Noter til Fysik 2 - Videreg˚aende Mekanik - Bozack @ KU

Noter til Fysik 2 - Videreg˚aende Mekanik
Pia Jensen, www.fys.ku.dk/~bozack,
Januar 2008,
Version 1.0.
– Eksamensnoter til Fysik 2

Indledning
Denne formelsamling er lavet før fysik 2 eksamen den 25. januar 2008 – til fordel for alle dem der
n˚aede at f˚a fat i den før de allerede var færdige med at læse.
Jeg har lavet den imens jeg har siddet og læst, s˚a samlingen er bygget meget op omkring læ-
rebogen – University Physics af Young og Freedman – samt omkring de noter jeg selv har taget
under forelæsningerne. Som s˚adan er det ikke meningen at formelsamlingen skal erstatte den tyk-
ke, tunge, onde bog – men den er helt klart nemmere at bladre rundt i, og for den sags skyld er
næsten alt hvad man kan have brug for i bogen allerede samlet her. Dette gælder selvfølgelig ikke
de gange hvor jeg har henvist til bogen, og ej heller har jeg lavet eksempler i de forskellige emner
– da dette umiddelbart ikke er noget jeg gider skrive ind.
Pensum der er gennemg˚aet i denne formelsamling er alt sammen skrevet s˚a sektionsnumrene
passer til bogen, og emnerne er som følger:
9 Rotation af stive legemer – i bogen Rotation of Rigid Bodies
10 Rotationel bevægelses dynamik – i bogen Dynamics of Rotational Motion
11 Ækvilibrium (kun 11.1-3) – i bogen Equilibrium and Elasticity
12 Gravitation – i bogen Gravitation
13 Periodisk bevægelse – i bogen Periodic Motion
14 Mekaniske svinginger – i bogen Mechanical Waves
Jeg har med vilje valgt ikke at tage emnet omkring accelererede koordinatsystemer med, da dette
kun er pensum for folk p˚a den gamle ordning – hvilket jeg ikke selv er.
2

INDHOLD 3
Indhold
9 Rotation af stive legemer 5
9.1 Vinkelhastighed og -acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.2 Rotation med konstant vinkelacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.3 Lineær vs. rotationel kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.4 Energi i rotationel bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.5 Parallel-akse teoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9.6 Udregning af inertimoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
10 Rotationel bevægelses dynamik 7
10.1 Kraftmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
10.2 Kraftmoment og vinkelacceleration for et stift legeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10.3 Stift legemes rotation om en bevægende akse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10.4 Arbejde og effekt i rotationel bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10.5 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10.6 Impulsmomentbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10.7 Gyroskoper og precession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 Ækvilibrium 11
11.1 Krav for ækvilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.2 Tyngdepunkt - Center of gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.3 Løsning af ækvilibrium-problemer for stive legemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12 Gravitation 12
12.1 Newtons tyngdelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12.2 Vægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
12.3 Gravitationel potentiel energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
12.4 Satellitters bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
12.5 Keplers love og planeters bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
12.6 Kugleformede massefordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12.7 Tilsyneladende vægt og Jordens rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12.8 Sorte huller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 Periodisk bevægelse 16
13.1 Beskrivelse af oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
13.2 Simpel harmonisk oscillator (SHM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13.3 Energi i simpel harmonisk bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13.4 Applikation af simpel harmonisk oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13.5 Matematisk pendul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13.6 Fysisk pendul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13.7 Dæmpede oscillationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13.8 Drevne oscillationer og resonans - Forced Oscillations and Resonance . . . . . . . . . . . . 20

INDHOLD 4
15 Mekaniske bølger 20
15.1 Typer af mekaniske bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15.2 Periodiske bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15.3 Matematisk beskrivelse af en bølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15.4 Hastighed af en transvers bølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15.5 Energi i bølgebevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15.6 Bølgeinterferens, grænsebetingelser og superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15.7 St˚aende bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
15.8 Normaltilstand p˚a en streng - Normal Modes of a String . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
15.9 Sm˚aformler for mekaniske bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16 Tabeller 26
16.1 Inertimomenter for typisk brugte legemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 ROTATION AF STIVE LEGEMER 5
9 Rotation af stive legemer
9.1 Vinkelhastighed og -acceleration
Definition 1 (Radian) Den grundlæggende sammenhæng mellem et stykke af en cirkel s og
radius r af samme, der giver vinkelen θ der udspænder cirkenbuen
θ = s
r
⇔ s = rθ (9.1)
Læg mærke til at θ altid skal m˚ales i radianer! Se figur 9(a) p˚a side 7 for illustration. ⊳
Definition 2 (Vinkelhastighed) Vinkelhastigheden er ændringen af vinkelen med hensyn til
tiden
∆θ dθ
ωz = lim =
∆t→0 ∆t dt
Værdien man finder grænseværdien p˚a er gennemsnitsvinkelhastigheden, ωav-z = ∆θ/∆t. ⊳
Vinkelhastigheden findes som en vektor ved hjælp af højreh˚andsregelen. Fold fingrene i positiv
omløbsretning, s˚a er en positiv ωz i tommelfingerens retning. Se figur 9(b) p˚a side 7 for illustration.
Definition 3 (Vinkelacceleration) Vinkelaccelerationen er ændringen af vinkelhastighed ω med
hensyn til tiden
∆ωz
αz = lim
∆t→0 ∆t
Et andet udtryk for vinkelaccelerationen er givet ved
αz = d2 ωz
dt 2
= dωz
dt
Gennemsnitsvinkelaccelerationen er givet som αav-z = ∆ωz/∆t. ⊳
Vinkelaccelerationen som en vektor findes ved hjælp af højreh˚andsregelen lige som vinkelhastig-
heden, se figur 9(b) p˚a side 7 for illustration.
(9.2)
(9.3)
(9.4)
N˚ar vinkelhastigheden og vinkelaccelerationen er modsatrettede vil rotationen bremses, n˚ar de
er i samme retning vil rotationen accelerere op.
9.2 Rotation med konstant vinkelacceleration
Sætning 1 (Kinematik med konstant αz) Formler for rotationel bevægelse med konstant vin-
kelacceleration:
ωz = ω0z + αzt (9.5)
θ = 1
2 (ω0z + ωz) t + θ0
θ = θ0 + ω0zt + 1 2
αzt
2
(9.6)
(9.7)
ω 2 z = ω 2 0z + 2αz (θ − θ0) (9.8)
Dette er en analog til den lineære kinematik, hvor formlerne er fuldkommen ens, bare med θ = x,
ωz = v og αz = a. Se figur 9(c) p˚a side 7 for illustration. ⊳

