Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet - Aleks Kvartborg ...

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet
Aalborg Universitet
Titel:
Bropille - Femer Bælt
Tema:
Marine konstruktioners belastning og fundering.
Projektperiode:
B8K
1. februar - 30. maj 2005
Projektgruppe:
Gruppe B212
Gruppemedlemmer:
Henrik Aagaard Hansen
Bjørn Aastrup Dannemare
Jakob Badsberg
Aleks Kvartborg Jakobsen
Per Ladefoged Kromann
Jess McCann Thomsen
Dennis Stammose Heiselberg
Vejledere:
Lars Andersen
Michael Brorsen
Oplag: 10
Hovedrapport sideantal: 161
Appendiks sideantal: 96
Total sideantal: 257
Synopsis:
Med baggrund i en udvidelse af det
europæiske motorvejsnet dimensioneres
en udvalgt bropille til en
skråstagsbro over Femer Bælt.
Vinddata udgør grundlaget for
bestemmelse af bølgelasten, mens
de resterende laster, herunder
vindlast, findes ved normer. Den
dimensionsgivende bølgelast bestemmes
analytisk og numerisk,
og verificeres efterfølgende eksperimentelt.
Der foretages en skitseprojektering
af bropillens gravitationsfundament
ved anvendelse af en normbaseret
metode. Herefter foretages
en brudanalyse af fundamentet ved
analytiske beregninger, som verificeres
og sammenlignes med finite
element beregninger. Fundamentets
sætning og differenssætning undersøges
ved en konventionel og numerisk
metode. Hoveddelen af de
geotekniske designparametre er fastlagt
udfra triaksial- og CPT-forsøg,
hvor de resterende parametre er fundet
udfra udførte bundundersøgelser
på lokaliteten.

KAPITEL
ttt
Forord
ttt
Denne rapport er udarbejdet som et B8K-projekt af gruppe B212 ved det
Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet, Aalborg Universitet i perioden 1. februar
til 30. maj 2005.
Det overordnede formål for B8K-forløbet er:
. . . at sætte den studerende i stand til at kunne anvende metoder til analyse
og vurdering af belastninger på og fundering af store marine konstruktioner.
[B-studienævnet 2005, side 4]
Til beregninger og programmering benyttes MATLAB, og til numerisk beregning
af bropillens egensvingningsformer benyttes MATLAB med CALFEM,
som er en finite element toolbox. Til numeriske beregninger af fundamentet
benyttes Plaxis, som er et FEM-program til modellering af jord og fundamenter.
Endvidere anvendes FEM-programmet ShipSim til en numerisk beregning
af bølgekraften.
Kildehenvisninger angives efter forfatternavn og udgivelsesår for den kilde,
afsnittet er baseret på, f.eks. [B-studienævnet 2005]. Yderligere information
om den enkelte kilde findes i litteraturlisten bagerst i rapporten.
Figurer og tabeller nummereres uafhængigt, hvilket betyder, at der i samme
kapitel kan forekomme figurer og tabeller med samme nummer.
iii

Forord
iv
Henrik Aagaard Hansen
Jakob Badsberg
Per Ladefoged Kromann
Dennis Stammose Heiselberg
Bjørn Aastrup Dannemare
Aleks Kvartborg Jakobsen
Jess McCann Thomsen

KAPITEL
ttt
Indhold
ttt
Indhold
Indhold v
1 Indledning 1
1.1 Brovalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I Laster 5
2 Laster 7
2.1 Brogruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Lastbestemmelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Egenlast 9
3.1 Egenlast fra brodækket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Egenlast af bropille N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Egenlast af fundamentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Samlet egenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Vandret masselast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Trafiklast 13
4.1 Last fra køretøjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Last fra tog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Ulykkeslast 19
5.1 Skibslast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
v

Indhold
6 Vindlast 23
6.1 Dynamisk vindpåvirkning af broen . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Kvasistatisk vindpåvirkning af broen . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Bølgelast 33
7.1 Bestemmelse af bølgehøjde ud fra vinddata . . . . . . . . . . . . 33
7.2 JONSWAP spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Morisons kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.4 Transferfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.5 Kilde/dræn-beregning af bølgekraft . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.6 Modelforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.7 Sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Islast 73
8.1 Islast på lodret bropillefront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Islast på skrånende konsktruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3 Sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9 Lastkombinationer 81
II Fundering 85
10 Geoteknisk forundersøgelse 87
10.1 Forventede aflejringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11 Geoteknisk designprofil 91
11.1 Modellering af jorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.2 Parametre for sandlaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.3 Parametre for moræneleret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.4 Parametre for kridtlaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.5 Jordprofil og geotekniske designparametre . . . . . . . . . . . . 103
12 Skitsedimensionering 107
vi
12.1 Beskrivelse af fundament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.2 Styrke- og deformationsparametre . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.3 Laster på fundamentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.4 Beregning af brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.5 Beregning af anvendelsesgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . 115
12.6 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Indhold
13 Analytisk løsning 121
13.1 Brudmåder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.2 Materialeparametre og effektivt areal . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.3 Kinematisk tilladelig løsning 1 - Glidningsbrud . . . . . . . . . . 123
13.4 Kinematisk tilladelig løsning 2 - Kombineret brud . . . . . . . . 125
13.5 Kinematisk tilladelig løsning 3 - Rotationsbrud . . . . . . . . . . 131
13.6 Statisk tilladelig løsning 1 - To spændingsbånd . . . . . . . . . . 135
13.7 Sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14 Numerisk analyse af fundament 143
14.1 Modellering i Plaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.2 Beregning af sætninger i Plaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
14.3 Beregning af sikkerhedsfaktorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
14.4 Eftervisning af sikkerhed mod bæreevnebrud i brudgrænsetilstanden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
15 Funderings opsummering 153
15.1 Brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
15.2 Anvendelsesgrænsetilstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
16 Konklusion 159
16.1 Vandbygning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
16.2 Fundering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
III Appendiks 161
A Vinddata 163
B Kilde/dræn metoden 165
C Modelforsøg 171
C.1 Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.2 Forsøgsopstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.3 Kalibrering af bølgekraftmåler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.4 Reflektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C.5 Dynamisk forstærkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.6 Linearitetsundersøgelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.7 Transferfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.8 Skalering fra model til fuldskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
vii

Indhold
D Klassifikationsforsøg 187
D.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
D.2 Bestemmelse af geotekniske størrelser . . . . . . . . . . . . . . . 188
D.3 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
E Triaksialforsøg 195
E.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
E.2 Triaksialapparatet og forsøgsudførelse . . . . . . . . . . . . . . . 196
E.3 Resultatbehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
E.4 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
F Cone Penetration Test 211
F.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
F.2 Forudsætninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
F.3 Forsøgsopstilling/Udførelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
F.4 Resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
F.5 Rumvægt- og jordartsbestemmelse . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
F.6 Lejringstæthed og poretal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
F.7 Friktionsvinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
F.8 Constrained modul - Oedometerstivhed . . . . . . . . . . . . . . 221
F.9 Opsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
G Materialemodeller 225
G.1 Mohr-Coulomb modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
G.2 Hardening-Soil modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
H Modellering af triaksialforsøg i Plaxis 231
H.1 Plaxismodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
H.2 Hardening-Soil model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
H.3 Mohr-Coulomb model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
I Plasticitetsteori 243
I.1 Normalitetsbetingelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
I.2 Udrænet brud i kohæsionsjord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
I.3 Drænet brud i friktionsjord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
J Dynamisk modellering 249
Litteratur 253
viii

KAPITEL
1
ttt
Indledning
ttt
1. Indledning
Femer Bælt forbindelsen kom første gang på tale i 1991 i forbindelse med
Øresundsforbindelsen, hvor de første praktiske overvejelser blev gjort. Senere,
i 1992, indgik Danmark og Tyskland i et samarbejde, der skulle danne et
beslutningsgrundlag for en fremtidig bro over Femer Bælt. Broens formål er,
bl.a. sammen med Øresundsbroen, at afkorte transporttiden fra Sjælland og
Sverige til det øvrige Europa, se figur 1.1.
Figur 1.1
Placering af Femer broen.
Først i 1999 udkom der en forundersøgelsesrapport, hvori der er lavet skitseprojekter
af broen, trafikfremskrivninger m.m. Der er i denne lavet fem skitseforslag,
som skulle vælges imellem. Siden er der lavet flere dybdegående
økonomiske og miljøtekniske rapporter om disse projekter, idet regeringen
ønsker at opføre broen:
”...under forudsætning af, at hensyn til miljø og økonomi kan tilgodeses”
1

1. Indledning
[Femer bælt-forbindelsen 1999]
I dag står valget mellem to skitseprojekter. En sænketunnel og en såkaldt
skråstagsbro, som kendes fra bl.a. Øresundsbroen. Begge har dobbeltsporet
jernbane og en firesporet motorvej. Det forventes, at broplanerne skal besluttes
i den nærmeste fremtid, idet byggeriet af broen er planlagt til at starte i 2008
og være færdigt i år ca. 2015 [Trafikministeriet 2004, s. 3].
1.1 Brovalg
Udfra de to skitseforslag vælges det at tage udgangspunkt i skråstagsbroen,
idet den:
”...er billigere, samt at den giver den bedste sikkerhed og tryghed for trafikanterne”
[Trafikministeriet 2004, s. 4]
På figur 1.2 ses et billede af skitseforslaget. Trafikministeriet beskriver broen
således:
2
”Løsningsmodel 3:
Løsningsmodel 3 med skråstagsbro for vej og jernbane har en total længde
på 21.318 m, heraf en 18.568 m lang bro, og er beskrevet herunder:
Skråstagsbro med dobbeltdæk for vej og jernbane. 24,70 m bred kørebane
for 4 vognbaner og 12,10 m bred, dobbeltspors jernbanedæk. Den
3.208 m lange hovedbro indeholder tre 724 m hovedspænd og sidespænd
på 278 m og 240 m. Tilslutningsbroernes længder er 6.000 m (syd) og
9.360 m (nord), alle dragere har 240 m spænd og er enkelte eller dobbelte
kompositkonstruktioner. To separate sejlruter har 700 m vandret og 65 m
lodret frirum i de to yderste hovedspænd, se figur 1.2.”
[Femer bælt-forbindelsen 1999, s. 120]

Figur 1.2
Løsningsforslag 3. Den udvalgte bropille er markeret.
1. Indledning
Ud fra den valgte bro vælges en bropille som detailbehandles mht. laster og
fundering. Det ønskes at projektere en bropille, der står på dybt vand, men der
afgrænses fra at tage udgangspunkt i en af hovedbroens pyloner. Derfor vælges
det, at tage udgangspunkt i bropille nr. 2 fra hovedbroen mod Rødby, N2, se
figur 1.2, da denne er den første der understøtter et brodæk, der spænder over
240 m til hver side. Bropillen er placeret på en vanddybde på 27,5 m, og selve
brokonstruktionen er placeret ca. 65 m over havet. For at kunne dimensionere
fundamentet til bropillen, skal lasterne, der belaster broen, findes. Dette gøres
i de følgende kapitler.
3

Del I
Laster
5

KAPITEL
2
ttt
Laster
ttt
2. Laster
Til bestemmelse af laster på bropillen tages der udgangspunkt i ”Norm for last
på konstruktioner” [DS410 1999]. I DS410 henvises til dokumenter beskrevet
af Vejdirektoratet, og der findes to beskrivende dokumenter om vejbroer:
• ”Vej- og stibroer - Belastnings- og beregningsregler” [Broteknik 2002].
• ”Beregningsregler for eksisterende broers bæreevne” [Bygværker 2002].
Disse er senest revideret (2002), og der er derfor omfattende henvisninger til
”Eurocode 1 - Del 3 - Trafiklast på broer” [DS/ENV1-3 1995]. Den ovenstående
litteratur vil blive brugt til bestemmelse af lasterne på broen.
2.1 Brogruppe
Broen er defineret i brogruppe I, idet det forventes, at broen skal overføre tung,
tæt trafik. Dette betyder, at broen skal dimensioneres for en levetid på 100 år
[Broteknik 2002, s. 12].
2.2 Lastbestemmelse
Følgende belastninger skal bestemmes, for at en dimensionering af fundament
kan udføres.
• Egenvægtsbelastning
• Trafiklast, herunder køretøjer og toge
• Ulykkeslast fra køretøjer, toge og skibe
• Vindlast
7

2. Laster
• Bølgelast
• Islast
• Vandret masselast
Disse laster detailbehandles i de næste kapitler, og bruges senere i lastkombinationer
i anvendelses- og brudgrænsetilstand.
Ovenstående laster er ikke den fulde beskrivelse af de laster, der kan bestemmes
for en bro. Der er nogle laster, som ikke er gældende for brogruppe I, og nogle
som der afgrænses fra. Disse laster ses herunder:
8
• Broer for fodgænger- og cykelstitrafik - Specielle laster
• Broer i Gruppe IV - Specielle laster
• Snelast
• Fastsættelse af værdier for lejefriktion
• Temperaturlast
• Brandlast
• Strømlast

KAPITEL
3
ttt
Egenlast
ttt
3. Egenlast
De karakteristiske værdier bestemmes på grundlag af materialernes specifikke
tyngder og de i projektmaterialet foreskrevne dimensioner [Cowi & International
1999]. Der bruges følgende densiteter for de anvendte materialer, se tabel 3.1.
Materiale Densitet
Stål 7850 kg/m 3
Beton 2500 kg/m 3
Asfalt 1500 kg/m 3
Tabel 3.1
Vægt af benyttede materialer.
3.1 Egenlast fra brodækket
Ud fra skitseprojektets tegninger er dimensioner for de forskellige konstruktionselementer
bestemt. Tykkelsen af stålrammen under broen er skønnet til 3-5 cm.
På figur 3.1 ses de overordnede mål af broens tværsnit og et repræsentativt
udsnit i længderetningen, 24 m.
Figur 3.1
Et repræsentativt udsnit af kørebanesektionen. Mål i mm hvis ikke andet angives [Cowi
& International 1999].
9

3. Egenlast
I tabel 3.2 ses dimensioner og mængder af de enkelte elementer.
Beskrivelse Dimension Mængde Materiale
Slidlag 0,10 m 68,88 m 3 Asfalt
Køreplade 0,45 m 309,96 m 3 Beton
Ballast (beton) 0,20 m 43,20 m 3 Beton
Længdedragere 5 cm 33,60 m 3 Stål
Gitter mellem dragere 3 cm 11,02 m 3 Stål
Bunddrager 5 cm 51,36 m 3 Stål
Topdrager 3 cm 4,41 m 3 Stål
Installationer - 12000 kg
Autoværn - 3600 kg Stål
Tabel 3.2
Overslag for 24 meter brodæk, (repræsentativt udsnit).
Dette giver følgende belastninger, se tabel 3.3.
Totalvægt 1789850 kg/24 m
Vægt 74577 kg/m
Belastning 732 kN/m
Tabel 3.3
Egenvægt af brodækket.
Bropillen understøtter 240 m bro, se figur 3.2, og derfor bliver egenlasten fra
brodækket 175,7 MN.
Figur 3.2
Et repræsentativt udsnit af broen [Cowi & International 1999].
3.2 Egenlast af bropille N2
Egenlasten af bropille N2 findes udfra tre repræsentative tværsnit på bropillen,
se figur 3.3.
10

Figur 3.3
Repræsentative snit i bropillen til bestemmelse af egenlast. Mål i mm.
3. Egenlast
På figur 3.3 ses det, at de tre tværsnitsprofiler ikke er massive. I snit A-A og
snit B-B er der luft i hulrummene, snit C-C opfyldes med sand. I tabel 3.4 er
egenlasten af bropille N2 udregnet.
Tværsnitsareal Højde Egenlast
[m 2 ] [m] [kN]
Snit A − A Beton 31,3 7,50 5757
Snit B − B Beton 28,4 58,67 40932
Snit C − C Beton 67,9 25,50 42480
Snit C − C Sand 150,9 25,50 67938
157107
3.2.1 Reduktion for opdrift
Tabel 3.4
Egenlast af bropille N2.
Egenlasten for bropillen skal reduceres for opdrift, idet at bropillen er placeret
på 27,5 m vand. Opdriften svarende til den fortrængte væskemængde fremgår
af tabel 3.5
11

3. Egenlast
Tværsnitsareal Højde Egenlast
[m 2 ] [m] [kN]
Snit B − B 65,3 2,0 1307
Snit C − C Beton 67,9 25,50 17325
Snit C − C Sand 150,9 25,50 38503
57135
Tabel 3.5
Opdrift af bropille N2 (ρvand = 1020 kg/m 3 ).
3.3 Egenlast af fundamentet
Egenlasten af fundamentet bestemmes senere, idet at fundamentsstørrelsen
varieres under dimensioneringen.
3.4 Samlet egenlast
Den samlede egenlast bestående af egenlast fra brodæk og bropillen samt opdriften
ses i tabel 3.6.
Del Egenlast [MN]
Brodæk 175,7
Bropille 157,1
Opdrift -57,1
275,7
3.5 Vandret masselast
Tabel 3.6
Samlet egenlast.
Vandret masselast er den mindste vandrette last, som broen skal kunne modstå.
Enhver lodret last regnes at kunne give anledning til vandret masselast, idet
begrebet dækker over konstruktions unøjagtigheder og små jordrystelser.
Den vandrette masselast har angrebspunkt i tyngdepunktet for den tilhørende
lodrette last, og skal regnes virkende i vilkårlig retning.
Den foreskrevne værdi af den vandrette masselast er 1,5% af den regningsmæssige
lodrette last [DS410 1999].
Størrelsen af den vandrette masselast beregnes under lastkombinationer, da
alle lodrette laster her er kendte.
12

KAPITEL
4
ttt
Trafiklast
ttt
4. Trafiklast
Trafiklasten kan for denne bro opdeles i to dele, last fra køretøjer og last fra
tog.
4.1 Last fra køretøjer
Til bestemmelse af trafiklasten fra kørertøjer, henviser ”Broteknik” til ”Eurocode
1 - Del 3” [DS/ENV1-3 1995]. I denne er trafiklasten opdelt i seks grupper
som ses herunder:
Gruppe 1: Belastningen omhandler det tilfælde, hvor der på kørerbanen er en jævn
fordelt last.
Gruppe 2: Belastningen omhandler bremse-, accelerations- og centrifugalkræfter.
Gruppe 3: Belastningen omhandler belastninger fra gangsti og cykelsti.
Gruppe 4: Belastningen omhandler personlast.
Gruppe 5: Belastningen omhandler specialkøretøjer.
Gruppe 6: Belastninger omhandler personbiler.
Hver af disse betragtes som en variabel last i lastkombinationerne. Belastningerne
fra gruppe 3, 4 og 6, ses der bort fra idet de er minimale for denne
bro.
I det følgende beregnes belastninger inden for de enkelte grupper og illustrationer
viser hvordan de virker:
13

4. Trafiklast
4.1.1 Gruppe 1
Der skal på en kørebane være en jævnt fordelt fladelast, q1k, på 9 kN/m 2 , og
på de resterende kørerbaner, q2k, skal der være 2,5 kN/m 2 . Udover fladelasten
skal der være tre biler på broen med en aksellast, Q1k på 300 kN, Q2k lig 200
kN og Q3k lig 100 kN [DS/ENV1-3 1995, s. 29].
Qaksel = 2Q1k + 2Q2k + 2Q1k
Qflade = q1k · A1 + q2k · A2
Hvor A1 er arealet af kørebane 1 [m 2 ].
A2 er arealet af de resterende kørebaner [m 2 ].
(4.1)
(4.2)
Disse Belastninger skal dog justeres med henholdsvis αQi lig 1 og αqi lig 0,67
[Broteknik 2002, App. s. 3]. Belastningen Qgr1 beregnes på følgende måde:
Qgr1 = αQi · Qaksel + αqi · Qflade
På figur 4.1 ses belastninger på broen.
4.1.2 Gruppe 2
Figur 4.1
Tværsnit af brokonstruktion med lastgruppe 1, mål i m.
(4.3)
Denne belastning består både af en vertikal og en horisontal belastning. Den
vertikale belastning udregnes efter samme metode som gruppe 1, dog korrigeres
belastningerne ved hjælp af lastkombinationsfaktorer, Ψ, se formel (4.4) og
(4.5) [DS/ENV1-3 1995, Appendiks C].
14
Qaksel,gr2 = Ψ1gr1 · Qaksel,gr1
Qflade,gr2 = Ψ2gr1 · Qflade,gr1
(4.4)
(4.5)

