Matematyka 7

MATEMATYKA 

 

7

Ramowy rozkład materiału w klasie 8 

Lp. 

Rozdział 

Liczba 

godzin 

1. Pierwiastki 19 

2. Koło i okrąg 10 

3. Twierdzenie Pitagorasa 14 

4. Graniastosłupy 14 

5. Ostrosłupy 14 

6. Statystyka i prawdopodobieństwo 9 

7. Powtórzenie przed egzaminem po szkole podstawowej 24 

8. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 11 

9. Symetrie 13 

Razem 128

Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska 

MATEMATYKA 

Podręcznik 

7 

szkoła podstawowa

Anna Juchimiuk 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

801 220 555 

www.wsip.pl

. 

3 

Spis treści ................................. 

Wstęp ........................................... 5 

O podręczniku .................................. 6 

2016 

7 300 000 000 

Rozdział 1. Liczby .................................. 7 

1.1. Rzymski sposób zapisu liczb ................ 9 

1.2. Liczby pierwsze i złożone. 

Dzielenie z resztą ........................... 15 

1.3. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 

Ułamki okresowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.4. Zaokrąglanie liczb .......................... 32 

1.5. Własności działań ........................... 39 

1.6. Działania na ułamkach zwykłych 

i dziesiętnych ............................... 46 

1.7. Wyrażenia arytmetyczne i ich szacowanie . . . 54 

1.8. Odległości na osi liczbowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

Podsumowanie rozdziału 1. ................... 70 

Cena 

600,-ZŁ 

PROMOCJA! 

-25% 

Tylko teraz! 

Rozdział 2. Procenty ............................... 75 

2.1. Ułamki i procenty ........................... 77 

2.2. Obliczanie procentu danej liczby ........... 83 

2.3. Obliczanie, jakim procentem jednej 

liczby jest druga liczba ...................... 87 

2.4. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej 

procent .................................... 93 

2.5. Obliczenia procentowe ..................... 98 

2.6. Diagramy procentowe ...................... 106 


90° 

33° 

90° 

25° 

Rozdział 3. Trójkąty ................................ 119 

Kąty wokół nas – infografika ..................... 120 

3.1. Kąty ........................................ 123 

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów ............ 131 

Podsumowanie rozdziału 3. ................... 142

l 

a 

4 . 

(( 

x 

y 

)) 

Rozdział 4. Wyrażenia algebraiczne ............... 147 

4.1. Przykłady wyrażeń algebraicznych .......... 149 

4.2. Wartości liczbowe wyrażeń 

algebraicznych ............................. 156 

4.3. Redukcja wyrazów podobnych ............. 162 

4.4. Dodawanie i odejmowanie sum 

algebraicznych ............................. 168 

4.5. Mnożenie sum algebraicznych 

przez jednomiany ........................... 172 

4.6. Mnożenie sum algebraicznych .............. 176 


BATON 

NCZ 

CZEKO. 

BATON 

NC 

CZEKO. 

BATON CZEKO. 

SOK OWOC. 0,33L 3,20 

Do zapłaty PLN 

******** MIŁEGO DNIA ********* 

ZAPŁACONO GOTÓWKĄ 20,00 

RESZTA GOTÓWKA 8,70 

Sklep 

p"UD 

Dominika" ika 

"al. Jerozolimskie olim 

96, 

00-807 

07 Warszwa, Sklep "UD 

Dominika" 

11,30 0 

Rozdział 5. Równania .............................. 183 

Równania – infografika ........................... 184 

5.1. Przykłady równań ........................... 187 

5.2. Rozwiązywanie równań .................... 193 

5.3. Zadania tekstowe ........................... 198 

5.4. Wielkości wprost proporcjonalne ........... 204 

5.5. Przekształcanie wzorów ..................... 213 


Rozdział 6. Wielokąty .............................. 221 

Matematyka pod stopami – infografika .......... 222 

6.1. Kąty w wielokątach ......................... 225 

6.2. Pola wielokątów ............................ 237 

6.3. Figury w układzie współrzędnych ........... 251 


Rozdział 7. Potęgi .................................. 269 

7.1. Potęgi liczb całkowitych .................... 271 

7.2. Potęgi o wykładniku naturalnym ............ 277 

7.3. Mnożenie i dzielenie potęg 

o tej samej podstawie ...................... 281 

7.4. Potęga potęgi .............................. 286 

7.5. Mnożenie i dzielenie potęg 

o tym samym wykładniku ................... 290 

7.6. Notacja wykładnicza ........................ 295 

7.7. Działania na potęgach ...................... 301 

Notacja wykładnicza – infografika ................ 308 


Odpowiedzi .................................... 312

Wstęp 

Drodzy Uczniowie! 

- 

 

 

 

- 

 

 

- 

 

 

 

 

 

- 

- 

 

 

 

 

 

-

O podręczniku 

Podręcznik składa się z siedmiu rozdziałów, a każdy z nich – z kilku tematów. 

Inspirujące strony 

działowe opisują 

praktyczne zastosowanie 

matematyki. 

Z tego tematu dowiesz się 

to lista umiejętności, jakie 

zdobędziesz na lekcjach. 

Ważne informacje zostały 

zamieszczone w ramkach. 

Wybrane pojęcia są podane 

w języku angielskim. 

Przykłady rozwiązane 

krok po kroku pomagają 

w zrozumieniu problemu. 

Ćwiczenia umożliwiają 

samodzielny trening. 

Duża liczba ciekawych 

zadań, o bliskiej Ci tematyce, 

umożliwia wyćwiczenie 

wymaganych umiejętności. 

Podsumowanie, zawierające 

pytania i zadania różnych 

typów, pomaga powtórzyć 

i utrwalić opanowanie 

materiału. 

Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie rozwiązania zapisuj 

w zeszycie.

Cedrowa 

3 Trójkąty 

Dębowa 

33° 

90° 

90° 

25° 

Bukowa 

Eukaliptusowa 

Akacjowa 

W codziennym życiu na każdym kroku spotykamy się z kątami. Inżynierowie analizują 

kąty nachylenia dachów, kąty nachylenia dróg, kąty rozwarcia elementów konstrukcyjnych. 

Technicy zwracają uwagę na kąt wznoszenia się samolotu czy kąt widzenia 

pilota. Własności kątów wykorzystują również gracze w snookera, ponieważ chcą 

precyzyjnie trafić we właściwą kulę bilardową. 

• Wskaż po dwie pary ulic, które są położone względem siebie 

pod kątem ostrym, prostym i rozwartym. 

• Wyznacz miarę kąta, jaki tworzy ulica Bukowa z ulicą Cedrową. 

• Podaj miarę kąta skrętu samochodu zjeżdżającego z ulicy Akacjowej 

na ulicę Eukaliptusową (pamiętaj, że gdy kierowca wjeżdża na rondo, 

porusza się ruchem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Kąty wokół nas 

Dwie półproste o wspólnym początku dzielą płaszczyznę na dwie części. 

Każdą z tych części płaszczyzny wraz z półprostymi nazywamy kątem. 

C 

C 

A 

wierzchołek kąta 

A 

ramię kąta 

część płaszczyzny 

ramię kąta 

C 

B 

część płaszczyzny 

B 

A 

Oznaczenia kątów 

Półproste AB i AC wyznaczają kąt, który oznaczamy symbolem BAC lub CAB. Dla ustalenia, 

o który kąt chodzi, zaznaczamy go na rysunku łukiem. 

B 

90° 

kąt prosty 

kąt ostry 

 

180° 

kąt półpełny 

360° 

kąt pełny 

270° 

kąt 

2k wklęsły

122 

CZY PAMIETASZ? 

