Matematyka w punkt. Poradnik nauczyciela. Klasa 7

NOWOŚĆ
2023
Podręcznik nauczyciela
Szkoła podstawowa7

7

© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Warszawa 2023
Wydanie I
ISBN 978-83-02-21086-0
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Aneta Juchimiuk (redaktor koordynator, redaktor merytoryczny),
a uchka (redaktor merytoryczny)
Konsultacja merytoryczno-dydaktyczna: Aekana kaka
edakcja jzykowa: ema ietak
Redakcja techniczna: Janina
Projekt okadki: ARIP NEXT
Projekt graficzny: aka ani
Opracowanie graficzne: Ea Paika
Skad, amanie i rysunki: athate tui
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spka kcyjna
00-807 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 96
KRS: 0000595068
Infolinia: 801 220 555
www.wsip.pl
Publikacja, ktr nabye, jest dzieem twrcy i wydawcy. Prosimy, aby przestrzega praw, jakie im przysuguj.
Jejzawarto moesz udostpni nieodpatnie osobom bliskim lub osobicie znanym. Alenie publikuj jej winternecie.
Jeli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treci i koniecznie zaznacz, czyje to dzieo.
A kopiujc jej cz, rb to jedynie na uytek osobisty.
Szanujmy cudz wasno i prawo.
Wicej na www.legalnakultura.pl
Pka Ia iki

...................................................................................................... VI
............................................................................................... 7
...................................................................... 8
.......................................................................................... 13
................................................................................................................. 17
................................................................................ 22
.................................................................... 28
...
............................................................................................................. 32

gry i zabawy
eneato aian
utiook
Pne eamin
icenia inteaktne
Dokumentacja
program nauczania
plan wynikowy
ian
Pane inteaktne

NOWOŚĆ
2023
Potoanie
o ekcji
ni nie o
tak ate
7

Tematy lekcji
liczba godzin
Wskazówki metodyczne
komentarze do
I. I I DII
1. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych
Temat ekcji
1. Dodawanie i odejmowanie liczb
wymiernych – przypomnienie
2. Dodawanie i odejmowanie liczb
ee ekcji
ce
• zna i rozumie definicję liczby wymiernej,
• skraca i rozszerza ułamki zwykłe,
• dodaje i odejmuje ułamki o różnych mianownikach,
• dodaje i odejmuje liczby mieszane,
• dodaje i odejmuje liczby sposobem pisemnym,
• rozwiązuje złożone zadania z zastosowaniem
dodawania i odejmowania liczb wymiernych.
kaki metocne
• Pierwszą lekcję proponujemy rozpocząć od rozmowy
z uczniami o liczbach, o których uczyli
się w poprzednich klasach. Nie zalecamy jednak
wplatania w nią od razu trudniejszych pojęć, takich
jak „zbiór liczb naturalnych”. Wystarczy
mówić po prostu o „liczbach naturalnych”. Dopiero
gdy uczniowie oswoją się z tymi terminami,
warto zacząć używać bardziej formalnych
pojęć. Dobrze byłoby, gdyby uczniowie samodzielnie
podawali przykłady liczb.
• Ważną częścią lekcji jest zwrócenie uwagi na
zależności między zbiorami liczbowymi. W tym
celu można dopytywać uczniów o liczby, które
podali jako przykłady. Np. jeśli wskazali liczbę
2 jako przykład liczby naturalnej, warto zapytać,
czy da się tę liczbę zakwalifikować do jeszcze
innego zbioru. W podsumowaniu tych rozważań
warto użyć schematu z podręcznika.
• Następnie należy zająć się ułamkami zwykłymi:
upewnić się, czy uczniowie pamiętają zasady
skracania i rozszerzania ułamków, a także, czy
potrafią je dodawać i odejmować.
• Na drugiej lekcji proponujemy przypomnieć dodawanie
i odejmowanie liczb sposobem pisemnym,
a także rozwiązywanie bardziej złożonych
zadań z wykorzystaniem umiejętności powtórzonych
na poprzedniej lekcji.
Przed przystąpieniem do analizy przykładów można
wyświetlić galerię zdjęć umieszczoną w multibooku.
8
1.
I.
Dodawanie i odejmowanie
liczb wymiernych
rzyad 1.
306
432
2
9
9.
wiczenie 1.
a) 80
144
rzyad .
b) 108
288
a) 2 3 + 4 7
iczb wymiern
a a b
b
0; 3; −2; 1 7 ; −52 ; 0,28; 3,21.
3
0
3
−100
3,21
0,28
N Z 1
−2 7 −5 2 3
c) 98
504
ateia aktcne
s. 5–6
Q
ada liczba
naralna caowia,
caowiawymierna,
naralna wymierna.
d) 378
630
2
306
432 = 153
216 = 17
24
2
2
3 + 4 7 = 2 · 7
3 · 7 + 4 · 3
7 · 3 =
= 14
21 + 12
21 = 26
21 = 1 5 21
9
9
doda odj ami zwye o rnych mianowniach,
b) 5 6 − 1 9 = 5 · 3
6 · 3 − 1 · 2
9 · 2 = 15
18 − 2 18 = 13
18
wiczenie .
a) 3 8 + 5 12
rzyad .
b) 5 6 + 4 15
a) 1 1 4 + 34 5
oiei o ice
1. a) 5 9 b) 3 8 c) 7
36 d) 3 2. a) 19
5 24 b) 1 1 10 c) 1 11
d) 3. a) 13 3
55 156 20
b) 3 3 19 23
c) 1 d)
8 39 28
oiei o aa etu ice
1. a) 1 2 b) 1
25 c) 9 16 d) 1 2. a) 2 8
9 15
c) 9 11 − 4 5
13
b) 358 c) 5
63 36 d) 15 6 e) 7 7
20
3. a) 13,65 b) 162,29 c) 57,28 d) 181,01 e) 28,66 f) 604,91 4. a) −23,19
b) 31,67 c) −2 2 1
d) −10 5. B 6. PF
3 32
d) 2 13 + 1 2 − 7 12
1 1 4 + 34 5 =11 · 5
4 · 5 + 34 · 4
5 · 4 =
= 1 5
20 + 3 16
20 = 4 21
20 =51 20
b) 6 1 6 − 32 3
6 1 6 − 32 3 = 37 6 − 11 3 = 37 6 − 11 · 2
3 · 2 =
= 37 6 − 22 6 = 15 5
2 6 = 5 2 =21 2
N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Z
321, 0, 1, 2, 3
-
Q.
-
-
wiczenie .
a) 3 2 5 + 93 4
b) 6 5 8 − 31 4
c) 4 2
13 − 22 3
d) 1 3 4 + 26 7 − 3 11
14
1. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych 9
Dodawanie i odejmowanie liczb
wymiernych
Przed omówieniem przykładu 3. można skorzystać
z animacji umieszczonej w multibooku.
rzyad .
• Warto omówić na lekcji oba podpunkty dotyczące
dodawania i odejmowania liczb mieszanych.
Pomoże to uczniom lepiej zrozumieć
sposób postępowania w tego typu przypadkach.
• Często trudność sprawiają uczniom działania,
w których część ułamkowa odjemnej jest
mniejsza niż część ułamkowa odjemnika,
dlatego należy zwrócić uwagę na analizę podpunktu
b). Warto też polecić uczniom samodzielne
wykonanie wybranych podpunktów
z ćwiczenia 3.
• Warto przypomnieć uczniom, że w podręczniku
symbolem pinezki oznaczone są praktyczne
porady, które przydadzą się im np. wtedy, kiedy
będą uczyli się do sprawdzianu lub uzupełniali
wiedzę z okresu nieobecności w szkole.
• W klasie 7 trzeba już wdrażać uczniów do samodzielnej
pracy. Ułatwi im to przygotowanie
się do egzaminu ósmoklasisty, a także, w dłuższej
perspektywie, naukę w szkole ponadpodstawowej.
• W klasach, w których działania na ułamkach
sprawiają większości uczniów kłopot, można
poprosić o pamięciowe rozwiązywanie łatwiejszych
przykładów metodą węża liczbowego,
proponowaną we wcześniejszych latach nauki.
Nauczyciel lub wyznaczona osoba podaje liczbę
oraz liczbę mieszaną, o którą należy pomniejszać
pierwszą liczbę. Uczniowie kolejno podają
wyniki działań. Warto wybrać takie przykłady,
które liczy się w pamięci stosunkowo łatwo, np.
100 − 1 2 3 . kaki metocne
zeszytu
plansz
interaktywnych
Odpowiedzi
wsipnet.plklasowki.pl ucze.pl
Stacja edukacja.
VI

7

i teci
I. ic i iaania
II. icenia ocentoe
III. Poti
I. Pieiatki

. aenia aeaicne
I. Rnania
II. iu akie
III. ieokt
dowiedzi do zada

W trakcie lekcji
A to ciekawe
1.
2.
3.
1.
2.
Pamitaj

acam o akacjach
Cezary
Zosia
Pola
Niko
Bruno
Ela

kaki metocne
DI
LICZB I DZIAANIA
amki
zwyke
I
1 0,875
– 7 8
– 5 4
o ci si
przyda!
• Sprawność rachunkowa jest kluczową umiejętnością
zdobywaną w szkole podstawowej,
dlatego w pierwszym dziale Liczby i działania
uczniowie przypomną sobie, jak wykonywać
działania na liczbach wymiernych. Utrwalą
także poznany w klasach młodszych algorytm
zaokrąglania liczb. Na tym etapie edukacji matematycznej
powinniśmy kłaść nacisk przede
wszystkim na precyzję w obliczeniach. To
również od tej precyzji będzie zależał wynik
uczniów na egzaminie ósmoklasisty.
• We wskazówkach metodycznych do poszczególnych
tematów zaproponowano wiele ciekawych
form i metod pracy, również z wykorzystaniem
narzędzi multimedialnych, które
uatrakcyjnią zwykłe zadania rachunkowe.
• W ramach ciekawostki warto pokazać uczniom,
że oprócz znanych im działań można zdefiniować
inne działania i oznaczyć je dowolnym
symbolem. Można w tym celu zaprezentować
tabelę dodawania oraz tabelę działania, które
nazwiemy np. „dodawaniem w kole”, i poprosić
uczniów, aby spróbowali zauważyć, na czym
polega to działanie.
amki
dziesitne
1,25
Kolejno
wykonywania dziaa
+ 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
– 1 3 0,(3) 2 + 2 . 2
+ 1 2 3
1 3 4 5
2 4 5 6
3 5 6 7
oiei o aa
• Warto zaprezentować uczniom również inne
działania, takie jak „mnożenie w kwadracie” itp.
Zachęćmy uczniów, by sami zdefiniowali swoje
działania i spróbowali określić, ile różnych działań
da się w ten sposób ułożyć.

I. I I DII
Temat ekcji
1. Dodawanie i odejmowanie liczb
wymiernych – przypomnienie
2. Dodawanie i odejmowanie liczb
Cele lekcji
ce
• zna i rozumie definicję liczby wymiernej,
• skraca i rozszerza ułamki zwykłe,
• dodaje i odejmuje ułamki o różnych mianownikach,
• dodaje i odejmuje liczby mieszane,
• dodaje i odejmuje liczby sposobem pisemnym,
• rozwiązuje złożone zadania z zastosowaniem
dodawania i odejmowania liczb wymiernych.
kaki metocne
• Pierwszą lekcję proponujemy rozpocząć od rozmowy
z uczniami o liczbach, o których uczyli
się w poprzednich klasach. Nie zalecamy jednak
wplatania w nią od razu trudniejszych pojęć, takich
jak „zbiór liczb naturalnych”. Wystarczy
mówić po prostu o „liczbach naturalnych”. Dopiero
gdy uczniowie oswoją się z tymi terminami,
warto zacząć używać bardziej formalnych
pojęć. Dobrze byłoby, gdyby uczniowie samodzielnie
podawali przykłady liczb.
• Ważną częścią lekcji jest zwrócenie uwagi na
zależności między zbiorami liczbowymi. W tym
celu można dopytywać uczniów o liczby, które
podali jako przykłady. Np. jeśli wskazali liczbę
2 jako przykład liczby naturalnej, warto zapytać,
czy da się tę liczbę zakwalifikować do jeszcze
innego zbioru. W podsumowaniu tych rozważań
warto użyć schematu z podręcznika.
• Następnie należy zająć się ułamkami zwykłymi:
upewnić się, czy uczniowie pamiętają zasady
skracania i rozszerzania ułamków, a także, czy
potrafią je dodawać i odejmować.
• Na drugiej lekcji proponujemy przypomnieć dodawanie
i odejmowanie liczb sposobem pisemnym,
a także rozwiązywanie bardziej złożonych
zadań z wykorzystaniem umiejętności powtórzonych
na poprzedniej lekcji.
Przed przystąpieniem do analizy przykładów można
wyświetlić galerię zdjęć umieszczoną w multibooku.
8
1.
I.
Dodawanie i odejmowanie
liczb wymiernych
N0, 1, 2, 3, 4, 5, 6Z
321, 0, 1, 2, 3
-
Q.
rzyad 1.
306
432
2
9
9.
wiczenie 1.
a) 80
144
rzyad .
iczb wymiern
a b ab
0; 3; −2; 1 7 ; −52 ; 0,28; 3,21.
3
0
3
N
−100
3,21
0,28
−2
b) 108
288
a) 2 3 + 4 7
c) 98
504
ateia aktcne
s. 5–6
Z
1
7 −5 2 3
Q
ada liczba
naralnacaowia,
caowiawymierna,
naralnawymierna.
2 9
306
432 = 153
216 = 17
24
2 9
d) 378
630
2 3 + 4 7 = 2 · 7
3 · 7 + 4 · 3
7 · 3 =
= 14
21 + 12
21 = 26
21 =15 21

1. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych
oiei o ice
1. a) 5 9 b) 3 8 c) 7
36 d) 3 5
b) 3 3 8
doda odj ami zwye o rnych mianowniach,
b) 5 6 − 1 9 = 5 · 3
6 · 3 − 1 · 2
9 · 2 = 15
18 − 2 18 = 13
18
wiczenie .
a) 3 8 + 5 b) 5 12
6 + 4 15
rzyad .
c) 1
19
39
d)
23
28
2. a) 19
24 b) 1 1 10 c) 1
55
d)
11
156
oiei o aa etu ice
1. a) 1 2 b) 1
25 c) 9 16 d) 1 9
2. a) 2 8
15
b) 358
63
3. a) 13 3
20
c) 5
13
36 d) 15 6 e) 7 7
20
3. a) 13,65 b) 162,29 c) 57,28 d) 181,01 e) 28,66 f) 604,91 4. a) −23,19
b) 31,67 c) −2 2 3
d) −10
1
32
c) 9 11 − 4 5
5. B 6. PF
d) 2 13 + 1 2 − 7 12
a) 1 1 4 + 34 5
1 1 4 + 34 5 =11 · 5
4 · 5 + 34 · 4
5 · 4 =
=1 5
20 + 3 16
20 =421 20 =51 20
b) 6 1 6 − 32 3
6 1 6 − 32 3 = 37 6 − 11 3 = 37 6 − 11 · 2
3 · 2 =
= 37
6 − 22 6 = 15 5
2 6 = 5 2 =21 2
-
-
wiczenie .
a) 3 2 5 + 93 b) 6 5 4
8 − 31 4
c) 4 2
13 − 22 3
d) 1 3 4 + 26 7 − 3 11
14
1. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych 9
Dodawanie i odejmowanie liczb
wymiernych
Przed omówieniem przykładu 3. można skorzystać
z animacji umieszczonej w multibooku.
rzyad .
• Warto omówić na lekcji oba podpunkty dotyczące
dodawania i odejmowania liczb mieszanych.
Pomoże to uczniom lepiej zrozumieć
sposób postępowania w tego typu przypadkach.
• Często trudność sprawiają uczniom działania,
w których część ułamkowa odjemnej jest
mniejsza niż część ułamkowa odjemnika,
dlatego należy zwrócić uwagę na analizę podpunktu
b). Warto też polecić uczniom samodzielne
wykonanie wybranych podpunktów
z ćwiczenia 3.
kaki metocne
• Warto przypomnieć uczniom, że w podręczniku
symbolem pinezki oznaczone są praktyczne
porady, które przydadzą się im np. wtedy, kiedy
będą uczyli się do sprawdzianu lub uzupełniali
wiedzę z okresu nieobecności w szkole.
• W klasie 7 trzeba już wdrażać uczniów do samodzielnej
pracy. Ułatwi im to przygotowanie
się do egzaminu ósmoklasisty, a także, w dłuższej
perspektywie, naukę w szkole ponadpodstawowej.
• W klasach, w których działania na ułamkach
sprawiają większości uczniów kłopot, można
poprosić o pamięciowe rozwiązywanie łatwiejszych
przykładów metodą węża liczbowego,
proponowaną we wcześniejszych latach nauki.
Nauczyciel lub wyznaczona osoba podaje liczbę
oraz liczbę mieszaną, o którą należy pomniejszać
pierwszą liczbę. Uczniowie kolejno podają
wyniki działań. Warto wybrać takie przykłady,
które liczy się w pamięci stosunkowo łatwo, np.
100 − 1 2 3 .

I. I I DII
rzyad .
• W tym przykładzie porównujemy ułamki
o różnych mianownikach i różnych licznikach.
Aby to wykonać, należy sprowadzić ułamki do
wspólnego mianownika, porównać otrzymane
liczniki i określić, który z ułamków jest większy,
a który mniejszy.
• Warto zwrócić uwagę uczniów na porównanie
ułamków, których mianowniki są różne, a liczniki
równe, np. 105
279 i 105 . W takim przypadku
od razu można wskazać, który ułamek jest
280
większy: ten, którego mianownik jest mniejszy.
• Można też przypomnieć „sprytne” metody porównywania
ułamków, omówione we wcześniejszych
klasach, np. w przykładzie 100
201
i 52
52
od razu widać, że liczba jest większa,
101 101
ponieważ 52 to więcej niż połowa 101, a 100 to
mniej niż połowa 201.
Po analizie przykładu 4. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
rzyad .
W tym przykładzie przypominamy dodawanie
i odejmowanie liczb sposobem pisemnym. Warto
zwrócić uwagę uczniów na zasadę, oznaczoną pinezką,
a dotyczącą zapisywania cyfr tego samego
rzędu w tych samych kolumnach.
rzyad .
• Wykonywanie działań na liczbach o różnych
znakach często sprawia uczniom problemy,
dlatego należy z nimi dokładnie przeanalizować
wszystkie podpunkty, ponieważ każdy
z nich przedstawia inny przypadek.
• W razie potrzeby można odnieść się do sytuacji
z życia codziennego i uznać np. liczbę ujemną
za stratę lub dług, a dodatnią – za prezent lub
zysk.
• Warto polecić uczniom wykonanie ćwiczenia
6. w celu dalszego doskonalenia umiejętności
wykonywania działań na liczbach ujemnych.
1
rzyad .
3 5 i 5 9 .
wiczenie .
=.
a) 3 4 5 b) 5 8
6 7 c) 6 9
11 5 9
rzyad .
a) 0,29 + 3,8
0,29 + 3,8 = 4,09.
b) 4,01 − 2,19
4,01 − 2,19=1,82.
I.
oiei o ice
3 · 9
5 · 9 = 27
45 5 · 5
9 · 5 = 25
45
27
45 > 25
45 3 5 > 5 9 .
d) 1 2 7 13 8
1
0, 2 9
+ 3, 8 0
4, 0 9
9
3 10 11
4, 0 1
– 2, 1 9
1, 8 2
Dodawanie odejmowanie liczb oobem iemnym
wiczenie .
a) 0,56 + 2,3 b) 3,87 − 2,79 c) 18,01 − 9,71 d) 24,257 + 3,601 − 5,92
rzyad .
a) −6 − 14
14(−14) .
iczb rzeciwn
a−a.
−6 − 14 = −6 + (−14) = −20
4. a) > b) > c) < d) < 5. a) 2,86 b) 1,08 c) 8,3 d) 21,938
6 zł,
a
Zosi 14 zł,
20 zł.

1. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych
b) −8,2 + 14,5
a + b = b + a.
−8,2 + 14,5=14,5+ (−8,2) = 14,5 − 8,2 = 6,3
c) −3 1 (
2 − −2 1 )
4
8,20 zł,
14,50 zł,
6,30 zł.
(
−2 1 )
o 2 1 4 4 .
−3 1 (
2 − −2 1 )
= −3 1 4 2 + 21 4 = −32 4 + 21 4
−3 2 (
4 + 21 4 =21 4 + −3 2 )
=2 1 4 4 − 32 4 = 9 4 − 14 4 = − 5 4 = −11 4
wiczenie .
a) −9 − 8 b) −2 + 5 c) −9 + 3 d) 4,3 − 5,32 e) −6 2 (
7 − −2 3 )
14
1.
a) 24
30
b) 420
480
2.
a) 11
23 + 8
23
b) 3 11 + 8 11
3.
a) 7 9 + 4
b) 3 27
4 − 8 13
4.
a) 3 3 8 + 15 6
e) 1 5
12 − 11 8 + 21 6
b) 4 − 1 1 6
f) 3 2 9 + 25 6 − 41 3
c) 125
1000
c) 17
45 − 8
45
c) 5 6 + 3 4 − 7
24
c) 2 2 3 + 32 5
g) 1 1 4 + 25 9 − 1 7 18
5. =.
a) 2 3 i 3 4
b) 5 12 i 3 8
c) 5 14 i 13
35
d) 210
252
d) 39
80 − 27
80
d) 11 6 − 1 4 + 2 3
d) 5 5 6 − 4 5 18
h) 4 1 9 − 2 5
12 + 11 8
d) 11
13 i 5 6
1. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych 11
zada 1..
W zadaniach 1., 3. i 4. warto wskazać podpunkty,
które uczniowie będą robić wspólnie, i takie,
które pozostaną do samodzielnego wykonania.
Zadanie 2. w klasach bardziej zaawansowanych
matematycznie można zrobić jedynie ustnie. Należy
dbać o to, by uczniowie sprowadzali ułamki
do najprostszej postaci.
Podczas rozwiązywania tych zadań warto przypomnieć
pojęcia: największy wspólny dzielnik
(NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność
(NWW).
Po rozwiązaniu zadania 4. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
zadania .
W razie potrzeby należy przypomnieć uczniom,
że aby porównać ułamki, trzeba sprowadzić je
do wspólnego mianownika. Innym sposobem,
rzadziej stosowanym, lecz również poprawnym,
jest doprowadzenie ułamków do takiej postaci,
w której ich liczniki będą takie same.
oiei o ice
6. a) −17 b) 3 c) −6 d) −1,02 e) −4 1 14
oiei o aa
1. a) 4 5 b) 7 8 c) 1 8 d) 5 6
c) 1 7
24 d) 21 4
h) 2 59
72
2. a) 19
23 b) 1 c) 1 5 d) 3
20
4. a) 5 5
24 b) 25 6 c) 6 1
15 d) 15 9
5. a) < b) > c) < d) >
e) 2
11
24
3. a) 25
27 b) 7
52
f) 113
18 g) 2 5
12

I. I I DII
zadania .
Zadanie warto wykonać wspólnie z całą klasą,
czyli równym frontem. W razie potrzeby należy
przypomnieć o zapisywaniu cyfr tego samego
rzędu w tych samych kolumnach, a także o możliwości
dopisania zer po przecinku w ułamku
dziesiętnym.
6.
a) 3,73 + 2,1 b) 14,327 + 5,118 c) 5 − 3,49 d) 26,255 + 2,412 − 6,321
7.
a) −10 − 11 b) −12 + 15 c) −19 + 13 d) 2 − 6 1 2
e) 3 1 (
4 − −1 2 )
f) −5,05 + (−1,4) g) −2 3 (
3
4 − −5 5 )
h) −6,25 − (−3,4)
6
Po rozwiązaniu zadania 6. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
zadania 7.
To zadanie warto wykonać wspólnie. Tutaj również
można odnieść się do sytuacji długu i zysku,
ponieważ zdarza się, że uczniowie mają kłopot
z rozwiązywaniem zadań, w których jednocześnie
występują liczby ujemne i ułamki.
zadania 10.
Rozwiązanie tego zadania warto rozpocząć od
narysowania osi liczbowej i zaznaczenia na niej
obu podanych liczb. Uczniowie od razu mogą zauważyć,
że jest wiele liczb spełniających podany
warunek.
Aby podać przykład takiej liczby, można choćby
rozszerzyć oba ułamki: 1 7 = 2 14 , 2 7 = 4 14 . Liczba
3
14 znajduje się na osi liczbowej między 1 7 i 2 7 .
a i
Zadania z tej części mogą posłużyć do pracy
samodzielnej podczas lekcji lub jako praca domowa.
Po ich wykonaniu warto zaproponować
uczniom, aby zamienili się zeszytami z kolegami
z ławki i sprawdzili wzajemnie swoje rozwiązania.
Można też wyświetlić rozwiązania na tablicy
i poprosić, aby uczniowie dokonali ewaluacji
swojej pracy lub opowiedzieli o umiejętnościach,
które już opanowali, i tych, nad którymi będą
musieli jeszcze popracować.
1
8. 1 2 1 7 1 4 na
9. -
5,99 zł
100 zł
a)
b)
10. 1 7 oraz 2 7 .
1. 240
264
2.
3
8 1 3 1 4 5 6 3 5 1 2
3. 2 1 4 + 14 9 − 3 7 18 .
I.
oiei o aa
www.bazyliaitymianek.pl
eellery
33,60 z
38,90 z
26,0 z
4. x = −3,25 − (−3,625) oraz y =6,75+ (−4,5).
PF
x−0,375. P F
y − x1,875. P F
6. a) 5,83 b) 19,445 c) 1,51 d) 22,346 7. a) −21 b) 3 c) −6 d) −4 1 2
e) 4 11
1
f) −6,45 g) 3
12 12 h) −2,85 8. Tak, ponieważ 5 14 > 1 . 9. a) Nie,
4
ponieważ 98,90 z¥ < 100 z¥. b) 104,89 zł 10. np. 3 14
zadania .
Warto zwrócić uwagę uczniów na to, że jest to typowe
zadanie egzaminacyjne oraz że za poprawną
ocenę prawdziwości obu zdań można uzyskać
na egzaminie ósmoklasisty 1 punkt.
Sprawdź się!
1. 10
11
2. 5 6 > 3 5 > 1 2 > 3 8 > 1 3 > 1 4
3. 11
36
4. PP