Hvor Ψ1gr1 er 0,40 [-].
Ψ2gr1 er 0,75 [-].
4. Trafiklast
Den horisontale kraft (bremsekraften), Qlk, virker i broens længderetning og
bestemmes ud fra formel (4.6) [DS/ENV1-3 1995, S. 34].
Qlk = 0, 6 · αQ1(2 · Q1k) + 0, 1 · αq1 · q1k · w · L (4.6)
Hvor w er bredden af vejbanen [m].
L er længde af den betragtede brodel [m].
Qlk er begrænset af: 360 · αQ1 kN ≤ Qlk ≤ 800 kN.
Den horisontale kraft kan få et tillæg fra centrifugalkraften, Qtk, men idet
kurverne på broen har en radius større end 1500 m bliver kraften 0 [DS/ENV1-
3 1995, S. 35].
Af figur 4.2 fremgår det, hvordan lasterne påføres broen.
4.1.3 Gruppe 5
Figur 4.2
Tværsnit af brokonstruktion med lastgruppe 2.
Denne belastning består kun af en vertikal last udregnet tilsvarende fremgangsmåden
for gruppe 1, hvor den del af kørebanen, der belastes med den
maksimale belastning, belastes af en række punktlaster i stedet for en fladelast.
Lasten, specialkøretøjet, skal regnes som en klasse 150 belastning. Klasse
150 belastning er 24 punktbelastninger på 21 m, som har en samlet belastning
af 1550 kN [Bygværker 2002, s. 26]. På figur 4.3 ses, hvordan lasten påføres
broen.
15

4. Trafiklast
Figur 4.3
Tværsnit af brokonstruktion med lastgruppe 5, mål i mm.
Som det ses på figuren, skal der 25 m foran og bagved det specielle køretøj
ikke være nogen belastning.
4.1.4 Placering af akseltryk
I gruppe 1 og 5 er der tale om akseltryk, og disse skal placeres, så de belaster
konstruktionen værst muligt. Konstruktionen tænkes konstrueret med
et chanier mellem bropille og vejbane, så den værst tænkelige position for akseltrykkene
er lige oven på bropillen, da de i dette tilfælde giver den maksimale
vertikale last, dette ses på figur 4.4.
Figur 4.4
Et repræsentativt udsnit af broen [Cowi & International 1999].
4.2 Last fra tog
Til bestemmelse af trafiklasten fra tog, henviser ”Broteknik” til ”Eurocode
1 - Del 3” [DS/ENV1-3 1995]. I dette projekt vælges det kun at kigge på
belastning fra ”Load Model 71” idet det vurderes at denne er den værste
[DS/ENV1-3 1995]. ”Load Model 71” består af en vertikal og en horisontal
last.
4.2.1 Vertikal last
Den vertikale last i ”LoadModel71” er baseret på den statiske last af normal
togtrafik. Belastningen ses på figur 4.5.
16

Figur 4.5
Vertikal belastning af sporet.
4. Trafiklast
Idet en længde af broen på 240 m betragtes, bliver den samlede vertikale last
20 MN.
4.2.2 Horisontal last
Samtidig med den vertikale last virker der to horisontale laster langs med
sporet/broen. Den ene er en bremselast, Qlbk, som defineres i formel (4.7).
Qlbk = 20 · L ≤ 6000 kN (4.7)
Hvor L er længden af den betragtede brodel [m].
Den anden last, træklasten, Qlak, defineres ud fra formel (4.8).
Qlak = 33 · L ≤ 1000 kN (4.8)
Til beregning af ovenstående laster bruges en længde på 240 m.
4.3 Opsummering
Last Gruppe Vertikal last Horisontal last langs broen
1 14023 kN 0 kN
Køretøj 2 14835 kN 800 kN
5 18053 kN 0 kN
Tog 19688 kN 5800 kN
Tabel 4.1
Trafiklast på bropillen.
Som endelig trafiklast vælges den gruppe køretøjer der sammen med toglasten
giver den største trafiklast. Disse værdier ses af tabel 4.1 at være køretøjer i
gruppe 2.
17

KAPITEL
5
ttt
Ulykkeslast
ttt
5. Ulykkeslast
På broen findes der tre forskellige typer ulykkeslast, nemlig køretøj, tog og
skib. I det følgende behandles tilfældet med skibsstød, idet denne forventes, at
være den største last.
5.1 Skibslast
Der findes i litteraturen mange beskrivelser af, hvordan den maksimale skibslast
skal bestemmes. Der tages i dette projekt udgangspunkt i de undersøgelser,
der blev udviklet i forbindelse med projekteringen af Storebæltsbroen i 1991.
I samarbejde med "Det Norske Veritas" er der blevet udarbejdet et formelgrundlag
for beregning af den maksimale kraft, der kan komme ved frontal
kollision, se formel (5.1) [Larsen 1993, s. 65].
2 2,6
Pbov = P0 E · L + (5 − L)L 0,5 for E ≥ L 2,6
Pbov = P0 (5 · E · L) 0,5
for E < L 2,6
(5.1)
Hvor Pbov er den maksimale bovlast [MN].
P0 er en reference-last på 210 [MN].
L er Lpp / 275 m [-].
E er Eimp / 1425 MNm [-].
Lpp er skibslængden [m].
Eimp er den kinetiske energi af skibet [MN].
Skibets kinetiske energi beregnes af formel (5.2), og heri indgår både skibets
masse og den hydrodynamiske masse af vandet [Larsen 1993, s. 77].
Eimp = 1
2 (Mv + Mh)v 2
Hvor v er skibets hastighed [m/s].
Mv er massen af skibet [kg].
Mh er hydrodynamisk masse af vandet omkring skibet [kg].
(5.2)
19

5. Ulykkeslast
For dybt vand, i forhold til skibets dybgang, kan den hydrodynamiske masse
regnes ud fra følgende antagelser [Larsen 1993]:
• Mh = 0,05·Mv - 0,10·Mv for kollision med boven af skibet.
• Mh = 0,40·Mv - 0,50·Mv for kollision med siden af skibet.
De dimensionsgivende størrelser er skibets størrelse og hastighed. For at kunne
bestemme dette, skal de skibe, der krydser broen, betragtes. Lasten er beregnet
for skibene i tabel 5.1.
Skib Vægt Hastighed Længde Kraft
Carrier 122000 t 8,2 m/s 275 m 556,1 MN
Tanker 113000 t 8,0 m/s 260 m 514,7 MN
Container 32000 t 11,8 m/s 240 m 430,7 MN
Bulk 27000 t 8,0 m/s 175 m 267,0 MN
Tabel 5.1
Forskellige skibslaster [Larsen 1993].
De beregnede laster er så store, at det vælges, ikke at dimensionere konstruktionen
til at kunne modstå denne last. Dette betyder, at der skal udføres en
separat konstruktion til optagelse af denne last.
Denne konstruktioner kan blandt andet være [Larsen 1993]:
Fendersystem
Der findes flere forskellige former for fendersystemer, men ens for dem alle er,
at de absorberer energien fra skibsstødet ved elastisk og plastisk deformation,
og til sidst ved knusning. Fenderkonstruktionen kan enten påmonteres selve
bropillen, eller det kan være en seperat konstruktion.
Pæleværker
Grupper af pæle bundet sammen med en stiv topkonstruktion kan også betragtes
som et fenderværk, idet at energien kan optages som bøjning i pælene,
hvis det er lodpæle, eller ved sammentrykning og bøjning af skråpælene.
Dolphin
Dolphin bygværker er typisk en rund konstruktion af spunsvægge fyldt op
med knust sten eller beton, og øverst er en betonkappe. Den kan også være
fremstillet af præfabrikerede betonelementer. En Dolphin virker på den måde,
at den under kollision undergår store plastiske flytninger og delvis kollaps,
hvorved energien absorberes.
20

Sandbanker
5. Ulykkeslast
Foran hver bropille kan der etableres sandbanker, således at skibene går på
grund, og derved miste energien, før de rammer bropillen. En ulempe ved
denne løsning er, at bropillen står på dybt vand, og den store mængde sand
der skal til, vil mindske gennemstrømningsarealet, hvilket har betydning for
miljøet.
Flydespæring
En flydespærring er en barriere, der er fastgøres til havbunden med et system
af kabler. Barrieren er fastholdt af bøjer foran bropillen, således at skibene
mister energien, eller gives en ny retning, når de rammer denne.
21

KAPITEL
6
ttt
Vindlast
ttt
6. Vindlast
I "Norm for last på konstruktioner", der som udgangspunkt er gældende for
fastsættelse af vindlast, er der beskrevet to måder at regne vindlasten på:
• Dynamisk
• Kvasistatisk
Der udføres en dynamisk model af bropillen, som har til formål at undersøge,
om denne har en egenfrekvens, der ligger uden for dynamisk virkende lasters
frekvensområde. Er dette tilfældet, kan det på baggrund af resultater fra den
dynamiske model afgøres, om en beregning med kvasistatisk last er acceptabel.
Ligger egenfrekvenserne nær lasternes frekvens, er det nødvendigt at korrigere
lasterne for dynamisk forstærkning.
6.1 Dynamisk vindpåvirkning af broen
Indlægges der et koordinatsystem for bropillen, som vist på figur 6.1, vurderes
det, at laster i x-retningen er mere kritiske end laster i y-retningen, idet
brodækket virker stabiliserende i denne retning. I det følgende betragtes der
således kun laster i x-retningen.
Figur 6.1
Definitionsskitse af koordinatsystem. Mål angiver dimension på skønnet fundament.
23

6. Vindlast
Til udførelsen af beregningerne anvendes en FEM-model programmeret ud fra
skønnede mål på fundamentet. Det antages, at fundamentet består af armeret
beton og sand, ligesom den resterende bropille, med en dybde på 5 m, bredde
på 17 m og en længde på 23,64 m.
6.1.1 Modellering af bropille
På figur 6.2 ses hhv. den skitsemæssige bropille og FEM-modellen bestående
af Bernoulli-Euler bjælker med tre frihedsgrader i hver knude.
Figur 6.2
Den skitsemæssige bropille og den tilnærmede dynamiske model. Skraverede felter i
tværsnittene viser sandopfyldning.
Grundet bropillens form deles den op i fem dele, der hver tildeles materialeparametre
svarende til den enkelte dels gennemsnitlige tværsnit. Under modelleringen
antages det, at brodækkets tværsnit ikke undergår deformationer men kun
flytninger under svingninger. Den øverste del af modellen, dækkende 120 m
brodæk på hver side af bropillen, beskrives derfor ved to uendelig stive bjælkeelementer
samt en horisontal- og en rotationsfjeder, der tilnærmet beskriver
brodækkets påvirkning af bropillen.
Denne antagelse letter beregningerne betragteligt, og antages ikke at påvirke
beregningerne betydeligt. Anvendelsen af uendelig stive elementer kan dog give
problemer under udregningen af egenfrekvensen, og på baggrund heraf gennemføres
en beregning med en alternativ model (model 2) af bropillen uden disse
elementer.
Ved model 2 omregnes brodækket til en punktlast og et masseinertimoment.
Herved fjernes de uendelig stive elementer fra modellen med det resultat, at
24

6. Vindlast
modellen kun går fra fundament til undersiden af brodækket. Punktlasten
findes ved summation af egenvægten over brodækkets højde, h, og masseinertimomentet,
J, findes ved følgende formel [Nielsen 2004, s. 122].
J = 1
· µ · h3
3
Hvor µ er massen pr. længdeenhed [kg/m].
Figur 6.3 viser forskellen mellem de to modeller.
Figur 6.3
Beregningsmodel 1 og 2.
(6.1)
Forskellen findes kun i modelleringen af brodækket, idet broens påvirkninger af
bropillen i model 2 summeres i et punkt. Dette bevirker, at de to fjedre fra del
1 flyttes til den nye ”topknude”, hvilket giver horisontal- og rotationsfjederen
en excentricitet i forhold til deres virkelige virkepunkt i brodækkets midte.
Da de to modeller er ens, i det meste af opbygningen, beskrives fjedre og deres
implementering i modellen kun detaljeret for model 1.
6.1.2 Materialeparametre for dynamisk model
I tabel 6.1 ses de materialeparametre, der tilknyttes de enkelte dele af modellen.
Dynamisk model Del 1 Del 2 Del 3 Del 4 Del 5
Antal elementer 2 1 8 3 1
E [MPa] Stål Beton ∗ Beton ∗ Beton ∗ Beton ∗
A [m 2 ] 1,00 31,30 28,45 67,93 175,31
I [m 4 ] ∞ 664,79 541,06 2.952,36 8.259,50
µ [kg/m] 1.129.200 76.763 67.583 218.363 492.269
Tabel 6.1
Materialeparametre for den dynamiske models inddelinger. ∗ Armeret beton [Lars Andersen,
2005].
De anvendte elasticitetsmoduler fremgår af tabel 6.2, hvor egenskaber for sandlaget
er bestemt i appendiks 11, og forskydningsmodulen er beregnet, som vist
i tabel 6.2.
25

6. Vindlast
Materiale Elasticitetsmodul Poissons forhold Forskydningsmodul
Betegnelse Emateriale [MPa] νmateriale [-] Gmateriale = Emateriale
2(1+νmateriale) [MPa]
Stål 210 · 10 3 0,31 8,08·10 4
Armeret beton 25 · 10 3 - -
Sand 23 0,30 8,78
Tabel 6.2
Materialeparametre for anvendte materialer. I beregninger vil det anvendte materiales
navn blive indsat efter materialeparameteren.
Ud fra tværsnitstegningen af broen er inertimomenterne, Ix og Iz, beregnet, og
rotationsinertimomentet, Ir, findes ved følgende formel. Alle inertimomenter
for brodækket fremgår af tabel 6.3.
Ir = I 2 x + I2 z
Ix [m 4 ] 36,66
Iz [m 4 ] 51,65
Ir [m 4 ] 63,34
Tabel 6.3
Inertimomenter for brodæk.
6.1.3 Fjeder og hydrodynamisk masse
Ved at tilføje hhv. fjedre og hydrodynamisk masse opnås en tilnærmet model
af den virkelige bropille. Disse påvirkninger tilføjes i diagonalen for enten
den globale stivheds- eller massematrice, da dette virker som påvirkning fra
en fast understøtning. Fjedrene, der beskriver brodækkets virkning, beregnes
ved simpel bjælketeori, se figur 6.4, mens materialeparametre til beregning af
fjedre for understøtningen og hydrodynamisk masse bestemmes henholdsvis
eksperimentelt, appendiks E, og ved en numerisk beregning med programmet
ShipSim. Da bropillen er en del af hele broen, resulterer dette i en rotationsog
horisontalfjeder fra den resterende del. Det antages, at broen halvvejs til de
nærliggende bropiller fungerer som en indspændt bjælke, se figur 6.4.
26

Figur 6.4
Tv: Broen udsat for flytning ortogonalt på bro. Th: Ækvivalent fjedersystem.
6. Vindlast
Fjederkonstanten kan beskrives ved brodækkets stivhed, hvilket kan beregnes
ved en flytning i den fjerde frihedsgrad for modellen, se figur 6.5.
Figur 6.5
Globale frihedsgrader for del 1, hvortil
der omregnes fra lokale ved transformationsmatrice.
Figur 6.6
Lokale frihedsgrader, hvortil formfunktionerne
er bestemt.
For at finde bøjningsstivheden fra de to brodæk, k1 jf. figur 6.3, anvendes
formfunktion N5 eller N2, der, jf. figur 6.6, anvendes for bøjningsstivhed.
Formfunktionerne for de lokale frihedsgrader ses i appendiks J, og fjederkonstanten,
beskrivende bøjningsstivheden, findes ved formel 6.2 [Nielsen 2004, s.
153].
kj =
l
0
EI d2 N T y
dx 2
d 2 Ny
dx 2
dx (6.2)
27

6. Vindlast
Den samlede stivhed fra udbøjning af brodækket findes.
k1 = 2 ·
l
2
0
k1 = 1, 51 · 10 8
Estål · Iz
d 2 N5(x)
N/m
dx 2
2
dx = 12 Estål · Iz
l 3
Efter assemblering af den globale stivhedsmatrice lægges denne fjederstivhed
til i stivhedsmatricens diagonal på den fjerde frihedsgrad.
Brodækket virker ligeledes som en rotationsfjeder, der modvirker rotationen
fra lodret. Fjederen er placeret i den anden knude, der er skitseret på figur
6.3. Rotationsfjederen er virkende i den sjette frihedsgrad, jf. figur 6.5, og kan
findes direkte ved anvendelse af udtryk i appendiks J. Uanset om der regnes for
2 halve brodele eller en samlet på 240m, er resultatet det samme. Da der regnes
rotation, anvendes forskydningsmodulen og rotationsinertimoment i stedet for
elasticitetsmodulen og inertimomentet.
r1 = 2 · 4
· Gstål · Ir
l
2
r1 = 3, 41 · 10 11
N· m
Den vertikale fjeder ved fundamentet, k2, findes ved anvendelsen af "Det Norske
Veritas", der først kræver en omregning fra det kvadratiske fundament til et
cirkulært. Radius for det arealækvivalente cirkulære fundament findes ved følgende
formel.
lfbf
rf =
π
rf = 11, 31 m
Den vertikale stivhed, k2, bestemmes til følgende [Det Norske Veritas. 1992, s.
43].
k2 = 4 · Gsand · rf
1 − νsand
k2 = 5, 76 · 10 8
N/m
Rotationsfjederen, der udgør fundamentets modstand mod drejning om en yakse
i modellens nederste knude, findes ligeledes den vertikale fjeder ved anvendelse
af "Det Norske Veritas" [Det Norske Veritas. 1992, s. 43].
r2 = 8 · Gsand · r 3 f
3(1 − νsand)
r2 = 4, 91 · 10 10
N· m
Den hydrodynamiske masse, stammende fra det fortrængte vand ved en flytning,
findes i ShipSim, og fordeles som vist på figur 6.2 på elementerne under
28

6. Vindlast
MVS, ved at omregne fladelasten til punktlaster, se tabel 6.4. Den ekstra masse
tillægges i følgende frihedsgrader for x-retningen i den globale massematrice.
Knude Frihedsgrad Hydrodynamisk masse [kg]
12 34 69.773,0
13 37 94.891,0
14 40 94.891,0
15 43 47.445,0
Tabel 6.4
Hydrodynamisk masse for knuder under MVS.
I den nederste knude tillægges en ekstra masse i de frihedsgrader, hvor fjedrene
for fundamentet virker. Den vertikale virker i q47 og rotationsfjederen i q48,
begge frihedsgrader tilhørende knude 16 jf. figur 6.2. Denne masse skal ikke ses
som en fysisk masse i bevægelse med fundamentet, men mere som metode til
at simulere en formindskelse af stivheden af sandet under fundamentet i takt
med højere frekvenser [Det Norske Veritas. 1992, s. 42].
Ekstra masse for vertikal bevægelse ved FUK.
m47 = 1.08 · ρ · r3 f
1 − νsand
m47 = 1, 79 · 10 6
kg
Ekstra masse for roterende bevægelse om y-akse i FUK.
m48 = 0.64 · ρ · r5 f
1 − νsand
m48 = 1, 35 · 10 8
kg·m 2
Hvor ρ er sandets reducerede rumvægt sat til 800 [kg/m 3 ].
For model 2 findes den samlede masse for broen, M, der lægges til i de to
første frihedsgrader, se figur 6.3.
M = 15, 56 · µ1 = 17.570.000 kg
Masseinertimomentet, fra denne samling af massen, lægges til den tredje frihedsgrad
i den første knude i model 2, og bestemmes ved formel (6.1).
J = 1
3 · µ1 · 15, 56 3 = 1, 42 · 10 9
kg · m 2
29