9 ROTATION AF STIVE LEGEMER 6
9.3 Lineær vs. rotationel kinematik
Sætning 2 (Lineær vs. rotationel hastighed) Sammenhængen findes ved at differentiere ud-
trykket i (9.1) med hensyn til tiden, hvorved man f˚ar
v = rω (9.9)
Jo længere væk fra omdrejningsaksen, des større lineær hastighed. Hastigheden v er tangentiel til
den cirkulære bevægelse. ⊳
Sætning 3 (Lineær vs. rotationel acceleration) P˚a samme m˚ade kan den lineære accelera-
tion findes som udtryk af vinkelaccelerationen, ved at differentiere udtrykket i (9.1) to gange med
hensyn til tiden, hvorved man f˚ar
atan = rα (9.10)
Dette er den tangentielle komponent af accelerationen for det punkt man ser p˚a.
Den centripetale komponent af accelerationen er ogs˚a kendt som centripetalaccelerationen, og
denne er givet ved følgende udtryk
arad = v2
r = ω2 r (9.11)
Denne er sand endda selv om v eller ω ikke er konstante. Centripetalkomponenten peger altid mod
centrum af cirkelbevægelsen.
Vektorsummen af arad og atan er den lineære acceleration for det punkt man ser p˚a. ⊳
9.4 Energi i rotationel bevægelse
Definition 4 (Inertimoment) Inertimoment er defineret som
I =
i
mir 2 i
(9.12)
Enheden for inertimoment er kg m 2 . I et stift legeme er afstandene ri konstante, og inertimomentet
afhænger af aksen legemet roterer om. ⊳
Man bruger inertimomentet som et modstykke til den lineære bevægelses masse m. Blandt andet
til at se p˚a kinetisk energi:
Sætning 4 (Rotationel kinetisk energi) Den kinetiske energi er givet ud fra vinkelhastighe-
den og inertimomentet for det stive legeme man ser p˚a
K = 1
2 Iω2
(9.13)
Jo større inertimoment, des mere energi skal der til at f˚a et stift legeme i rotation, eller til at
accelerere det op. ⊳
Sætning 5 (Potentiel energi) Den gravitationelle potentielle energi p˚a et udspændt legeme er
lige som normalt p˚a et punktformigt legeme, men med den ændring at det punkt man ser p˚a er
center-of-mass af legemet, alts˚a
U = Mgycm
(9.14)
hvor M = m1 + m2 + · · · er den totale masse af legemet. ⊳
En tabel over intertimomenter er at finde i tabel 9.2 p˚a side 299 i University Phycics.

10 ROTATIONEL BEVÆGELSES DYNAMIK 7
9.5 Parallel-akse teoremet
Sætning 6 (Parallel-akse teoremet) Et inertimoment IP omkring en akse parallelt til en akse
igennem center-of-mass med inertimomentet Icm kan findes ved følgende
IP = Icm + Md 2
(9.15)
hvor M er den totale masse af legemet og d er afstanden fra aksen igennem center-of-mass til den
nye akse. ⊳
9.6 Udregning af inertimoment
For at udregne inertimomenter skal man for at spare sig en masse arbejde først og fremmest lige
se p˚a om den akse man ser p˚a er parallel til en akse igennem center-of-mass i legemet – og se om
man allerede kender inertimomentet her. S˚a slipper man for lange udregninger, og kan i stedet
bare bruge parallel-akse teoremet i (9.15).
For en gennemgang af hvordan man udregner inertimomenter, se side 303 i University Physics,
og se de tre eksempler 9.11, 9.12 og 9.13.
(a) Definitionen p˚a en radian (b) Højreh˚andsregelen (c) Rotation af stift legeme
Figur 9: Figurer til kapitel 9 om rotation af stive legemer.
10 Rotationel bevægelses dynamik
10.1 Kraftmoment
Sætning 7 (Kraftmoment) Kraftmomentet kan findes p˚a flere m˚ader – herunder oplistet:
1. Find “løftearmen” l og brug τ = F l.
2. Bestem vinkelen ϕ mellem vektorerne r og F ; løftearmen er l = r sin ϕ s˚a τ = rF sin ϕ.
3. Bestem F som sum af den radiale komponent Frad langs retningen af r og den tangentielle
komponent Ftan vinkelret p˚a r. S˚a er Ftan = F sin ϕ og τ = r(F sin ϕ) = Ftanr.

10 ROTATIONEL BEVÆGELSES DYNAMIK 8
Læg mærke til at i den sidste giver komponenten Frad ikke noget kraftmoment p˚a objektet med
hensyn til omdrejningspunktet, da denne per definition har en løftearm p˚a nul – eftersom den
forlænget g˚ar igennem omdrejningspunktet. Samlet er kraftmomentet alts˚a givet ved
Kraftmoment som en vektor er givet som
τ = F l = rF sin ϕ = Ftanr (10.1)
τ = r × F (10.2)
Kraftmomentet som en vektor er alts˚a vinkelret p˚a b˚ade kraften og retningsvektoren til det punkt
hvor man p˚avirker med kraften. For at finde vektoren bruger man højreh˚andsregelen, ligesom da
man skulle finde vinkelhastighed og -acceleration (se figur 9(b) p˚a side 7). ⊳
For en illustration af hvordan man finder løftearmen n˚ar man skal finde kraftmomentet, se figur
10(a) p˚a side 11.
10.2 Kraftmoment og vinkelacceleration for et stift legeme
Sætning 8 (Rotationel analog til Newtons 2. lov) Den rotationelle analog til Newtons an-
den lov er givet ud fra inertimoment I og vinkelacceleration αz til
τz = Iαz
(10.3)
Husk at inertimomentet altid er med hensyn til en akse, det samme gælder for kraftmomentet! ⊳
Denne sammenhæng gælder ogs˚a selv om rotationsaksen bevæger sig, s˚a længe de to følgende krav
er overholdt:
1. Aksen igennem massemidtpunktet skal være en symmetriakse.
2. Aksen m˚a ikke ændre retning.
10.3 Stift legemes rotation om en bevægende akse
N˚ar et objekt roterer og translaterer samtidig kan man dele bevægelsen fuldkomment op i trans-
lation og rotation hver for sig.
Sætning 9 (Königs sætning) Opdelingen af den kinetiske energi er som følger
K = 1
2 Mv2 cm + 1
2
Icmω 2
(10.4)
hvor den første del er for translationen mht. massemidtpunktet, mens den anden del er for rota-
tionen omkring massemidtpunktet. ⊳
Sætning 10 (Rulning uden glidning) For at et hjul med radius R kan rulle med en vinkelha-
stighed ω uden at glide skal følgende sammenhæng gælde
vcm = Rω (10.5)
Punktet i bunden af et hjul der drejer er instantant i hvile. ⊳