Zadanie 1. 15°50° 

125°170°. 

Zadanie 2. x. 

a) b) c) 

d) e) f) 

Zadanie 3. 

 

 

a)°° b)°° c)°° d)°° 

Zadanie 4. a. 

a) b) 

c) d) 

Zadanie 5. 

a) b) c) d) 

Zadanie 6. pq- 

Op 

xxx.

3.1 Kąty 

Z tego tematu dowiesz się: 

jak mogą być położone względem siebie dwie proste na płaszczyźnie, 

dlaczego kąty wierzchołkowe są równe, 

jak korzystać z równości kątów odpowiadających oraz kątów naprzemianległych, 

jak udowodnić twierdzenie o sumie kątów trójkąta. 

angle 

 

 

 

 

 

180° 360° 

0° 180° 

= 360° 

 

 

 

 

 

pq 

p q 

 

parallel lines

124 3. TRÓJKĄTY 

 

 

 

pq- 

p ⊥ q. 

 

perpendicular lines 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRZYKŁAD 1. 

 

Rozwiązanie: 

 

 

Lp. Uzasadnienie 

α + γ = 180° 

 

β + γ = 180° 

 

α + γ = β + γ 

α = β

3.1. Kąty 

125 

ĆWICZENIE 1. 

xyz 

 

 

 

 

 

PRZYKŁAD 2. 

kl mn 

abc. 

Rozwiązanie: 

b 

°b = 73 ° . 

dd 

b 

d = b = 73 ° . 

cd 

c = 180°− d = 180°− 73° = 107° 

 

ac 

a = c = 17 0 ° .


ĆWICZENIE 2. 

mn- 

. 

a) b) 

 

=''=''. 

SPRAWDŹ W INTERNECIE 

Dowiedz się, w jaki sposób współrzędne geograficzne są podawane przez 

urządzenia GPS, a w jaki – przez mapy internetowe. 

Odszukaj współrzędne geograficzne swojego miejsca zamieszkania i zapisz je: 

• tylko za pomocą stopni, z dokładnością do 4 miejsc po przecinku, 

• za pomocą stopni i minut (minuty zapisz z dokładnością do 2 miejsc po przecinku), 

• za pomocą stopni, minut i sekund. 

PRZYKŁAD 3. 

°. 

Rozwiązanie: 

α + β + γ = 180 ° . 

ABC.

3.1. Kąty 

127 

 


= ' ′ 

 

= ' ′ 

 

α′ + γ + β′ = 180° 

′ 

′ 

 

α + γ + β = 180° 

 

 

ĆWICZENIE 3. 

mnα + β + γ = 180 ° . 

ZADANIA 

1 

2 mna, b, c, d. 

a) b) 

3 mn 

a) b)


4 mnx. 

a) b) 

5 mn. 

a) b) 

6 

a) °, b) °. 

7 - 

 

m- 

- 

 

= 28° 

. 

 

 

 

 

8 -

3.1. Kąty 

129 

9 

 

 

10 

a) °, b) °. 

11 

a) 42° 30′ 

b) 63° 12′. 

12 

60°60°. 

13 

°α + γ + β = 360 ° . 

14 α + γ = β. 

15 α + β = γ.


CZY JUŻ POTRAFISZ? 

Rysunek do zadań 1. i 2. 

1 

A. a = g 

B. b = h 

C. c = h 

D. d = f 

2 

A. b + d = 180 ° 

B. a + c + e + g = 360° 

C. h + b + c = 180 ° 

D. a + c + f + h = 360 ° 

3 

4 

A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 

5 mn 

6 mnabc.

3.2 

Trójkąty. Przystawanie 

trójkątów 


jak skonstruować trójkąt o bokach podanej długości, 

jakie są cechy przystawania trójkątów, 

jakie własności ma trójkąt równoramienny, 

jak znajdować najdłuższy i najkrótszy bok trójkąta o danych kątach, 

jak znajdować największy i najmniejszy kąt trójkąta o danych bokach, 

jak przeprowadzać proste dowody geometryczne. 

ABC AB + BC 

AC 

AB AB. 

ABC AB + BC = AC 

BAC 

PRZYKŁAD 1. 

ABC AB = 72 BC = 49 

AC = 12, 1 

Rozwiązanie: 

AB + BC = 72 mm + 49 mm = 121 mm = 12, 1 cm 

AB + BC = AC ABC 

BAC 

ĆWICZENIE 1. 

KLM KL = LM = 

KM =


 

 

 

a + b c 

a + c b 

b + c a 

PRZYKŁAD 2. 

 

Rozwiązanie: 

 

 

6 + 5 4 

6 + 4 5 

5 + 4 6 

Konstrukcje 

geometryczne 

wykonujemy 

tylko za pomocą 

cyrkla i linijki bez 

podziałki. 

 

 

 

 

 

 

 

 

ĆWICZENIE 2. 

 

 

 

- 

 

 

congruent figures

3.2. Trójkąty. Przystawanie trójkątów 

133 

 

 

 

 

 

 

 

- 

 

PRZYKŁAD 3. 

 

a) 

Rozwiązanie: 

AB = LK = 45 , AC = MK = 36 , CB = LM = 42 , 

ABCKLM


b) 

Rozwiązanie: 

DF = NO = DE = NP = EDF 

= ONP 

= 78° 

DEFNOP 

 

 

c) 

Rozwiązanie: 

GI = RT = GIH 

= STR 

= 71° 

IGH 

= SRT 

= 61° 

GHIRST 

- 

 

ĆWICZENIE 3. 

 

 

 

a) 

b)


135 

c) 

 

 

 

PRZYKŁAD 4. 

 

Rozwiązanie: 

ABCACBC 

- 

α = β. 

D 

AB CD. 

 


AC = BC 

ACBCABC 

 

AD = DB 

DAB. 

 

 

 

ACDBCD 

ACDBCD 

 

α = β 

 

CD


ACDBCD 

D 

ABC 

CDACB 

ACDDCB; 

CDAB. 

 

ĆWICZENIE 4. 

 

a) b) 

 

 

 

PRZYKŁAD 5. 

 

Rozwiązanie: 

ABCBAC ABC 

- 

a = b. 

CD 

 

C


137 

 


DAC 

= CBD 

ABC 

CDA 

= BDC 

= 90° 

CDABC. 

ACD 

= DCB 

 

ACD 

BCD 

 

 

 

CD 

ACDBCD 

ACDBCD 

 

 

 

a = b 

 

 

 

ĆWICZENIE 5. 

 

a) b) 

 

 

• 

 

• 

 

PRZYKŁAD 6. 

ABC


Rozwiązanie: 

 

a)ABCAC- 

 

ABCABCAB 

- 

ACB 

b)ABC65°° 

( ) = °65°BAC 

180°− 65°+ 55° 

60 

BC- 

°ABC AC 

 

ĆWICZENIE 6. 

 

a) 

b) 

ZADANIA 

1 ABC AB = BC = 

CA = 

2 

 

3 

a) b)


139 

4 

 

 

a) b) 

5 xy. 

6 ABC ( AC = BC )AB 

A53°KLM 

KLM 

74°ABCKLM 

7 

A. 56° , 64 ° B. 57° , 66° 

C. 59° , 69° 

D. 59° , 61° 

8 ABCBAC = 73° 

ABC = 52° 

 

 

9 ABC AB = 9 cm BC = 12 cm AC = 11 cm 

 

10 ABCDABAB 

CDDACACD 

 

11 ABCCDC 

ABBAC = 53° 

BDC = 122° 

 

ADC


12 

 

 

13 ABC 

CDx. 

