Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

1.2 Integralne transformacije
Ponekad je korisno Furijeovu transformaciju zapisati u sledećem obliku:
(Ff(x))(ξ) = d
dξ
∫∞
−∞
eixξ − 1
f(x) dx. (1.6)
ix
1.2.1 Napomena Radi jednostavnijeg zapisa, često se izostavlja promenljiva x,
ukoliko ne dovodi do zabune, i piˇsemo samo (Ff)(ξ) ili Ff(ξ). Podjednako ćemo
koristiti sve ove oznake.
Za ”dovoljno dobre” funkcije f i g, ove transformacije su jedna drugoj inverzne,
tj. vaˇzi
F −1 Ff = f i FF −1 g = g,
kao i sledeća relacija
(FFf)(ξ) = f(−ξ).
Sledeća osobina daje vezu Furijeovih transformacija i operatora translacije τh i
dilatacije Πλ definisanih sa
i
respektivno.
Za funkcije f ∈ L k (R), k = 1, 2, vaˇzi:
(τhf)(x) = f(x − h), x, h ∈ R (1.7)
(Πλf)(x) = f(λx), x ∈ R, λ > 0 (1.8)
(Fτhf)(ξ) = e −iξh (Ff)(ξ)
(FΠλf)(ξ) = 1
λ (Ff)
(
ξ
)
λ
(Fe iax f(x))(ξ) = (τ−aFf)(ξ) = (Ff)(ξ + a), ξ, a ∈ R.
Ako je f ∈ L 1 (R) tada je (Ff)(ξ) neprekidna ograničena funkcija koja teˇzi nuli kad
|ξ| → ∞. Brzina opadanja funkcije Ff u beskonačnosti je u vezi sa regularnoˇsću
funkcije f. Ta veza je data sledećim jednakostima
i
(FD n f(x))(ξ) = (−iξ) n (Ff(x))(ξ), n ∈ N (1.9)
D n (Ff(x))(ξ) = (F(ix) n f(x))(ξ), n ∈ N (1.10)
i vaˇze za funkcije f ∈ C n (R) za koje je f (k) ∈ L 1 (R), gde je k = 0, 1, ..., n.
5