6. Vindlast
6.1.4 Egenfrekvens for skitsemodel
Ved anvendelse af formel (J.6) findes de laveste egenfrekvenser. De fem laveste
ses i tabel 6.5, der omfatter både den model 1 og 2.
Egenfrekvens - model 1 [Hz] 0,47 0,65 2,35 3,12 7,50
Egenfrekvens - model 2 [Hz] 0,47 0,66 2,38 5,39 6,23
Retning: Model 1/Model 2 x/x z/z x/x z/x x/z
Tabel 6.5
De fem laveste egensvingninger for modellerne.
Beregninger for den ene model med det dobbelte antal elementer pr. del giver
kun minimale forbedringer af resultatet, hvorfor det vurderes, at den anvendte
diskretisering er tilstrækkelig.
Ud fra beregningerne findes den laveste egenfrekvens for x-retningen til 0.47
Hz. Det fremgår af tabellen, at en del af egenfrekvenserne er for en bevægelse i
z-retningen. Dette kunne sammenholdes med frekvensen fra trafikken på broen,
hvilket der er afgrænset fra.
Beregninger for de to modeller viser en forskel i laveste egenfrekvens, der antages
at være den farligste, på under 1 procent for x-retningen. Anvendelse
af uendeligt stive elementer påvirker således ikke resultaterne i større grad,
hvorfor modellen med den rigtige højde antages at være mest realistisk. Dette
skyldes, at denne model er mest præcis med hensyn til placering af fjedre,
og forskelle i de højere egenfrekvenser, antages at skyldes excentriciteten af
broens fjedervirkning.
På figur 6.7 til 6.10 vises resultater fra den model 1. Der vises de tre laveste
egensvingningsformer og egenfrekvenser for x-retningen samt den første egenfrekvens
for z-retningen.
y [m]
70
60
50
40
30
20
10
0
−10
−20
Egensvingningsform og frekvens
−30
−80 −60 −40 −20 0 20 40
x [m]
30
Figur 6.7
Laveste egensvingningsform skaleret
med 10 5 og egenfrekvens på 0,47 Hz i
x-retningen. ∗ repræsenterer knuder i
den udeformeret model og ◦ knuder i
den deformerede model.
y [m]
60
40
20
0
−20
−40
Egensvingningsform og frekvens
−80 −60 −40 −20 0
x [m]
20 40 60 80
Figur 6.8
Laveste egensvingningsform skaleret
med 10 5 og egenfrekvens på 0,65 Hz i
z-retningen. ∗ repræsenterer knuder i
den udeformeret model og ◦ knuder i
den deformerede model.

y [m]
70
60
50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
Egensvingningsform og frekvens
−40 −20 0 20
x [m]
40 60 80
Figur 6.9
Anden laveste egensvingningsform
skaleret med 10 5 og egenfrekvens på
2,35 Hz i x-retningen. ∗ repræsenterer
knuder i den udeformeret model og ◦
knuder i den deformerede model.
y [m]
70
60
50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
Egensvingningsform og frekvens
6. Vindlast
−60 −40 −20 0 20 40 60
x [m]
Figur 6.10
Tredje laveste egensvingningsform
skaleret med 10 5 og egenfrekvens på
7,50 Hz i x-retningen. ∗ repræsenterer
knuder i den udeformeret model og ◦
knuder i den deformerede model.
Idet broens egenfrekvens ligger uden for vindens energispektrum, se figur 6.11
og 6.12, forventes at der ikke vil forekomme dynamisk forstærkning af væsentlig
betydning, og derfor afgrænses der fra at beregne dynamisk vindlast.
Figur 6.11
Variansspektre for vind, lineær afbildning
[Brorsen 2003].
Figur 6.12
Variansspektre for vind, logaritmisk
afbildning [Brorsen 2003].
6.2 Kvasistatisk vindpåvirkning af broen
For at kunne bestemme vindbelastningerne på bropillen/brofundamentet foretages
et overslag over vindbelastningen på brodækket. Da der ikke foretages
styrkeberegninger på selve vejbroen, bestemmes vindtrykkets fordeling på forog
bagside af brokassen ikke, og der bestemmes alene vindtrykkets resulterende
belastning pr. løbende meter bro. Vindlasten beregnes som kvasistatisk respons,
og forudsætningerne for bestemmelse af vindlasten er følgende:
Basisvindhastighed, vb = 24 m/s
Basishastighedstrykket, qb = 0,36 kPa
31

6. Vindlast
Terrænkategori I, ct = 1, kt = 0,17, z0 = 0,01 m
Gitterkonstruktion, kp = 3,5
Den resulterende vindbelastning på konstruktionen ønskes bestemt, og derfor
anvendes cf = 2 [-], da gitterkonstruktionen er opbygget i skarpkantede profiler.
Den resulterende vindbelastning på broen bestemmes af vindtrykket beregnet
midt mellem over- og underkant af broen, da variationen af vindtrykket er
næsten lineært over broens højde. På figur 6.13 ses variationen af vindtrykket
fra underkant til overkant af broen, bestemt ved udtrykkene angivet i ”Norm
for last på konstruktioner” [DS410 1999, s. 30-43, 63].
Vindtryk [N/m 2 ]
3000
2980
2960
2940
2920
2900
2880
2860
64 66 68 70 72 74 76 78 80
Højde over havoverflade [m]
Figur 6.13
Vertikal vindtryksvariation på broen.
Figur 6.14
Variationen af vindtrykket på broen.
Det vurderes, at broen har et effektivt areal Aref = 7,5 m 2 /m i broens længderetning,
samt at broen er 15 m høj. Vindlasten bestemmes 70 meter over
havet, og herved bestemmes vindlasten til 21,9 kN/m i broens længderetning.
Dette svarer til en totalbelastning fra vinden på broen på 5,26 MN pr. 240
meter.
32

KAPITEL
7
ttt
Bølgelast
ttt
7. Bølgelast
I det følgende bestemmes lasten fra bølger på konstruktionen. Da der for
lokaliteten ikke haves bølgedata, beregnes bølgehøjderne, Hm0, udfra vinddata,
der er observeret på nærtliggende lokaliteter. De beregnede bølgedata
omsættes til et bølgespektrum, som igen omsættes til kraft på konstruktionen.
7.1 Bestemmelse af bølgehøjde ud fra vinddata
Til bestemmelsen af bølgehøjderne på lokaliteten benyttes der vinddata opsamlet
gennem 30 år [Frydendahl 1971]. Der benyttes data fra to målestationer.
Vest for lokaliteten ligger Keldsnor fyr og øst for ligger Gedser fyr, se figur 7.1.
Det Norske Veritas.
Figur 7.1
Oversigtskort hvor Keldsnor, 12400, og Gedser, 18700, målestation er markeret
[Frydendahl 1971].
Det er observationerne fra disse to fyr, der ligger til grund for bestemmelsen
N
33

7. Bølgelast
af bølgehøjden. De vinddata, der benyttes i beregningerne, opgives som den
procentdel af tiden, hvor det blæser fra en bestemt retning med en bestemt
hastighed, se tabel 7.1. Ud fra disse data kan der optegnes en fordelingskurve
for hver retning. På figur 7.2 ses hastighedsfordelingen for østlig retning ved
Keldsnor fyr, og denne retning benyttes som beregningseksempel i det følgende.
Denne hastighedsfordeling kan omsættes til en kurve, der viser underskridelsessandsynligheden,
ved at summere den procentdel af tiden det blæser med en
given hastighed startende med den største hastighed.
Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9
m/s 0-1,5 -3,3 -5,4 -7,9 -10,7 -13,8 -17,1 -20,7 -24,4
% 1,2 2,0 2,5 1,9 1,3 0,8 0,5 0,2 0 Normeret 0,12 0,19 0,24 0,18 0,13 0,07 0,05 0,02 0
10,4
1,0
F 0,12 0,31 0,55 0,73 0,86 0,93 0,98 1 -
Tabel 7.1
Årlig vinddata for østlig retning ved Keldsnor fyr hvor F er underskridelsessandsynligheden.
På figur 7.3 er kurven for underskridelsessandsynligheden optegnet for vindfordelingen,
der ses på figur 7.2.
30 %
25 %
20 %
15 %
10 %
5 %
0
0 5 10 15 20 25
Vindhastighed [m/s]
Figur 7.2
Normeret hastighedsfordeling for østlig
retning ved Keldsnor fyr.
Underskridelses−
sandsynlighed F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Vindhastighed [m/s]
Figur 7.3
Underskridelsessandsynlighed for østlig
retning ved Keldsnor fyr.
Før det er muligt at omsætte vindhastighederne til bølgehøjder, skal vindhastigheden
korrigeres for det frie stræk.
7.1.1 Korrektion af vindhastighed ved SPM-metoden
Det frie stræk er defineret som afstanden fra punktet, bropillen, op mod vinden
til kystlinien. Der benyttes ofte middelværdien af 9 radialer med en indbyrdes
vinkel på 3 ◦ , idet vindretningen har betydning for bølgehøjden. I tabel 7.2
angives middelværdien af det frie stræk for de pågældende retninger.
34

7. Bølgelast
Retning N NØ Ø SØ S SV V NV
Frit stræk FS [km] 10,8 7 74 63,4 35,3 10,9 76,9 34,5
Tabel 7.2
Frit stræk fra bropillen målt på søkort [Søkort Østersøen 1980].
Det frie stræk benyttes til beregning af den vindhastighed, der giver fuldt
udviklet søtilstand, hvilket er den tilstand, hvor der er balance mellem energitilførslen
fra vinden og energitabet i bølgerne. Dette resulterer i, at vindhastigheden
reduceres ved SPM-metoden, Shore Protection Manual, som vist i
det følgende [[Liu & Frigaard 2001, s. 27-33] [Hurdle & Stive 1988, s. 340-343]].
Først bestemmes den nødvendige varighed af stormen, der giver fuldt udviklet
søtilstand, hvilket gøres ved først at bestemme wind-stress faktoren, UA, udfra
den kendte middelvindhastighed over 10 min.
UA = 0, 71 · (Ut) 1,23
Hvor Ut er middelhastigheden over t sekunder 10 m over
vandoverfladen [m/s].
(7.1)
Den nødvendige varighed af stormen, tnød, bestemmes ud fra det frie stræk og
wind-stress faktoren.
g · FS
tnød = 65, 9 ·
U 2 A
2/3
· UA
g
Hvor FS er det frie stræk [m].
UA er wind-stress faktoren [-].
(7.2)
Vindhastigheden, som i første omgang angives som middelhastigheden over 10
min., omregnes til en storm med en varighed på en time, hvilket gøres ved
følgende udtryk:
U3600 =
U3600 =
Ut
1, 277 + 0, 296 · tanh 0, 9 · log 10( 45
t )
Ut
−0, 15 · log 10(t) + 1, 5334
Hvor Ut er middelvindhastigheden over t sekunder [m/s].
t er varigheden af stormen [s].
for t < 3600
for t > 3600
(7.3)
Udfra middelvindhastigheden over en time kan middelhastigheden over den
beregnede varighed af stormen, tnød, beregnes ved følgende udtryk:
35

7. Bølgelast
45
Unød = U3600 · 1,277 + 0,296 · tanh 0,9 · log10 tnød
for t < 3600
Unød = U3600 · (−0,15 · log 10(tnød) + 1,5334) for t > 3600
(7.4)
Den nødvendige vindhastighed, Unød, med varigheden, tnød, indsættes derefter
i formel (7.1) til (7.4), hvor Unød sættes til Ut, og tnød sættes til t. Denne
procedure gentages, indtil varigheden af stormen konvergerer mod en konstant
værdi.
Vindhastigheden, svarende til den varighed hvor der netop er fuldt udviklet
søtilstand, er således bestemt. Denne vindhastighed antages, at have samme
underskridelsessandsynlighed som middelhastigheden over 10 min., hvilket fremgår
af tabel 7.3.
Underskridelsessandsynlighed
F
0,12 0,31 0,55 0,73 0,86 0,93 0,98 1
Middelhastighed [m/s] 1,5 3,3 5,4 7,9 10,7 13,8 17,1 20,7
over 10 min.
Middelhastighed [m/s] 1,2 2,6 4,4 6,5 8,9 11,6 14,4 17,6
over tnød min.
Nødvendig
varighed tnød
[min] 930 680 552 470 413 371 339 312
Tabel 7.3
Middelhastigheden beregnet ud fra varigheden af stormen og dermed det frie stræk fra
østlig retning.
For vind fra østlig retning ved Keldsnor fyr med et frit stræk på 74 km.,
ses det på figur 7.4, at de korrigerede vindhastigheder reduceres i forhold til
vindhastighederne på figur 7.3, da der tages hensyn til det frie stræk.
36
Underskridelses−
sandsynlighed F(x)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 5 10 15 20
Vindhastighed [m/s]
Figur 7.4
Underskridelsessandsynlighed for vind fra østlig retning ved Keldsnor fyr.
(- - -) svarende til figur 7.3, (—–) vindhastigheden korrigeret for et frit stræk på 74
km.

7.1.2 Vindhastighed til bølgehøjde
7. Bølgelast
Til omregning fra vindhastighed til bølgehøjde, Hm0, benyttes formel (7.5),
der er gældende for alle vanddybder [Hurdle & Stive 1988, s. 346].
0,75
h · g
Hm0 = 0, 25 · tanh 0, 6 ·
· tanh 0,5
⎛
⎝ 4, 3 · 10−5 F ·g
· U2 ⎞
A
U 2 A
Hvor h er vanddybden [m].
g er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ].
U 2 A
tanh 2
tanh 3
0, 6 · ( h·g
U2 )
A
0,75
0, 76 · ( h·g
U2 )
A
0,375
⎠ · U2 A
g
(7.5)
Til bølgehøjden, Hm0 er der knyttet en peakperiode, Tp, der beregnes ved
formel (7.6).
0,375
h · g
Tp = 8, 3 · tanh 0, 76 ·
· tanh 1/3
⎛
4, 1 · 10
⎝
−5 F ·g
· U2 ⎞
A ⎠
· UA
g
(7.6)
Underskridelsessandsynligheden for bølgehøjden, Hm0, ses på figur 7.5, hvor
der til alle sandsynligheder og dermed også alle bølgehøjder, er knyttet en
peakperiode, som beregnes udfra formel (7.6). I tabel 7.4 ses de beregnede
værdier.
Underskridelses−
sandsynlighed F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Bølgehøjde H m0 [m]
Figur 7.5
Underskridelsessandsynlighed for bølgehøjden (Hm0) for østlig retning ved Keldsnor fyr.
Underskridelsessandsynlighed F 0,12 0,31 0,55 0,73 0,86 0,93 0,98
Bølgehøjden Hm0 [m] 0,02 0,14 0,47 0,95 1,45 2,01 2,62
Peakperioden Tp [s] 0,73 1,98 3,51 4,72 5,55 6,25 6,87
Tabel 7.4
Beregnede værdier af Hm0 og Tp med tilhørende underskridelsessandsynlighed.
Udfra placeringen af Femer Bælt broen kan det ses, se figur 7.1, at de to
hovedretninger er øst og vest, hvilket også fremgår af de frie stræk, tabel 7.2.
37

7. Bølgelast
Betragtes samtidigt placeringen af observationspunkterne i forhold til broen
vurderes det, at vind fra vest ved Keldsnor fyr og vind fra øst ved Gedser
fyr repræsenterer forholdende bedst muligt. Sandsynligheden for vind fra vest,
PV est, ved Keldsnor fyr er 14%, mens sandsynligheden for vind fra øst, PØst,
ved Gedser fyr er 22%, se evt. appendiks A. Den samlede sandsynlighed for
disse 2 retninger beregnes ved følgende formel.
P (H < H ∗ |Øst + V est) = P (H < H ∗ |Øst) · PØst + P (H < H ∗ |V est) · PV est
Disse to retninger vægtes med sandsynligheden for vind fra denne retning,
samtidigt med at disse to retninger tilsammen normeres til 1. Normeringsfaktoren
for henholdsvis Keldsnor og Gedser bliver således 14 22 og . Den samlede
36 36
underskridelsessandsynlighed fremgår af tabel 7.5 og figur 7.6.
Hm0 0 0,02 0,14 0,47 0,95 1,45 2,01 2,62
PKeldsnor (H < Hm0|V est) 0 0,10 0,24 0,46 0,66 0,83 0,94 0,99
PGedser (H < Hm0|Øst) 0 0,10 0,28 0,54 0,74 0,87 0,95 0,99
PKeldsnor,V est (H < Hm0|V est) · PV est 0 0,01 0,03 0,06 0,09 0,12 0,13 0,14
P Gedser,Øst (H < Hm0|Øst) · P Øst 0 0,02 0,06 0,12 0,16 0,19 0,21 0,22
Normeret 14/36 · PKeldsnor,V est 0 0,04 0,09 0,18 0,26 0,32 0,36 0,38
Normeret 22/36 · P Gedser,Øst 0 0,06 0,17 0,33 0,45 0,53 0,58 0,60
Samlet P (H < Hm0|Øst + V est) 0 0,10 0,26 0,51 0,71 0,86 0,95 0,99
Tabel 7.5
Underskridelsessandsynlighed for bølgehøjden Hm0 for vest og øst ved vægtet gennemsnit
(PV est=0,14, PØst=0,22).
Underskridelses−
sandsynlighed F(x)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Keldsnor (Vest)
Gedser (Øst)
Samlet (Keldsnor+Gedser)
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Bølgehøjde H m0 [m]
Figur 7.6
Underskridelsessandsynlighed for bølgehøjden, Hm0, for henholdsvis vest ved Keldsnor,
øst ved Gedser og samlet.
7.1.3 Weibull fordeling
Det vælges, at fitte en Weibull fordeling til den beregnede fordelingsfunktionen
for bølgehøjderne, da denne ofte passer på vind- og bølgefordelinger. Ud fra
38

7. Bølgelast
Weibull fordelingen er det muligt, at beregne bølgehøjden med en given returperiode.
Weibull fordelingen er givet ved formel (7.7) [Liu & Frigaard 2001,
s. 44].
x−B
F(x) = 1 − e
−( A ) k
Ved at linearisere fordelingen kan den skrives som følgende:
x = A · y + B
Hvor y er den reducerede variabel, som for en Weibull fordeling
er −ln(1 − F) (1/k) [-].
x er bølgehøjden Hm0 [m].
Til beregning af koefficienterne A og B benyttes følgende udtryk:
A =
Cov(y, x)
Var(y)
B = −
X − A · −
Y
Hvor Cov er covariansen af den reducerede variabel, y,
og bølgehøjden, x, givet ved formel (7.8) [-].
Var er variationskoefficienten af den reducerede variabel, y,
givet ved formel (7.9) [-].
−
X er middelværdien af bølgehøjden, x, givet ved 1
n
xi [m].
n
−
Y er middelværdien af den reducerede variabel, y,
givet ved 1
n
yi [-].
n
i=1
yi er den reducerede variabel, som er −ln(1 − F) (1/k) [-].
Covariansen og variansen bestemmes udfra formel (7.8) og (7.9).
Cov(y, x) = 1
n
Var(y) = 1
n
n
i=1
n
i=1
yi − −
Y xi − −
X
yi − −
Y 2
i=1
(7.7)
(7.8)
(7.9)
For at bestemme koefficienten, k, der indgår i formel (7.7), beregnes korrelationskoefficienten,
R, og denne maksimeres for at opnå bedst sammenhæng
mellem den estimerede kurve og de kendte bølgehøjder.
R =
Cov(Y, y)
Var(Y ) · Var(y)
39

7. Bølgelast
Hvor Y udregnes på følgende måde:
Y = x B
−
A A
På figur 7.7 ses, hvorledes Weibull fordelingen tilpasses til de kendte bølgehøjder.
På figur 7.8 ses variationen af korrelationskoefficienten afhængig af
k-værdien, hvorved k bestemmes til 1,23 ud fra ønsket om størst mulig korrelation.
De beregnede værdier af A, B og k ses i tabel 7.6.
A B k
0,86 -0,10 1,23
Tabel 7.6
Beregnede Weibull koefficienter.
Denne k-værdi indgår i den reducerede variabel, der er ordinaten på figur 7.7.
(−ln(1−F)) (1/k)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
H m0 [m]
Figur 7.7
Tilpasning af Weibull fordeling til bølgehøjderne,
Hm0, bestemt ved korrelationskoefficienten,
k = 1,23.
Korrelationskoeficient R
1
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9
0.88
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Figur 7.8
Variationen af korrelationskoefficienten
mht. k.
Alternativt til korrelationskoefficienten kan den middel relative fejl, E, benyttes
til at bestemme k. Middel relativ fejl beskriver fejlen i % mellem det estimerede
udtryk, xestimeret, og de beregnede værdier af bølgehøjden, xobserveret. Middel
relativ fejl, E, beregnes ved formel (7.10) [Liu & Frigaard 2001, s. 51].
E = 1
n
n
i=1
|xi,estimeret − xi,observeret|
xi,observeret
k
(7.10)
Ud fra middel relativ fejl vurderes præcision af det fittede udtryk, idet E angiver
den gennemsnitlige afvigelse mellem estimerede og observerede bølgehøjder
med en procentdel. For k-værdien bestemt ved den maksimale korrelationskoefficient
bestemmes middel relativ fejlen til 31% og den minimale relative fejl
bestemmes til 17% for en k-værdi på 1,44.
40

