Stáhnout - Geometrie

Syntetická geometrie6.cvičení1. Uvažujte trojúhelník ABC. Vypočítejte dělicí poměry:Rozbor:AA 1 T = − |AT ||A 1 T | = −2AT A 1 = |AA 1 ||T A 1 | = 3A 1 AT = − |A 1 T ||AT |A 1 T A = |A 1 A||T A|= 3 2T AA 1 = |T A 1 ||AA 1 | = 1 3T A 1 A =|T A||A 1 A| = 2 3= − 1 22. Zvolte v rovině dva body A ≠ B. Sestrojte bod C tak, aby(ABC) = 2 = |AC||BC| = 2 1(BAC) = 2 = |BC||AC| = 2 1(ABC) = −2 = − |AC||BC| = −2 1(ABC) = 1 2 = |AC||BC| = 1 2(CBA) = 2 = |CA||BA| = 2 11

Syntetická geometrie8. Je dána kružnice k a bod P /∈ k. Určete body X, Y ∈ k|P X|takové, že|P Y | = λ ∈ R. Rozbor:|P X|• = λ např. λ = 2.|P Y |• |P X| = 2|P Y |.• Stejnolehlost H(P ; κ = 2) :Y ∈ k → X ∈ k ′ .• max. 2 řešení9. Je dána kružnice k a na ní tři různé body A, B, C. Najděte nak bod X takový, aby tětiva AX byla tětivou BC půlena.Rozbor:• Stejnolehlost H(A; κ = 2) :S → X.• H(A; κ = 2) : B → B ′ .• H(A; κ = 2) : C → C ′ .• X ∈ B ′ C ′ ∩ k.• max. 2 řešení5

Syntetická geometrie10. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různoběžných přímeka, b a prochází daným bodem A /∈ a, b. (Apolloniova úloha)Rozbor:• Stejnolehlost H(S) : k ′ → k.• k ′ se dotýká a, b (ve stejnémúhlu, kterému náleží i bod A).• A ′ ∈ SA ∩ k ′ .• H(S) : A ′ → A.• max. 2 řešení11. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dvou různoběžných přímeka, b a dané kružnice k 1 . (Apolloniova úloha)Řešení: skripta str.1254 řešení (max. 8 - kdy?)6

Syntetická geometrie12. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané přímky a v danémbodě T a dále se dotýká dané kružnice k 1 . (Pappova úloha)Rozbor:• Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé.• Střed stejnolehlosti dvou dotýkajícíchse kružnic je v bodědotyku.• H(R) : k → k 1 ,a (tečna k) → a ′ (tečna k 1 ),a ′ ||a, T → T ′ .• R ∈ T T ′ ∩ k 1Diskuse:max. 2 řešení7