10 ROTATIONEL BEVÆGELSES DYNAMIK 9
10.4 Arbejde og effekt i rotationel bevægelse
Sætning 11 (Arbejde gjort af kraftmoment) Arbejdet W gjort af et konstant kraftmoment
τz er givet ved
W = τz∆θ (10.6)
Denne er en analog til det lineære arbejde givet ved W = F s. Hvis kraftmomentet ikke er konstant
er arbejdet i stedet givet ved
W =
θ2
θ1
τzdθ (10.7)
Denne er en analog til det lineære arbejde givet ved W = Fxdx. Ud fra denne f˚ar man at det
totale arbejde er lig med ændringen i rotationel kinetisk energi, alts˚a
Wtotal =
ω2
ω1
Iωzdωz = 1
2 Iω2 2 − 1
2 Iω2 1
(10.8)
⊳
Sætning 12 (Effekt) Ud fra (10.6) kan vi ved differentation med hensyn til tiden t finde effekten
P der bliver afsat i legemet til at være
P = τzωz
(10.9)
Dette er analogen til den lineære effekt givet ved P = F · v. ⊳
10.5 Impulsmoment
Definition 5 (Impulsmoment) Impulsmomentet er analogen til den lineære impuls, og er de-
fineret som
L = r × p = r × mv (10.10)
Eftersom denne afhænger af r er impulsmomentet ogs˚a afhængigt af rotationsaksen! Enheden for
impulsmoment er kg m 2 s −1 . Retningen af vektoren L er altid i retning af den positive z-akse,
eller i retning af en positiv ωz
En anden m˚ade at finde impulsmomentet p˚a er ved kun af finde længden af vektoren. Denne
er givet ved
L = mvr sin ϕ = mvl (10.11)
hvor l er løftearmen, alts˚a den vinkelrette afstand fra v til omdrejningspunktet. ⊳
Sætning 13 (Impulsmoment for stift legeme om en symmetriakse) For et udstrakt lege-
me der roterer omkring en symmetriakse er impulsmomentet L givet ved
L = Iω (10.12)
Et legeme i en s˚adan bevægelse har alts˚a ω og L i samme retning. Men husk at denne formel kun
gælder for stive legemer der roterer om en symmetriakse! ⊳
Sætning 14 (Sammenhæng mellem impuls- og kraftmoment) Differentierer man udtryk-
ket i (10.10) med hensyn til tiden f˚ar man at
d L
dt = r × F = τ (10.13)

10 ROTATIONEL BEVÆGELSES DYNAMIK 10
Dette er en analog til den lineære dp/dt = F . Man f˚ar alts˚a at det resulterende kraftmoment er
lig med ændringen af impulsmomentet:
τ = d L
dt
For en illustration af hvordan man finder impulsmomentet, se figur 10(b) p˚a side 11.
10.6 Impulsmomentbevarelse
(10.14)
⊳
Sætning 15 (Impulsmomentbevarelse) N˚ar det resulterende kraftmoment er nul vil vi efter
(10.14) vide at impulsmomentet er bevaret, vi har alts˚a den vigtige sammenhæng at
N˚ar det resulterende kraftmoment p˚a systemet er nul, s˚a er det totale impulsmoment
konstant (bevaret).
Med matematik kan man skrive at
τ = d L
dt = 0 ⇔ L = konstant (10.15)
⊳
Sætning 16 (Brug af impulsmomentbevarelse) N˚ar man nu ved at impulsmomentet er be-
varet kan man udlede følgende sammenhæng
I1ω1z = I2ω2z
(10.16)
S˚a n˚ar inertimomentet falder stiger vinkelhastigheden eller omvendt. ⊳
10.7 Gyroskoper og precession
Et gyroskop er en underlig ting – teorien omkring det er udledt ud fra impulsmoment. Preces-
sionsvinkelhastigheden Ω er givet ud fra ændringen af vinkelen ϕ i det vandrette plan, som kan
udtrykkes som funktion af kraftmomentet τz og impulsmomentet Lz eller vægten w, afstand til
holderen r, inertimomentet I og vinkelhastigheden ω af skiven:
Ω = dϕ
dt = |d L|/| L|
=
dt
τz
Lz
= wr
Iω
For en illustration af hvordan et gyroskop er sat sammen, se figur 10(c) p˚a side 11.
(10.17)
Hvis man ser skiven der roterer i Gyroskopet som en lav cylinder kan man indsætte inertimo-
mentet for denne, givet ved I = 1
2 MR2 , hvor M er massen af cylinderen og R er radius af den. S˚a
f˚ar vi udtrykket
Ω = 2rg
R 2 ω
(10.18)

11 ÆKVILIBRIUM 11
(a) S˚adan finder man løftearmen. (b) S˚adan findes impulsmomentet. (c) Princippet i et gyroskop.
11 Ækvilibrium
Figur 10: Figurer til kapitel 10 om rotationel bevægelses dynamik.
11.1 Krav for ækvilibrium
For at et legeme kan være i ækvilibrium skal nogle ting være opfyldt:
Sætning 17 (Første krav for ækvilibrium) Det første krav er Fysik 1 stof – den resulterende
kraft F skal være nul p˚a legemet for at det ikke accelererer, alts˚a
F = 0 (11.1)
Denne kan man vel og mærke dele op i de tre komponenter Fx, Fy og Fz, der hver især skal være
lig nul. ⊳
Sætning 18 (Andet krav for ækvilibrium) Det andet, og nye, krav er at det resulterende
kraftmoment skal være nul, s˚a en rotation ikke hverken bremses eller accelereres op, dette skal
være gældende omkring alle punkter i og uden for legemet, alts˚a
τ = 0 (11.2)
⊳
De to krav er vel og mærke for udefrakommende kræfter og kraftmomenter, da de indre altid vil
g˚a ud med hinanden (s˚a de kunne godt være taget med, men det er spild af arbejde).
11.2 Tyngdepunkt - Center of gravity
Sætning 19 (Massemidtpunkt) For en samling partikler med masserne m1, m2, · · · og koordi-
nater r1, r2, · · · er massemidtpunktet givet ved
rcm = m1r1 + m2r2 + · · ·
m1 + m2 + · · · =
i miri
i mi
(11.3)
⊳
Sætning 20 (Tyngdepunkt) Et arbitrært formet objekt der er ophængt i et punkt O vil p˚avirkes
af en tyngdekraft w = Mg, hvor M = m1 + m2 + · · · er den totale masse af objektet. Denne tyng-
dekraft p˚avirker med et kraftmoment givet ved
τ = rcm × w (11.4)

