Skripta dr Željka Jurića

Dr. Željko Jurić : Interaktivna računanja u programskom paketu Mathematica /skraćena verzija/Priručnik za laboratorijske vježbe na predmetu “Računarski sistemi”7. Rješavanje jednačina, nejednačina i sistemaU paketu Mathematica postoje brojne funkcije za rješavanje jednačina, nejednačina i sistemajednačina odnosno nejednačina, u zavisnosti od složenosti problema koji želimo da riješimo, i onoga štoželimo da dobijemo. Razmotrimo prvo šta uopće znači riješiti jednačinu, odnosno tvrditi da rješenjejednačine 3 x + 2 = 17 glasi x = 5. Oba izraza 3 x + 2 = 17 i x = 5 možemo posmatrati kao otvorene uvjete(predikate) koji mogu biti tačni ili netačni, u zavisnosti kakva je vrijednost x (tačni su samo ukoliko je tavrijednost 5). Međutim, predikat x = 5 zahtjev da x mora imati vrijednost 5 iskazuje eksplicitno. Stoga,riješiti jednačinu (ili nejednačinu) znači transformisati je u takav oblik u kojem se promjenljiva po kojojrješavamo jednačinu (ili nejednačinu) pojavljuje eksplicitno. To upravo radi funkcija Roots, u kojoj prviargument predstavlja jednačinu koja se rješava, a drugi argument promjenljivu po kojoj se rješava.Demonstrirajmo ovo na primjeru rješavanja jednačine x 2 + 5 x + 6 = 0:In[1] := Roots[x 2 + 5x + 5 = = 0, x]11Out[1] = x = = 5 5 22 || x = = 5 5 U slučaju da više volimo aproksimativna rješenja, možemo primijeniti numeričku aproksimaciju:In[2] := Roots[x 2 + 5x + 5 = = 0, x] // NOut[2] = x = = –3.61803 || x = = –1.38197Jednačine mogu zavisiti i od drugih promjenljivih ili parametara u odnosu na promjenljivu po kojojvršimo rješavanje:In[3] := Roots[x 2 + 5x + a = = 0, x]1Out[3] = x = = 5 254a 212 || x = = 5 254a Numerička aproksimacija u ovakvim slučajevima pretvara u decimalne brojeve samo one dijelove izrazanad kojima se može izvršiti takva pretvorba:In[4] := Roots[x 2 + 5x + a = = 0, x] // N0.5.5 1.25. 4.aOut[4] = x = = || x = = 0.55. 25. 4.a Naravno, ništa nas ne sprečava da jednačinu x 2 + 5x + a = 0 riješimo tako da smatramo da je anepoznata koju treba izraziti preko x:In[5] := Roots[x 2 + 5x + a = = 0, a]Out[5] = a = = –5x – x 2Bez obzira na prividnu snagu, funkcija Roots je prilično ograničena. Na prvom mjestu, ona jeograničena isključivo na rješavanje polinomskih jednačina, tj. jednačina kod kojih lijeva i desna stranapredstavljaju polinome po nepoznatoj promjenljivoj. U slučaju da jednačina nije takvog oblika bićeprijavljena greška (za takve jednačine postoje druge funkcije). Dalje, u slučaju jednačina koje sadržeparametre, funkcija Roots ne vrši nikakvu “diskusiju”, odnosno pretpostavlja da parametri imaju takvevrijednosti da su rješenja precizno definirana. Na primjer, posmatrajmo jednačinu a x = b. Njeno rješenjeje x = b/a, ali samo ukoliko je a ≠ 0. Za a = 0 rješenje ne postoji, osim ako je i b = 0. U tom slučaju,jednačina je identitet, bez obzira na x. O svemu ovome, funkcija Roots, kao što slijedi iz prikazanogprimjera, “nema pojma”:In[6] := Roots[a x = = b, x]Out[6] = x = = ab– 34 –