14 ABC 

CDα = β. 

15 kl 

AP = PB CP = PD . 

16 ABCBCP 

AP + BC AB + AC . 

17 ABC - 

ABK 

BLC 

AL = CK . 

18 ABCPAPB - 

ACB.


141 


1 

 

A. B. 

C. D. 

2 

 

A. B. 

C. 

D. 

3 ABC 

AC = BC ACB = 38° 

- 

ADx. 

4 ABCKLM BK = BM CK = CL 

AM = AL KLM. 

5 ABCDABCABD

142 

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU 3 

Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć 

na poniższe pytania. 

Jakie własności mają kąty wierzchołkowe? 

Jak mogą być położone względem siebie dwie proste na płaszczyźnie? 

Co to są kąty odpowiadające? 

Co to są kąty naprzemianległe? 

Co to jest nierówność trójkąta? 

Jak skonstruować trójkąt, gdy dane są trzy jego boki? 

Jakie są cechy przystawania trójkątów? 

Jakie własności ma trójkąt równoramienny? 

Jaki kąt znajduje się naprzeciwko najdłuższego boku trójkąta? 

Jaki bok znajduje się naprzeciwko najmniejszgo kąta trójkąta? 

W zadaniach 1.–4. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe. 

1 

 

A. 83° B. 90° C. 93° D. 97° 

2 

 

A. 150° B. 160° C. 200° D. 210° 

3 

A. 160° B. 140° C. 135° D. 120° 

4 

A. 74° i 41° 

B. 113° i 55 ° C. 63° i 2 ° 

D. 67° i 22°

143 

5 

A. 

 

B. 

C. 

 

D. 

 

6 

I. PRAWDA / FAŁSZ 

II. 

 

III. 

 

IV. 

 

PRAWDA / FAŁSZ 



7 

8 

 

9 mnabc

144 

10 DB 

115°C95° 

A 

11 ABCABBCCA 

 

12 - 

 

13 x x + 36° 

2x 

 

14 ABC48°74°KLM – 58°48° 

ABC 

KLM 

15 ABCDABDBC 

ACBC 

16 ABC AC = BC 

ADBE AD = BE 

17

145 

18 ABCCDE 

BCDACE 

19 ABC AC = BC - 

ADβ = 2α 

20 ABCKLM BK = BM CK = CL 

AM = AL α + 2β 

= 180° 

 

21

146 

22 ABCKLM 

 

23 ABCKLM 

AC ABBCKLM 

AK = BL = CM

4 

Wyrażenia 

algebraiczne 

Pomyśl swój numer buta 

w numeracji dwucyfrowej 

i pomnóż go przez 4. 

Do wyniku dodaj 40, 

a następnie otrzymany 

wynik pomnóż przez 25. 

Dodaj aktualny rok 

i odejmij 1000, a potem 

odejmij swój rok 

urodzenia. Otrzymasz 

czterocyfrową liczbę, 

w której pierwsze dwie 

cyfry tworzą numer 

twojego buta, a kolejne 

dwie tworzą liczbę 

określającą twój wiek. 

(( 

x 

y 

)) 

Czy to czary?

148 

CZY PAMIETASZ? 

Zadanie 1. W pewnej klasie jest x dziewczynek i y 

: 

a) 

b) 1 3 

c) 

Zadanie 2. 

a)x b)x 

c)x d)x 

Zadanie 3. 

a) x + b) x c)x d) x : 

Zadanie 4. 

a) 2⋅ + 3 = 5 b) 1 

= 0 c) 2⋅4 − 0⋅ = 8 d) :1= 

1 

Zadanie 5. 

 

Zadanie 6. 

 

1. 2. 3. 4. 

a) 

b) 

c)

4.1 

Przykłady wyrażeń 

algebraicznych 


czym są wyrażenia algebraiczne, 

jak odczytywać i zapisywać wyrażenia algebraiczne, 

jak zapisywać wyrażenia algebraiczne opisujące sytuacje przedstawione w zadaniu. 

 

 

3a + 5bxya − b 3 ( x − y) 

 

3x 

+ 2y 

 

algebraic expression 

a i b a + b 

b 

3 − b 

a 

⋅ aa 

a i b 

a 

, b ≠ 0 

b 

a 

1 

3 ⋅ a 1 3 a 

a i b 2 ⋅ ( a + b) 

2( a + b) 

a 02 , ⋅ a0, 2a 

a ( 3a) 

2 

b b 3 

 

3 · aax · y − xy 

 

ab i c ab ( − c) 

ac i d a :( a 

c − d ) lub c d 

c d 

, ≠ 

− 

a i b ( a + b) 

a i b a + b 

 

2

150 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 

PRZYKŁAD 1. 

: 

a) a 

b) b 

c)b 

d) ab 

e) ab 

f) a i b 

Rozwiązanie: 

a)3 i a3 ⋅ a 

b)b 1 b i b 

2 

i 1 2 b czyli 5 ⋅ 

1 b 

2 

250 

c) 250% = = 2, 5 b25 , ⋅ b 

100 

d)a 1 2 ab1 3 ba 

i b 1 2 a i 1 3 b1 1 

a ⋅ b 

2 3 

e)a i b 

3a i b 3a : b. 

f) a i b ( a − b) 

 

( a − b) 

2 

ĆWICZENIE 1. 

: 

a) b 

b) a b 

c) zk 

d) kl 

e) m i n 

f) b 

g) d 

h) p 

PRZYKŁAD 2. 

 

a) x + y 

b) 3x 

⋅ 2z 

c) 1 x − 

5 

5 

d) 4( d − f) 

e) 

f) x − y 

2 

z 

x+ 

y 

1 

2 

y

4.1. Przykłady wyrażeń algebraicznych 

151 

Rozwiązanie: 

a)xy. 

b)xz 

c)xy 

d)d i f 

e)z 

f) x i y 

ĆWICZENIE 2. 

 

a) g 4 

3 3 

b) a − b 

c) ( a − b) 

3 

d) x + 01 , x 

PRZYKŁAD 3. 

- 

xy 

Rozwiązanie: 

3⋅ x = 3x⋅ y = y 

: 3x 

+ 2y 

ĆWICZENIE 3. 

- 

- 

xy- 

 

 

CENA 

3 zł 

CD 

CENA 

5 zł 

DVD 

ZADANIA 

1 : 

a) ab b) c i 3d 

c) ef d) g i h 

e) c f) d 

2 

a) 2x 

+ 3y 

b) 1 1 

x − y c) 7( a + b + c) 

d) x+ y 

2 3 

 

3 : 

a) a 

b) ab i c 

c) a 

d) ab i c


4 Niech k: 

a) k 

b) 

c) 

5 Niech k: 

a) b) 

c) d) 

6 n: 

a) n 

b) n 

c) n 

d) n 

7 n 

a) 

b) 

c) 

 

 

8 x 

y 

 

 

9 

a) b) 

10 x 

 

11 x 

 

12 

a) ab 

b) cd 

c) x y 

d) z


153 

13 

x y 

 

 

14 x 

 

 

15 x 

- 

 

CENA 

x zł 

16 

y 

 

 

17 x 

y 

 

 

 

18 ab 

i c 

 

19 

 

 

a) 

n 

b) 

n 

c) - 

 

20 x 

 

 

21 y

24 

 


22 m- 

 

23 

 

25 

- 

 

26 : 

a) xy 

b) x 

 

c) xy 

27 

1. 2. 3. 4. 5. 

- 

n 

28 - 

 

k 

a) 

b) 

c)


155 

29 

 

I II III 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) n 

 


1 xy- 

 

2 

2 

1 2 1 

A. ( x y 

2 ) + B. ( x + y 

2 ) C. 1 

2 2 

x+ 

y 

x + y D. 

