Foundations of Data Science

Example of orthogonality when wavelets are of different scale.
∫ ∞
−∞
ψ(2x)ψ(x − k)dx =
Since φ(2x − 2k − j) = d−1 ∑
∫ ∞
−∞
Since d−1 ∑
j=0
l=0
∫ ∞
∑d−1
∑d−1
b i φ(4x − i) b j φ(2x − 2k − j)dx
−∞ i=0
j=0
∑d−1
∑d−1
∫ ∞
= b i b j φ(4x − i)φ(2x − 2k − j)dx
i=0
i=0
c l φ(4x − 4k − 2j − l)
∑d−1
∑d−1
∑d−1
∫ ∞
ψ(2x)ψ(x − k)dx =
b i b j c l ψ(4x − i)φ(4x − 4k − 2j − l)dx
c j b j−2k = 0, d−1 ∑
i=0
∫ ∞
−∞
i=0
j=0
l=0
−∞
−∞
∑d−1
∑d−1
∑d−1
=
b i b j c l δ(i − 4k − 2j − l)
i=0
j=0
l=0
∑d−1
∑d−1
= b i b j c i−4k−2j
i=0
j=0
b i c i−4k−2j = δ(j − 2k) Thus
∑d−1
ψ(2x)ψ(x − k)dx = b j δ(j − 2k) = 0.
Orthogonality of scale function with wavelet of different scale.
∫ ∞
−∞
φ(x)ψ(2x − k)dx =
∫ ∞
−∞ j=0
j=0
∑d−1
c j φ(2x − j)ψ(2x − k)dx
∑d−1
∫ ∞
= c j φ(2x − j)ψ(2x − k)dx
j=0
−∞
= 1 ∑d−1
∫ ∞
c j φ(y − j)ψ(y − k)dy
2
= 0
j=0
If ψ was of scale 2 j , φ would be expanded as a linear combination of φ of scale 2 j all of
which would be orthogonal to ψ.
−∞
369