Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

1.3 Specijalne funkcije
1.3.3 Napomena Primetimo da se pri definisanju funkcija nigde ne pominje
konvergencija reda, med¯utim, uz pomoć Stirlingove formule se moˇze pokazati da
red konvergira za svako z ∈ C.
Analogne diferencijalne formule za dvoparametarsku Mitag-Leflerovu funkciju vaˇze:
(
d
) n
z
dz
β−1 En,β(λz n ) = z β−n−1 En,β−n(λz n ), λ ∈ C
i
(
d
) n[
z
dz
n−β (
λ
En,β
zn )]
kao i integralna reprezentacija
Eα,β(z) = 1
2πi
= (−1)nλ (
λ
En,β
zn+β zn )
, z ̸= 0, λ ∈ C,
γ+i∞ ∫
γ−i∞
Γ(s)Γ(1 − s)
Γ(β − αs)
(−z) −s ds.
Melinova transformacija dvoparametarske Mitag-Leflerove funkcije je oblika
(MEα,β(−t))(s) =
Γ(s)Γ(1 − s)
Γ(β − αs) .
Koristeći dvoparametarsku Mitag-Leflerovu funkciju za različite vrednosti parametara
α i β, moˇzemo definisati mnoge dobro poznate funkcije:
E1,2(z) =
∞∑
k=0
E1,1(z) =
E2,1(z 2 ) =
E2,2(z 2 ) =
∞∑
k=0
z k
Γ(k + 2) =
∞∑
k=0
∞∑
k=0
z k
Γ(k + 1) =
∞∑
k=0
z 2k
Γ(2k + 1) =
z2k 1
=
Γ(2k + 2) z
∞∑
k=0
zk 1
=
(k + 1)! z
∞∑
k=0
∞∑
k=0
z k
k!
∞∑
k=0
= ez
zk+1 k + 1 = ez − 1
z
z2k = cosh z
(2k)!
z 2k+1
(2k + 1)!
sinh z
= .
z
1.3.4 Gausova hipergeometrijska i Beselova funkcija
Gausova hipergeometrijska i Beselova funkcija su veoma značajne za frakcioni
račun jer se pojavljuju prilikom reˇsavanja frakcionih integrala nekih elementarnih
funkcija.
15