12 GRAVITATION 12
hvis g har den samme værdi i alle punkter af objektet er objektets tyngdepunkt det samme som
objektets massemidtpunkt! For at se en illustration af dette, se figur 11(a) p˚a side 12. ⊳
Hvis et legeme f˚ar sit tyngdepunkt ud over dens støttepunkter, s˚a tipper det over. Se figur 11(b)
p˚a side 12 for en illustration med en bil der tipper.
11.3 Løsning af ækvilibrium-problemer for stive legemer
Det vigtige er at opstille alle ligninger ud fra (11.1) og (11.2). Derudover skal man selvfølgelig
opstille alle de andre sammenhænge som man har f˚aet oplyst eller har fundet ud af.
Husk at det tit er muligt at eliminere en kraft der er ukendt ved at vælge et punkt at se
kraftmoment om, hvor løftearmen til kraften er nul. P˚a den m˚ade kan man ogs˚a opstille flere
ligninger ud fra (11.2), ved simpelthen at se kraftmomentet omkring forskellige punkter i legemet.
(a) Tyngdepunktet i et legeme med samme g over alt. (b) N˚ar tyngdepunktet kommer ud over
12 Gravitation
12.1 Newtons tyngdelov
støttepunkterne.
Figur 11: Figurer til kapitel 11 om ækvilibrium.
Sætning 21 (Newtons tyngdelov) Newton forklarede i 1987 hvordan to legemer p˚avirker hin-
anden:
Alle partikler med masse i universet tiltrækker alle andre partikler med masse med en
kraft der er direkte proportional med produktet af masserne af partiklerne og omvendt
proportional med kvadratet p˚a afstanden imellem dem.

12 GRAVITATION 13
Matematisk er sammenhængen alts˚a at for to partikler med masserne m1 og m2 med den indbyrdes
afstand r er tyngdekraften Fg imellem dem givet ved
Fg = G m1m2
r 2
(12.1)
Her er G gravitationskonstanten, der har en værdi p˚a 6.67 × 10 −11 Nm 2 /kg 2 . ⊳
12.2 Vægt
Definition 6 (Vægt) Definitionen p˚a vægt er som følger
Vægten af et objekt er den totale gravitationelle kraft der virker p˚a objektet af alle
andre objekter i universet. ⊳
Dette er en ret t˚aget definition – det er jo svært at regne p˚a! Men n˚ar man st˚ar f.eks. p˚a Jorden
kan man godt være bekendt at ignorere alle de andre objekter end lige Jorden selv, da den kraft
som denne p˚avirker én med er langt større end alle de andre.
Sætning 22 (Tyngde p˚a Jorden) P˚a Jorden (der behandles som kugleformet med radius RE
og masse mE) vil vægten w af en lille masse m p˚a Jordens overflade være givet ved
w = Fg = G mEm
R 2 E
Men da vi ogs˚a ved at w = mg f˚ar vi tyngdeaccelerationen g ved Jordens overflade til at være
12.3 Gravitationel potentiel energi
g = G mE
R 2 E
Tyngdekraften er en konservativ kraft, hvorfor man kan tale om potentiel energi.
(12.2)
(12.3)
⊳
Sætning 23 (Gravitationel potentiel energi) Den gravitationelle potentielle energi er givet
ved
U = −G mem
r
(12.4)
hvor r er afstanden mellem Jordens centrum og massen m. Læg mærke til at den gravitationelle
energi altid er negativ, og at den er nul i det uendeligt fjerne. ⊳
Sætning 24 (Undslippelseshastighed) Med udtrykket for den gravitationelle potentielle ener-
gi kan man nu g˚a videre til at finde undslippelseshastigheden – den hastighed et objekt skal have
for at slippe helt væk fra et tungt objekt, f.eks. en planet. Denne er givet ved
2GM
vesc =
R
(12.5)
hvor M er massen af det store objekt og R er radius af samme. ⊳

12 GRAVITATION 14
12.4 Satellitters bevægelse
Sætning 25 (Cirkulære baner) En satellit i en cirkulær bane omkring en planet skal have en
bestemt hastighed v for en bestemt afstand r til planetens centrum, denne hastighed er givet ved
v = 2πr
T =
GM
(12.6)
r
Hvor M er massen af planeten. Omløbstiden T for en s˚adan satellit er s˚a givet ved
T = 2πr
v
= 2πr3/2
√ GM
(12.7)
S˚a jo større omløb des mindre hastighed og des længere omløbstid. ⊳
Sætning 26 (Mekanisk energi i cirkulær bane) Den totale mekaniske energi E = U + K i
en cirkulær bane kan findes da man kender hastigheden v. Denne er alts˚a givet ved
E = −G Mm
2r
12.5 Keplers love og planeters bevægelse
(12.8)
⊳
Sætning 27 (Keplers love) Keplers love er bygget p˚a Tycho Brahes observationer, og kan skri-
ves som følgende tre udtryk:
1. Alle planeter bevæger sig i elliptiske omløbsbaner, med solen i et af fokuspunkterne for
ellipsen.
2. En linie fra solen til planeten overløber ens arealer p˚a ens tidsrum.
3. Planeternes omløbstider er proportionale med 3
2
Den tredje lov kan skrives op matematisk som
T = 2πa3/2
√ GM
potens af omløbets storakse-længde.
(12.9)
hvilket vi allerede genkender fra udtrykket i 12.7, men nu ved vi at det gælder for alle ellipsebaner,
ikke kun cirkulære baner (og M her er massen af solen i stedet for Jorden). ⊳
Punktet i en ellipsebane der er tættest p˚a solen kaldes perihelion, punktet længst væk fra solen
kaldes aphelion. For en illustration af hvordan en s˚adan ellipsebane er opbygget, se figur 12(a) p˚a
side 16.
Planeternes impulsmoment er bevaret, hvilket forklarer hvorfor planeterne altid har omløb i et
plan. Det er p˚a samme m˚ade impulsmomentet der forklarer hvorfor Saturns ringe alle sammen er
i samme plan.
Egentlig er det ikke kun planeterne der bevæger sig om solen, det er solen og planeten der
bevæger sig omkring deres massemidtpunkt – men eftersom solen er langt tungere end planeterne
er denne tættere p˚a massemidtpunktet, og det er derfor nemt at tro at solen bare st˚ar stille mens
planeten bevæger sig rundt om den. For en illustration af dette, se figur 12(b) p˚a side 16.

