Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

1.2 Integralne transformacije
Koristeći Melinovu transformaciju moˇze se pokazati da se inverzna Laplasova
transformacija moˇze zapisati i u obliku
(L −1 g)(x) = 1
2πi
γ+i∞ ∫
γ−i∞
x −s
Γ(1 − s) g∗ (1 − s) ds, γ = Re (s) < 1.
Ako su za funkcije f1 i f2 definisane Laplasove transformacije, tada vaˇzi
L(c1f1 + c2f2) = c1L(f1) + c2L(f2), c1, c2 ∈ R,
tj. vaˇzi linearnost Laplasove tranformacije.
Jednostavnim računom mogu se izračunati Laplasove transformacije nekih elementarnih
funkcija:
(L t α Γ(α + 1)
)(s) =
sα+1 , α > −1
(L e at )(s) = 1
s − a
(L t α−1 e at )(s) = Γ(α)
(s − a) α
s
(L cos at)(s) =
s 2 + a 2
a
(L sin at)(s) =
s2 .
+ a2 Jedno od najkorisnijih svojstava Laplasove transformacije je tzv. konvoluciona
teorema. Naime, ako pretpostavimo da vaˇze uslovi teoreme 1.2.2, moˇze se pokazati
da je
(L(f ∗ g))(s) = (Lf)(s)(Lg)(s), (1.17)
gde je konvolucija funkcija f i g data u (1.11).
Laplasova transformacija se moˇze dobiti i od Furijeove transformacije uzimajući
da je f(t) = 0 za t < 0 i zamenom promenljive ix = s.
Istaknimo joˇs i da kad god odgovarajuće Laplasove transformacije postoje, vaˇze i
sledeće jednakosti analogne onim za Furijeove transformacije:
(Lτhf)(s) = e −sh (Lf)(s)
(LΠλf)(s) = 1
λ (Lf)
(
s
)
λ
(L e −at f(t))(s) = (τ−aLf))(s) = (Lf)(s + a), s, a ∈ R
D n (Lf(t))(s) = (−1) n (L t n f(t))(s), n ∈ N
(L D n f)(s) = s n n−1 ∑
(Lf)(s) −
9
k=0
s n−k−1 (D k f)(0). (1.18)