(−ln(1−F)) (1/k)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
H m0 [m]
Figur 7.9
Tilpasning af Weibull fordeling til bølgehøjderne,
Hm0, bestemt ved middel
relativ fejl, k = 1,44.
Middel relativ fejl E
300 %
250 %
200 %
150 %
100 %
50 %
7. Bølgelast
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Figur 7.10
Variationen af middel relativ fejl mht.
k.
Dette giver en afvigelse på 0,21 af k-værdien, afhængig af om den beregnes med
korrelationskoefficienten eller middel relativ fejl. Denne afvigelse vurderes ikke
at være af særlig betydning, og i de følgende beregninger benyttes k-værdien
beregnet ved korrelationskoefficienten.
A-, B- og k-værdierne er nu tilpasset underskridelsessandsynligheden for bølgehøjderne,
Hm0, hvorefter det er muligt at bestemme en forventet bølgehøjde,
Hm0, med en bestemt returperiode. Dette gøres ved følgende udtryk [Liu &
Frigaard 2001, s. 52]:
x T 1/k 1
= A −ln + B (7.11)
λ · T
Hvor x T er bølgehøjden med T års returperiode [m].
T er returperioden [år].
λ er målingsintensiteten bestemt ved Antal data
Antal observationsår [1/år].
Målingsintensiteten bestemmes ud fra antallet af observationer på de forskellige
lokaliteter, som vægtes med hyppigheden af vind fra den pågældende retning,
se tabel 7.7.
Observationer FRetning Antal dataRetning
Keldsnor 54769 22 % 12049
Gedser 54790 14 % 7671
Samlet - - 19720
Tabel 7.7
Antal observerede data fra den givne retning på lokaliteten over 30 år.
Målingsintensiten bestemmes udfra de 19720 målinger, der er foretaget ved
Keldsnor og Gedser fyr over 30 år. På figur 7.11 ses de beregnede bølgehøjder
med tilhørende returperioder, samt bølgehøjde og returperiode estimeret ud
fra Weibull fordelingen, se formel (7.11).
k
41

7. Bølgelast
Bølgehøjde H m0 [m]
7
6
5
4
3
2
1
10 −3
0
10 −2
10 −1
10 0
10 1
Returperiode [år]
Figur 7.11
Bølgehøjder, Hm0, og returperioder fremskrevet udfra Weibull fordeling (λ = 657).
Som tidligere beregnet er der til alle bølgehøjder en tilhørende periodetid.
Ifølge ”Norm for pælefunderede offshore stålkonstruktioner” skal periodetiden
bestemmes inden for intervallet givet ved formel (7.12), hvilket skyldes, at der
anvendes langtidsvindstatistikker til fastsættelse af ekstremlaster [DS449 1983,
s. 22].
Tmin =
Tmax =
130 · Hm0
g
280 · Hm0
g
10 2
10 3
(7.12)
På figur 7.12 ses intervallet for bølgeperioden, hvor bølgehøjden fremgår af
figur 7.11. På figuren ses ligeledes den i formel (7.6) beregnede peakperiode.
Perioden skal vælges indenfor intervallet, således at kraften på konstruktionen
bliver størst mulig.
Bølgeperiode T [s]
14
12
10
8
6
4
2
10 −3
0
10 −2
T max
10 −1
10 0
Returperiode [år]
Figur 7.12
Periodetider for bølger med kendt returperiode. (- - -) periodetider bestemt ved DS 449,
(—) peakperiode bestemt ved formel (7.6).
Dette resulterer i, at forskellige returperioder giver forskellige bølgehøjder og
tilhørende periodetider, hvilket fremgår af tabel 7.8.
42
10 1
T min
10 2

7. Bølgelast
Returperiode [år] 1 50 100 200 300 400 500
Hm0 [m] 3,83 5,67 5,98 6,29 6,47 6,59 6,69
Tp,min [sek] 7,13 8,67 8,90 9,13 9,26 9,35 9,42
Tp,max [sek] 10,46 12,72 13,07 13,40 13,59 13,72 13,82
Tabel 7.8
Bølgehøjder og perioder for øst- og vestlig retning.
Herefter bestemmes sandsynligheden for, at en bølgehøjde, bestemt for en
given returperiode, ikke overskrides i konstruktionens levetid på 100 år, jf.
kapitel 2. Dette gøres ved følgende formel [Liu & Frigaard 2001, s. 41]:
P = 1 − (1 − 1
T )L
Hvor P er sandsynligheden for at bølgehøjden ikke overskrides [-].
T er returperioden [år].
L er levetiden af konstruktionen [år].
Returperiode [år] 1 50 100 200 300 400 500
P 1 0,87 0,63 0,39 0,28 0,22 0,18
Tabel 7.9
Sandsynligheden for at bølgehøjden med den givne returperiode ikke overskrides.
(7.13)
Ud fra de givne sandsynligheder vurderes det, at konstruktionen skal dimensioneres
for en bølge med en returperiode på 400 år, idet sandsynligheden for
at denne ikke overskrides er 22%, hvilket vurderes at være en acceptabel risiko.
Grunden til at denne risiko vurderes at være acceptabel er, at der ved dimensioneringen
regnes med partialkoefficienter, hvilket resulterer i, at den reelle
risiko er meget lavere.
Dette resulterer i, at konstruktionen skal dimensioneres ud fra følgende:
Bølgehøjde Periodetid
Hm0 [m] Tmin [s] Tmax [s]
6,59 9,35 13,72
Tabel 7.10
Bølgehøjde og periode til dimensionering.
I det følgende bestemmes den maksimale bølgekraft på bropillen samt kraftens
angrebspunkt. Til bestemmelse af bølgekraften anvendes 1. ordens bølgeteori,
og der beregnes et variansspektrum til bestemmelse af uregelmæssige bølger.
De vindgenererede bølger ved Femer Bælt er frit-stræk begrænsede, hvorfor
et JONSWAP spektrum vælges til bestemmelse af uregelmæssige bølger. Bølgehøjden,
Hs, der benyttes i JONSWAP sættes lig bølgehøjden, Hm0, idet
43

7. Bølgelast
bølgerne antages Rayleigh fordelte. I det følgende fastlægges JONSWAP spektret
for den estimerede Hm0 lig 6,59 m og en Tp lig 9,35, tabel 7.10. Herefter
følger bestemmelsen af bølgekraften på bropillen beregnet ved to forskellige
metoder.
• Morisons formel
• Potentialteori
7.2 JONSWAP spektrum
JONSWAP spektret er et spektrum der viser fordelingen af energien for fritstræk
begrænsede bølger. JONSWAP spektraldensiteten er givet ved formel
(7.14) [Liu & Frigaard 2001, s. 35].
Sη(f) = α · H 2 s · f 4 p · f −5 · γ β · exp
− 5
4 ·
4
fp
f
Hvor Sη er spektraldensiteten som funktion af frekvensen [m 2 · s].
α er en hjælpestørrelse [-].
Hs er den signifikante bølgehøjde [m].
fp er peak frekvensen [s −1 ].
f er frekvensen for én bølge [s −1 ].
γ er en ”peak enhancement factor” [-].
β er en hjælpestørrelse [-].
Hjælpestørrelserne α og β beregnes ved formel (7.15) og (7.16).
0, 0624
α ≈
0, 230 + 0, 0336 · γ −
2 (f − fp)
β = exp −
2 · σ 2 · f 2 p
Hvor σ ≈ 0,07 for f ≤ fp
σ ≈ 0,09 for f ≥ fp
(7.14)
(7.15)
0,185
1,9+γ
(7.16)
Peak enhancement faktoren, γ, bestemmer størrelsen af den maksimale spektral
densitet, Sη,max, og sættes generelt lig 3,3 i danske farvande [DS449 1983,
s. 14].
I MATLAB er der lavet et program, der beregner og plotter JONSWAP spekteret,
og af figur 7.13 fremgår spektret for Hm0 lig 6,59 m og Tp lig 9,35 s.
44

S η (f) [m 2 s]
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
f [s −1 ]
Figur 7.13
JONSWAP spektrum med Hm0 lig 6,59 m og Tp lig 9,35 s.
7. Bølgelast
Udfra spektrummet konstrueres en tidsserie af overfladeelevationen. Variansspektraldensiteten
opdeles i 200 delintervaller med frekvensbåndsbredden ∆f
lig 0,001, se figur 7.14. Bølgehøjden, Hi, for hver lineær bølge beregnes udfra
formel (7.17).
Figur 7.14
Principskitse der viser inddelingen af JONSWAP spektrummet.
Spektraldensiteten er defineret som følgende[Liu & Frigaard 2001, s. 16]:
Sη(fi) =
1
2 · a2 i
∆f ⇔ ai =
⇒ Hi = 2 · ai = 2 ·
2 · Sη(fi) · ∆f
2 · Sη(fi) · ∆f i = 1, 2, ..., 200 (7.17)
Endvidere er perioden, Ti, og den cirkulære frekvens, ωi, for hver lineær bølge
givet ved formel (7.18).
ωi = 2 · π · fi
Ti = 1
fi
i = 1, 2, ..., 200 (7.18)
45

7. Bølgelast
Den uregelmæssige overfladeelevation er givet ved formel (7.19). Spektrummet
giver ingen information om fasen δi og derfor benyttes tilfældige tal mellem 0
og 2π.
200
200
η(t) = ηi(t) = ai · cos(ωi · t + δi) (7.19)
i=1
i=1
Bølgelængden, Li, hørende til hver lineær bølge itereres vha. dispersionsligningen,
og bølgetallet, ki, kan herefter udregnes.
2 g · Ti Li =
2 · π tanh
2π · h
Li
ki = 2π
L
Hvor h er vanddybden = 27,5 m [m].
De uregelmæssige bølgers hastigheder og accelerationer, der skal anvendes til
bestemmelse af bølgekraften, som bropillen udsættes for, findes herefter ved
superposition af de lineære bølgers hastigheder og accelerationer.
7.2.1 Keulegan-Carpenters tal
Bølgekraften på bropillen kan bestemmes ved en potentialteoretisk beregning,
der forudsætter, at der ikke dannes separation, eller kraften kan beregnes
tilnærmet med Morisons formel i tilfælde af, at der opstår separation ved
bropillen. Størrelsen af Keulegan-Carpenters tal, K, fastlægger hvilken beregningsmetode,
der giver bedste resultater. K er givet ved formel (7.20) [Burcharth
2002, s. 31].
K = umax · T
D
Hvor K > 5 ⇒ Morisons formel.
K < 5 ⇒ Potentialteori.
(7.20)
Diameteren, D, der indgår i Keulegan-Carpenter tallet, er for en cirkel, hvorfor
ellipsen omregnes til en cirkel med samme areal, den ækvivalente diameter kan
således bestemmes, idet at Aelipse er 218 m 2 .
Aellipse = π
Dellipse =
Drektangel =
4 · D2 ækvivalent
218 · 4
π
72, 5 · 4
π
⇒
= 16, 7 m ⇒
= 9, 6 m
På figur 7.15 ses en skitse af bropillen, hvor hovedmålene er angivet.
46
(7.21)

Figur 7.15
Definitionsskitse, ubenævnte mål i mm.
7. Bølgelast
For K ≤ 5 er en potentialteoretisk beregning anvendelig, se formel (7.20), og
for K ≥ 5 kan Morisons formel tilnærmet anvendes. Da bropillen har forskellig
form og tværsnitsdimension fra havbunden til middelvandspejlet, MVS, se
figur 7.15, fås forskellige K-værdier for henholdsvis den rektangulære- og elliptiske
bropilledel. Det kan altså ikke eksplicit afgøres, om der dannes separation
eller ej, hvorfor det vælges, at udføre begge beregninger. Beregning af K foretages
under simulering af en 3 timers storm. Den potentialteoretiske beregning
udføres vha. programmet ShipSim, der anvender kilde/dræn princippet. Ydermere
vælges det at udføre et modelforsøg, for at have eksperimentelle resultater
at sammenligne med, herunder målte bølgekræfter og angrebspunkter.
7.3 Morisons kraft
I henhold til ”Norm for pælefunderede offshore stålkonstruktioner” [DS449
1983] kan Morisons formel anvendes til bestemmelse af bølgekraften, hvis den
betragtede konstruktionsdel har en tværsnitsdimension, D, mindre end 1/5 af
bølgelængden, L [Burcharth 2002, s. 35]. Beregninger med bølgelængder ved
1. ordens teori har vist at længden er beliggende i intervallet 40-120 m, dette
betyder at norm-kravet i høj grad overholdes ved undersøgelse af den øverste
rektangulære bropilledel. Derimod tilfredsstilles kravet kun i mindre grad
ved undersøgelse af den ellipseformede del af bropillen, hvilket skyldes, at ellipsetværsnitsdimensionerne
er store i forhold til de aktuelle bølgelængder. Det
kan således forventes, at bølgekraften, beregnet med Morisons formel, afviger
i nogen grad fra den virkeligt forekommende.
Den empiriske Morison kraft, fM, består af et inertiled og et dragled. Inertikraften
pr. enhedslængde findes af formel (7.22) [Burcharth 2002, s. 26].
fM = CM · ρ · V · ˙u for x = 0 (7.22)
47

7. Bølgelast
Hvor CM er massekoefficienten [-].
ρ er havvands massefylde [kg/m 3 ].
V er volumen af det betragtede cylinderstykke [m 3 /m].
˙u er vandpartiklernes horisontalacceleration [m/s 2 ].
For en ellipse er massekoefficienten for hydrodynamisk masse, Cm, lig en faktor
1, hvorfor massekoefficienten, CM, er lig 2. Det svarer til, at inertikraften
består af Froude-Krylov kraften samt et ligeså stort bidrag, der skyldes bropillens
ændring af strømningsbilledet. For den øvre rektangulære del af bropillen
bestemmes Cm til 1,33 (CM = 2,33) [DS449 1983, s. 24].
Horisontalaccelerationen udregnes som en sum af de 200 lineære bølgers horisontalaccelerationer,
se formel (7.23), idet der benyttes en overfladeelevation
der følger en sinusbølge [Frigaard & Hald 2004, s. 22].
200
˙u = ˙
i=1
ui = Hi
2 · g · ki · cosh(ki · (z + h))
· cos(ωi · t − ki · x + δi) (7.23)
cosh(ki · h)
Hvor Hi er bølgehøjden for bølge i [m].
ki er bølgetallet for bølge i [m −1 ].
ωi er den cirkulære frekvens for bølge i [s −1 ].
z er en lodret opadrettet koordinat [m].
h er vanddybden [m].
Ved at placere bropillens symmetriakse i det kartesiske koordinatsystems origo,
kan x sættes lig nul.
Dragkraften pr. enhedslængde, også kaldet strømkraften, udregnes af formel
(7.24) [Burcharth 2002, s. 5].
fD = CD · 1
· ρ · u · |u| · A (7.24)
2
Hvor CD er dragkoefficienten [-].
u er vandpartiklernes horisontalhastighed [m/s].
|u| er den absolute værdi af vandpartiklernes horisontalhastighed [m/s].
A er tværsnitsarealet af cylinderen [m 2 /m].
For den ellipseformede del er CD lig 0,7, og for den rektangulære del er CD lig
en faktor 2 [DS449 1983, s. 23].
Horisontalhastigheden, u, udregnes tilsvarende som horisontalaccelerationen,
jf. formel (7.25).
200
u = ui = Hi
2
i=1
· g · ki
ωi
· cosh(ki · (z + h))
cosh(ki · h)
· sin(ωi · t − ki · x + δi)
(7.25)
Morisons formel er lig summen af inertikraften og dragkraften, hvilket giver
formel (7.26).
48

7. Bølgelast
FMorison = CM · ρ · V · ˙u + CD · 1
· ρ · u · |u| · A (7.26)
2
Morisonkraften udregnes i MATLAB ved at udføre numerisk integration op
over dybden, dvs. fra z = −28 m til z = η, hvor hastighedsprofilet fra middelvandspejlet
og op til η er antaget konstant. Det vælges at udføre Gauss
integration, da denne metode er effektiv sammenlignet med Midpoint Approximation
og Simpsons integration.
For at vise variationen af henholdsvis inertikraften og dragkraften konstrueres
en 3 timer lang storm af 200 lineære bølger sammensat et ved JONSWAPspektrum.
JONSWAP-spektret genereret ud fra Hm0 = 6, 59 m og Tp = 9, 35 s ses på
figur 7.13. Tidsserien genereres med en frekvens på 5 Hz. Figur 7.16 viser overfladeelevationens
variation, og figur 7.17 viser inerti- og dragkraftens variation
i 90 sekunder.
η [m]
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
tid [s]
Figur 7.16
Variation af overflade i 90 sekunder.
F [MN]
10
5
0
−5
−10
Inertikraft
Dragkraft
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
tid [s]
Figur 7.17
Variation af inerti- og dragkraft i 90
sekunder. Dragkraften er beliggende tæt
på 0-linien
Figur 7.17 viser, at inertikraften dominerer i forhold til dragkraften. Derfor kan
der ses bort fra dragkraften i beregningerne af kraften på bropillen, hvorved
det er muligt komme fra bølgespektrum til kraftspektrum vha. transferfunktionen.
Endvidere er angrebspunktet for maksimalkraften fundet for tidsserien.
Angrebspunktet er fundet ved at finde det moment som kraften forsager,
findes ved numerisk integration, og derudfra finde angrebspunktet. Det gennemsnitlige
angrebspunkt beregnes til at ligge 22,1 m over havbunden. Ved
simuleringen er det maksimale Keulegan-Carpenters tal, K, bestemt for en
ækvivalent diameter af ellipsen og rektanglen på henholdsvis 16,7 m og 9,6 m,
formel (7.21), til 0,5 og 1,1. Idet Keulegan-Carpenters er K < 5, betyder at
der ikke danne seperation og derved kun er inertikraft. Dette taler imod at
anvende Morisons formel, idet Morisons formel anvendes for K > 5.
49

7. Bølgelast
7.3.1 Rayleigh fordeling
I det følgende eftervises, at bølgehøjderne, samt kraften fra bølgerne, er Rayleigh
fordelte. Udfra Rayleigh fordelingen bestemmes den dimensionsgivende bølgehøjde.
Fordelingsfunktionen for en Rayleigh fordeling er givet ved formel (7.27).
F(x) = Prob (X < x) = 1 − exp − π
· x2
4
(7.27)
For at undersøge om bølgehøjderne og kræfterne på bropillen er Rayleigh
fordelte, afbildes 1 − log(F(x)) som funktion af x 2 , hvilket tilnærmelsesvis
skal være en ret linie, se figur 7.21.
7.3.2 Rayleigh fordeling af bølgehøjder
I formel (7.27) defineres x som den dimensionsløse bølgehøjde givet ved formel
(7.28).
x = H
H
Hvor H er bølgehøjden [m].
H er middelbølgehøjden [m].
(7.28)
Der udføres en nul-nedkrydsningsanalyse på tidsserien med overfladeelevationen
og følgende resultater opnås:
N = 1430 bølger
H = 3, 93 m
Bølgehøjderne inddeles i intervaller, og et histogram ses på figur 7.18. Antallet
af bølger regnes om til tæthed ved formel (7.29), og bølgehøjderne divideres
med middel bølgehøjden. Dette ses på figur 7.19.
f =
n
N · ∆ H
H
Hvor n er antallet af bølger i intervallet [-].
N er det totale antal bølger [-].
50
(7.29)

Antal bølger
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10 12
H [m]
Figur 7.18
Histogram af bølgehøjder.
Sandsynligheds tæthed
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
7. Bølgelast
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
H / H [-]
middel
Figur 7.19
Dimensionsløs histogram af bølgehøjder.
På figur 7.19 ses det dimensionsløse histogram af bølgehøjderne, som kan
tilnærmes en Rayleigh fordeling. Endvidere ses den eksakte Rayleigh fordeling
og den summerede sandsynlighedsfunktion på figur 7.20.
Sandsynligheds tæthed
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
H / H middel [−]
Tilnærmet rayleighfordeling f(x)
Eksakte rayleigh fordeling f(x)
Summeret sandsynlighed F(X)
Figur 7.20
Tilnærmet og eksakt Rayleigh fordeling af bølgehøjder samt summeret sandsynlighed.
Figur 7.21 viser 1 − F(x) afbildet som funktion af x 2 . Både den eksakte og
tilnærmede Rayleigh fordeling, ud fra tidsserien, ses.
51