12 GRAVITATION 15
12.6 Kugleformede massefordelinger
Hvis en punktmasse er uden for en uniform massefordelt kugle vil kraften mellem disse to være
den samme som var kuglen en punktmasse, man skal alts˚a bare tage den geometriske midte af
kuglen og se denne som en punktmasse for at regne p˚a det.
Lidt sværere bliver det hvis man har en punktmasse inden i en s˚adan kugle. Her viser det
sig at den del af kuglen der er længere fra centrum end punktmassen udligner hinanden, hvorfor
afstanden fra punktmassen til midten definerer en ny kugle som man igen bare kan se som en
kugle – afstanden til centrum fra en punktmasse inden i en kugle kan alts˚a bruges som radius for
en mindre kugle som man s˚a kan regne p˚a som var punktmassen p˚a overfladen af denne.
Sætning 28 (Gravitation og potentiel energi i kugleskaller og kugler) For en punktmas-
se m i en afstand r fra centrum af planeten (der enten er en tom kugleskal eller en solid kugle)
med massen M og radius R gælder
Kugleskal: r > R : U = −G Mm
,
r
F = GMm
r2 (12.10)
r < R : U = −G Mm
,
R
F = 0 (12.11)
, F = GMm
r2 (12.12)
r < R : U = −G Mm
3 −
2R
r2
R2
, F = G Mm
r (12.13)
R3 Kugle: r > R : U = −G Mm
r
Den potentielle energi præcist i centrum af en kugle er derfor givet ved
U = − 3
2 GMm
R
12.7 Tilsyneladende vægt og Jordens rotation
(12.14)
⊳
Sætning 29 (Tilsyneladende vægt) Des længere mod syd eller nord man kommer fra Ækva-
tor, jo mindre centripetalacceleration mod Jordens omdrejningsakse føler man, og deraf bliver ens
tilsyneladende vægt tilsvarende større. Den tilsyneladende vægt er givet ved
w = w0 − marad = mg0 − marad
(12.15)
Den virkelige vægt finder man kun p˚a Syd- og Nordpolen, hvor centripetalaccelerationen arad er
nul. Læg mærke til at størrelsen af g jo ogs˚a ændrer sig afhængigt af hvor man er p˚a kloden – g0
er tyngdeaccelerationen p˚a polerne. ⊳
Sætning 30 (Tilsyneladende vægtløshed) Hvis accelerationen arad = g0 oplever man tilsy-
neladende vægtløshed, da w = 0. Dette opleves for eksempel n˚ar man er i omløb omkring Jorden,
hvor man jo hele tiden falder – bare rundt om Jorden uden nogensinde at ramme overfladen. For
en illustration af det forklarede, se figur 12(c) p˚a side 16. ⊳

13 PERIODISK BEVÆGELSE 16
12.8 Sorte huller
Et sort hul opst˚ar n˚ar massen af et objekt er blevet s˚a stort s˚a undvigelseshastigheden for objektet
er over lyshastigheden – for intet kan bevæge sig med overlyshastighed.
Sætning 31 (Schwarzchildradius) Den radius RS hvorfra man aldrig kan komme væk igen er
p˚a denne m˚ade givet som
RS = 2GM
c 2
(12.16)
S˚a har et objekt med massen M en radius mindre end RS s˚a er det et sort hul. Bag ved denne
radius kan selv ikke engang lys slippe ud – deraf navnet. ⊳
(a) En ellipsebane. (b) Et kredsløb. (c) Tilsyneladende vægt.
13 Periodisk bevægelse
13.1 Beskrivelse af oscillation
Figur 12: Figurer til kapitel 12 om tyngdekraft.
Et system der har en kraft der forsøger at komme tilbage til en ækvilibriumsposition vil udføre
oscillationer – for eksempel en fjeder hvori der hænger et lod.
Sætning 32 (Frekvens og omløbstid) En cyklus for et s˚adant system er fra en udgansposition,
til den modst˚aende udgangsposition og tilbage igen. En cyklus er alts˚a for eksempel fra A til −A og
tilbage til A. Perioden T er den tid det tager for at komme igennem en hel cyklus, mens frekvensen
f er antal cykler per tidsenhed. Sammenhængen mellem disse to er givet ved
f = T −1
⇔ T = f −1
Derudover kan man se at vinkelfrekvensen vil være givet ved
ω = 2πf = 2π
T
(13.1)
(13.2)
⊳

13 PERIODISK BEVÆGELSE 17
13.2 Simpel harmonisk oscillator (SHM)
Sætning 33 (Hooks lov) Den simple harmoniske oscillator følger en helt bestemt sammenhæng
mellem den restaurerende kraft og det stykke væk fra ækvilibrium som den bliver ændret. Dette
er Hooks lov:
Fx = −kx (13.3)
Ideelle fjedre følger denne lov. Fjederkonstanten k har enheden N/m eller kg/s 2 . N˚ar den restau-
rerende kraft følger Hooks lov givet i (13.3) bliver den kaldt Simple Harmonic Motion, forkortet
ved SHM. ⊳
Sætning 34 (Acceleration af SHM) Accelerationen af en simpel harmonisk oscillator er givet
ved
ax = d2x Fx k
= = − x (13.4)
dt2 m m
Ud fra dette kan man se at accelerationen ax og placeringen x altid har modsat fortegn. Man kan
ogs˚a finde et udtryk for accelerationen til at være
Hvorfor vi m˚a konkludere at
ax = −ω 2 x (13.5)
ω =
k
m
Ud fra denne kan vi se at frekvensen og omløbstiden er givet som
f = ω
1 k
=
2π 2π m
T = 1
2π m
= = 2π
f ω k
(13.6)
(13.7)
(13.8)
S˚a en større masse vil alts˚a bevæge sig langsommere og have en længere omløbstid end en lille
masse. ⊳
Sætning 35 (Matematisk model for SHM) Udtrykket i (13.4) er egentlig en differentiallig-
ning (¨x = −ω 2 x), der har løsningen
x = A cos (ωt + ϕ) hvor ω =
k
m
(13.9)
Dette er alts˚a en bevægelse med amplituden A, som g˚ar mellem A og −A. Læg mærke til at
cos α = sin (α + π/2), s˚a man kan ogs˚a vælge at bruge sinus – det kræver bare en anden fase ϕ.
Ved at differentiere (13.9) én og to gange mht. tiden t f˚ar man hastigheden og accelerationen
af bevægelsen til at være
vx = dx
dt
= −ωA sin (ωt + ϕ) (13.10)
ax = dvx
dt = d2 x
dt 2 = −ω2 A cos (ωt + ϕ) (13.11)