. ozwinicia dzieine amw
2. Rozwinicia dziesitne uamkw
1800-
-
Przyad 1.
a) 7 8
ob I
0, 8 7 5
7 7 : 8
8 7:8.
– 0
7 0
78 – 6 4
6 0
– 5 6
4 0
– 4 0
0
ob II
7 8
7
1000
8 = 7 · 125
8 · 125 = 875
1000 =0,875
7 8 =0,875 7 8
rozwinicie dzieine oczone
10
1
5 = 2 50
=0,2
10 200 = 25
100 =0,25 3
40 = 75
1000 =0,075.
ateia aktcne
s. 7–9
. 1
Temat lekcji
1.
2.
Cele lekcji
ce
• zapisuje ułamki zwykłe w postaci ułamków
dziesiętnych,
• zapisuje ułamki dziesiętne skończone w postaci
ułamków zwykłych,
• rozpoznaje ułamki dziesiętne skończone oraz
ułamki dziesiętne nieskończone okresowe,
• porównuje liczby zapisane w różnych postaciach.
kaki metocne
• Na pierwszej lekcji proponujemy przypomnieć,
w jaki sposób można wyznaczyć rozwinięcie
dziesiętne ułamka zwykłego oraz czym różni
się rozwinięcie dziesiętne skończone od rozwinięcia
dziesiętnego nieskończonego. Warto też
zwrócić uwagę uczniów na zapis ułamka dziesiętnego
w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego
okresowego.
• Na drugiej lekcji proponujemy zająć się zamianą
ułamków dziesiętnych skończonych na
ułamki zwykłe, a także porównywaniem liczb
zapisanych za pomocą ułamków zwykłych oraz
ułamków dziesiętnych.
Przyad 1.
• W podpunkcie a) zaprezentowano dwa sposoby
zamiany ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny
skończony. Warto dokładnie przećwiczyć
z uczniami obydwa sposoby, ponieważ
oba są stosowane w praktyce.
• Po dokładnym przeanalizowaniu tego podpunktu
uczniowie nie powinni mieć problemu
ze zrozumieniem pojęcia rozwinięcia dziesiętnego
skończonego.
• Dobrze byłoby, gdyby uczniowie podali swoje
przykłady ułamków o skończonych rozwinięciach
dziesiętnych.

I. I I DII
Przyad 1.
• W podpunkcie b) zaprezentowano metodę zamiany
ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny
nieskończony okresowy. Warto, aby uczniowie
samodzielnie przećwiczyli tę zamianę na różnych
ułamkach i zaobserwowali, jak powstają
okresy ułamków nieskończonych okresowych.
• Dobrze jest zapytać, czy drugi sposób z podpunktu
a) zadziała w przypadku podpunktu b).
• Jako ciekawostkę można opowiedzieć o liczbie
π, podać jej przybliżoną wartość równą 22 7 , następnie
obliczyć wraz z uczniami rozwinięcie
dziesiętne tego przybliżenia, a także odwołać
się do definicji liczby π jako stosunku długości
okręgu (obwodu koła) do długości jego średnicy.
Warto też podać symbol liczby π. Uczniowie
znają ją ze słyszenia i są jej ciekawi.
wiczenia 1.
Podpunkt a) uczniowie najpewniej wykonają
poprzez rozszerzanie ułamka – i bardzo dobrze.
Jeśli tego nie zaproponują, warto zwrócić uwagę
na przewagę rozszerzania nad dzieleniem
w tym podpunkcie. Kolejne podpunkty natomiast
uczniowie powinni wykonać poprzez dzielenie
pisemne.
Przyad .
Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły
czy liczbę mieszaną nie powinna stanowić
dla uczniów trudności. Warto przypomnieć im
o skróceniu ułamka lub części ułamkowej liczby
mieszanej.
1
b) 3 11
3 3 :11.
11
311
3 11 =0,2727...
3 11 =0,(27).
3 11
I.
0, 2 7 2 7 ...
3 : 1 1
– 0
3 0
– 2 2
8 0
– 7 7
3 0
– 2 2
8 0
– 7 7
3 0
rozwinicie dzieine nieoczone oreowe
4
= 0,2666... =0,2(6)
15
6
oreem
amiem
oreowym.
wiczenie 1.
a) 9
b) 21
c) 5 d) 4
20
40
6
33
Przyad .
a) 0,28
0,28
100
0,28 = 28
100 = 7
25
b) 3,012 = 3 12
1000 =3 3
250
wiczenie .
a) 0,6 b) 0,46 c) 2,55 d) 16,004
wiczenia .
W klasach o wyższej sprawności matematycznej
można wykonać to ćwiczenie ustnie. Warto
zwrócić uwagę na to, żeby uczniowie skracali
ułamki.
oiei o ice
1. a) 0,45 – skończone b) 0,525 – skończone c) 0,8 (3) – nieskończone
okresowe d) 0, (12) – nieskończone okresowe 2. a) 3 5
b)
23
50
c) 2
11
20
d) 16 1
250
oiei o aa etu ice
1. a) 0,55 b) 0,09 c) 2,112 d) 15,375 2. a) 0,(7) b) 0,0(5) c) 0,58(3)
3. a) 19 13 6
b) 2 c) 10 4. a) 1,4 b) 1,2 c) −1,3 d) 17,55 e) −0,425
50 20 125
f) −6,225 5. rozwinięcia dziesiętne skończone: 1 2 , 1 4 , 1 5 , 1 8 ; rozwinięcia
dziesiętne nieskończone: 1 3 , 1 6 , 1 7 , 1 9
6. 0,03(3) < 0,3 < 0,(303) < 0,33 < 0,(3) 7. A2 8. AD

. ozwinicia dzieine amw
Przyad .
Przyad .
5 12 0,41(67).
5 oraz 0,41(67),
12
5 12
5 12 = 0,41(6).
oiei o ice
3. a) > b) < c) > d) <
oiei o aa
1. a) 0,6 – skończone b) 0,12 – skończone c) 0, (6) – nieskończone
okresowe d) 0,032 – skończone e) 0,4 (6) – nieskończone okresowe
f) 0,1875 – skończone g) 0,2 (7) – nieskończone okresowe h) 0, (285714) –
nieskończone okresowe 2. a) 3,75 b) −12,875 c) −17,(81) d) −15,5(3)
3. a) 29
50 b) 3
50 c) 2 3
25
d) 3
27
200
4. I, IV, V
0, 4 1 6 6 ...
5 : 1 2
– 0
5 0
– 4 8
2 0
– 1 2
8 0
– 7 2
8 0
– 7 2
8
0,41(6) = 0,416666... 6
0,41(67) = 0,416767...
0,416666... 6 < 0,416767...
0,41(6) i 0,41(67).
0,41(6) < 0,41(67)
5 12 < 0,41(67).
wiczenie .
=.
a) 2 3 2
2,37(49) b) 4
8 125 4,016(5) c) 54 6
5,(39) d) 7
9 55 7,10(91)
1. -
a) 3 5
e) 7 15
b) 36
300
f) 3 16
2.
a) 3 3 b) −12 21
4
24
c) 2 3
g) 5 18
c) −17 9 11
d)
h) 2 7
4
125
d) −15 8
15
3.
a) 0,58 b) 0,06 c) 2,12 d) 3,135
4.
I.
2
5
II. 8 9
III.
7
12
IV. 72
80
V. 121
125
VI.
5
13
2. 1
Przy założeniu, że uczniowie potrafią już zamieniać
ułamki zwykłe na dziesiętne oraz porównywać
ułamki zwykłe, ten przykład proponujemy
zostawić do samodzielnej analizy ucznia.
wiczenia .
To ćwiczenie proponujemy zostawić do samodzielnej
pracy ucznia na lekcji. Konieczne jednak
po skończonej pracy będzie szczegółowe omówienie
podpunktów z uwzględnieniem:
• metody zamiany ułamka zwykłego na ułamek
dziesiętny,
• wskazywania cyfry (np. czy była to cyfra
jedności, części dziesiątych itd.) decydującej
o tym, która z liczb jest większa.
zadania 1.
• Jeśli zadanie nie może być wykonane w całości,
warto wybrać takie podpunkty, w których
uczniowie będą mieli do czynienia z rozwinięciem
dziesiętnym skończonym oraz nieskończonym
okresowym.
• Czasem wystarczy skrócić ułamek, aby otrzymać
odpowiedni mianownik, a wtedy nie będzie
już potrzeby wykonywania dzielenia pisemnego,
np. w podpunkcie b).
zadania 2.
Warto sprawdzić, czy uczniowie przy zapisie
liczby w postaci dziesiętnej pamiętali o jej znaku.
Po rozwiązaniu zadania 3. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
zadania .
Można pokazać uczniom, w jaki sposób bez zamiany
ułamków wskazać te z nich, które mają
rozwinięcie dziesiętne skończone. W tym celu
należy każdy ułamek skrócić, a następnie jego
mianownik rozłożyć na czynniki pierwsze. Jeśli
w tym rozkładzie znajdą się tylko liczby 2 albo
5, albo 2 i 5, to ułamek ma rozwinięcie dziesiętne
skończone.

I. I I DII
zadania .
Uczniowie mogą zastanawiać się, czy wszystkie
liczby powinni zapisać w postaci liczb mieszanych
/ ułamków zwykłych czy w postaci ułamków
dziesiętnych. Warto im wyjaśnić, że pierwszy
sposób zawsze jest możliwy, drugi natomiast
można zastosować tylko wtedy, gdy wszystkie
liczby występujące w wyrażeniu mają rozwinięcia
dziesiętne skończone.
zadania 7.
Podczas rozwiązywania tego zadania warto omówić
sposób rozpisywania okresu, a także zwrócić
uwagę, na których pozycjach w tych liczbach
występuje cyfra 4.
zadania 8.
W tym zadaniu warto ułamek zwykły zamienić
na ułamek dziesiętny, a okresy ułamków rozpisać.
Wtedy łatwo będzie wskazać przykłady.
Po omówieniu podpunktu a) można zostawić
uczniom pozostałe podpunkty do samodzielnej
pracy. Warto jednak omówić rozwiązania.
zadania 9.
• Warto z uczniami omówić strategie rozwiązywania
zadań egzaminacyjnych. W tym przypadku
zadanie należy potraktować tak jak
zadanie otwarte. Warto również wspomnieć,
że za poprawne uzupełnienie obu zdań można
uzyskać na egzaminie ósmoklasisty 1 punkt.
• Rozwiązanie:
2 5 11 = 2,45454545... 4 25 9 = 2,55555555... 5
Odp. B
1
7 = 0,(142857)
Okres składa się z 6 cyfr.
2023 :6=337 reszty 1
Na 2023. miejscu po przecinku rozwinięcia
dziesiętnego ułamka 1 znajduje się cyfra 1.
7
Odp. C
W ramach podsumowania zajęć proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
1
5.
a) 3 4 7 + 56 7 − 7,1 b) 5,125 − 33 8 + 21 3
d) 3 3 (
4 − −2 1 )
− 1,1 e) 5,25 + (−3,125) + 3 2 8
3
6. =.
I.
oiei o aa
5. a) 2 23
70 b) 4 1 37 31 19 8
c) 1 d) 4 e) 5 f) −3 6. a) > b) > c) >
12 60 40 24 15
d) < 7. 0,(404) > 0,(40) > 0,04 > 0,00(4) > 0,00(40) 8. a) np. 19
180 ;
0,101 b) np. 199 ; 0,1101 c) np. 2,(34); 2,35 d) np. 5,0(2324);
1800
5,02325 9. BC
Sprawdź się!
1. a) 1,(54) b) 2,(78) c) 8,8(1238) 2. D 3. PF
c) 1,2 + 1 3 4 − 11 3
f) −3,75 − 2 3
20 + 2 11
30
a) 1 5 8 i 1,62(49) b) 32 3 i 3,(59) c) 45 9 i 4,(54) d) 5 5 11 i 5,4(5)
7.
0,040,(404)0,00(40)0,00(4) 0,(40)
8. -
a) 0,1 1 b) 0,11 1 c) 2,(3)2,(4) d) 5,0(23)5,02(3)
9
9
9. A i B
C i D.
5 A B .
A. 2 5 B. 2 5 11
9
2023 1 7 C D .
C. 1 D. 4
1.
a) 1,545454 i 1,(54) b) 2,(78) i 2,(787) c) 8,8(123) i 8,8(1238)
2. 3,234(6); 3,23(46); 3,2(346); 3,(2346).
A. 3,234(6) B. 3,23(46) C. 3,2(346) D. 3,(2346)
3. PF
11
400 P F
2 9 0,222. P F

