Модуль 13. Перетворення прямокутних ... - Uuooidata.org

Модуль 13. Перетворення прямокутних ДекартовихкоординатПрактична частина1. Контрольні запитання1. Як перетворюються прямокутні координати у тривимірному просторі?2. Як перетворюються координати на площині від повертання осей координатна кут ?3. Яку матрицю звуть ортогональною?4. Що звуть лінійним перетворенням лінійного простору і його матрицею?5. Яке перетворення звуть ортогональним?6. Як змінюється матриця лінійного перетворення від заміни базису?7. Що звуть власним числом і власним вектором лінійного перетворення?8. Яке рівняння звуть характеристичним рівнянням матриці і як звуть його корені?9. У якому базисі матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд?10. Сформулюйте означення квадратичної форми.2. Навчальні задачіНавчальна З’ясувати, як перетворяться координати будь-якої точкизадача 13.1. M( x; y ) якщо:1) вісь абсцис не змінювати, але змінити напрям осі ординатна протилежний;2) за вісь абсцис узяти вісь ординат, а за вісь ординат —вісь абсцис?1) Якщо поміняти напрям осі ординат, то координата y точки M змінитьзнак, а абсциса не зміниться. Отже, точка M( x; y ) перейде в точкуM( x; y).2) Якщо поміняти осі Ox та Oy місцями, то координати точки також поміняютьсямісцями: точка M( x; y ) перейде в точку M( y; x).Навчальна Задано точку C(2 3; 4) в новій системі координат,задача 13.2.одержаній зі старої повертанням на кут . Знайти3координати точки C у старій системі.Нехай точка C( x; y ) у старій системі координат. За формулами перетвореннякоординат маємо (див. п. 13.2.3) 1 3x x cos ysin 2 3 cos 4 sin 2 3 4 3 3;3 3 2 2 3 1 y x sin ycos 2 3 sin 4 cos 2 3 4 1.3 3 2 2

Модуль 13. Перетворення прямокутних Декартових координатОтже, у старій системі координат точка C (3 3;1) . Навчальна Початок ПДСК переносять у точку O(3; 1) і повертаютьосі на кут . Знайти нові координати точкизадача 13.3.6A , якщо її старі координати були A (3; 4).1. За формулами п. 13.2.2 маємо координати точки A( x; y ) у перенесенійсистемі O xy (рис. 13.9) : x x 3 3 3 0,y y ( 1) 4 ( 1) 5.y yyA(3; 4)OO(3; 1)Рис. 13.92. За формулами п. 13.2.3 маємо координати точки A( x; y ) в повернутійсистемі координат Ox y : 3 1 5x x cos ysin 0 5 ,6 6 2 2 2 1 3 5 3y x sin ycos 0 5 .6 6 2 2 25 5 3Отже, в новій системі координат A ; . 2 3 Навчальна Знайти власні числа і власні вектори матриці:задача 13.4.2 23 2 01) A 1 3; 2) A 2 4 2 .0 2 51) 1. Запишімо характеристичний многочлен і знайдімо його корені.2 2 1 1,2 0 5 4 0 1 3 2 4.2. Знайдімо координати власних векторів, що відповідають власним числам 1 та 2.а) 1.xxx

Модуль 13. Перетворення прямокутних Декартових координат (2 1) x1 2x2 0,x1 (3 1) x2 0;x1 2x2 0, x2 C, 2 x1 C .x1 2x2 0 x1 2C1 2Отже, за власний вектор можна взяти 1 .1б) 4. (2 4) x1 2x 2 0, 2x1 2x 2 0, x2 C, 1 x2 C . x1 (3 4) x2 0; x1 x2 0x1 C.1 1Отже, за власний вектор можна взяти 2 .12) 1. Запишімо характеристичне рівняння і знайдімо його корені.3 2 0 1 1,3 22 4 2 0 12 39 28 0 2 4,0 2 5 3 7.2. Знайдімо координати власних векторів, що відповідають власним числам1, 2 та 3.а) 1.(3 1) x1 2x 2 0 x3 0, 2x1 2x2 0,2 x1 (4 1) x2 2x 3 0, 2x1 3x 2 2x3 0,0 x1 2 x2 (5 1) x3 0; 2x2 4x3 0.1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 3 2 b2 a2 2a1 0 1 2 0 1 20 1 2 0 1 2 c b b 0 0 01 13 3 2x1 2C 0, 1 2 ,1 1 0 1 0 2 x Ce1 d1 d2 x2 2C 0, x2 2 C,0 1 2 0 1 2x3 C x3 C2 2 x C 2 2 .б) 4.1 1

Модуль 13. Перетворення прямокутних Декартових координат(3 4) x1 2x 2 0 x3 0, x 1 2x2 0, 2x1 0 x2 2x 3 0, 2x1 2x3 0,0 x1 2 x2 (5 4) x3 0; 2x2 x3 0. x C 0, x C, x C 0, x C,1 11 0 1 e1 d1 0 11 1 111 2 20 2 1 e0 12 22 d 222x3 C x3 C12в) 7, 3 1 . 11 1 1 1 x2 C 2 .2 21 1Навчальна Записати матрицю квадратичної формизадача 13. 5.Q( x ) 2x1x 2 2x 2x3 2 x1x3.Розпишімо коефіцієнти квадратичної форми2 2 2Q( x ) a11x 1 a22x2 a33x 3 2a 12x1x2 2a 23x2x3 2 a31x1x3.Тут1a1 0,1 2 1 2a2 1, a3 1,2 22 2 2 2 2a1 1, a2 0, a3 1,2 23 2 3 2a1 1, a2 1,2 23a3 0.Отже, матриця квадратичної форми3. Задачі для самостійного розв’язанняA 0 1 11 0 1 .1 1 0Задача 13.1. Якими будуть координати точок A( 4;5), B(3; 2) таM( x; y ) після того, як прямокутні осі координат, дояких вони віднесені, повернути навколо початку:1) на прямий кут проти годинникової стрілки;

Модуль 13. Перетворення прямокутних Декартових координат2) на прямий кут за годинниковою стрілкою;3) на два прямих кути?1) A( 5; 4), B(2; 3), M( y; x);2) A(5; 4), B( 2; 3), M( y; x);3) A(4; 5), B( 3; 2), M( x ; y).Задача 13.2. Нову ПДСК одержано зі старої перенесенням початку вточку O(1; 3) і поверненням на кут такий, що4 3cos , sin . У новій ПДСК точки мають5 5координати A(3;1), B(1; 2), C( 3; 4). Знайдіть їхні координатиу старій системі координат. A(4; 4), B(3; 2), C(1; 2). Задача 13.3. Задано формули перетворення координат:x 2 x 2 y 1 z,3 3 31 2 2y x y z,3 3 32 1 2z x y z.3 3 3Покажіть, що це формули перетворення прямокутнихкоординат. Знайдіть:1) старі координати точок, якщо відомі їхні нові координати:A(0;1;1), B(1;1;2), C( 3;1; 4);2) нові координати точок, якщо відомі їхні старі координати:D(4;1; 3), E(5;1;1), F(1;2; 3).Треба перевірити, чи переходить ортонормований базис в ортонормований.1) A(1; 0;1), B(2;1;1), C (0;1; 5);2) D(5;1; 0), E(3; 3; 3), F(3;1; 2). Задача 13.4. Знайдіть власні числа і власні вектори матриці:4 1 217 61) ; 2) 1 4 2 .6 82 2 1 1 2 5, e , 20, e ;2 11) 1 1 2 21 1 2 1, 1 , 5, 1 , 0 . 2) 1 e1 2 3 e2 e32 0 1