Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

2.3 Frakcioni identiteti
Dokaz. Koristeći propoziciju 2.3.2 i definiciju operatora aDα x imamo da vaˇzi
aI [α]−α
∞∑
( )
α − [α] (x − a) k+[α]−α
x f(x) =
k Γ(k + 1 + [α] − α) Dkf(x), k=0
gde smo koristili da je k!Γ(α)(α + k) ( ) −n
k = (−1) kΓ(k + 1 + α). Diferenciranjem
jednakosti [α] puta po promenljivoj x, dobijamo
aD α ∞∑
( )
α − [α] 1
x f(x) =
k Γ(k + 1 + [α] − α) D[α][ (· − a) k+[α]−α D k f ] (x).
k=0
Iz klasične Lajbnicove formule (Teorema 2.3.7) sledi
aD α x f(x) =
∞∑
( )
α − [α] 1
k Γ(k + 1 + [α] − α)
=
k=0
[α] ∑
( )
[α]
× D
j
[α]−j[ (· − a) k+[α]−α] (x)D k+j f(x)
j=0
∞∑
(
α − [α]
k=0
k
) [α]
∑
( )
[α] (x − a) k+j−α
j Γ(k + 1 + j − α) Dk+jf(x). j=0
Po definiciji je ( ) µ
j = 0 kad je µ ∈ N i µ < j, pa moˇzemo da zamenimo gornju
granicu u sumi sa ∞, a nakon smene j = l − k dobijamo
aD α x f(x) =
∞∑ ∞∑
( )( )
α − [α] [α] (x − a) l−α
k l − k Γ(l + 1 − α) Dlf(x) =
=
k=0 l=k
∞∑ l∑
( )( )
α − [α] [α] (x − a) l−α
k l − k Γ(l + 1 − α) Dlf(x) ∞∑
( )
α (x − a) l−α
l Γ(l + 1 − α) Dlf(x). l=0 k=0
l=0
Pre nego ˇsto formuliˇsemo sledeću teoremu, naveˇsćemo bitno svojstvo frakcionih
integrala koje ćemo koristiti u dokazu. Naime, moˇze se pokazati da ako je funkcija
neprekidna na intervalu [a, b] i vaˇzi f(x) = O((x − a) δ ) kad x → a za neko δ > 0,
onda je
mk lim ∥aIx f − aI
k→∞ m x f∥∞ = 0, (2.20)
gde je {mk} ∞ k=1 niz nenegativnih brojeva koji konvergira ka m. Dokaz jednakosti
(2.20) se moˇze naći u [6].
33
✷