Skripta dr Željka Jurića

More documents

Recommendations

Info

Dr. Željko Jurić : Interaktivna računanja u programskom paketu Mathematica /skraćena verzija/Priručnik za laboratorijske vježbe na predmetu “Računarski sistemi”Za rješavanje širih klasa jednačina, kao i za “diskusiju” rješenja u ovisnosti od parametara, koristise funkcija Reduce. Rezultat sljedećeg primjera treba tumačiti da je jednačina zadovoljena ako su b i anule, ili ako je a različit od nule, i pri tome x jednak b/a:In[7] := Reduce[a x = = b, x]Out[7] = b = = 0 && a = = 0 || a ≠ 0 && x = =abS druge strane, rješenja koja generira funkcija Reduce mogu biti prilično glomazna, s obzirom da sevrši detaljna analiza svih mogućnosti. Tako, recimo, pri rješavanju kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0,Roots ignorira činjenicu da se za a = 0 jednačina svodi na linearnu, dok Reduce uzima u obzir i tučinjenicu (kao i mogućnost da su svi koeficijenti nule):In[8] := Roots[a x 2 + b x + c = = 0, x] b Out[8] = x = =b2a2 4a c b || x = =b2a2 4a cIn[9] := Reduce[a x 2 + b x + c = = 0, x] b bOut[9] = a ≠ 0 && x2 2 4a c b b 4a c = =|| x = =2a ||2a ca = = 0 && b ≠ 0 && x = = || c = = 0 && b = = 0 && a = = 0bZa razliku od Roots, funkcija Reduce pored jednačina, može rješavati i nejednačine. Treba voditiračuna da rješenja i najprostijih nejednačina koje sadrže opće parametre mogu biti veoma glomazna, jertreba diskutirati brojne mogućnosti različitih vrijednosti parametara. S porastom broja parametarasloženost rješenja drastično raste:In[10] := Reduce[x 2 + 5x > 6, x]Out[10] = x < –6 || x > 1In[11] := Reduce[a x > 1, x]Out[11] = a < 0 && x < a1 || a > 0 && x > a1In[12] := Reduce[a x > b, x]babbb 0 &&a 0 && x || a 0 &&x aaOut[12] = x Reals && b 0 &&a 0 && x || a 0 || a 0 &&x ||Funkcija Reduce može da rješava i sisteme jednačina odnosno nejednačina. Postoje dva načina dazadamo sistem. Jedan način je da sve jednačine odnosno nejednačine koje tvore sistem povežemooperatorom konjukcije u jedan složeni uvjet. Drugi način je da jednačine odnosno nejednačine koje tvoresistem ubacimo kao elemente liste. U oba slučaja, kao drugi argument funkcije Reduce treba navestilistu promjenljivih po kojima želimo da bude iskazano rješenje. Slijede primjeri koji pokazuju obanačina za rješavanje sistema jednačina x + y = 5 i x y = 6:In[13] := Reduce[x + y = = 5 && x y = = 6, {x, y}]Out[13] = {x = = 2 || x = = 3} && y = = 5 – xIn[14] := Reduce[{x + y = = 5, x y = = 6}, {x, y}]Out[14] = {x = = 2 || x = = 3} && y = = 5 – xU oba slučaja, vidimo da rješenje za x može biti 2 odnosno 3, dok za obje vrijednosti x vrijednost za ymora biti 5–x, što znači 3 odnosno 2.ba– 35 –
Dr. Željko Jurić : Interaktivna računanja u programskom paketu Mathematica /skraćena verzija/Priručnik za laboratorijske vježbe na predmetu “Računarski sistemi”U slučaju sistema koji ovise od parametara, Reduce također ispituje sve mogućnosti. Tako, naprimjer sistem jednačina x + a y = b i 3x + a = 2 ima “klasično” rješenje ukoliko je a ≠ 0. Međutim, i zaa = 0 postoji “specijalno” rješenje, pod uvjetom da je b = 2/3, kod kojeg je x = 2/3 a y može biti bilokakav. Reduce uspješno detektira sve ove slučajeve:In[15] := Reduce[{x + a y = = b, 3x + a = = 2}, {x, y}]2 2 2 a2 a 3bOut[15] = b = = && a = = 0 && x = = || x = = && a ≠ 0 && y = =3 3 3 3aVeć je rečeno da Roots može rješavati samo polinomske jednačine. S druge strane, Reduceuspješno rješava sve jednačine koje se algebarskim transformacijama mogu svesti na polinomske, štouključuje sve racionalne i iracionalne jednačine, kao i veliki broj eksponencijalnih, logaritamskih itrigonometrijskih jednačina. Slijedi primjer jednačine log 2 (x + 3) + log 2 (x + 1) = 3 koju Roots ne može dariješi, dok je Reduce rješava bez problema:In[16] := Roots[Log[2, x+3] + Log[2, x+1] = = 3, x]Log[1 x]Log[2]Log[3x]Log[2]Roots::neq: 3 is expected to be a polynomial in the variable x.Out[16] = Roots[Tan[x] 2 +5Tan[x] + 6, x]In[17] := Reduce[Log[2, x+3] + Log[2, x+1] = = 3, x]Out[17] = x = = 1Trigonometrijske jednačine obično imaju beskonačno mnogo rješenja, koja najčešće zavise od nekeproizvoljne cjelobrojne konstante. Tako, na primjer, jednačina tg 2 x + 5 tg x + 6 = 0 ima rješenjax = arc tg 2 + k ili x = –arc tg 3 + k , gdje je k proizvoljan cijeli broj. Mathematica eventualneproizvoljne konstante koje se mogu pojavljivati u rješenjima imenuje respektivno sa C[1], C[2], itd.Pogledajmo kako Reduce prikazuje rješenje ove jednačine:In[18] := Reduce[Tan[x] 2 +5Tan[x] + 6 = = 0, x]Out[18] = C[1] Integers && (x = = –ArcTan[2] + C[1] || x = = –ArcTan[3] + C[1])Eksponencijalne jednačine također često imaju beskonačno mnogo rješenja, ali od kojih su samoneka realna. Kompleksna rješenja eksponencijalnih jednačina nas obično ne zanimaju. Nezgoda je što seReduce uvijek trudi da pronađe sva rješenja, tako da se dobijaju vrlo nepregledni izrazi:In[19] := Reduce[3 x+3 3 x+1 = = 6561, x]2iC[1]Log[9]Out[19] = C[1] Integers && x = = Log[3] Log[3]2iC[1]i Log[9]|| x = = Log[3] Log[3]Srećom, kod eksponencijalnih jednačina se realna rješenja dobijaju gotovo isključivo kada proizvoljnakonstanta koja figurira u njima ima vrijednost 0, tako da to možemo iskoristiti da malo “prečistimo”rješenje:In[20] := % /. C[1] 0Log[9] i Log[9]Out[20] = x = = || x = =Log[3] Log[3]Ovim smo situaciju značajno “popravili” i sveli na dva rješenja: jedno realno (koje je ujedno i jedinorealno) i jedno kompleksno. Druga mogućnost je da prilikom rješavanja jednačine eksplicitno zadamo danas interesiraju samo realna rješenja:In[21] := Reduce[3 x+3 3 x+1 = = 6561 && x Reals, x]Log[9]Out[21] = x = =Log[3]– 36 –
Page 1 and 2: UNIVERZITET U SARAJEVUPRIRODNO-MATE
Page 3 and 4: Dr. Željko Jurić : Interaktivna r
Page 27: Dr. Željko Jurić : Interaktivna r

Skripta dr Željka Jurića

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?