Модуль 12. Основні теореми диференціального ... - Uuooidata.org

ВступМодуль 12. Основні теореми диференціального численняКороткий змістТеоретичний матеріал модуля викладено на двох рівнях — базовому (розділи12.1—12.3) і розширеному (розділи 12.1—12.4).У модулі:— розглянуто важливі теореми диференціального числення: теорему Ферма(необхідну умову існування локального екстремуму) та теореми про середнєзначення (теорема Роля, теорема Лаґранжа, теорема Коші);— обґрунтовано застосування ефективного засобу обчислення границь —правил Бернуллі — Лопіталя;— проілюстровано викладену теорію розв’язаними вправами та навчальнимизадачами;— запропоновано низку задач для самостійного розв’язання (з відповідями)і 30 варіантів індивідуальних завдань.

Модуль 12. Основні теореми диференціального численнялельна осі Ox (на рис. 12.4 таких точок дві).yaO 1 2bxРис. 12.42. Вимогу диференційовності можна послабити до вимогиіснування скінченної або нескінченної певногознаку похідної. Приміром, функція (рис. 12.5)21 ( x 1) , 0 x 2,f ( x) 2x x 1 ( 1) , 2 0.y21O 1 2xyРис. 12.53. Усі вимоги Ролєвої теореми істотні. На рис. 12.6 зображеніграфіки чотирьох функцій, означених на[ 1;1], для кожної з яких не виконана лише одна зтрьох умов Ролєвої теореми або умова п. 1 цього зауваженняі не існує такої точки ( 1;1) : f ( ) 0.x2 , x (0;1],а) функція f ( x) — розривна; 1, x 03 2б) функція f ( x) x показує, що умову існуваннянескінченної похідної певного знаку (див. п. 1 цьогозауваження) не можна замінити на умову існуванняпросто нескінченної похідної;в) функція f ( x) x — недиференційовна в точціx 0;г) для функції f ( x) x, x [0;1], f (0) f (1).yyyO 1 x1O 1 x 1Рис. 12.6O 1xO 1 x

Модуль 12. Основні теореми диференціального численняВправа 12.1. Довести, що для многочлена2P( x) ( x 1)( x 3)( x 2)( x 1)в інтервалі ( 3;1) знайдеться корінь рівняння P( x) 0.Розв’язання вправи 12.1 див. у п. 12.4.3.12.2.2. Теорема КошіТеорема 12.3 (Коші). Якщо функції f і g :1) неперервні на відрізку [ a; b ],2) диференційовні в інтервалі ( a; b ),3) похідна g( x) 0 в інтервалі ( a; b ),то в інтервалі ( a; b ) існує принаймні одна точка така,щоДоведення теореми 12.3 див. у п. 12.4.4.12.2.3. Лаґранжова теоремаf ( b) f( a) f ( ) , a b .g( b) g( a) g( )Теорема 12.4 (Лаґранжа). Якщо функція f :1) неперервна на відрізку [ a; b ],2) диференційовна в інтервалі ( a; b ),то в інтервалі ( a; b ) існує принаймні одна точка така,щоf ( b) f ( a) f ( )( b a), a b.Доведення Лаґранжової теореми випливає з теореми Коші для g( x) x.Геометричний зміст Лаґранжової теореми полягає в тому, що на дузі AB(рис. 12.6) графіка функції y f ( x),для якої виконано умови теореми, з кінцямив точках A ( a; f( a))та B ( b; f( b))знайдеться точка C ( ; f ( )),дотична в якій паралельна хорді AB .y C BAOabxРис. 12.6Формулу

Модуль 12. Основні теореми диференціального численняf ( b) f ( a) f ( )( b a)ще звуть Лаґранжовою формулою. Якщо в Лаґранжовій формулі покластиf ( a) f ( b),одержимо Ролєву теорему, тобто Ролєва теорема є окремий випадокЛаґранжової.Покладімо в Лаґранжовій формулі a x0, b x0 x.Тоді вона набудевиглядуf ( x0 x) f ( x0) f ( ) x, x0; x0 x .Оскільки формула дає точний зв’язок приросту функції і приросту аргументу,її ще звуть формулою скінченних приростів (вказати точку часто не можливо).Вправа 12.2. Довести нерівність arctga arctg b a b .Розв’язання вправи 12.2. див. у п. 12.4.5.12.3. Розкриття невизначеностей (правила Бернуллі — Лопіталя)Теорема 12.5 Якщо функції f та g означені в околі точки x 0,f ( x0) g( x0) 0, існують скінченні похідні g( x0) 0та f ( x0),то існує0f( x) f ( x0)lim .g( x) g ( x )x x0f ( x) f ( x0)f ( x) x x0f ( x0) lim lim . x x0 g( x) x x0g( x) g( x0)g ( x0)x xТеорема 12.6(1-е правило Бернуллі — Лопіталя). Якщо:1) функції f та g диференційовні в ( a; b );2) x ( a; b) : g( x) 0;3) lim f ( x) lim g( x) 0;x a 0 x a0f ( x)4) lim L,x a0g( x)тоf( x) lim L.x a0g( x)Доведення теореми 12.6 див. у п. 12.4.6.Теорема 12.7 (2-е правило Бернуллі — Лопіталя). Якщо:1) функції f та g диференційовні в ( a; b );2) x ( a; b) : g( x) 0;0

