Noter til Fysik 2 - Videreg˚aende Mekanik - Bozack @ KU

13 PERIODISK BEVÆGELSE 18
Hvis man er givet startpositionen x0 og starthastigheden v0x kan man finde fasen fasen ϕ samt
amplituden A til at være givet ved
ϕ = arctan − v0x
ωx0
A =
x 2 0 + v2 0x
ω 2
(13.12)
Ud fra dette kan man ogs˚a vide at hvis man skubber en oscillator i gang er det ikke det punkt
hvor man slipper den der er amplituden, dette er det kun hvis v0x = 0. ⊳
13.3 Energi i simpel harmonisk bevægelse
Den potentielle energi i en fjeder er givet ved U = 1
2 kx2 , hvorfor den samlede mekaniske energi i
en fjeder er givet ved
E = K + U = 1
2 mv2 x + 1
2 kx2 = konstant (13.13)
Men eftersom der er energibevarelse vil der i en af ekstremumpositionerne A eller −A være en
hastighed p˚a vx = 0, hvorfor den samlede mekaniske energi ogs˚a kan skrives som
E = 1
2 kA2 = konstant (13.14)
N˚ar svingningen er i midterpositionen vil den potentielle energi være nul, men den kinetiske vil
være i toppen, hvorfor der lige her vil gælde at K = 1
2 kA2 . For at se en graf over hvordan den
mekaniske energi ændrer sig i svingningen, se figur 13(a) p˚a side 20.
13.4 Applikation af simpel harmonisk oscillator
Eksempel 1 (Vertikal SHM) En fjeder der er hængt op med et lod for enden vil have en
ækvilibriumsposition der er under fjederens egen, men eftersom det bare er en ekstra kraft der
bliver lagt p˚a vil denne nye ækvilibriumsposition være lige s˚a god som den gamle – som nu ikke
skal bruges til noget. Man kan alts˚a bare bruge Hooks lov som sædvanligt, ved at sætte et nyt
nulpunkt ved det nye ækvilibrium. ⊳
Eksempel 2 (Rotationel SHM (torsionsfjeder)) Den rotationelle harmoniske oscillator er
beskrevet med analoger til de allerede kendte ligninger. Hookes lov bliver
τz = Iαz = −κθ ⇔
d2θ = −κ θ (13.15)
dt2 I
Hvor κ er fjederkonstanten for den rotationelle fjeder og I er inertimomentet af systemet rundt
om fjederens midtpunkt. Differentialligningen har løsningen
Og man kan beskrive vinkelfrekvensen ω og frekvensen f ved
ω =
κ
I
θ = θ0 cos (ωt + ϕ) (13.16)
f = 1
κ
2π I
(13.17)
⊳
For at lave sine egne brugsmetoder af SHM skal man bare eftervise at en bevægelse følger sam-
menhængen givet i (13.5).