Модуль 11. Геометрія прямої і площини - Uuooidata.org

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниСтруктура модуляВступ1. Ключові слова2. Короткий змістТеоретична частинаРозділ 11.1. Пряма у просторі11.1.1. «Означення» прямої11.1.2. Параметричні рівняння прямої у просторі11.1.3. Канонічні рівняння прямої у просторіРозділ 11.2. Площина11.2.1. «Означення» площини11.2.2 Параметричні рівняння площини11.2.3. Загальне рівняння площини11.2.4. Векторне рівняння площини11.2.5. Окремі випадки загального рівняння площини11.2.6. Рівняння площини у відрізках11.2.7. Нормоване рівняння площиниРозділ 11.3. Пряма на площині11.3.1. Параметричні рівняння прямої на площині11.3.2. Канонічне рівняння прямої на площині11.3.3. Загальне рівняння прямої на площині11.3.4. Векторне рівняння прямої на площині11.3.5. Окремі випадки загального рівняння прямоїна площині11.3.6. Рівняння прямої на площині з кутовим коефіцієнтом11.3.7. Рівняння прямої на площині у відрізках11.3.8. Нормоване рівняння прямої на площині

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниВступ1. Ключові словаПряма. Напрямний вектор. Вектор, що паралельний прямій. Відрізок. Векторнепараметричне рівняння прямої. Параметричні рівняння прямої у просторі. Канонічнірівняння прямої у просторі.Площина. Вектор, що паралельний площині. Векторне параметричне рівнянняплощини. Параметричні рівняння площини. Загальне рівняння площини.Нормальний вектор площини. Векторне рівняння площини. Рівняння площини увідрізках. Вектор, перпендикулярний до площини. Нормоване рівняння площини.Параметричні рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої на площині.Векторне рівняння прямої на площині. Рівняння прямої на площині з кутовимкоефіцієнтом. Рівняння прямої у відрізках. Нормоване рівняння прямої.2. Короткий змістУ модулі:— розглянуто лінійні об’єкти: прямі у просторі і на площині, площини;— доведено низку тверджень елементарної геометрії за допомогою векторноїалгебри;— досліджено взаємне розташування лінійних об’єктів;— проілюстровано викладену теорію розв’язаними навчальними задачами;— запропоновано низку задач для самостійного розв’язання (з відповідями).

Теоретична частинаМодуль 11. Геометрія прямої і площини11.1. Пряма у просторі11.1.1. «Означення» прямої. Прямою L , що проходить через точку M 0 паралельноненульовому векторові s (позначатимемо L( M0; s )), звуть множинувсіх точок M , для яких вектор M0M колінеарний векторові s (рис. 11.1):defM L( M0; s ) M0M ts , t .Ls Mts aРис. 11.1Вектор s звуть напрямним вектором прямої L .Вектор a звуть паралельним прямій L( M0; s ), якщо вектори a та s — колінеарні.Якщо N 0 — довільна точка прямої L( M0; s ) і вектор q 0 — довільнийвектор, колінеарний векторові s , то точка N 0 і вектор q задають пряму L .Твердження 11.1. Через будь-які дві різні точки M 0 та M 1 проходить однай лише одна пряма.Точка M прямої M0M 1 лежить між точками M 0 та M 1, якщо відповіднецій точці значення параметра t справджує нерівність 0 t 1.Множину всіх точок прямої M0M 1, які лежать між точками M 0 та M 1звуть відрізком з кінцями M 0 та M 1 (для точок відрізку 0 t 1).11.1.2. Параметричні рівняння прямої у просторі. Нехай задано прямокутнуДекартову систему координат Oxyz . Пряму L( M0; s ) означують точкоюі напрямним векторомden0 0 0 0 0 0M ( x ; y ; z ) M ( r )sНехай точка M( r ) L( M0; s ) (рис. 11.2). З означення прямої випливаєM0M OM OM 0 r r0 ts .M 0sr 0 MOM 0lmnr.РівнянняРис. 11.2