Модуль 12. Основні теореми диференціального числення3) lim f( x) lim g( x) ;x a 0 x a0f ( x)4) lim L,x a0g( x)f ( x)то lim L.x ag( x)Зауваження 12.4.1. У теоремах 12.6 та 12.7 був розглянутий випадок,коли аргумент x прямує до числа a справа. До розглянутогозводяться випадки, коли аргумент x прямує дочисла a зліва або довільним чином, а також випадки,коли a { , , }. У всіх цих випадках за відповіднихприпущень правдива формулаf( x) f ( x)lim lim .x a g( x) x ag( x)Розгляньмо, приміром, прямування аргументу до для функцій f та g , заданих на [ c; ), c . Цейвипадок зводиться до теореми 12.7 заміною змінної1 x . Справді,tf( x)f(1 t) f (1 t) lim lim lim x g( x) 1x t0 g(1 t)t0tg(1 t) 2f (1 t)( 1 t ) f ( x) lim02 lim .tg(1 t)( 1 t ) 1 x g( x)tx 0 02. Невизначенності 0 , ,1 , 0 , можназвести до невизначенностей 0 0та за допомогоюперетворень:fg 0 f 0 g ; 1 0 1g f 11g f 0 f g [ ] ; 0 1 1f gln fg g ln f g1f 1 e e ( f 0). 3. Може трапитись, що границя відношення похіднихне існує, тоді як границя відношення функцій існує.

Модуль 12. Основні теореми диференціального числення2 1Приміром, функції f ( x) x sin та g( x) x.x2 1f ( x) x sinx1lim lim lim x sin 0.x 0 g( x)x 0 x x 0xf ( x) 1 1Відношення похідних 2xsin cos уg( x)x xf( x)точці x 0 границі не має. Отже, з існування limx a g ( x )f ( x)не випливає існування lim .x ag( x)4. Правило Бернуллі — Лопіталя інколи доводиться застосовуватикілька разів.Приклади. Знайдімо:1 11) lim x ;x 0x e 11) L2)x10ln x2) xx103) lim n xx e .x lim (1 ) ; 1 1 xe x 1 0 lim [ ] lim x0 x x1 x 0 xe x( e 1) 0 e x 1 lim L.x02xx e x 1xe 1 1lim lim L.2x2xx0 2x0ln x 0xln x ( x 1),lim (1 x) [0 ] x 1 0lim ln(1 x) ( x1) ln(1 x) ex10 exp lim L; x 1 0 1 ( x 1) 1 (1 x) lim (1 x)1 00exp lim ex e 1 L. x102 (1 x)nn xx 3) lim x e lim x L1;x x e

Модуль 12. Основні теореми диференціального численняНехай існує точка x0 ( a; b),для якої f ( x0) f ( a),приміром,f ( x0) f ( a).На підставі Ваєрштрасової теореми (див. Теорема 8.2 п. 8.2.1) дляфункції f існує така точка [ a; b],у якій функція f набуває найбільшогозначення. Тодіf ( ) f( x0) f( a) f( b).Тому a та b,тобто ( a; b)і функція f набуває в точці найбільшогозначення. Отже, на підставі теореми Ферма (див. Теорема 12.1розд. 12.1) f ( ) 0.12.4.3. Розв’язання вправи 12.1Оскільки P( 3) P( 2) P(1) 0, і P( x ) — функція диференційовна на ,то для функції P( x ) виконано всі умови Ролєвої теореми на [ 3; 2] і [ 2;1] : 1 ( 3; 2) : P( 1) 0; 2 ( 2;1) : P( 2) 0.Для функції P ( x)на [ 1; 2] ( 3;1) виконано всі умови Ролєвої теореми: ( ; ) ( 3;1) : P( ) 0.1 212.4.4. Доведення теореми 12.3Для функції g виконано нерівність g( a) g( b),оскільки, якби g( a) g( b),тоза Ролєвою теоремою (див. Теорема 12.1) знайшлася б точкаx0 ( a; b) : g( x0) 0, а це суперечить умові теореми.Розгляньмо функцію( x) f ( x) g( x),де число підберімо з умови( a) ( b)f ( b) f ( a) f ( a) g( a) f ( b) g( b) .g( b) g( a)Тоді функція ( x)справджуватиме на [ a; b ] умови Ролєвої теореми. Тобтоіснує ( a; b),для якого ( ) 0.f ( )f ( ) g( ) 0 .g ( )12.4.5. Розв’язання вправи 12.21. Для a b нерівність виконано.2. Нехай a b.Тоді для функції y arctg x на [ a; b ] або на [ b; a ] виконаноумови Лаґранжової теореми:

Модуль 12. Основні теореми диференціального численняarctg a arctg b1 f ( ) 1, a; b .a b21 arctg a arctg b 1 a barctg a arctg b a b .12.4.6. Доведення теореми 12.6Доозначимо функції f та g в точці x a,поклавши f ( a) g( a) 0.Тоді, x ( a; b)продовжені функції на відрізку [ a; x ] справджуватимутьумови теореми Коші, і тому ( x), a x,щоf ( x) f( x) f( a) f ( ) .g( x) g( x) g( a) g ( )Оскільки lim ( x) a і f ( x) lim , тоx ax ag( x)f ( ) f ( x)lim limx a g( ) x ag( x)і, отже, існуєf ( x) f ( ) f ( x)lim lim lim .xa g( x) xa g( )x ag( x)