Chuyên đề trắc nghiệm vectơ lớp 10 có lời giải chi tiết

T À I L I Ệ U , C H U Y Ê N Đ Ề M Ô N
T O Á N L Ớ P 1 0
vectorstock.com/6131046
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL / BAN CHUYÊN ĐỀ
PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Chuyên đề trắc nghiệm vectơ lớp 10
có lời giải chi tiết
PDF VERSION | 2020 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/HoaHocQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594

BÀI 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào
điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB
Vectơ còn được kí hiệu là: a , b , x ,
y ,…
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0
Hình 1.1
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ
- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng
hướng.
Hình 1.2
Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD
cùng hướng còn EF và HG ngược
AB cùng hướng CD
kí hiệu: AB CD
AB ngược hướng CD
kí hiệu: AB CD
Đặc biệt vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ.
3. Hai vectơ bằng nhau
- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB , kí hiệu AB .
- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
- AA BB 0 , 0 0 .
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ
+ Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa
+ Dựa vào các tính chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các
Trang 1

đỉnh của tam giác.
Lời giải
Hai điểm phân biệt, giả sử A, B tạo thành hai vec tơ khác vec tơ – không là AB và BA . Vì vậy từ 3 đỉnh
A, B, C của tam giác ta có 3 cặp điểm phân biệt nên có 6 vec tơ khác vec tơ – không được tạo thành.
Ví dụ 2. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào hai vec tơ AB , AC cùng
hướng. Trong trường hợp nào hai vec tơ AB , AC ngược hướng.
Lời giải
Hai vec tơ AB , AC cùng hướng khi và chỉ khi A nằm ngoài đoạn BC. Ngược lại hai vec tơ AB , AC
ngược hướng khi và chỉ khi A nằm trong đoạn BC.
Ví dụ 3. Cho vec tơ AB và điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho AB CD . Chứng minh rằng điểm D như
thế là duy nhất.
Lời giải
Hình 1.3
Điểm D thỏa mãn điều kiện đề bài là duy nhất. Thật vậy: Giả sử có điểm D’ sao cho AB CD ' thì
CD CD ', khi đó C, D, D’ thẳng hàng, D và D’ ở cùng một phía đối với C và CD CD ' nên D D '
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .
a. Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không cùng hướng với AB có điểm đầu, điểm cuối lấy trong các
điểm đã cho.
b. Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các
điểm đã cho.
Lời giải
a. Các vec tơ khác – không cùng hướng với AB là AB , PB , NM .
b. Các vec tơ khác – không cùng hướng với AB là AP , PB , NM .
Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng với C qua
D. Hãy tính độ dài của MD , MN .
Lời giải
Trang 2

2
2 2 2 5a
a 5
Xét tam giác vuông MAD ta có: MD AD AM MD .
4 2
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P. Khi đó ADNP là hình vuông và
3a
PM PA AM .
2
2
2 2 2 13a
a 13
Xét tam giác NPM ta có: MN PM PN MN .
4 2
Phần 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIÊM
Câu 1: Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:
A. DE B. DE
C. ED
D.
Chọn D
Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác
Lời giải
DE
có điểm đầu và cuối là đỉnh của tứ giác bằng:
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
Chọn D
0
Lời giải
Hai điểm phân biệt, giả sử, A, B tạo thành hai vec tơ khác vec tơ- không là
Vì vậy từ bốn đỉnh A, B,C, D của tứ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt nên có 12 vec tơ khác vec tơ – không
được tạo thành.
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Chọn A
Là vectơ 0
Câu 4: Cho 3 điểm A, B,C phân biệt. Khi đó
Lời giải
AB
và
BA
Trang 3

A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC .
B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M, MA cùng phương với AB .
C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M, MA cùng phương với AB .
D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB AC .
Chọn A
Lời giải
Câu 5: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào
sau đây cùng hướng?
A. MN và CB . B. AB và MB . C. MA và MB . D. AN và CA .
Chọn A
Lời giải
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vec tơ AB ; BC cùng phương. B. Hai vec tơ AB ; CD
cùng phương.
C. Hai vec tơ AB ; CD
cùng hướng. D. Hai vec tơ AB ; DC ngược hướng.
Chọn B
Câu 7: Cho
AB 0
Lời giải
và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn:
AB
CD
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Tập hợp điểm D là đường tròn tâm C, bán kính bằng AB .
Câu 8: Xét các mệnh đề sau
(I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0.
(II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương.
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. (I) và (II) đúng. D. (I) và (II) sai.
Chọn C
Lời giải
Câu 9: Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AC BC . B. AC a . C. AB AC . D. AB a .
Chọn D
Lời giải
Câu 10: Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây sai?
A. AB BC .
B. AC BC .
C. AB BC .
D. AC và BC không cùng phương.
Lời giải
Trang 4

Chọn A
Câu 11: Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. CA CB .
B. AB và AC cùng phương.
C. AB và CB ngược hướng.
D. AB CB .
Chọn B
Lời giải
Câu 12: Cho M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AB 3AM
. Hãy tìm khẳng định sai?
1
A. MB 2 MA . B. MA 2 MB . C. BA 3 AM . D. AM BM .
2
Chọn D
Lời giải
Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AD BC . B. AB AC . C. AC DB . D. AB CD .
Lời giải
Chọn A
Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Các véctơ ngược hướng với OB là
A. BD , OD . B. DB , OD , BO . C. DB , DO . D. BD , OD , BO .
Chọn D
Lời giải
Câu 15: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vec tơ AB ; BC cùng phương. B. Hai vec tơ AB ; CD
cùng phương.
C. Hai vec tơ AB ; CD
cùng hướng. D. Hai vec tơ AB ; DC ngược hướng.
Chọn B
Lời giải
Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3 , AD 4 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. AC BD . B. CD BC . C. AC AB . D. BD 7 .
Lời giải
Chọn B
Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I, AB 3 , BC 4 . Khi đó BI là:
5
7
A. 7. B. . C. 5. D. .
2
2
Lời giải
Chọn B
Câu 18: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng.
B. Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Trang 5

C. Hai vectơ có giá vuông góc thì cùng phương.
D. Hai vectơ ngược hướng với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương.
Lời giải
Chọn B
Câu 19: Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?
3
A. HB HC . B. AC 2 HC . C. AH HC . D. AB AC .
2
Lời giải
Chọn B
Câu 20: Cho tam giác đều ABC cạnh a, mệnh đề nào sau đây đúng?
3
A. AC BC . B. AC a . C. AB AC . D. AH a .
2
Lời giải
Chọn D
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
+ Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa
vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB DC hoặc AD BC .
Phần 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Từ 5 điểm A, B, C, D, O. Tìm các vectơ bằng vectơ AB OB .
Lời giải
AB DC , OB DO
Ví dụ 7. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC .
Lời giải
Ta có: AB DC khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành. Suy ra AD BC .
Ví dụ 8. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB 2CD
. Từ C vẽ CI DA . Chứng minh:
a. DI CB
b. AI IB DC
Lời giải
a. Ta có: CI DA suy ra AICD là hình bình hành. Suy ra
AD IC
Trang 6

1
Ta có: DC AI , AB 2CD
do đó AI AB suy ra I là trung điểm AB.
2
DC
IB
Ta có: BCDI là hình bình hành suy ra DI CB
DC
/ / IB
b. I là trung điểm AB AI IB và BCDI là hình bình hành
IB DC AI IB DC
Ví dụ 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh
MN QP
Lời giải
MN
/ / AC
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra 1 (1).
MN
AC
2
QP
/ / AC
Tương tự 1 (2)
QB
AC
2
Từ (1) & (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MN QP .
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm BC, dựng điểm B’:
minh:
a. BI IC
b. Gọi J là trung điểm BB’, chứng minh BJ IG .
Lời giải
B ' B AG . Chứng
a. Vì I là trung điểm BC nên
BI CI
BI IC
BI IC
Trang 7

B ' B AG
Vì B ' B AG . Do đó BJ IG (1).
B ' B AG
Vì G là trọng tâm tam giác ABC IG
Từ (1) & (2) suy ra BJ IG .
1
2
1
AG , J là trung điểm BB’ BJ BB ' BJ IG(2)
2
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A, B.
Lời giải
Trên tia CB lấy điểm B’ sao cho BB ' NP
Khi đó ta có BB ' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP . (Ta cũng có thể dựng hình bình hành
PNBB’)
Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP. Trên đường thẳng đó lấy điểm A’ sao cho AA'
cùng hướng với NP và AA'
NP .(Ta cũng có thể dựng hình bình hành PNAA’) Khi đó ta có AA'
là
vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP .
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 21: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng
lục giác là:
OC
A. 4. B. 2. C. 7. D. 9.
Chọn B
Đó là AB , ED .
Lời giải
có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của
Câu 22: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai vectơ a
và b
được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
B. Hai vectơ a
và b
được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
C. Hai vectơ AB và CD
được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành.
D. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu cùng độ dài.
Lời giải
Chọn A
Câu 23: Cho tam giác ABC đều cạnh a, mệnh đề nào sau đây sai?
A. AB BC . B. AC BC .
Trang 8

C. AB BC .
D. AC , BC không cùng phương.
Lời giải
Chọn A
Câu 24: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AD BC .
B. AB AC .
C. AC DB .
D. AB CD .
Lời giải
Chọn A
Câu 25: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Vectơ OB bằng với vectơ nào sau đây ?
A. DO
B. OD
C. CO
D. OC
Lời giải
Chọn A
Câu 26: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau
đây là đẳng thức sai?
A. OB DO
B. AB DC
C. OA OC
D. CB DA
Lời giải
Chọn C
Câu 27: Cho AB CD . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau
A. AB cùng hướng với CD
. B. AB cùng phương với CD
.
C. AB CD . D. ABCD là hình bình hành.
Lời giải
Chọn D
Phải suy ra ABDC là hình bình hành.
Câu 28: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Đẳng thức nào
sau đây đúng?
A. MA MB .
B. AB AC .
C. MN BC .
D. BC 2 MN .
Chọn D
Lời giải
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó BC 2MN
BC 2 MN .
Câu 29: Cho tứ giác ABCD. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD ?
A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành.
Trang 9

C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB CD .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
AB / / CD
AB CD ABDC là hình bình hành.
AB
CD
Mặt khác, ABDC là hình bình hành
AB
/ / CD
AB CD .
AB
CD
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB CD là ABDC là hình bình hành.
Câu 30: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. AB ED . B. AB AF . C. OD BC . D. OB OE .
Chọn D
Lời giải
Hai vectơ này ngược hướng.
Câu 31: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm AB, BC, AD. Lấy 8 điểm
trên làm điểm gốc hoặc điểm ngọn các vectơ. Tìm mệnh đề sai:
A. Có 2 vectơ bằng PQ
B. Có 4 vectơ bằng AR
C. Có 3 vectơ bằng BO
D. Có 5 vectơ bằng OP
Chọn C
Lời giải
Câu 32: Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. IA BI . B. AI BI . C. IA IB . D. IA IB .
Chọn A
Lời giải
Câu 33: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đấy là đúng ?
A. AB DC . B. AC DB . C. AD CB . D. AB AD .
Chọn A
Lời giải
Trang 10

AB
DC
Vì: AB DC .
AB DC
Câu 34: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. AB ED . B. AB AF . C. OD BC . D. OB OE .
Chọn D
Lời giải
Câu 35: Cho hình thoi ABCD có tâm I. Hãy cho biết số khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
a) AB BC
b) AB DC
c) IA IO
d) IB IA
e) AB BC
f) 2 IA BD
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Chọn A
Câu 36: Cho AB 0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB CD .
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Câu 37: Cho AB khác 0
và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa AB CD .
A. Vô số. B. 1 điểm C. 2 điểm D. Không có điểm nào.
Lời giải
Chọn A
Ta có AB CD AB CD . Suy ra tập hợp các điểm D thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm C bán
kính AB.
Có vô số điểm D thỏa mãn
AB
CD
Trang 11

Câu 38: Cho AB 0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB CD .
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Câu 39: Cho tứ giác ABCD. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD ?
A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành.
C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB CD .
Chọn B
Ta có:
AB / / CD
AB CD
AB
CD
Lời giải
ABDC là hình bình hành.
AB
/ / CD
Mặt khác, ABDC là hình bình hành AB CD .
AB
CD
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB CD là ABDC là hình bình hành.
Câu 40: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm AB, BC, AD. Lấy 8 điểm
trên làm điểm gốc hoặc điểm ngọn các vectơ. Tìm mệnh đề sai:
A. Có 2 vectơ bằng PQ
B. Có 4 vectơ bằng AR
C. Có 3 vectơ bằng BO
D. Có 5 vectơ bằng OP
Chọn C
Câu 41: Véctơ là một đoạn thẳng:
Lời giải
A. Có hướng. B. Có hướng dương, hướng âm.
C. Có hai đầu mút. D. Thỏa cả ba tính chất trên.
Chọn A
Lời giải
Câu 42: Hai véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là:
A. Hai véc tơ bằng nhau. B. Hai véc tơ đối nhau.
C. Hai véc tơ cùng hướng. D. Hai véc tơ cùng phương.
Chọn B
Theo định nghĩa 2 véctơ bằng nhau.
Câu 43: Hai véctơ bằng nhau khi hai véctơ đó có:
Lời giải
A. Cùng hướng và có độ dài bằng nhau. B. Song song và có độ dài bằng nhau.
C. Cùng phương và có độ dài bằng nhau. D. Thỏa mãn cả ba tính chất trên.
Chọn A
Lời giải
Trang 12

Theo định nghĩa hai véctơ bằng nhau.
Câu 44: Điền từ thích hợp vào dấu (…) để được mệnh đề đúng. Hai véc tơ ngược hướng thì …
A. Bằng nhau B. Cùng phương C. Cùng độ dài D. Cùng điểm đầu
Chọn B
Lời giải
Câu 45: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
A. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương.
B. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và BC cùng phương.
C. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC và BC cùng phương.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Chọn D
Cả 3 ý đều đúng.
Câu 46: Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Lời giải
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất 2 vectơ cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Chọn A
Ta có vectơ
0
cùng phương với mọi vectơ.
Câu 47: Phát biểu nào sau đây đúng?
Lời giải
A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau.
B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng phương.
C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau.
D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng.
Chọn C
Lời giải
A. sai do hai vectơ không bằng nhau thì có thể hai vectơ ngược hướng nhưng độ dài vẫn bằng nhau.
B. sai do một trong hai vectơ là vectơ không.
C. đúng do hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ cùng hướng.
Câu 48: Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương.
B. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0
thì cùng phương.
C. Vectơ – không là vectơ không có giá.
D. Điều kiện đủ để 2 vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.
Lời giải
Trang 13

Chọn B
Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0
thì cùng phương.
Câu 49: Cho hai vectơ không cùng phương a
và b
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a
và b
.
B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a
và b
.
C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0
.
D. Cả A, B, C đều sai.
Chọn C
Lời giải
Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b
, đó là
vectơ 0
.
Câu 50: Cho vectơ a
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Có vô số vectơ u
mà u a . B. Có duy nhất một u
mà u a .
C. Có duy nhất một u
mà u a
. D. Không có vectơ u
nào mà u a .
Lời giải
Chọn A
Cho vectơ a , có vô số vectơ u cùng hướng và cùng độ dài với vectơ a . Nên có vô số vectơ u
mà u a .
Câu 51: Chọn khẳng định đúng.
A. Hai véc tơ cùng phương thì bằng nhau.
B. Hai véc tơ ngược hướng thì có độ dài không bằng nhau.
C. Hai véc tơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau.
D. hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau.
Chọn D
Hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau.
Lời giải
Câu 52: Cho hình bình hành ABCD. Trong các khẳng định sau hãy tìm khẳng định sai
A. AD CB . B. AD CB . C. AB DC . D. AB CD .
Lời giải
Chọn A
Ta có ABCD là hình bình hành. Suy ra AD BC .
Câu 53: Chọn khẳng định đúng.
A. Véc tơ là một đường thẳng có hướng.
B. Véc tơ là một đoạn thẳng.
C. Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.
D. Véc tơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
Lời giải
Trang 14

Chọn C
Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.
Câu 54: Cho vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Hãy chọn câu sai
A. Được gọi là vectơ suy biến. B. Được gọi là vectơ có phương tùy ý.
C. Được gọi là vectơ không, kí hiệu là 0 . D. Là vectơ có độ dài không xác định.
Lời giải
Chọn C
Vectơ không có độ dài bằng 0.
Câu 55: Cho hình vuông ABCD, khẳng định nào sau đây đúng:
A. AC BD
B. AB BC
C. AB CD
D. AB và AC cùng hướng.
Chọn B
Ta có ABCD là hình vuông. Suy ra AB BC .
Lời giải
Câu 56: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là:
A. AB , AC cùng phương. B. AB , AC cùng hướng .
C. AB BC . D. AB , CB ngược hướng.
Lời giải
Chọn A
Câu 57: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?
A. A nằm trong đoạn BC B. AB CA
C. A nằm ngoài đoạn BC D. AB AC
Chọn C
A nằm ngoài đoạn BC.
Câu 58: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu
Lời giải
AB BC
thì có khẳng định nào sau đây đúng
A. B là trung điểm của AC. B. B nằm ngoài đoạn AC.
C. ABCD là hình bình hành. D. ABCD là hình vuông.
Chọn A
Lời giải
Câu 59: Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. CA CB .
B. AB và AC cùng hướng.
C. AB và CB ngược hướng.
D. AB CB .
Chọn B
Lời giải
Trang 15

Ta có C là trung điểm của đoạn AB và AC cùng hướng.
Câu 60: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. OA OC . B. OB và OD
cùng hướng.
C. AC và BD cùng hướng. D. AC BD .
Lời giải
Chọn D
Câu 61: Cho hình binh hành ABGE. Đẳng thức nào sau đây đúng.
A. BA EG . B. AG BE . C. GA BE . D. BA GE .
Lời giải
Chọn D
Hình bình hành ABGE BA GE .
Câu 62: Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. AB BC . B. AC BC .
C. AB BC . D. AB không cùng phương BC .
Lời giải
Chọn A
Ta có tam giác đều ABC
AB ,
BC không cùng hướng AB BC .
Câu 63: Chọn khẳng định đúng
A. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng.
B. Hai vec tơ cùng hướng thì cùng phương.
C. Hai vec tơ cùng phương thì có giá song song nhau.
D. Hai vec tơ cùng hướng thì có giá song song nhau.
Lời giải
Chọn B
Hai véc tơ cùng hướng thì cùng phương.
Câu 64: Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ. mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. M
, MA MB . B. M
, MA MB MC .C. M
, MA MB MC . D. M
, MA MB .
Lời giải
Chọn C
Ta có 3 điểm A, B, C không thằng hàng, M là điểm bất kỳ.
Suy ra MA , MB , MC không cùng phương M
, MA MB MC .
Câu 65: Cho hai điểm phân biệt A, B. Số vectơ ( khác 0
) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm A, B
là:
A. 2. B. 6. C. 13. D. 12.
Lời giải
Chọn A
Trang 16

Số vectơ ( khác 0
) là AB ; BA .
Câu 66: Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. CA CB . B. AB và AC cùng hướng.
C. AB và CB ngược hướng. D. AB CB .
Lời giải
Chọn B
Ta có C là trung điểm của đoạn AB và AC cùng hướng.
Câu 67: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:
A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB .
B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB .
C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB .
D. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là AB AC .
Lời giải
Chọn A
Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB .
Các vectơ đó là: AB , AC , AD , BA , BC , BD , CA , CB , CD , DA , DB , DC .
Câu 68: Cho đoạn thẳng AB, I là trung điểm của AB. Khi đó:
A. BI AI . B. BI cùng hướng với AB .
C. BI 2 IA . D. BI IA .
Chọn D
BI IA
vì I là trung điểm của AB.
Lời giải
Câu 69: Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AC BC .
B. AB BC .
C. AB BC .
D. AC không cùng phương BC .
Chọn B
Lời giải
B. sai do hai vectơ không cùng phương.
Câu 70: Cho hình bình hành ABCD. Các vectơ là vectơ đối của vectơ AD là
A. AD , BC . B. BD , AC . C. DA , CB . D. AB , CB .
Chọn C
Vectơ đối của vectơ AD là DA , CB .
Lời giải
Trang 17

Câu 71: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba vectơ bằng vectơ BA là:
A. OF , DE , OC . B. CA , OF , DE . C. OF , DE , CO
. D. OF , ED , OC .
Lời giải
Chọn C
Ba vectơ bằng vectơ BA là: OF , DE , CO
.
Câu 72: Cho tứ giác ABCD. Nếu AB DC thì ABCD là hình gì? Tìm đáp án sai.
A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
Chọn D.
Lời giải
Câu 73: Cho lục giác ABCDEF, tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
A. AB ED . B. AB OC . C. AB FO . D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải
Chọn D
Ta có ABCDEF là lục giác, tâm O. Suy ra AB ED , AB OC , AB FO .
Câu 74: Chọn câu sai:
A. Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
B. Độ dài của vectơ a
được kí hiệu là a
.
C. 0 0 , PQ PQ .
D. AB AB BA.
Chọn C
Vì PQ PQ .
Lời giải
Câu 75: Cho khẳng định sau
(1). 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành thì AB CD .
(2). 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành thì AD CB .
(3). Nếu AB CD thì 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành.
(4). Nếu AD CB thì 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó là 4 đỉnh của hình bình hành.
Hỏi có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn B
Nếu AD CB thì 4 điểm A, D, B, C theo thứ tự đó là 4 đỉnh của hình bình hành.
Câu 76: Cho đoạn thẳng AB, I là trung điểm của AB. Khi đó:
A. BI AI .
B. BI cùng hướng với AB .
Trang 18

C. BI 2 IA . D. BI IA .
Chọn D
BI IA
vì I là trung điểm của AB.
Lời giải
Câu 77: Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AC BC . B. AB BC .
C. AB BC . D. AC không cùng phương BC .
Lời giải
Chọn B
B. sai do hai vectơ không cùng phương.
Câu 78: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu AB BC thì có khẳng định nào sau đây đúng
A. B là trung điểm của AC. B. B nằm ngoài đoạn AC.
C. ABCD là hình bình hành. D. ABCD là hình vuông.
Lời giải
Chọn A
Câu 79: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?
A. A nằm trong đoạn BC. B. AB CA.
C. A nằm ngoài đoạn BC. D. AB AC .
Lời giải
Chọn C
A nằm ngoài đoạn BC.
Câu 80: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Trong các
khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai?
A. MN QP . B. MQ NP . C. PQ MN . D. MN AC .
Chọn D
Lời giải
1 1
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN AC hay MN AC .
2
2
Câu 81: Số vectơ ( khác 0
) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là
A. 42. B. 3. C. 9. D. 27.
Trang 19

Chọn A
Số vectơ ( khác
7.6 42
Lời giải
0
) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là
Câu 82: Cho lục giác ABCDEF. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là
đỉnh của lục giác.
A. 20. B. 12. C. 30. D. 16.
Lời giải
Chọn C
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ – không là AB , BA .
Một vectơ khác vectơ – không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 30 cách chọn 2 điểm trong 4
điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 30 vectơ.
Câu 83: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Trong các
khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai?
A. MN QP . B. MQ NP . C. PQ MN . D. MN AC .
Lời giải
Chọn D
1 1
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN AC hay MN AC .
2
2
Câu 84: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Độ dài của vectơ
BI là
21
21
3
3
A. a . B. a . C. a . D. a .
6
3
6
2
Chọn A
Lời giải
Ta có AB AB a
Gọi M là trung điểm của BC
Ta có
AG AG AM AB BM a
3 3 3 4 3
2
2 2 2 2 2 2 a a 3
BI BI BM MI
4 3 6
2 2
2 2 a a a 21
Trang 20