. aorlanie liczb
Temat lekcji
1.
3. Zaokrglanie liczb
-
-
do dziesitek
ateia aktcne
s. 10–11
do czci dziesitych
1234,768 1234,768
1234,768
4 5
1230,000
mniejza od 5,
.
.
wiza od 5 rwna 5,
1,
1234,768
1234,768
6 5
1234,800
1234,768 ≈ 1230 1234,768 ≈ 1234,8
.
. 17
Cele lekcji
ce
• zaokrągla liczby całkowite,
• zaokrągla ułamki dziesiętne,
• szacuje wartości wyrażeń arytmetycznych,
• rozpoznaje, czy zaokrąglenie jest z nadmiarem
czy z niedomiarem,
• rozwiązuje złożone zadania z zastosowaniem
zaokrąglania liczb.
kaki metocne
• Na początku lekcji warto poprosić uczniów
o podanie przykładów zastosowania zaokrąglania
liczb w życiu codziennym. W następnym
kroku należy omówić sposób zaokrąglania
liczb. Proponujemy wykorzystać do tego przedstawiony
obok przykład zaokrąglania liczby do
dziesiątek oraz do części dziesiątych. Uczniowie
poznali zasadę zaokrąglania w poprzednich
latach nauki, więc warto poprosić ich, aby sami
ją sformułowali.
• W klasach o słabszych umiejętnościach matematycznych
na samym początku lekcji możemy
przypomnieć zasady zaokrąglania liczb
z wykorzystaniem osi liczbowej, np. jeśli mamy
zaokrąglić liczbę 2,71 do części dziesiątych,
zaznaczamy ją na osi liczbowej, a później zaznaczamy
liczby 2,7 i 2,8. Następnie pytamy
uczniów, do której z tych liczb ułamek 2,71 „ma
bliżej”. Następnie należy przypomnieć zasady
zaokrąglania na podstawie przykładu z podręcznika.
W zdecydowanej większości klas ten zabieg
nie będzie jednak konieczny.
• Uczniowie mają czasami problemy ze wskazaniem
cyfry w rzędzie, do którego zaokrąglamy,
albo zapominają, że w następnym kroku (gdy
sprawdzamy, czy zaokrąglenie będzie z nadmiarem
czy niedomiarem) należy patrzeć na kolejną
cyfrę. Warto na to zwrócić ich uwagę.
• Można zaproponować uczniom ćwiczenie zaokrąglania
liczb w parach. Na początku powinni
określić, do którego miejsca chcą, aby liczba
była zaokrąglona, a następnie niech podają sobie
nawzajem liczby, zaokrąglają je i sprawdzają,
czy ich partner dobrze wykonał zadanie.
W ramach wstępu do zajęć można skorzystać z filmu
umieszczonego w multibooku.

I. ICB I DIAAIA
Przyad 1.
Należy przeanalizować z uczniami wszystkie
podpunkty, aby zrozumieli, na czym polega zaokrąglanie
do określonego rzędu.
wiczenia 1.
Ponieważ uczniowie spotkali się z zaokrągleniem
w poprzednich latach edukacji, a teraz dokładnie
przeanalizowali przykład, można to ćwiczenie
zostawić do pracy samodzielnej. Nie należy jednak
zapomnieć o jego sprawdzeniu. Można także
wykonać je ustnie.
A to ciekae
Przyad 1.
27 361,499
a)
27 361,499 ≈ 27 00027 361,499 > 27 000
b)
27 361,499 ≈ 27 400 27 361,499 < 27 400
c)
27 361,499 ≈ 27 36027 361,499 > 27 360
d)
27 361,499 ≈ 27 361 27 361,499 > 27 361
e)
27 361,499 ≈ 27 361,527 361,499 < 27 361,5
f)
27 361,499 ≈ 27 361,5 27 361,499 < 27 361,5
zaorleniem
do jedneo miejca o rzecindo 0,1.
zaorleniem
do dwch miejc o rzecindo 0,01.
Warto najpierw poprosić uczniów, aby zastanowili
się nad zaokrągleniem liczby 999,99 do
określonego rzędu, a następnie wspólnie z nimi
sformułować wniosek.
wiczenie 1.
3798,427
a) b) c)
d) e) f)
A to ciekawe
kaki metocne
• Warto uświadomić uczniom, że do udzielenia
poprawnej odpowiedzi na pytania typu:
– Czy wystarczy pieniędzy na zakup trzech
gum po 1,89 zł, jeśli mam 5 zł?
– Czy wartość wyrażenia 78,25 · 3 − 320 jest
liczbą dodatnią czy ujemną?
–Czy wynik działania 13,09 · 3 jest liczbą
większą od 39?
nie potrzeba obliczać dokładnej wartości wyrażenia
arytmetycznego. Wystarczy jedynie oszacować
wartość tego wyrażenia. Można poprosić
uczniów o podanie własnych propozycji.
• Zanim przeanalizujemy zasadę szacowania wartości
wyrażenia arytmetycznego, warto przypomnieć,
co to jest wyrażenie arytmetyczne.
Przyad 2.
Podczas szacowania wartości wyrażeń arytmetycznych
najczęściej należy stosować zaokrąglanie
liczb występujących w wyrażeniu do jedności.
Uczniowie czasami wykonują działania na
liczbach bez zaokrąglania, a dopiero wynik zaokrąglają.
Warto na to zwrócić uwagę i wyjaśnić
im, na czym polega różnica.
18
999,99
1000.
Przyad 2.
I.
ozacowa waro wyraenia arymeyczneo
a) 6,96 · 5 − 2,8
6,96 oraz 2,8.
oiei o ice
6,96 ≈ 7
2,8 ≈ 3
1. a) 4000 – z nadmiarem b) 3800 – z nadmiarem c) 3800 – z nadmiarem
d) 3798 – z niedomiarem e) 3798,4 – z niedomiarem f) 3798,43 –
z nadmiarem
oiei o aa etu ice
1. a) 28 700 – z nadmiarem b) 985 120 – z niedomiarem c) 100 000 –
z niedomiarem d) 200 000 – z nadmiarem 2. 1 793 000; 779 000;
644 000; 471 000 3. a) 2,3 b) 2,35 c) 2,346 d) 2 e) 2,3457 4. Tak,
ponieważ 129,99 + 31,92 + 24,98 < 130 + 32 + 25 = 187. 5. D 6. 895,
896, 897, 898, 899, 900, 901, 902, 903, 904

. aorlanie liczb
zadania 1.
6,96 · 5 − 2,8 ≈ 7 · 5 − 3=35− 3=32
b) 6 · 0,52 + 17 8 9 :2
0,52
17,(8)
0,52 ≈ 0,5
17 8 =17,(8) ≈ 18
9
6 · 0,52 + 17 8 :2≈ 6 · 0,5 + 18 : 2 =
9
=3+ 9=12
wiczenie 2.
a) 28 : 0,9 − 1,8 · 4 b) 36,1 · 1,9 + 3 · 4,9 c) 4 1 10 · 5 − 26 7 · 3
Dla wielu klas to zadanie nie będzie wymagające.
Można pokusić się o zrobienie go ustnie.
Możemy również zapisać przykłady na kartkach
i prosić uczniów o wylosowanie pytania i ustną
odpowiedź.
Po rozwiązaniu zadania 1. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
zadania 2.
1.
a) 67; 212; 74; 99
b) 7856; 5428; 10 074; 99 899
c) 23 898; 213 450; 67 342; 19 999
d) 103 200; 518 298 ; 1 287 035; 3 995 565
Można dodatkowo poprosić uczniów o zaokrąglenie
podanych wielkości do tysięcy i dziesiątek
kilometrów. Wtedy:
4879,4 ≈ 5000, 4879,4 ≈ 4880,
12 104 ≈ 12 000, 12 104 ≈ 12 100.
2.
4879,4 km
Merkury
12 104 km
Wenus
zadania .
Warto zwrócić uwagę na ostatnią liczbę w podpunkcie
b) i sprawdzić, czy uczniowie poprawnie
zaokrąglili ją do części setnych:
88,1983 ≈ 88,20.
3.
a) 68,28 b) 43,751 c) 34,171 d) 121,75 e) 91,618 f) 2,99
4.
a) 11,38; 12,412 ; 82,19; 117,93 , b)8,128; 15,292 ; 72,281; 88,1983.
5.
a) 6 · 2,97 − 4,02 · 2 b) 25 : 5,1 + 4,99 · 3 c) 1,92 · 3 − 0,01 · 10
owiei o wice
2. a) 20 b) 87 c) 11
owiei o aa
. 19
1. a) 70 – z nadmiarem; 210 – z niedomiarem; 70 – z niedomiarem; 100 –
z nadmiarem b) 7900 – z nadmiarem; 5400 – z niedomiarem; 10 100 –
z nadmiarem; 99 900 – z nadmiarem c) 24 000 – z nadmiarem; 213 000 –
z niedomiarem; 67 000 – z niedomiarem; 20 000 – z nadmiarem d) 100 000
– z niedomiarem; 520 000 – z nadmiarem; 1 290 000 – z nadmiarem;
4 000 000 – z nadmiarem 2. Merkury: 4900 km, Wenus: 12 100 km
3. a) 68 b) 44 c) 34 d) 122 e) 92 f) 3 4. a) 11,4; 12,4; 82,2; 117,9
b) 8,13; 15,29; 72,28; 88,2 5. a) 10 b) 20 c) 6
zadania .
• Rozwiązanie:
a) 6 · 2,97 − 4,02 · 2 ≈ 6 · 3 − 4 · 2=
=18− 8=10
b) 25 : 5,1 + 4,99 · 3 ≈ 25 : 5 + 5 · 3=
=5+ 15 = 20
c) 1,92 · 3 − 0,01 · 10 ≈ 2 · 3=6
• Można dodatkowo podać dokładne wartości
tych wyrażeń, porównać wartości przybliżone
z dokładnymi i zastanowić się, czy różnica jest
duża.
a) 9,78
b) 19 4447
5100
c) 5,66

I. ICB I DIAAIA
zadania .
Dobrze byłoby zaproponować również inne ceny
produktów, np. zeszyt 3,02 zł, długopis 1,99 zł.
Z oszacowania wartości zakupów otrzymamy
wtedy 27 zł. Ta kwota nie wystarczy jednak na
zakup 5 zeszytów i 6 długopisów.
6.
27 zł
KOSZYK
SKEP
ZESZYT 2,99 5 SZT.
DOPIS 1,89 6 SZT.
zada 7.9.
To zadania typu egzaminacyjnego. Warto zapytać
uczniów, którą metodę najlepiej zastosować podczas
rozwiązywania tych zadań. Takie zadania
należy potraktować jak zadania otwarte. Trzeba
zwrócić uwagę na to, czy uczniowie odróżniają
określenie „suma zaokrąglonych liczb” od „zaokrąglenie
sumy liczb”. Właściwe rozumienie
tych sformułowań pozwoli uniknąć błędów.
zadania 12.
a) 7 = 0,636363... ≈ 0,64
11
b) 45 = 0,454545... ≈ 0,5
99
c) 13 = 0,43333... ≈ 0,43
30
d) 16 = 0,484848... ≈ 0,5
33
Po rozwiązaniu zadania 12. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
zadania 1.
Pole trójkąta obliczamy ze wzoru P = 1 ah, gdzie
2
a to długość podstawy trójkąta, a h to wysokość
poprowadzona na tę podstawę.
Uzgadniamy jednostki: 7dm=70cm.
Gdyby wysokość była równa 6 cm, to pole trójkąta
byłoby równe =210cm 2 .
70 cm · 6cm
2
Pole trójkąta jest równe 211 cm 2 , zatem wysokość
poprowadzona do tej podstawy nie ma
mniej niż 6 cm długości.
20
Inormacje do zada 7.–9.
a = 21,6573 oraz b = 67,7432.
7. A i B
C i D.
a i b A B .
A. 21,6 i 67,8 B. 21,7 i 67,7
a + b0,01 C D .
C. 89,4 D. 89,41
8.
a i b
A. 89,39 B. 89,4 C. 89,41 D. 89,5
9.
b − a
A. 40 B. 41 C. 45 D. 46
10.
a) 3,68 6 ≈ 3,69 b) 4,76 ≈ 4,76 c) 2,4 6 ≈ 2,43
11. a = 0,599999a,
a.
12.
a) 7
11
45
b)
99
c) 13
30
16
d) do 0,1.
33
13. 211 cm 2 7 dm-
6 cm
I.
owiei o aa
6. Tak, wystarczy, ponieważ 2,99 · 5 + 1,89 · 6 < 3 · 5 + 2 · 6=27.
7. BC 8. B 9. D 10. a) 5, 6, 7, 8, 9 b) 0, 1, 2, 3, 4 c) 2
11. 0,599999 ≈ 0,6, np. 0,5999991; 0,61; 0,5999999 12. a) 0,64
b) 0,5 c) 0,43 d) 0,5 13. Nie, ponieważ 1 · 70 · 6=210.
2