7. Bølgelast
1−F(x) [−]
10 0
10 −1
10 −2
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
(H / H middel ) 2 [−]
Tidsserie
Rayleigh
Figur 7.21
Logaritmisk afbildning af underskridelsessandsynligheden for dimensionsløse bølgehøjder.
Figur 7.21 viser, at bølgehøjderne med god tilnærmelse kan regnes Rayleigh
fordelte. Følgende sammenhænge er gældende for Rayleigh fordelte bølger
[Frigaard & Hald 2004, s. 54].
Hs = H1/3 = 1, 6 · H
Hmax = H0,1% = 2, 97 · H
(7.30)
Bølgehøjden af den dimensionsgivende bølge kan således beregnes, idet den
signifikante bølgehøjde er i tabel 7.10 angivet til 6,59 m.
Hmax = 2, 97 ·
6, 59
1, 6
= 12, 23 m
Periodetiden for denne maksimale bølge bestemmes til følgende, hvor β er 9,7
for havdybder under 40 m. [DS449 1983, s.6]:
Hmax
T = β ·
g
12, 23
= 9, 7 · = 10, 83 s (7.31)
9, 81
Den beregnede Morisonkraft og angrebspunkt for en lineær bølge fremgår af
tabel 7.11.
Bølgehøjde Hmax [m] Periode T [s] Morisonkraft F [MN] Angrebspunkt [m]
12,23 10,83 13,52 21,0
Tabel 7.11
Morisonkraften for en lineær bølge.
Ud fra den simulerede overfladevariation bestemmes middelbølgehøjden til 3,93
m, hvilket i henhold til formel (7.30) giver en maksimal bølgehøjde, Hmax, på
52

7. Bølgelast
11,67 m. Den tilhørende periode bestemmes ved formel (7.31) til 10,58 s. Den
beregnede Morisonkraft for en lineær bølge med disse parametre fremgår af
tabel 7.12.
Bølgehøjde Hmax [m] Periode T [s] Morison kraft F [MN]
11,67 10,58 11,49
Tabel 7.12
Morisonkraften for maksimalbølgen i tidsserien.
Det fremgår ved sammenligning af tabel 7.11 og 7.12, at der er en lille variation
i den maksimale bølgehøjde, og dermed også i kraften. Dette skyldes,
at simuleringen af overfladeelevationen er tidsbegrænset, og derfor ikke opnår
samme maksimalværdi.
7.3.3 Rayleigh fordeling af bølgekræfter på bropillen
Fremgangsmåden til at bestemme om kræfterne på bropillen er Rayleigh fordelte,
er den samme som for bølgerne i afsnit 7.3.2. Dog defineres x ikke som den
dimensionsløse bølgehøjde men som den dimensionsløse kraft, jf formel (7.32).
x = FH
FH
Hvor FH er krafthøjden [MN].
FH er middelkrafthøjden [MN].
En nul-nedkrydsningsanalyse på kraftsignalet giver følgende resultater:
N = 1446 kraft bølger
FH = 10, 30 MN
(7.32)
Kraften bestemt ved nul-nedkrydsningsanalyse er krafthøjden, FH, men det er
kun kraftamplituden, F, der er interessant. Dette giver følgende middelkraft:
F = FH
2
= 10, 30
2
= 5, 15 MN
Fordelingen af krafthøjderne, FH ses i figur 7.22 og på 7.23 ses den dimesionsløse
kraft, som er regnet ud fra formel 7.29.
53

7. Bølgelast
Antal kraftbølger
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30
F [MN]
H
Figur 7.22
Histogram af kræfter på bropillen.
Sandsynligheds tæthed
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
F / F [-]
H H, middel
Figur 7.23
Dimensionsløs histogram af kræfter på
bropillen.
Histogrammet på figur 7.23 tilnærmes en Rayleigh fordeling, og den summerede
sandsynlighedsfunktion ses på figur 7.24
Sandsynligheds tæthed
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
F H / F H, middel [−]
Tilnærmet rayleighfordeling f(x)
Eksakte rayleigh fordeling f(x)
Summeret sandsynlighed F(X)
Figur 7.24
Tilnærmet og eksakt Rayleigh fordeling af kræfter på bropillen samt summeret sandsynlighed.
Figur 7.25 viser 1-F(x) afbildet som funktion af x 2 . Både den eksakte og
tilnærmede Rayleigh fordeling, ud fra tidsserien, ses.
54

1−F(x) [−]
10 0
10 −1
10 −2
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
(F H / F H, middel ) 2 [−]
Tidsserie
Rayleigh
7. Bølgelast
Figur 7.25
Logaritmisk afbildning af underskridelsessandsynligheden for dimensionsløse kræfterne
på bropillen.
Ved at sammenligne figur 7.21 og 7.25 ses det, at ved at benytte Rayleigh
fordelingen overestimeres de store bølgehøjder, (x > 6), idet de ligger under
kurven for Rayleigh, mens der er god overensstemmelse mellem resten. Kraften
overestimeres i intervallet 1 < x < 4 og x > 7, idet den ligger under kurven
for Rayleigh fordelingen, mens kraften underestimeres i intervallet 4 < x < 6.
Det vurderes dog, at den endelige kraft overestimeres, idet både bølgehøjden
og kraften overestimeres for store bølgehøjder og kræfter.
Figur 7.25 viser, at kræfterne på bropillen med god tilnærmelse kan regnes
Rayleigh fordelte, hvorfor formel (7.30) anvendes til at bestemme den dimensionsgivende
kraft, Fmax.
Fmax = 2, 97 · 5, 15 MN = 15, 30 MN (7.33)
Af tabel 7.12 fremgår den maksimale bølgehøjde og periode for samme tidsserie,
hvorfor disse også gældende er for kraften i formel 7.33.
Bølgehøjde Hmax [m] Periode T [s] Morison kraft F [MN]
11,67 10,58 15,30
Tabel 7.13
Maksimal Morisonkraft i tidsserien.
Denne kraft sammenlignes med kraften fundet i tabel 7.12, idet at disse gerne
skulle være ens. Afvigelsen kan skyldes at der er forskel i perioderne, da kraften
i tabel 7.12, er bestemt for en periode fastsat ud fra normen [DS449 1983, s.
6].
Ved at antage lineær sammenhæng mellem bølgehøjde og kraft kan kraften
skaleres lineært op til at gælde for en bølgehøjde på 12,23 m. Perioden og
angrebspunktet er tidligere beregnet for denne bølgehøjde og fremgår af tabel
7.11. Bølgekraften beregnes i tidsdomænet og resultaterne fremgår af tabel
7.14.
55

7. Bølgelast
Bølgehøjde Periode Morison kraft Angrebspunkt
Hmax [m] T [s] F [MN] [m]
12,23 10,83 16,03 21,0
7.4 Transferfunktionen
Tabel 7.14
Morisonkraften beregnet i tidsdomænet.
I dette afsnit bestemmes transferfunktionen, der giver sammenhængen mellem
bølgespektret og kraftspektret. En forudsætning for at transferfunktionen kan
bestemmes er, at inputtet, bølgespektret, og outputtet, kraftspektret, er periodiske
med samme cykliske frevkens. Da beregning af kraften bygger på
Morisons formel, er det en nødvendig forudsætning at inertikraften er dominerende
i forhold til dragkraften. Dette er tilfældet, hvis Keulegan-Carpenter tallet,
K, er mindre end 5, jf. afsnit 7.3. I afsnit 7.3.3 er det bestemt, at kræfterne
på bropillen er Rayleigh fordelte, hvilket er en forudsætning for at komme fra
kraftspektret til en dimensionsgivende last.
Systemet, som betragtes, er lineære bølger med amplituden, aη(t), defineret
ved bølgespektret, Sη(f), og responsamplituden, aλ(t), givet ved kraftspektret,
Sλ(f). Følgende sammenhæng er herved givet mellem de to spektre.
Sλ(f) = |H(f)| 2 · Sη(f) (7.34)
Hvor Sη(f) er bølgespektret [m 2 ·s].
Sλ(f) er bølgekraftspektret [N 2 ·s].
H(f) er transferfunktionen [N/m].
Af formel (7.34) kan følgende udtryk for transferfunktionen findes.
H(f) 2 = Sλ(f)
Sη(f) =
H(f) = aλ
aη
1
2 a2 λ
1
2 a2 η
= a2 λ
a 2 η
⇒
Hvor aλ er amplituden af bølgekraften [N].
aη er amplituden af bølgen [m].
(7.35)
Fremgangsmåden til at bestemme transferfunktionen er at diskretisere bølgespektret.
I de diskretiserede punkter bestemmes aη og aλ ved følgende to formler:
56
aη = a (7.36)
aλ = CM · ρ · V · ˙u (7.37)

7. Bølgelast
Da signalet er diskretiseret er det kun amplituden, der har interesse og ikke
den cykliske del. Dette resulterer i, at det kun er den del af accelerationen,
˙u, der står foran cosinus ledet, der benyttes til at beregne kraftamplituden, se
formel (7.38).
˙u = ∂u
∂t
η = a · sin(θ)
u =
a · g · k
ω
· cosh k(z + h)
cosh(kh)
= a · g · k · cosh k(z + h)
cosh(kh)
· sin(ωt − kx)
· cos(ωt − kx)
Kraftamplituden kan således beregnes ved følgende:
aλ = CM · ρ · V ·
0
−z
a · g · k ·
cosh k(z + h)
cosh(kh)
(7.38)
dz (7.39)
Værdien af transferfunktionen kan nu bestemmes ved formel (7.35).
Transfer funktionen bestemmes ved at opdele JONSWAP spektret i 200 lineære
bølger, med tilhørende frekvenser/perioder, og så beregne amplituden for henholdsvis
bølgerne, aη og kraften, aλ. Transfrefunktionen bestemmes således
ved indsættelse i formel (7.35). Transferfunktionen og JONSWAP spektrumet
fremgår af figur 7.26.
|H(f)| 2 [N 2 m −2 ]
x 1012
8
6
4
2
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0
Frekvens [Hz]
Transferfunktion
JONSWAP
Figur 7.26
Transferfunktionen beregnet med morisonsformel, og JONSWAP spektrumet.
7.4.1 Eksempel
I det følgende vises et eksempel på, hvorledes kraftspektret udregnes ved brug
af transferfunktion. I eksemplet bruges følgende parametre for bølgespektret.
Hs = 6,59 m
Tp = 9,35 s
Bølgespektret findes ved JONSWAP spektret og deles op i 10 lineære bølger, jf.
afsnit 7.3. JONSWAP spektret regnes i følgende interval, da det er her energien
ligger:
80
60
40
20
S η [m 2 s]
57

7. Bølgelast
f ∈ [0, 05 0, 325]
Dette giver følgende delfrekvens:
∆f =
0, 325 − 0, 05
10
= 0, 0275
De udregnede værdier for JONSWAP spektret ses i tabel 7.15 og er optegnet
på figur 7.27. På figur 7.27 ses endvidere et JONSWAP spektrum med 200
bølger.
S η (f) [m 2 s]
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
f [s −1 ]
Figur 7.27
JONSWAPspektrum.
10 Bølger
200 Bølger
Udfra de 10 lineære bølger findes tilhørende bølgefrekvenser og spektraltætheder,
jf. afsnit 7.2 og værdierne ses i tabel 7.15. Amplituderne for bølger og kraft
findes af formel (7.36) og (7.39), hvorefter transferfuntionen findes af formel
(7.35). Sidste trin er herefter at udregne spektraltætheden af bølgekraften af
formel (7.34).
De udregnede værdier for eksemplet ses i tabel 7.15.
58

7. Bølgelast
Bølge f Sη aη aλ H(ω)·10 5 H(ω) 2 ·10 12 Sλ ·10 12
[-] [s −1 ] [m 2 · s] [m] [kN] [N·m −1 ] [N 2 · m −2 ] [N 2 · s]
1 0,064 0,055 0,055 91,180 16,547 2,738 0,151
2 0,091 19,806 1,044 2258,700 21,642 4,684 92,763
3 0,119 37,954 1,445 3579,400 24,774 6,138 232,940
4 0,146 12,144 0,817 2132,900 26,098 6,811 82,713
5 0,174 6,129 0,581 1535,000 26,437 6,989 42,839
6 0,201 3,184 0,418 1108,600 26,492 7,018 22,347
7 0,229 1,747 0,310 821,380 26,5 7,023 12,267
8 0,256 1,012 0,236 625,320 26,505 7,025 7,109
9 0,284 0,616 0,184 487,840 26,511 7,028 4,327
10 0,311 0,391 0,147 388,750 26,519 7,033 2,748
Tabel 7.15
Værdier for 10 bølger.
Af tabel 7.15 optegnes transferfunktionen, og denne ses på figur 7.28.
H(f) 2 [N 2 ⋅ m −2 ]
x 1012
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
f [s −1 ]
Figur 7.28
Transferfunktion.
Det ses, at den kvadrerede transferfunktion stiger for stigende frekvens. Dette
har betydning for valget af peakperiode, Tp, som ved den laveste værdi forskyder
bølgespektret mod højre, og dermed også forøger kraftspektret ved den
laveste Tp.
Af tabel 7.15 optegnes bølgekraftspektret, hvilket ses på figur 7.29.
59

7. Bølgelast
S λ (f) [N 2 ⋅ s]
x 1014
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
f [s −1 ]
Figur 7.29
Kraftspektrum.
Arealet under kurven på figur 7.29 findes, da det skal bruges til at bestemme
krafthøjden, FH,M0, og er markeret på figur 7.30. Arealet findes ved numerisk
integration udfra tabel 7.15 ved formel (7.40).
M0 = (Sλ) · ∆f (7.40)
Hvor M0 er 0’te ordensmoment for kraftspektret [N 2 ].
S λ (f) [N 2 ⋅ s]
x 1014
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
f [s −1 ]
Figur 7.30
Kraftspektrum, hvor arealet M0 er markeret.
Da kraften antages Rayleigh fordelt, kan den signifikante krafthøjde, FH,M0,
beregnes ved formel (7.41).
FH,M0 = 4 · M0 = 4 · 13, 76 · 10 12 = 14, 84 · 10 6 N (7.41)
Den signifikante kraftamplitude, Fs, bestemmes således til følgende:
60
M 0

Fs = FH,M0
2
= 14, 84 · 106
2
= 7, 42 MN
7. Bølgelast
Dette er den signifikante kraft for en diskretisering på 10 bølger. På figur 7.27,
ses det at ved at øge diskretiseringen til 200 bølger fås en mere detaljeret kurve
og derved en mere rigtig kraft.
Ved at øge antallet af bølger fra 10 til 200, og dermed mindske delfrekvensen,
bestemmes arealet under kraftspekteret, M0, til 15, 87·10 12 N 2 , hvorved kraften
fremgår af tabel 7.16.
M0 [N 2 ] FH,M0 [MN] Fs [MN] Fmax [MN]
15, 87 · 10 12 15, 93 7, 97 14, 80
Tabel 7.16
Kraft beregnet ved transferfunktion og JONSWAP spektrum.
7.5 Kilde/dræn-beregning af bølgekraft
Dette afsnit omhandler beregning af bølgekraften på bropillen vha. den potentialteoretiske
kilde/dræn-metode. Metoden er gældende for alle geometriske
former, herunder skibe, moler og offshore-konstruktioner. Grundet at metoden
tager udgangspunkt i potentialteori, indgår kun kræfter fra bunden til MVS i
beregningerne, og der tages således ikke hensyn til brydende bølger eller elevation
af disse over MVS. Metoden er beregnet til konstruktioner, der er store
i forhold til bølgefeltet, for at opnå en mærkbar påvirkning heraf.
Ved at placere et uigennemtrængeligt objekt som bropillen i et bølgefelt, resulterer
dette i reflekterede bølger, der spredes som ringe i vandet ud fra bropillen,
se figur 7.31.
Figur 7.31
Principskitse for kilde/dræn beregning.
61

7. Bølgelast
Da der regnes med potententialstrømning, kan det samlede bølgefelt findes ved
superposition af de oprindelige 1. ordens bølger og de reflekterede bølger fra
bropillen. Ved at opbygge bropillen af elementer der hver indeholder en punktformet
kilde i midten, kan den tidsvarierende styrke af disse kilder bestemmes,
for at opnå ligevægt med det samlede bølgefelt, således at konstruktionen forbliver
ugennemtrængelig.
Elementprogrammet ShipSim anvendes til at udføre beregningen, og i følgende
underafsnit redegøres for, hvorledes ShipSim udfører numerisk beregning
af kræfter og momenter, og i appendiks B redegøres for kilde/dræn-teorien.
Herefter følger resultater fra ShipSim, herunder bølgekraften, angrebspunktet
og et kraftspektrum.
7.5.1 Numerisk beregning af kræfter og momenter
Det samlede hastighedspotentiale for det spredte bølgefelt kan findes ved Laplaces
ligning, se appendiks B, og trykket på bropillen findes ved Bernoullis
generaliserede ligning.
p = −ρgz − ρ ∂ϕ
∂t
Kræfter og momenter findes ved følgende:
¯F(t) = d
SL
¯
F = − p(t)¯ndS
SL
¯M(t) = ¯r × d ¯
F(t) = − p(t)¯r × ¯ndS
SL
SL
Hvor ¯n er enhedsnormalen ud mod vandet.
¯r er stedvektoren fra det punkt, der tages moment om, til det
punkt hvor dF angriber.
SL den vandrette overflade af bropillen.
(7.42)
Ved inddeling af bropillen i N elementer og placering af en kilde i hvert enkelt
elements tyngdepunkt, kan kraften og momentet på bropillen findes tilnærmet
ved formel (7.42), her omskrevet til følgende:
¯F(t) ≃ −
¯M(t) ≃ −
N
pi(t)¯ni△Si
i=1
N
¯ri × ¯nipi(t)△Si
i=1
Hvor pi(t) er trykket i det i’te elements tyngdepunkt.
¯ni er normalvektoren til det i’te element.
∆Si er arealet af det i’te element.
¯ri er stedvektoren fra punktet hvori momentet regnes
til det i’te elements tyngdepunkt.
62

7.5.2 Anvendelse af ShipSim
7. Bølgelast
Bropillen modelleres med hovedsageligt firkantede elementer og enkelte trekantelementer,
hvor denne form har været mere hensigtsmæssig. Modellen består
af i alt 936 elementer, og fremgår af figur 7.32.
Figur 7.32
Den diskretiserede bropille som anvendes i ShipSim.
Følgelig er opskrevet inputs og outputs til ShipSim.
Input til ShipSim:
• Bropillens geometri og elementinddeling
• Bølgehøjde og bølgeperiode
• Vanddybde og densitet af vand
Output fra ShipSim:
• Bølgekraft og væltende moment
• Kraftspektrum bestemt ud fra beregnede kraftamplituder
Beregningsbegrænsninger
For at programmet giver den mest nøjagtige beregning skal følgende krav til
Diffraktionsparameteren overholdes [Brorsen 2000]:
√ A
L
> 0, 2
63

7. Bølgelast
Hvor A er et karakteristisk vandret tværsnitsareal lig 218,5 [m 2 ].
L er bølgelængden af de indkomne bølger [m].
Overholddes ovenstående krav er Keulegan-Carpenter tallet lille, hvorved væskepartiklernes
bevægelse er lille i forhold til bropillens udstrækning. Dette
betyder, at der kan ses bort fra separation og viskose kræfter, hvorfor potentialteori
kan benyttes. I tabel 7.17 er kravet undersøgt for en række perioder,
dækkende over frekvenserne i JONSWAP spekteret.
T [s] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
L [m] 14 25 39 56 75 95 115 135 154 173 192
√ A
L [-] 1,05 0,59 0,38 0,26 0,20 0,16 0,13 0,11 0,10 0,09 0,08
Tabel 7.17
Diffraktionsparameteren til udvalgte perioder.
Af tabel 7.17 ses, at kravet til diffraktionsparameteren ikke overholdes for perioder
større end 7 s. Det kan derfor forventes, at resultaterne fra ShipSim afviger
fra de eksperimentelle resultater, da forudsætningerne for beregningsmetoden
ikke er tilstrækkeligt opfyldt.
For at opnå tilstrækkeligt nøjagtige resultater, kræves det endvidere, at én
bølgelængde dækkes af mere end 8 elementer. Bropillen er opbygget af elementer
med en gennemsnitslængde på ca. 1,45 m, hvilket betyder den mindste
bølgelængde skal være større end 11,6 m. Af tabel 7.17 ses det, at dette krav
opfyldes for bølger med perioder større end 3 s.
Resultater fra ShipSim
Shipsim er baseret på lineær bølgeteori, og derfor er der en lineær sammenhæng
mellem bølgehøjde og bølgekraft på bropillen. På figur 7.33 plottes bølgekraften
som funktion af bølgehøjden for konstant periode lig 9 sek.
64
Bølgekraft F [MN]
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12
Bølgehøjde H [m]
Figur 7.33
Linearitet mellem bølgekraft og bølgehøjde beregnet med ShipSim.