Câu 85: Cho hình bình hành ABCD. Trên các đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho
DM BN . Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB. Khẳng định nào đúng?
A. DP QB . B. MQ NP . C. PQ MN . D. MN AC .
Chọn A
Lời giải
Ta có DM BN AN MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành.
Suy ra AM NC .
Xét tam giác DMP
và BNQ
ta có DM NB (giả thiết), PDM QBN (so le trong)
Mặt khác DMP APB (đối đỉnh) và APQ NQB (hai góc đồng vị) suy ra DMP BNQ .
Do đó DMP
BNQ
(c.g.c) suy ra DB QB .
Dễ thấy DB , QB cùng hướng vì vậy DB QB .
Câu 86: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD 60 o . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB AD . B. BD a . C. BD AC . D. BC DA.
Chọn B
Lời giải
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD a
BD a .
Câu 87: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC, AB; P là giao điểm của
AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
A. DM NB .
B. DP PQ QB . C. Cả A, B đều đúng. D. Cả A, B đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì 1
DM NB AB , DM / / NB . Suy ra DM NB .
2
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và
tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của PB
MP / / QC
do đó P là trung điểm của DQ. Tương tự xét
Trang 21

Vì vậy DP PQ QB từ đó suy ra DP PQ QB .
Câu 88: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB 2CD
. Từ C vẽ CI DA . Khẳng định
nào sau đây là đúng nhất?
A. AD IC B. DI CB
C. Cả A, B đều đúng D. A đúng, B sai
Lời giải
Chọn C
Ta có CI DA suy ra AICD là hình bình hành
AD IC
1
Ta có DC AI mà AB 2CD
do đó AI AB I là trung điểm AB
2
Ta có DC IB và DC / / IB tứ giác BCDI là hình bình hành
Suy ra DC IB .
Câu 89: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. HA CD và AD CH . B. HA CD và AD HC .
C. HA CD và AC CH . D. HA CD và AD HC và OB OD .
Lời giải
Chọn B
Ta có AH BC và DC BC (do góc DCB chắn nửa đường tròn). Suy ra AH / / DC . Tương tự ta cũng
có CH / / AD .
Trang 22

BẢNG ĐÁP ÁN
1-D 2-D 3-A 4-A 5-A 6-B 7-D 8-C 9-D 10-A
11-B 12-D 13-A 14-D 15-B 16-A 17-B 18-B 19-B 20-D
21-B 22-A 23-A 24-A 25-A 26-C 27-D 28-D 29-B 30-D
31-C 32-A 33-A 34-D 35-A 36-A 37-A 38-A 39-B 40-C
41-A 42-B 43-A 44-B 45-D 46-A 47-C 48-B 49-C 50-A
51-D 52-A 53-C 54-C 55-B 56-A 57-C 58-A 59-B 60-D
61-D 62-A 63-B 64-C 65-A 66-B 67-A 68-D 69-B 70-C
71-C 72-D 73-D 74-C 75-B 76-D 77-B 78-A 79-C 80-D
81-A 82-C 83-D 84-A 85-A 86-B 87-C 88-C 89-B
Trang 23

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẰM
I. TỔNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b
. Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho AB a , BC b .
Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Kí hiệu
AC a b .
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
2. Các tính chất
Tính chất giao hoán: a b b a ;
Tính chất kết hợp: a
b
c
a
b
c ;
Tính chất của vectơ không: a 0 a .
Chú ý: Do tính chất kết hợp, các vectơ a b
c và a
b c
bằng nhau, bởi vậy, chúng có thể được
viết một cách đơn giản là a b c , và gọi là tổng của ba vectơ a, b,
c . Tương tự, ta cũng có định nghĩa
cho tổng của
n n , n 4
vectơ.
3. Các quy tắc cần nhớ
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có AB BC AC .
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có AB AD AC .
4. Kết quả quan trọng
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB 0 ;
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0 .
II. HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Vectơ đối của một vectơ
Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ không, thì ta nói a là vectơ đối của b , hoặc b
là vectơ đối của
a .
Vectơ đối của vectơ là vectơ ngược hướng với vectơ và có cùng độ dài với vectơ .
a a a
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0
.
2. Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ a và b
, kí hiệu a b , là tổng của vectơ a
và vectơ đối của vectơ b
, tức là
a b a b
.
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
3. Quy tắc cần nhớ
Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có BC AC AB .
Trang 1

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Các bài toán liên quan đến tổng các vectơ
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, xác định các vectơ CB CD,
AC DA .
Lời giải
CB CD CA và AC DA DA AC DC .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, xác định các vectơ AB CA BC,
AB AC .
Lời giải
AB CA BC AB BC CA AC CA AA 0
Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình bình hành. Khi đó AB AC AD .
Ví dụ 3: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, xác định các vectơ AB OD,
AB AE OD .
Lời giải
AB OD AB BC AC
AB AE OD AO OD AD .
Ví dụ 4: Cho n điểm A1 , A2 , A3
,..., An
, xác định vectơ An 1An An 2 An 1 An 3An
2 ...
A2 A3 A1 A2
.
Lời giải
An 1An An 2 An 1 An 3An
2 ...
A2 A3 A1 A2
A1 A2 A2 A3 ... An 3An 2 An 2 An 1 An 1An
Do đó A A A A A A ...
A A A A A A .
n1 n n2 n1 n3 n2 2 3 1 2 1 n
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
minh rằng RJ IQ PS 0 .
Lời giải
RJ RA AJ, IQ IB BQ,
PS PC CS
RJ IQ PS RA AJ IB BQ PC CS
RA CS AJ IB BQ PC
Trang 2

SC CS BI IB CP PC
SS BB CC
0
.
Vậy RJ IQ PS 0 .
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho ba vectơ a,
b và c
khác vectơ-không. Tron các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. a b b a
B. a
b
c
a
b
c
C. a 0 a
D. 0 a 0
Lời giải
Chọn D.
0 a a .
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Vectơ tổng CB CD bằng
A. CA
B. BD
C.
AC
D.
Chọn A.
CB CD CA.
Lời giải
Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. AB BC AC B. AC CB AB C. CA BC BA D. CB AC BA
Lời giải
Chọn D.
CB AC AB .
Câu 4: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Vectơ tổng AB CD BC DA bằng
A. 0 B.
AC
C. BD
D.
Lời giải
Chọn A.
AB CD BC DA AB BC CD DA AA 0 .
Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vectơ tổng MP NP
bằng
A. BP
B. MN
C. CP
D. PA
Chọn A.
MP NP BM MP BP .
Lời giải
DB
BA
Trang 3

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào đúng?
A. IA DC IB B. AB AD BD C. IA BC IB D. AB IA BI
Chọn A.
IA DC IA AB IB .
Lời giải
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. IA DC IB B. DA DC BI DI C. ID AB IC D. AB AD CI IA
Lời giải
Chọn D.
AB AD CI AC CI AI .
Câu 8: Cho các điểm phân biệt M, N, P, Q, R. Xác định vectơ tổng MN PQ RP NP QR .
A. MP
B. MN
C. MQ
D. MR
Lời giải
Chọn A.
MN PQ RP NP QR MN NP PQ QR RP MP .
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. AB BD BC B. AB AD AC C. AC CD CB D. DC DA DB
Chọn C.
AC CD AD BC .
Lời giải
Câu 10: Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. AB BC CA 0 B. AP BM CN 0 C. MN NP PM 0 D. PB MC MP
Chọn D.
PB MC PB BM PM .
Lời giải
Câu 11: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. OA OC OE 0 B. OA OC OB EB C. AB CD EF 0 D. BC EF AD
Chọn D.
BC EF 0 .
Lời giải
Câu 12: Cho hình vuông ABCD, tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. BC AB CA B. OC AO CA C. BA DA CA D. DC BC CA
Trang 4

Chọn A.
BA DA CD DA CA .
Lời giải
Câu 13: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. OA OB OC OD OE OF 0
B. OA AB BO 0
C. OA FE 0
D. OA ED FA 0
Chọn D.
OA ED OA AB FA.
Lời giải
Câu 14: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC, là điểm đối xứng của G qua M.
Vectơ tổng G1B
G1C
bằng
A. GA
B. BC
C. G1
A
D. G1M
Lời giải
Chọn A.
G1B G1C G1G GA .
Câu 15: Xét tam giác ABC có trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thỏa mãn OA OB OC 0 .
Hỏi trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) OG 0 ;
2) Tam giác ABC là tam giác vuông cân;
3) Tam giác ABC là tam giác đều;
4) Tam giác ABC là tam giác cân.
A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Lời giải
Chọn A.
OA OB OC OG OG OG 0 O G . Do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 16: Xét tam giác ABC có trọng tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O thỏa mãn HA HB HC 0 .
Hỏi trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) HG 0 ;
2) Tam giác ABC là tam giác vuông cân;
3) OG 0 ;
4) Tam giác ABC là tam giác cân.
A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Lời giải
Chọn A.
HA HB HC HG HG HG 0 H G . Do đó tam giác ABC là tam giác đều.
G 1
Trang 5

Câu 17: Xét tam giác ABC nội tiếp có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm. Gọi D là điểm đối
xứng của A qua O. Hỏi trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) HB HC HD ;
2) DA DB DC HA ;
3) HA HB HC HH 1
, với H 1
là điểm đối xứng của H qua O;
4) Nếu HA HB HC 0 thì tam giác ABC là tam giác đều.
A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Chọn A.
HB HC HD HA HB HC HH 1
.
Nếu HA HB HC 0 thì HH , suy ra H O .
1
0
Lời giải
Câu 18: Cho 5 điểm phân biệt M, N, P, Q, R. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. MN PQ RN NP QR MP
B. MN PQ RN NP QR PR
C. MN PQ RN NP QR MR
D. MN PQ RN NP QR MN
Lời giải
Chọn D.
MN PQ RN QR MN .
Câu 19: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Vectơ tổng BA DA AC bằng
A. 0 B. BD
C. OC
D.
Chọn A.
BA DA AC CD DA AC CC 0 .
Lời giải
Câu 20: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1 , A2
,..., An
. Bạn Bình kí hiệu
chúng là B1 , B2 ,..., Bn A1
Bn
. Vectơ tổng A1 B1 A2 B2 ... An Bn
bằng
A. 0
B. A1 An
C. B1 Bn
D. A1 Bn
Chọn A.
Lời giải
Lấy điểm O bất kì. Khi đó
A B A B ... A B
AO AO ... A O
OB OB ...
OB
1 1 2 2 n n 1 1 n 1 2
n
Vì B1 , B2 ,..., Bn
A1 , A2
,..., An
nên
OB1 OB2 ... OBn
OA1 OA2
...
OAn
Do đó A B A B ... A B AO OA A O OA ... A O OA 0 .
1 1 2 2 n n 1 1 2 2
n n
OA
Trang 6

Dạng 2: Vectơ đối, hiệu của hai vectơ
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) AP AN AC BM 0
b) OA OB OC OM ON OP với O là điểm bất kì.
Lời giải
a) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP AN AM , kết hợp với
quy tắc trừ AP AN AC BM AM AC BM CM BM
Mà CM BM 0 do M là trung điểm của BC.
Vậy AP AN AC BM 0 .
b) Theo quy tắc ba điểm ta có:
OA OB OC OP PA OM MB ON NC
OM ON OP PA MB NC
OM ON OP BM CN AP
BM CN AP 0 suy ra OA OB OC OM ON OP .
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và
BB CC DD
0
Lời giải
Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có
BB CC DD AB AB AC AC AD AD
AB AD AC AB
AD
AC 0 .
ABCD
có chung đỉnh A. Chứng minh rằng
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm AM AN; MN NC; MN PN;
BP CP .
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN;
MP .
Lời giải
Trang 7

a) AM AN NM
MN NC MN MP PN (vì NC MP )
MN PN MN NP MP
BP CP BP PC BC
b) AM NP MP MN .
Ví dụ 4: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB .
Lời giải
Ta có DC CD;
CE EC nên
VT AC DE DC CE CB AC DE CD EC CB
AC CD DE EC CB AB VP đpcm.
Ví dụ 5: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1 , A2
,..., An
. Bạn Bình kí hiệu
chúng là B1 , B2 ,..., Bn A1
Bn
. Chứng minh rằng A1 B1 A2 B2 ... A B 0 .
Lời giải
Lấy điểm O bất kì. Khi đó
A B A B ... A B OB OB ... OB OA OA ...
OA
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2
n
Vì B1 , B2 ,..., Bn
A1 , A2
,..., An
nên
OB1 OB2 ... OBn
OA1 OA2
...
OAn
Do đó A1 B1 A2 B2 ... An
Bn
0 .
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai vectơ a,
b cùng phương. B. Hai vectơ a,
b ngược hướng.
C. Hai vectơ a,
b cùng độ dài. D. Hai vectơ a,
b chung điểm đầu.
Lời giải
Chọn D.
Ta có a b
. Do đó, a
và b
cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Câu 2: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA OB CD B. OB OC OD OA C. AB AD DB D.
Lời giải
n
n
BC BA DC DA
Trang 8

Chọn B.
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có OA OB BA CD . Vậy A đúng.
OB OC CB AD
Đáp án B. Ta có . Vậy B sai.
OD OA AD
Đáp án C. Ta có AB AD DB . Vậy C đúng.
BC BA AC
Đáp án D. Ta có . Vậy D đúng.
DC DA AC
Câu 3: Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính OB OC .
A. BC
B. DA
C. OD OA
D.
Lời giải
Chọn B.
OB OC CB DA
Câu 4: Cho O là tâm hình bình hành ABCD. Hỏi vectơ AO DO bằng vectơ nào?
A. BA
B. BC
C. DC
D. AC
Chọn B.
Lời giải
AB
AO DO OD OA AD BC .
Câu 5: Chọn khẳng định sai:
A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA IB 0 . B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI BI AB .
C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI IB 0 . D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA BI 0 .
Chọn A.
IA IB BA 0 .
Lời giải
Câu 6: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A. OA CA CO B. BC AC AB 0 C. BA OB OA D. OA OB BA
Chọn B.
Lời giải
Trang 9

BC AC AB AB BC AC AC AC 0 .
Câu 7: Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB CD BC DA
B. AC BD CB AD
C. AC DB CB DA
D. AB AD DC BC
Lời giải
Chọn D.
Ta có: AB AD DB,
DC BC DC CB DB
Vậy: AB AD DC BC
Câu 8: Chỉ ra vectơ tổng MN QP RN PN QR trong các vectơ sau:
A. MR
B. MQ
C. MP
D.
Chọn D.
MN NP PQ QR RN MN .
Lời giải
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. MA MB MC MD
B. MA MD MC MB
C. AM MB CM MD
D. MA MC MB MD
Chọn D.
Ta có: MA MC MB MD
MA MC MB MD 0
MA MB MC MD 0
BA DC 0 (đúng).
Lời giải
Câu 10: Cho tam giác ABC có M, N, D lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Khi đó, các vectơ đối của
vectơ DN là:
A. AM , MB,
ND B. MA, MB,
ND C. MB,
AM
D. AM , BM , ND
Chọn A.
Lời giải
MN
Trang 10

Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ
DN
là:
AM , MB,
ND
Câu 11: Cho các điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB BC AC B. AB CB CA C. AB BC CA D. AB CA CB
Lời giải
Chọn D.
OA BO BA CD .
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó CB CA bằng
A. OC OB B. AB
C. OC DO
D.
Lời giải
Chọn A.
AB CB CA (quy tắc 3 điểm).
Câu 13: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó vectơ u AD CD CB DB là:
A. u 0
B. u AD
C. u CD
D. u AC
Lời giải
Chọn C.
u AD CD CB DB AD DC CB BD AC CD AD .
Câu 14: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó vectơ u AD CD CB AB bằng
A. u AD
B. u 0
C. u CD
D. u AC
Lời giải
Chọn B.
u AD CD CB AB AD AB CB CD BD DB 0 .
Câu 15: Cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB DC AC DB
B. AB CD AD BC
C. AB DC AD CB
D. AB CD DA CB
Chọn C.
AB DC AD DB CD AD CB .
Lời giải
Câu 16: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AO BO CO DO 0
B. AO BO CO DO 0
C. AO OB CO OD 0
D. OA OB CO DO 0
Lời giải
Chọn B.
Ta có: AO BO CO DO AO CO BO DO 0
Do AO,
CO đối nhau, BO,
DO đối nhau.
CD
Trang 11

Câu 17: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?
A. OA OC EO 0 B. BC EF AD C. OA OB EB OC D. AB CD EF 0
Chọn D.
Lời giải
Ta có: AB CD EF AB BO OA AO OA 2AO
0
Câu 18: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. BA BC DC CB
B. BA BC DC BC
C. BA BC DC AD
D. BA BC DC CA
Chọn A.
BA BC DC CA DC DC CA DA CB .
Lời giải
Câu 19: Cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB CD AD CB
B. AB CD AD BC
C. AB CD AC BD
D. AB CD DA BC
Lời giải
Chọn A.
AB CD AD CB AB AD CB CD DB DB .
Câu 20: Cho ABC , vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABEF, ACPQ, BCMN. Xét các mệnh đề:
(I) NE FQ MP
(II) EF QP MN
(III) AP BF CN AQ EB MC
Mệnh đề đúng là:
A. Chỉ (I) B. Chỉ (III) C. (I) và (II) D. Chỉ (II)
Chọn A.
NE FQ MP .
Lời giải
Trang 12

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ
Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng
a) AB CD EA CB ED
b) AC CD EC AE DB CB
a) Biến đổi vế trái ta có
VT AC CB CD ED DA
CB ED AC CD DA
CB ED AD DA
CB ED VP .
b) Đẳng thức tương đương với
AC AE CD CB EC DB 0
EC BD EC DB 0
BD DB 0 (đúng).
Lời giải
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng
a) BA DA AC 0
b) OA OB OC OD 0
c) MA MC MB MD
Lời giải
a) Ta có BA DA AC AB AD AC
AB AD AC
Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC suy ra
BA DA AC AC AC 0 .
b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA CO OA OC OA AO 0
Tương tự: OB OD 0 OA OB OC OD 0 .
c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC BA DC BA AB 0
Trang 13

MA MC MB BA MD DC
MB MD BA DC MB MD
Cách 2: Đẳng thức tương đương với
MA MB MD MC BA CD (đúng do ABCD là hình bình hành).
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
BM CN AP 0 .
Lời giải
Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
bình hành.
BM PN
N là trung điểm của AC CN NA
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
BM CN AP PN NA AP
PA AP 0 .
Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và
BB CC DD
0 .
ABCD
Lời giải
PN / / BM , MN / / BP
có chung đỉnh A. Chứng minh rằng
suy ra tứ giác BMNP là hình
Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có
BB CC DD AB AB AC AC AD AD
AB AD AC AB
AD
AC 0 .
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Dựng AM BA, MN DA, NP DC,
PQ BC . Chứng minh rằng:
AQ 0 .
Lời giải
Theo quy tắc ba điểm ta có AQ AM MN NP PQ BA DA DC BC
Mặt khác BA BC BD,
DA DC DB suy ra AQ BD DB 0 .
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho 5 điểm phân biệt M, N, P, Q, R. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. MN PQ RN NP QR MP
B. MN PQ RN NP QR PR
C. MN PQ RN NP QR MR
D. MN PQ RN NP QR MN
Trang 14

Lời giải
Chọn D.
Ta có MN PQ RN NP QR MN NP PQ QR RN MN .
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, đẳng thức véctơ nào sau đây đúng?
A. CD CB CA
B. AB AC AD
C. BA BD BC D.
Lời giải
Chọn A.
Đẳng thức véctơ CD CB CA đúng theo quy tắc cộng hình bình hành.
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. AB AC DA
B. AO AC BO
C. AO BO CD D.
Lời giải
Chọn A.
CD AD AC
AO BO BD
Ta có AB AC CB . Do ABCD là hình bình hành nên CB DA nên AB AC DA.
Câu 4: Cho 4 điểm bất kì A, B, C, O. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA OB BA B. OA CA CO C. AB AC BC D. AB OB OA
Lời giải
Chọn B.
OA OB BA OA OB BA BA BA
nên A sai
OA CA CO OA CA CO OA AC CO OC CO
nên B đúng.
Câu 5: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB BC CA B. AB CB AC C. AB BC AC D. AB CA BC
Lời giải
Chọn B.
AB AC CB CB AC .
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA BO bằng
A. OC OB B. AB
C. OC DO
D.
Chọn D.
OA BO BA CD .
Lời giải
Câu 7: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?
CD
Trang 15

A. AB CD FA BC EF DE 0
B. AB CD FA BC EF DE AF
C. AB CD FA BC EF DE AE
D. AB CD FA BC EF DE AD
Chọn A.
AB CD FA BC EF DE
AB BC CD DE EF FA
AC CE EA 0 .
Lời giải
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn BC và AD. Tính tổng
NC MC .
A. AC
B. NM
C. CA
D. MN
Chọn A.
NC MC NC AN AN NC AC .
Lời giải
Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?
A. OA OC OE 0 B. BC FE AD C. OA OB OC EB D. AB CD FE 0
Chọn D.
Lời giải
AB CD FE AB BO FE AO OD AD 0 .
Câu 10: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Tổng véc tơ: AB CD EF bằng
A. AF CE DB B. AE CB DF C. AD CF EB D. AE BC DF
Lời giải
Chọn C.
AB CD EF
AD DB
CF FD
EB EF
AD CF EB .
Câu 11: Cho các điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. AB CD EF AF ED BC
B. AB CD EF AF ED CB
C. AE BF DC DF BE AC
D. AC BD EF AD BF EC
Lời giải
Trang 16

Chọn A.
Ta có: AB CD EF AF ED BC
AB AF CD BC EF ED 0
FB DF CD CB 0
DB CD CB 0
CB CB 0 (vô lý).
Câu 12: Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AC BD BC DA
B. AC BD CB DA
C. AC BD CB AD
D. AC BD BC AD
Chọn D.
AC BD AD DC BC CD AD BC .
Lời giải
Câu 13: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
A. IA IC 0 B. AB AD AC C. AB DC
D. AC BD
Chọn D.
Lời giải
ABCD là hình bình hành với I là giao điểm của hai đường chéo nên I là trung điểm của AC và BD nên ta
có: IA IC 0; AB AD AC;
AB DC .
Câu 14: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB AC BC B. CA BA CB C. AA BB AB D. AB CA CB
Chọn D.
Ta có AB CA CA AB CB B đúng.
Lời giải
Câu 15: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. AB AD AC B. AB AD DB C. OA OB AD D. OA OB CB
Lời giải
Chọn C.
Gọi M là trung điểm AB, ta có: OA OB 2OM DA.
Câu 16: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?
A. OA OC OE 0 B. BC FE AD C. OA OB OC EB D. AB CD FE 0
Chọn D.
AB CD EF 0 .
Lời giải
Trang 17

Câu 17: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm E và F sao cho AE = EF = FC, BE
cắt AM tại N. Chọn mệnh đề đúng:
A. NA NM 0 B. NA NB NC 0 C. NB NE 0 D. NE NF EF
Chọn A.
Lời giải
Trong tam giác BCE có MF là đường trung bình nên MF / / BE MF / / NE
N là trung điểm của AM nên NA NM 0 .
Câu 18: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Hệ thức nào là
đúng?
A. AD BE CF AF CE BD
B. AD BE CF AB AC BC
C. AD BE CF AE AB CD
D. AD BE CF BA BC AC
Lời giải
Chọn A.
Ta có AD BE CF AF FD BD DE CE EF
AF CE BD FD DE EF
AF CE BD FF
AF CE BD 0
AF CE BD .
Câu 19: Cho hình lục giác đều ABCDEF, tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AF FE AB AD
B. AB BC CD BA AF FE
C. AB BC CD DE EF FA 6 AB
D. AB AF DE DC 0
Lời giải
Trang 18