13 PERIODISK BEVÆGELSE 18
Hvis man er givet startpositionen x0 og starthastigheden v0x kan man finde fasen fasen ϕ samt
amplituden A til at være givet ved
ϕ = arctan − v0x
ωx0
A =
x 2 0 + v2 0x
ω 2
(13.12)
Ud fra dette kan man ogs˚a vide at hvis man skubber en oscillator i gang er det ikke det punkt
hvor man slipper den der er amplituden, dette er det kun hvis v0x = 0. ⊳
13.3 Energi i simpel harmonisk bevægelse
Den potentielle energi i en fjeder er givet ved U = 1
2 kx2 , hvorfor den samlede mekaniske energi i
en fjeder er givet ved
E = K + U = 1
2 mv2 x + 1
2 kx2 = konstant (13.13)
Men eftersom der er energibevarelse vil der i en af ekstremumpositionerne A eller −A være en
hastighed p˚a vx = 0, hvorfor den samlede mekaniske energi ogs˚a kan skrives som
E = 1
2 kA2 = konstant (13.14)
N˚ar svingningen er i midterpositionen vil den potentielle energi være nul, men den kinetiske vil
være i toppen, hvorfor der lige her vil gælde at K = 1
2 kA2 . For at se en graf over hvordan den
mekaniske energi ændrer sig i svingningen, se figur 13(a) p˚a side 20.
13.4 Applikation af simpel harmonisk oscillator
Eksempel 1 (Vertikal SHM) En fjeder der er hængt op med et lod for enden vil have en
ækvilibriumsposition der er under fjederens egen, men eftersom det bare er en ekstra kraft der
bliver lagt p˚a vil denne nye ækvilibriumsposition være lige s˚a god som den gamle – som nu ikke
skal bruges til noget. Man kan alts˚a bare bruge Hooks lov som sædvanligt, ved at sætte et nyt
nulpunkt ved det nye ækvilibrium. ⊳
Eksempel 2 (Rotationel SHM (torsionsfjeder)) Den rotationelle harmoniske oscillator er
beskrevet med analoger til de allerede kendte ligninger. Hookes lov bliver
τz = Iαz = −κθ ⇔
d2θ = −κ θ (13.15)
dt2 I
Hvor κ er fjederkonstanten for den rotationelle fjeder og I er inertimomentet af systemet rundt
om fjederens midtpunkt. Differentialligningen har løsningen
Og man kan beskrive vinkelfrekvensen ω og frekvensen f ved
ω =
κ
I
θ = θ0 cos (ωt + ϕ) (13.16)
f = 1
κ
2π I
(13.17)
⊳
For at lave sine egne brugsmetoder af SHM skal man bare eftervise at en bevægelse følger sam-
menhængen givet i (13.5).

13 PERIODISK BEVÆGELSE 19
13.5 Matematisk pendul
Det matematiske, eller simple, pendul ser enden som en punktmasse og snoren som masseløs. For
en lille amplitude følger kraften der f˚ar pendulet til at svinge Hooks lov – s˚a for en lille amplitude
gælder sammenhængene
13.6 Fysisk pendul
ω =
k
m =
mg/L
m =
f = ω 1
=
2π 2π
T = 2π
ω
= 1
f
g
L
L
= 2π
g
g
L
(13.18)
(13.19)
(13.20)
Det fysiske pendul er, i modsætning til det matematiske, et udstrakt legeme der svinger frem og
tilbage. N˚ar legemet er flyttet fra ækvivilbriumspositionen ophængt i et punkt, vil tyngdekraften
p˚a legemet sørge for en restaurerende kraft. For sm˚a vinklers udsving vil vinkelfrekvensen være en
funktion af massen m af legemet, afstanden d fra ophængningspunktet til tyngdepunktet (normalt
ogs˚a massemidtpunktet) samt legemets inertimoment I omkring ophængningspunktet:
mgd
ω =
I
Svingningstiden vil s˚a være givet ved
I
T = 2π
mgd
For en illustration af det fysiske pendul, se figur 13(b) p˚a side 20.
13.7 Dæmpede oscillationer
Den simpleste dæmpede oscillation følger ligningen
Hvor vinkelfrekvensen ω ′ er givet ved
(13.21)
(13.22)
x = Ae −(b/2m)t cos (ω ′ t + ϕ) (13.23)
ω ′ =
k b2
−
m 4m2 (13.24)
For denne dæmpede oscillation falder amplituden eksponentielt. Des større værdi for b, jo hurtigere
falder amplituden. Vinkelfrekvensen er desuden anderledes, og denne bliver nul n˚ar b er s˚a stor at
k b2
−
m 4m2 = 0 ⇔ b = 2√km (13.25)
N˚ar dette passer kaldes bevægelsen for kritisk dæmpet – her oscillerer systemet ikke mere, men
returnerer bare til udgangspositionen med det samme. Hvis b > 2 √ km kaldes bevægelsen for
overdæmpet – her returnerer systemet ogs˚a til udganspositionen uden at oscillere, men denne

15 MEKANISKE BØLGER 20
gang langt langsommere end ved den kritiske dæmpning. Bevægelser hvor b < 2 √ km kaldes
underdæmpede, hvor systemet alts˚a oscillerer mindre og mindre.
For en illustration af hvordan bevægelsen af den dæmpede harmoniske oscillator opfører sig,
se figur 13(c) p˚a side 20.
Sætning 36 (Energi i dæmpede oscillationer) Energien i dæmpede systemer er ikke beva-
ret, da dæmpningen ikke er konservativ. Ændringen i energien er givet ved
dE
dt = vx(−bvx) = −bv 2 x
13.8 Drevne oscillationer og resonans - Forced Oscillations and Resonance
(13.26)
⊳
En dreven oscillator p˚avirkes med en kraft som speeder oscillationen op . Amplituden af en s˚adan
oscillation er givet ved
A =
Hvor ωd er frekvensen af drivkraften.
(a) Energi i simpel harmonisk bevæ-
gelse.
15 Mekaniske bølger
15.1 Typer af mekaniske bølger
Fmax
(k2 − mω2 d )2 + b2ω2 d
(13.27)
(b) Det fysiske pendul. (c) En dæmpet harmonisk svingning.
Figur 13: Figurer til kapitel 13 om periodisk bevægelse.
En mekanisk bølge er en forstyrrelse i et medium, denne forstyrrelse propagerer s˚a igennem mediet
med bølgehastigheden v, der er bestemt ud fra de mekaniske aspekter der gælder for den givne
situation. For alle typer bølger gælder der at
En bølge transporterer energi, men ikke masse, fra et omr˚ade til et andet.
Bølger kan opdeles i tre forskellige typer:

15 MEKANISKE BØLGER 21
1. Transverse bølger, der bevæger sig igennem et medium ved at bevæge partiklerne vinkelret
frem og tilbage hen over bølgens bevægelsesretning – som en bølge i en snor.
2. Longtitunale bølger, der bevæger sig igennem et medium ved at trykke partiklerne sammen
og skille dem længere fra hinanden bagefter – som tryk i et rør med vand.
3. Kombination af transverse og longtitunale bølger – for eksempel som bølger p˚a overfladen
af en væske.
15.2 Periodiske bølger
N˚ar man har en snor og tilfører denne en periodisk bevægelse i den ene ende vil der g˚a en periodisk
bølge igennem snoren. Denne form for bevægelse kan beskrives med sinusfunktioner.
N˚ar en periodisk bølge g˚ar igennem et medium vil alle partiklerne i mediet gennemg˚a
simpel harmonisk bevægelse med samme frekvens.
Udseendet af en periodisk bølge er et gentagende mønster, længden af et helt bølgemønster er af-
standen fra en top til den næste, eller fra en bund til den næste osv. Denne afstand af bølgelængden
λ. Bølgen bevæger sig med hastigheden v og har bevæget sig en bølgelængde p˚a en periode T .
Alts˚a er bølgehastigheden givet ved v = λ/T , eller, fordi T = f − 1
v = λf (15.1)
Dette udtryk holder ogs˚a for bølger i flere dimensioner en den enkelte der bliver brugt for
eksemplet med snoren, og ogs˚a for longtitunale periodiske bølger.
15.3 Matematisk beskrivelse af en bølge
Funktionen der beskriver en bølge kaldes bølgefunktionen y(x, t), og den afhænger b˚ade af stedet
x, for eksempel hvor man ser p˚a en snor, og tiden t.
Sætning 37 (Bølgefunktionen for en periodisk bølge) Bølgefunktionen for en bølge der be-
væge sig periodisk kan beskrives ved mange forskellige ligninger, herunder de brugte i bogen (der
vel og mærke er for en periodisk bølge der bevæger sig i +x-retningen):
x
x
x t
y(x, t) = A cos ω − t = A cos 2πf − t = A cos 2π −
v v λ T
Hvor følgende definitioner skal specificeres; bølgetallet k samt vinkelfrekvensen ω:
k = 2π
λ
= A cos (kx − ωt) (15.2)
ω = vk (15.3)
⊳