7. Bølgelast
Tabel 7.18 viser bølgekraftens størrelse, F, for forskellige bølgehøjder, H, ved
en periode, T, på 9 sek.
H [m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F [MN] 1, 3 2, 7 4, 0 5, 4 6, 7 8, 1 9, 4 10, 8 12, 2 13, 5 14, 9 16, 2
Kraftspektrum
Tabel 7.18
Bølgekraften, F, for perioden T lig 9 sek.
ShipSim beregner kraftamplituden, aλ, til forskellige frekvenser, idet bølgehøjden,
H, holdes konstant lig 2 m svarende til en bølgeamplitude, aη, på 1 m.
Kraft spektraldensiteten, Sλ, kan herefter udregnes ved 1
2a2λ /∆f, og af figur
7.34 ses kraftspekteret beregnet med ShipSim.
Idet kraftspekteret beregnes for lineære bølger med en bølgehøjde på 2 m,
aη = 1, kan transferfunktionen bestemmes ved formel (7.43).
Kraft [MN]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
|H(f)| 2 = Sλ
Sη
⇒ |H(f)| 2 = a 2 λ
10 1
=
Periode T [s]
1
2 · a2λ /∆f
1
2 · a2η /∆f = a2λ 12 Figur 7.34
Kraften beregnet for en lineær bølge,
H = 2 m, med varierende periode.
10 2
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
x 1012
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Frekvens [Hz]
Figur 7.35
Transferfunktion.
(7.43)
På figur 7.34 og 7.35 ses det, at kraften, og dermed transferfunktionen, giver et
lille udslag ved perioderne 0 til 4 s, hvilket svarer til frekvenserne fra 0,25 til 0,3
Hz. Dette kan skyldes, at kravet til diskretiseringen af beregningsmodellen her
ligger lige på grænsen til at være opfyldt. Det vurderes derfor, at resultaterne
for dette område ikke er brugbare.
Ved at multiplicere transferfunktionen på JONSWAP spekteret med Hs = 6, 59
m og Tp = 9, 35 s, figur 7.13, fås kraftspekteret, og ved at tage arealet under
kraftspekteret bestemmes 0’te ordens momentet, M0.
65

7. Bølgelast
x 1014
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Frekvens [Hz]
M 0
S λ (f)
JONSWAP
H(f)
Figur 7.36
Kraftspekteret Sλ(f), JONSWAP spekteret skaleret 5·10 12 gange og transferfunktionen,
H(f) skaleret 50 gange.
Hvis kraften antages Rayleigh fordelt, kan den signifikante krafthøjde, FH,M0,
bestemmes af følgende udtryk:
FH,M0 = 4 · M0
FH,M0 = 4 · 2, 2 · 10 13 = 18, 76 · 10 6 N
Den signifikante kraftamplitude, Fs, bestemmes således til følgende:
Fs = FH,M0
2
= 18, 76 · 106
2
= 9, 38 MN (7.44)
Den maksimale kraft bestemmes på samme måde som ved Morisons formel,
hvor følgende er gældende:
Fmax = 2, 97 · F
Fs = 1, 6 · F
⇒ Fmax = Fs 9, 38
· 2, 97 = · 2, 97 = 17, 41 MN
1, 6 1, 6
Den tilhørende maksimal bølgehøjde er 12,23 m, idet at JONSWAP spektret er
genereret ved Hs=6,59 og Tp=9,35 s. Ved at foretage en række beregninger med
lineære bølger i ShipSim, er den tilhørende periode og angrebspunkt bestemt,
hvilket ses af tabel 7.19. Der er endvidere beregnet en liniær bølge, hvor perioden
T er fastsat ud fra normkravet til 10,83 s. Dette giver en kraft og
angrebspunkt som vist i tabel 7.19, nederste række.
66
Bølgehøjde Hmax [m] Periode T [s] Kraft F [MN] Angrebspunkt [m]
12,23 8,1 17,41 18,7
12,23 10,83 15,23 17,3
Tabel 7.19
Kraft og angrebspunkt beregnet med ShipSim, angrebspunktet er målt fra FUK.

7. Bølgelast
I det følgende benyttes kraften bestemt ved JONSWAP spektret, idet kraften
og angrebspunktet her er størst, hvilket resultere i det største moment ved
FUK.
7.6 Modelforsøg
I laboratoriet er belastningerne på bropillen bestemt ved forsøg med en skalamodel
af konstruktionen, se appendiks C. Skaleringsforholdene, der fremgår af
tabel 7.20, er bestemt ved at benytte Froudes modellov.
λL λt λK
68,92 8,30 333899
Tabel 7.20
Skaleringsfaktorer, λ, for længden, L, tid, t, og kraft K.
Ud over skalering af bropillen skal bølgehøjder og perioder også skaleres, hvilket
fremgår af tabel 7.21.
Bølgehøjde Periodetid
Hm0 [mm] Tmin [s] Tmax [s]
Naturen 6590 9,35 13,72
Modellen 95,6 1,13 1,65
Tabel 7.21
Bølgehøjde og periode i naturen og modelforsøg.
Inden skalamodellen af bropillen tages i brug, sikres det, at der ikke opstår
væsentlig dynamisk forstærkning på modellen. Dette gøres ved at sikre, at
modellens egenfrekvens ligger tilstrækkeligt langt fra frekvensen af de påførte
bølger. Grunden til at den dynamiske forstærkning ønskes negligeret er, at den
er indeholdt i det målte kraftsignal. Dette betyder, at hvis der er dynamisk
forstærkning, er den målte kraft større end den virkelige kraft.
På baggrund af egensvingningsforsøg bestemmes modellens egenfrekvens nedsænket
i vand til 4,8 Hz. I laboratoriet har de mest energirige bølger en frekvens
på 0,9 Hz, hvilket svarer til en dynamisk forstærkning på ca. 4% det vurderes
derfor, at der ikke er problemer med dynamisk forstærkning. På figur 7.37 ses
den dynamiske forstærkningsfaktor, D, for modellen som funktion af bølgefrekvensen.
67

7. Bølgelast
Dynamisk forstærkningsfaktor, D
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0 0.5 1 1.5 2 0
Frekvens [Hz]
Figur 7.37
Dynamisk forstærkning af model.
x 10
2
−3
Da det ønskes at bestemme transferfunktionen skal det kontrolleres, at sammenhængen
mellem bølgehøjde og bølgekraft er lineær. Derfor belastes modellen
med serier af regelmæssige bølger, hvor kraften på konstruktionen bestemmes.
På figur 7.38 ses sammenhængen mellem bølgehøjde og bølgekraft.
Kraft [N]
45
40
30
20
10
0
0 40 80 120 160
Bølgehøjde H [mm]
Figur 7.38
Bølgehøjde og bølgekraft for T = 1,08 s, (∗) er målepunkter,(—) bedste rette linie til
målepunkterne.
Af figur 7.38 ses det, at der er lineær sammenhæng mellem bølgehøjde og bølgekraft,
og derved er det muligt, at bestemme en transferfunktion fra bølgespektret
til kraftspektret. Bølgespektret opnås ved at udsætte modellen for en
uregelmæssig bølgeserie. Til dette formål anvendes et JONSWAP spektrum.
Bølgespektret samt kraftspektret ses af henholdsvis figur 7.39 og 7.40
68
D
S η
1
S η

S h (f)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x 10 3
0
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frekvens [Hz]
Figur 7.39
Målt bølgespektrum med Hs=101 mm ,
Tmiddel =1,03 s og ∆f = 0,1 Hz.
S l (f)
500
400
300
200
100
7. Bølgelast
0
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frekvens [Hz]
Figur 7.40
Målt kraftspektrum med FM0=51,4 N ,
Tmiddel =0,89 s og ∆f = 0,1 Hz.
På samme måde som i afsnit 7.3 bestemmes den maksimale bølgehøjde og
kraft. Af tabel 7.22 fremgår middelværdierne af den målte overfladeelevation og
kraftsignalet bestemt ved nul-nedkrydsningsanalyse. Maksimalværdierne bestemmes
af formel (7.45). Ud fra de beregnede bølgekræfter bestemmes kraften
for bølgen, med højden, Hs, lig 6,59 m, angivet i tabel 7.10.
Hmax = 2, 97 · H
Fmax = 2, 97 · F
(7.45)
Angrebspunktet bestemmes som middelværdien af angrebspunkterne til maksimalkræfterne
fra hver bølge.
H [m] Hs [m] Hmax [m] F [MN] Fmax [MN] Angrebspunkt [m]
Forsøg 1 3,17 4,90 9,43 4,61 13,70 23,6
Forsøg 2 3,79 6,02 11,26 5,30 15,74 22,7
Forsøg 3 3,13 5,00 9,30 4,49 13,34 22,8
Dim ∗ - 6,59 12,23 5,89 17,47 23,0
Tabel 7.22
Middel og maksimal bølgehøjde og kraft samt angrebspunkt målt fra FUK. 5 m under
havbunden. ∗ er det vægtede gennemsnit for en bølge med Hs=6,59 m .
Den tilhørende transferfunktion bestemmes af udtrykket:
|H(f)| 2 = Sλ
Sη
På figur 7.41 ses transferfunktionen bestemt ved forsøget, og på figur 7.42 ses
transferfunktionen skaleret fra model til naturen.
69

7. Bølgelast
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
x 105
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
Frekvens [Hz]
Figur 7.41
Transferfunktionen |H(f)| 2 fra bølgespekter
til kraftspekter på modellen.
7.7 Sammenligning
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
8
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
x 10 12
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Frekvens [Hz]
Figur 7.42
Transferfunktionen skaleret til naturen
efter Froudes modellov.
Kraften på konstruktionen er bestemt på tre måder, ved Morisons formel, ved
potential teori og ved modelforsøg. For at bestemme hvilken metode der bedst
bestemmer kraften, sammenlignes de beregnede kræfter med resultaterne fundet
ved modelforsøget. Herefter bestemmes den bølgekraft, som konstruktionen
skal dimensioneres efter. På figur 7.43 ses sammenhængen mellem bølgehøjde
og bølgekraft, beregnet ved Morisons formel, ShipSim og ved modelforsøg.
Kraft [MN]
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Modelforsøg
Shipsim
Morison
0
0 2 4 6 8 10 12
Bølgehøjde H [m]
Figur 7.43
Linearitet mellem bølgehøjde og bølgekraft for bølger med periodetiden, T, lig 9 s .
Lineariteten er nu eftervist, og der er god overensstemmelse med de målte resultater
fra modelforsøget. Idet der er lineær sammenhæng mellem bølgehøjde
og kraft, er det inertikraften, der er dominerende, og det er derfor muligt, at
komme fra et bølgespekter til et kraftspekter ved at benytte tansferfunktionen.
70

|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x 10 12
Modelforsøg
ShipSim
Morison
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Frekvens [Hz]
7. Bølgelast
Figur 7.44
Transferfunktionen bestemt ved modelforsøg skaleret til fuldskala, ShipSim og Morisons
formel.
Af figur 7.44 ses det, at transferfunktionen bestemt ved modelforsøg og ShipSim
begge topper ved ca. 0,12 Hz, mens transferfunktionen bestemt ved Morisons
formel er stigende. Ud fra dette vurderes det, at forudsætningerne for Morisons
formel ikke er opfyldt for bølger med høj frekvens/korte bølger, mens der er
forholdsvis god overensstemmelse for bølger med lav frekvens/lange bølger.
Dette passer godt med med gyldighedsområdet for Morisons formel.
Det ses også af figur 7.44, at der er god overensstemmelse mellem modelforsøget
og Shipsimmodellen. Dette betyder, at de brydende bølger på konstruktionen
kun har ringe indflydelse på den samlede kraft på konstruktionen.
Den maksimale kraft konstruktionen påvirkes af er bestemt ud fra modelforsøg,
Morisons formel og Shipsim. Resultaterne fremgår af tabel 7.23.
Hmax [m] Fmax [MN] Angrebspunkt [m] Moment [MNm]
Modelforsøg 12,23 17,47 23,0 402
Morison 12,23 16,03 21,0 337
ShipSim 12,23 17,41 18,7 326
Tabel 7.23
Maksimal bølgehøjde og kraft. Angrebspunkt målt fra FUK. 5 m under havbunden,
vanddybden er 27,5 m.
Det ses af tabellen, at kraften beregnet ved Shipsim og modelforsøget stemmer
godt overens. Der er dog det ene problem, at angrebspunktet beregnet ved
ShipSim ligger meget langt nede, i forhold til modelforsøget, hvilket betyder,
at det væltende moment ikke bliver særligt stort. Det vælges derfor til den
videre dimensionering, at benytte de beregnede værdier for modelforsøget.
71

KAPITEL
8
ttt
Islast
ttt
8. Islast
Islasten er afhængig af udformningen af bropillen. Bropillen tænkes udført
med lodret front, og iskræfterne på en sådan konstruktion udregnes. For at
undersøge hvor meget iskræfterne kan mindskes, beregnes belastninger ud fra
en anden konstruktionsopbygning, med skrå front. I det følgende beskrives, og
bestemmes iskræfterne og disse udregnes.
Der er mellem hver bropille en afstand på 240 m, og derfor regnes det muligt
for en isflage, både at kunne kollidere på fronten og på siden af bropillen. Dette
betyder, at lasterne skal regnes for hhv. en bredde, b, på 5,5 m og 14 m.
8.1 Islast på lodret bropillefront
I det følgende bestemmes horisontale og vertikale islaster på bropillen, når
denne udføres med lodret front.
8.1.1 Horisontal last
Der vil i dette afsnit blive regnet horisontal last på to forskellige måder.
Den første omhandler de islaster, der beskrives i DS410 og den anden tager
udgangspunkt i Croasdale, Morgenstern og Nuttall. Dette gør det muligt at
vurdere dem i forhold til hinanden. Begge måder tager udgangspunkt i knusning
af isen,se figur 8.1.
73

8. Islast
DS 410
Figur 8.1
Princip for brydning af is på lodrette konstruktioner.
Horisontal last i forbindelse med knusning af isen på bropillen udregnes udfra
formel (8.1) [DS410 1999, s. 88].
QH,DS = k · rc · e · b (8.1)
Hvor rc er isens karakteristiske trykstyrke, som for havis (saltvand)
er 1,6 [MPa].
e er isens karakteristiske middeltykkelse på 0,6 [m].
b
k
er bredden af fundamentet
⎧
[m].
⎨ 1 +
er en hjælpekonstant
⎩
3 for b/e < 9
1+b/e
1, 75 − 0, 05 b/e for 9 < b/e < 15
1 for b/e > 15
Croasdale, Morgenstern og Nuttall
Metoden baseres på teoretiske beregninger, Trescas flydekriterium og virtuelt
arbejde [Burcharth 2004, s. 39].
QH,Cro =
√ 2
4
Hvor σ er isens trykstyrke 1,9 [MPa].
e er isens tykkelse 0,55 [m].
e
+ 1
b
σ · b · e (8.2)
Grunden til at trykstyrken og tykkelsen er anderledes end værdierne i DS 410
er, at de tages fra ”Designgrundlag for vindmøller på havet” [Designgrundlag
2000, del 2 s. 11]. Dette betyder, at værdierne tager udgangspunkt i målte
værdier tæt på lokaliteten ved Rødsand.
74

Opsummering
8. Islast
Ovenstående beregningsudtryk giver horisontale laster for konstruktionen som
angivet i tabel 8.1.
8.1.2 Vertikal islast
Bredde 5,5 m 14 m
QH,DS 6820 kN 13440 kN
QH,Cro 5950 kN 14833 kN
Tabel 8.1
Islaster ved de to forskellige formler og bredder.
Den vertikale last kan bestemmes ved formel (8.3) [DS410 1999, s.88].
QV,DS = π · b · q for
b
e
> 7 (8.3)
Hvor q er en lodret opadrettet enhedslast fra en vandstandshævning, der
påvirker en lang, lodret væg. Fladelasten bestemmes af formel (8.4) og ses
i tabel 8.2.
q = 0, 4 · e · k0 · rb · h0
Hvor k0 er 9,81 [kN/m 3 ].
rb er isens karakteristiske bøjningsstyrke, som sættes til 0,5 [MPa].
h0 er vandstandshævningen, som sættes til 1 [m].
Belastning 5,5 m 14 m
QV,DS 290 kN 740 kN
Tabel 8.2
Vertikal islast.
8.2 Islast på skrånende konsktruktion
(8.4)
Islasten på en konstruktion kan reduceres ved at udføre den del af bropillen,
der befinder sig omkring vandspejlet med en hældning. Det grundlæggende
princip ved skrånende fronter er at isen bryder ved bøjningsbrud i stedet for
knusning, da der herved opnås mindre kræfter, idet isens trækstyrke er mindre
end trykstyrken. Det anbefales at holde hældningen af konstruktionen under
65 ◦ [Burcharth 2004, s. 41]. Nedenfor ses typiske værdier i henhold til DS 410
for is’ styrke ved henholdsvis knusning og bøjning:
• rc havvandsis: 1,6 MPa
75

8. Islast
• rb havvandsis: 0,5 MPa
På figur 8.2 ses princippet ved at udføre konstruktioner med skrånende fronter
til reduktion af isbelastningen.
Figur 8.2
Princip for brydning af is på skrånende konstruktioner.
Brudbelastningen er afhængig af anløbsvinklen mod konstruktionen, og der
foretages derfor en række beregninger af belastningen ved to metoder, der
efterfølgende sammenlignes. Til bestemmelse af islasten i øst-vestgående retning
anvendes to forskellige formler, henholdsvis Croasdale (1978) og Ralston
(1977).
På figur 8.3 ses de forskellige dimensioner, der indgår i formeludtrykkene. Figuren
er gældende for både Croasdale og Ralstons formler. Begge metoder er
beregnede på koniske konstruktioner, og det vurderes, at bropillen der har et
elliptisk tværsnit, tilnærmet kan betragtes som en konstruktion med cirkulære
fronter.
Figur 8.3
Mål der anvendes til beregning af islast efter Croasdale og Ralston.
8.2.1 Croasdale
Croasdale angiver alene den horisontale belastning fra isen efter udtrykket i
formel (8.5). Denne metode er beregnet på konstruktioner med en fronthældning
mellem 35 og 65 ◦ .
76

F H
i,b = 0, 68 · C1 · σf · b ·
C1 =
C2 =
sin α + µ cosα
cos α − µ sin α
(sin α + µ cosα)2
cosα − µ sin α
ρw · g · h 5
E
0,25
+ sin α + µ cosα
tan α
+ C2 · ρi · g · Z · b · h
8. Islast
(8.5)
Hvor C1, C2 er funktioner af fronthældningen og friktionskoefficienten [-].
σf er bøjningsstyrken [Pa].
α er fronthældningen [ ◦ ].
µ er friktionskoefficienten mellem is og beton lig 0,2 [-].
b er bredde af bropillen ved isens angrebspunkt [m].
ρw er vands rumvægt [kg/m3 ].
ρi er is’ rumvægt [kg/m3 ].
h er istykkelsen lig 0,6 [m].
E er elasticitetsmodulen for is [Pa].
Z er den vertikale højde af oppresset is [m].
g er tyngdeacceleration [m/s2 ].
Isens elasticitetsmodul, styrke og rumvægt er alle funktioner af temperatur og
salinitet. Ved beregningen af disse parametre anvendes værdierne i tabel 8.3.
8.2.2 Ralston
Parameter Værdi Enhed
Istemperatur -5 ◦ C
Salinitet 17 ‰
E 6 GPa
σr 0,53 MPa
ρi 892 kg/m 3
Tabel 8.3
Parametre anvendt ved beregning af isbelastning.
Ralston angiver både den vertikale og den horisontale belastning på bropillen
efter formel (8.6), og er gældende for fronthældninger op til 70 ◦ .
F H
i,b = (A1 · σf · h 2 + A2 · ρw · g · h · b 2 · + · A3 · ρw · g · h · (b 2 · − · b 2 t)) · A4
F V
i,b = B1 · F H
i,b + B2 · ρw · g · h · (b 2 · − · b 2 t )
(8.6)
Hvor bt er bredden af konstruktionen over skråningen [m].
Konstanterne A og B findes ud af følgende formler [Christensen 1989]:
77