Chọn A.
AF FE AB AE AB AD .
Câu 20: Cho tam giác ABC có trực tâm H , D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. HA CD và AD CH
B. HA CD và AD HC
C. HA CD và AC HD
D. HA CD và AD HC
Chọn A
Lời giải
Ta có : Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường tròn (O)
AD // DH (cùng vuông góc với AB )
AH // CD (cùng vuông góc với BC )
Suy ra ADHC là hình bình hành
Vậy HA CD và AD CH .
Trang 19

Dạng 4: Các bài toán xác định điểm thỏa đẳng thức vectơ
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho ABC
, tìm M thỏa MA MB MC O .
Lời giải
MA MB MC O BA MC CM BA .
Suy ra M là điểm cuối của vectơ có điểm đầu là C sao cho CM BA.
Ví dụ 2: Cho ABC
, tìm M thỏa MA MC AB MB .
Lời giải
MA MC AB MB MA AB MC MB MB MC MB CM O
Suy ra M trùng C.
Ví dụ 3: ABC
, tìm điểm M thỏa MA BC BM AB BA .
Lời giải
MA BC BM AB BA MA MC BA AB MA MC O
Suy ra M là trung điểm AC.
Ví dụ 4: ABC
, tìm điểm M thỏa MC MB BM MA CM CB .
Lời giải
MC MB BM MA CM CB BC BA BM BC BM AB CM BA
Suy ra M là điểm thỏa ABCM là hình bình hành.
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M thỏa MA MB AC MD CD .
MA MB AC MD CD
BA AC MD CD
BC MD CD
MD DC CB
DM BD .
Vậy M là điểm đối xứng với B qua D.
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho đoạn thẳng AB, M là điểm thỏa
Lời giải
MA BA O . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm AB. B. M trùng A.
C. M trùng B. D. A là trung điểm MB.
Lời giải
Chọn D.
MA BA O AM AB O A là trung điểm MB.
Câu 2: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Tìm điểm I thỏa IA BI . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 20

A. I là trung điểm AB. B. I thuộc đường trung trực của AB.
C. Không có điểm I. D. Có vô số điểm I.
Lời giải
Chọn A.
IA BI IA IB O I là trung điểm AB.
Câu 3: Cho ABC
. Tìm điểm I để IA
và CB
cùng phương. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. I là trung điểm AB. B. I thuộc đường trung trực của AB.
C. Không có điểm I. D. Có vô số điểm I.
Lời giải
Chọn D.
IA và CB
cùng phương nên AI // CB. Suy ra có vô số điểm I.
Câu 4: Cho 2 điểm phân biệt A, B . Tìm điểm M thỏa MA MB O . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm AB. B. M thuộc đường trung trực của AB.
C. Không có điểm M. D. Có vô số điểm M.
Chọn C.
MA MB O BA O (vô lý).
Lời giải
Câu 5: Cho đoạn thẳng AB, M là điểm thỏa MB + MA = O. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm AB. B. M trùng A.
C. M trùng B. D. A là trung điểm MB.
Chọn A.
MB MA O suy ra M là trung điểm AB.
Lời giải
Câu 6: Cho tam giác ABC, M là điểm thỏa MA + MB + MC = O. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm AB. B. M là trọng tâm ABC .
C. M trùng B. D. A là trung điểm MB.
Lời giải
Chọn B.
MA MB MC O nên M là trọng tâm ABC .
Câu 7: Cho tứ giác ABCD, M là điểm thỏa AM DC AB BD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng D. B. M trùng A. C. M trùng B. D. M trùng C.
Lời giải
Chọn D.
AM DC AB BD DC AD AD DC AC .
Câu 8: Cho ABCD là hình bình hành, M là điểm thỏa AM = AB + AD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng D. B. M trùng A. C. M trùng B. D. M trùng C.
Trang 21

Chọn D.
AM AB AD AC .
Lời giải
Câu 9: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm thỏa
AM OC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng O. B. M trùng A. C. M trùng B. D. M trùng C.
Lời giải
Chọn A.
AM OC suy ra AM AO (O là trung điểm AC) nên M trùng O.
Câu 10: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm thỏa AM BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng D. B. M trùng A. C. M trùng B. D. M trùng C.
Chọn A.
AM BC AD , suy ra M trùng D.
Lời giải
Câu 11: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm thỏa
đúng?
AM AB DC . Mệnh đề nào sau đây
A. M trùng O. B. M trùng A. C. M trùng B. D. M trùng C.
Chọn B.
AM DC AB O .
Lời giải
Câu 12: Cho tứ giác PQRN có O là giao điểm 2 đường chéo, M là điểm thỏa
MN PQ RN NP QR ON . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. M trùng P B. M trùng Q C. M trùng O D. M trùng R
Lời giải
Chọn C.
ON MN PQ RN NP QR NM NO .
Câu 13: Cho ABC, tìm điểm M thỏa MB MC CM CA . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm AB B. M là trung điểm BC
C. M là trung điểm CA D. M là trọng tâm ABC
Lời giải
Chọn D.
MB MC CM CA MB MC AM MA MB MC O .
Suy ra M là trọng tâm ABC .
Câu 14: Cho DEF
, tìm M thỏa MD ME MF O . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. MF ED B. FM ED
C. EM DF
D. FM DE
Lời giải
Trang 22

Chọn B.
MD ME MF O ED MF O FM ED .
Suy ra M là điểm cuối của vectơ có điểm đầu là F sao cho FM ED .
Câu 15: Cho DEF
, M là điểm thỏa MD ME MF O . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. EM ED EF B. FD EM
C. MD MF EM D. FM DE
Lời giải
Chọn A.
MD ME MF O ED MF O FM ED
Suy ra DEFM là hình bình hành. Do đó EM ED EF .
Câu 16: Cho ABC
có O là trung điểm BC, tìm M thỏa MA MC AB MB . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. M trùng A B. M trùng B C. M trùng O D. M trùng C
Lời giải
Chọn D.
MA MC AB MB MA AB MC MB MB MC MB CM O
Suy ra M trùng C.
Câu 17: Cho ABC
, tìm điểm M thỏa MA BC BM AB BA . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là trung điểm AB B. M là trung điểm BC
C. M là trung điểm CA D. M là trọng tâm ABC
Lời giải
Chọn C.
MA BC BM AB BA MA MC BA AB MA MC O
Suy ra M là trung điểm AC.
Câu 18: Cho ABC
, điểm M thỏa MC MB BM MA CM CB . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng A B. M trùng B
C. ACMB là hình bình hành D. BA BC BM
Lời giải
Chọn D.
MC MB BM MA CM CB BC BA BM BC BM AB CM BA
Suy ra M là điểm thỏa ABCM là hình bình hành. Nên BA BC BM .
Câu 19: Cho ABC
, D là trung điểm AB, E là trung điểm BC, điểm M thỏa MA BC BM AB BA .
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. BD CM B. AM ED
C. M là trung điểm BC. D. EM BD
Chọn D.
Lời giải
Trang 23

MA BC BM AB BA MA MC BA AB MA MC O
Suy ra M là trung điểm AC. Suy ra BEMD là hình bình hành nên EM BD .
Câu 20: Cho tứ giác ABCD, điểm M thỏa MA MB AC MD CD . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. M là trung điểm AB B. M là trung điểm BC
C. D là trung điểm BM D. M là trung điểm DC
Lời giải
Chọn D.
MA MB AC MD CD
BA AC MD CD
BC MD CD
MD DC CB
DM BD .
Dạng 5: Các bài toán tính độ dài vectơ
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Tính AD AB .
Lời giải
Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có AD AB AC AC AB 2 a 2 .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB AC .
Lời giải
Gọi M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành. Ta có AB = AC nên ABMC là hình thoi. Gọi O là tâm
hình thoi ABMC. AB AC AM AM 2AO a 3 .
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB AD .
Lời giải
Ta có AB AD AC AC 2a
2 .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 5, H là trung điểm của BC. Tính CA HC .
Trang 24

Lời giải
Gọi M là điểm sao cho CHMA là hình bình hành.
Ta có: CA HC CA CH CM CM 2CE
(E là tâm cúa hình bình hành CHMA).
5 3
Ta lại có: AH ( ABC
đều, AH là đường cao).
2
Trong tam giác HEC vuông tại H , có:
2
2 2 2 5 3 5 7 5 7
EC CH HE 2.5
CA HC 2CE
.
4
4 2
Ví dụ 5: Có hai lực F , F cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực F , F đều có cường
1 2
độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc
bằng bao nhiêu?
1 2
60 . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ
Lời giải
Giả sử F OA,
F OB .
1 2
Theo quy tắc hình bình hành, suy ra
F F OC , như hình vẽ.
1 2
Ta có AOB 60 , OA OB 50 , nên tam giác OAB đều, suy ra OC 50 3 .
Vậy F1 F2 OC 50 3 (N).
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính AB AC .
A. AB
a
AC a 3
B. AB AC
3 . M trùng A.
2
C. AB AC 2a
D. AB AC 2a
3
Chọn A.
Lời giải
Trang 25

Gọi M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành. Ta có AB = AC nên ABMC là hình thoi. Gọi O là tâm
hình thoi ABMC. AB AC AM AM 2AO a 3 .
Câu 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Độ dài AD AB bằng
A. 2a
a 2
a 3
B. C.
2
2
D. a 2
Lời giải
Chọn D.
Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có AD AB AC AC AB 2 a 2 .
Câu 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AC BC
B. AC a
C. AB AC
D.
Lời giải
Chọn D.
AB AB a .
Câu 4: Cho AB khác 0
và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa AB CD ?
AB
a
A. Vô số B. 1 điểm C. 2 điểm D. Không có điểm nào.
Chọn A.
Ta có AB CD AB CD .
Lời giải
Suy ra tập hợp các điểm D là đường tròn tâm C bán kính AB.
Câu 5: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. 0 cùng hướng với mọi vectơ. B. 0
cùng phương với mọi vectơ.
C. AA 0
D. AB 0
Lời giải
Chọn D.
Mệnh đề AB 0 là mệnh đề sai, vì khi A B thì AB 0 .
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm I ; G là trọng tâm tam giác BCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. BA DA BA DC
B. AB AC AD 3AG
C. BA BC DA DC
D. IA IB IC ID 0
Chọn A.
Lời giải
Trang 26

Ta có
BA DA BA DC DA DC
(vô lý) → A sai.
G là trọng tâm tam giác BCD; A là một điểm nằm ngoài tam giác BCD → đẳng thức ở đáp án B đúng.
Ta có BA BC BD và DA DC DB . Mà DB BD → đáp án C đúng.
Ta có IA và IC
đối nhau, có độ dài bằng nhau IA IC 0 ; tương tự IB ID 0 → đáp án D
đúng.
Câu 7: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 5, H là trung điểm của BC. Tính CA HC .
5 3 5 7 5 7
A. CA HC B. CA HC 5 C. CA HC D. CA HC
2
4
2
Chọn D.
Lời giải
Gọi M là điểm sao cho CHMA là hình bình hành.
Ta có: CA HC CA CH CM CM 2CE
(E là tâm cúa hình bình hành CHMA).
5 3
Ta lại có: AH ( ABC
đều, AH là đường cao).
2
Trong tam giác HEC vuông tại H, có:
2 2 2 5 3 5 7 5 7
EC CH HE 2.5
CA HC 2CE
.
4
4 2
2
Câu 8: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. BA CD B. AB CD
C. OA OC
D. AO OC
Chọn C.
Ta có O là trung điểm của AC nên OA OC
.
Lời giải
Trang 27

Câu 9: Có hai lực F , F cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực F , F đều có cường độ
1 2
là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc
bao nhiêu?
1 2
60 . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng
A. 100 (N) B. 50 3 (N) C. 100 3 (N) D. Đáp án khác.
Chọn B.
Lời giải
Giả sử F OA,
F OB .
1 2
Theo quy tắc hình bình hành, suy ra
F F OC , như hình vẽ.
1 2
Ta có AOB 60 , OA OB 50 , nên tam giác OAB đều, suy ra OC 50 3 .
Vậy F1 F2 OC 50 3 (N).
Câu 10: Cho tứ giác ABCD có AB DC và AB BC . Khẳng định nào sau đây sai?
A. AD BC
B. ABCD là hình thoi.
C. CD BC
D. ABCD là hình thang cân.
Lời giải
Chọn D.
Tứ giác ABCD có AB DC ABCD là hình bình hành (1), nên AD BC .
Mà AB BC (2).
Từ (1) và (2) ta có ABCD là hình thoi nên CD BC .
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a. Tính AB AC .
A. AB
a
AC a 2 B. 2
AB AC C. AB AC 2a
D. AB AC a
2
Lời giải
Chọn A.
Gọi D là điểm thỏa ABDC là hình bình hành. Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra ABDC là hình vuông.
AB AC AD 2AM BC a 2 .
Câu 12: Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường trung tuyến. Tính AC AH .
Trang 28

a 3
a 13
A. B. 2a C. D.
2
2
Lời giải
Chọn C.
a
3
Dựng CM AH AHMC là hình bình hành AC AH AM AC AH AM .
Gọi K đối xứng với A qua BC AKM vuông tại K.
a
AK 2AH a 3; KM CH
2
2
2
2 2 a a 13
.
AM AK KM a 3 .
2 2
Câu 13: Cho ba lực F1 MA, F2 MB,
F3
MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.
Cho biết cường độ của F1 , F2
đều bằng 25N và góc AMB 60 . Khi đó cường độ lực của F3
là
A. 25 3 N B. 50 3 N C. 50 2 N D. 100 3 N
Lời giải
Chọn A.
Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được F
F F .
3 1 2
Dựng hình bình hành AMBN. Ta có F1 F2
MA MB MN
Trang 29

2 3MA
Suy ra F3
MN MN 25 3 .
2
Câu 14: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Tìm khẳng định sai.
A. IB IC IA IA B. IB IC BC C. AB AC 2AI
D. AB AC 3GA
Chọn B.
Lời giải
IB IC IA 0 IA IA IA (Do I là trung điểm BC) nên khẳng định ở A đúng.
AB AC AD AD 2AI
(Gọi D là điểm thỏa ABDC là hình bình hành, I là trung điểm BC) nên
khẳng định ở C đúng.
AB AC 2AI 3GA
(Do G là trọng tâm tam giác ABC) nên khẳng định ở D đúng.
IB IC 0 0 (Do I là trung điểm BC) nên khẳng định ở B sai.
Câu 15: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. AC BD B. BC DA
C. AD BC
D.
AB
CD
Chọn A.
Lời giải
Ta có AC BD là đẳng thức sai vì độ dài hai đường chéo của hình bình hành không bằng nhau.
Câu 16: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB AD .
A. 4a 2
B. 4a C. 2a
2
D. 2a
Trang 30

Chọn C.
Lời giải
Ta có AB AD AC AC 2a
2 .
Câu 17: Cho tam giác ABC đều, cạnh 2a, trọng tâm G . Độ dài vectơ
AB GC
2a 3
2a 4a 3
a 3
A. B. C. D.
3
3
3
3
Lời giải
Chọn C.
Ta có: AB GC GB GA GC GB
GA GC
GB GB
vì GA GB GC 0 .
2 2a
3 4a
3
Khi đó AB GC GE 2GB
2. . (E đối xứng với G qua M).
3 2 3
Câu 18: Tam giác ABC thỏa mãn: AB AC AB AC thì tam giác ABC là
A. Tam giác vuông A B. Tam giác vuông C. C. Tam giác vuông B D. Tam giác cân tại C
Chọn A.
Lời giải
Gọi E là trung điểm BC, M là điểm thỏa ABCM là hình bình hành. Ta có
1
AB AC AB AC AM CB AE BC . Trung tuyến kẻ từ A bằng một nửa cạnh BC nên
2
tam giác ABC vuông tại A.
Câu 19: Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có G là trọng tâm. Khi đó AB GC là
a 3
2a 3
4a 3
2a
A. B. C. D.
3
3
3
3
Chọn C.
Lời giải
là
Trang 31

Gọi M là trung điểm BC, dựng điểm N sao cho BN AG .
2 2a
3 4a
3
Ta có: AB GC GB GA GC GB GA GC
2GB 2. GB 2. .
3 2 3
(E đối xứng
với B qua G).
Câu 20: Cho hai lực F MA,
F MB
cùng tác động vào một vật điểm M cường độ hai lực F , F lần
lượt là 300 (N) và 400 (N).
1 2
AMB 90
. Tìm cường độ lực tổng hợp tác động vào vật.
A. 0 (N) B. 700 (N) C. 100 (N) D. 500 (N)
Chọn D.
Lời giải
1 2
Cường độ lực tổng hợp của
AB
2 2
MA MB 500 suy ra F 500 (N).
F F F MA MB MI AB
1 2
2
(I là trung điểm của AB). Ta có
Trang 32

Trang 33

BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho vectơ a và số k . Tích của vectơ a và số k là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau:
ka cùng hướng với a nếu k 0 , ka ngược hướng với a nếu k 0 .
ka k . a
II. TÍNH CHẤT
1. Với hai vectơ a và b
bất kì, với mọi số k và l , ta có:
k a
b
ka
kb
k l a ka la
k la kl a
0. a 0, k.0 0
1 a a , 1 .
a a
ka 0 k 0 hoặc
a 0
2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 0 OA OB 2OM
Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ABC: ABC GA GB GC 0 OA OB OC 3OG
(O tuỳ ý).
(O tuỳ ý).
III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
1. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
và a 0
cùng phương k : b ka .
a b
2. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng k 0 : AB k AC
IV. BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất
theo hai vectơ a và b
, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho x ma nb
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định vectơ ka
{Dựa vào định nghĩa và các tính chất của tích vectơ với một số }
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho a
AB và điểm O . Xác định hai điểm M và N sao cho: OM 3 a; ON 4a
Lời giải
Trang 1

Vẽ d đi qua O và song song với giá của a (nếu O thuộc giá của a thì d là giá của a )
Trên d lấy điểm M sao cho OM 3 a
, OM
và a
cùng hướng khi đó OM 3a
.
Trên d lấy điểm N sao cho ON 4 a , ON và a
ngược hướng nên ON 4a
.
Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho
đẳng thức sau
a) AM k AB
b) MA kMB
c) MA k AB
Lời giải
AM
1
5
AB
. Tìm k trong các
AM AM 1
a) AM
k AB k , vì .
AB
AB
1
AM AB k
5
5
1
b) k
4
1
c) k
5
Ví dụ 3. Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA
3MB
0
Lời giải
Ta có:
2
3 0 2
MA MB MA 3
MA AB 0
MA 3
AB 0
AM 3
AB
AM ,
AB cùng hướng và AM 3AB
.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K sao cho KA 2KB CB
b) Tìm điểm M sao cho MA MB 2MC
0
Lời giải
Trang 2

a) Ta có: KA 2KB CB KA 2KB KB KC KA KB KC 0
K là trọng tâm của tam giác ABC.
b) Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: MA MB 2MC 0 2MI 2MC 0 MI MC 0
M là trung điểm của IC .
Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính
a) AB AC BC
b) AB AC
Lời giải
AB AC BC AB BC AC AC AC AC AC AC a
a) 2 2 2 2
b) Gọi H là trung điểm của BC . Ta có:
AB AC AH AH AH AB BH a a
2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 a
3
Ví dụ 6. Cho ABC vuông tại B có A 30 , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hãy tính:
a) BA BC
b) AB AC
Lời giải
Trang 3

Ta có:
a)
b)
a 3 AB a 2a
3
BC AB tan A a tan 30 , AC
3 cos A cos30
3
AC 2a
3
BA BC 2BI 2 BI 2BI 2. AC
2 3
2 2 2 a 3 a 39
AB AC 2AM 2 AM 2AM 2 AB BM 2 a
6
3
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Khẳng định nào sai?
A. 1.a a
B. ka và a cùng hướng khi k 0
C. ka và a cùng hướng khi k 0
D. Hai vectơ a
và b 0 cùng phương khi có một số k để a kb
Chọn C
Lời giải
(Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)
Câu 2: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP
. Điểm P được xác định đúng trong hình
vẽ nào sau đây:
2
A. Hình 3 B. Hình 4 C. Hình 1 D. Hình 2
Lời giải
Trang 4

Chọn A
MN 3MP MN ngược hướng với
MP
và
MN 3 MP
Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Nếu AB 3AC
thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. BC 4AC
B. BC 2AC
C. BC 2AC
D. BC 4AC
Chọn D
Lời giải
Câu 4: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng
A. BI IC
B. 3BI
2IC
C. BI 2IC
D. 2BI IC
Lời giải
Chọn A
Vì I là trung điểm của BC nên BI CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng nhau
hay BI IC .
Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau,
tìm mệnh đề sai?
1
A. AB 2AM
B. AC 2CN
C. BC 2NM
D. CN AC
2
Lời giải
Chọn B
Câu 6: Cho a 0
và điểm O . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a
và ON 4a
. Khi đó:
A. MN 7a
B. MN 5a
C. MN 7a
D. MN 5a
Lời giải
Chọn C
Ta có: MN ON OM 4a 3a 7a
Câu 7: Tìm giá trị của m sao cho a mb
, biết rằng a , b
ngược hướng và a 5, b 15
1
1
A. m 3
B. m
C. m D. m 3
3
3
Trang 5

Chọn B
Do a , b a
5 1
ngược hướng nên m .
b 15 3
Lời giải
Câu 8: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của
AB AC
bằng:
A. 2a B. a 3
C. 2a
3
D.
Chọn C
Lời giải
a 3
2
Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó:
2a
3
AB AC 2. AH 2. AH 2. 2a
3
2
Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức
MA MB 2MC
0
A. M là trung điểm của BC
B. M là trung điểm của IC.
C. M là trung điểm của IA
D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM 2MC
Lời giải
Chọn B
MA MB 2MC 0 2MI 2MC 0 MI MC 0 M là trung điểm của IC .
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thỏa mãn 4AM AB AD AC . Khi đó điểm M là:
A. Trung điểm của AC B. Điểm C
C. Trung điểm của AB D. Trung điểm của AD
Chọn A
Lời giải
Trang 6

1
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 4AM AB AD AC 4AM 2AC AM AC
2
M là trung điểm của AC .
Câu 11: Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD 60 . Tính độ dài vectơ AB AD
A. AB AD 2a
3
B. AB AD a 3
C. AB AD 3a
D. AB AD 3a
3
Chọn A
Lời giải
Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD 60
nên ABD đều
2 2 2 2
AB AD AC 2. AO 2. AO 2. AB BO 2. 4a a 2a
3
Câu 12: Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA OB 2OC OA OB
. Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. Tam giác ABC đều B. Tam giác ABC cân tại C
C. Tam giác ABC vuông tại C D. Tam giác ABC cân tại B
Lời giải
Chọn C
Trang 7

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:
OA OB 2OC OA OB OA OC OB OC BA CA CB AB
1
2. CI AB 2CI AB CI AB Tam giác ABC vuông tại C .
2
21 5
Câu 13: Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA OB a . Độ dài của véc tơ u OA OB là:
4 2
a 140
a 321
a 520
a 541
A. B. C. D.
4
4
4
4
Lời giải
Chọn D
21 5
Dựng điểm M, N sao cho: OM OA,
ON OB . Khi đó:
4 2
2 2
2 2 21a 5a a 541
u OM ON NM MN OM ON
4 2 4
Câu 14: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE . Gọi I
và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng?
1 1 1 1
A. IJ AE B. IJ AE
C. IJ AE
D. IJ AE
2
3
4
5
Lời giải
Chọn C
Trang 8

