Практична частина - Uuooidata.org

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізкуЗ’ясуймо тип цієї точки розриву. Оскількиsin x sin x sin xlim 1 lim 1, lim 1, x0 0 D( f ),x0 x x0 x x0xто точка x0 0 є точкою розриву 1-го роду, усувного (рис. 8.18).ysin x1 y xOРис. 8.18sin xФункцію f ( x) можна доозначити в точці x0 0 таким чином,xщоб вона була неперервної на . Інакше кажучи, якщо покластиsin x , x 0,g( x) x 1, x 0,то функція g буде неперервною на .2) Функція f елементарна; область означення D( f ) \ {0}. Отже, функціяf має розрив у точці x0 0. З’ясуймо тип цього розриву:x01 xlim e 0;1 xlim e .x0Оскільки обидві границі існують і одна з них нескінченна, то x0 0 —точка розриву 2-го роду, нескінченного (див. рис. 8.5). Графік функції має вточці x0 0 праву вертикальну асимптоту.3) Функція f — неелементарна, означена різними аналітичними виразамина різних проміжках. Ці вирази означені на тих проміжках, на яких вони «працюють»,область означення D( f ) . Отже, єдині можливі точки розриву —це точки x1 0 та x2 2, де міняються аналітичні вирази для функції f .Дослідімо точку x1 0. Обчислімоlim f ( x) lim (1 x ) 1;x0 x 0lim f ( x) lim ( x 1) 1.x0 x0Оскільки існують скінченні границі f( 0), f( 0) іf( 0) f( 0) 1 f(0),то функція f неперервна в точці x1 0 (рис. 8.19).Дослідімо точку x2 2. Обчислімоlim f ( x) lim ( x 1) 1;x 20 x 20lim f ( x) lim (4 x) 2.x 20 x202f (0) (0 1) 1. Знайдімо:222f (2) (2 1) 1. Знайдімо2x

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізку2 4x1) Функція f ( x) означена в усіх точках, за винятком x 2,x 2а отже, і неперервна в них. Щоб визначити характер розриву в точці x 2 (уній порушена умова неперервності — функція неозначена), знайдімо однобічніграниці функції в цій точці:2x 4lim lim ( x 2) 4;x20 x 2 x202x 4lim lim ( x 2) 4.x20 x 2 x20Оскільки f( 2 0) f( 2 0), то точка x 2 є точкою розриву 1-городу, усувного.«Усуньмо» розрив. Функція2x 4 , x 2,g( x) x 2 x 24, x 2— неперервна.Будуймо графік функції y f( x)(рис. 8.20).y2Ox4Рис. 8.202) Функцію f( x ) задано різними аналітичними виразами на різних проміжках.Кожен з цих виразів — функція неперервна в усіх точках області означення.Тому розгляньмо точки x1 1 та x2 0 і визначмо їх характер.lim f ( x) lim 3 3;x10 x10xf x x10 x 10lim ( ) lim 3 3;f( 1) 3.Оскількиf( 1 0) f( 1 0) f( 1),то в точці x1 1 функція f( x ) неперервна.lim f ( x) lim 3 1;x00 x00lim f( x) lim x 0.x00 x00Оскільки існують, але не рівні між собою, однобічні границі, то x2 0 —точка розриву 1-го роду, неусувного, зі стрибком f (0 0) f (0 0) 1.x2

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізкуБудуймо графік функції y f( x)(рис. 8.21).Рис. 8.21Навчальна Означити, не користуючись знаком границі, функцію2nзадача 8.3.1 xf ( x) lim і побудувати її графік.n24n xПри кожному значенні x , що справджує нерівність x 1,2n4nx 0, x 0, n .1Отже, f ( x) .2При кожному значенні x , що справджує нерівність x 1,Тоді2n4nx , x , n .2n 4n 2n1 x x xlim lim 0.n4n4n2 x n2x 1При x 1 і будь-якому n :2n4n x 1.x2Отже, f ( x) . Функцію f можна задати як31 , x 1,22f ( x) , x 1,3 0, x 1.Графік її зображено на рис. 8.22.y1y1 O312312O 1Рис. 8.22xx