. aorlanie liczb
zadania 2.
1.
a) 2146 b) 10 672 391
c) 21,89 do 0,1, d) 3,014
2.
0,62
A. 0,6(62) B. 0,(626) C. 0,(62) D. 0,(622)
3. -
do 1 zł
cena
cena
cena
PF
P F
3 gr.
4. 5,02 zł 4,01 zł
4644 zł
P
F
Warto zwrócić uwagę na to zadanie, ponieważ
ćwiczy ono jednocześnie dwa zagadnienia – zaokrąglanie
i liczby okresowe. Najlepiej będzie je
rozwiązać, jeśli uczeń rozpisze okres liczby.
zadania .
• Jest to zadanie typu egzaminacyjnego. By odpowiedzieć
na pierwsze pytanie, nie trzeba nic
liczyć. Dopiero w drugim podpunkcie należy
to zrobić. Warto zwrócić na to uwagę uczniów.
• W razie potrzeby można przypomnieć uczniom
pojęcia: zaokrąglenie z niedomiarem oraz zaokrąglenie
z nadmiarem.
• Rozwiązanie:
59,99 + 79,99 + 99,00 ≈ 60 + 80 + 99 = 239
Cezary cenę bluzy i bezrękawnika zaokrąglił
z nadmiarem, cenę bielizny pozostawił bez
zmian, zatem koszt zakupów oszacował z nadmiarem.
239 − (59,99 + 79,99 + 99,00) = 0,02 [gr]
Odp. FF
zadania .
4 · 5,02 + 6 · 4,01 > 4 · 5 + 6 · 4=44
Ceny soków marchewkowego i jabłkowego zaokrąglono
z niedomiarem, zatem na zakup 4 soków
marchewkowych i 6 soków jabłkowych nie
wystarczy 44 zł.
. 21
Oowiei o aa
Sprawdź się!
1. a) 2100 b) 10 700 000 c) 21,9 d) 3,01 2. D 3. FF 4. Nie, ponieważ
5,02 · 4 + 4,01 · 6 > 5 · 4 + 4 · 6=44 [zł].

I. ICB I DIAAIA
Temat lekcji
1.
2.
Cele lekcji
ce
• mnoży ułamki zwykłe,
• zna definicję ułamka odwrotnego do danego,
• dzieli ułamki zwykłe,
• mnoży oraz dzieli liczby mieszane,
• określa znak iloczynu oraz znak ilorazu liczb
wymiernych,
• rozwiązuje złożone zadania z zastosowaniem
mnożenia oraz dzielenia liczb wymiernych.
kawki metocne
• Na pierwszej lekcji warto zwrócić uwagę na to,
czy uczniowie znają i umieją stosować zasady
mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych oraz
liczb mieszanych. Na początku zalecamy ograniczenie
się do działań na liczbach dodatnich.
• Na drugiej lekcji proponujemy rozszerzenie
obliczeń na liczby ujemne i omówienie, w jaki
sposób określamy znak iloczynu oraz znak ilorazu
liczb w zależności od znaków liczb w działaniu.
wiczenia 1.
Mimo że ćwiczenie można uznać za łatwe, dobrze
będzie wykonać je przy tablicy, żeby upewnić
się, że uczniowie:
– skracają ułamki przed mnożeniem;
– w razie potrzeby zamieniają liczbę mieszaną
na ułamek;
– skracają ułamek po wykonaniu mnożenia;
– zamieniają wynik w postaci ułamka niewłaściwego
na liczbę mieszaną.
kawki metocne
Ponieważ zajmujemy się tu dzieleniem ułamków,
podczas którego będą wykorzystywane odwrotności
ułamków, warto z uczniami przećwiczyć znajdowanie
odwrotności. Proponujemy, żeby to oni
podali przykłady ułamków i na podstawie ramki
z żarówką wskazali odwrotności podanych liczb.
Korzystając z okazji, warto również przypomnieć
pojęcie liczby przeciwnej i porównać je z pojęciem
liczby odwrotnej.
22
Przyad 1.
4.
a) 2 5 · 7
9 = 2 · 7
5 · 9 = 14
45
b) 7 12 · 24
35
c) 2 3 4 · 6
2 3 4
6
6 1
wiczenie 1.
a) 5 3 · 7
15
Przyad 2.
I.
b) 12
15 · 9
36
noenie i dzielenie
liczb wymiernych
c) 1 9 14 · 7 d) 1 2 11 · 5 1 13
ateia aktcne
s. 12–14
1 7
1 12 · 24
2
= 1 35 5 1 · 2
5 = 1 · 2
1 · 5 = 2 5
2 3 4 · 6=11
2 4 · 6 3
1 = 11 2 · 3
1 =
= 11 · 3
2 · 1 = 33 2 =161 2
e) 4 2 5 · 61 4
dwronoci liczbya 1 a a
od zera.
dwronoci ama a b b a i b
a
a) 2 5 : 4
25
omnoy dwa ami zwye
2 5 : 4
25 = 1 2
1 5 · 25 4
2
5
= 1 · 5
1 · 2 = 5 2 =21 2

. noenie i dzielenie liczb wymiernych
Przyad 2.
b) 14 : 2 1 3
odzieli dwa ami zwye
14 14 1 ,
2 1 3
wiczenie 2.
a) 5 8 : 5
12
Przyad .
a) 2,41 · 1,2
b) 6 11 : 8
33
2,41 · 1,2 = 2,892.
c) 6
22 :3 d) 10 : 5
63
14 : 2 1 3 = 14 1 : 7 3 =
= 2 14
1 · 3 = 6 7 1 1 =6
2, 4 1
· 1, 2
4 8 2
+ 2 4 1
2, 8 9 2
b) 3,21 : 0,8
3,21:0,8=4,0125.
e) 8 1 7 :41 14
3,21 : 0,8 = 32,1 : 8
4, 0 1 2 5
3 2, 1 : 8
– 3 2
0 1
– 0
1 0
– 8
2 0
– 1 6
4 0
– 4 0
0
wiczenie .
a) 3,26 : 0,2 b) 3,27 · 1,2 c) 21,5 : 0,43 d) 22,4 · 3,5
Przy dzieleniu ułamków istotna jest umiejętność
znajdowania odwrotności dzielnika. Jeśli dzielnikiem
jest liczba mieszana, należy na początku
zamienić ją na ułamek niewłaściwy, a dopiero
później zapisać odwrotność ułamka.
wiczenia 2.
Podobnie jak w przypadku ćwiczenia 1., polecamy
wykonać to zadanie równym frontem, by
upewnić się, że uczniowie dobrze opanowali
schematy dzielenia ułamków.
Przyad .
• Podczas mnożenia lub dzielenia liczb sposobem
pisemnym niezbędna jest znajomość tabliczki
mnożenia w zakresie od 1 do 100. Ułatwi
ona uczniom wykonywanie tych działań.
• Warto przeanalizować z uczniami obydwa
podpunkty. W pierwszym warto przypomnieć,
w którym miejscu wstawiamy przecinek do
otrzymanej liczby, a w drugim to, że dzielnik
musi być liczbą całkowitą.
wiczenia .
Tak samo jak w przypadku poprzednich ćwiczeń,
proponujemy wykonać je razem z uczniami, by
mieć pewność, że opanowali te ważne zagadnienia.
. 2
Oowiei o wice
1. a) 7 9 b) 1 5 c) 11 1 2 d) 6 e) 27 1 2
3. a) 16,3 b) 3,924 c) 50 d) 78,4
2. a) 1 1 2 b) 21 4 c) 1 11
Oowiei o aa etu wice
d) 126 e) 2
1. a) 2 1 2 b) 120 c) 81 3 d) 36 e) 1 f) 7 2. a) 0,345 b) 0,096 c) 3,492
6
d) 8,1 e) 1,5 f) 0,91 3. a) 5
32 b) −14 5 c) 84 5 d) −7 e) 22 13
f)
5 200
4. 32 5. D 6. 532,56 zł 7. FP

I. ICB I DIAAIA
Przyad .
• Jedną z największych trudności w zadaniach
typu „uzasadnij”, „wykaż” sprawia uczniom
zrozumienie polecenia. W tym wypadku możemy
zastąpić pierwsze słowo słowem „pokaż”.
W klasie 7 uczniowie powinni zacząć rozwiązywać
zadania na dowodzenie. Warto jednak,
by na początek wybierali te najprostsze, takie
jak w proponowanym przykładzie.
• W podpunkcie b), w którym dzielimy liczbę
mieszaną przez ułamek dziesiętny, są przedstawione
dwa sposoby postępowania. Należy je
przeanalizować z uczniami. Warto zastanowić
się z nimi, czy w każdym przypadku możliwe
jest wykonanie dzielenia na dwa sposoby.
wiczenia .
Podczas rozwiązywania podpunktów a) i d)
można przećwiczyć obydwie metody pokazane
w przykładzie 4.
Przyad .
a) 2,45 · 40
49
-
2,45 · 40
49 2
b) 4 2 5 :1,1
2,45 · 40
49 =245 9
20100 · 40
49 =
=2 9
20 · 40
49 = 1 49
120 · 40 2
=2
49 1
ob I
4 2 5 :1,1=42 5 :11 10 = 22 5 : 11
10 =
= 2 22
1 5 · 10 2
= 4 11 1 1 =4
ob II
4 2
5 :1,1=44 10 :1,1=
=4,4:1,1=44:11=4
4 2 5 :1,14
wiczenie .
3,5.
a) 6 1 4 :2,5 b) 2,25 · 1 1 18
c) 1 1
25 · 3,25 d) 4,8 : 21 5
kawki metocne
(−6) · (−8) = 48(−21) : (−3) = 7;
o
10 · (−6) = −60(−50):5=−10.
Działania na liczbach ujemnych oraz na liczbach
o różnych znakach na ogół sprawiają uczniom
dużo problemów. Dlatego bardzo ważne jest, aby
dokładnie omówić te zagadnienia. Można zaproponować
uczniom zabawę w parach polegającą
na tym, że jeden uczeń podaje iloczyn lub iloraz
liczb, wśród których mogą być liczby ujemne i dodatnie,
a drugi określa, jaki znak ma wynik oraz
podaje swoje działanie itd.
Przyad .
Warto dokładnie przeanalizować z uczniami
przedstawione rozwiązania.
2
Przyad .
a) −8 1 25 · 9=−
3 13 · 9 3
1 = − 25 · 3
1 · 1 = −75
b) −10 2 (
5 : −2 1 )
= − 52 (
6 5 : − 13 )
= − 4 52
(−
6 5 · 6 )
= 4 · 6
13 1 5 · 1 = 24 5 =44 5
I.
Oowiei o wice
4. a) 2 1 2 < 3,5 b) 23 8 < 3,5 c) 3,38 < 3,5 d) 2 2 11 < 3,5

. noenie i dzielenie liczb wymiernych
zadania 1.
wiczenie .
Warto przypomnieć o skracaniu ułamków, ponieważ
d) 10 8
15 e) 3 f) 2 5 11 g) 20 h) 3,6 6. A2
upraszcza to obliczenia.
a) −2 1 (
3 · −3 1 )
b) −9,4 · 6,5 c) 20,48 : (−3,2) d) −4 3 (
7
5 : −2 1 )
2
zadania 2.
1.
• W razie potrzeby trzeba przypomnieć pojęcie
a) 4 odwrotności liczby.
3 · 9
b) 11
16
12 · 15
c) 24
44
35 · 13
d) 27
12
13 · 26
18
• W zdolniejszych klasach nie trzeba wszystkich
e) 8 · 2 1 16
f) 4 1 2 · 12 g) 21 3 · 24 7
h) 6 2 3 · 12 7
przykładów wykonywać w zeszycie, te łatwiejsze
można wykonać ustnie. Dodatkowo warto
2.
wprowadzić utrudnienie i dopytać o liczbę
2
3
4
− 2 5
1 1 4
2 1 10
6 2 3 −81 3
przeciwną, by porównać te dwa pojęcia.
1
5
3 1
5
7
− 3 8
−2 1 7
1 3 4
3.
zadania .
a) 6 7 : 9
b) 5 14
13 : 15
c) 8 26
27 : 4 d) 13
9
22 : 5
66
W każdym działaniu występuje liczba mieszana
e) 1 5 16 :14 f) 23 : 4 1 g) 3 3 17
5 :11 h) 2 3 5
14 :86 7
i ułamek dziesiętny. Aby wykonać takie działanie,
4.
należy zamienić ułamek dziesiętny na uła-
mek zwykły albo liczbę mieszaną na ułamek
a) 11,1 · 0,5 b) 3,07 · 1,4 c) 4,22 · 2,2 d) 253 · 3,4
dziesiętny. Uczniowie mają czasami wątpliwości,
który sposób wybrać. Warto to z nimi omó-
e) 4,26 : 0,3 f) 52,4 : 0,2 g) 2,64 : 0,08 h) 2,2 : 0,033
wić, aby mieli świadomość, że czasami mogą
5.
postępować w dowolny sposób, a innym razem
a) 2 1 4 · 1,5 b) 21 1
· 4,02 c) 3,25 · 2 d) 5,2 · 2 1
2 26
39
muszą skorzystać z pierwszego sposobu.
e) 6 3 4 :2,25 f) 3,375 : 13 8
g) 3 6
25 :0,162 h) 10,08 : 2 4 5
6. 3,5 l
14-
0,25 l
Po rozwiązaniu zadania 2. proponujemy ćwiczenie
AB-
1., 2.3.
interaktywne umieszczone w multibooku.
A. Tak,
1. 35 : 25 = 1,4.
2. 35 : 2,5 = 14.
zadania .
B.
3. 35 : 0,25 = 140.
To zadanie stanowi przykład zadania egzaminacyjnego.
. 2
Warto dokładnie omówić je z uczniami,
zwracając uwagę na sposób rozwiązania. Nie
musimy tutaj wykonywać działania, wystarczy
jedynie dokładnie przeanalizować wszystkie
Oowiei o wice
działania podane w uzasadnieniu. Dodatkowo
5. a) 7 1 21
b) −61,1 c) −6,4 d) 1 warto zwrócić uwagę na to, że wszystkie działania
w uzasadnieniu są poprawnie wykonane – my
3 25
Oowiei o aa
musimy wybrać to, które pasuje do rozwiązywanego
1. a) 3 4 b) 5 26
c)
16 35 d) 3 e) 16 1 2 f) 54 g) 6 h) 84 7
2. kolejno
zadania.
kolumnami: 5, 1 2 , 1 3 , 1, 11 3 , 12 5 , −21 2 , −22 3 , 4 5 , 10
21 , − 7 15 , 4 7 , 3
20 , − 3
25
3. a) 1 1 3 b) 2 3 c) 2 3 d) 74 5 e) 3
32 f) 52 3 g) 3 h) 1 4
4. a) 5,55 b) 4,298
c) 9,284 d) 860,2 e) 14,2 f) 262 g) 33 h) 66 2 3
5. a) 3 3 8 b) 10,05 c) 65 8