Ta có: 2IJ IQ IN IM MQ IP PN MQ PN
MQ MA AE EQ
2 MQ AE BD MQ 1
AE BD,
PN
1
BD
MQ MB BD DQ
2 2
1 1 1 1
IJ AE BD BD AE IJ AE
2 2 2 4
Suy ra: 2
1
Câu 15: Cho đoạn thẳng AB . Gọi M là một điểm trên AB sao cho AM AB . Khẳng định nào sau đây
4
sai?
1 1 3
A. MA MB B. AM AB C. BM BA D. MB 3MA
3
4
4
Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho
MA
1
5
AB
. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
1 1
4
A. AM AB B. MA MB C. MB 4MA
D. MB AB
5
4
5
Chọn D
Lời giải
4
Ta thấy MB và AB cùng hướng nên MB AB là sai.
5
Câu 17: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường thẳng BN cắt
AC tại P . Khi đó AC xCP thì giá trị của x là:
4
2
3
A.
B.
C.
D.
3
3
2
Lời giải
5
3
Trang 9

Chọn C
Kẻ
Vì
MK / / BP K AC
MK / / BP MK / / NP
Do đó:
AP PK KC
. Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP
mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK
3 3
. Vậy AC CP x
2 2
Dạng 2: Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng
{Điều kiện hai vectơ cùng phương, điều kiện ba điểm thẳng hàng }
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao
1
AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
3
Lời giải
1
Ta có 2BI BA BM BA BC 4BI 2BA BC 1
2
1 1 2 1
Ta có BK BA AK BA AC BA BC BA
BA BC
3 3 3 3
3BK 2BA BC 2
4
Từ 1 và 2 3BK 4BI BK BI B, I, K thẳng hàng.
3
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
BC MA 0, AB NA 3AC
0 . Chứng minh MN / / AC
Lời giải
Ta có BC MA AB NA 3AC
0 hay AC MN 3AC 0 MN 2AC
Trang 10

Vậy MN , AC cùng phương
Theo giả thiết BC AM . Mà A, B, C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B, C, M là bốn đỉnh của hình
bình hành M không thuộc AC
Vậy MN / / AC
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:
A. AB AC B. k 0 : AB k.
AC C. AC AB BC D. MA MB 3 MC,
điểm M
Lời giải
Chọn B
Câu 2: Cho ABC . Đặt a
BC , b
AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A. 2 a b, a 2b
B. a 2 b, 2a b C. 5 a b, 10a 2b
D. a b,
a b
Lời giải
Chọn C
Ta có: 10 2 2. 5
a b a b 5
a b và 10a
2b
cùng phương.
Câu 3: Cho hai vectơ a và b
không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
A. 3a
b
và 1 6
B. và
2 a b
1
2 a
b
2a b
1
C. và D. và
2 a b
1
2 a b
1
2 a b
Chọn C
Lời giải
a
2b
Câu 4: Cho hai vectơ a và b
không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
A. u 2a 3b
và v
1 a 3b
B. u 3 a 3b
và v 2a 3 b
2
5
5
C. 2
u a 3b
và v 2a 9b
D. u 2a 3 b
và
1
v a 1 b
3
2 3 4
Lời giải
Chọn D
Câu 5: Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vectơ 3a
2b
và
x 1 a 4b
cùng
phương. Khi đó giá trị của x là:
A. 7 B. 7 C. 5 D. 6
Chọn A
Lời giải
Điều kiện để hai vectơ 3a
2b
và x 1
a 4b
x 1 4
cùng phương là: x 7
3 2
Trang 11

Câu 6: Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a
3b
và a x 1
b cùng
phương. Khi đó giá trị của x là:
1
3
1
A. B.
C.
D.
2
2
2
Lời giải
Chọn C
Câu 7: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BC MA 0 ,
AB NA 3AC
0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. MN AC
B. MN / / AC
C. M nằm trên đường thẳng AC D. Hai đường thẳng MN và AC trùng nhau
Chọn B
Lời giải
3
2
Ta có: BC MA 0 AM BC M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM nên M AC (1)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức BC MA 0, AB NA 3AC
0 , ta được:
BC MA AB NA 3AC
0
MA AN AB BC 3AC 0 MN AC 3AC 0 MN 2AC
MN cùng phương với
AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN / / AC
Dạng 3: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho
1 2
AM AB AC
3 3
Lời giải
MB 2MC
. Chứng minh rằng:
Trang 12

Ta có:
1
BC AC 1
AM AC CM AC AC AB
1
AB
2
AC
3 3 3 3
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho ABC có trọng tâm G . Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB và I là giao điểm của AD và EF .Đặt u AE,
v AF . Hãy phân tích các vectơ AI, AG, DE,
DC theo
hai vectơ u và v .
Lời giải
Ta có: AEDF là hình bình hành AD AE AF
Ta có: 1 1
1
AI AD AE AF u v
2 2 2
2 2 2
AG AD AE AF u v
3 3 3
DE FA AF 0.u 1
v
DC FE AE AF u v
Ví dụ 3. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC, trọng tâm G . Hãy phân tích các vectơ
AB, BC,
CA theo hai vectơ u AK,
v BM
Lời giải
2 2
AB AG GB AK BM
3 3
2 1 1 4
BC 2BK 2BG GK 2. BM AK AK BM
3 3 3 3
1
CA AC AK KC
AK BC
2
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Trang 13

Câu 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho
đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 1 3
AM AB AC
B. AM 2AB AC
2 2
1
C. AM AB AC
D. AM AB AC
2
Lời giải
Chọn A
MB 3MC
. Khi đó
Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có:
2 2 1
AM AI AC AM AI AC AB AC
2AC 1
AB
3
AC
2 2 2
Câu 2: Cho tam giác ABC biết
AC sao cho
AN x 0 x 9
AB 8, AC 9, BC 11
. Hệ thức nào sau đây đúng?
. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn
1 x 1
A. MN x 1 1
AC AB
B. MN
CA BA
2 9 2
9 2 2
x 1 1
C. MN x 1 1
AC AB
D. MN
AC AB
9 2 2
9 2 2
Chọn D
Lời giải
1 x 1 1
MN AN AM AC AB AC
AC AB
9 2 9 2 2
x
Ta có:
Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào đúng?
A. 2 1 1 1
AH AC AB
B. AH AC AB
3 3
3 3
Trang 14

C. 2 1 2 1
AH AC AB
D. AH AB AC
3 3
3 3
Lời giải
Chọn A
Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC .
Ta thấy AHCG là hình bình hành nên
2 2 1
AH AG AC AH AM AC AH . AB AC
AC
3 3 2
1
AH AC AB AC
AH 2
AC
1
AB
3 3 3
Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC
CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. 1 1 1 1
AG AE AF
B. AG AE AF
2 2
3 3
C. 3 3 2 2
AG AE AF
D. AG AE AF
2 2
3 3
Lời giải
Chọn D
2 2 1 1 2 2
Ta có: AG AD . AB AC 2AF 2AE
AE AF
3 3 2 3 3 3
2
Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm sao cho BD BC và I là trung điểm của cạnh AD, M là điểm
3
2
thỏa mãn AM AC . Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và BC . Hãy chọn khẳng định đúng
5
trong các khẳng định sau?
Trang 15

A. 1 1 1 1
BI BA BC
B. BI BA BC
2 3
2 2
C. 1 3 1 1
BI BA BC
D. BI BA BC
2 4
4 6
Lời giải
Chọn A
Ta có: I là trung điểm của cạnh AD nên
1
BI BA BD
1 2
BA BC 1
BA
1
BC
2 2 3 2 3
Câu 6: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho
trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 1 1 1 1
AK AB AC
B. AK AB AC
4 6
2 3
C. 1 1 1 2
AK AB AC
D. AK AB AC
4 3
2 3
Lời giải
Chọn A
CN 2NA
. K là
1 1
Ta có M là trung điểm AB nên AM AB; CN 2NA AN AC
2 3
1 1 1
Do đó AK AM AN AB AC
2 4 6
Câu 7: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi G theo thứ tự là trọng tâm
của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng:
Trang 16

1
A. AC BD
B. C. D.
2
2
AC BD
3
3
AC
BD
Lời giải
Chọn D
1
3
AC
BD
Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên: 1
GG GO GC GD
(1)
3
Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên: GO GA GB 0 GO GA GB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 1
GG GA GB GC GD 1
AC BD
3 3
Câu 8: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB 5, BC 6, CA 7 . Khi đó AD bằng:
A. 5 7 7 5 7 5 5 7
AB AC B. AB AC C. AB AC D. AB AC
12 12
12 12
12 12
12 12
Chọn C
Lời giải
Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên:
BD AB 5 5
BD DC
DC AC 7 7
5
AD AB AC AD
7
7 5
AD AB AC
12 12
Câu 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NC 2NA
. Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:
Trang 17

A. 1 1 1 1
AK AB AC
B. AK AB AC
6 4
4 6
C. 1 1 1 1
AK AB AC
D. AK AB AC
4 6
6 4
Chọn C
Câu 10: Cho tam giác ABC, N là điểm xác định bởi
Lời giải
CN
1
2
BC
tính AC theo AG , AN là:
A. 2 1 4 1
AC AG AN
B. AC AG AN
3 2
3 2
C. 3 1 3 1
AC AG AN
D. AC AG AN
4 2
4 2
Chọn C
Lời giải
, G là trọng tâm tam giác ABC. Hệ thức
Câu 11: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5 và CA 6 . Khi
đó DE bằng
A. 5 3 3 5 9 3 3 9
CA CB B. CA CB C. CA CB D. CA CB
9 5
5 9
5 5
5 5
Chọn A
Lời giải
6 6
AD là phân giác trong của tam giác ABC nên
CD AC CD
DB AB 4 CD DB 6 4
CD 6 3
CD CB
CB 10 5
CE 5 5
Tương tự: CE CA
CA 9
9
5 3
Vậy DE CE CD CA CB
9 5
Dạng 4: Đẳng thức vectơ chứa tích của vectơ với một số
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng:
Trang 18

AB CD 2IJ
Lời giải
IJ IA AB BJ
Ta có: 2IJ IA IC AB CD BJ DJ
IJ IC CD DJ
2IJ 0 AB CD 0 AB CD
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh rằng: AC BD AD BC 2EF
b) Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh rằng GA GB GC GD 0
Lời giải
a) AC BD AE EF FC BE EF FD 2EF AE BE FC FD
2EF
0 0 2EF
1
AD BC AE EF FD BE EF FC 2EF AE BE FD FC
2EF
0 0 2EF
Từ 1 và 2 suy ra: AC BD AD BC 2EF
GA GB GC GD 2GE 2GF 2 GE GF 20 0
b)
Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB 2AC AD 3AC
Lời giải
Trang 19

2
VT AB AC AD AB AD 2
AC 3
AC VP
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABC
thì
3GG AA BB CC
Lời giải
VP AA BB CC
AG GG GA BG GG GB CG GG GC
3GG AG BG CG GA GB GC
3
GG GA GB GC GA GB GC 3
GG
VP
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:
A. 2MA MB 3MC AC 2BC
B. 2MA MB 3MC 2AC BC
C. 2MA MB 3MC 2AC CB
D. 2MA MB 3MC 2CB CA
Lời giải
Chọn C
Câu 2: Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam
giác. Hệ thức đúng là:
3 1
A. OH OG B. OH 3OG
C. OG GH D. 2GO
3OH
2
2
Lời giải
Chọn B
Câu 3: Ba trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM BN CP bằng
vectơ nào?
3
A. GA GB CG
B. C. D.
2
3 MG
NG GP
1
AB BC AC
2
0
Lời giải
Chọn D
Trang 20

0
2 2 2 2
Ta có: AM BN CP 3 AG 3 BG 3 CG 3
AG BG CG
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Hệ thức nào sau đây đúng?
A. AI AK 2AC
B. AI AK AB AD
3
C. AI AK IK
D. AI AK AC
2
Lời giải
Chọn D
Câu 5: Cho tam giác đều ABC tâm O . Điểm M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống
ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ MD , ME , MF , MO là:
A. MD ME MF
1 2
MO
B. MD ME MF MO
2
3
C. MD ME MF
3 3
MO
D. MD ME MF MO
4
2
Câu 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB và DC . Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các
đường thẳng AD và BC sao cho PA 2 PD, QB 2QC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. MN AD BC
B. MN MP MQ
2
1
1
C. MN AD BC
D. MN MD MC NB NA
2
4
Câu 7: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:
1
A. MA MB MI B. MA MB 2MI
C. MA MB 3MI
D. MA MB MI
2
Lời giải
Chọn B
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA MB 2MI
Câu 8: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:
A. MA MB MC MG
B. MA MB MC 2MG
C. MA MB MC 3MG
D. MA MB MC 4MG
Trang 21

Lời giải
Chọn C
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA MB MC 3MG
Câu 9: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng?
1
A. GA 2GI
B. IG IA C. GB GC 2GI
D. GB GC GA
3
Lời giải
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB GC 2GI
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng?
A. AC BD 2BC
B. AC BC AB
C. AC BD 2CD
D.
Lời giải
Chọn A
AC AD CD
AC BD AB BC BC CD 2BC AB CD 2BC
Ta có:
Câu 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
A. 2
AB AC AG B. BA BC 3BG
C. CA CB CG D. AB AC BC 0
3
Chọn B
Lời giải
Trang 22

Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó: BA BC 2BM 2. 3
BG 3BG
.
2
Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
1 1
A. AB AD 2AO
B. AD DO CA C. OA OB CB D. AC DB 4AB
2
2
Lời giải
Chọn D
AC DB AB BC DC CB AB DC 2AB
Câu 13: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó AC BD
A. MN
B. 2MN
C. 3MN
D. 2MN
Chọn B
Lời giải
bằng:
MN MA AC CN
Ta có: 2MN AC BD
MN MB BD DN
Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MA MB MC MD MO
B. MA MB MC MD 2MO
Trang 23

C. MA MB MC MD 3MO
D.
Lời giải
Chọn D
MA MB MC MD 4MO
MA MB MC MD MA MC MB MD MO MO MO
Ta có: 2 2 4
Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. OH 4OG
B. OH 3OG
C. OH 2OG
D. 3OH OG
Lời giải
Chọn B
Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA HD 2HO
(1)
Vì HBDC là hình bình hành nên HD HB HC (2)
HA HB HC 2HO HO OA HO OB HO OC 2HO
Từ (1),(2) suy ra:
3
HO OA OB OC 2
HO OA OB OC HO 3
OG OH
Câu 16: Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, I là điểm trên GC sao cho IC 3IG
.
Với mọi điểm M ta luôn có MA MB MC MD bằng:
A. 2MI
B. 3MI
C. 4MI
D. 5MI
Chọn C
Lời giải
Trang 24

Ta có: 3IG IC
Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên
IA IB ID 3IG IA IB ID IC IA IB IC ID 0
Khi đó: MA MB MC MD MI IA MI IB MI IC MI ID
4MI IA IB IC ID 4MI
MI
0 4
Câu 17: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ ID, IE,
a a
IF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB . Giả sử ID IE IF IO (với
b b
là phân số tối giản). Khi
đó a b bằng:
A. 5 B. 4 C. 6 D. 7
Lời giải
Chọn A
Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC, NR / / CA
Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN, IPQ, IRS cũng là tam giác đều.
Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ, RS.
1
ID IE IF IM IN 1
IP IQ 1
IR IS
2 2 2
1
IQ IR IM IS IN IP 1
IA IB IC
2
2
1 3
.3IO IO a 3, b 2 . Do đó: a b 5
2 2
Khi đó:
Trang 25

Câu 18: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA MB MC 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Lời giải
Chọn D
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
1
Ta có: MA MB MC 3MG 3MG 1 MG
3
1
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC 1 là đường tròn tâm G bán kính R .
3
Câu 19: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ v MA MB 2MC
. Hãy
xác định vị trí của điểm D sao cho CD v .
A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD
B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD
C. D là trọng tâm của tam giác ABC
D. D là trực tâm của tam giác ABC
Lời giải
Chọn B
Ta có: v MA MB 2MC MA MC MB MC CA CB 2CI
(Với I là trung điểm của AB )
Vậy vectơ v
không phụ thuộc vào vị trí điểm M . Khi đó: CD v 2CI
I là trung điểm của CD
Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.
Câu 20: Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức OA OB 2OC
0 .
Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v MA MB 2MC
có độ dài nhỏ nhất
A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d
B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d
C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d
D. Điểm M là giao điểm của AB và d
Lời giải
Chọn A
Trang 26

Gọi I là trung điểm của AB .
Khi đó: OA OB 2OC 0 2OI 2OC 0 OI OC 0 O là trung điểm của IC
Ta có:
2
v MA MB MC OA OM OB OM 2
OC OM OA OB 2
OC 4
OM 4
OM
Do đó v 4OM
Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d .
Câu 21: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho NC 2NA
. Hãy
xác định điểm K thỏa mãn: 3AB 2AC 12AK
0 và điểm D thỏa mãn: 3AB 4AC 12KD
0
A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC
B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN
C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB
D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC
Chọn A
Lời giải
Ta có:
AB 2AM
1
3AB 2AC 12AK 0 3.2AM 2.3AN 12AK 0 AK AM AN
AC 3AN
2
Suy ra K là trung điểm của MN
Ta có:
3
4 12 0
3 4
AB AC KD AB AC 12
AD AK 0
3
AB 4
AC 12
AK 12
AD
1
12AD 3AB 4AC 3AB 2AC 12AD 6AB 6AC AD AB AC
2
Trang 27

Suy ra D là trung điểm của BC .
Câu 22: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa
4AM AB AC AD
A. trung điểm AC B. điểm C
C. trung điểm AB D. trung điểm AD
Chọn A
Lời giải
Câu 23: Cho hình chữ nhật ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn
. Khi đó điểm M là:
MA MB MC MD
A. Đường tròn đường kính AB B. Đường tròn đường kính BC .
C. Đường trung trực của cạnh AD. D. Đường trung trực của cạnh AB .
Chọn C
Lời giải
là:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và DC .
MA MB MC MD 2ME 2MF
ME MF
Do đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF hay M thuộc đường trung trực của cạnh AD
Câu 24: Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA
MC MB MD
là:
A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn.
C. Toàn bộ mặt phẳng ABCD D. Tập rỗng.
Lời giải
Chọn C
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:
MA MB MC MD 2MO 2MO
MO MO
(đúng với mọi M)
Trang 28

Vậy tập hợp các điểm M là toàn bộ mặt phẳng ABCD .
Câu 25: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 2 MA MB MC 3 MB MC
. Tập hợp M là:
A. Một đường tròn B. Một đường thẳng
C. Một đoạn thẳng D. Nửa đường thẳng
Lời giải
Chọn B
Câu 26: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số
Chọn D
Câu 27: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa
Lời giải
3MA 2MB MC MB MA
A. Một đoạn thẳng B. Một đường tròn
C. Nửa đường tròn D. Một đường thẳng
Chọn B
Lời giải
Câu 28: Cho năm điểm A, B, C, D, E . Khẳng định nào đúng?
AC CD EC 2 AE DB CB
A.
B. AC CD EC 3 AE DB CB
AE DB CB
C. AC CD EC
4
D. AC CD EC AE DB CB
Lời giải
Chọn D
AC CD EC AE DB CB
AC AE
CD CB
EC DB
0
. Tập hợp M là:
EC BD EC DB 0
BD DB 0 (đúng) ĐPCM.
1
Câu 29: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC .
3
Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA GC đạt giá trị
nhỏ nhất.
4
5
6
A. B. C. D.
5
6
5
Chọn B
Lời giải
5
4
Trang 29

Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME
Kẻ EF BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF
Do đó MA GC nhỏ nhất khi M F .
Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q
BC
Khi đó P là trung điểm GE nên
BP
Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên
Mặt khác,
1
BH HC
3
3
4
BE
BQ BP
BF BE
3
4
hay
PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay
BF
4
3
HQ
1 1 5 5 3 5
Suy ra BQ BH HQ HC HC HC . BC BC
3 2 6 6 4 8
4 5
Do đó BF BQ BC
3 6
BQ
1
2
HC
Câu 30: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho
MA MB MA MB
. Gọi
H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ?
a a 3
A. B.
2
2
C. a
D.
Lời giải
Chọn A
2a
Trang 30

Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN
Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN=AB
Suy ra MANB là hình chữ nhật nên AMB 90
Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB .
AB a
MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO
2 2
Trang 31

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. TRỤC VÀ ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ TRÊN TRỤC
1. Trục tọa độ
Định nghĩa
BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là
điểm gốc và một vectơ đơn vị e.
Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
Ta kí hiệu trục đó là O; e
.
2. Tọa độ của một điểm
Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e
. Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM ke.
Ta gọi số k
đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
3. Tọa độ vecto
Cho hai điểm A và B trên trục O; e
.
Khi đó có duy nhất số a sao cho AB ae.
Ta gọi số a là độ dài
đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB.
Nhận xét.
Nếu AB cùng hướng với e
thì AB AB , còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB.
A B
Nếu hai điểm và trên trục O;
e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a.
II. HỆ TỌA ĐỘ
1. Hệ tọa độ
Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O; i;
j
gồm 2 trục O ;
i và O;
j vuông góc với nhau. Điểm gốc O
chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục ; được gọi là trục hoành và kí hiệu là , trục O;
j
O i
Ox
được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy . Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trênOx và Oy và
i j 1
. Hệ trục tọa độ O; i,
j còn được kí hiệu là Oxy .
Trang 1

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ
Hãy gọi tắt là mặt phẳng Oxy .
Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ
2. Tọa độ vecto
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u
tùy ý. Vẽ OA u và gọi A1 , A2
lần lượt là hình chiếu của
vuông góc của A lên Ox và Oy . Ta có OA OA1 OA2
và cặp số duy nhất x;
y
để
OA1 xi,
OA2
y j . Như vậyu xi y j.
Cặp số x;
y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u
đối với hệ tọa độOxy và viết u x;
y
hoặc
u x;
y . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ Như vậy
u x;
y u xi y j
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai
Vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng
nhau và tung độ bằng nhau.
x x
Nếu u x;
y
và u x;
y
thì u u
y
y
Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
3. Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM
đối với hệ trục Oxy được
gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.
Như vậy, cặp số ; là tọa độ của điểm khi và chỉ khiOM
x; y . Khi đó ta viết M x;
y hoặc
x y
M
M x;
y .Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của điểm
M
còn được kí hiệu là x , tung độ của điểm M M
còn được kí hiệu là y M
.
M x;
y OM xi yi
Oxy
Trang 2

Chú ý rằng, nếu
MM Ox,
MM Oy thì x OM1, y OM
2.
1 2
4. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
A
x
Cho hai điểm
A; y
A
và B x B
; y B
. Ta có
AB x x ; y y .
B A B A
III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTO
Đinh lý: Cho u x;
y ; u x;
y
và số thực k . Khi đó ta có:
x
x
1) u u
y
y
u v x x;
y y
k. u kx;
ky
2)
3)
4) u cùng phương u
u
0
x kx
khi và chỉ khi có số k sao cho
y
ky
5) Cho ; y , B x ; y thì AB x x ; y y
A
x
A
A
B
B
B A B A
IV. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG – TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC
1. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Cho đoạn thẳng AB có A x
A; y
A, B x
B; y
B
. Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I x I
; y I
của
đoạn thẳng AB là
x
I
x
2. Tọa độ trọng tâm của tam giác
x y y
, y
I
.
2 2
A B A B
Cho tam giác có ; y , ; y ,C ; y . Khi đó tọa độ của trọng tâm G x ; y của tam
ABC A x B x x
giác ABC được tính theo công thức
x
G
A A B B C C
A B C
y
A
yB C
x x x , y
y
G
.
3 3
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 3
G
G

Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan
trên trụcO;
i
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ O;
i cho 2 điểm A,
B có tọa độ lần lượt là – 2; 1. Tìm tọa độ của vecto AB .
Ta có: AB 1 2 3 AB 3i
.
Lời giải
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ O;
i cho 2 điểm A,
B có tọa độ lần lượt 3 và – 5. Tọa độ trung điểm I của AB
là.
Tọa độ điểm
I
là:
x I
3 5
2
1
Lời giải
Ví dụ 3: Trên trục O;
i cho 3 điểm A, B,
C có tọa độ lần lượt là a; b;
c . Tìm điểm I sao cho
IA IB IC 0.
Gọi điểm I có tọa độ là x .
IA a x IA a x i;
IB b x IB b x i;
IC c x IC c x i;
IA IB IC 0 a b c 3x i 0
a b c
a b c 3 x x .
3
Lời giải
Ví dụ 4: Trên trục O;
i , cho ba điểm A, B,
C lần lượt có tọa độ là – 5; 2; 4. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
2MA 4MB 3MC
0.
Lời giải
Gọi điểm M có tọa độ là x .
MA 5 x MA 5 xi;
MB 2 x MB 2 xi;
MC 4 x MC 4 xi;
2MA 4MB 3MC 0 10 2x i 8 4x i 12 3x i 0
10
10 9x
0 x .
9
Ví dụ 5: Trên trục tọa độ O;
i cho 4 điểm A, B, C,
D bất kỳ. Chứng minh AB. CD AC. DB AD. BC 0.
Trang 4

Lời giải
Nhận thấy tọa độ điểm M 1; 1;0
thỏa mãn phương trình đường thẳng d .
Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C,
D lần lượt là a, b, c, d.
Ta có AB.
CD b a d c bd ac bc ad
AC. DB c a b d bc ad cd ab
AD.
BC d a c b cd ab ac bd
Cộng vế với vế lại ta được AB. CD AC. DB AD. BC 0
Cách 2: AB. CD AC. DB AD.
BC
AB. AD AC AC. AB AD AD.
AC AB
AB. AD AB. AC AC. AB AC AD AD. AC AD. AC 0.
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trên trục tọa độ O;
e , các điểm A,
B và C có tạo độ lần lượt là – 1; 2 và 3.Tìm giá trị của
AB 2 AC.
A. 11. B. 1. C. 7. D. – 11.
Chọn A.
Lời giải
AB 2 1 3, AC 3 1 4 AB 2AC
3 2.4 11.
Câu 2: Cho trục tọa độ O,
e
. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
A. AB AB.
B. AB AB. e.
C. Điểm có tọa độ là đối với trục tọa độ O,
e
thì OM a.
D. AB AB.
Chọn C
M a
Theo lý thuyết sách giáo khoa thì C đúng.
Lời giải
Câu 3: Trên trục O;
i , cho ba điểm A,
B lần lượt có tọa độ là 2; – 6. Tìm tọa độ điểm I sao cho
IA 3 IB.
A. 4. B. – 4. C. 5. D. – 10.
Câu 4: Trên trục O;
i , cho ba điểm M , N lần lượt có tọa độ là – 2; 3. Độ dài đại số của MN là:
A. 5. B. – 5. C. 1. D. – 1.
Dạng 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec tơ trên mặt phẳngOxy
Trang 5

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm M x;
y . Tìm tọa độ của các điểm M1
đối xứng với
M qua trục hoành?
Oxy
Lời giải
M1
đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 x; y.
Ví dụ 2: Trong không gian , cho hai điểm A 1;2 , B 2;3
. Tìm tọa độ của vectơ AB ?
Oxy
Lời giải
Ta có AB 2 1;3 2 3;1 .
Ví dụ 3: Vectơ a 4;0 được phân tích theo hai vectơ đơn vị i;
j như thế nào?
Ta có:
a 4;0 a 4i 0 j 4 i.
Lời giải
Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ , cho hình vuông tâm I và có A 1;3 . Biết điểm B thuộc trục
Ox và BC cùng hướng với
i . Tìm tọa độ các vectơ AC ?
Oxy ABCD
Lời giải
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt
phẳng tọa độOxy
như hình vẽ bên.
Vì điểm
A 1;3 suy ra AB 3, OB 1
Do đó B 1;0 , C 4;0 , D4;3
Vậy AC 3; 3
.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD
cạnh a và BAD 60 . Biết A trùng với gốc tọa độ O ;
C thuộc trụcOx và x 0, y 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình thoi ABCD .
B
B
Lời giải
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
a
Gọi I là tâm hình thoi ta có BI ABsin BAI asin 30
2
2
2 2 2 a a 3
AI AB BI a
4 2
Suy ra
a 3 a a 3 a
A(0;0),B( ; ),C(a 3;0),D( ; ).
2 2 2 2
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ
i là
Trang 6

A. i 0;0 . B. i 0;1 .
C. i 1;0 .
D.
Lời giải
Chọn C.
Câu 2: Trong hệ tọa độ , cho A 5;2 , B 10;8
Tìm tọa độ của vectơ AB ?
Oxy
A. B. C. D.
i 1;1 .
15;10 . 2;4 . 5;6 .
Lời giải
Chọn C
Ta có AB 5;6 .
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độOxy cho A5; 2 , B 10;8
. Tọa độ vectơ AB là:
A. AB 15;10 . B. AB 2;4 . C. AB 5;10 . D.
Chọn C
A 5; 2 , B 10;8
AB 5;10 .
Lời giải
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm 1;4 và B 3;5 . Khi đó:
A. AB 2; 1 . B. BA 1;2 . C. AB 2;1 . D.
Oxy A
Lời giải
Chọn C.
Ta có: AB 2;1 .
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho A 5;3 , B
7;8 . Tìm tọa độ của véctơ AB
Oxy
A. B. C. D.
50;16 .
AB
AB
15;10 . 2;5 . 2;6 .
Chọn B
AB
2;5 .
Ta có:
Lời giải
2; 5 .
50;16 .
Câu 6: Trong hệ tọa độ , cho tam giác có B 9;7 , C 11; 1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AB,
AC . Tìm tọa độ vectơ MN ?
Oxy ABC
10;6 .
A. 2; 8 .
B. 1; 4 .
C. D.
Chọn B
Lời giải
5;3 .
4;9 .
Trang 7

1 1 2; 8 1; 4 .
2 2
Ta có MN BC
Câu 7: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có gốc O làm tâm hình vuông và các cạnh của nó
song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng?
A. OA OB AB.
B. OA OB,
DC cùng hướng.
C. x x , y y .
D. x x , y y
.
A C A C
Lời giải
Chọn A
Ta có OA OB CO OB CB AB . (do OA CO ).
B C B C
Câu 8: Trong hệ tọa độ , cho M 3; 4
.Gọi M1,
M
2
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
Ox,
Oy . Khẳng định nào đúng?
Oxy
A. OM1 3.
B. OM
2
4.
C. OM1 OM
2
3; 4 .
D. OM1 OM
2
3; 4 .
Chọn D
Ta có M 3;0 , M 0;4
1 2
A. Sai vì OM1 3.
B. Sai vì OM
2
4.
C. Sai vì OM1 OM
2
M
2M1 3;4 .
Lời giải
Câu 10: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC, C Ox.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB có tung độ khác 0. B. A,
B có tung độ khác nhau.
C. C có hoành độ khác 0. D. x x x 0.
Lời giải
Chọn C
Ta có OABC là hình bình hành AB OC x C
;0 .
A C B
Trang 8

Câu 11: Trong hệ trục tọa độ O,i, j
, cho tam tác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC ,
i cùng
hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC . Gọi x , x , x lần lượt là
hoành độ các điểm A, B,
C . Giá trị của biểu thức x x x bằng:
A B C
A. 0 B. a a
.
C. 3 .
D.
2
2
Chọn A
Lời giải
a
.
2
A B C
3
Ta có A 0; a , B
a ;0 , C
a ;0
suy ra .
2 xA xB xC
0
2 2
Câu 12: Trong hệ trục tọa độ O,i, j
, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC ,
i cùng
hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
a 3
A. G 0;
a 3
. B. C. D.
6
G 0;
a 3
.
4
G
;0 .
6
G
Chọn A
Lời giải
a
4
3 ;0 .
a 3
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G
0;
.
6
Câu 13: Trong hệ trục tọa độ O,i,
j
, cho hình thoi ABCD tâmO có AC 8, BD 6. Biết OC và i cùng
hướng, OB và j cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC
1
3
A. G 0;1
B. G 1;0 .
C. ;0 .
D. 0; .
2
2
Chọn A
Lời giải
Ta có A 4;0, C 4;0, B 0;3, D 0; 3 G 0;1 .
Dạng 3: Xác định tọa độ điểm, vec tơ liên quan đến biểu thức dạng u v, u v,
ku
các bài toán tìm tâm I, bán kính R, xác định xem một phương trình có phải là phương trình mặt cầu
hay không, tìm điều kiện (có chứa tham số m) để một phương trình là phương trình mặt cầu, các bài toán
về họ mặt cầu, bài toán quỹ tích…
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trong không gian , cho hai vectơ a 1;3 , b 3; 4 . Tìm tọa độ vectơ a b ?
1 3;3 4 2;7 .
Ta có a b
Oxy
Lời giải
Trang 9

Ví dụ 2. Cho a x;2 , b 5;1 , c x;7 . Tìm x để Vectơ c 2a 3 b.
Ta có
Lời giải
x 2. x 3. 5 x 15.
Ví dụ 3. Cho hai điểm 1;0 và B 0; 2 . Tọa độ điểm D sao cho AD 3AB
là:
A
Lời giải
xD
1 3 0 1 xD
4
Ta có
D4;6 .
y 0 3 2 0
yD
6
D
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 . Tọa độ điểm M thỏa 3AM
AB 0 là
Oxy
Lời giải
3 xM
1 4 1 0 xM
0
Ta có 3AM AB 0
M 0;4 .
3 y 3 0 3
0 yM
4
M
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng , cho các điểm A 3;3 , B 1;4 , C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn
2MA BC 4CM
là:
Oxy
Lời giải
1
2 3 x 2 1 4 2
M
M
x
x
M
6 1 5
Ta có: 2MA BC 4 CM M ; .
23 y 5 4 4 5
5
6 6
M
yM
yM
6
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a 1;2 , b 5; 7 . Tìm tọa độ của a b .
A. 6; 9
B. 4; 5
C. 6;9
D.
Lời giải
Chọn C
Ta có a b 1 5;2 7 6;9 .
Câu 2: Cho a 3; 4 , b 1;2
. Tìm tọa độ của a b .
A. 4;6
B. 2; 2
C. 4; 6
D.
5; 14 .
3; 8
Chọn B
Ta có a b 3 1 ; 4 2 2; 2 .
Câu 3: Trong hệ trục tọa độ O; i;
j tọa độ i j là:
Lời giải
0;1 .
A. B. 1; 1 .
C. 1;1 .
D.
1;1 .
Lời giải
Trang 10

Chọn D
Ta có i 1;0 , j 0;1 i j 1;1
Câu 4: Trong mặt phẳng cho a 1;3 , b 5; 7
. Tọa độ vectơ 3a
2b
là:
Oxy
A. 6; 19 . B. 13; 29 .
C. 6;10 .
D.
Lời giải
13;23 .
Chọn D
a 1;3
3a
3;9
3a
2b
13;23 .
b 5; 7
2b
10; 14
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a 1;2 , b 3;4
. Tọa độ c 4a b là
A. c 1; 4 . B. c 4;1 .
C. c 1;4 .
D. c 1;4 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: c 4a b 41;2 3;4 1;4 .
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho a 2;1 , b 3; 2
và c 2a 3b
. Tọa độ của vectơ c
là
Oxy
13;4 .
A. 13; 4 . B. C. 13;4 .
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: c 2a 3b
22;1 33; 2 13; 4 .
Câu 7: Cho a 2;7 , b 3;5 . Tọa độ của vectơ a b là
A. B. 1;2 .
C. 5; 2 .
D.
13; 4 .
5;2 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: a b 2;7 3;5 5;2 .
Câu 8: Cho a 3; 4 , b 1;2 . Tọa độ của vectơ a 2b
là
A. 4;6 .
B. 4; 6 .
C. D.
5; 2 .
1;0 .
Chọn C.
a 3; 4
b 1;2 2b
2;4
a 2b
1;0 .
Câu 9: Trong hệ trục O, i,
j , tọa độ của i j là
Lời giải
0;1 .
Trang 11

0;1 . 1;1 .
A. B. C. 1; 1 .
D.
Lời giải
Chọn C.
i 1;0
Ta có:
i j 1; 1 .
j 0;1
Câu 10: Cho a 1;2
và b 3;4
với c 4a b thì tọa độ của c
là:
A. c 1;4 . B. c 4; 1 . C. c 1;4 .
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: c 4a 2b
41;2 3;4 1;4 .
Câu 11: Cho a 1;5 , b 2;1
. Tính c 3a 2b
.
A. c 7;13 . B. c 1;17 .
C. c 1;17 . D.
Lời giải
Chọn B
a 1;5
3a
3;5
Ta có
c 3a 2b
1;17 .
b 2;1
2b
4;2
Câu 12: Cho a 2i 3 j và b i 2 j . Tìm tọa độ của c a b .
A. c 1; 1 . B. c 3; 5 . C. c 3;5 . D.
Lời giải
Chọn B
c a b
2i 3 j
i 2 j
3i 5 j c 3; 5 .
Câu 13: Cho hai vectơ a 1; 4 ; b 6;15
. Tìm tọa độ vectơ u
biết u a b
A. B. 7;19 .
C. 7; 19 .
D.
1;1 .
c 1; 4 .
c
c
1;16 .
2;7 .
7;19 .
Chọn B
Ta có u a b u b a 7;19 .
Câu 14: Tìm tọa độ vectơ u
biết u b 0, b
Lời giải
2; 3 .
A. 2; 3 .
B. 2; 3 .
C. 2;3 .
D.
Chọn C
u b 0, u b
2;3 .
Ta có
Lời giải
7; 19 .
2;3 .
Trang 12

Câu 15: Trong hệ tọa độ , cho A 2;5 , B 1;1 , C 3;3 . Tìm tọa độ điểm E sao cho
AE 3AB 2AC
Oxy
A. 3; 3 .
B. 3;3 .
C. 3; 3 .
D.
Lời giải
Chọn C
Gọi E x;
y .
AE 3AB 2AC AE AB 2 AB AC BE 2CB
Ta có
x
1 4 x
3
y
1 4 y
3
x 1; y 1 2 2; 2
Vậy E
2; 3 .
3; 3 .
Câu 16: Cho a 2; 4 ; b 5;3 .
Tìm tọa độ của u 2a b
A. u 7; 7 . B. u 9; 11 . C. u 9; 5 . D. u 1;5 .
Lời giải
Chọn B
Ta có u 22; 4 5;3 9; 11 .
Câu 17: Cho 3 điểm A 4;0 , B 5;0 , C 3;0 . Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA MB MC 0
2;0
A. 2;0 . B. . C. 4;0 . D. 5;0 .
Lời giải
Chọn A
4 5 3
Ta có M Ox
nên M x;0
. Do MA MB MC 0 nên x 2
3
Câu 18: Trong hệ trục O, i,
j cho 2 vectơ a 3;2 , b i 5 j . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. a 3i 2 j.
B. b 1;5 . C. a b 2;7 . D.
Lời giải
Dạng 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình
Trang 13
a b 4; 3 .
Chọn D.
a 3;2 , b 1;5 a b 4; 3 .
Câu 19: Cho u 2i 3 j, v 5i j . Gọi X ;Y
là tọa độ của w 2u 3v
thì tích XY bằng:
A. -57. B. 57. C. -63. D. 63.
Lời giải
Chọn A.
w 2u 3v 2 2i 3 j
3 5i j
19i 3 j. X 19, Y 3 XY 57.

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ , cho tam giác có A 3;5 , B 1;2 , C 5;2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC ?
3 1
5
xG
3
3
5 2 2
yG
3
3
Ta có G
Oxy ABC
3;3 .
Lời giải
Ví dụ 2. Trong hệ tọa độ , cho tam giác có A 2;2 , B 3;5 và trọng tâm là gốc tọa độ
. Tìm tọa độ đỉnh C ?
Gọi C x;y.
Vì O là trọng tâm của tam giác
Oxy ABC
O0;0
ABC nên
Lời giải
2 3 x
0
3 x
1
.
2 5 y y 7
0
3
Ví dụ 3. Cho M 2;0 , N 2;2 , P 1;3 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB của ABC.
Tọa
độ của B là:
Lời giải
Ta có: BPNM là hình bình hành nên
xB xN xP xM
xB 2 2 1 xB
1 .
yB yN yP yM
y 2 0 3 yB
1
B
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có M 1; 1 , N 5; 3
và P thuộc trục Oy ,
Oxy MNP
trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox . Tọa độ của điểm P là
Lời giải
Ta có: P thuộc trục Oy P 0; y , G nằm trên trục Ox G x;0
G là trọng tâm tam giác
MNP nên ta có:
1
5 0
x
3
x
2
1 3
y y 4
0
3
Trang 14

Vậy P 0;4 .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC với AB 5, AC 1. Tính tọa độ điểm D là của chân đường phân giác trong
góc A , biết B 7; 2 , C 1;4 .
Lời giải
DB AB
Theo tính chất đường phân giác: 5 DB 5DC DB 5 DC.
DC AC
D x; y DB 7 x; 2 y ; DC 1 x;4 y .
Gọi
Suy ra:
Vậy D 2;3 .
7 x 5 1
x x
2
.
2 y 5 4 y
y
3
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ cho A 3; 1 , B 1;2 và I 1; 1 . Xác định tọa độ các điểm C,
D
Oxy
sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ O của hình bình
hành ABCD .
Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên
xA xB xC
xI xC 3xI xA xB
1
3
yA yB yC
yI yC 3yI yA yB
4
3
Suy ra C 1; 4
Tứ giác
ABCD là hình bình hành suy ra
Lời giải
1 3 1 xD
xD
5
AB DC
D5; 7
2 1 4 yD
xD
7
Điểm O của hình bình hành
ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó
xA xC yA yC
5 5
xO
2, yO
O
2;
2 2 2 2
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho A 4;0 , B 2; 3 , C 9;6 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
3;5 . 5;1 . 15;9 .
A. B. C. D.
9;15 .
Trang 15

Chọn B
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ thỏa mãn:
Lời giải
xA xB xC
4 2 9
xG
xG
3 3 xG
5
G 5;1
yA yB yC 3 6 yG
1
yG
y
G
3
3
Câu 2: Trong hệ tọa độ , cho tam giác có A 3;5 , B 1;2 , C 5;2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC ?
Oxy ABC
A. 3;4 .
B. C. D.
Chọn D.
31 5 5 2 2
G ; 3;3 .
3 3
Ta có tọa độ
4;0 .
Lời giải
3;3 .
2;3 .
Câu 3: Trong hệ tọa độ , cho A 2; 3 , B 4;7 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
Oxy
6;4 . 2;10 . 3;2 .
A. B. C. D.
Chọn C
2 4 3 7
; 3;2 .
2 2
Ta có I
Lời giải
8; 21 .
Câu 4: Trong mặt phẳng cho tam giác có A 3;5 , B 1;2 , C 5;2 . Trọng tâm G của
tam giác
ABC có tọa độ là:
Oxy ABC
A. 3;4 .
B. C. D.
Chọn D
4;0 .
Ta có G x ; y là trọng tâm tam giác ABC nên:
G
G
xA xB xC
31
5
xG
3
3 3
G 3;3
yA yB yC
5 2 2
yG
3
3 3
Lời giải
3;3 .
2;3 .
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là
A 2;3 , B 5;4 , C 1; 1 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác có tọa độ là:
3;3 . 2;2 . 1;1 .
A. B. C. D.
Chọn B.
Lời giải
4;4 .
Trang 16

xA xB xC
xG
3
Để G là trọng tâm tam giác ABC
G 2;2
.
yA yB yC
yG
3
Câu 6: Cho tam giác có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A 2;3 , B 5;4 , C 2;2 . Tọa độ trọng tâm G của
tam giác có tọa độ là
ABC
3;3 . 2;2 . 1;1 .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
x x x 3x
y y y 3y
A B C G
Ta có: G
A B C G
Câu 7: Cho hai điểm
3;3 .
B 3;2 , C 5;4 . Tọa độ trung điểm M của BC là
A. 8;3 . B. 4;3 . C. 2;2 . D.
ABC
Trang 17
4;4 .
M M
M
M
Lời giải
Chọn B.
x
y
M
C
x
2
y
2
Ta có: M
M
x
y
C
B
B
4;3 .
2; 2 .
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm A 5; 2 , B 0;3 , C 5; 1 . Khi đó trọng tâm ABC
là:
Oxy
G
G
G
A. 0;11 . B. 1; 1 .
C. 10;0 .
D. G 0;0 .
Lời giải
Chọn D.
x x x 3x
y y y 3y
A B C G
Ta có G
A B C G
0;0 .
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ , cho A 2; 3 , B 4;7 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
Oxy
I
I
I
I
A. 6;4 .
B. 2;10 .
C. 3;2 .
D.
Lời giải
Chọn C.
xA
xB
xI
2
Ta có:
I 3;2
.
yA
yB
yI
2
8; 21 .
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ , cho A 3;5 , B 1;2 , C 2;0 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
Oxy

7
A. G 3;7 .
B. G 6;3 .
C. G 3;
7
.
D. G
2;
.
3
3
Chọn D.
Để G là trọng tâm tam giác
Lời giải
xA xB xC 3xG
7
ABC G 2; .
yA yB yC 3y
G 3
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ , cho A 3;5 , B 1;2 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Oxy
7
A. I 4;7 .
B. I 2;3 .
C. I
2;
.
D.
2
Chọn C.
Ta có:
xA
xB
xI
2 7
I 2;
yA
y
B 2
yI
2
Lời giải
7
I
2;
.
2
Câu 12: Cho tam giác ABC với A3;6 , B 9; 10
và G 1
;0 là trọng tâm. Tọa độ C là:
3
C
C
C
A. 5; 4 . B. 5;4 .
C. 5;4 .
D. C 5; 4 .
Chọn C.
Lời giải
x 3
A
xB xC 3x
G xC xG xA xB
Ta có:
C 5;4 .
yA yB yC 3yG yC 3yG yA yB
Câu 13: Trong mặt phẳng , cho A 4;2 , B 1; 5
. Tìm trọng tâm G của tam giác OAB.
Oxy
A. G 5
5
; 1 B. ;2
C. D.
3
G
5 1
G 1;3
;
3
G
3 3
Chọn A
xO xB xC
0 4 1 5
xG
3 3 3 5
G ; 1
.
yO yB yC
0 2 5 3
yG
1
3 3
Lời giải
Câu 14: Trong hệ tọa độ , cho tam giác có A 2;2 , B 3;5 và trọng tâm là gốc O. Tìm tọa độ
đỉnh C?
Oxy ABC
A. 1; 7 . B. 2; 2 . C. 3; 5 . D. 1;7 .
Chọn A
Lời giải
Trang 18