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниr r0 ts , t (11.1)звуть векторним параметричним рівнянням прямої L( M0; s ). Кожній точціпрямої відповідає певне значення параметра t . Навпаки, кожному значенню параметраt відповідає певний радіус-вектор точки на прямій.З рівняння (11.1) дістаємо параметричні рівняння прямої:x x l0y y0 t m , t z z0n(11.2) x x0 lt, y y0 mt, t .z z0 nt,11.1.3. Канонічні рівняння прямої у просторі. З колінеарності векторівr r 0 та s випливають співвідношенняx x0 y y0 z z 0 ,(11.3)l m nякі звуть канонічними рівняннями прямої. Їх сприймають як умову колінеарностівекторів, і якщо, приміром, n 0, то це означає, що:x x0 y y0z z0 0, .l mЯкщо ж, приміром, m n 0, то це означає, що:y y0 0, z z0 0, x .Зокрема:x x0 y y0 z z0L( M0; i ) : x , y y0, z z0;1 0 0x x0 y y0 z z0L( M0; j ) : x x0, y , z z0;0 1 0x x0 y y0 z z0L( M0; k ) : x x0, y y0, z .0 0 1Напрямний вектор прямої, що проходить через дві різні точки M1( x1; y1; z 1)M ( x ; y ; z )та 2 2 2 2x xs M M y yz z2 11 2 2 12 1Отже, канонічні рівняння прямої M1M 2, що проходить через дві різні точ-M ( x ; y ; z ) та M2( x2; y2; z 2)1 .x x y y z zx x1 y y1 z zки 1 1 1 12 1 2 1 2 1.

Модуль 11. Геометрія прямої і площини11.2. Площина11.2.1. «Означення» площини. Площиною P , що проходить через точку M 0 компланарнодвом неколінеарними векторам u,v (позначатимемо P( M0; u, v )), звутьмножину точок M , для яких вектори M0 M, u,v — компланарні (рис. 11.3):defM P( M ; u, v ) M M u v.0 0M 0u uРис. 11.3Вектори u та v творять базис на площині P .Вектор a звуть паралельним площині P( M0; u, v ), якщо вектори a, u,v —компланарні (див. рис. 11.3).Якщо точка Q належить площині P( M0; u, v ) та p,q — неколінеарні вектори,які паралельні площині P , то площина P ( Q; p, q ) зливається з площиною P .Твердження 11.2. Через 3 точки, що не лежать на одній прямій, проходитьодна й лише одна площина.11.2.2 Параметричні рівняння площини. Нехай задано Декартову прямокутнусистему координат, площину P , що проходить через точку M0( r 0)іпару неколінеарних векторів u та v , які паралельні площині P (рис. 11.4).PnM 0 vz r 0ukMO ri j yxРис. 11.4З означення площини випливає, що точкаavdenM( r ) M( x; y; z)належить площині P( M0; u, v ) тоді й лише тоді, коли векториr r0 M0 M, u,v — компланарні. Отже, знайдуться такі числа t 1 та t 2 , щоr r0 t1u t2v, t1 ,t2 r r0 t1u t2v , t1 , t2 .(11.4)Рівняння (11.4) звуть векторним параметричним рівнянням площини. Кожнійточці площини відповідають певні значення двох параметрів t 1 та t 2 . Навпаки,які б дійсні числа не підставити замість параметрів t 1 та t 2, рівняння(11.4) визначає певний радіус-вектор точки на площині.vMP

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниВекторне параметричне рівняння площини еквівалентне параметричнимрівнянням площини:x x0uxvxx x0 t1ux t2vx,y y0 t1 uy t2 vy y y0 t1uy t2vy,z z0 uz v (11.5)z z z0 t1u z t2vz,t1 , t2 .11.2.3. Загальне рівняння площини. З компланарності векторівr r0, u,v випливає, щодеx x y y z z0 0 0( r r0, u, v ) ( r r0,[ u, v ]) ux uy uz 0.v v vx y zОбчислімо визначник, розкладаючи його за першим рядком:a( x x ) b( y y ) c( z z ) 0,(11.6)0 0 0den uy uz den ux uz den ux uya v, , .y vb cz vx vz vx vyРівність (11.6) можна розглядати як( n, M M) 0,a0де вектор n b [ u, v ] звуть нормальним вектором площини P (рис. 11.5).cРис. 11.5Рівність (11.6) можна перетворити на загальне рівняння площини Pax by cz d 0,(11.7)denxzOyде d ax0 by0 cz0.Зауваження 11.1. 1. Оскільки вектори u,v утворюють базис, тобто лінійнонезалежні, то не всі коефіцієнти a, b,c дорівнюютьнулеві.2. У загальному рівнянні площини P коефіцієнти a, b,cпри невідомих є координатами нормального вектораTn ( a; b; c) .Ненульовий вектор звуть перпендикулярним до площини, якщо він ортогональнийдо обох її базисних векторів або колінеарний її нормальному векторові.PunM 0v