2 

( 

 

) 

2 n 

 

 

A. n 

B. n 

C. n 

D. n 

3 

 

4 xy 

 

 

5 xyz-

4.2 

Wartości liczbowe 

wyrażeń algebraicznych 


jak obliczać wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych. 

PRZYKŁAD 1. 

n 

 

 

Rozwiązanie: 

n( 1420 ⋅ n) 

 

n( 1420n + 475) 

 

( 1420 ⋅ 10 + 475) 

= 

 

ĆWICZENIE 1. 

n 

i m 

 

A 

- 

 

 

numerical value 

PRZYKŁAD 2. 

− 2x + 3dla: 

a) x = 3 b) x =−1 

Rozwiązanie: 

a) x = 3 − 2x + 3 jest równa −2⋅ 3 + 3 = − 6 + 3 = −3 

b) x =−1 − 2x + 3 jest równa −2⋅ ( −1) + 3 = 2 + 3 = 5 

ĆWICZENIE 2. 

 

a) 3x − 2 dla x = 4 b) 7 − 9x dla x =−3 

2 

c) x + 3x 

+ 1 dla x =− d) 3 − 2 x 

3 + x 

dla x = 42 ,

4.2. Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych 

157 

PRZYKŁAD 3. 

- 

x =y = 

Rozwiązanie: 

O = x + y + y + x +y + x + x) + x + x + y 

O = 3 +++ 3 ++ 3 + 3) + 3 + 3 + 

O = 

Zaczynamy od górnego boku figury 

i przesuwamy się w prawo. 

W miejsce x i y wstawiamy podane liczby. 

ĆWICZENIE 3. 

 

a =b =c = 

PRZYKŁAD 4. 

2( x − 1) + 3( y + 2) 

dla x =−3 i y = 2 1 3 

Rozwiązanie: 

2( x − 1) + 3( y + 2) 

 

( ) = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ = − + = 

1 

1 

2( −3 − 1) + 3 2 + 2 ( ) 

3 

3 

= 1 13 

2 4 3 4 8 3 8 13 5 

3 

1 

ĆWICZENIE 4. 

 

a) x − 2( y + 1) dla x = i y =−1 

b) ( x + 3)( y + 0, 5 ) dla x =−32 , i y = 2 1 2 

c) 5 x 

2 + y 

dla x =− i y = 25 , 

−x 

2 2 2 

d) x − y + 3z 

dla x = 1y =−1 i z = 

2 

( − 1) 

= 1 

3 

( − 1) 

= −1 

PRZYKŁAD 5. 

 

a) 

n 

b) 

Rozwiązanie: 

a) nn45n − 20 

b) 

45 ⋅5 − 20 = 205


ĆWICZENIE 5. 

P: 

 

x 

ZADANIA 

1 

a) 2x + 1 dla x = b) − 3x + 5 dla x =− 

1 

c) 5 4 

2 − x dla x = 1 1 

d) 3 −2 

− 

2 

( x 

3) 

dla x =−2 1 3 

2 x =− 

2 

A. 7x + 5 

B. 2, 5x + 2x 

C. − 1 

x 

2 

+ 6 

D. x + 1 

x 

x −1 

3 

a) 2x 

+ 7, 5y 

− 2 dla x = 3 i y = 4 b) x+ y dla x =− i y = 11 

 

c) 4( x − 2y) 

dla x = 15 , i y = 1 d) x 3 

+ dla x = 2 4 2 y 

5 i y = 2 5 

4 

 

2 

a) x + x + dla x = 4 b) ( 2x 

+ 1)( − 3y 

+ 2) 

dla x =−1 i y =−1 

c) x 

y 

3 2 2 3 

+ dla x =− i y = 3 d) xy + xy dla x =− i y = 1 

y 

x 

5 

a) P = P = a 

b) P = P = ah 

a = 2 1 2 

a = 82 , 

h = 3 

c) P = P = ef 

d) P = P = ( a+ 

b) 

h 

2 

e = 41 , a = 1 2 

f = 02 , b = 4 1 3 

h = 3 

6 : 

a) tt =− 

b) x i yx =−1 i y = 25 ,


159 

7 

 

a i b 

a) b) 

a = 111 i b = 39 a = 39 , i b = 61 , 

8 

 

a) b) 

h = x = 10 

9 abc. 

 

dla a = b = 32 , i c = 31 , 

10 

ab i 4ca = 22 , b = 3 i c = 2 1 3 

11 - 

kot 

otooko 

12 

a) 

n 

b) 

13 

 

a) x 

 

b) 

 

14 - 

 

a) 

b) x


15 Bartek pokonuje pieszo dystans x 

 

a) 

 

b) x = 4 

16 

9 5 

a) 

 

b) 

17 - 

l 

t 

 

a) 

b) 

 

18 : 

x 

 

 

 

x = 

19 

abcd 

a) b) c) 

II. a − ( b + c) 

II. a − b − c 

II. a − ( b − c) 

II. a − b + c 

20 

II. a − b + c − d 

II. a + c − ( b + d) 

Szus 

wypożyczalnia nart 

30 zł – za pierwszą godzinę 

12 zł – za każdą następną 

Slalom 

wypożyczalnia nart 

35 zł – za pierwszą godzinę 

10 zł – za każdą następną 

a) x 

b)


161 

21 

1 + a 

2 

23 : 

a) 

b) k 

c) 


1 x =− 

 

A. x + x + x + x + x 

B. x − ( x + 5 ) 

2 

1 

C. x + 3x 

− 5 

D. − ( x − 3) 

2 

x + 

2 

y 

x− 

y 

dla x = i y =−3 

A. –1 B. C. D. 1 

3 x = 

 

A. 1001 ⋅( 101 − x ) 

B. 2 ⋅( 102 − x ) 

C. ( x + 102)( x −102 ) 

D. 3x 

− 304 + x 

4 nn ( − 3) 

n 

2 

: 

22 - 

 

 

liczy xx 

5 xy 

- 

 

x =y =

4.3 

Redukcja wyrazów 

podobnych 


czym są jednomian i suma algebraiczna, 

co to jest współczynnik liczbowy jednomianu, 

jak przedstawiać jednomiany w postaci uporządkowanej, 

jak rozpoznawać jednomiany (wyrazy) podobne, 

jak redukować wyrazy podobne. 

Jednomian 

 

1; 2b; a ⋅ 2; 3xy ⋅ 2; 05 , z; x 

L 

 

monomial 

coefficient 

PRZYKŁAD 1. 

W 

1 2 3 

− 2b + x + y − x y + 3 

2 

Rozwiązanie: 

: −2b1x 1 2 y−1 x 2 y 3 3 

Współczynnik 1 w zapisie 

jednomianu pomijamy. 

1⋅ x = x 

 

ĆWICZENIE 1. 

 

2x − c 

1 2 

− x + 4xy 

− 5 

2 

13 , a − 5ab + a 3 − b + 2 

M

4.3. Redukcja wyrazów podobnych 

163 

PRZYKŁAD 2. 