Gọi C x; y.
Ta có O là trọng tâm
Vậy C 1; 7
2 3 x
0
3 x
1
2 5 y y 7
0
3
Câu 15: Trong hệ tọa độ , cho tam giác có 6;1 , 3;5 và trọng tâm G 1;1 . Tìm tọa độ
đỉnh C?
Oxy ABC A B
A. 6; 3 . B. 6;3 . C. 6; 3 . D. 3;6 .
Chọn C
Gọi C x; y . Ta có G là trọng tâm
Vậy C 6; 3
.
Lời giải
6 3
x
1
3
x
6
1 5 y
y 3
1
3
Câu 16: Trong hệ tọa độ , cho tam giác có M 2;3 , N 0; 4 , P 1;6
lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA,
AB . Tìm tọa độ đỉnh A?
Oxy ABC
1;5 .
A. B. 3; 1 .
C. 2; 7 .
D.
Chọn B
Lời giải
1; 10 .
Gọi
A
x; y.
Ta có PA MN x 1; y 6 2; 7 .
x
1 2 x
3
. Vậy
y
6 7 y
1
A 3; 1 .
Câu 17: Trong hệ tọa độ , cho ba điểm A 1;1 , B 3;2 , C 6;5 . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình
bình hành.
Oxy
4;3 . 3;4 . 4;4 .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Gọi D
x; y,
ABCD là hình bình hành AD BC x 1; y 1 3;3 .
8;6 .
Trang 19

x
1 3 x
4
y
1 3 y
4
Vậy D4;4 .
Câu 18: Trong hệ tọa độ , cho ba điểm A 2;1 , B 0; 3 , C 3;1 . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là
hình bình hành.
Oxy
5;5 .
A. B. 5; 2 .
C. 5; 4 .
D.
Chọn A
Lời giải
1; 4 .
Gọi
D
x; y,
ABCD là hình bình hành AD BC x 2; y 1 3;4
x
2 3 x
5
y
1 4 y
5
Vậy D5;5 .
Câu 19: Trong mặt phẳng cho 3 điểm A 1;3 , B 2;0 , C 6;2 . Tìm tọa độ D sao cho
ABCD là hình bình hành.
Oxy
3;5 . 5;3 .
A. 9; 1 .
B. C. D.
Chọn B
ABCD là hình bình hành khi AB DC.
AB 3; 3 , DC 6 x;2 y , D x; y .
Ta có
6 x 3 x
3
2 y 3 y
5
Nên AB DC D
3;5 .
Lời giải
Câu 20: Cho hình bình hành . Biết A 1;1 , B 1;2 , C 0;1 . Tọa độ điểm D là:
ABCD
A. B. 2;0 .
C. 2;2 .
D.
Chọn A.
Gọi
1;9 .
2;0 .
D x;
y là điểm cần tìm
AB 2;1 , DC x;1
y
Ta có:
Lời giải
2; 2 .
Trang 20

Để
x
2
ABCD là hình bình hành AB DC D2;0 .
1 y 1
Câu 21: Cho tam giác ABC , Gọi M , N,
P lần lượt là trung điểm BC, CA,
AB . Biết
A 1;3 , B 3;3 , C 8;0 . Gía trị của x x x
M N P
bằng:
A. 2. B. 3. C. 1. D. 6.
Chọn D.
Ta có: M là trung điểm
N là trung điểm
AC x N
BC x M
9
2
P là trung điểm AB x P
1
5 9
xM xN xP
1 6
2 2
5
2
Lời giải
Câu 22: Cho hình hình hành có A 2;0 , B 0; 1 , C 4;4 . Tọa độ đỉnh D là:
ABCD
D
D
D
D
A. 2;3 . B. 6;3 .
C. 6;5 .
D.
Chọn D.
Gọi
D x;
y là điểm cần tìm
AB 2; 1 , DC 4 x;4
y
Ta có:
Để
Lời giải
4 x 2
ABCD là hình bình hành AB DC D2;5 .
4 y 1
2;5 .
Câu 23: Cho tam giác với A 5;6 , B 4; 1 , C 4;3 . Tìm D để ABCD là hình bình hành:
ABC
D
D
D
D
A. 3;10 . B. 3; 10 . C. 3;10 .
D.
Chọn A.
Gọi
D x;
y là điểm cần tìm
AB 1; 7 , DC 4 x;3
y
Ta có:
Để
Lời giải
4 x 1
ABCD là hình hình hành AB DC D3;10 .
3 y 7
3; 10 .
Dạng 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ
không cùng phương
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho A 1;2 , B 2;6
. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B,
M thẳng hàng.
Trang 21

Lời giải
Ta có: M trên trụcOy M 0;
y
Ba điểm A, B,
M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM
Ta có AB 3;4 , AM 1; y 2 . Do đó, AB cùng phương với
1 y 2
AM y 10.
M 0;10 .
3 4
Ví dụ 2. Cho các vectơ a 4; 2 , b 1; 1 , c 2;5 . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c
.
Lời giải
1
m
1 4m
2n
8 1 1
Giả sử b ma nc
. Vậy b a c .
1 2m
5n
1 8 4
n
4
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng , cho A m 1; 1 , B 2;2 2 m , C m 3;3 . Tìm giá trị của m để A, B,
C
là ba điểm thẳng hàng?
Ta có AB 3 m;3 2 m, AC 4;4
Oxy
Lời giải
Ba điểm A, B,
C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với
3 m 3 2m
m 0.
4 4
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng , cho ba điểm A 6;3 , B 3;6 , C 1; 2
. Xác định điểm E trên trục hoành
sao cho ba điểm
A, B,
E
AC
Oxy
thẳng hàng.
Lời giải
Vì E thuộc đoạn BC và BE 2EC
suy ra BE 2EC
Gọi ; khi đó BE x 3; y 6 , EC 1 x; 2
y
Do đó
Vậy
E x y
1
x 3 21 x
x
3
y 6 22
y
2
y
3
1 2
E
; .
3 3
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng cho bốn điểm 0;1 , 1;3 , 2;7 và D 0;3 . Tìm giao điểm của 2
đường thẳng AC và BD .
Oxy A B C
Lời giải
Gọi I x;
y là giao điểm AC và BD suy ra AI;
AC cùng phương và BI;
BD cùng phương
Mặc khác
Trang 22

AI x y
; 1 , AC 2;6 suy ra
BI x y BD
Vậy
1; 3 , 1;0
I 2
;3 là điểm cần tìm.
3
x y 1
6x
2y
2 1
2 6
suy ra
y 3 thế vào (1) ta có
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a 2i 3 j,
b m j i . Nếu a,
b cùng phương thì:
2
x
3
2
3
A. m 6.
B. m 6.
C. m . D. m .
3
2
Lời giải
Chọn D
a 2; 3
và b
1;
m
cùng phương 1 m
m
3 .
2 3 2
Câu 2: Hai vectơ nào có tọa độ sau đây là cùng phương?
1;0 0;1
2;1
1;0 6;4
A. và . B. và 2; 1 C. 1;0 và . D. 3; 2 và
Chọn C
Ta có: i 1;0
và i
1;0
cùng phương.
Lời giải
Câu 3: Trong hệ tọa độ , cho tam giác có A 1;1 , B 2;2 , C 7; 7
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
Oxy ABC
A. G 2;2 là trọng tâm tam giác ABC . B. B ở giữa hai điểm A và C .
C. A ở giữa hai điểm B và C . D. AB,
AC cùng hướng.
Chọn C
Ta có AB 3; 3 , AC 6;6
và AC 2AB
Vậy A ở giữa hai điểm B và C .
Lời giải
Câu 4: Trong hệ tọa độ , cho A 1;5 , B 5;5 , C 1;11
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A, B,
C thẳng hàng.
B. AB,
AC cùng phương.
C. AB,
AC không cùng phương.
D. AB,
AC cùng hướng
Oxy
Lời giải
Chọn C
Ta có AB
6;0 , AC 0;6
AB,
AC không cùng phương.
Câu 5: Trong hệ tọa độ , cho bốn điểm A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D 8; 5 . Khẳng định nào sau đây
đúng?
Oxy
Trang 23

A. AB,
CD là hai vectơ đối nhau. B. AB,
CD ngược hướng.
C. AB,
CD cùng hướng. D. A, B, C,
D thẳng hàng.
Lời giải
Chọn B.
Ta có AB 4;3 , CD 8; 6
2 AB AB,
CD ngược hướng.
Câu 6: Cho u 3; 2 , v 1;6
. Chọn khẳng định đúng?
A. u v và a 4;4
ngược hướng. B. u,
v cùng phương.
C. u v và c k. a h.
b cùng hướng. D. 2 u v,
v cùng phương.
Lời giải
Chọn C
Ta có u v
4;4
và u v 2; 8
4 4
Xét tỉ số u v và a 4;4
không cùng phương. Loại A
4 4
3 2
Xét tỉ số u , v
không cùng phương. Loại B
1 6
2 8
Xét tỉ số 3 0 u v và b 6; 24
cùng hướng.
6 24
Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 5;0 , b 4;0
cùng hướng. B. c 7;3
là vectơ đối của d 7;3 .
C. u 4;2 , v 8;3 cùng phương. D. a 6;3 , b 2;1 ngược hướng.
Lời giải
Chọn A
5 5
Ta có a 5;0 4;0 b a,
b cùng hướng.
4 4
Câu 8: Các điểm và các vectơ sau đây cho trong hệ trục
O; i;
j (giả thiết m, n, p,
q là những số thực
khác 0). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. a m;0
a // i . B. b 0; n b // j .
C. Điểm A n; p xOx n 0.
D. A 0; p , B q;
p thì AB // xOx
.
Lời giải
Chọn C
A n; p xOx p 0.
Câu 9: Hai vectơ nào sau đây không cùng phương:
6 10
A. a 3;5
và b ;
.
B. c và 4c.
7 7
Trang 24

C. i 1;0
và m 5
;0
. D. m
3;0
và n 0; 3.
2
Lời giải
Chọn D
m
3;0
và n 0; 3
. Ta có: a1b
2
a2b1 3 3
0 3 0
Vậy m
và n
không cùng phương.
Câu 10: Cho u 2x 1;3 , v 1; x 2. Cho hai giá trị x1,
x2
của x để u cùng phương với v . Tính x1.
x2
.
5 5 5
A. .
B. .
C. .
D.
3
3
2
Chọn C
u , v
cùng phương 2 x
1 3 (với x 2
)
1 x 2
Lời giải
2
5
2x 1 x 2 3 2x 3x
5 0 . Vậy x1. x2
.
2
Câu 11: Trong mặt phẳng , cho ba vectơ a 1;2 , b 3;1 ,c 4;2 . Biết u 3a 2b
4c .
Chọn khẳng định đúng.
Oxy
A. u cùng phương với i . B. u không cùng phương với i .
C. u cùng phương với j . D. u vuông góc với i .
Chọn B
Gọi u
x
x;
y
. Ta có
Câu 11A: Cho bốn điểm
Lời giải
3.1 2. 3 4. 4 19
u 19,16 .
y 3.2 2.1 4.2 16
A2;5 , B 1;7 , C 1;5 , D0;9
5
.
3
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng
A. A, B, C .
B. A, C, D .
.C. B, C,
D D. A,B, D.
Lời giải
Chọn D
Ta có AB
1;2 , AC
1;0 , AD 2;4
AD 2AB A,B, D.
thẳng hàng.
Câu 12: Trong tọa độ , cho bốn điểm A 3;0 , B 4; 3 , C 8; 1 , D 2;1
. Ba điểm nào trong bốn
điểm đã cho thẳng hàng?
Oxy
A. B, C, D . B. A, B, C .
C. A, B,
D D. A, C, D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có AC 5; 1 ; AD 5;1
AC AD
. Vậy ba điểm A,C,
D thẳng hàng.
Trang 25

Câu 13: Trong mặt phẳng cho A 2 m; m ,B 2 m;
m . Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi
qua O ?
Oxy
A. m 3.
B. m 5.
C. m
.
D. Không có m .
Lời giải
Chọn C
Ta có OA 2 m; m, OB 2 m;
m
. Đường thẳng AB đi qua O khi OA,
OB cùng phương
Mặt khác ta thấy OA 2 m; m 2 m; m OB,
m nên AB đi qua O , m
.
Câu 14: Cho hai điểm A 2; 3 , B 4;7 . Tìm điểm M yOy
thẳng hàng với A và B .
4
1
A. M ;0 .
B. ;0 .
C. D.
3
M
M 1;0 .
3
Lời giải
Chọn B
M yOy M
0; m . AM
2; m 3 ; AB 6;10 .
Để
2 m 3 1
A, B,M
thẳng hàng thì 3m
3
10 m .
6 10 3
Câu 15: Ba điểm nào sau đây không thẳng hàng?
M
N P
A. M 2;4 , N 2;7 , P 2;2 .
B.
C. M 3;5 , N 2;5 , P 2;7 .
D.
2;4 , 5;4 , 7;4 .
M N P
Lời giải
Chọn C
MN 5;0 , MP 5;2 MN,
MP không cùng phương
M , N,
P không thẳng hàng.
5; 5 , 7; 7 , 2;2 .
Câu 16: Cho ba điểm A 2; 4 , B 6;0 , C m;4
. Định m để A, B,
C thẳng hàng?
1
M
;0 .
3
A. m 10.
B. m 6.
C. m 2.
D. m 10.
Chọn A
AB 4;4 ; AC m 2;8 .
Lời giải
A, B,
C thẳng hàng AB,
m 2 8
AC cùng phương m 10.
4 4
Câu 17: Cho A 0; 2 , B 3;1
. Tìm tọa độ giao điểm M của AB với trục xOx.
1
A. M 2;0 .
B. M 2;0 .
C. M
;0 . D.
2
Lời giải
Chọn A
M
0; 2 .
Trang 26

M ;0 ;2 ; 3;3 .
x xOx AM x AB
A, B,
M thẳng hàng AB,
x 2
AM cùng phương x 2.
3 3
Vậy, M 2;0 .
Câu 18: Cho bốn điểm
hàng?
A 1; 1 , B 2;4 , C 2; 7 , D 3;3 . Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng
A. A, B, C .
B. A, B, D .
C. B, C, D .
D. A, C, D.
Lời giải
Chọn D
3
AB 1;5 ; AC 3; 6 , AD 2;4 AC AD A, C,
D thẳng hàng.
2
Câu 19: Cho hai điểm M 2;2 , N 1;1 . Tìm tọa độ điểm P trên Ox sao cho 3 điểm M , N,
P thẳng
hàng.
P
P
P
P
A. 0;4 . B. 0; 4 .
C. 4;0 .
D.
Chọn D
Do P Ox nên ;0 , mà
Lời giải
P x MP x 2; 2 , MN 3; 1
4;0 .
x 2 2
Do M , N,
P thẳng hàng nên x 4.
3 1
Câu 20: Cho 3 vectơ a 5;3 ; b 4;2 ; c2;0
. Hãy phân tích vectơ c theo 2 vectơ a và b
.
A. c 2a 3b
. B. c 2a 3b
. C. c a b . D. c a 2b
.
Chọn B
Giả sử
Lời giải
5m 4n 2 m
2 c ma nb , ta có: .
3m 2n 0 n
3
Câu 21: Trong hệ tọa độ , cho bốn điểm A 2;1 , B 2; 1 , C 2; 3 , D 2; 1 . Xét ba mệnh đề:
(I)
(II)
ABCD là hình thoi.
ABCD là hình bình hành.
(III) cắt tại M 0; 1
.
AC BD
Chọn khẳng định đúng
Oxy
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng.
C. Chỉ (II) và (III) đúng. D. Cả ba đều đúng.
Chọn C
Lời giải
Trang 27

Ta có
ABDC
AB 0; 2 , DC 0; 2
ABCD là hình bình hành.
Trung điểm là 0; 1 (III) đúng.
AC 4; 4 , BD 4;0 AC. BD 16 0 AC,
BD không vuông góc nhau.
AC
Câu 22: Trong hệ tọa độ , cho hai điểm A 2; 3 , B 3;4 . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao
cho
A, B,
M
thẳng hàng.
Oxy
5 1
A. M 1;0 .
B. M 4;0 .
C. M
;
.
D.
3 3
Chọn D
Điểm
M Ox M m;0 .
Ta có AB 1;7 và AM m 2;3 .
m 2 3 17
Để A, B,
M thẳng hàng m .
1 7 7
Lời giải
17
M
;0 .
7
Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm A 6;3 , B 3;6 , C 1; 2
. Xác định điểm E trên
cạnh
BC sao cho BE 2 EC.
Oxy
1 2
1 2
2 1
A. E ; .
B. E ; .
C. E ; .
D.
3 3
3 3
3 3
Lời giải
Chọn A
Vì E thuộc đoạn BC và BE 2EC
suy ra BE 2EC
Gọi ; khi đó BE x 3; y 6 , EC 1 x; 2
y
Do đó
Vậy
E x y
1
x 3 21 x
x
3
y 6 22
y
2
y
3
1 2
E ; .
3 3
2 1
E ; .
3 3
Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm 1 2
A 6;3 , B
; , C 1; 2 , D15;0 .
Xác định giao
3 3
điểm I hai đường thẳng BD và AC .
7 1
A. I ;
7 1
.
B. I
7 1
; . C. I
;
.
D.
2 2
2 2
2 2
Chọn D
Gọi I x;
y là giao điểm của BD và AC .
Lời giải
7 1
I
; .
2 2
Trang 28

46 2
3 x 15 3y
Do đó DI x 15; y, DB ; cùng phương suy ra x 23y
15 0 1
3 3
46 2
x 6 y 3
AI x 6; y 3 ,AC5; 5cùng phương suy ra x y 3 02
5 5
Từ (1) và (2) suy ra
7
x
2
và
1
y
2
Vậy giao điểm hai đường thẳng BD và AC là
I
7 1 ;
2 2
Câu 25: Cho ba điểm A 1;1 , B 0;1 , C 3;0 . Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và
2BD
5 DC.
15 2
15 2
2 15
15 2
A. ; . B. ; .
C. ; .
D. ; .
7 7
7 7
7 7
7 7
Chọn A
2BD 5 DC, BD x ; y
1 , DC 3 x ; y
Ta có
Do đó
D D D D
Lời giải
15
2x
53
D
D
x
x
D 7 15 2
D ;
2 y 1 5 2
7 7
D
yD
y
D
7
Câu 26: Cho tam giác có A 3;4 , B 2;1 , C 1; 2 . Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho
S
ABC
3 S .
ABM
ABC
M M M M M M M M
A. 0;1 , 3;2 . B. 1;0 , 3;2 . C. 1;0 , 2;3 . D.
1 2
1 2
Chọn B
Ta có S
ABC
3S ABM
BC 3BM BC 3BM
M x; y BM x 2; y 1 ; BC 3; 3
Gọi
Suy ra
3 3 x 2 x
1
hoặc
3 3
y 1
y
0
Vậy có hai điểm thỏa mãn M M
1 2
Lời giải
1 2
3 3 x 2 x
3
3 3 y 1 y
2
1;0 , 3;2 .
ABCD A I
0;1 , 2;3 .
1 2
Câu 27: Cho hình bình hành có 2;3 và tâm 1;1 . Biết K 1;2
nằm trên đường thẳng AB
và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh B,D
của hình bình hành.
B D B D B D B D
A. 2;1 , 0;1 . B. 0;1 , 4; 1 . C. 0;1 , 2;1 . D.
Chọn C
Lời giải
2;1 , 4; 1 .
Trang 29

I AC 4; 1
Ta có trung điểm nên C
Gọi D2 a; a B 2 2 a;2
a
AK AB a a
Vì
1; 1 , 4 2 ; 1
AK,
AB
cùng phương nên
4 2a
1
a
a 1
D2;1 , B 0;1 .
1 1
Trang 30

BÀI 5. ÔN TẬP CHƯƠNG 1
Câu 1: Véctơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B được kí hiệu là
A. AB . B. AB . C. BA . D. AB .
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm 4;0 và B 0;3 . Xác định tọa độ của vectơ
u 2AB
A. u 8; 6
. B. u 8;6 . C. u 4; 3
. D. u 4;3 .
Oxy A
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho A 3; 1 , B 1;2 và I 1; 1
. Tìm tọa độ điểm C để I là
trọng tâm tam giác ABC .
Oxy
C
C
C
A. 1; 4 . B. 1;0 . C. 1;4 . D. C 9; 4
.
Câu 4: Xét các mệnh đề sau
(I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0 .
(II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương.
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. (I) và (II) đúng. D. (I) và (II) sai.
Câu 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Độ dài AD AB bằng
a 2
a 3
A. 2a . B. . C. . D. a 2 .
2
2
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai điểm 2; 5 và B 4;1 . Tọa độ trung điểm I của
đoạn thẳng
AB
là
Oxy A
I
I
I
A. 1;3 . B. 1; 3 . C. 3;2 . D. I 3; 2
.
Câu 7: Cho tam giác với A 2;3 , B 4; 1 , trọng tâm của tam giác là G 2; 1
. Tọa độ đỉnh C
là
ABC
A. 6; 4 . B. 6; 3 . C. 4; 5 . D. 2;1 .
Câu 8: Cho các điểm A, B, C,
D và số thực k . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB k CD AB kCD .
B. AB kCD AB kCD .
C. AB kCD AB k CD .
D. AB kCD AB kCD .
Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho các điểm A 1;2 , B 3; 1 , C 0;1 . Tọa độ của véctơ
u 2AB BC là
A. u 2;2 . B. u 4;1 . C. u 1; 4
. D. u 1;4 .
Oxy
Câu 10: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. G là trọng tâm ABC
thì GA GB GC 0 .
B. Ba điểm A, B,
C bất kì thì AC AB BC .
C. I là trung điểm AB thì MI MA MB với mọi điểm M .
Trang 1

D. ABCD là hình bình hành thì AC AB AD
Câu 11: Cho ABC
có trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AG AB AC . B. AG AB AC .
2
1
2
C. AG AB AC
. D. AG AB AC
.
3
3
Câu 12: Cho hai điểm 3;1 và B 1; 3
. Tọa độ của vectơ AB là
A
A. 2; 2 . B. 1; 1 . C. 4; 4 . D. 4;4 .
Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy , cho a 3; 4 , b 1;2
. Tìm tọa độ của a b .
A. a b 4; 6
. B. a b 2; 2
. C. a b 4;6
. D. a b 3; 8
.
Câu 14: Cho 5 điểm phân biệt M , N, P, Q,
R . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. MN PQ RN NP QR MP .
B. MN PQ RN NP QR PR .
C. MN PQ RN NP QR MR .
D. MN PQ RN NP QR MN .
Câu 15: Cho hình bình hành ABCD , đẳng thức véctơ nào sau đây đúng?
A. CD CB CA. B. AB AC AD . C. BA BD BC . D. CD AD AC .
Câu 16: Cho 4 điểm A, B, C,
D . Gọi I,
J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; O là trung điểm của
IJ . Mệnh đề nào sau đây sai?
1
A. IJ AD BC
. B. AB CD AD CB .
2
1
C. IJ AD BD
. D. OA OB OC OD 0 .
2
Câu 17: Cho hình bình hành ABCD tâm I ; G là trọng tâm tam giác BCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. BA DA BA DC . B. AB AC AD 3AG
.
C. BA BC DA DC . D. IA IB IC ID 0.
Câu 18: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB 5 , H là trung điểm của BC . Tính CA HC
5 3 5 7 5 7
A. CA HC . B. CA HC 5 . C. CA HC . D. CA HC .
2
4
2
Câu 19: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. BA CD . B. AB CD . C. OA OC . D. AO OC .
Câu 20: Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn IA 2IB
. Biểu diễn IC theo các vectơ
AB,
AC
2 2
A. IC 2AB AC . B. IC 2AB AC . C. IC AB AC . D. IC AB AC .
3
3
Câu 21: Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA 4 . Tính 2OA OB
Trang 2