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниОтже, площину в ПДСК можна задати лінійним рівнянням — її загальнимрівнянням.Теорема 11.1. У ПДСК у просторі будь-яке лінійне рівняння вигляду(11.7) задає площину.Доведімо, що лінійне рівняння вигляду (11.7), де не всі коефіцієнтиa, b,c дорівнюють нулеві, є рівнянням площини. Матриця системи, що складаєтьсяз рівняння (11.7), має ранг 1.Загальний розв’язок системи (11.7)x x 0 C1e 1 C2e2,де x 0 — частинний розв’язок рівняння (11.7), { e1, e2}— фундаментальна системарозв’язків відповідної однорідної системи. Отже, рівняння (11.7) задаєплощину P( M( x0); e1, e2).Висновок.Площина у ПДСК — це єдина поверхня 1-го порядку.11.2.4. Векторне рівняння площини. Площину можна однозначно задатиїї точкою M0( r 0)і нормальним вектором n :P( M0) n.Нехай M( r ) P (див. рис. 11.4). ТодіM0M r r0 n.З ортогональності векторів дістанемо векторне рівняння площини P :( r r0, n) 0 (11.8) ( r , n) ( r0, n) 0.Векторне рівняння (11.8) можна переписати ще так:( r , n) d 0,де d ( r0, n).У координатній формі це рівняння має вигляд:P : a( x x0) b( y y0) c( z z0) 0,(11.6)де a, b,c — координати вектора n ; x, y,z — координати точки M; x0, y0,z 0 —координати точки M 0.11.2.5. Окремі випадки загального рівняння площини. Координатніплощини мають відповідно рівняння:Oxy k : cz 0 z 0;Oxz j : by 0 y 0;Oyz i : ax 0 x 0.Зауважимо, що вектор a паралельний площині P( M0)коли він ортогональний до її нормального вектора. n тоді й лише тоді,a P a n.Приміром, площина паралельна векторові i , а отже, й осі Ox , тоді й лишетоді, коли її нормальний вектор n ( a; b; c)ортогональний до i :

Модуль 11. Геометрія прямої і площини( n, i ) a 0 P : by cz d 0.Якщо в загальному рівнянні площини (11.7) деякі коефіцієнти рівні нулеві, томатимемо різні варіанти неповних рівнянь площини P , що проявляє себе в розташуванніплощини щодо координатних площин, осей і початку координат — точкиO . Зведімо всі випадки виродження (рівності нулеві коефіцієнтів) рівнянняплощини до таблиці (рис. 11.6), де 0 означає, що відповідний коефіцієнт нульовий,а 0 — відповідний коефіцієнт ненульовий.a b c d Висновок a b c d Висновок0 0 0 00 0 00 0 00 00 00 00 0000 00 00 00 0P PPPPOxP Oxy Oxy Oxz Oxz P Ox0000000Рис. 11.60 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0PPOyPOzP Oyz Oyz P Oy P Oz0 0 0 O P11.2.6. Рівняння площини у відрізках. Якщо всі коефіцієнти в загальномурівнянні площини (11.7) відмінні від нуля, тоді його можна перетворити на рівнянняплощини у відрізках:ax by cz d;x y z 1;d a d b d cx y z 1.(11.9) Його звуть так, бо рівняння (11.9) справджують координати точокA( ; 0; 0), B(0; ; 0) та C(0; 0; ), і , , — довжини відрізків, які відтинаєплощина P від осей координат (рис. 11.7).Pzk OixРис. 11.711.2.7. Нормоване рівняння площини. Напишімо рівняння площини уПДСК з одиничним нормальним векторомjy

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниn0cos cos cos і віддаллю p від початку координат.Нехай H — основа перпендикуляра, опущеного з початку координат наплощину, а OH — радіус-вектор цієї точки (рис. 11.8).ixkOr 0Рис. 11.8Оскільки OH pn0,то підставляючи в рівняння (11.8) координати векторівOH та n 0, дістанемо:( r , n0) ( pn0, n0) 0 ( r , n ) p 0 (11.10)0j x cos y cos z cos p 0.(11.11)Рівняння (11.10) звуть нормованим рівнянням площини у векторній формі,а рівняння (11.11) звуть нормованим рівнянням площини в координатній формі.У нормованому рівнянні всі коефіцієнти мають геометричний зміст: коефіцієнтипри x,y та z є напрямними косинусами будь-якого вектора, перпендикулярногодо площини, а вільний член — віддаль від початку координат доплощини, узята зі знаком «мінус».Помножмо загальне рівняння площини P (11.7) на множник Hax by cz dі підберімо його так, щоб вектор ( a; b; c) T став одиничним, а d 0.Тобто2 2 2 2 2 21 a b c 1, , 2 2 2 a b c d 0d 0 asgnd0 sgnd n b .2 2 2 2 2 2a b c a b ccТим самим загальне рівняння площини перетворено на нормоване рівняння.Множник звуть нормувальним.0Зауваження 11.2. Оскільки n0 1, то координатами вектора n будутьn 0P0

