y - Uuooidata.org

Модуль 15. Повне дослідження функцій і побудова її графікаy3O3xРис. 15.1Навчальна3cos ,задача 15.2. Дослідити астроїду, задану рівняннями x a tі3y a sin tпобудувати її. Дослідження кривої, заданої параметричноx ( t), t T,y ( t),де функції та двічі диференційовні, провадять за схемою:1. Встановлюють можливі симетрії кривої.2. Визначають асимптоти кривої. А, саме, шукають такі значення t :або x , або y , або x , y .3. За допомогою першої похідної функції визначають інтервали монотонностіта точки екстремуму.4. За допомогою другої похідної функції визначають інтервали опуклостіфункції та точки перегину.5. Знаходять можливі точки перетину кривої з осями координат.6. Будують криву за встановленою інформацією.3 3Функції cos t та sin t означенні для будь-яких значень t . Але оскільки ціфункції періодичні з періодом 2 , досить розглянути проміжок t [0;2 ).Оскільки x [ a; a]та y [ a; a],то крива асимптот не має.Знайдімо2yt 3a sin t costy x( t) tg t.x2t 3a cos t sintЗвідси критичні точки 1-го порядку:y( t) 0 t 0, t ;Знайдімоx1 2 3y x( t) t3 , t4 .2 2( y ) ( ) ( tg t ) y 1 .x ( a cos t) 3a cos t sintx t2 tx 3 4t