y - Uuooidata.org

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаy3O3xРис. 15.1Навчальна3cos ,задача 15.2. Дослідити астроїду, задану рівняннями x a tі3y a sin tпобудувати її. Дослідження кривої, заданої параметричноx ( t), t T,y ( t),де функції та двічі диференційовні, провадять за схемою:1. Встановлюють можливі симетрії кривої.2. Визначають асимптоти кривої. А, саме, шукають такі значення t :або x , або y , або x , y .3. За допомогою першої похідної функції визначають інтервали монотонностіта точки екстремуму.4. За допомогою другої похідної функції визначають інтервали опуклостіфункції та точки перегину.5. Знаходять можливі точки перетину кривої з осями координат.6. Будують криву за встановленою інформацією.3 3Функції cos t та sin t означенні для будь-яких значень t . Але оскільки ціфункції періодичні з періодом 2 , досить розглянути проміжок t [0;2 ).Оскільки x [ a; a]та y [ a; a],то крива асимптот не має.Знайдімо2yt 3a sin t costy x( t) tg t.x2t 3a cos t sintЗвідси критичні точки 1-го порядку:y( t) 0 t 0, t ;Знайдімоx1 2 3y x( t) t3 , t4 .2 2( y ) ( ) ( tg t ) y 1 .x ( a cos t) 3a cos t sintx t2 tx 3 4t

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаЗнайдімо критичні точки 2-го порядку:y( t) 0;x23y2 ( t) t1 0, t2 , t3 , t4 .x2 2Побудуймо таблицю значень змінних t,x та y , а також знаків першої тадругої похідних.t 0 3 3 3 0; ; ; ;2 2 2 2 2 2 2x a 0 a0y 0 0 y y 0 y a 0 y a maxНа підставі дослідження будуймо астроїду (15.2).yaminaOaxНавчальназадача 15.3.Рис. 15.2Дослідити функцію та побудувати її графік:2 3 2 31) y ( x 1) ( x 2) ;2e x 2) y ;x 23) y x arctg x;4) y 1) 1. D( y) ( ; ).x21;12 3 2 3a2. f( x ) ( x 1) ( x 2) f ( x).3. y kx b :2 3 2 3( x 1) ( x 2)k lim 0;xx2 3 2 3b lim( x 1) ( x 2) x

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаx2e2. y( x ) y( x).x 23. x : y kx b :x2x 2ek lim 0;x x( x 2)x 2eb lim 0;x x 2y 0 — ліва горизонтальна асимптота;x : y kx b :x 2 x 2eek lim lim .xx( x 2) x 2x2elim ;x20x 2x 2elim .x20x 2x 2 — вертикальна асимптота.e ( x 1)4. y ;2( x 2)y 0 x 1; y x 2.y y x2 1 miny( 1) e 2,71.x 2 2e ( x 2x 2)5. y ;3( x 2)y 0 x ; y x 2.y y 2 x6. y 0, x 0.7. Рис. 15.4.

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаye 2 2e21OxРис. 15.43) 1. D( y) .2. y( x ) x arctg x y( x).Отже, функція непарна і її графік симетричнийщодо початку координат.3. x : y kx b :x arctg xk lim 1;x xb lim arctg x x2y x — ліва асимптота, y x — права асимптота.2214. y 1 0, x y .21 x2x5. y ;2 2(1 x )y 0 x 0.y y 0 xт. перегину6. y(0) 0.7. Рис. 15.5.

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаy2O 2x4) 1. D( y) .12. y( x ) y( x).2x 13. y kx b :Рис. 15.51k lim 0;x2x( x 1)1b lim 0.x 2x 1y 0 — горизонтальна асимптота.2x4. y ; y 0 x 0.2 2( x 1)y y 0 xmax23x 15. y 2 ;2 3( x 1)1 36. y(0) 1, y . 3 47. Рис. 15.6.1y 0 x .3y y 1x 1 3 3т. перегину т. перегину

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаy1341 O 13 3Рис. 15.6x3. Задачі для самостійного розв’язанняЗадача 15.1.1) Рис. 15.7.Дослідіть функцію і побудуйте її графік:3 31) y x 3 x;2)y e x2 ;3) y ln x ;x3 3 24) y x 3 x .yy xO 1 3 23x2) Рис. 15.8.Рис. 15.7y1e 1O 2x3) Рис. 15.9.Рис. 15.8

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаye 1O 1 e 3 2ex4) Рис. 15.10.Рис. 15.9yy x 1O 23x 3 4Задача 15.4. 3 3; 4 Рис. 15.10Дослідіть функцію і побудуйте її графік:x1) y ;2) y21 x2 23) y 3 x 3 x ( 1) ( 1) ;211 xx4) y ;3 3x 45) y xe x ;6) y2 x e x ;1xeln x7) y ;8) y ;xx19) y ;x ln x10) y x 2 ln x;11) y x sin x;12) y x 2 arctg x.(1) 1 , ( 1) 1 3y y y y , 3; ,(0;0)2 2 4 1)max min— точки перегину, y 0 — асимптота;2;та

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графіка2) ymin y(0) 1, x 1, y 0 — асимптоти;3) y y(0) 2, y y( 1) 4;max4) ymax y(0) 0,min min y(0) 0, x 2 2 — абсциси точок пе-y 3 4, y x — асимптоти;1 2 5) ymax y(1) , 2;e 2e 46) ymax y(2) , y2eрегину, y 0 — асимптота;ymin y(2) 16,333 3( 4; 2) — точка перегину,— точка перегину, y 0 — асимптота;1 17) ymax y(1) , x 1 — абсциси точок перегину, x 0 — ліваe2асимптота, y 0 — асимптота;1 38)max( ) , y y e e ee; — точка перегину, 0, 0 2 e e x y — правіасимптоти;19) ymax y e,x 1 — асимптота, x 0 та y 0 — праві асимптоти; e 1 1 1 3 10) ymin y, ; 2e3— точка перегину; e e e 2e 11) ( k; k), k ,— точки перегину;12) ymax y( 1) 1, ymin(1) 1 , (0;0) — точка перегину,2 2y x — асимптоти.Задача 15.5. Побудуйте криву, задану параметрично:3 31) x t 3t 1, y t 3t 1;2) x a( t sin t), y a(1 cos t).1) ( 3;3) — максимум, (5; 1) — мінімум, (1;1) — точка перегину;2) циклоїда.