Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

2.1 Definicija i osnovna svojstva Riman-Liuvilovih integrala i izvoda
Smenom ξ = z
x−a
(∗∗) =
se integral svodi na beta funkciju:
=
= 1 − µ − α
1 d
Γ(1 − α) dx
∫1
1 d
(x − a)1−µ−α
Γ(1 − α) dx
0
(x − a) −µ ξ−µ (x − a) α (x − a) dξ
(1 − ξ) α
∫1
0
ξ −µ (1 − ξ) −α dξ
Γ(1 − α) · (x − a)−µ−α · B(1 − µ, 1 − α).
Koristeći relacije za beta i gama funkciju (1.24) i (1.20) dobijamo
aD α x (x − a) −µ =
=
1 − µ − α Γ(1 − µ)Γ(1 − α)
· · (x − a)
Γ(1 − α) Γ(2 − µ − α)
−µ−α
Γ(1 − µ)
Γ(1 − µ − α) · (x − a)−µ−α ,
ˇsto je i trebalo pokazati.
Očigledno, za µ = 1 − α, koristeći svojstvo gama funkcije Γ(m) = ±∞ za m =
0, 1, ..., imamo da je aD α x (x−a) α−1 = 0, pa moˇzemo primetiti da funkcija (x−a) α−1
kod izvoda aD α x igra istu ulogu kao konstanta kod klasičnih izvoda. Takod¯e imamo
i da Ojlerova formula vaˇzi i kada je µ ≤ 0. Stoga, za µ = 0 dobijamo da je
aD α x c ̸= 0, za svaku konstantu c ∈ R. Ove činjenice su od velikog značaja u radu
sa frakcionim računom zbog velikih razlika u osobinama izmed¯u ovako definisanih
necelih i već dobro poznatih klasičnih izvoda.
Pred¯imo sada na definiciju frakcionih izvoda reda α za α ≥ 1. U tu svrhu koristićemo
sledeće oznake: za α ≥ 1 piˇsemo α = [α] + {α}, gde je [α] ceo deo, a
{α}, 0 ≤ {α} < 1, racionalni deo broja α.
2.1.7 Definicija Neka je f ∈ AC [α]+1 ([a, b]) i α ≥ 1. Tada je
i
xD α b
aD α x f(x) =
f(x) =
( d
dx
) [α]
aD {α}
x f(x) =
( d
dx
) [α]+1
aI 1−{α}
x f(x), x ∈ [a, b],
(
− d
) [α]
xD
dx
{α}
(
b f(x) = − d
) [α]+1
xI
dx
1−{α}
b f(x), x ∈ [a, b].
Dakle, za n − 1 ≤ α < n, n ∈ N i f ∈ AC n ([a, b]), imamo da je [α] = n − 1 i
{α} = α − [α] = α − n + 1
aD α x f(x) =
1
(
d
) ∫x
n f(θ)
dθ,
Γ(n − α) dx (x − θ) α−n+1
a
x ∈ [a, b], (2.10)
23