Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

2.3 Frakcioni identiteti
Dokaz. Neka je f granica niza funkcija {fk}. Vaˇzi da je tada i f takod¯e neprekidna
funkcija. Sada imamo
|aI α x fk(x) − aI α x f(x)| ≤
≤
=
≤
1
Γ(α)
∫x
a
1
Γ(α) ∥fk − f∥∞
|fk(θ) − f(θ)|(x − θ) α−1 dθ
∫x
a
(x − θ) α−1 dθ
1
Γ(α + 1) ∥fk − f∥∞(x − a) α
1
Γ(α + 1) ∥fk − f∥∞(b − a) α ,
ˇsto uniformno konvergira ka nuli za svako x ∈ [a, b] kad k → ∞. ✷
2.3.2 Propozicija Neka je f analitička na (a − h, a + h) za neko h > 0 i neka je
α > 0. Tada je
aI α ∞∑ (−1)
x f(x) =
k (x − a) k+α
k!(α + k)Γ(α) Dkf(x) za a ≤ x < a + h/2 i
aI α x f(x) =
k=0
∞∑
k=0
(x − a) k+α
Γ(k + 1 + α) Dk f(a)
za a ≤ x < a + h. ˇ Staviˇse, aI α x f je analitička na (a, a + h).
Dokaz. Za dokaz prve jednakosti koristimo definiciju Riman-Liuvilovog integrala
aI α x f(x) = 1
Γ(α)
∫x
a
f(θ)(x − θ) α−1 dθ
i razvoj funkcije f u stepeni red u okolini tačke x. Kako je x ∈ [a, a + h/2) red
konvergira na celom intervalu na kome integralimo. Zato, iz teoreme 2.3.1 moˇzemo
da razmenimo sumu i integral i na kraju iz jednakosti za frakcioni integral stepene
funkcije (detaljnije u odeljku 2.5 o elementarnim funkcijama), sledi tvrd¯enje.
Dokaz druge jednakosti se izvodi na sličan način, ali sada razvijamo funkciju u
okolini tačke a, ˇsto nam daje konvergenciju reda na traˇzenom intervalu.
Analitičnost za aI α x f sledi iz druge jednakosti. ✷
Sledeća teorema govori o konvergenciji niza frakcionih integrala.
31