8. Islast
1 + 2, 711 · x ln(x)
A1 =
3 · (x − 1)
A2 = 0, 075(x 2 + x − 2)
1 + µ · E sin(α) cot(α)
A3 = 0, 225 · − 0, 225 · µ · cot(α) · f(α, µ) · g(α, µ)
cos(α)
tan(α)
A4 =
1 − µ · g(α, µ)
h(α, µ)
B1 =
(π/4) sin(α) + µ · α · cot(α)
(π/2) cos(α) − µ · α − f(α, µ) · h(α, µ)
B2 = 0, 225
(π/4) sin(α) · µ · α cot(α)
Hvor x findes ved iteration af formel (8.7).
1, 369 = x − ln(x) + 0, 0830(2 · x + 1)(x − 1) 2 (γw · b 2 · σf · h) (8.7)
De øvrige funktioner bestemmes af følgende:
f(α, µ) = sin(α) + µ · cos(α) · F(α)
1 + (2α/ sin(2α))
g(α, µ) =
(π/2) sin(α) + 2 · α · µ cot(α)
h(α, µ) = cos(α) − µ(E sin(α) − cos(α) 2 · F(sin(α)))/ sin(α)
F(sin(α)) =
E(sin(α)) =
8.3 Sammenligning
π/2
(1 − sin(α)
0
2 sin(θ) 2 ) −1/2 dθ
π/2
0
(1 − sin(α) 2 sin(θ) 2 ) 1/2 dθ
Ved at sammenligne islasten ved forskellige skråningsvinkler er det muligt at
vurdere, om der kan opnås reduktioner i islasten, der er af betydning for bropillens
overordnede belastning.
På figur 8.4 ses islasten beregnet ved de to forskellige metoder, som en funktion
af konstruktionens skråningsvinkel.
78

Islast i N
2.5
2
1.5
1
0.5
x 106
3
Ralston H
Ralston V
Croasdale H
0
35 40 45 50
Skråningsvinkel α
55 60 65
°
Figur 8.4
Islast bestemt ved Ralston og Croasdale (H=horisontal, V=Vertikal).
8. Islast
Det ses af figuren, at der opnås horisontale iskræfter i intervallet 0,3-3,0 MN når
vinklen varierer i intervallet 35-65 grader. Til sammenligning opnås iskræfter
på omkring 6 MN, når konstruktionen udføres med lodrette fronter. Det vurderes
derfor at der kan opnås en halvering af islasten ved at udføre bropillen
med skrånende fronter.
De beregnede islaster fremgår af tabel 8.4
Belastning 5,5 m 14 m
QH,DS 6820 kN 13440 kN
QH,Cro 5950 kN 14833 kN
QV,DS 290 kN 740 kN
Qskrå,Ral 0,4-2,5 MN -
Qskrå,Cro 0,3-3 MN -
Tabel 8.4
Islaster.
Konstruktion af bropillen med skrånende sider vil ikke kunne betale sig hverken
økonomisk eller belastningsmæssigt. Dette skyldes at den største last fra is med
lodrette fronter, er mindre end lasten fra bølger i samme punkt.
Det kan ikke forventes, at der opnås noget ved at udføre fundamentet med
skråninger på nord- og sydsiden, da bropillen er 14 m på disse sider. Ved
lange konstruktioner er der risiko for at isophobningen foran bropillen bliver
så stor, at der ikke opnås lastreduktion med skrånende front og der bør derfor
forventes en islast svarende til islasten ved lodret front. Der er derfor ikke
foretaget beregning af islasten ved skrå front på den lange side.
Den dimensionsgivende horisontale islast bliver herved 6820 kN på den korte
side og 14833 kN på den lange side, idet der anvendes de største belastninger,
der opnås i undersøgelsen af islasten til dimensioneringen.
79

KAPITEL
9
9. Lastkombinationer
ttt
Lastkombinationer
ttt
I dette afsnit bestemmes momentet ved FUK fra lasterne på bropillen. Endvidere
angives de lastkombinationer, der dimensioneres for.
For at bestemme momentbelastningen ved FUK, er det nødvendigt, at kende
angrebspunktet for lasterne. De vertikale laster antages, at angribe centralt på
fundamentet, mens de horisontale laster, udregnet i kapitel 2, har forskellige
angrebspunkter. Figur 9.1 skitserer, hvorledes de forskellige laster angriber.
Figur 9.1
Placering af angrebspunkt for de forskellige laster.
Angrebspunktet over FUK for de vandrette laster på fundamentet ses i tabel
9.1, idet momentbelastningen ved FUK ønskes bestemt.
81

9. Lastkombinationer
Last
Angrebspunkt over FUK
[m]
Trafiklast 112,0
Vindlast 102,5
Islast 32.5
Bølgelast 28,0
Ulykkelast 32.5
Tabel 9.1
Angrebspunkt over FUK.
De karakteristiske laster ses i tabel 9.2.
Vertikal Horisontal Moment ved FUK
Last Langs broen Vinkelret på broen Med broen Vinkelret på broen
[MN] [MN] [MN] [MNm] [MNm]
Egenlast 275,7 - - - -
Trafiklast 35,3 6,60 - 739,20 -
Vindlast - - 5,26 - 539,2
Islast -0,29 14,83 6,82 481,98 221,65
Bølgelast - - 17,5 - 490,00
Ulykkeslast - - 556,1 - 18073,25
Brudgrænsetilstand
Tabel 9.2
Karakteristiske laster.
Partialkoefficienterne til de lastkombinationer som regnes i brudgrænsetilstanden
ses i tabel 9.3.
82

9. Lastkombinationer
Lastkombination 2.1.a 2.1.b 2.1.e 2.1.g 2.1.h 2.1.i 2.1.k 2.2 ∗ 2.3 ∗
Permanent last
Tyngde af -
konstruktionsdele
og udstyr (Gk)
1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,75 0,9
0, 25 · Gk, fri last - - - - - - - - 1,0
Variabel last
Trafiklast - - - - - - - 0,75 0,9
gr1:
Tandem aksellast
gr2: Bremse-,
accelerations- og
centrifugalkræfter
gr5:
Specialkøretøjer
1,3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 - -
0,5 1,3 - 0,5 0,5 0,5 - - -
- - 1,3 - - - - - -
Vind FWk 0,5 - - 1,5 0,5 1,0 - ** **
Islast - - - - 1,5 - - ** **
Bølge- og
strømlast
- - - 1,0 - 1,5 - ** **
Vandret masselast - - - - - - 1,0 1,0 1,0
Ulykkelast - - - - - - - - -
Tabel 9.3
Partialkoefficienter for brudgrænsetilstanden [DS409 1998] ∗ Underpunkter a-k ligesom
for lastkombination 2.1, ** samme partialkoefficient som for lastkombination 2.1.
Anvendelsesgrænsetilstand
Partialkoefficienterne til de lastkombinationer som regnes i anvendelsesgrænsetilstanden
ses i tabel 9.4.
83

9. Lastkombinationer
Hyppige lastkombinationer 1.a 1.b 1.c 1.d
Permanent last
Tyngde af konstruktionsdele
og udstyr (Gk)
Variabel last
1,0 1,0 1,0 1,0
Trafiklast - - - -
gr1: Tandem aksellast 0,75 - - -
gr2: Bremse- accelerations- og
centrifugalkræfter
- - - -
gr5: Specialkøretøjer - 0,75 - -
Vind FWk - - 0,5 -
Tabel 9.4
Partialkoefficienter for hyppige lastkombinationer i anvendelsesgrænsetilstanden.
I tabel 9.5 er lasterne for de forskellige lastkombinationer beregnet.
84
Vertikal Horisontal Moment ved FUK.
Last- Langs broen Vinkelret på broen Med broen Vinkelret på broen
kombination [MN] [MN] [MN] [MNm] [MNm]
1.a 307,7 0 0 0 0
1.b 299,1 0 0 0 0
1.c 299,1 0 2,6 0 275,9
1.d 299,1 0 0 0 0
2.1.a 414,5 0,4 2,6 48,5 275,9
2.1.b 410,1 1,1 0 126,2 0
2.1.e 416,4 0 0 0 0
2.1.g 398,2 0,4 25,4 48,5 1317,8
2.1.h 397,8 10,7 12,9 386,1 613,5
2.1.i 398,2 0,4 31,5 48,5 1286,9
2.1.k 401,0 6,0 6,0 0 0
2.2.a 319,3 5,2 7,4 48,5 275,9
2.2.b 314,9 5,9 4,7 126,2 0
2.2.e 321,2 4,8 4,8 0 0
2.2.g 303,1 5,0 29,9 48,5 1317,8
2.2.h 302,6 5,2 17,4 386,1 613,5
2.2.i 303,1 5,0 36,1 48,5 1286,9
2.2.k 305,8 4,6 4,6 0 0
2.3.a 414,3 6,6 8,8 48,5 275,9
2.3.b 411,5 7,0 6,2 97,1 0
2.3.e 416,3 6,2 6,2 0 0
2.3.g 404,1 6,5 28,8 48,5 1041,9
2.3.h 403,8 13,3 15,5 273,6 501,0
2.3.i 404,1 6,5 28,8 48,5 1041,9
2.3.k 406,8 6,1 6,1 0 0
Tabel 9.5
Regningsmæssige laster.

Del II
Fundering
85

KAPITEL
10
10. Geoteknisk forundersøgelse
ttt
Geoteknisk
forundersøgelse
ttt
Dette kapitel omhandler de geologiske forhold i området omkring Femer Bælt.
Der redegøres for de forventede aflejringer, og jordlagenes funderingsanvendelighed
vurderes.
10.1 Forventede aflejringer
I området omkring Femer bælt kan forventes aflejringer fra kridttiden og frem,
da aflejringer herfra skaber underlaget for sidste istids aflejringer [Jacobsen &
Thorsen 1984, s. 1.27]. Fra kridttiden kan i området forventes mægtigheder på
300-600 m, hvoraf den yngste del af laget er skrivekridt.
Kridttiden efterfølges af den tertiære periode, og derfor kan der på lokaliteten
forventes aflejringer fra den eocæne periode. Aflejringer findes i form af plastisk
ler og moler.
Oven på de tertiære aflejringer forventes kvartære aflejringer fra is- og mellemistider,
der sjældent findes i mægtigheder over 100 m. Femer har været
dækket af iskapper tre gange, og forventede aflejringer fra disse og tilhørende
mellemistider er forkonsolideret moræneler.
Som øverste lag kan forventes post- og senglaciale vandaflejringer med varierende
organisk indhold.
På figur 10.1 er lagdelingen i korridoren mellem Lolland og Femer illustreret
ud fra geotekniske undersøgelser foretaget af Trafikministeriet [Femer bæltforbindelsen
1999].
87

10. Geoteknisk forundersøgelse
Kridtaflejringer
Figur 10.1
Laginddeling i Femer-korridoren.
På figur 10.1 ses det, at der nederst er kalk- og kridtaflejeringer, og disse
forventes at være mere end 300 m tykke. Mægtighederne varierer dog meget
gennem området, hvilket formentligt skyldes en dybereliggende salthorst. De
højest beliggende kalk- og kridtaflejringer er beliggende kun ca. 15 m under
havbunden, og det er i disse områder muligt, at benytte direkte fundering.
Det tertiære lag
På grund af salthorsten varierer mægtigheden af det tertiære lag mellem 0 og
ca. 200 m. Det tertiære lag er plastisk ler, og forventes derfor at give store
sætninger. Dette gør det uegnet til direkte fundering, og det kan derfor være
nødvendigt at benytte pælefundering i områder, hvor det plastiske lerlag findes
i store mægtigheder.
Det kvartære lag
De glaciale lag, som nogle steder findes direkte oven på kalk- og kridtaflejringerne,
består hovedsageligt af moræneler med indslag af smeltevandsaflejringer
88

10. Geoteknisk forundersøgelse
og flager af plastisk ler. Det forventes, at disse lag er forkonsoliderede, og derfor
kan benyttes til direkte fundering. Der skal dog tages højde for, at lagenes
tykkelse varierer fra 0 til ca. 70 m, og at der kan forventes væsentligt uensartede
egenskaber.
Post- og senglaciale lag
Øverst ligger der post- og senglaciale lag, hvis mægtigheder varierer mellem
ca. 2 til 20 m. Disse lag har øverst et væsentligt organisk indhold, og herudover
består de af varierende sand, silt og ler, og det forventes derfor ikke, at de kan
benyttes til direkte fundering af tunge konstruktioner [Femer bælt-forbindelsen
1999, s. 100].
89

KAPITEL
11
11. Geoteknisk designprofil
ttt
Geoteknisk
designprofil
ttt
For at have et funderingsgrundlag opstilles der et geoteknisk designprofil for
jorden ved bropille N2. På baggrund af designprofilet vurderes afslutningsvis
en anvendelig funderingsmetode.
Figur 11.1
Længdeprofil (nederst) og linieføring (øverst) samt boringer. Den stiplede linie viser
bropille N2’s placering [Ramböll 1996].
91

11. Geoteknisk designprofil
Figur 11.1 viser øverst et udsnit af den planlagte linieføring for Femer Bælt
forbindelsen og nederst et længdeprofil af broen samt overordnede jordbundsforhold.
På den øverste del af figur 11.1 fremgår også de boringer, der er foretaget
af Ramböll. Boring 96.0.004 og boring 96.0.007 er beliggende tættest på
bropille N2 i en afstand af henholdsvis ca. 2,5 km og 3 km fra bropillen. Ud fra
de to boreprofiler skønnes der en lagfølge mellem disse. Det antages, at der er
lineær variation af jordlagenes mægtigheder mellem boringerne, selvom disse i
virkeligheden kan variere vilkårligt.
Lagfølgen og bropillens placering mellem de to boreprofiler fremgår af figur
11.2.
Figur 11.2
Lagfølge skønnet udfra boring 96.0.004 og 96.0.007, se figur 11.1. Alle mål i m.
Det øverst beliggende sandlag antages at være dét, som projektgruppen har
udført forsøg med. Dvs. styrke- og deformationsparametre for sandlaget fås
udfra de geotekniske forsøg, som projektgruppen har udført med sand fra Frederikshavn.
Under sandlaget findes moræneler, og parametre herfor findes hovedsageligt
ud fra de undersøgelser, som Ramböll har foretaget [Ramböll 1996].
Ligeledes for kridtlaget beliggende under morænelaget.
11.1 Modellering af jorden
Lagfølgen mellem de to boreprofiler viser, at der overordnet set er to jordtyper,
som skal modelleres ved anvendelse af materialemodeller. De to jordtyper er
sand og moræneler, som henholdsvis er et friktionsmateriale og et kohæsionsmateriale.
De følgende to underafsnit omhandler, hvorledes sand og moræneler
kan modelleres samt hvilke geotekniske parametre, der skal anvendes til materialemodellerne.
92

11.1.1 Modellering af sand
11. Geoteknisk designprofil
Sand er et granulært materiale bestående af mineralske og uelektriske korn.
Sand regnes generelt drænet, da enhver dræning, som følge af fundamentsbelastninger,
sker momentant.
Ved analytiske beregninger af fundamentet i brudgrænsetilstanden, dvs. ved
anvendelse af kinematisk tilladelige løsninger og statisk tilladelige løsninger,
skal der anvendes materialemodeller for sandet og moræneleret. Til modellering
af sandet kan Coulombs brudbetingelse for et rent friktionsmateriale
benyttes, og for at lette beregningerne antages associeret plasticitet, således
at friktionsvinklen, ϕ, er lig dilatationsvinklen, ψ. Associeret plasticitet betegnes
også normalitetsbetingelsen, og for nærmere information om dette plasticitetsteoretiske
emne henvises til appendiks I. For sandet skal altså fastlægges
styrkeparameteren friktionsvinklen, ϕ, og sandets effektive rumvægt, γ ′ , skal
også bestemmes.
For at opnå mere præcise beregninger af fundamentets brudbæreevne og sætninger
kan der udføres en finite element beregning i programmet Plaxis. Sandet
kan da modelleres på flere forskellige måder, hvor den mest simple model er
en Mohr-Coulomb model, der anvender en lineærelastisk idealplastisk arbejdskurve
for jorden. Ved anvendelse af Mohr-Coulomb modellen antages herved,
at sandet har en konstant stivhed, svarende til den elasto-plastiske modul, E50,
indtil der opstår brud i sandet. Mohr-Coulomb modellen i Plaxis kan tage hensyn
til ikke-associeret plasticitet, hvorfor denne beregning må forventes mere
præcis end den analytiske løsning. Modelleres sandet med Mohr-Coulomb modellen
skal følgende parametre benyttes, se tabel 11.1.
Mohr-Coulomb modellen
Friktionsvinkel ϕ [ ◦ ]
Kohæsion c [kN/m 2 ]
Dilatationsvinkel ψ [ ◦ ]
Elasto-plastisk modul E50 [kN/m 2 ]
Poissons forhold ν [-]
Tabel 11.1
Parametre til Mohr-Coulomb modellen.
En mere avanceret materialemodel i Plaxis er Hardening-Soil modellen, som
tager hensyn til jordens hærdning under belastning, idet jordens stivhed regnes
spændingsafhængig. Anvendes en Hardening-Soil model til modellering af
sandet, opnås en bedre beskrivelse af sandets opførsel under belastning end ved
anvendelse af Mohr-Coulomb modellen, men Hardening-Soil modellen kræver
også flere indgangsparametre, se tabel 11.2.
93

11. Geoteknisk designprofil
Hardening-Soil modellen
Friktionsvinkel ϕ [ ◦ ]
Kohæsion c [kN/m 2 ]
Dilatationsvinkel ψ [ ◦ ]
Elasto-plastisk modul E50 [kN/m 2 ]
Oedometermodulen Eoed [kN/m 2 ]
Genbelastningsmodulen Eur [kN/m 2 ]
Poissons forhold ν [-]
Potensfunktionseksponent m [-]
Tabel 11.2
Parametre til Hardening-Soil modellen.
Til Hardening-Soil modellen skal foruden den elasto-plastiske modul, E50, anvendes
en elastisk genbelastningsmodul, Eur, samt en oedometermodul, Eoed.
11.1.2 Modellering af moræneler
Moræneler er en forkonsolideret lerart bestående af ler-, sand- og grus-fraktioner.
Moræneler betragtes som et kohæsionsmateriale, og moræneleret har forskellige
egenskaber i drænet og udrænet tilstand.
Til analytiske beregninger i brudgrænsetilstanden er det oplagt at modellere
moræneleret ved benyttelse af Coulombs brudbetingelse for et rent kohæsionsmateriale,
hvilket også betegnes Trescas brudbetingelse. Endvidere er det en
regnemæssig fordel at kræve normalitetsbetingelsen opfyldt jf. appendiks I.
For moræneleret skal der anvendes en udrænet forskydningsstyrke, cu, samt
den effektive rumvægt, γ ′ .
Ved numeriske beregninger i Plaxis kan moræneleret modelleres på samme
måde som sandet, dvs. ved anvendelse af en Mohr-Coulomb model eller en
Hardening-Soil model. For moræneleret er det altså også nødvendigt at finde
de geotekniske parametre angivet i tabel 11.1 og tabel 11.2 for at udføre fornuftige
modelleringer.
I det følgende afsnit bestemmes parametre for sandlaget ud fra forskellige
geotekniske forsøg. Enkelte parametre bestemmes på flere forskellige måder, og
designparametre udvælges udfra en sammenligning og vurdering af de enkelte
resultater.
11.2 Parametre for sandlaget
Følgeligt fastlægges de geotekniske egenskaber for sandlaget, der er beliggende
fra kote -27,5 m til -37,5 m. Der er hertil udført følgende forsøg:
94