A. 2OA
OB 4 . B. Đáp án khác. C. 2OA
OB 12
. D. 2OA
OB 4 5 .
Câu 22: Có hai lực F , F , cùng tác động vào một vật đứng tại điểm , biết hai lực F , F biết hai lực
1 2
đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc
cường độ bằng bao nhiêu?
O
1 2
60 . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có
A. 100 (N) . B. 50 3 (N) . C. 100 3 (N) . D. Đáp án khác.
Câu 23: Trong hệ trục tọa độ O; i;
j
cho hai véc tơ a 2i 4 j, b 5i 3 j . Tọa độ của vectơ
u 2a b là
A. u 9; 5
. B. u 1;5 . C. u 7; 7
. D. u 9; 11
.
Câu 24: Cho 4 điểm A, B , C , D. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Điều kiện cần và đủ để NA MA là N M .
B. Điều kiện cần và đủ để AB CD là tứ giác ABCD là hình bình hành.
C. Điều kiện cần và đủ để AB 0 là A B .
D. Điều kiện cần và đủ để AB và CD
là hai vectơ đối nhau là AB CD 0
Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 2; 2 ; B 5; 4
. Tìm tọa độ trọng tâm G của
OAB
Oxy
7
A. G
7 2
;1 . B. G
3
; . C. G 1; 2
. D. G
;
3 .
2
3 3
2
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm M 1; 3
. Khẳng định nào sau đây sai?
Oxy
M
A. Hình chiếu vuông góc của trên trục hoành là H 1;0 .
M
B. Điểm đối xứng với qua gốc tọa độ là P 3; 1
.
M
C. Điểm đối xứng với qua gốc tọa độ là N 1;3 .
M
D. Hình chiếu vuông góc của trên trục tung là K 0; 3
Câu 27: Cho tứ giác ABCD có AB DC và AB BC . Khẳng định nào sau đây sai?
A. AD BC . B. ABCD là hình thoi.
C. CD BC . D. ABCD là hình thang cân.
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A( 2;5 ), B( 2;2 ),
C( 10; 5)
. Tìm điểm E( m; 1)
sao
cho tứ giác ABCE là hình thang có một đáy là CE .
E
E
E
A. 2;1 . B. 0;1 . C. 2;1 . D. E 1;1 .
Câu 29: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn
2MA MB 2MC MD 9a
2 2 2 2 2
là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là
A. R 2a
. B. R 3a
. C. R a . D. R a 2 .
Trang 3

Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và CD . Biết
MN a. AB b.
AD . Tính a b .
1
3
1
A. a b 1. B. a b . C. a b . D. a b .
2
4
4
Câu 31: Cho tam giác ABC . Gọi I,
J là hai điểm xác định bởi IA 2 IB, 3JA 2JC
0 . Hệ thức nào
đúng?
A. 5 5 2 2
IJ AC 2AB
. B. IJ AB 2AC
. C. IJ AB 2AC
. D. IJ AC 2AB
.
2
2
5
5
Câu 32: Cho tam giác ABC . Vị trí của điểm M sao cho MA MB MC 0 là
A. M trùng C . B. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành CBAM .
C. M trùng B . D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABM .
Câu 33: Cho ba lực F1 MA, F2 MB,
F3
MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.
Cho biết cường độ của F1 , F2
đều bằng 25N và góc AMB 60 . Khi đó cường độ lực của F3
là
A. 25 3 N . B. 50 3 N . C. 50 2 N . D. 100 3 N .
Câu 34: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB 2MC
. Khi đó:
A. 1 2 2 1
AM AB AC . B. AM AB AC .
3 3
3 3
2 3
C. AM AB AC . D. AM AB AC .
5 5
Câu 35: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình bình hành có 2;3 và tâm I 1;1 . Biết điểm
Oxy ABCD A
M 4;9 nằm trên đường thẳng AD và điểm D có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của
hình bình hành?
A. Tọa độ các đỉnh C 4; 1 , B 5; 4 , D 3;6 .
B. Tọa độ các đỉnh C 4; 1 , B 4; 2 , D 2;4 .
C. Tọa độ các đỉnh C 4; 1 , B 1;4 , D 1; 2
.
D. Tọa độ các đỉnh C 4;1 , B 5; 4
, D 3;6 .
Trang 4

Câu 36: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB,
CD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho 3AM
2AB
và
3DN
2DC
. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD,
BC
A. 1 2 1 1
MN AD BC . B. MN AD BC .
3 3
3 3
C. 1 2 2 1
MN AD BC . D. MN AD BC .
3 3
3 3
Câu 37: Cho ABC . Gọi M , N là các điểm thỏa mãn: MA MB 0 , 2NA
3NC
0 và BC k BP .
Tìm k để ba điểm M , N,
P thẳng hàng.
1
2
3
A. k . B. k 3. C. k . D. k .
3
3
5
Câu 38: Cho hai véc tơ a và b 1
thỏa mãn các điều kiện a b 1, a 2b
15 . Đặt u a b và
2
v 2 ka b,
k . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho u, v 60
3 5
3 5
17
17
A. k 4 . B. k 4 . C. k 5 . D. k 5 .
2
2
2
2
Câu 39: Cho tứ giác ABCD , trên cạnh AB,
CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3AM
2AB
và
3DN
2DC
. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD,
BC
A. 1 1 1 2
MN AD BC . B. MN AD BC .
3 3
3 3
C. 1 2 2 1
MN AD BC . D. MN AD BC .
3 3
3 3
Câu 40: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A( 2; 3 ),
B( 3; 4)
. Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao
cho chu vi tam giác
AMB
nhỏ nhất.
18
A. M
17
;0 . B. M 4;0
. C. M 3;0
. D. M
;0 .
7
7
Câu 41: Cho M ( 1; 2 ), N( 3;2 ), P( 4; 1)
. Tìm E trên Ox sao cho EM EN EP nhỏ nhất
E
E
E
A. 4;0 . B. 3;0 . C. 1;0 . D. E 2;0 .
Câu 42: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC 12
. Tổng hai véctơ GB GC
có độ dài bằng bao nhiêu?
A. 2. B. 4. C. 8. D. 2 3 .
Câu 43: Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm M sao cho: MA 2MB 6 MA MB là
A. M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R 2AB
với I nằm trên cạnh AB sao cho IA 2IB
.
B. M nằm trên đường trung trực của BC .
C. M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R 2AC
với I nằm trên cạnh AB sao cho IA 2IB
.
D. M nằm trên đường thẳng qua trung điểm AB và song song với BC .
Trang 5

Câu 44: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm được xác định: 4BM
3BC
0 . Khi đó vectơ AM bằng
1 1 1 2 1 3
A. AB AC . B. AB AC . C. AB AC . D. AB AC .
2 3
3 3
4 4
Câu 45: Cho tam giác ABC đều, cạnh 2a , trọng tâm G . Độ dài vectơ AB GC là
2a 3
2a 4a 3
a 3
A. . B. . C. . D. .
3
3
3
3
Câu 46: Tam giác ABC thỏa mãn: AB AC AB AC thì tam giác ABC là
A. Tam giác vuông A . B. Tam giác vuông C .
C. Tam giác vuông B . D. Tam giác cân tại C .
Câu 47: Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có G là trọng tâm. Khi đó AB GC là
a 3
2a 3
4a 3
2a
A. . B. . C. . D. .
3
3
3
3
Câu 48: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ điểm N trên cạnh BC của tam giác ABC có A(1; 2)
,
B( 2;3 ),
C( 1; 2)
sao cho S 3S
ABN
ANC
là
1 3
1 3
1 1
1 1
A. ; . B. ; . C. ; . D. ; .
4 4
4 4
3 3
3 3
Câu 49: Cho hình thang ABCD có đáy AB a, CD 2a
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC .
Tính độ dài của véctơ MN BD CA .
5a 7a 3a
a
A. . B. . C. . D. .
2
2
2
2
Câu 50: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC
vuông tại A có B(1; 3)
và C( 1;2)
. Tìm tọa độ điểm
H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC
, biết AB 3, AC 4 .
A. H 24
1;
6
. B. H 1;
24
. C. H 1;
6
. D. 1; .
5
5
5
H
5
Câu 51: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M ( 1; 1 ),
N( 5; 3)
và P là điểm thuộc trục Oy ,
trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox . Tọa độ điểm P là
2;4
0;4
0;2
A. B. C. D. 2;0
Câu 52: Cho hai lực F MA,
F MB cùng tác động vào một vật tại điểm cường độ hai lực
1 2
lần lượt là 300(N) và 400(N).
M F1 , F2
AMB 90
. Tìm cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật.
A. 0(N). B. 700 (N). C. 100 (N). D. 500 (N).
Câu 53: Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: BM BC 2AB
, CN xAC BC . Xác
định x để A, M , N thẳng hàng.
1
1
A. 3 . B. . C. 2 . D. .
3
2
Câu 54: Cho ABC
. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3MB 2MC 2MA MB MC
Trang 6

A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn.
B. Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng.
C. Tập hợp các điểm M là tập rỗng.
D. Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A .
Câu 55: Tam giác ABC là tam giác nhọn có AA là đường cao. Khi đó véctơ
u tan
B AB tanC
AC
là
A. u BC . B. u 0 . C. u AB . D. u AC .
BẢNG ĐÁP ÁN
1-D 2-B 3-A 4-C 5-D 6-D 7-C 8-C 9-C 10-C
11-C 12-C 13-B 14-D 15-A 16-A 17-A 18-D 19-C 20-C
21-D 22-B 23-D 24-B 25-C 26-B 27-D 28-C 29-C 30-A
31-D 32-D 33-A 34-A 35-A 36-C 37-A 38-A 39-C 40-D
41-D 42-B 43-A 44-D 45-C 46-A 47-C 48-B 49-C 50-B
51-B 52-D 53-D 54-A 55-B
Hướng dẫn giải
Câu 1:
Lời giải
Chọn D.
Câu 2:
Lời giải
Chọn B.
AB 4;3 u 2AB
8;6
Câu 3:
Lời giải
Chọn A.
xA xB xC
xI
3
Điểm I là trọng tâm tam giác ABC
y y y
yI
3
x 3
3 3 1 1
C
xI xA x
B xC
yC 3yI yA yB yC
3 1 2 4
Vậy điểm C 1; 4
.
A B C
Câu 4:
Lời giải
Chọn C
Trang 7

Véc tơ – không là véc tơ có điểm đầu, điểm cuối trùng nhau nên có độ dài bằng 0 .
Véc tơ – không cùng phương với mọi véc tơ.
Câu 5:
Lời giải
Chọn D.
Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có AD AB AC AC AB 2 a 2
Câu 6:
Chọn D.
Tọa độ trung điểm
Câu 7:
Chọn C.
Lời giải
xA
xB
xI
2 xI
3
I của đoạn thẳng AB
I 3; 2
yA yB yI
2
y
I
2
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
xC 3xG xA xB xC
4
yC 3yG yA yB yC
5
Vậy C 4; 5
.
Câu 8:
Chọn C.
x
y
Theo định nghĩa phép nhân véc tơ với một số.
Câu 9:
Chọn C.
AB 2; 3
2AB
4; 6 , BC 3;2
Nên u 2AB BC 1; 4
.
Ta có
Câu 10:
Chọn C.
G
G
Lời giải
xA xB xC
3
y y y
3
A B C
Lời giải
Lời giải
Lời giải
Trang 8

Với mọi điểm M , ta dựng hình bình hành AMBC
Khi đó, theo quy tắc hình bình hành: MA MB MC 2MI
Câu 11:
Lời giải
Chọn C.
Gọi M là trung điểm BC , ta có: 2 2 1
. 1
AG AM AB AC AB AC
.
3 3 2 3
Câu 12:
Chọn C.
AB 1 3 ; 3 1 4; 4
Câu 13:
Chọn B.
a b 3 1 ; 4 2 2; 2
Câu 14:
.
Lời giải
Lời giải
Lời giải
Chọn D.
Ta có MN PQ RN NP QR MN NP PQ QR RN MN
Câu 15:
Chọn A.
Câu 16:
Lời giải
Lời giải
Chọn A.
Ta có
1
IJ IA AC CJ IB BD DJ 1
AC BD
2 2
AB CD AD DB CD AD CB suy ra B. đúng.
2
OA OB OC OD OI OJ 0
suy ra D. đúng.
Câu 17:
Lời giải
suy ra C. đúng.
Trang 9

Chọn A.
Ta có
BA DA BA DC DA DC
(vô lý) → A sai.
G là trọng tâm tam giác BCD ; A là một điểm nằm ngoài tam giác BCD → đẳng thức ở đáp án B đúng.
Ta có BA BC BD và DA DC DB . Mà DB BD → đáp án C đúng.
Ta có IA và IC
đối nhau, có độ dài bằng nhau IA IC 0 ; tương tự IB ID 0 → đáp án D là
đúng.
Câu 18:
Lời giải
Chọn D.
Ta có: CA HC CA CH 2CE 2CE
(với E là trung điểm của AH ).
5 3
Ta lại có: AH ( ABC
đều, AH là đường cao).
2
Trong tam giác HEC vuông tại H , có:
2 2 2 5 3 5 7 5 7
EC CH HE 2.5
CA HC 2CE
4
4 4
Câu 19:
Lời giải
Chọn C.
2
Trang 10

Ta có O là trung điểm của AC nên OA OC
.
Câu 20:
Lời giải
Chọn C.
2
Ta có IA 2IB IA IB
3
2
Vậy IC IA AC AB AC
3
Câu 21:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Dựng OC 2OA 2OA OB OC OB BC BC
2 2
OC OB
2 2
8 4 4 5 .
Câu 22:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Trang 11

Giả sử F1 OA,
F2
OB
Theo quy tắc hình bình hành, suy ra
F F OC , như hình vẽ.
1 2
Ta có AOB 60 , OA OB 50 , nên tam giác OAB đều, suy ra OC 50 3 .
Vậy F1 F2 OC 50 3 N
Câu 23:
Chọn D.
Ta có a
Câu 24:
Chọn B.
2; 4
và
b u a b
Lời giải
5;3 2 9; 11
Lời giải
Xét 4 điểm A, B, C,
D thẳng hàng và AB CD nhưng ABCD không là hình bình hành.
Câu 25:
Lời giải
Chọn C.
Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là
Vậy G 1; 2
.
Câu 26:
Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
xA xB xO
2 5
xG
1
3 3
yA yB yO
2 4
yG
2
3 3
Lời giải
Trang 12

M
+ Hình chiếu vuông góc của trên trục hoành là H 1;0 . Đáp án A đúng.
+ Điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ là P 1;3
. Đáp án B sai.
M
+ Điểm đối xứng với qua trục hoành là N 1;3 . Đáp án C đúng.
M
+ Hình chiếu vuông góc của trên trục tung là K 0; 3
. Đáp án D đúng.
Câu 27:
Lời giải
Chọn D.
Tứ giác ABCD có AB DC ABCD là hình bình hành (1), nên AD BC
Mà AB BC (2)
Từ (1) và (2) ta có ABCD là hình thoi nên CD BC .
Câu 28:
Lời giải
Chọn C.
Ta có BA 4;3 , BC 8;7 BA,
BC không cùng phương nên A, B,
C không thẳng hàng,
CE m 10;6
. Để ABCE là hình thang có một đáy là CE thì CE cùng chiều với BA
m 10 6
0 m 2 . Vậy E 2;1
.
4 3
Câu 29:
Chọn C.
Lời giải
2 2 2 2 2
2MA MB 2MC MD 9a
2 2 2 2
2 MO OA MO OB 2 MO OC MO OD 9a
6MO 2OA OB 2OC OD 2MO 2OA 2OC OB OD
9a
2 2 2 2 2 2
6 3 9
2 2 2
MO a a MO a
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R a .
Câu 30:
Chọn A.
Lời giải
0
2
Trang 13

1 1 1 1 1 1 1 3
MN MO ON AC AD AB BC AD AB AD
AD AB AD
4 2 4 2 4 2 4 4
1 3
a ; b . Vậy a b 1.
4 4
Câu 31:
Lời giải
Chọn D.
2 2
Ta có: IJ IA AJ 2AB AC AC 2AB
5 5
Gọi M là trung điểm AB , ta có: OA OB 2OM DA.
Câu 32:
Lời giải
Chọn D.
MA MB MC 0 BA MC 0 CM BA
Vậy M thỏa mãn CBAM là hình bình hành.
Câu 33:
Chọn A.
Lời giải
Trang 14

Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được F3 F1 F2
Dựng hình bình hành AMBN . Ta có F1 F2
MA MB MN
2 3MA
Suy ra F3
MN MN 25 3 .
2
Câu 34:
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Ta có 2 2
AM AB BM AB BC AB AC AB
1
AB
2
AC .
3 3 3 3
Cách 2: Ta có MB 2MC MB 2MC
(vì MB và MC ngược hướng)
1 2
AB AM 2
AC AM AM AB AC .
3 3
Câu 35:
Lời giải
Chọn A.
Ta có
I là trung điểm của AC C 4; 1
Trang 15

Điểm
D có tung độ gấp đôi hoành độ D xD;2xD
AM 2;6 , AD x 2;2x
3
Lại có
Mà
D
D
A, M , D thẳng hàng 6 x 2 22x 3 x 3 D3;6
I
là trung điểm BD B 5; 4
.
D D D
Câu 36:
Lời giải
Chọn C.
Ta chứng minh bài toán sau:
Gọi E,
F lần lượt là trung điểm của MN,
PQ thì ta có:
1
EF MQ NP
2
1 1
EF EP EQ EN NP EM MQ 1
MQ NP
2 2 2
Thật vậy, ta có:
Gọi I,
K lần lượt là trung điểm của AM và DN .
2 2 2
Khi đó áp dụng kết quả của bài toán trên ta có: MN 1 BC IK 1
BC 1
AD MN
1 2
MN AD BC .
3 3
Câu 37:
Chọn A.
Cách 1: Tự luận:
Ta có 3
MN AN AM AC
1
AB (1)
5 2
2
NP NC CP AC BP BC
5
2 1
AC 1 BC
5 k
Lời giải
Trang 16

2 1
AC 1
AC AB
5 k
1 2 1
AC 1 AB
k 5 k
Để ba điểm M , N,
P thẳng hàng thì M : NP mMN
1 3 1 3m
m
AC 1
AB AC AB
k 5 k 5 2
1 3 3m
m
4
k
5 5
Điều kiện:
1
1 m k
1
3
k 2
1
Vậy k .
3
Cách 2: Trắc nghiệm:
Ta có MA MB 0 MA MB
MA 1
MB
PB
BC k BP PB 1 k PC 1
k
PC
3 NA 3
2NA 3NC 0 2NA NC
2 NC 2
Theo định lí Mêlêxauýt ba điểm M , N , P thẳng hàng khi
MA PB NC
3 1
. . 1 1 . 1 k . 1
k
MB PC NA
2 3
1
Vậy k .
3
Câu 38:
Lời giải
Chọn A.
2 2
a 2b 15 a 4 b 4ab 15 2ab
1
2 2 2 2
2 1
2 4
2 k
uv a b ka b k a b k ab k
1
2
2 2 2 2 2 2
2
u v a b 2ka b a b 2ab 4k a b 4kab
5 2 ab 4 k 2 4 4 kab 6 4 k 2 4 2 k u v 6 4 k 2 4 2 k
Trang 17

2k
1
2k
4
uv 1
u v 2
cos k k k
u v 2 6 4k 4 2k
2
, 60 60 6 4 4 2 6 9
2
3
k
3
2
k
2
6 4k 4 2k 6k
9
2
2 2
6 4k 2 k 6k 9 12k 96k
57 0
3
k
2
3 5
k 4 .
3 5
2
k 4
2
Câu 39:
Lời giải
Chọn C.
2 2
Ta có MN MA AD DN BA AD DC
3 3
2 2 2 2 1 2
BC CA AD DA AC
BC AD AD AD BC .
3 3 3 3 3 3
Câu 40:
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Do trên trục hoành
AM x 2;3 , BM x 3;4
M
.
M x;0 , AB 1; 1 AB 2
Ta có chu vi tam giác ABM P x x
2 2 2 2
: 2 2 3 3 4
ABM
2 2
x x x x
2 2 2 2
2 2 3 3 4 2 2 3 3 4
x 2 3 17 17
P ABM
6 2 . Dấu bằng xảy ra khi x M
;0
.
3 x 4 7 7
Cách 2: Lấy đối xứng A qua Ox ta được A(2;3)
. Ta có MA MB MA
MB AB
.
Dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của AB
với Ox .
Câu 41:
Lời giải
Chọn D.
Do E Ox E a;0
Ta có: EM 1 a; 2 ; EN 3 a;2 ; EF 4 a; 1
Suy ra EM EN EP 6 3 a; 1
Trang 18

6 3 2 1 2 6 3 2
1 1
Do đó: EM EN EP a a
Giá trị nhỏ nhất của EM EN EP bằng 1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 6 3a
0 a 2 .
Câu 42:
Lời giải
Chọn B.
Gọi M là trung điểm của BC . M cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC tại A .
Ta có: GB GC 2GM
1
Mà G là trọng tâm tam giác vuông ABC nên GM AM
3
2
Do đó: GB GC 2GM AM
3
Suy ra 2
GB GC 2 GM AM 2 AM 2 . 1 BC 2 . 1 .12 4 .
3 3 3 2 3 2
Câu 43:
Chọn A.
Lời giải
Gọi I là điểm trên cạnh AB sao cho 3BI BA , ta có:
MA 2MB MB BA 2MB 3MB BA 3MB 3BI 3MI
MA MB BA
MA 2MB 6 MA MB 3MI 6 BA MI 2AB
Trang 19

Vậy M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R 2AB
với I nằm trên cạnh AB sao cho IA 2IB
.
Câu 44:
Lời giải
Chọn D.
4BM 3BC 0 4
AM AB
3 AC AB
0
Ta có:
1 3
4AM 4AB 3AC 3AB 0 AM AB AC .
4 4
Câu 45:
Lời giải
Chọn C.
Ta có: AB GC GB GA GC GB
GA GC
GB GB
2 2a
3 4a
3
Khi đó AB GC 2GB 2GB
2. . .
3 2 3
Câu 46:
Lời giải
vì
GA GB GC
Chọn A.
1
Gọi M là trung điểm BC . Ta có AB AC AB AC 2AM CB AM BC . Trung tuyến kẻ
2
từ A bằng một nửa cạnh BC nên tam giác ABC vuông tại A .
Câu 47:
Chọn C.
Lời giải
0
Gọi M là trung điểm BC , dựng điểm N sao cho BN AG .
2 2a
3 4a
3
AB GC GB GA GC GB GA GC 2GB 2. GB 2. .
3 2 3
Ta có:
Câu 48:
A. B. C. D.
Trang 20

Chọn B.
Lời giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC .
1 3
Theo đề ta có: S
ABN
3 S
ACN
AH. BN AH. CN BN 3CN
2 2
3
BN CN BN 3
BN BC 4
BN 3
BC (*)
Ta có BN x 2; y 3 ; BC 3; 5
Do đó
Câu 49:
*
Chọn C.
N
N
1
4 x 2 3 3
x
N
N
4
. Vậy
4 y 2 3 5
3
N
yN
4
Lời giải
1 3
N
;
4 4
Ta có M , N là trung điểm của AD và BC nên MD MA 0 và BN CN 0
Khi đó: MN BD CA MN BN NM MD CN NM MA
2
1
3 a
MN NM NM NM AB CD
2 2
Câu 50:
Chọn B.
Lời giải
Trang 21