 

a) a ⋅ b b) 2a 

⋅ 5b 

c) 9b⋅2a ⋅( −2a) d) −4ba 

⋅15 , a 

2 

Rozwiązanie: 

a) a⋅ b = a⋅⋅ b = ⋅a⋅ b = ab 

b) 2a⋅ 5b = 2⋅a⋅5⋅ b = 2⋅5⋅a⋅ b = 10ab 

c) 9b⋅2a⋅( − 2a) = 9⋅b⋅2⋅a⋅( −2) 

⋅ a = 

= 9⋅2⋅( −2) ⋅a⋅a⋅ b = −36a 2 b 

2 2 

d) −4ba ⋅ 15 , a = −4⋅b ⋅a ⋅15 

, ⋅ a = 

2 3 

=−4⋅15 , ⋅a⋅a ⋅ b =−6a b 

Mnożymy wszystkie współczynniki 

liczbowe jednomianu, zwracając 

uwagę na ich znaki. Zmienne 

zapisujemy w postaci potęgi. 

2 3 

a⋅ a = a⋅ a⋅ a = a 

ĆWICZENIE 2. 

 

a) 3t 

⋅ 2s 

b) 9a ⋅( −b) ⋅4 1 a c) tat ⋅ar ⋅ ak d) −05 , s ⋅m⋅16 

, m 

2 

PRZYKŁAD 3. 

 

a) −8 2 

x ⋅ 9 y 

b) 5 2 6 3 2 

x y ⋅ x y 

6 

2 

10x 

Rozwiązanie: 

a) − 4 2 

8 ⋅ 9 

= − 2 

4 ⋅ 3 

x y x 9 y 2 

=−12x y 

63 

31 

b) 5 1 2 

1 

6 3 2 

x y⋅ 

x y 

2 

10x 

1 

2 

3 3 3 3 3 

6 x y 3x y 

= = = 

21 

1 

3 3 

3x y 

ĆWICZENIE 3. 

 

a) 2 2 

x y ⋅− ( 15 x) 

b) 6 3 5 3 

ab⋅ 

ab 

10 

2 

15b 

 

 

- 

 

3abc 2 3 i 2cab 

3 2 

 

a bi a b 

b


PRZYKŁAD 4. 

W 

x xx x 3 x 

 

1 

2 x 3x ⋅ x −x ⋅ x ⋅ x 

Rozwiązanie: 

: 

• x: xx 1 2 x 

• x: x x x · x 

• x: x 3 x · x · x 

ĆWICZENIE 4. 

7 2 ab 

ab 14ba 2 

2 

−3, 5ab −ab 09 , ab 2 2 ba −a 1 1 2 

ab 

6 

S- 

 

 

2 2 

1+ 2b + ( − a) + 3xy + ( − x) 

= 1+ 2b − a + 3xy − x 

 

algebraic sum 

 

 

 

 

PRZYKŁAD 5. 

 

a) 2a 

+ 3a 

b) − 3a + a 

Rozwiązanie: 

a) 2a + 3a = ( 2 + 3) 

a = 5a 

b) − 3a + a = ( − 3+ 1) 

a = −2a 

Odejmowanie to dodawanie 

z przeciwnym znakiem: 

a− b= 

a+ ( −b). 

Przy dodawaniu jednomianów 

podobnych wystarczy dodać ich 

współczynniki liczbowe. 

ĆWICZENIE 5. 

 

a) x + x + x + x 

b) 3x − 6x + x + 2x 

1 

c) − 2x + x + x − 4, 5x 

3 

d) − x + 07 , x + 5 

PRZYKŁAD 6. 

 

a) 3a + 2b − 7a 

2 2 2 

b) a − 5a + 7a − 6 + a − a + 2


165 

Rozwiązanie: 

a) 3a + 2b− 7a = − 4a + 2b 

2 2 2 2 

b) a − 5a+ 7a − 6 + a − a+ 2 = 9a − 6a 

− 4 

Dla ułatwienia jednomiany podobne 

oznaczamy w taki sam sposób. 

ĆWICZENIE 6. 

 

a) 12m + 3n + 6m − n 

b) − 7x + 6y − 4 − x + y + 12 

2 2 

2 2 

c) 6x − x + 12x + x − 2x 

d) 2xy + 4x y − 5xy − 3x y + 3xy 

ZADANIA 

1 

2 

2 1 1 2 3 

a) 2x − 3xy + y + 2xy 

− 1 

b) − ab c + xyz − 41 ac − x y + b 

2 3 

2 

2 

a) 2a ⋅ 3 

b) a ⋅a ⋅ a 

c) −8a 

⋅3a 

2 2 

d) ab ⋅ a 

e) pb ⋅rb ⋅ sb 

f) −mn⋅( −m) 

⋅n 

g) ( −rst) ⋅( −rt) 

⋅ s h) 3ab 

⋅ 2a 

i) −5a ⋅4b⋅0, 

5a 

3 

 

a) a⋅b ⋅a⋅b 

( ) ⋅ ⋅ ⋅ 

b) 2x⋅ y ⋅ x ⋅3y 

1 

3 2 

c) − wd dw 04 , w ds 

d) 5 ⋅c ⋅d ⋅d 

4 

2 1 

2 1 

e) 34 , ab ⋅a ⋅b 

⋅ 4 

f) −rt⋅6t ⋅ −rt ⋅ s 

2 

2 ( ) 

4 

a) 4 y⋅ 

3 x 

b) 6 x⋅( − 2 x) 

c) 3 2 

xy ⋅ 10 xy 

2 

−4 

5y 

5 3ab 

2 

6 

a) 4x 

− 7 − 5x 

+ 3 

2 1 

b) 2y + 11x − 21 , − 2 y − x + 8 y −19 

, 

3 3 

2 2 

c) x + 8x − 9 − 34x − x + 3 

3 2 2 3 

d) 9 + 5x − 9x + 9x − 6 − 3x − x + x 

e) 2x − 4y + 9xy − 4 − 6y − 7x + yx 

1 1 

f) pq + 2q p − 6 qp + pq −8pq 

2 6 

2 2 

2 

d) −15 ⋅3 ⋅2 

2 

, xy x y 

2xy


7 

 

a) 099 2 1 

, x + x + 201 , x 2 − 8x 

+ 5x = 4 

4 

4 

b) − xy + 65 , x + y + 7y −85 

, xx = 1 3 

2 i y = 15 , 

8 

 

 

 

x x ? 

? 3x ? 

? x ? 

9 

 

a) b) 

2 2 2 2 

10 5 − 5b + 3a − a + 3b 

 

Ania: 5 − 5b 2 + 3a 2 − a 2 + 3b 2 = b 2 + 3 + 3b 2 = 3 + 4b 

2 

2 2 2 2 2 2 2 2 

: 5 − 5b + 3a − a + 3b = 5 − 8b + 2a = 2a − 8b 

+ 5 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 

: 5 − 5b + 3a − a + 3b = 5 − 2a b − 2a b = − 4a b + 5 

- 

 

11 

a) aa 

b) aa 

13 ♣♦♠ 

2 

9x + 2x + 9y 

+ ♣ + ♦ + ♠3x − y 

12 - 

4x − 9 

14 

-


167 

15 

3x + 3 

x 

1 18 35 18 18 18 

16 2 10 

6 

⋅ 19 

+ 6 

⋅ 19 

+ 19 

+ ⋅ 19 

 


1 

2 

− 3x 

+ 7x 

−12 

A. 

B. 3x x i 

C. 3x x 

D. 

( ) 

7 2 5 

2 − ab⋅c⋅ − ca 

11 

7 

 

A. 5 3 

abc B. 5 3 2 

abc C. − 35 2 

abc D. 35 3 

abc 

11 

11 

77 

77 

3 

 

A. 5x 2 + x + 7 + x 2 − x + 9 = 5x 

2 + 16 

2 2 2 

B. − 2x + 4x + 3x − x = − x + 3x 

2 2 2 

C. 5xy + x y + xy + 3yx − 2xy = 4xy + 4x y 

D. xy − y = x 

4 ••nej 

4x 

+ 8x 

− 2 + • + • + 

2 

2 

5x 

− 16x 

+ 2 

5 

14ab − 2b + 9a + a − 10ab + 2b 

dla a = 3 i b = 05 ,

4.4 

Dodawanie i odejmowanie 

sum algebraicznych 


jak opuszczać nawiasy w wyrażeniach algebraicznych, 

jak dodawać i odejmować sumy algebraiczne. 