15 MEKANISKE BØLGER 22
Sætning 38 (Bølgefunktion for periodisk bølge i den anden retning) Alle de givne ud-
tryk for bølgefunktionerne kan ændres s˚a de viser en bølge der bevæger sig i −x-retningen i stedet
for den positive retning. Disse bliver s˚a
x
x
x t
y(x, t) = A cos ω + t = A cos 2πf + t = A cos 2π +
v v λ T
= A cos (kx + ωt) (15.4)
⊳
Fasen for en bølge er udtrykket kx ± ωt, og det er denne der bestemmer hvordan bølgen ser ud i
det punkt og til den tid som man ser p˚a den i.
Sætning 39 (Hastighed og acceleration af partikel i mediet) Hvis man differentierer ud-
trykket for bølgefunktionen med hensyn til tiden vil man f˚a hastigheden for en partikel i mediet, p˚a
samme m˚ade vil man efter endnu en differentation mht. tiden f˚a accelerationen af denne partikel.
Disse to udtryk bliver, n˚ar jeg lige har givet bølgeligningen, givet ved
y(x, t) = A cos (kx − ωt) (15.5)
vy(x, t) =
∂y(x, t)
∂t
= ωA sin (kx − ωt) (15.6)
ay(x, t) = ∂2 y(x, t)
∂t 2 = −ω 2 A cos (kx − ωt) = −ω 2 y(x, t) (15.7)
Det sidste udtryk her siger at a = −ω 2 y, hvilket er simpel harmonisk bevægelse – s˚a partiklerne
p˚a snoren bevæger sig virkelig simpelt harmonisk! ⊳
Hvis man differentierer bølgeligningen med hensyn til stedet x i stedet for tiden t f˚ar man udtryk
for kurvaturen af bølgen – første afledte er hældningen af kurven, mens anden afledte er kurvaturen
af kurven, givet ved
∂ 2 y(x, t)
∂t 2 = −k 2 A cos (kx − ωt) = −k 2 y(x, t) (15.8)
Sætning 40 (Bølgeligningen) Udtrykkene i (15.7) og (15.8) samt sammenhængen ω = vk giver
udtrykket
∂2y(x, t)/∂t2 ∂2 ω2
= = v2
y(x, t)/∂x2 k2 Der omskrevet bliver til bølgeligningen, givet ved
∂ 2 y(x, t)
∂x 2
1
=
v2 ∂2y(x, t)
∂t2 (15.9)
(15.10)
Denne ligning passer ogs˚a for en bølge der propagerer i den anden retning, og den gælder ligeledes
ogs˚a p˚a longtitunale bølger.
Hver gang bølgeligningen passer p˚a en bevægelse ved man at der er tale om en forstyrrelse der
kan propagere som en bølge med en hastighed v – dette er blandt andet vist med elektromagnetiske
bølger, lys, hvor hastigheden er v = c. ⊳

15 MEKANISKE BØLGER 23
15.4 Hastighed af en transvers bølge
Hastigheden af en transversal bølge i en streng er en funktion af den snorkraft F der forsøger at
lave strengen lige igen, samt massen af strengen per længdeenhed, µ. Sammenhængen er givet ved
F
v =
(15.11)
µ
Der gælder generelt for mekaniske bølger at bølgehastigheden er givet ved en lignende sammen-
hæng:
v =
Restaurerende kraft der forsøger at f˚a mediet tilbage til ækvilibrium
Inerti der modsætter sig tilbagegang til ækvilibrium
15.5 Energi i bølgebevægelse
(15.12)
Sætning 41 (Effekt) Den effekt som løber igennem mediet n˚ar bølgen g˚ar igennem dette er
givet ved
P (x, t) = µF ω 2 A 2 sin 2 (kx − ωt) (15.13)
S˚a maksimaleffekten kommer n˚ar sin 2 -leddet er s˚a stort som muligt, og denne er givet ved
Pmax = µF ω 2 A 2
(15.14)
Gennemsnitseffekten er givet ved
Pav = 1
2 2
µF ω A
2
(15.15)
Denne sammenhæng gælder alle mekaniske bølger, med ikke alle bølger generelt! ⊳
Definition 7 (Bølgeintensitet og den inverse kvadratlov) For bølger der propagerer i tre
dimensioner definerer man bølgeintensiteten I som den tidslige gennemsnitlige mængde energi
transporteret af bølgen per enhedsareal – alts˚a gennemsnitseffekt per areal. Enheden af intensiteten
er W/m 2 .
Hvis bølgeudspredningen er ligeligt fordelt i alle retninger er intensiteten I i en afstand r fra
kilden med effektudputtet P givet ved
I = P
4πr 2
(15.16)
Hvis der ikke er nogen absorption af intensitet mellem to forskellige afstande r1 og r2 vil sammen-
hængen mellem disses intensiteter være givet ved
I1
I2
= r2 2
r 2 1
(15.17)
Dette er den inverse kvadratlov for intensitet. ⊳
15.6 Bølgeinterferens, grænsebetingelser og superposition
Sætning 42 (Grænsebetingelser) Hvis man har en bølge i en snor som sidder fast i noget i
den ene ende, s˚a er der forskel p˚a hvordan bølgen sendes tilbage afhængigt af hvordan snoren er
fastgjort i denne ende. Hvis snoren bare er bundet fast vil bølgetoppe blive til -bunde og omvendt

