Модуль 14. Криві 2-го порядку Практична частина - Uuooidata.org

Модуль 14. Криві 2-го порядкуb 2 2 2У цьому разі рівняння асимптот y x і c a b . З умов задачіab 4випливає, що c 10, .a 3Розв’язуючи систему щодо параметрів a та b : b 4 , a 32 2a b 100,маємо a 6, b 8. Тоді шукане рівняння гіперболи2 2x y 1. 36 64Навчальна Визначити, яку криву задає рівняння у ПДСКзадача 14.3.2 25x 4y 30x 8y 21 0 . Вказати канонічну системуі записати канонічне рівняння цієї кривої. У рівнянні2 25x 4y 30x 8y 21 0вилучимо повні квадрати змінних x та y :2 22 2 ( x 3) ( y 2)5( x 3) 4( y 1) 20 1.4 5Отже, це рівняння гіперболи з центром у точці O( 3; 2), тобто ПДСК, у якійзаписано рівняння, не канонічна. Паралельним перенесенням осей x x 3, y y 2дістаємо канонічну ПДСК Ox y , у якій гіпербола матиме рівняння2 2xy222 ( 5) 1. Навчальна Визначити, яку криву задає у ПДСК рівняннязадача 14.4.2 29x 4xy 6y 16x 8y 2 0.Знайти її канонічне рівняння і побудувати відповіднуканонічну систему координат.1. Запишімо матрицю квадратичної форми2 2Q( x, y) 9x 4xy 6yрівняння геометричного образу 2-го порядку, враховуючи, що4 2a12 2 a21:9 2A 2 6.2. Знайдімо власні числа матриці A як корені характеристичного многочленаматриці

Модуль 14. Криві 2-го порядку9 22 0 15 50 0 1 5; 2 10.2 6 3. Знайдімо власні вектори матриці A , що відповідають власним числам. 5:4 2 1 1 1 1 2 11 12 0; 11 12.2 1 2 211 2 2 z 11 1 5z1 ; z1 1 2 5 e1 .2 z15 2 252 10 :1 2 1 2 12 2 22 0; 12 2 22.2 422 2 2 2 z21 5z2 ; z2 ( 2) 1 5; e2 .1 z25 1 153. Отже, потрібне перетворення координат задає матриця1 2 1 2;5 5x xx x y5 5H ; H ;2 1 y y 2 1y x y .5 5 5 54. Перейдімо до нових координат у рівнянні кривої.2 25x 10y 8 5y 2 0.225x 10 y 10 0.55. Зсовуючи паралельно ПДСК за формулами: x x ,2y y ,5дістаємо рівняння еліпса2 2xy 1.2 16. Систему координат Oxy перетворюємо на систему координат Ox y задопомогою рівностей2

Модуль 14. Криві 2-го порядку 1 2 4x x y , 5 5 52 1 2y x y , 5 5 54 2які задають перенесення початку координат у точку O ; 5 5 кут arctg 2 (рис. 14.19).x yyOі повертання наOx3. Задачі для самостійного розв’язанняРис. 14.192 2x y 1. 25 16Задача 14.3.Задача 14.1. Знайти півосі, вершини, фокуси і ексцентриситет гіперболи9x 25y 225 0.342 2a 5, b 3; A1 ( 5; 0), A2 (5; 0); F1( 34, 0), F2( 34, 0); . 5Задача 14.2. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого розміщено наосі Ox симетрично щодо початку координат, якщо віддальміж його директрисами 50 32c 6.Визначте, яку криву задає рівняння:2 21) 4x 3y 8x 12y 32 0 ;2)2 2і віддаль між фокусами16x 9y 64x 54y 161 0 ;23) 4x 8x 7 y 0 ;2 24) 5x 5y 10x 20y 22 0 .Вкажіть канонічну систему. Запишіть канонічне рівнянняцієї кривої і нарисуйте криву.2 2xy1) еліпс, O(1; 2), 1;12 162 2xy2) гіпербола, O(2; 3), 1;9 162 13) парабола, O(1; 3), x y;42 2 34) коло, O(1; 2), x y . 5