PRZYKŁAD 1. 

 

a) ( 3x 

− 1) 

+ y 

b) 7x 

+ ( − 3+ 

2y) 

c) −( 3x − 1) 

+ y d) 4 − ( − 2x 

+ 5y) 

Rozwiązanie: 

a) ( 3x − 1) 

+ y = 3x − 1+ y 

Przed nawiasem nie ma żadnego znaku. 

b) 7x + ( − 3+ 2y) = 7x − 3+ 

2y 

Przed nawiasem jest znak „+”. 

c) −( 3x − 1) 

+ y = − 3x + 1+ 

y Przed nawiasem jest znak „–”, a więc zamiast 3x 

piszemy –3x, a zamiast –1 piszemy +1. 

d) 4 − ( − 2x + 5y) 

= 4 + 2x − 5y Przed nawiasem jest znak „–”, a więc zamiast –2x 

piszemy +2x, a zamiast +5y piszemy –5y. 

J 

 

 

 

ĆWICZENIE 1. 

 

a) ( 2x 

+ 5y) 

+ 4 

b) 5y 

+ ( −4x 

− 9) 

c) − ( 3+ 2y) 

+ 7x d) 5y 

− ( −4x 

− 9) 

ZADANIA 

1 

a) ( 2x + y) − ( xy + 1) 

b) ( −a − 2b) + ( − c + 2 ) 

c) − 4x + 5z − ( 1− 

2xz) d) a − 65 , b + ( −2c 

− 6) 

e) − ( x + 2y) + ( 4 − z) 

f) −− ( a + b) −( − 8 + ab)

4.4. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 

169 

2 

 

a) ( 17 − 2ab + 3b) − ( 3a − 8 + 4b ) 

b) 23 − ( 4a + b) + ( a + 12b 

+ 2) 

2 2 

c) −( 3s −13r) − ( 3r + s) 

−12r d) 12 + ( n − 2n) − ( − 6n + 4n 

) 

3 3 

2 2 

e) ( x − 5) + ( 4 − 5x 

) 

f) − ( x + 2xy) + ( − 3xy + x y) 

3 

( ( )) 

( ( )) 

a) − a − a + ( 2a 

− 3 ) 

b) mn − mn + 2 − ( − mn + 4) 

4 

3 3 2 

a) ( −2x − 3) − ( −2x − 3x − 2x − 3) 

dla x = 1 

( ) ( ) + − − − 

7 2 1 

1 2 1 

b) − x + 5x − 9 3x 3 x 9 dla x =− 

8 

3 

8 3 

5 5ab + 7a −8b 

−11 

3 2 

6 5x − 4x + 7x 

 

7 4x 

− 5x 

+ 9 

2 

− 6x + x − 2 

8 2a 

+ 4a−a 

− 

2 2 

9 − 3x + 2xy + 2y 2x − 4xy − 6y 

 

 

2 

2 

2 2 

10 P = 5x − 3yQ = 3x + 7y 

− 2R =− 4x + 11y 

+ 3- 

 

a) P + Q − R 

b) P − ( Q + R) 

11 III 

4x − 5 

1 

x + 0,5 

2 

I 

2x − 4 

II 

x + 2 

12


13 

 

14 - 

 

15 dfd 

f 

 

16 n 

 

17 

2 

( x + 2x 

+ 3) 

 

2 

( 2x − 5) 

 

( 5x + 1) 

( 7x + 4) 

 

 

 

18 xy lat 

 

 

19 x 

 

20 x-

4.4. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 

171 

21 

? 

? a +b – c –3a – b + 3c 

? 4a + 3b +c ? 

? a + b +c ? 

22 - 

 


1 

−( 2y − 3x + 5) 

 

A. −2y − 3x + 5 

B. −2y 

− 3x 

− 5 

C. 2y 

+ 3x 

− 5 

D. − 2y 

+ 3x 

− 5 

2 

3 3 

( 2a + 6 − 3a) − ( − 2a + a − 7) 

 

3 

A. a − a + 13 

B. 3a 

− a −1 

3 

C. 3a 

− 5a 

− 1 

D. a − 5a 

+ 13 

3 

3 

3 - 

125 − 14x 

4 3x − ( − 4x + 2) + ( −6x 

− 1) + 3 dla 

x = 123 456 

5 x + y + 

2x 

+ 2y 

+ 10

4.5 

Mnożenie sum 

algebraicznych przez 

jednomiany 


jak mnożyć sumę algebraiczną przez jednomian. 

m- 

 

 

a⋅ ( b + c) = a ⋅b + a ⋅c 

a⋅ ( b − c) = a⋅b − a⋅c 

PRZYKŁAD 1. 

W 

a) 7( 2a + 3) 

b) −5( 3x − 2y ) c) − ba ( + 2b) 

Rozwiązanie: 

a) 7( 2a + 3) = 7⋅ ( 2a + 3) 

= 7⋅2a + 7⋅ 3 = 14a 

+ 21 

b) −5( 3x − 2y) = −5⋅ ( 3x − 2y) = ( −5) ⋅3x − ( −5) 

⋅ 2y = − 15x + 10y 

c) −b( a + 2b) = −b⋅ ( a + 2b) = −b⋅a + ( −b) 

⋅ 2b = −ab − 2b 

2 

ĆWICZENIE 1. 

W 

a) 11( 2x + 3) 

b) −2a( 5 − a) c) − 93 ( m + 3n ) d) x( 3x − 7y) 

PRZYKŁAD 2. 

 

2 2 

a) −5( 3x − 2y + 5xy + y ) 

b) 3b( 2a − 6ab − 5b + 2ab) 

Rozwiązanie: 

a) −5( 3x − 2y + 5xy + y) = −5( 3x − y + 5xy) 

= 

= −5⋅3x − ( −5) ⋅ y + ( −5) 

⋅ 5xy = − 15x + 5y − 25xy 

2 2 2 

2 

b) 3b( 2a − 6ab − 5b + 2ab) = 3b( 2a − 4ab 

− 5b 

) = 

2 2 2 2 3 

= 3b⋅2a − 3b⋅4ab − 3b⋅ 5b = 6a b −12ab −15b 

Na początku wykonujemy 

redukcję wyrazów 

podobnych, a potem 

mnożenie.

4.5. Mnożenie sum algebraicznych przez jednomiany 

173 

ĆWICZENIE 2. 

 

2 

a) − 93 ( m + 5m − 7mn + m ) 

2 2 

b) x( 3xy − 2x + 3y 2 

+ x ) 

2 2 2 

c) 3aa ( + 2b− b + 2a 

) 

d) xy( x + y + 2xy + 2y 2 − y) 

PRZYKŁAD 3. 

W 

Rozwiązanie: 

n 

n + 1n + : 

n + ( n + 1) + ( n + 2) = n + n + 1+ n + 2 = 3n + 3 = 3( n + 1) 

 

 

- 

 

ĆWICZENIE 3. 