I. ICB I DIAAIA
zadania 7.
Warto zwrócić uwagę uczniów na to, że to zadanie
można rozwiązać przez wykonanie mnożenia
lub obliczenie połowy z 2,8 tys. i dodanie tego
wyniku do 2,8 tys.
7.
2,8 tys1,5
SERWIS MUZYCZNY
zadania 8.
a) a =7 1 2 [cm], P =18[ cm 2]
P = a · b
Wobec tego b =18:7 1 2 =18· 2
15 =22 5 [cm]
Odp. Drugi bok prostokąta ma długość 2 2
(
5 cm.
b) 2 · 7 1 ) (
2 + 22 =2· 7 5 5 10 + 2 4 )
=2· 9 9 10 10 =
Cezary
Niko
kompozycja gitarowa
2,8 tys.
ODSCA
kompozycja gitarowa
?
ODSCA
=19 4 5 [cm]
Odp. Obwód prostokąta ma 19 4 5
mniej niż 19,9 cm.
cm, a więc
8. 7 1 2 cm
18 cm 2 .
a)
b)
19,9 cm.
b
a
P = a · b
a
b
zadania 10.
Podpunkty e) i f) warto zrobić na lekcji, ponieważ
ich rozwiązanie może sprawić uczniom trudność.
Równe iloczyny i ilorazy
Po rozwiązaniu zadania 10. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
9.
a) −8,4 · 3,5 b) 2 2 (
3 ·
−2 2 5
( )
e) 3,4 · (−5,5) f) −3 1 3 · −3 3 5
)
c) 8,4 : (−2,1) d) −5 2 (
5 : −2 4 )
25
g) −2,24 : (−6,72) h) 5,6 : (−0,224)
10.
a) −2,7 : (−0,09) : (−3) b) −3 1 8 :(−25) · 6 c) −42 3 : 7
22 · (−2,25)
(
d) 2 8 (
11 :17 8 · −4 2 )
e) −5,5 : − 11 )
16
f) 4 4 (
15 : − 16 )
25
5
−8,7 : 11,6
−2 1 10 · 1 1 7
zadania 11.
a = 3 4 [dm]
b = 3 4 :2= 3 4 · 1
2 = 3 8 [dm]
c = 3 4 · 3=9 4 =21 4 [dm]
2
11. a
3 dm b a,
4
c a
I.
b
c
a
a · b = 3 4 · 3
8 = 9 [ ] dm
2
– pole najmniejszej
32
ściany prostopadłościanu
a · c = 3 4 · 9
4 = 27 [ ]
16 =111 dm
2
– pole największej
ściany prostopadłościanu
16
b · c = 3 8 · 9
4 = 27 [ ]
dm
2
32
1 11
16 : 9
32 = 27
16 · 32 =3· 2=6
9
Odp. Pole największej ściany prostopadłościanu
jest 6 razy większe od pola najmniejszej ściany.
Oowiei o aa
7. 4,2 tys. 8. a) 2 2 cm b) Nie ma, ponieważ 19,8 cm < 19,9 cm.
5
9. a) −29,4 b) −6 2 5 c) −4 d) 21 2 e) −18,7 f) 12 g) 1 3
10. a) −10 b) 3 4 c) 33 d) −62 5 e) −10 2 3 f) 27 9
h) −25
11. 6 razy

. noenie i dzielenie liczb wymiernych
zadania 12.
12.
a) 3 4 · 4
5 · 5
6 · 6
7 · 7
8 · 8
9
b) 9 8 · 10 9 · 11
10 · 12
11 · 13
12 · 14
13
13. x
c) 19
18 · 15
14 · 17
16 · 18
17 · 20
19 · 16
15
Uczniowie sami powinni zauważyć, że skrócenie
ułamków przed wykonaniem mnożenia znacząco
ułatwi rozwiązanie zadania.
a) 3 4 · x = 3 5
b) 5 8 : x = 7 8
c) − 3 4 : x = −11 5
zadania 1.
1.
5 1 5
A. −5 1 B. 26 C. 5
5
5
26
2.
a) 5 4 9 · 24 7
b) 3 1 5 :4 c) 12 : 3 3 7
3. 1 2 (
9 : −2 1 ) (
: −1 2 )
.
5 3
4.
P
F
Pogoda3,5
Kalendarz.
Kalendarz oraz Muzyka
18,79 zł.
P
P
F
F
D. − 5
26
d) 0,46 · 2,7 e) 36,6 : 0,6
SKEP
2,80 zł
9,80 zł
9,99 zł
• Rozwiązanie:
a) x = 3 5 : 3 4 = 4 5
b) x = 5 8 : 7 8 = 5 7
c) x = − 3 (
4 : −1 1 )
= 3 5 4 · 5
6 = 5 8
• Warto przypomnieć uczniom o możliwości
sprawdzenia poprawności rozwiązania poprzez
podstawienie swojego wyniku za niewiadomą.
zadania 1.
• W razie potrzeby należy przypomnieć, w jaki
sposób wyznaczamy liczbę odwrotną do liczby
mieszanej.
• Podczas rozwiązywania tego zadania można
pokazać uczniom, na czym polega strategia
rozwiązywania zadania zamkniętego metodą
eliminacji. Odpowiedzi A i D można od razu
odrzucić, ponieważ podane liczby są ujemne,
a liczby odwrotne mają ten sam znak. Liczba
podana w odpowiedzi B jest równa 5 1 5 . Wobec
tego należy wybrać odpowiedź C.
zadania .
Opowiezi o zaa
. 27
Warto przypomnieć uczniom, że w takim przypadku
działania wykonujemy kolejno od lewej
strony do prawej.
12. a) 1 3 b) 1 3 4 c) 1 3 7
13. a) x = 4 5 b) x = 5 7 c) x = 5 8
Sprawdź się!
1. C 2. a) 14 b) 4 5 c) 31 2 d) 1,242 e) 61 3. 1 3
4. PF

I. ICB I DIAAIA
Tematy lekcji
1.
2.
Cele lekcji
Ucze
• zna i stosuje kolejność wykonywania działań,
• oblicza wartość wyrażenia arytmetycznego,
• zapisuje wyrażenie arytmetyczne na podstawie
opisu słownego,
• rozwiązuje złożone zadania z wykorzystaniem
umiejętności obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych.
Wskazwki metoyczne
• W czasie pierwszej lekcji proponujemy przypomnienie
oraz przećwiczenie na przykładach
kolejności wykonywania działań.
• Na drugiej lekcji proponujemy rozwiązywanie
bardziej złożonych zadań z wykorzystaniem
umiejętności obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych
oraz zasad dotyczących kolejności
wykonywania działań.
Przyad 1.
• W klasie 7 większość uczniów zna już kolejność
wykonywania działań. Na początku lekcji
warto zapytać ich o to, a podsumowanie rozważań
zapisać na tablicy.
• W kolejnych podpunktach występuje coraz
więcej działań i ważne jest, aby uczeń wiedział,
w jakiej kolejności powinien je wykonywać.
Warto w podpunkcie c) zwrócić uwagę na
nawiasy i kolejność ich opuszczania.
wiczenia 1.
To ćwiczenie po omówieniu przykładu 1. można
zostawić uczniom do samodzielnej pracy. Warto
jednak skontrolować, czy właściwie zapisują
rozwiązania w kolejnych podpunktach. Część
uczniów zapisuje tylko to działanie, które wykonuje
w danej chwili, a dopiero potem dopisuje
kolejne działania. Należy zwrócić im uwagę, że
tak nie należy tego robić.
28
5.
I.
Obliczanie wartoci
wyrae arytmetycznych
o olejnoci wyonywania dziaa
I
II
III
IV
Przyad 1.
ziaania w nawiasach
7 + (14 – 8) 2 : 4 =
potgowanie
a) 21 · 9 − 23 · 4
= 7 + 6 2 : 4 =
mnoenie i zielenie
= 7 + 36 : 4 =
oawanie i oejmowanie
= 7 + 9 = 16
b) 6 · 7:3+ 4 − 24 : 6 · 3=42 :3+ 4 − 4 · 3=14 + 4 − 12 = 18 − 12 = 6
c) [ 8 − (6 · 3 − 7) ] − (−5 · 4 − 16)
Materiay yaktyczne
s. 15–16
21 · 9 − 23 · 4=189 − 92 =97
[ ]
8 − (6 · 3 − 7) − (−5 · 4 − 16) =
= [ 8 − (18 − 7) ] − (−20 − 16) =
=(8− 11) − (−36) =−3 + 36 = 33
wiczenie 1.
a) 32 · 6 + 13 · 5b)15 · 8:5− 12 + 33 : 11 · 2c) [ 3 + (4 · 5 − 9) ] [ + 8 · (6 − 2 · 7) − 13 ]

. bliczanie waroci wyrae arymeycznych
Przyadw 2. i .
Przyad 2.
a) 1 3 4 + 26 7 − 3 11
14 : 2 5 =121 28 + 224 28 − 53
14 · 5
2 =121 28 + 224 28 − 265
28 =345 28 − 265
28 = 129
28 − 265
28 = − 136
28 =
= −4 24
28 = −46 7
(
b) 2 3 ) (
4 − 15 − 5 2 )
9 3 − 63 · 2 (
8 3 = 2 27 ) (
36 − 120 − 5 16
36 24 − 6 9 )
· 2 ( )
24 3 =17 36 − 17
− · 2
1
=
24 3
12
=1 7
36 + 17
36 =124 36 =12 3
wiczenie 2.
a) 2 1 3 − 14 5 : 3
25
Przyad .
b) 4 2 3 : 1 5 + 1 (
6 · 3 c) 5 3 4 − 2 1 ) (
− 4 1 )
12 9 + 21 6
1
(1
15 − 1 3 − 5 )
1
(1
6 15
(
2 2 3 − 1 2 ) 2
=
− 2 6 − 5 ) (
1
6 15
(
2 6 9
9 − 1 2 ) 2
=
− 8
6 − 5 )
1
6
(
1 4 ) 2
=
9
9
= − 1 13
1030 · 81 27
= − 27
169 13 130
wiczenie .
(
0,9 − 1 ) 2
4
a)
0,8 − 0,4 · 3
8
b)
−2 + 0,6 · 9
−11 + 4 : 0,25
15 − 3 6
( ) 13 2
=
9
c)
1
15 − 1 2
=
169
81
( ) 1 4
8 −
3 9 · 1
9
1,1 + 4
25 · 15
8
2
30 − 15
30
169
81
= − 13
30
=
169
81
Obliczenie wartości wyrażeń arytmetycznych
zamieszczonych w obu przykładach wymaga od
ucznia nie tylko znajomości kolejności wykonywania
działań, ale także sprawności rachunkowej.
W pierwszym z przykładów należy zwrócić
uwagę na liczby mieszane, a w drugim – na potęgowanie.
wicze 2. i .
Warto, aby uczniowie samodzielnie rozwiązali
wybrane podpunkty z tych ćwiczeń, a następnie
na forum klasy opowiedzieli, które działanie wykonali
jako pierwsze i dlaczego, a także porównali
otrzymane wyniki.
Sprytne rachunki
Po omówieniu przykładów można skorzystać
z animacji umieszczonej w multibooku.
1.
a) 36 : 9 + 3 · 5 b) 36 : (9 + 3) · 5 c) 12 · 15 − 18 : 6 d) 12 · (15 − 18) : 6
e) 120 − 75 : 3 · 5 f) 120 − 75 : (3 · 5) g) 64 : 2 + 2 3 h) 64 : ( 2 + 2 3)
2.
a) [ 5 − (3 · 5 − 9) ] − [ 7 · (5 − 3 · 3) − 15 ]
b) [ 3 · (−9) − 15 ] + [ (−23 · 2 − 24) · (−10) + 42 ]
c) [ 121 + 12 · (−3) ] · [13
· (−3 · 12 + 35) + (−21) · (−3) ]
3. -
a) 25 i 3225 i 32.
b) 82 i 4848 i 82.
Opowiezi o wicze
1. a) 257 b) 18 c) −63 2. a) −12 2 3 b) 235 6
c) − 5 81
Opowiezi o zaa
c) −2
11
18
3. a) 13
20
b) 0,68
1. a) 19 b) 15 c) 177 d) −6 e) −5 f) 115 g) 40 h) 6,4 2. a) 42 b) 700
c) 4250 3. a) 43 b) 147
. 29
Opowiezi o zaa z zeszytu wicze
1. a) 0,14 b) 1 1 54
c) 1,35 d) 2
8 55 e) 10 9 16 f) −0,8 g) −21 3 h) 14 1 4
2. 9 · 43 + 6 · 38 = 615 3. BC
zadania 1.
Każda para podpunktów zadania różni się jedynie
nawiasami. Warto zwrócić uwagę uczniów na
to, jak wpływają one na kolejność wykonywania
działań.
Przed rozwiązaniem zadania 2. można skorzystać
z ciekawostki umieszczonej w multibooku.
zadania 2.
W razie potrzeby można przypomnieć uczniom,
w jakiej kolejności należy opuszczać nawiasy.
zadania .
• Zadania tego typu często sprawiają uczniom
trudność. W razie potrzeby należy podzielić
zadanie na części i odpowiednio akcentować
działania.
• Rozwiązanie:
a) (25 + 32) + 2 · (25 − 32) = 57 + 2 · (−7) =
=57− 14 = 43
b) (82 + 48) − 0,5 · (48 − 82) =
=130− 0,5 · (−34) = 130 + 17 = 147

