Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

4.2 Frakciona difuziona jednačina
organski deo sastoji uglavnom od kolagena tipa 1. Tubule su ispunjene ćelijama
odontoblasta i dentalnom tečnoˇsću. Ako bismo dentin modelirali kao elastično telo
(homogeno, izotropno), da bismo u potpunosti odredili mehaničko ponaˇsanje pri
konstantnoj temperaturi potrebno je poznavanje vrednosti dva parametra (npr.
moduo elastičnosti i Poasonov odnos). Ako u obzir uzmemo i stogo orijentisanu
cevkastu strukturu zuba, neophodno je uvesti mnogo sloˇzeniji model. Mi ćemo
predstaviti viskoelastičan frakcioni model zuba (za viˇse detalja pogledati [1]) zasnovan
na modifikovanom Zenerovom modelu definisanom u (4.8). Posmatrajmo
specijalan slučaj jednačine (4.8) kad je α = β i zapiˇsimo je u obliku
σ(t) + a 0D α t σ(t) = E ( ε(t) + b 0D α t ε(t) ) , (4.19)
gde je 0 < α < 1 i a, b i E su konstante koje se odred¯uju eksperimentalno. Tako
se dobija da je
α = 0.136, a = 0.525, b = 0.778 i Eε0 = 616.287. (4.20)
Detaljan postupak nalaˇzenja vrednosti konstanti u (4.20) se moˇze naći u [1]. Značaj
ovog modela je u sledećem: jednostavan je za upotrebu, radi sa malim vrednostima
parametara E, a, b, α i omogućava predvid¯anje ponaˇsanja materijala sa velikom
tačnoˇsću (relativna greˇska je manja od 3%). Konstante E, a, b i α se mogu odrediti
i za različite vrednosti temperature ˇsto je od značaja u stvarnim kliničkim situacijama,
npr. u rekonstruktivnoj stomatologiji, za očekivanje je da će materijali
slični dentinu davati mnogo bolje rezultate od drugih materijala.
4.2 Frakciona difuziona jednačina
Normalna ili obična difuzija je proces spontanog ˇsirenja čestica unutar gasa, tečnosti
ili čvrstog tela. Naziva se joˇs i Gausova difuzija a karakteriˇsu je: kretanje
čestica iz oblasti viˇse koncentracije ka oblasti niˇze koncentracije; koncentracija
ima Gausovu gustinu raspodele; sistem je blizak ravnoteˇznom stanju; asimptotsko
srednje-kvadratno premeˇstanje je linearna funkcija vremena tj. ⟨x2 (t)⟩ ∼ t, a
distribucija brzine četica je Maksvelova . Normalna difuzija se modelira difuzionom
jednačinom
∂ϕ(x, t)
= D
∂t
∂2ϕ(x, t)
∂x2 , (4.21)
gde je D difuziona konstanta koja zavisi od svojstava materijala. Med¯utim, u
odred¯enim sistemima prethodna priča ne vaˇzi i oni su daleko od stanja ravnoteˇze,
a difuzija je ili spora ili brza. Takvo odstupanje od normalne difuzije se naziva
anomalna difuzija i karakteriˇse je pre svega nelinearna zavisnost asimptotskog
srednje-kvadratnog premeˇstanja čestica od vremena, tj. ⟨x2 (t)⟩ ∼ tα , za α ̸= 1. U
69