W 

ZADANIA 

1 −4a( 2a 

− 3) 

2 

A. −8a −12a B. − 8a + 12 C. − 8a + 12a D. −8a 

− 3 

2 2xx 

( + 3) − ( x+ 3) 

 

A. ( x + 3)( 2x 

−1 ) B. ( x − 3)( 2x 

−1 ) C. ( x + 32 ) x D. ( x + 3)( 2x 

+ 1) 

3 

a) −5( 2x − 7) 

b) 2a( 3ab − 5b) 

c) 11m( 3 + 3n) 

d) x( 3x + 5x 

2 ) 

4 

a) 12( x + 3) − 5( 4 − 3x) 

b) − 7a( 2a + b) − 3b( 2 + 3a) 

c) 5mm ( − 2) + 3n( 2 − n) 

5 

 

2 

a) 9( 3a + 5a) −15a( 3 − 6a) 

a =− 1 3 

b) 4a( 3b − 6) − 2b( 6a 

+ 1) 

a =− 1 4 b = 1 2 

2 

2


6 

2 

2 

a) 3( x − 3x 

+ 5) 

b) − 2a( 3a + 5a 

− 3) 

c) − bb ( + a+ 

1 ) 

d) −3xx 

( − 2x+ 

1) 

2 

e) 3a( 2a − 2ab + 5b − 3a) 

f) −3x( 2y − 2y + 2y x + y ) 

7 

2 2 

a) 6a( 3b + 3a + 2b − b ) − 2b( 9a + 3ab + 4b) 

2 2 2 

b) −8x( 3y − 6xy + 9y ) + 6y( 4x − 7x y + 12xy) 

8 

2 

2 2 2 

a) 10 ( 3 x+ 2 ) 6x 

−18 

+ b) 2 15 ( 2 x − 1 ) 8−12x 

⋅ − 

5 3 

3 4 

3x−6 

6−18x 

c) 2⋅ − 3⋅ 

d) 12 x− 

4 15x−10 

+ 2 ⋅ 

3 6 

4 

5 

9 P = 4x Q =−y R = 3x − 2y 

+ 5 S =− 2x + y −4 

 

a) P ⋅ R − Q ⋅ S 

b) P ⋅ S + R ⋅Q 

10 

a) a i bb 

b) a i b 

11 

 

a) 

 

b) 

12 

 

 

a) 

 

b) 

13 

a) b) 

14

4.5. Mnożenie sum algebraicznych przez jednomiany 

175 

15 

16 

 

 

a) 

n 

b) 

17 nn + n 

18 abba 

ab 

 

19 aabb 

ab- 

 


1 

2 2 

18a b − 6ab − 12ab 

 

2 2 

A. 6( 3a b − ab − 2ab 

) 

B. ab( 18a − 6 −12b) 

C. 3a( 6ab − 2b − 4b 

2 ) 

D. 6ab( 3a − 2b) 

2 

2xx ( + 2) − ( x+ 2)( 2x− 3) 

 

A. 3x + 6 

B. −3⋅ x − 6 

2 

C. 4x 

+ 5x 

− 6 

D. 4x 

+ 11x 

+ 6 

3 

4 5( 3a − a − a ) − 2( 

2a − a) 

- 

a =− 1 3 

2 

2 2 

5 

 

a) 

b)

4.6 

Mnożenie sum 

algebraicznych 


jak pomnożyć jedną sumę algebraiczną przez drugą. 

 

- 

 

( )( ) = ( + ) ( + ) = 

a + b c + d a c d + b c d 

= ac + ad + bc + bd 

 

 

( )( + ) = + + + 

a + b c d ac ad bc bd 

Wzór na mnożenie sum algebraicznych można wyprowadzić 

za pomocą prostokąta podzielonego na 

cztery małe prostokąty. 

c 

a ac ad 

d 

Pole dużego prostokąta można obliczyć ze wzoru: 

P = ( a + b)( c + d) 

albo jako sumę małych prostokątów: 

P = ac + ad + bc + bd. 

b bc bd 

Pole prostokąta o bokach (a + b) oraz (c + d) jest równe sumie pól małych prostokątów. 

PRZYKŁAD 1. 

W 

a) ( 2x 

+ 3)( y + 5) 

b) ( 2a + b)( 3a − 5b) 

c) ( 3x 

− 5)( 2x 

+ 4) 

d) ( 5a − 3b)( 2a − 7b)


177 

Rozwiązanie: 

a) Sposób 1. 

( 2x + 3)( y + 5) = 2x⋅ ( y + 5) + 3 ⋅ ( y + 5) 

= 

= 2xy + 10x + 3y 

+ 15 

Sposób 2. 

( 2x + 3)( y + 5) 

= 2x⋅ y + 2x⋅ 5 + 3⋅ y + 3⋅ 5 = 

= 2xy + 10x + 3y 

+ 15 

Mnożymy drugą sumę przez 

jednomiany występujące 

w pierwszej sumie. 

Mnożymy każdy jednomian jednej 

sumy przez każdy jednomian 

drugiej sumy. 

b) 

2 2 

( 2a + b)( 3a − 5b) = 2a⋅( 3a − 5b) + b⋅( 3a − 5b) 

= 6a − 10ab + 3ab − 5b 

= 

2 

= 6a 

− 7ab − 5b 

2 

c) 

( 3x − 5)( 2x + 4) 

= 3x⋅ 2x + 3x⋅4 − 5 ⋅2x − 5 ⋅ 4 = 6x + 12x −10x 

− 20 = 

2 

= 6x 

+ 2x 

− 20 

d) 

( 5a − 3b)( 2a − 7b) = 5a⋅( 2a − 7b) − 3b⋅( 2a − 7b) 

= 10a − 35ab − 6ab + 21b 

= 

2 2 

= 10a − 41ab + 21b 

2 

2 2 

ĆWICZENIE 1. 

W 

a) ( 5a 

+ 7)( 2a 

+ 5) 

b) ( 2x 

+ 5)( 4 − 3x) 

c) ( 2a − b)( 5b + 3a) 

d) ( 2x − 3y)( 3x − 2y) 

PRZYKŁAD 2. 

W 

a) ( a + b)( a + b) 

b) ( a − b)( a − b) 

c) ( a + b)( a − b) 

Rozwiązanie: 

a) ( a + b)( a + b) 

= a ⋅ a + a ⋅ b + b⋅ a + b⋅ b = a + ab + ab + b = a + ab + b 

 

 

b) ( a − b)( a − b) 

= a ⋅a − a ⋅b − b⋅ a + b⋅ b = a − ab − ab + b = a − ab + b 

 

c) ( a + b)( a − b) 

= a ⋅a − a ⋅ b + b⋅a − b⋅ b = a − ab + ab − b = a − b 

ĆWICZENIE 2. 

W 

a) ( 3+ x)( 3+ 

x ) b) ( x − 5)( x − 5) 

c) ( x + 1)( x −1)


PRZYKŁAD 3. 

 

a) 2( a + 3)( a + 1) 

b) −( 2b − 1)( 2 + 3b) − 4( b − 1)( 3+ 

b) 

Rozwiązanie: 

a) 2( a + 3)( a + 1) = 2( a⋅ a + a⋅ 1+ 3⋅ a + 3⋅ 1) = 2( a 2 + 4a + 3) 

= 2a 2 + 8a 

+ 6 

b) −( 2b − 1)( 2 + 3b) − 4( b − 1)( 3+ b) 

= 

=−( 2b⋅ 2 + 2b⋅3b −1⋅2 −1⋅3b) − 4( 

b⋅ 

3+ b⋅b −1⋅3 −1⋅ b) 

= 

2 2 2 2 

=− ( b + 6b −2) − 4( 2b + b − 3) 

=−b − 6b + 2 −8b − 4b 

+ 12 = 

2 

=−10b 

− 9b 

+ 14 

ĆWICZENIE 3. 

