Skripta dr Željka Jurića

More documents

Recommendations

Info

Dr. Željko Jurić : Interaktivna računanja u programskom paketu Mathematica /skraćena verzija/Priručnik za laboratorijske vježbe na predmetu “Računarski sistemi”In[64] := u 2 + v 2 /. {u v+1, v 2}Out[64] = 4 + (1+v) 2In[65] := u 2 + v 2 //. {u v+1, v 2}Out[65] = 13Ipak, pri upotrebi operatora “//.” treba biti veoma oprezan, jer će pravila poput x x +1 ili{x y, y x} neminovno dovesti do beskonačne petlje, koju doduše uvijek možemo prekinuti pomoćukomande Abort Evaluation iz Kernel menija. Alternativno, paket Mathematica će sam prekinuti ovupetlju kada se dostigne maksimalno dozvoljeni broj ponavljanja, koji je podrazumijevano postavljen na65536.Umjesto liste pravila moguće je zadati i listu listi pravila. U tom slučaju se kao rezultat dobija listasastavljena od rezultata primjene svakog od pravila iz unutrašnjih listi. Na primjer:In[66] := x 2 + 5 x + 6 /. {{x 1}, {x 2}, {x 3}}Out[66] = {12, 20, 30}In[67] := u 2 + v 2 /. {{u 1, v 1}, {u 2, v 2}}Out[67] = {2, 8}Nema nikakvog razloga da ne zapamtimo čitavo pravilo, listu pravila ili listu listi pravila u nekupromjenljivu, tako da ga možemo primjenjivati kada god nam zatreba. Na primjer:In[68] := uvrsti3 := x 3In[69] := uvrsti3Out[69] = x 3In[70] := x 2 + 5 x + 6 /. uvrsti3Out[70] = 30In[71] := izraz /. uvrsti3Out[71] = 30In[72] := uvw := {u 1, v 2, w 3}In[73] := u + v + w /. uvwOut[73] = 6In[74] := u 2 + v 2 + w 2 /. uvwOut[74] = 14Podsjetimo se da promjenljiva izraz od ranije sadrži izraz “(3+2 x) (2+x) 2 ”.5. Manipulacije sa simboličkim izrazimaNajveća snaga paketa Mathematica leži upravo u mogućnosti rada sa simboličkim izrazima.Međutim, dok se operacije sa numeričkim izrazima obavljaju manje ili više automatski, kod simboličkogračunanja to nije tako. Razlozi za to su višestruki, a najvažniji je to što kod simboličkog računanja nijeposve očigledno šta bi trebao da bude rezultat. Na primjer, simbolički izraz (x–y+z) (x–z) – y (x–y) + z (z–y) nakon sređivanja može se napisati kao x 2 – 2 x y + y 2 ili kao (x–y) 2 , pri čemu je dosta upitno koji od ovadva oblika treba smatrati “rezultatom”. Kod simboličkih izraza ne možemo govoriti o rezultatu u onomsmislu kako možemo kod rada sa brojevima, jer su svi ekvivalentni izrazi jednako valjani (svaki na svojnačin), i svaki može biti smatran za “rezultat”. Stoga je kod simboličkih izraza bolje govoriti otransformacijama, koji izraz prevode iz jednog u drugi ekvivalentni oblik. Mathematica automatski vršisamo najelementarnije transformacije poput objedinjavanja članova sa istim simbolima (3 x y umjesto– 23 –
Dr. Željko Jurić : Interaktivna računanja u programskom paketu Mathematica /skraćena verzija/Priručnik za laboratorijske vježbe na predmetu “Računarski sistemi”2 x y + x y), poništavanja identičnih članova (poput x–x), svođenja produkata simbola na stepene (x 2umjesto x x), kraćenja zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku tamo gdje je to očigledno, i nekihelementarnih identiteta koji uključuju inverzne funkcije (npr. x 3 umjesto Sqrt[x] 6 ). Sve ostaletransformacije ne vrše se po automatizmu, već je potrebno zadati odgovarajuće funkcije pomoću kojih sevrši izbor transformacije koju želimo da obavimo nad izrazom. Na primjer:In[1] := (x*x+5)^2*(x–3)+1Out[1] = 1+(–3+x) (5+x 2 ) 2Vidimo da u ovom izrazu nije primijenjena ni jedna netrivijalna transformacija (izraz je samo maloprestruktuiran). Sasvim drugu situaciju dobijamo ako na navedeni izraz primijenimo funkciju Expand:In[2] := (x*x+5)^2*(x–3)+1 // ExpandOut[2] = –74 + 25 x – 30 x 2 + 10 x 3 – 3 x 4 + x 5Funkcija Expand vrši oslobađanje izraza od produkata i stepena sa cjelobrojnim eksponentima, inajčešće se koristi za množenje i stepenovanje polinoma:In[3] := (a x + b y 2 )(c x 3 – d y 2 ) // ExpandOut[3] = a c x 4 – a d x y 2 + b c x 3 y 2 – b d y 4In[4] := Expand[(x+y–z) 4 ]Out[4] = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 – 4 x 3 z – 12 x 2 y z – 12 x y 2 z – 4 y 3 z+ 6 x 2 z 2 + 12 x y z 2+ 6 y 2 z 2 – 4 x z 3 – 4 y z 3 + z 4Funkcija Expand može se primijeniti i na izraze koji nisu polinomi, ali treba voditi računa da onane radi ništa više od oslobađanja od produkata i cjelobrojnih stepena:In[5] := (Cos[x]–Sin[x]) (Cos[x]+Sin[x]) // ExpandOut[5] = Cos[x] 2 – Sin[x] 2Primijetimo da Mathematica izraze poput cos 2 x ne prikazuje u obliku Cos 2 [x] (što, strogo rečeno, nije nimatematski skroz ispravno), nego u obliku Cos[x] 2 (što je matematski mnogo korektnije). O tometrebamo voditi računa i kada unosimo izraze: izraz oblika cos 2 x ispravno se zadaje jedino kao Cos[x] 2 , ane nipošto kao Cos 2 [x]!Mathematica sve iracionalne brojeve (u tačnoj formi) smatra također kao neku vrstu simboličkihizraza, i ne primjenjuje na njih po automatizmu nikakve dodatne transformacije osim već pomenutihnajelementarnijih transformacija. Stoga su sve funkcije za manipuliranje sa simboličkim izrazima (poputExpand) primjenljive i na manipulacije sa iracionalnim brojevima:In[6] := (Sqrt[2]+Sqrt[3])^2Out[6] =( 2 23)In[7] := % // ExpandOut[7] = 5 2 6Bitno je napomenuti da funkcija Expand ne djeluje na produkte i stepene koji su upotrebljeni kaoargumenti neke funkcije (tj. ona “ne zalazi” u dubinu izraza):In[8] := (Cos[(x+y)(x–y)]–Sin[(x–y) 2 ]) (Cos[(x+y)(x–y)]+Sin[(x–y) 2 ]) // ExpandOut[8] = Cos[(x+y)(x–y)] 2 – Sin[(x–y) 2 ] 2S druge strane, funkcija ExpandAll je slična funkciji Expand, ali djeluje na sve dijelove izraza, ma gdjese oni nalazili:In[9] := % // ExpandAllOut[9] = Cos[x 2 – y 2 ] 2 – Sin[x 2 – 2 x y + y 2 ] 2– 24 –
Page 1 and 2: UNIVERZITET U SARAJEVUPRIRODNO-MATE
Page 3 and 4: Dr. Željko Jurić : Interaktivna r
Page 23: Dr. Željko Jurić : Interaktivna r

Skripta dr Željka Jurića

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?