Izvodi i integrali necelog reda - Dobrodošli na Departman za ...

2.5 Integrali i izvodi necelog reda elementarnih funkcija
(∗) =
1
Γ(β)Γ(α)
(x − a)β+α−1
Γ(α) Γ(β + α)
Dakle, aI α x (x − a) β−1 = Γ(β)
Γ(β+α) (x − a)β+α−1 .
Drugu jednakost ćemo izvesti direktno koristeći definiciju (2.10).
Neka je n − 1 ≤ α < n, n ∈ N.
aD α x (x − a) β−1 =
=
=
=
=
=
=
1
(
d
) ∫x
n (θ − a)
Γ(n − α) dx
a
β−1
dθ
(x − θ) α−n+1
1
(
d
Γ(n − α) dx
1
(
d
Γ(n − α) dx
∫
) n x−a
0
x−a
) ∫
n
0
0
z β−1 (x − z − a) n−α−1 dz
z β−1 (x − a) n−α−1(
1 − z
) n−α−1
dz
x − a
1
(
d
) ∫1
n
ξ
Γ(n − α) dx
β−1 (x − a) β+n−α−1 (1 − ξ) n−α−1 dξ
1
(
d
) n
(x − a)
Γ(n − α) dx
n+(β−α−1)
∫
0
1
(1 − ξ) n−α−1 ξ β−1 dξ
1
Γ(n − α) (n + β − α − 1) · · · (β − α)(x − a)β+α−1B(β, n − α)
Γ(β)
Γ(β − α) (x − a)β+α−1 .
U specijalnom slučaju, kad je stepen funkcije prirodan broj k imamo
aI α x (x − a) k =
aD α x (x − a) k =
k!
(x − a)k+α
Γ(k + 1 + α)
k!
Γ(k + 1 − α) (x − a)k−α .
Već smo na samom početku zaključili da je funkcija f(x) = (x − a) α−1 tzv.
stacionarna funkcija za odgovarajući Riman-Liuvilov izvod, med¯utim, moˇze se
pokazati da vaˇzi i opˇstiji rezultat, odnosno
aD α x (x − a) α−k = 0, k = 1, ... , n
xD α b (b − x)α−k = 0, k = 1, ... , n
41