Модуль 11. Геометрія прямої і площининапрямні косинуси вектора n , а коефіцієнт p дорівнюєвіддалі від точки O до площини P .11.3. Пряма на площині11.3.1. Параметричні рівняння прямої на площині. Пряма лінія на площинімає двоїсту природу — звісно, зберігаючи всі властивості прямої у просторі,вона набуває властивостей, притаманних площині у просторі: лінійне загальнерівняння, нормальний вектор, наявність нормованого рівняння та рівняння увідрізках.Нехай задано прямокутну Декартову систему координат Oxy . Наслідкомвекторного параметричного рівняння прямої L( M0; s ) (рис. 11.9)r r0 ts , t (11.12)є параметричні рівняння прямої на площині:x x0 lx x0 lt,yy t , t 0 m (11.13) y y0 mt, t .M 0sr 0 MOРис. 11.911.3.2. Канонічне рівняння прямої на площині. Канонічне рівняння прямоїна площині L( M0; s ) має вигляд:x x0 y y 0 ,(11.14)l mlде M0( x0; y0) L,s — напрямний вектор прямої L .mПри l 0 рівняння (11.14) задає вертикальну пряму x x0,при m 0— горизонтальну пряму y y0.11.3.3. Загальне рівняння прямої на площині. Перетворімо рівняння(11.14)m( x x ) l( y y ) 0 0 0 a( x x0) b( y y0) 0 ( n, M0M) 0, (11.15)де a m, b l; n ( a; b) T — нормальний вектор прямої L .З рівняння (11.15) дістанемо загальне рівняння прямої на площиніax by c 0,(11.16)де c ax0 by0.Отже, будь-яку пряму на площині можна задати лінійним рівнянням. Правдивеі зворотне твердження — будь-яке лінійне рівняння (в якому або a 0або b 0) у ПДСК задає пряму.rL

Модуль 11. Геометрія прямої і площиниНехай у рівнянні (11.16) b 0, тоді за напрямний вектор прямої візьмімовектор sb , а точка, що належить прямій має координати a 0; c.b11.3.4. Векторне рівняння прямої на площині. Задамо пряму на площиніможна її точкою M0( r 0)і нормальним вектором n . Нехай M( r ) L(рис. 11.10).Рис. 11.10M0M r r0 n.З ортогональності векторів одержимо векторне рівняння прямої на площині( r r0, n) 0 ( r , n) ( r0, n) 0.(11.17)Перепишімо рівняння (11.17) у координатній формі:L : a( x x0) b( y y0) 0,де a,b — координати n ; x,y — координати точки M; x0,y 0 — координати точкиM 0.11.3.5. Окремі випадки загального рівняння прямої на площині. ПрямаL паралельна векторові i , а, отже, й осі Ox , тоді й лише тоді, коли її векторaнормалі n ортогональний до вектора i :b( n, i ) a 0 L : by c 0.Рівняння осей на площині відповідно:Ox j : by 0 y 0;Oy i : ax 0 x 0.Якщо в загальному рівнянні прямої (11.16) деякі коефіцієнти дорівнюють нулеві,то матимемо різні варіанти неповних рівнянь прямої L , що проявляє себе врозташуванні прямої щодо координатних осей і початку координат — точки O .Зведімо всі випадки виродження (рівності нулеві коефіцієнтів) рівняння прямоїдо таблиці (рис. 11.11), де 0 означає, що відповідний коефіцієнт нульовий, а 0— відповідний коефіцієнт ненульовий.a b c Висновок a b c Висновок0 0 00 00 000L LLjOr0 Ox OxiM 0r000Рис. 11.11nML0 00 0LL Oy Oy0 0 O L

Модуль 11. Геометрія прямої і площини11.3.6. Рівняння прямої на площині з кутовим коефіцієнтом. З рівняння(11.14) маємо:1) якщо l 0, то L : x x0;2) якщо l 0, то після перетворення одержимо рівняння прямої з кутовимкоефіцієнтом:my y0 ( x x0) y kx b,(11.18)lm mде k , b y0 x0.llКутовий коефіцієнт k tg — тангенс кута нахилу прямої до додатногонапряму осі Ox (рис. 11.12).11.3.7. Рівняння прямої на площині у відрізках. Нехай усі коефіцієнти взагальному рівняння прямої (11.16) відмінні від нуля. Тоді, після перетвореньодержимо рівняння прямої у відрізках (рис. 11.12):ax by c;yOxc axjyc byiL 1.Рис. 11.12 1;(11.19)11.3.8. Нормоване рівняння прямої на площині. Нормованим рівняннямпрямої на площині звуть рівнянняx cos y cos p 0,(11.20)cos cos деcos sin — орт нормального вектора прямої, p — віддаль від початкукоординат до прямої.Загальне рівняння прямої (11.16) можна перетворити на нормоване, помножившийого на нормувальний множникsgn c .2 2a bx