15 MEKANISKE BØLGER 24
n˚ar bølgen sendes tilbage. Hvis derimod snoren er gjort fast til en gnidningsfri ring der kan glide
op og ned vil bølgen sendes tilbage som den var før. Se billeder der illustrerer dette p˚a side 505 i
University Physics. ⊳
Sætning 43 (Superposition) Princippet om superposition siger at hvis to bølger overlapper
hinanden bliver den samlede bølgefunktion bare de to bølgers bølgefunktioner lagt sammen, alts˚a
ytotal(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) (15.18)
To bølger der lægges sammen p˚a denne m˚ade interfererer med hinanden. Hvis nu der er en bølgetop
og en -bund samme sted vil der samlet være en lige snor, hvorimod to toppe eller to bunde vil
forstærke toppen eller bunden. ⊳
15.7 St˚aende bølger
N˚ar to ens bølger rejser i hver sin retning p˚a en snor kan de lagt sammen blive til en st˚aende bølge.
N˚ar dette sker virker det ikke som om der er en bølge der translaterer mere, der er nogle noder
hvor snoren altid er samme sted, og nogle omr˚ader der oscillerer op og ned.
Dette er et eksempel p˚a konstruktiv og destruktiv interferens. I noderne vil de to modsatrejsen-
de bølger altid udligne hinanden – destruktiv interferens, mens de imellem noderne vil forstærke
hinanden – konstruktiv interferens.
Sætning 44 (Bølgefunktionen for en st˚aende bølge) En st˚aende bølge vil følge funktionen
y(x, t) = ASW sin kx sin ωt (15.19)
Hvor ASW er den dobbelte af amplituden af de to originale bølger. Denne funktion er udledt for
en st˚aende bølge med en fikseret ende i x = 0.
Noderne findes hvor x opfylder følgende sammenhæng:
x = 0, π
k
, 2π
k
, 3π
k
, · · · = 0, λ
2
, 2λ
2
3λ
, , · · · (15.20)
2
⊳
En st˚aende bølge overfører ikke energi ligesom de propagerende bølger – da de to originale bølger
jo hver overfører samme mængde energi hver sin vej og derfor udligner hinanden.
15.8 Normaltilstand p˚a en streng - Normal Modes of a String
Hvis en snor hvorp˚a man vil lave en st˚aende bølge ikke er uendeligt lang skal længden L af den passe
s˚a det er muligt rent faktisk at lave en st˚aende bølge med en bestemt bølgelængde λ. Længden af
strengen skal følge sammenhængen
L = n λ
2
(n = 1, 2, 3, · · · ) (15.21)
Hvis ikke dette holder for snorens længde kan der ikke opst˚a en st˚aende bølge. Bølgelængderne
der er mulige for en snor med længden L er alts˚a givet ved
λn = 2L
n
(n = 1, 2, 3, · · · ) (15.22)

15 MEKANISKE BØLGER 25
Sætning 45 (Fundamentalfrekvensen, harmonier og overtoner) De tilsvarende frekvenser
der svarer til bølgelængderne λi. Den mindste frekvens er s˚aledes givet ud fra sammenhængen
fn = v/λn ved
f1 = v
2L
(Fundamentalefrekvensen) (15.23)
P˚a samme m˚ade kan frekvenserne efter fundamentalfrekvensen findes til at være
fn = n v
2L = nf1 (n = 1, 2, 3, · · · ) (15.24)
Alle disse frekvenser kaldes harmonier eller overtoner – f2 er s˚aledes 2. harmoni eller 1. overtone
osv. ⊳
Sætning 46 (Normaltilstande) Bølgefunktionen for en streng der g˚ar fra x = 0 til x = L vil
være givet ved udtrykket i (15.19) som
yn(x, t) = ASW sin knx sin ωnt (15.25)
Hvor ωn = 2πfn og kn = 2π/λn. En normaltilstand er n˚ar denne bølgefunktion passer, selvfølgelig
for n = 1, 2, 3, · · · , hvorfor der i teorien er uendeligt mange normaltilstande for en streng. ⊳
Sammenlagt er fundamentalfrekvensen for en streng alst˚a givet ved
f1 = 1
F
2L µ
(15.26)
Læg mærke til at man normalt fintuner musikinstrumenter ved at ændre p˚a den kraft der holder
snorene strakte – og dette ændrer frekvensen p˚a instrumentet.
(a) En simpel harmonisk bevægelse
der giver liv til en periodisk bølge.
(b) Intensitet n˚ar den spreder sig ud
i det tredimensionelle rum.
(c) Et eksempel p˚a en st˚aende bølge
med tre noder.
Figur 15: Figurer til kapitel 15 om mekaniske bølger.
15.9 Sm˚aformler for mekaniske bølger
Jeg vil lige lave en lille samling af alle de sm˚a sammenhænge man har f˚aet i teorien for mekaniske
bølger – da disse tit skal bruges og man derfor gerne skal være sikker p˚a at bruge dem rigtigt:
v = λf k = 2π
λ
ω = vk v =
F
µ
T = 1
f
(15.27)

16 TABELLER 26
16 Tabeller
16.1 Inertimomenter for typisk brugte legemer
Beskrivelse Figur Inertimomet/-momenter
Tynd stang med masse M og
længde L.
Rektangulær plade med kort side
a, lang side b samt massen M.
Tynd cylindrisk skal med ˚abne
ender, radius r og masse m.
Tyk cylinder med ˚abne ender,
indre radius r1, ydre radius r2,
længde h og masse m samt den
normaliserede tykkelse tn = t
r2 .
Solid cylinder med radius r,
højde h og masse m.
Icenter = 1
12 ML2
Iende = 1
3 ML2
Icenter = 1
12 M(a2 + b 2 )
Iside = 1
3 Ma2
I = mr 2
Iz = 1
2m(r2 1 + r2 2)
Ix = Iy = 1
2
12 3(r1 + r2 2) + h2 Iz = mr2 1 − tn + 1
2t2
n
Iz = 1
2 mr2
Ix = Iy = 1
12 m(3r2 + h 2 )
Fortsættes p˚a næste side...

16 TABELLER 27
Tabel 1 ... fortsat fra forrige side
Beskrivelse Figur Inertimoment/-momenter
Tynd solid rund plade med radi-
us r og masse m.
Tyndt cirkulært loop med radius
r og masse m.
Solid kugle med radius r og mas-
se m.
Hul kugle med radius r og masse
m.
Cirkulær kegle med radius r,
højde h og masse m.
Solid kasse med højde h, bredde
w, dybde d og masse m.
Iz = 1
2 mr2
Ix = Iy = 1
4 mr2
Iz = mr 2
Ix = Iy = 1
2 mr2
I = 2
5 mr2
I = 2
3 mr2
Iz = 3
10 mr2
Ix = Iy = 3
5 m 1
4 r2 + h 2
Ih = 1
12 m(w2 + d 2 )
Iw = 1
12 m(h2 + d 2 )
Id = 1
12 m(h2 + w 2 )
Fortsættes p˚a næste side...

16 TABELLER 28
Tabel 1 ... fortsat fra forrige side
Beskrivelse Figur Inertimoment/-momenter
Solid kasse med siderne s og mas-
sen m.
Torus af rør med radius a, rør-
radius b og masse m.
Icm = 1
6 ms2
Iparallel,diameter = 1
8 m(4a2 + 5b 2 )
Ivertikal = m a 2 + 3
4 b2