I. ICB I DIAAIA
zada .–.
W razie potrzeby należy przypominać uczniom
o skracaniu ułamków.
4.
a) 1 3 8 − 31 2 · 1
28 · 7
10
b) 3 3 4 · 1
4 + 1 8 : 1 4
c) 3 1 5 : 8
25 − 1 4 : 1 3
d) 3 1 2 − 21 4 + 42 5 : 11
25
zada 7. i 8.
• Wyrażenia w tych zadaniach są bardziej złożone
niż we wcześniejszych, więc obliczenia
mogą sprawiać uczniom trudności. Warto
zwrócić uwagę na sposób postępowania:
–określenie kolejności wykonywania działań;
– ustalenie, czy obliczenia należy wykonać za
pomocą ułamków zwykłych czy dziesiętnych;
– zapisywanie wyników kolejnych działań
w najprostszy sposób, aby ułatwić sobie dalsze
obliczenia.
• Proponujemy rozwiązanie na lekcji kilku podpunktów,
w tym c) i f) z zadania 8.
zadania 9.
• Warto przypomnieć zamianę jednostek masy.
Można to zrobić w formie zabawy. Jeden
z uczniów podaje jakąś wielkość, a kolejny zamienia
ją na podaną jednostkę i podaje swoją
wielkość itd. Przy tej okazji można też poćwiczyć
zamianę w pamięci typowych ułamków
zwykłych na ułamki dziesiętne.
• Rozwiązanie:
1 3 4 kg=1,75kg
250 g = 0,25 kg
3 1 5 kg=3,2kg
1,75 kg + 0,25 kg + 3,2kg=5,2kg
5,2 : 13 = 52
10 · 1
13 = 4 10
Jedna porcja deseru miała masę 0,4 kg.
Odp. A
zadania 10.
W razie potrzeby należy przypomnieć, co oznacza
ułamek danej liczby i w jaki sposób go obliczamy.
Aby na przykład obliczyć 5 liczby 640, można
8
postąpić następująco:
Sposób I: 5 8 · 640
Sposób II: (640 : 8) · 5
0
5.
a) −1 3 5 · 33 4 + 41 2
I.
Opowiezi o zaa
4. a) 1 23
80 b) 1 7 16 c) 91 4 d) 11 1 4
:(−1,5) b) −
1,44
1,2 − 21 6 · 1 3 13
c) 1,12 : (−0,4) + 9 1 :(−19) d) −1,6 · 1,2 : (−0,6)
2
e) −2,7 : (−0,09) : (−5) − 1,6 : (−0,8) f) −3 1 :(−25) · 16 − 4,8 : (−0,3)
8
6.
a)
d)
(−1 1 4 + 0,25 )
· 2 1 2
(
−1 1 )
2 + 11 :1 1 3 6
5. a) −9 b) −3 13
15
98
f) −
99
f) 18 6. a) −2 1 2 b) 2 3 c) 11 5 d) − 1 7 e) −10 3 5
b) −375 c) 6 17
18 d) 1 1 72 16
e) f) 2
12 125 45
b)
e)
(2 1 )
4 − 1,75 : 3 4
(
−1 5 6 − 3 )
· 4 4 8 5
9. A 10. 80
(
c) 2 2 ) ( )
5 − 13 · 3
5 4 + 0,75
f) 2 9 (
20 : −3 3 )
5 + 1,125
7.
(
I.1,5 · −2 3 )
· 3 2 (
11 3 :5II. 1 − 1 ) ( )
8 :2 : 7
8 − 0,75 III.− 1 11 : 2 3 · 23 4 : 3 4
8.
a) 1 1 (
7 : 9
14 · 2,4 1 2
2) − b) 12 4 ( )
5 : 4 3 ( )
− 10
4
5 5 : 3 3
c)
10
d)
(3 2 3 − 2,5 ) 2
1,75
(
− −1 5 )
12 + 11 9
e)
( )
2
(
1,5 − 2 ) 3 · 4
15 :13 5
3
9. 12
1 3 4 kg
250 g3 1 5 kg-
-
A. 0,4 kg B. 0,4(3) kg
C. 0,57 kg D. 0,6 kg
(
−1 1 6 + 1 ) 2
3
0,4 − 0,5 · 3
5
( 2
5
f)
+ 1 2 )
3 · 4 · (−2 ) 2
(
2,75 − 3 1 ) (−2
· 4)
2
10. 640
5 8 2 3
c) −3,3 d) 3,2 e) −4
7. I 8. a) 4 1
60

. bliczanie waroci wyrae arymeycznych
zadania 11.
11. 5 1 Trzeba zwrócić uwagę uczniów na kolejne kroki
3 dm
56 cm.
rozwiązania:
– zamianę jednostek na dm,
12. 2 2 – wyznaczenie długości boków kwadratów na
5 1 8 5 16 .
podstawie ich obwodów,
– obliczenie pól kwadratów,
– obliczenie, o ile decymetrów kwadratowych
pole pierwszego kwadratu jest mniejsze od
1.
pola drugiego.
a) −20 −
(−5 1 )
4 + 41 2 · 2 b) 4 2 3 :53 5 + 31 2 · 8 c) −0,6 · 4:3− 0,3 : (−0,25)
21
2. 4
5 kg31 kg2,2 kg3-
2
2 3 4 kg
Po rozwiązaniu zadania 11. proponujemy ćwiczenie
interaktywne umieszczone w multibooku.
zadania 12.
• W razie potrzeby można przypomnieć uczniom,
co oznaczają zwroty: „ile razy więcej”,
„ile razy mniej”. Trudność może stanowić to,
że szukamy liczby mniejszej 2 2
5 razy.
A. 5,4 kg B. 5,8 kg C. 6,5 kg D. 7,1 kg
• Rozwiązanie:
( 8
1 − 16 )
:2
3. 2 5 5 = 24
5 : 12 5 = 24 5 · 5
12 =2
-
a) 16 i 77 i 16.
b) 22 i 3434 i 22.
zadania .
4. k5 1 ( )
4 : 1 2
− 11 :
11
2 16 mnia
0,9 − 3 1 2 :101 2 · 0,3.
b) (22 − 34) − 0,5 · (34 + 22) = −12 − 28 = −40
a) (16 − 7) + 3 · (7 + 16) = 9 + 3 · 23 = 78
PF
k5. P F
k i mm =6 1 4 k. P F
. 1
Opowiezi o zaa
11. o 41
225 dm2 12. 2
Sprawdź się!
1. a) −23 3 4 b) 21 6 c) 0,4 2. D 3. a) 78 b) −40 4. PF
POLA:
4
5
3 1 2
kg pomidorw
kg jabek
2,2 kg gruszek

I. ICB I DIAAIA
Temat lekcji:
1.
Cele lekcji
Ucze:
• zna i stosuje kolejność wykonywania działań,
• oblicza wartość wyrażenia arytmetycznego,
• zapisuje wyrażenie arytmetyczne na podstawie
opisu słownego,
• rozwiązuje złożone zadania z wykorzystaniem
umiejętności obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych,
• wykonuje działania na ułamkach zwykłych
i dziesiętnych,
• zaokrągla liczby i szacuje wartości wyrażeń
arytmetycznych.
Wskazwki metoyczne
• Na początku lekcji trzeba przypomnieć najważniejsze
wiadomości, które omówiono w tym
dziale. Można wykorzystać do tego zestawienie
Powtórz wiadomości znajdujące się obok.
• Warto też zasugerować uczniom, że to zestawienie
może być pomocne podczas samodzielnego
rozwiązywania zadań.
• Proponujemy następującą metodę powtórzenia:
– Przygotowanie przed lekcją zestawu zadań
z sekcji Sprawdź umiejętności. Wydrukowanie
kilku kopii i pocięcie ich tak, by każde
zadanie było oddzielnie. Jeśli istnieje ryzyko,
że nie wystarczy czasu, by uczniowie rozwiązali
wszystkie zadania, można niektóre z nich
pominąć.
– Podzielenie uczniów na grupy 3–5-osobowe.
Dobrze jest zadbać o to, by w każdej grupie
byli uczniowie zdolni i ci, którzy często potrzebują
pomocy. W miarę możliwości warto
też zadbać o to, by do jednej grupy nie trafiły
osoby często wchodzące ze sobą w konflikt.
– Rozdanie uczniom siedzącym w grupach
pierwszego zadania i powiedzenie im, że
w każdej chwili mogą podejść do nauczyciela,
żeby przedstawić rozwiązanie lub otrzymać
wskazówkę.
– Przekazywanie następnego zadania dopiero
po poprawnym rozwiązaniu poprzedniego.
Liczba prób może być dowolnie duża.
– W klasach lubiących rywalizację, np. klasach
sportowych, można wyświetlić tabelę
z grupami i numerami zadań. Kiedy grupa
wykona zadanie, otrzymuje plusa (niezależnie
od liczby prób). Wpłynie to korzystnie
na motywację. Należy jednak uważać z taką
tabelą w klasach skłóconych lub w przypadku
uczniów źle znoszących porażki.
2
Doawanie
i oejmowanie
Mnoenie
Dzielenie
Sprowadzamy uamki do wsplnego
mianownika.
Zamieniamy liczby mieszane
na uamki niewaciwe.
Pierwszy uamek mnoymy
przez odwrotno drugiego uamka.
Doawanie
i oejmowanie
Mnoenie
Dzielenie
I.
3 2 21 10
2 + = 2 + = 2
31
5 7 35 35 35
1 – 2 5
3 = 3 – 4
= 3 1
2 5 10 10 10
1 1
1 · =
10
5
3 2
6
3 5 · 2
3 = 4
1 1
1 6
2 17 17 18
5 : = · = 6
3 18 1 3 17 1
Zapisujemy jednoci pod jednociami,
dziesitki pod dziesitkami itd.
2,46
+ 3,5
5,96
1,20
– 1,14
0,06
W wyniku oddzielamy przecinkiem
tyle cyfr kocowych,
ile cznie byo cyfr po przecinkach
w obu uamkach dziesitnych.
1,23 · 0,2 = 0,246
2 miejsca 1 miejsce 3 miejsca
Przesuwamy przecinki w dzielnej
i dzielniku, tak aby dzielnik
by liczb cakowit.
5,25 : 0,5 = 52,5 : 5 = 10,5
Opowiezi o zaa
amek zwyky ma rozwinicie dziesitne:
skoczone, np.
1 5
= = 0,5
2 10
nieskoczone okresowe, np.
1
3 = 0,333... = 0,(3) okres
()
a 2·,
:
+, −
1. Znajdujemy
.
2. Patrzymy na kolejn cyfr.
Jeli jest mniejsza od 5, to cyfr w rzdzie,
do ktrego zaokrglamy, pozostawiamy
bez zmian, a kolejne cyfry zastpujemy
zerami.
Np. zaokrglenie o czci setnych
135,3
Jeli jest wiksza od 5 lub rwna 5,
to cyfr w rzdzie, do ktrego zaokrglamy,
zwikszamy o 1, a kolejne cyfry
zastpujemy zerami.
Np. zaokrglenie o ziesitek
1