2
2
2
CH AC 16 16
Ta có AB BH.
BC và AC CH.
CB . Do đó: HC
2
. HB
BH AB 9 9
16
Mà HB,
HC ngược hướng nên HC HB
9
Khi đó, gọi ; thì HC 1 x;2 y , HB 1 x; 3
y
H x y
16
1 x 1 x
x
1
9
6
Suy ra: 6 H 1; .
16
y 5
2 y 3 y
5
9
Câu 51:
Chọn B.
P Oy P 0; y
G Ox G x;0
Lời giải
1
5 0
x
3
x
2
Điểm G là trọng tâm của tam giác MNP
.
1 3
y y 4
0
3
Câu 52:
Lời giải
Chọn D.
Cường độ lực tổng hợp của F F1 F2 MA MB 2 MI AB ( I là trung điểm của AB ). Ta có
2 2
AB MA MB 500 suy ra F 500 N .
Câu 53:
Lời giải
Trang 22

Chọn D.
Ta có
BM BC 2AB AM BC AB AM AC 2BC
CN xAC BC CA AN xAC BC AN x 1
AC BC
Để A, M , N thẳng hàng thì k
0 sao cho AM k AN
1
k
x
1 k
2
Hay x 1 AC BC k AC 2BC
.
1 2k
1
x
2
Câu 54:
Lời giải
Chọn A.
Gọi I là điểm thỏa mãn IA 3IB 2IC
0
MA 3MB 2MC 2MA MB MC 2MI IA 3IB 2IC BA CA
Gọi N là trung điểm BC . Ta được:
1 2 MI 2 AN IM AN
(1)
I, A,
N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính AN .
Câu 55:
Lời giải
Chọn B.
AA
AA
u tan
B AB tanC
AC u AB AC
BA
CA
Trang 23

AA
AA
Ta thấy hai vecto A B và A C ngược hướng và độ dài mỗi vecto bằng AA nên chúng là hai
BA
CA
vecto đối nhau. Vậy u 0 .
Trang 24

SỞ GD VÀ ĐT ABC
TRƯỜNG THPT….
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT – NĂM HỌC 2018 2019
Môn: TOÁN – Hình học 10, CHƯƠNG I, Đề 1
Thời gian làm bài: 45 phút
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 4. B. 6. C. 7. D. 9.
Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. CA BA BC . B. AB AC BC . C. AB CA CB . D. AB BC CA.
Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó AB AC bằng:
OC
có
A. AB AC a 3.
B.
a 3
AB AC .
2
C. AB AC 2 a.
D. Một đáp án khác.
Câu 5: Cho số thực k và vectơ a 0 . Chọn khẳng định sai?
A. Vectơ ka cùng phương với a với mọi số thực k.
B. Vectơ ka cùng hướng với a nếu k 0 , ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k . a
.
C. Vectơ ka cùng hướng với a nếu k 0 , ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k. a
.
D. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b
0
cùng phương là có một số k để a kb .
Câu 6: Cho ABC có G là trọng tâm tam giác. Trong các biểu thức sau, đâu là biểu thức đúng?
A. AG GB GC 0.
B. AG BG GC 0.
C. AG BG GC 0.
D. MA MB MC 3MG
với điểm M tùy ý.
Câu 7: Cho u 3;2 ; v 2;3
. Khi đó w 3;15
được biểu diễn là
A. w 3u 2 v.
B. w u 2 v.
C. w 3u 3 v.
D. w 3u 2 v.
Câu 8: Cho u 3;2 ; w 7;3 . Biết w u 2v
, tọa độ v là
1
1
5 1
1
A. 5; .
B. 5; .
C. ; .
D. 5; .
2
2
2 2
2
Trang 1

1 7
Câu 9: Cho A
4; và B
2; . Tọa độ AB là
2 6
10
2
1
5
A. 2; .
B. 6; .
C. 3; .
D. 1; .
3
3
3
3
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD với E là trung điểm của BC; F là điểm thuộc đường thẳng AC
sao cho AB = EF . Có bao nhiêu điểm F thỏa mãn điều kiện đã cho
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 11: Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Vectơ tổng MN PQ RN NP QR bằng:
A. MP .
B. PR .
C. MR .
D. MN.
Câu 12: Cho 4 điểm A, B, C, D. Ta có đẳng thức sau:
A. AB CD AC BD .
B. AB CD AC BD.
C. AB CD DA BA .
D. AB AC BD DC.
1
Câu 13: Cho tam giác ABC, E là điểm trên cạnh BC sao cho BE BC . Hãy chọn đẳng thức đúng:
4
3 1
A. AE 3AB 4 AC.
B. AE AB AC.
4 4
1 1
1 1
C. AE AB AC.
D. AE AB AC.
3 5
4 4
5; 2 , 0;3 , 5; 1
Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết A B C
G của tam giác ABC có tọa độ:
0;0 . 10;0 .
A. B. C. 1; 1 .
D. 0;11 .
Câu 15: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương:
1
3 3
A. u 2a 3b
và v a 3 b.
B. u a 3b
và v 2 a b.
2
5
5
2
3 1 1
C. u a 3b và v 2a 9 b.
D. u 2a b và v a b .
3
2 3 4
. Trọng tâm
Câu 16: Cho tam giác ABC, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Xét các mệnh
đề sau: (I) AB BC AC 0, (II) KB JC AI , (III) AK BI CJ 0 .
Mệnh đề sai là
A. Chỉ (I). B. (II) và (III). C. Chỉ (II). D. (I) và (III).
Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B 1;3 , C 13;5 và N, M lần lượt là trung
điểm của AB, AC. Tìm tọa độ của vectơ MN .
A. MN 6;1 .
B. MN 7;4 .
C. MN 12;2 .
D. MN 14;8 .
Câu 18: Cho hai lực F1,
F2
có điểm đặt tại O, có cường độ bằng nhau và tạo với nhau một góc 120 .
Biết cường độ lực tổng hợp của hai lực đó là 100 (N). Tính cường độ của lực F 1.
Trang 2

A. 1 100 .
N B. 1 100 3 N . C. 1 50 N . D.
1 50 3 .
F F F
F N
Câu 19: Cho tam giác đều ABC cạnh AB 4 . Tính AB AC .
A. AB AC 4 3. B. AB AC 2 3. C. AB AC 6 3. D. AB AC 3 3.
Câu 20: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Tổng AB CD AD CB bằng
A. 0.
B. AD .
C. BD.
D. 2 BD.
Câu 21: Cho hai điểm 1;6 và N 6;3 . Tìm điểm P mà PM 2PN
.
M
P
P
P
P
A. 11;0 . B. 6;5 .
C. 2;4 .
D.
M
0;11 .
Câu 22: Cho hai điểm 2;2 , N 1;1 . Tìm tọa độ điểm P trên Ox sao cho 3 điểm M, N, P thẳng
hàng.
P
P
P
P
A. 0;4 . B. 0; 4 .
C. 4;0 .
D.
Câu 23: (Quy) Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Biết
4;0 .
AB 5, BC 6, CA 7
. Khi đó
bằng:
A. 5 7 7 5
7 5 5 7
AB AC.
B. AB AC.
C. AB AC.
D. AB AC.
12 12
12 12
12 12
12 12
Câu 24: Cho có A 0; 2 , B 4;0 , C 1;1 và G là trọng tâm. Nếu M là điểm trên đường thẳng d
có phương trình y 2 sao cho MA MB MC bé nhất thì tọa độ của vectơ MG là:
ABC
5 7
5 7
7
7
A. ; .
B. ; .
C. 0; .
D. 0; .
3 3
3 3
3
3
Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 1;3 , b 1; 2 , c 3; 1
. Biết a xb yc .
Tính A xy x y .
A. A 5.
B. A 6.
C. A 3.
D. A 1.
AD
Trang 3

BẢNG ĐÁP ÁN
1-A 2-B 3-C 4-A 5-C 6-D 7-C 8-A 9-B 10-C
11-D 12-A 13-B 14-A 15-D 16-A 17-A 18-A 19-A 20-A
21-A 22-D 23-C 24-D 25-D
ĐÁP ÁN CHI TIẾT.
Câu 1: Lời giải
Chọn A.
Vì Vectơ không cùng phương với mọi vectơ.
Câu 2: Lời giải
Chọn B.
Đó là các vectơ: AB, BA, DE, ED, FC,
CF .
Câu 3: Lời giải
Chọn C
Xét các đáp án:
Đáp án. A. Ta có CA BA CA AB CB BC.
Vậy A sai.
Đáp án. B. Ta có AB AC AD BC.
(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành).
Vậy B sai.
Đáp án. C. Ta có AB CA CA AB CB.
Vậy C đúng.
Câu 4: Lời giải
Chọn A.
Gọi H là trung điểm của BC AH BC
Suy ra
Ta lại có
BC 3 a 3
AH
2 2
Câu 5: Lời giải
Chọn C.
Câu 6: Lời giải
Chọn D.
a 3
AB AC 2AH 2. a 3.
2
Trang 4

Câu 7: Lời giải
Chọn C.
x .x
w
a bx
u v 3 3a 2b a
3
Giả sử a, b là cặp số thỏa mãn w au bv .
y .y
w
a by 15 2a 3b b
3
u v
Câu 8: Lời giải
Chọn A.
x 2
5
x
w
x
a
u v 7 3 2a
Giả sử v a;
b
thỏa mãn w u 2v
1 .
y y
2
w
y 3 2 2b b
u v
2
Câu 9: Lời giải
Chọn B.
Theo định nghĩa vectơ, AB 6; 2
.
3
Câu 10: Lời giải
Chọn C.
Dựng / / . Đường tròn E,
EH cắt AC tại hai điểm F1 , F2
.
EH AB
Câu 11: Lời giải
Chọn D.
Sử dụng quy tắc cộng:
MN PQ RN NP QR
MN NP
PQ QR
RN MP PR RN MR RN MN
Câu 12: Lời giải
Chọn A.
Câu 13: Lời giải
Chọn B.
Vì khi phân tích AE hAB k AC thì hai số h, k không thể lớn hơn 1, không có số âm và không thể
bằng nhau.
Câu 14: Lời giải
Chọn A.
Sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm G khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C.
Trang 5

x
y
G
G
xA xB xC
3
.
yA yB yC
3
Câu 15: Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Sử dụng kiến thức nếu u kv thì u
và v
cùng phương.
x y x y
Cách 2: Cho u x; y; v x;
y
. Lập tỉ số ; , nếu thì u
và v
cùng phương.
x
y
x
y
Chú ý: Xét tỉ số dấu trước để loại phương án.
Câu 16: Lời giải
Chọn A.
Sử dụng định nghĩa phép cộng vectơ.
Phân tích phương án nhiễu:
B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất vectơ.
Câu 17: Lời giải
Chọn A.
1
Sử dụng MN BC .
2
Phân tích phương án nhiễu:
B, C, D: Học sinh nhầm lẫn công thức tính tọa độ của vectơ.
Câu 18: Lời giải
Chọn A.
Sử dụng các tính chất của hình thoi, tam giác đều.
Phân tích phương án nhiễu:
B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất.
Câu 19: Lời giải
Chọn A.
Sử dụng các tính chất của hình thoi, tam giác đều.
Phân tích phương án nhiễu:
B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất.
Câu 20: Lời giải
Chọn A.
Sử dụng các tính chất của phép cộng trừ vectơ.
Phân tích phương án nhiễu:
B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất.
Câu 21: Lời giải
Chọn A.
Trang 6

1
2.6
xP
11
PM 2PN
1
2
P 11;0
6 2.3
yP
0
1
2
Câu 22: Lời giải
Chọn D.
Do P Ox nên ;0 , mà
.
P x MP x 2; 2 ; MN 3; 1
x 2 2
Do M, N, P thẳng hàng nên x 4 .
3 1
Câu 23: Lời giải
Chọn C.
Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên:
BD AB 5 5
BD DC
DC AC 7 7
5
AD AB AC AD
7
7 5
AD AB AC .
12 12
Câu 24: Lời giải
Chọn D.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC
nên MA MB MC 3MG MA MB MC 3 MG bé nhất
MG bé nhất M là chân đường vuông góc kẻ từ G đến d.
5 7
Khi đó xM
xG
M ;2 MG 0;
.
3 3
Câu 25: Lời giải
Chọn D.
x 3y 1 x
2
Ta có a xb yc . Do đó A xy x y 1.
2x y 3 y
1
Trang 7

SỞ GD VÀ ĐT ABC
TRƯỜNG THPT….
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT – NĂM HỌC 2018-2019
Môn: TOÁN – Hình học, CHƯƠNG I, Đề 2
Thời gian làm bài: 45 phút
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 2: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB AC BC . B. MP NM NP .
C. CA BA CB . D. AA BB AB .
Câu 4: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA OB CD . B. OB OC OD OA.
C. AB AD DB . D. BC BA DC DA
Câu 5: Cho ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng:
1
A. AM AB AC . B. MG MA MB MC .
3
2
C. AM 3MG
. D. AG AB AC
.
3
Câu 6: Cho ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây đúng:
1
A. AM AB AC . B. MG MA MB MC .
3
2
C. AM 3MG
. D. AG AB AC
.
3
Câu 7: Trong hệ trục tọa độ O; i;
j tọa độ i j là:
0;1 .
A. B. 1; 1 .
C. 1;1 .
D.
Câu 8: Cho a 3; 4 , b 1;2
. Tìm tọa độ của a b .
A. 4;6 .
B. 2; 2 .
C. 4; 6 .
D.
1;1 .
3; 8 .
Trang 1

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 5;2 , B 10;8 . Tìm tọa độ của vectơ AB .
5;10 . 15;6 . 5;6 .
A. B. C. D.
Câu 10: Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD ?
A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành.
C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB CD.
50;16 .
Câu 11: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Đẳng thức nào
sau đây đúng?
A. MA MB . B. AB AC . C. MN BC . D. BC 2 MN .
Câu 12: Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB CD AD CB . B. AB BC CD DA.
C. AB BC CD DA. D. AB AD CD CB .
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AH HB AH HC . B. AH AB AC AH .
C. BC BA HC HA . D. AH AB AH .
Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính OA CB
A. a 2
.
B. 2
a 2 1
a.
C. D.
2
2
a.
.
2
Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. MABC là hình bình hành. B. AM AB AC.
C. BA BC BM.
D. MA BC.
A B
Câu 16: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 6;1 , 3;5
và trọng tâm G 1;1 . Tìm tọa
độ đỉnh C?
A. 6; 3 .
B. 6;3 .
C. 6; 3 .
D. 3;6 .
Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 1; 1 , b 0;2
. Xác định tọa độ của vectơ
x
sao cho x b 2a
.
A. x 2;0 .
B. x 2;4 .
C. x 1;1 .
D. x 1;3 .
Câu 18: Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính CA HC .
a
A. CA
HC . B. 3 a
CA
HC . C. 2 3 a
CA
a
HC . D. CA HC
7 .
2
2
3
2
Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm
cho AB 2AC 3AD
0 .
1; 1 , 2;0 , 3;5
A B C
. Tìm tọa độ điểm D sao
Trang 2

8
A. D
2;
.
B. D3;3 .
C. 6;6 .
D.
3
Câu 20: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Khi đó độ dài vectơ AB AC bằng:
D D
A. 2 a.
B. 2a 3.
C. 4 a.
D. a 3.
Câu 21: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
hình bình hành.
A1;1 , B 3;2 , C 6;5
A. B. C. D.
3; 2 .
. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là
4;3 . 3;4 . 4;4 .
Câu 22: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm
cho A, B, M thẳng hàng.
A
2; 3 , B 3;4
5 1
A. M 1;0 .
B. M 4;0 .
C. M
;
.
D.
3 3
8;6 .
. Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao
17
M
;0 .
7
Câu 23: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB 4, BC 5 và CA 6 . Khi
đó DE bằng:
A. 5 3 3 5 9 3 3 9
CA CB.
B. CA CB.
C. CA CB.
D. CA CB.
9 5
5 9
5 5
5 5
Câu 24: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, G là trọng tâm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của
BG và CG. Khi đó GE GF bằng:
1
A. AB AC.
B. C. D.
3
1
AB AC.
6
2
AB AC.
3
5
AB AC.
6
Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
2MA 3MB 4MC MB MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.
a
a
a
a
A. r .
B. r .
C. r .
D. r .
3
9
2
6
Trang 3

BẢNG ĐÁP ÁN
1-A 2-D 3-B 4-D 5-B 6-B 7-D 8-B 9-B 10-B
11-D 12-A 13-B 14-D 15-D 16-C 17-B 18-D 19-A 20-B
21-C 22-D 23-A 24-B 25-B
Câu 1: Lời giải
Chọn A.
Vì Vectơ không cùng phương với mọi vectơ.
Câu 2: Lời giải
Chọn D.
Câu 3: Lời giải
Chọn B.
Xét các đáp án:
Đáp án. A. Ta có AB AC AD BC.
(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành).
Vậy A sai.
Đáp án. B. Ta có MP NM NM MP NP . Vậy B đúng.
Đáp án. C. Ta có
BA
AC
AB AD CB
(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình
bình hành). Vậy C sai.
Đáp án. D. Ta có AA BB 0 0 0 AB . Vậy D sai.
Câu 4: Lời giải
Chọn D.
Xét các đáp án:
Đáp án. A. Ta có OA OB BA CD . Vậy A đúng.
OB OC CB AD
Đáp án. B. Ta có . Vậy B sai.
OD OA AD
Đáp án. C. Ta có AB AD DB . Vậy C đúng.
BC BA AC
Đáp án. D. Ta có . Vậy D đúng.
DC DA AC
Câu 5: Lời giải
Chọn B.
Trang 4

Ta có: Nếu G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý thì
1
MA MB MC 3MG MG MA MB MC
3
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC
1
AM AB AC.
2
Phương án C: Sai do HS dùng sai AM và MG là 2 vectơ ngược chiều
AM 3MG
.
Phương án D: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC
2 2 1 1
AG AM . AB AC AB AC.
3 3 2 3
Câu 6: Lời giải
Chọn B.
Ta có: Nếu G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý thì
1
MA MB MC 3MG MG MA MB MC
3
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC
1
AM AB AC.
2
Phương án C: Sai do HS dùng sai AM và MG là 2 vectơ ngược chiều
AM 3MG
.
Phương án D: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC
2 2 1 1
AG AM . AB AC AB AC.
3 3 2 3
Câu 7: Lời giải
Chọn D.
Ta có i
1;0 , j
0;1 i j 1;1 .
Câu 8: Lời giải
Chọn B.
Ta có a b 3 1 ; 4 2 2; 2
.
Trang 5

Câu 9: Lời giải
Chọn B.
AB x x ; y y 10 5;8 2 15;6
Ta có:
B A B A
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A: Sai do cộng tọa độ với nhau.
Phương án C: Sai do dùng công thức tọa độ của vectơ, không đổi dấu.
Phương án D: Sai do nhầm lẫn một phần công thức tích vô hướng.
Câu 10: Lời giải
Chọn B.
Ta có:
AB
// CD
AB CD ABDC là hình bình hành.
AB
CD
AB
// CD
Mặt khác, ABDC là hình bình hành AB CD.
AB
CD
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB CD là ABDC là hình bình hành.
Câu 11: Lời giải
Chọn D.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó BC 2MN BC 2 MN .
Câu 12: Lời giải
Chọn A.
Ta có AB CD AD DB CB BD AD CB .
Câu 13: Lời giải
Chọn B.
Do ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm BC.
Xét các đáp án:
Trang 6

AH HB AB a
Đáp án A. Ta có
AH HC AC a
AH HB AH HC .
AH AB BH
Đáp án B. Ta có .
AH AC CH BH
Đáp án C. Ta có BC BA HC HA AC .
Đáp án D. Ta có AB AH HB AH . (do ABC vuông cân tại A ).
Câu 14: Lời giải
Chọn D.
Ta có: hình vuông ABCD cạnh a, tâm O nên đường chéo BD a 2 .
Mặt khác:
BD a 2
OA CB OA AD OD OD .
2 2
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A: Sai do HS tính
2
BD a
OA CB OA AD OD OD .
2 2
Phương án B: Sai do HS tính
2 2 2 2 4
BD BA AD a a a a
2 .
a 2 2
OA CB a
1
a.
2 2
Phương án C: Sai do HS tính BD BA AD a a 2 a.
BD 2a
OA CB OA AD OD OD a.
2 2
Câu 15: Lời giải
Chọn A.
Ta có
MA MB MC 0 BA MC 0 MC AB.
MABC là hình bình hành.
Trang 7

Câu 16: Lời giải
Chọn C.
Gọi C x;
y
Vậy C 6; 3
.
Câu 17: Lời giải
. Ta có G là trọng tâm
Chọn B.
Ta có x b 2a
2;4
.
6 3
x
1
3
x
6
1 5 y
y 3
1
3
Mội lỗi học sinh hay vấp là thay vì 2 2 4 lại bỏ mất 1 dấu trừ thành 2 2 0 nên chọn A; hoặc
thực hiện phép tính 2a
chỉ nhân 2 vào hoành độ hoặc tung độ nên có thể chọn C, D.
Câu 18: Lời giải
Chọn D.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành.
AHBD là hình chữ nhật.
CA HC CA CH CD CD .
2
2 2 2 2 3a
2 a 7
Ta có: CD BD BC AH BC a .
4 2
Câu 19: Lời giải
Chọn A.
Gọi D x;
y .
Ta có AB
1;1 , AC
2;6 , AD x 1; y 1
.
1 2.2 3
2
x 1
0
x
Khi đó AB 2AC 3AD
0 8 .
1 2.6 3
y 1
0 y
3
Học sinh dễ sai khi tính toán tọa độ vectơ AB, AC,
AD dẫn đến các kết quả sai.
Câu 20: Lời giải
Chọn B.
Vẽ hình bình hành ABCD và gọi M là trung điểm BC.
2 2 2
AB AC AD 2AM 2 AB BM 2 2a a 2a
3
Ta có 2
Trang 8

Câu 21: Lời giải
Chọn C.
Gọi D
x;
y
, ABCD là hình bình hành AD BC x 1; y 1 3;3
x
1 3 x
4
y
1 3 y
4
Vậy D 4;4 .
Câu 22: Lời giải
Chọn D.
Điểm M Ox M m;0 .
Ta có AB 1;7 và AM m 2;3 .
m 2 3 17
Để A, B, M thẳng hàng m .
1 7 7
Câu 23: Lời giải
Chọn A.
AD là phân giác trong của tam giác ABC nên
CD 6 3
CD CB.
CB 10 5
CE 5 5
Tương tự: CE CA.
CA 9
9
5 3
Vậy DE CE CD CA CB.
9 5
CD 6 6
AC CD
DB AB 4 CD DB 6 4
Trang 9

Câu 24: Lời giải
Chọn B.
. .
3 3 2 6
Vì GEMF là hình bình hành nên GE GF GM 1 AM 1 1 AB AC 1
AB AC
Câu 25: Lời giải
Chọn B.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có 2MA 3MB 4MC 2 MI IA 3 MI IB 4 MI IC .
Chọn điểm I sao cho 2 3 4
IA IB IC 0 3
IA IB IC IC IA 0
.
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC IA IB IC 3IG
.
Khi đó 9IG IC IA 0 9IG AI IC 0 9 IG CA (*) .
Do đó 2MA 3MB 4MC MB MA 9MI 2IA 3IB 4IC AB 9MI AB .
Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính
AB a
r .
9 9
Trang 10