Kernefysik - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk 15
kerner vil der være tilbage og jo lavere vil kildens aktivitet være. Proportionalitetskonstanten
k ovenfor kaldes for henfaldskonstanten. Den er specifik for hvert radioaktivt
stof. Jo større værdi for k, jo hurtigere vil stoffet henfalde. Af (13) og (14) fås:
(15) k ⋅ N( t) = −N ′ ( t) ⇔ N′ ( t) = −k ⋅ N( t)
Højresiden i (6) er en såkaldt differentialligning. Med ord udtrykker den, at funktionen
N( t ) differentieret er lig med en konstant gange funktionen selv. Der er kun én mulighed
for hvordan N( t ) kan se ud, nemlig:
(16) ( ) 0
N t N e −
= ⋅
Efterprøv selv ved indsættelse, at denne funktion tilfredsstiller højresiden i (15)!
−k ⋅ 0
Eftersom N(0) = N0 ⋅ e = N0
kan N 0 tolkes som antallet af radioaktive kerner til
tiden t = 0 . Lad os nu finde et udtryk for aktiviteten ved at kombinere (14) og (16):
−kt −kt
(17) A( t) = k ⋅ N( t) = k ⋅ N0 ⋅ e = A0 ⋅ e
hvor vi har sat A0 = k ⋅ N0
. På analog måde som 0
tidspunktet t = 0 .
kt
N kan 0
A tolkes som aktiviteten til
Vi skal udlede alternative formler for tælletallet og aktiviteten, som er nyttige, når man
kender halveringstiden. Omskrivningen
( ) ( ) ( )
t t t
1 −kT½ 1 −kT½ 1 −kT½ T½ 1 T
−kt
1
½ = 0 ⇔ 0 ⋅ = 0 ⇔ = ⇔ = ½ ⇔ = T½
2 2 2 2 2
N( T ) N N e N e e e
giver umiddelbart formlerne (19) og (21).
Formler for radioaktive henfald
(18) ( ) 0
N t N e −
(20) ( ) 0
kt
N( t) = N ⋅
1
0 2
= ⋅ (19) ( ) T½
A t A e −
kt
A( t) = A ⋅
1
0 2
= ⋅ (21) ( ) T½
(22) A( t) = k ⋅ N( t)
(23) A0 = k ⋅ N0
(24) A( t) = − N′ ( t)
(25) T½
ln(2)
=
k
t
t