Podmowanie dzia I
Wskazwki metoyczne
1. A i B
C i D.
128
250 A B .
A. 64
B. 13
125
25
0,48 C D .
C. 24
50
D. 12
25
2.
a) 4 5
3.
a) 5 2 3 − 41 9 + 7 36
b) 13 23
50
c) 7 9
40
d) 4 3
22
(
b) −1,44 + (−2,56) + 3,29 c) 3,25 − −2 3 )
− 1 1 5 4
4. a =1,75− 3 5 , b =1,6:11 3 , c =3,8− 23 4 , d =31 3 · 0,2.
A. b < d < a < c B. b < d < c < a C. d < c < a < b D. d < c < b < a
5.
a) 25 061 b) 4520 c) 32 151 d) 923 975
6. 0,01
a) 0,2527 b) 3,1852 c) 2,0072 d) 12,195
– Alternatywnie można podzielić uczniów ze
względu na ich umiejętności. Wtedy wybieramy
zadania o stopniu trudności dostosowanym
do możliwości grupy. By zwiększyć liczbę zadań
i zróżnicować stopień trudności, możemy
wybierać zadania nie tylko z powtórzenia, ale
też z części Potrenuj – zadania uzupełniające.
– Mimo że praca w grupach z pewnością zajmie
więcej czasu niż praca równym frontem, warto
stosować ją także na lekcjach matematyki.
Ta metoda rozwija kompetencje społeczne
uczniów, a także uatrakcyjnia zajęcia.
Powtórzenie można realizować w formie interaktywnej
zagadki detektywistycznej umieszczonej
w multibooku. Zawiera ona wszystkie kluczowe
pojęcia pojawiające się w danym dziale, a proponowana
forma motywuje uczniów do wykonania
każdego zadania.
Kolejnym sposobem na realizację powtórzenia
jest gra koło fortuny umieszczona w multibooku.
Z założenia w grze tej uczniów dzielimy na dwie
grupy, które toczą pojedynek.
7.
-
zadania 1.
Warto przypomnieć, jaki ułamek nazywamy
nieskracalnym oraz jakie są cechy podzielności
liczb.
zadania .
Opowiezi o zaa
1. AD 2. a) 0,8 b) 13,46 c) 7,225 d) 4,1(36) 3. a) 1 3 4 b) −0,71 c) 43 5
4. C 5. a) 25 100 – z nadmiarem b) 4500 – z niedomiarem c) 32 200 –
z nadmiarem d) 924 000 – z nadmiarem 6. a) 0,25 – z niedomiarem
b) 3,19 – z nadmiarem c) 2,01 – z nadmiarem d) 12,2 – z nadmiarem
7. Wskazówka: 2000 m < 2460 m.
Warto przypomnieć zasady porównywania ułamków.
zadania 7.
Zaokrąglenie do tysięcy metrów:
2460 ≈ 2000
Zaokrąglenie do dziesiątek metrów:
2460 ≈ 2460
2000 < 2460

I. ICB I DIAAIA
zadania 10.
26 : 2,2 = 11,81... ≈ 12
Odp. Tata powinien kupić co najmniej 12 paczek
paneli.
zadania 12.
Obliczenie, ile małych opakowań karmy należy
kupić oraz ile wyniesie koszt ich zakupu.
3,6 : 0,45 = 8
8 · 8,28 = 66,24 [zł]
Obliczenie, ile dużych opakowań karmy należy
kupić oraz ile wyniesie koszt ich zakupu.
3,6:1,8=2
2 · 22,50 = 45 [zł]
Odp. A2
zadania 1.
8.
a) −5 · 30 : (−6) b) 2 1 (
4 :(−0,5) : −3 3 )
8
c) −3 1 (
5 · −1 1 )
· (−15)
3
9.
a) 13,9 : 7 + 20 · 0,53 b) 7 9 10 :2− 32 : 3,9 c) 2,98 · (−7) + 24 5 · 3 19
20
10. -
26 m 2 2,2 m 2
11. a = 1,101 , b = 1,(101), c =1,1001, d = 1,(1001).
A. a B. b C. c D. d
Inormacje do zada 12. i 13.
0,45 kg8,28 zł i 1,8 kg
22,50 zł.
12. 3,6 kg
AB1., 2.3.
22,50 : 1,8 = 12,50
Odp. A
zadania 1.
A. Tak,
B.
1.
2.
3.
21,24 zł
Obliczenie powierzchni działki w m 2 .
25,2 · 36 = 907,2
Trawnik zajmuje 1 powierzchni działki.
3
Warzywa zajmują 1 3 :6= 1 powierzchni działki.
18
Obliczenie, jaką część powierzchni działki zajmuje
sad oraz ile to metrów kwadratowych.
(
1 1
−
3 + 1 )
=1− 7 18 18 = 11
18
11 · 907,2 = 554,4 ≈ 600
18
Odp. Sad zajmuje około 600 m 2 .
13.
1 kg
A. 12,50 zł B. 13,40 zł C. 18,40 zł D. 22,50 zł
14. 25,2 m × 36 m 1 3
6
15.
(
a) 3 1 )
7 − 25 : 2 b) 6 1 (
7 3
3 :42 3 − 5 · 2
5 − 1 )
3
I.
Opowiezi o zaa
c) −3 1 5 : 1 3 · 4 − 0,1 · 0,5
9
8. a) 25 b) 1 1 c) −64 9. a) 12 b) −4 c) −9 10. 12 paczek 11. B
3
12. A2 13. A 14. 600 m 2 15. a) 9 14 b) 1 1 19
c) −4
42 60

Podmowanie dzia I
zadania 1.
1. 11
13 12 13
2. a = 1 3 − 1 8 , b = 1 2 − ( 1
3 − 1 4
a i cb.
) (
oraz c = 1
2 − 1 ) 2 ( 1 +
3 3 − 1 ) 2
4
3. 1 2 -
1.
4. 1
32
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11
13 = 22
26
12
13 = 24
26
Taką liczbą jest na przykład ułamek 23
26 .
Jest nieskończenie wiele liczb większych od 11
13
i jednocześnie mniejszych od 12
13 .
Należy zauważyć, że:
11 11 000
=
13 13 000 ,
12 12 000
=
13 13 000 .
11 001 11 002 11 002 11 999
Każda z liczb , , , …,
13 000 13 000 13 000 13 000
spełnia podane warunki.
5.
1 6
A. 100
100
100
B.
C.
D. 100 − 1
600
600 − 1
600 + 1
600
6.
I. 0,2(9) II. 0,298 III. 0,2(5)
0,3.
7.
a) 12 557,281 b) 12,(345)
c) 5
8
7
d) 1 do 0,1.
125
Na przykład:
1
2 = 3 6 = 1 3 + 1 6
1
2 = 6 12 = 1 4 + 1 6 + 1 12
1
2 = 9 18 = 1 3 + 1 9 + 1 18
1
2 = 10
20 = 1 4 + 1 5 + 1 20
zadania .
8. 301 230 km 2 2 km 2
WOC
301 230 km 2
ONAKO
2km 2
Opowiezi o zaa
1. Wskazówka: np. 23 , takich liczb jest nieskończenie wiele.
26
2. Wskazówka: a + c = 35
144 < 5 12 = b 3. np. 1 4 + 1 6 + 1 12 = 1 2
4. C
5. B 6. I i II 7. a) 12 600 b) 12,3453453 c) 0,63 d) 1,1 8. 150 000
razy (szacując przy założeniu, że powierzchnia Włoch ma 300 000 km 2 )

I. ICB I DIAAIA
zadania 9.
Obliczenie, ile litrów borówek uzbierała Ela.
2 2 3 :4= 8 3 · 1
4 = 2 3
Obliczenie, ile litrów borówek uzbierała Zosia.
2
3 · 1,5 = 2 3 · 3
2 =1
Obliczenie, ile litrów borówek muszą jeszcze
uzbierać dziewczęta.
5 − 2 2 3 − 2 3 − 1=2 3 =0,(6)
Odp. Dziewczęta muszą jeszcze uzbierać 0,(6) litra
borówek.
9. 5 l
2 2 3 l 4
a Zosia 1,5
-
-
10. A i B
C i D.
179,2 : (−2,24) A B . A. B.
3,78 · (−2,53) C D od (−10). C. D.
zadania 10.
Warto zauważyć, że w pierwszym zdaniu do wytypowania
odpowiedzi wystarczy określić znak
wyniku działania.
11.
12,5 l
-
0,25 l
13 x 6 x
0,6 l
0,2 l
DZIE 1.
1. DZIE 2.
zadania 11.
Obliczenie, ile litrów płynu wlano pierwszego
dnia.
13 · 0,6 = 7,8
Obliczenie, ile litrów płynu wlano drugiego dnia.
6 · 0,2 = 1,2
Obliczenie, ile litrów płynu zmieści się jeszcze
w pojemniku oraz ile to butelek o pojemności
0,25 l.
12,5 − (7,8 + 1,2) = 3,5
3,5 : 0,25 = 14
Odp. W zbiorniku zmieści się jeszcze 14 butelek
o pojemności 0,25 l.
zadania 1.
Warto zwrócić uwagę uczniów na kolejność wykonywania
działań w wyrażeniach w liczniku
i w mianowniku. Dopiero po obliczeniu wartości
tych wyrażeń należy podzielić otrzymane liczby.
12.
(
2 3 ) (
4 − 15 − 5 2 )
9 3 − 63
8
A. 35
B. 1 35
C. 1 65
D. 2 13
72
72
72
72
13.
a) [ 23 + (12 · 4 − 48 : 3 · 2) · 2 ] :11
b) (8 · 14 + 12 · 14) − [ (2 · 51 − 140 : 2) · (24 + 4 · 6) − 5 ] :1531
14.
(3 1 ) (
3
a)
− 1,2 : 3 − 1 )
(
4
(6 1 ) 2
b) (1 − 0,5) · 1
3 − 5 2 3)
− 1 (
· 1
3 4)
− 1 (
· 1
4 5)
− 1
15.
I.
Opowiezi o zaa
2 1 3 − 11 5 − 3 5 · 11 9 + 1 ( 6
3,5 : 1,4 − 4 1 3 − 2 1 ) .
:0,5
6
9. 0,(6) l 10. AD 11. 14 12. C 13. a) 5 b) 279 14. a) 24
55
1
b) 15. − 19
2880 55

da ilracji i zdj
ra ilustracji i zj:
ada
e wny-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

Nowy cykl – zatwierdzony przez nauczycieli i uczniów!
Dla ucznia
NOWOŚĆ
2023
Nowy podręcznik do matematyki
matematyka w punkt
7
Podręcznik
Szkoła podstawowa
Przykłady rozwiązywania
zadań krok po kroku
Ćwiczenia bliźniacze
do każdego przykładu
Współczesna szata graficzna
bliska uczniom
Przystępny język przekazu
Urozmaicone zadania o różnym
stopniu trudności (w tym zadania
egzaminacyjne)
Podsumowania działów w formie
notatek graficznych
Czytelne diagramy, schematy
i infografiki
Nowy zeszyt ćwiczeń do matematyki
NOWOŚĆ
2023
Spójna koncepcja od 4 do 8 klasy
Doskonała korelacja z materiałem
z podręcznika
Urozmaicone zadania o różnym
stopniu trudności (w tym typu
egzaminacyjnego oraz dla uczniów
zainteresowanych matematyką)
Praktyczne ćwiczenia
odwołujące się do przykładów
z życia codziennego i najnowszych
technologii
Przejrzysty i czytelny układ treści
Podpowiedzi do zadań
Przystępny język przekazu
Zeszyt ćwiczeń
Szkoła podstawowa7
Dla nauczyciela
NOWOŚĆ
2023
Podręcznik nauczyciela
Komentarze do zadań, przykładów
i ciekawostek
Wskazówki metodyczne
do wszystkich tematów
Odpowiedzi do wszystkich zadań
z podręcznika i zeszytu ćwiczeń
Praktyczne rady, jak pracować
z uczniami zdolniejszymi oraz takimi,
którzy potrzebują dodatkowego wsparcia
Propozycje innowacyjnych materiałów
dydaktycznych, które urozmaicą lekcję
matematyka w punkt
7
Podręcznik nauczyciela
Szkoła podstawowa
Kompleksowe rozwiązania:
dokumentacja metodyczna
materiały dydaktyczne
diagnozy przedmiotowe
nowy generator sprawdzianów
i kartkówek
nowy multibook
ćwiczenia interaktywne
plansze interaktywne
cyfrowe odzwierciedlenia
podręczników
próbny egzamin ósmoklasisty
Masz pytania dotyczące oferty? Napisz na: nowa.ofertaSP@wsip.pl
wsip.pl
sklep.wsip.pl
infolinia: 801 220 555