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізкуНавчальназадача 8.4.Знайти з точністю 0,1 корінь рівняння xна відрізку [0;1].4 3 x 1 04 3Нехай f ( x) x x 1. Ця функція неперервна x , а, отже, і на[0;1]. Оскільки f(0) 1 0, f(1) 1 0, то за теоремою Больцано — Кошіc (0;1) : f( c) 0,тобто рівняння f( x) 0 має корінь на [0;1]. Знайти корінь з точністю 0,1означає вказати відрізок [ a; b ] завдовжки b a 0,1, який містить корінь рівняння.Щоб знайти наближене значення кореня скористаємось методом половинногоподілу.Крок 1. Покладімо a 0, b 1. Обчислімоf( a) f(0) 1, f( b) f(1) 1.Перевірмоf ( a) f ( b) 1 1 1 0,b a 1 0,1.Крок 2. Обчислімоa b 0 1 1x1 .2 2 2Крок 3. Обчислімо1 13f ( x1) f . 2 16Перевірмо13 13f ( x1) f ( a) ( 1) 0;16 1613 13f ( x1) f ( b) 1 0.16 16Покладімо a1 x 1 , 1.1 b1 b Перевірмо21a1 b1 0,1.2Крок 4. Обчислімо1a1 b 11 2 3x2 .2 2 4Крок 5. Обчислімо3 67f ( x2) f . 4 256Перевірмо

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізку67 13 f ( x2) f ( a1) 0;256 16 67f ( x2) f ( b1) 1 0.256Покладімо a2 x 3 , 1.2 b2 b14Перевірмо1a2 b2 0,25 0,1.4Крок 6. Обчислімоa2 b27x3 ...2 8Врешті-решт дістанемо: x 0, 81 з точністю 0,1. 3. Задачі для самостійного розв’язанняЗадача 8.1.Дослідіть функцію f на неперервність на відрізках[0;2],[ 3;1],[4;5], якщо:11) f ( x) ;4x 112) f ( x) .2x 2x 31) функція неперервна на відрізку [4;5], має одну точку розриву 2-городу, нескінченного, x 1 на відрізку [0;2] і дві точки розриву 2-го роду, нескінченних,x 1 на відрізку [ 3;1];2) функція неперервна на відрізку [4;5], на відрізку [0;2] має одну точкурозриву 2-го роду, нескінченного, а на відрізку [ 3;1] — дві точки розриву 2-городу, нескінченних, x1 3, x2 1. Задача 8.2. Дослідіть на неперервність функцію f , визначте характерїї точок розриву, побудуйте схематично її графік:31) f ( x) ;1x 17 322) f ( x) ;31 3 x33) f ( x) ;log x 12

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізку cos x, x 0,24) f ( x) x , 0 x 1,1 , x 1; x3 x 3e , x 3,25) f ( x) 10 x , x 3,1 2 x 2,x 3;1arctg 2 x, x ,6) f ( x)2 1, x .2x 3 21) x 1 — точка розриву 1-го роду, неусувного; 2) x 3 — точкарозриву 2-го роду, нескінченного; 3) x 1 — точка розриву 1-го роду, усувного,x 2, x 0 — точки розриву 2-го роду, нескінченного;4) x 0, x 1 — точки розриву 1-го роду, неусувного, x 3 — точка розриву2-го роду, нескінченного; 5) x 3 — точка розриву 1-го роду, неусувного;16) x — точка розриву 1-го роду, усувного.2Задача 8.3. Нехай x 1, x 1,f ( x) 23 ax , x 1.Виберіть число a так, щоб функція f стала неперервною.(Побудуйте її графік).a 1. Задача 8.4. Нехай2 sin x, x ,2 f ( x) A sin x B, x ,2 2cos x, x .2Підберіть числа A та B так, щоб функція f стала неперервною;побудуйте її графік. A 1, B 1. Задача 8.5.2x 1Функція f ( x) не означена при 1.3x 1x Якоюмає бути значення f (1), щоб доозначена цим значеннямфункція стала неперервною при x 1?

Модуль 8. Точки розриву функції. Функції, неперервні на відрізку 2 .3 Задача 8.6.sin xЯкого роду розриви мають функції y таxcosxy при x 0 ? Вкажіть характер графіків цихxфункцій в околі точки x 0.sin xФункція y має в точці x 0 розрив 1-го роду, усувний, функціяy — розрив 2-го роду, нескінченний.xcosxxЗадача 8.7. Дослідіть на неперервність функцію і побудуйте її графік:1)y 1 ;ln x2) y { x };13) y ;{ x}4) [ xy ( 1) ] .1) x 0 — точка розриву 1-го роду, усувного, x 1 — точки розриву2-го роду, нескінченного; 2), 4) x — точки розриву 1-го роду, неусувного;3) x — точки розриву 2-го роду, нескінченного.Задача 8.8. Використовуючи властивість неперервних функцій,3покажіть, що рівняння x 2x 2 0 має в інтервалі(1;2) принаймні один дійсний корінь. Обчисліть його зточністю 0, 01. 1, 77. Задача 8.9. Використовуючи властивість неперервних функцій, покажіть,що рівняння x 6x 2 0 має дійсні корені3на проміжках ( 3; 2), (0;1), (2;3). Обчисліть їх з точністю0, 001.2,602;0, 340;2,262.