 

a) 4( 2x 

− 3)( x + 1) 

b) − 24 ( + x)( 5x 

+ 2) 

c) 31 ( + x)( 2− x) + 4( x − 1)( x + 2) 

d) − 5( 2y + 1)( y − 6) − ( 3y − 4)( 5 + y) 

ZADANIA 

1 ( 2x 

− 3)( 4 − 3x) 

 

2 

A. 8x 

+ 9x 

B. − 6x + 17x −12 

C. −6x − x −12 

D. −6x 

−12 

2 

2 − x + 5x 

− 6 

A. ( x + 3)( 2 + x) 

B. ( x + 3)( 2 − x) 

C. ( x − 3)( 2 + x) 

D. ( x − 3)( 2 − x) 

3 

a) ( x − 3)( 2x 

+ 1 ) 

b) ( 2a 

− 5)( 1− 

3a) 

c) ( m − 3)( 3 − 3 m) 

d) ( 2b 

+ 1)( b − 2) 

4 

a) ( 3 − 2x)( 3x + 5) 

b) ( 2a − b)( b − 3a) 

c) ( 5 + 2n)( 3 − 2m ) 

d) ( z − y)( z + y) 

5 P = 2x 

+ 3Q =− x +R = 4x − 3yS = 3x − 2y- 

 

a) P ⋅Q − S 

b) P ⋅ R + Q ⋅ S 

6 

a) ( 2a + 3)( 3 − 5a) + ( 5 − a)( a − 3) 

b) ( 5x − 3)( 2x + 2) − ( x + 4)( 3 − x) 

c) 2( a + 3)( 5 + a) + 3( a + 4)( 3+ a) 

d) 5( 2m − 3)( m + 2) − 3( 2 − m)( 3m 

−1) 

7 

 

a) ( 2x − 3)( 2x − 3) − ( 2x + 3)( 2x 

+ 3) 

x =− 1 6 

b) ( 3a − 2b)( 3a + 2b) − ( 2b − 4a)( 2b + 4a) 

a =− 1 5 b = 3 7 

2 

2


179 

8 

 

a) b) c) 

9 a i b2a 

+ 4bapisz 

 

10 

a) ( 2x + 1)( 3x − 5) + ( 2x + 1)( 4x 

− 3) 

b) ( 3y − 2)( 3+ y) − ( 4y + 2)( 3+ 

y) 


1 ( 3m 

+ 2)( 2m 

− 5) 

 

2 

A. 6m 

−11m 

− 10 

B. 6m − 10 

2 

C. 6m 

−19m 

− 10 

D. 6m − 10 

2 

2 6x 

− 11x 

+ 3 

 

A. ( 2x 

− 3)( 1− 3x) 

B. ( 3 − 2x)( 3x 

+ 1) 

C. ( 3 − 2x)( 1− 

3x ) 

D. ( 3+ 2x)( 3x 

−1) 

2 

3 

a) ( 3a + b)( b − 2a) 

b) ( 2a − 3)( 3 − a) − ( 2 + a)( 2a 

−1) 

c) 2( a + 3)( 2a − 5) − 32 ( − a)( 2a 

+ 1) 

d) − ( 3+ 2a)( a − 3) 

4 

a) b) 

2 

2 2 2 

5 ( a − b) 

= a − 2ab + b

180 

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU 4 

Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć 

na poniższe pytania. 

Czym jest wyrażenie algebraiczne? 

Na czym polega obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego? 

Co to są jednomiany podobne? 

Na czym polega redukcja wyrazów podobnych? 

Co należy zrobić, aby pomnożyć sumę algebraiczną przez jednomian? 

Jak mnożymy sumy algebraiczne? 

W zadaniach 1.–5. dokończ zdania tak, aby były prawdziwe. 

1 ab 

A. 2a − b 

B. a − 2 b 

C. 2( a − b) 

D. ( a − b) 

2 ab 

A. 2a 

2 − b 

2 

2 

B. 2( a − b) 

C. 2 

( a 

2 − b ) 

2 

( a 

2 − b ) D. 2 

3 7ab 

2 

2 

A. 7ab 

B. ab 

2 C. 7ab D. ab 2 

4 2x( x − 3) − 3( 2 − 3x) 

2 

A. 2x 

− 3x 

− 6 

B. 2x 

− 15x 

+ 6 

2 

C. 2x 

−15x 

− 6 

D. 2x 

+ 3x 

− 6 

2 

2 

5 2x − 3−4x − 5x + 9 

2 

A. 4x 

− 7x 

− 6 

B. 4x 

+ 3x 

− 12 

2 

C. 4x 

+ 7x 

− 12 

D. 4x 

− 3x 

− 6 

2 

2 

2 3 2 3x 

1 

6 − x + 2x 

− + 

3 

5 2 

 

7 3a 

− 5a 

+ 2- 

 

2 

2 

a) − 6a + a − 3 b) 6a 

− a + 3 c) 3a − 5 

d) − 8a 

+ 8 

8 K = 3m 

−12, L = 7 − 2n + 3 m, M =− 3m + 2n 

−4 

a) 2K − L − M b) M − 2 L 

c) K − ( L − M) d) 2M − 2( K + L) 

9 : 

a)ab, 

b)a, bc, 

c)ab, 

d)ab 

2 

2 

2 

2 2

181 

10 

 

a) b) 

11 

 

 

 

nm 

12 n 

 

 

13 

a) b) 

14 

 

2 2 

a) ( − 3x + 5x − 7) − ( 3x − 5x − 7) 

x = 2 

( ) ( ) 

+ + + 

b) − 2 1 2 3 1 3 2 1 7 

x − x + 2 x x x =−1 

2 4 3 2 4 3 

15 : 

a)xyz; 

b)x 

 

c)m

182 

16 

2 

a) 2x( 3x + 5) + 3( x − 3x 

+ 2) 

2 

b) 3( 2x + x − 7) − 2x( x − 3) 

c) 3 4 

d) 1 3 

2 2 1 

( 2 x − 12 x 6x 

4 

3 ) 3 ( + − 2 ) 

1 1 1 1 

( 1 x − 2 ) ( − 3x 

) − 

2 

4 

2 

2 

17 

 

2 

a) 2a( 3a − 5) + 6( a − 2a 

− 1) 

, a =− 1 2 

b) 3 1 1 

5 a − 6 ( 6a 

3), a =−2 

4 3 2 

( ) − + 

18 

a) ( 2a + 3b)( b − 3) + ( 3b + 1)( 2b − 5a) 

b) ( 2a − 3)( 4 − a) − ( 3 − 5a)( a + 2) 

c) ( 2a − 1)( 1+ 3a) − ( a − 4)( a − 3) 

d) 2( a − 1)( a + 2) − ( a − 3)( 4 − a) 

19 

a) b) c) 

20 

21 

 

a) 

n 

b) 

22 - 

 

n 

a) b) 1 1 

2 

, 1 1 

4 

, 6 

, 8 

, c) 1 1 

3 , 1 1 

5 

, 7 

, 9 

,

(–15) + (–3) –2x=4 

Matematyka 

Zeszyt ćwiczeń 

matematyka 

Podręcznik 

7 

7 

szkoła podstawowa 


7 

Dla ucznia: 

Dla nauczyciela: 

Matematyka 

Zbiór Zadań 


7 

–2(7–4n) 

wsipnet.pl 

e-podręcznik 

e-ćwiczenia 

Podręcznik 

nauczyciela 

MateMatyka 


7 

e-poradnik 

uczę.pl 

wsipnet.pl 

e-podręcznik 

e-ćwiczenia 

e-testy 

klasówki.pl 

plansze 

interaktywne

Matematyka 7

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?