Foundations of Data Science

Gaussian and related integrals
To verify
∞∫
−∞
∫
∫
∫ ∞
−∞
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
−∞
xe ax2 dx = 1
2a eax2
1
dx = 1 a 2 +x 2 a tan−1 x thus a
e − a2 x 2
2 dx =
√
2π
a
x 2 e −ax2 dx = 1
4a√ π
a
thus
∫∞
−∞
a
√
2π
1
a 2 +x 2 dx = π a
∫
∞
−∞
e − a2 x 2
2 dx = 1
x 2n e − x2
a 2 dx = √ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
π a 2n−1 = √ π (2n)! ( a 2n+1
2 n+1 n! 2)
x 2n+1 e − x2
a 2 dx = n!
2 a2n+2
e −x2 dx = √ π
e −x2 dx = √ π, consider
( ∞ ∫
−∞
e −x2 dx) 2
=
∞∫
∞∫
−∞ −∞
r cos θ and y = r sin θ. The Jacobian of this transformation of variables is
∣ ∂x ∂x
∣∣∣
J (r, θ) =
∂r ∂θ
∣ ∣ = cos θ − r sin θ
sin θ r cos θ ∣ = r
Thus,
∂y
∂r
∂y
∂θ
e −(x2 +y 2 ) dxdy. Let x =
⎛
⎝
∫ ∞
⎞
2
e −x2 dx⎠
=
∫ ∞
∫ ∞
∫∞
e −(x2 +y 2 ) dxdy =
∫ 2π
e −r2 J (r, θ) drdθ
−∞
−∞ −∞
∫ ∞ ∫ 2π
= e −r2 rdr dθ
0
0
0
= −2π
0
[ ] ∞
e −r2
2
0
= π
∞∫
Thus, e −x2 dx = √ π.
−∞
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