímka• Incidence• Uspořádání bodů, bod B leží mezi A, C2. A ∈ p, B /∈ p3. • axióm,• definice - slovní vymezení pojmů uvedením jejich typickýchznaků,• věta - platná poučka odvozená ze základních předpokladů(axiomů, vět, definic).4. Tříprvková množina {A, B, C}body - prvky množiny tj. A, B, C, přímky - dvouprvkové podmnožinytj. {A, B}, {B, C}, {A, C}axiómy incidence:I1- Dvěma navzájem různými body prochází jediná přímkaI2- Na každé přímce existují alespoň dva různé bodyI3- Existují alespoň 3 body, které neleží v přímce5. - str. 156. - str. 161

Syntetická geometrieCo jsou to nerůznoběžky?7. - V geometrii [I, U] nevystačíme s žádným finitním modelem.str.18axiómy uspořádání:U1- Jestliže A ∗ B ∗ C, pak A, B, C jsou tři různé body napřímce. Platí též C ∗ B ∗ AU2- Ze tří různých bodů přímky leží právě jeden mezi ostatnímidvěmaU3- Jsou-li A ≠ B, pak existuje aspoň jeden bod C takový, žeA ∗ B ∗ CU4- Každá přímka p rozdělí body, které na ní neleží do dvou tříds následujícími vlastnostmi:(i) mezi dvěma body téže třídy neleží bod přímky p(ii) mezi dvěma body z různých tříd leží právě jeden bodpřímky p2

Syntetická geometrieDokážeme, že na každé přímce leží nekonečně mnoho bodů:Podle U3 existuje alespoň jeden bod C takový, že A ∗ B ∗ Ctj. existuje C 1 : A ∗ B ∗ C 1existuje C 2 : B ∗ C 1 ∗ C 2existuje C 3 : C 1 ∗ C 2 ∗ C 3 atd.Dokážeme, že každým bodem prochází nekonečně mnoho přímek• Ke každému bodu existuje přímka, která jím neprochází• Na přímce AB existuje nekonečně mnoho bodů• Body A, B, C 1 , C 2 , C 3 , . . . určují nekonečně mnoho přímekP A, P B, P C 1 , . . .3

Syntetická geometrie8. - Paschova věta - str. 18 - 19Buďte A, B, C tři body neležící na přímce p, která obsahujebod mezi body A, B. Pak nastane právě jedna z možností:(i) přímka p obsahuje bod ležící mezi A, C a neobsahuje bodležící mezi B, C(ii) přímka p obsahuje bod ležící mezi B, C a neobsahuje bodležící mezi A, C• Podle předpokladů věty obsahuje přímka p bod D takový, žeA ∗ D ∗ B• Body A, B náležejí různým třídám - axiom U4• Mohou nastat dvě možnosti:– bod C náleží stejné třídě jako A (axiom U4) tj, přímkaobsahuje bod mezi B, C a neobsahuje bod mezi A, C– bod C náleží stejné třídě jako B tj, přímka obsahuje bodmezi A, C a neobsahuje bod mezi B, C9. 5. Eukleidův postulát a ekvivalentní věty - str. 11, 45-464

Syntetická geometrie10. Dokažte větu: Daným bodem A lze k dané přímce p vést jedinoukolmici (sporem)Věty absolutní geometrie:• V trojúhelníku je součet kterýchkoliv dvou vnitřních úhlůmenší než dva pravé. (str. 35)• Saccheriho-Legendreova věta: Součet vnitřních úhlů trojúhelníkanení větší než dva pravé. (str. 36)• Je-li roven - eukleidovská geometrie, je-li menší - hyperbolickágeometrie11. Dokažte, že relace rovnoběžnosti přímek je ekvivalence tj. je reflexivní,symetrická a tranzitivní• Reflexivní: a||a• Symetrická: a||b ⇒ b||a• Tranzitivní: a||b ∧ b||c ⇒ a||c5

Syntetická geometrie12. Dokažte větu o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku• Axiom rovnoběžnosti (existuje jediná rovnoběžka p)• Střídavé úhly13. Negace axiómu rovnoběžnosti - základní axióm Lobačevského(hyperbolické) geometrie:V rovině prochází bodem mimo přímku alespoň dvě různés ní se neprotínající přímky14. Absolutní geometrie [I, U, S, D]Eukleidovská [I, U, S, D, R]Lobačevského [I, U, S, D, L]6

Syntetická geometrie15. Modely hyperbolické geometrie str. 40-45:• Beltrami-Kleinův modelVnitřek kruhu (bez hranice), přímka - tětiva, bod - bod uvnitřkruhudélka úsečky d(AB) K = | ln( |AP ||AQ| · |BQ||BP | )|• Poincarého polorovinový modelOtevřená polorovina y > 0, přímky - polopřímky kolmé nax, polokružnice se středem na xdélka úsečky d(AB) P = | ln tg α 2tg β |2• Poincarého kruhový model7