• Klassifikationsforsøg
• Triaksialforsøg
• CPT-forsøg
11. Geoteknisk designprofil
Der henvises generelt til de geotekniske forsøgsrapporter i appendiks D, E og
F for nærmere information om forsøgsudførelse og resultatbehandling.
Klassifikationsforsøget fastlægger grundlæggende geotekniske størrelser for sandet,
herunder vandindhold, rumvægt og relativ lejringstæthed. Ud fra triaksialforsøget
fås styrke- og deformationsparametre, og CPT-forsøget giver friktionsvinklen,
den relative lejringstæthed, rumvægt og oedometermodulen. I
det følgende vises resultater fra de tre forsøg, hvorefter der følger et afsnit
omhandlende endeligt valg af designparametre.
Klassifikationsforsøg
I Frederikshavn blev der udtaget to intaktprøver i jordoverfladen i ca. en halv
meters dybde til klassifikationsforsøget, se figur 11.3.
Figur 11.3
Udtagning af intaktprøve i Frederikshavn.
Ud fra klassifikationsforsøget bestemmes parametrene i tabel 11.3, jf. appendiks
D.
95

11. Geoteknisk designprofil
Størrelse Værdi
Relativ densitet ds [-] 2,65
Vandindhold w [-] 0,23
Rumvægt γ [kN/m 3 ] 18,0
Mætningsgrad Sw [-] 0,78
Poretal for løs lejring emax [-] 0,93
Poretal for fast lejring emin [-] 0,56
In situ poretal einsitu [-] 0,78
Relativ lejringstæthed ID [-] 0,40
Middelkornstørrelse d50 [mm] 0,18
Uensformighedstal U [-] 1,37
Tabel 11.3
Fastlagte klassifikationsstørrelser.
Den relative densitet, ds, på 2,65 indikerer, at sandet er rent kvartssand.
Uensformighedstallet, U, er et talmæssigt udtryk for graderingen af sandet,
og da tallet er relativt lille, kan sandet karakteriseres som velsorteret, hvilket
kornkurven i appendiks D også viser. Sandets kornkurve viser ydermere, at
sandet er mellem-fint.
Triaksialforsøg
Triaksialapparatet er det mest anvendte apparat til bestemmelse af jords styrke
[Harremoës, Jacobsen & Ovesen 2000], og på figur 11.4 ses det anvendte apparat.
96

Figur 11.4
Det anvendte triaksialapparat.
11. Geoteknisk designprofil
Fra triaksialforsøget fås bl.a. den triaksiale friktionsvinkel, ϕtr, samt den elastoplastiske
modul, E50, og den elastiske genbelastningsmodul, Eur. Fastlagte
størrelser og parametre fremgår af tabel 11.4, jf. appendiks E.
Parametre Enhed Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4
Kammertryk σ3 [kPa] 40 80 160 320
Middelspænding pbrud [kPa] 92,2 177,3 331,6 653,5
Deviatorspænding qbrud [kPa] 155,1 290,7 513,3 999,5
Volumentøjning εv [%] -3,0 -2,6 -1,7 -1,8
Deviatortøjning εq [%] 7,7 7,6 7,8 8,0
Aksialtøjning ε1 [%] 6,7 6,8 7,2 7,4
Friktionsvinkel ϕtr [ ◦ ] 41,0 40,0 38,0 37,6
Dilatationsvinkel ψ [ ◦ ] 12,1 11,3 9,8 9,6
Elasto-plastisk modul E50 [MPa] 19,0 24,7 24,4 34,7
Genbelastningsmodulen Eur [MPa] 53,8 73,3 81,8 116,3
Poissons forhold ν [-] 0,31 0,32 0,32 0,30
Bulkmodulen K [MPa] 37,4 79,2 125,4 207,1
Forskydningsmodulen G [MPa] 22,2 30,3 78,7 95,2
Tabel 11.4
Styrke- og deformationsparametre fra de fire triaksiale brudforsøg.
Af tabel 11.4 ses det, at friktionsvinklen og dilatationsvinklen aftager ved voksende
kammertryk. Størrelsesordenen af dilatationsvinklen er for kvartssand
givet ved ψ = ϕ − 30 ◦ , hvilket stemmer godt overens med forsøgsresultaterne
i tabel 11.4 [Brinkgreve 2002, s. 3-8]. Det fremgår endvidere af tabel 11.4, at
den elasto-plastiske modul og genbelatsningsmodulen er voksende for voksende
kammertryk, med undtagelse af et enkelt forsøgsresultat ved kammertrykket
97

11. Geoteknisk designprofil
80 kPa, og denne voksende tendens var forventet. Genbelastningsmodulen er
typisk ca. tre gange så stor som den elasto-plastiske modul [Brinkgreve 2002, s.
5-3], hvilket passer godt med resultaterne i tabel 11.4. Poissons forhold ses at
være beliggende omkring 0,3, hvilket er en typisk værdi for de fleste jordarter
under primær oplastning [Brinkgreve 2002, s. 3-7].
CPT-forsøg
Projektgruppen udførte en Cone Penetration Test i Frederikshavn, se figur
11.5, hvor formålet var at bestemme sandets friktionsvinkel, rumvægt, relative
lejringstæthed og oedometermodulen. Endvidere var formålet med CPTforsøget
at undersøge lagfølgen ned gennem jorden, og herved bestemme parametrene
for de enkelte lag.
Figur 11.5
Udførelse af CPT-forsøg i Frederikshavn
Figur 11.6 og 11.7 viser henholdsvis friktionsvinklens og oedometermodulens
variation ned gennem jorden, og der er angivet laggrænser, hvor sandmaterialet
ændrer egenskaber. Udregningerne i appendiks F antager, at sandet er
ren friktionsjord, hvilket ikke er tilfældet for lag 4, som er et leret siltlag indeholdende
fraktioner af grus. Ved udregning af de geotekniske parametre ses
der derfor bort fra det nederste lag.
98

-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
20 30 40 50 60
Friktionsvinkel φ [º]
Figur 11.6
Friktionsvinklen.
Lag 1
φ = 42,69º
Lag 2
φ = 35,81º
Lag 3
φ = 37,38º
Lag 4
φ = 27,28º
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
0 10 20 30 40 50 60
Constrained Modul M [MPa]
11. Geoteknisk designprofil
Lag 1
M = 31,26 MPa
Lag 2
M = 17,01 MPa
Lag 3
M = 29,59 MPa
Lag 4
M = 7,28 MPa
Figur 11.7
Constrained modulen.
Af tabel 11.5 fremgår resultater fra CPT-forsøget, hvor bestemmelse af disse
findes i appendiks F.
Parameter Værdi
Rumvægt γ [kN/m 3 ] 19,3
Relativ lejringtæthed ID [%] 64,3
Effektiv friktionsvinkel ϕ [ ◦ ] 40,1
Constrained modul M [MPa] 27,0
Tabel 11.5
Resultater fra CPT-forsøg.
De angivne parametre i tabel 11.5 er vægtede gennemsnitlige værdier af parametrene
for de øverste tre lag.
99

11. Geoteknisk designprofil
11.2.1 Anvendte designparametre
Rumvægt
Sandets rumvægt, γ, er bestemt ved henholdsvis klassifikationsforsøg og CPTforsøg.
Ud fra CPT-forsøget bestemmes rumvægten gennemsnitligt vha. et
Robertson Diagram til 19,3 kN/m 3 , hvor den ved klassifikationsforsøget bestemmes
til 18,0 kN/m 3 . CPT-forsøget viser, at rumvægten af sandet varierer
mellem 19,3-19,8 kN/m 3 i mere end halvdelen af sandlaget, og at rumvægten er
lavest i bunden med en værdi på ca. 19,0 kN/m 3 . Dette stemmer ikke overens
med rumvægten bestemt ved klassifikationsforsøget, der er gældende for den
øverste del af laget. Afvigelsen mellem de to rumvægte skyldes formentligt, at
Robertson Diagrammet, anvendt til bestemmelse af CPT-rumvægten, baseres
på, at sandet er velgraderet, hvilket klassifikationsforsøget viste, at det ikke
var. Klassifikationsforsøget viste, at sandet er mellem-fint og velsorteret, og
derfor vælges det at anvende rumvægten på 18 kN/m 3 .
Relativ lejringstæthed
Der er bestemt relativ lejringstæthed, ID, for sandet ved både klassifikationsog
CPT-forsøget. Ved klassifikationsforsøget bestemmes den til ca. 44%, hvor
den ved CPT-forsøget fastlægges til ca. 64%. Triaksialforsøgene er udført med
relative lejringstætheder beliggende omkring 80% for fire sandprøver udtaget
i samme område i Frederikshavn, hvorfor det vurderes, at lejringstætheden
bestemt ved klassifikationsforsøget er fejlbehæftet. Den lave lejringstæthed på
44% kan skyldes flere faktorer, herunder dårlig prøveudtagning i Frederikshavn,
således denne ikke har været intakt. Lejringstætheden på 64% fundet ved CPT
vurderes mere rigtig, men idet triaksialforsøgene er udført med prøveudlejringer
på 80%, vælges det at antage denne lejringstæthed for sandet.
Elasticitetsmoduler
Der skal fastlægges en elasticitetsmodul, E, for sandet, og hertil anvendes den
elasto-plastiske modul. I midten af sandlaget er der et spændingsniveau svarende
til et kammertryk på ca. 40 kPa, og ved triaksialforsøget er E50 ved
dette kammertryk bestemt til 19 MPa. Ved CPT-forsøget fås en gennemsnitlig
oedometermodul, Eoed, på ca. 27 MPa, og da Eoed har en størrelsesorden svarende
til E50, vælges det at anvende en gennemsnitlig elasticitetsmodul for
sandet på 23 MPa. Til Plaxis skal den kalibrerede elasticitetsmodul anvendes,
se appendiks H.
Den elastiske genbelastningsmodul, Eur, har en størrelsesorden på ca. tre gange
E50 [Brinkgreve 2002, s. 5-3], hvorfor Eur med tilstrækkelig nøjagtighed antages
at have en værdi på ca. 70 MPa.
100

Friktionsvinkel
11. Geoteknisk designprofil
Sandets friktionsvinkel kan estimeres på forskellige måder jf. appendiks E, og
de anvendte metoder er:
• Sekantfriktionsvinklen, ϕs.
• Tangentfriktionsvinklen, ϕt.
• Den effektive friktionsvinkel, ϕe.
Sekantfriktionsvinklen, ϕs, og tangentfriktionsvinklen, ϕt, er bestemt ud fra
triaksialforsøg, og anvendes til forskellige formål afhængig af, om sandet betragtes
som ren friktionsjord, eller om der også indregnes kohæsion. Sekantog
tangentfriktionsvinklen er fastlagt til henholdsvis 37,3 ◦ og 35,6 ◦ (c = 21
kPa), jf. appendiks E, og den effektive friktionsvinkel er ud fra CPT-forsøg
bestemt til gennemsnitligt 40,1 ◦ . Friktionsvinklerne fundet ved triaksialforsøg
vurderes mest præcise, da CPT-friktionsvinklen er en gennemsnitsværdi. Det
vurderes, at der til overslagsberegninger (Terzaghi’s bæreevneformel) af fundamentets
brudbæreevne kan anvendes en gennemsnitlig triaksial friktionsvinkel
på 36,5 ◦ , når jorden regnes uden lagdeling i sandet.
Ved numeriske detailberegninger i Plaxis skal den kalibrerede tangentfriktionsvinkel,
ϕt, anvendes, således der indregnes en vis kohæsion. Spændingsniveauet
i midten af sandlaget efter opførelsen af bropillen er af størrelsesordenen
ca. 600 kPa, og den triaksiale friktionsvinkel svarende hertil vurderes ud fra
triaksialforsøget at være ca. 35-36 ◦ , idet brudbetingelsen i et Mohrs diagram
antages krum.
En krum brudbetingelse betyder, at friktionsvinklen er størst ved lavt spændingsniveau
og mindst ved højt spændingsniveau, hvilket både CPT- og triaksialforsøget
også viser. Det er derfor også en mulighed at inddele sandlaget i
et antal lag og tildele disse forskellige værdier af friktionsvinklen.
Dilatationsvinkel
Dilatationsvinklen, ψ, varierer ligesom friktionsvinklen med dybden af sandlaget,
og er også afhængig af spændingsniveauet. Der kan anvendes en dilatationsvinkel
på ca. 10 ◦ , jf. appendiks E.
11.3 Parametre for moræneleret
Fra kote -37,5 m til -70 m findes et morænelerlag, jf. figur 11.2. Følgende
parametre bestemmes i både den drænede og udrænede tilstand:
• Permeabilitetskoefficienten, k.
• Elasticitetsmodulen, E.
101

11. Geoteknisk designprofil
• Poissons forhold, ν.
• Kohæsionen, c.
• Friktionsvinkel, ϕ.
I tabel 11.6 ses de værdier, der er opgivet fra boreprøve 96.0.007 [Ramböll
1996].
cv qc ∗ γ
[kPa] [MPa] [kN/m 3 ]
>714,0 7,0 23,3
Tabel 11.6
Parametre fra boreprofil 96.0.007, qc: Spidsmodstand, cv: Vingeforskydningsstyrke. ∗
målt ved CPT forsøg.
Permeabilitetskoefficienten
Denne skønnes til 0,001 m/dag for både vertikal og horisontal retning [Lars
Andersen 2005].
Elasticitetsmodul
Til bestemmelse af elasticitetsmodulen tages der udgangspunkt i spidsmodstanden,
qc, målt ved CPT-forsøg. Ud fra denne kan constrained modulen, M,
bestemmes, og denne svarer til oedometermodulen Eoed. Denne beregnes ud
fra formel (11.1) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 42].
M = 4qc for qc < 10MPa (11.1)
Elasticitetsmodulen (Eref = M ≈ E50) bestemmes derfor til 28 MPa. Denne
værdi anvendes også som oedometermodulen, og som genbelastningsmodulen
benyttes tre gange elasticitetsmodulen, Eur = 84 MPa [Brinkgreve 2002, s. 5-3].
Poissons forhold
Poissons forhold skønnes, og regnes i drænet tilstand, νd, til 0,3 og i udrænet
tilstand, νud, til 0,495, idet det i udrænet tilstand regnes næsten usammentrykkeligt
[Lars Andersen 2005].
Konsolideringsmodul
Konsolideringsmodulen, K, er ikke oplyst [Ramböll 1996], hvorfor denne bestemmes
af følgende formel, der er gældende for Poissons forhold beliggende
mellem 0,25-0,30 [Teknisk Ståbi 2002, s. 361]:
102

E = K · (1 − 2 · νd)(1 + νd)
(1 − νd)
11. Geoteknisk designprofil
Med νd lig 0,30 og E lig 28 MPa fås et konsolideringsmodul på 37,7 MPa.
Kohæsion
(11.2)
Det vælges at anvende den kohæsion, der er fundet ved et vingeforsøg på
lokaliteten. Resultatet af vingeforsøget ses i tabel 11.6, og denne værdi svarer
til den udrænede forskydningsstyrke, cu, som derfor bliver 714 MPa [Teknisk
Ståbi 2002, s. 361].
Friktionsvinkel
Friktionsvinklen kan skønnes eller udregnes vha. CPT-forsøget. Til beregning
af friktionsvinklen bruges formel (11.3) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 34-41].
Nq = tan 45 + ϕ
2
Nq = qc
σv
2
π
(
· e 3 +4ϕ)tan(ϕ)
Hvor Nq er en bæreevnefaktor [-].
ϕ er jordens effektive friktionsvinkel [ ◦ ].
qc er spidsmodstanden målt ved CPT-forsøg [MPa].
σv er spændingen midt i CPT undersøgelsen [MPa].
(11.3)
Ved udregning af formel (11.3) fås en friktionsvinkel på 32 ◦ . Morænelerets friktionsvinkel
skal anvendes for den drænede tilstand.
11.4 Parametre for kridtlaget
Under morænelaget forefindes store mægtigheder af kridt, som anses for at
være et bæredygtigt jordlag. Rumvægten af kridtet findes ud fra boreprøve
96.0.007 til 18,8 kN/m 3 [Ramböll 1996].
11.5 Jordprofil og geotekniske designparametre
Der kan herefter opstilles et geoteknisk designprofil for jorden, hvorpå bropillen
skal funderes. Jordprofilet fremgår af figur 11.8 og fastlagte parametre for
lagene af tabel 11.7.
103

11. Geoteknisk designprofil
Figur 11.8
Geoteknisk designprofil.
Sand
γ = 18 kN/m 3
e = 0,78
Sw = 0,78
Id = 0,80
ϕt,tr = 35,6 ◦
ϕs,tr = 37,3 ◦
ϕt,pl = 39,2 ◦
ϕs,pl = 41,0 ◦
ct = 21 kPa
ψ = 10 ◦
E50 = 23 MPa
Eur = 70 MPa
ν = 0,3
d50 = 0,18 mm
Moræneler
γ = 23,3 kN/m 3
E = 28 MPa
ϕ = 32 ◦
ν = 0,3/0,495
cu = 714 kPa
Kalk (skrivekridt)
γ = 19 kN/m 3
Tabel 11.7
Geotekniske parametre.
Af tabel 11.8 fremgår de værdier, der skal anvendes ved den numeriske analyse
af fundamentet i finite element programmet Plaxis. Parametrene for sandet
skal kalibreres i Plaxis, for at opnå overensstemmelse med triaksialforsøgene.
104

Ler: Udrænet Drænet Sand: Drænet
11. Geoteknisk designprofil
Mohr-Coulomb:
γ [kN/m 3 ] 23,3 23,3 18,0
kx [m/dag] 0,001 0,001 1
ky [m/dag] 0,001 0,001 1
Eref [MPa] 28 28 23,0
K [MPa] - 37,7 30,0
ν [-] 0,495 0,3 0,3
cu [kPa] 714 21 21
ϕpl [ ◦ ] 0 32 39,2
ψ [ ◦ ] 0 0 10,0
Hardening-Soil:
γ [kN/m 3 ] 23,3 23,3 18,0
kx [m/dag] 0,001 0,001 1
ky [m/dag] 0,001 0,001 1
E50 [MPa] 28 28 23,0
Eoed [MPa] 28 28 23,0
Eur [MPa] 84 84 70,0
m [-] 0 0 0
cu [kPa] 714 21 21
ϕ [ ◦ ] 0 32 39,2
ψ [ ◦ ] 0 0 10,0
Tabel 11.8
Parametre der skal anvendes i Plaxis.
I appendiks H er parametrene for sandet kalibreret i Plaxis, og de kalibrerede
parametre fremgår af tabel 11.9 og tabel 11.10.
cref ϕ ψ m ν p ref E ref
50
E ref
oed
E ref
ur
[kPa] [ ◦ ] [ ◦ ] [-] [-] [kPa] [MPa] [MPa] [MPa]
8,5 36,5 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8
Tabel 11.9
Kalibrerede indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis.
c ϕ ψ Eref ν
[kPa] [ ◦ ] [ ◦ ] [MPa] [-]
8,5 36,5 12,1 19,0 0,31
Tabel 11.10
Kalibrerede indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen i Plaxis.
11.5.1 Funderingsmetode
På baggrund af figur 11.8 vurderes det, at en direkte fundering er anvendelig,
da jordprofilet ikke indeholder stærkt sætningsgivende jordlag. Fundamentet
105

11. Geoteknisk designprofil
kan altså udformes som et gravitationsfundament.
Det følgende kapitel omhandler en skitsedimensionering af gravitationsfundamentet,
som undersøges i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden.
106

KAPITEL
12
12. Skitsedimensionering
ttt
Skitsedimensionering
ttt
Indledningsvis udføres en skitsedimensionering af fundamentet til bropille N2,
hvor formålet er, at danne grundlag for fundamentets dimensioner til detaildimesioneringen.
Først undersøges fundamentet for bæreevne- og glidningsbrud i brudgrænsetilstanden,
og derefter for sætninger og dynamisk virkende last i anvendelsesgrænsetilstanden.
Dimensioneringen udføres iht. ”Norm for fundering” [DS415
1999].
12.1 Beskrivelse af fundament
Fundamentet, som ses på figur 12.1, er rektangulært med dimesionerne 13 m
× 23,6 m og har en dybde, målt fra jordoverfladen, på 5 m. Fundamentet er
af armeret beton med hulrum, der fyldes op med sand med en rumvægt på
18 kN/m 3 . Bunden af fundamentet er lukket, således at der er en ensformig
kontaktflade mellem fundamentet og jorden.
Figur 12.1
Nederste del af bropillen hvor fundamentet til skitsedimensionering er skraveret. Mål i
mm.
107

12. Skitsedimensionering
12.2 Styrke- og deformationsparametre
I tabel 12.1 ses parametre for de to øverste jordlag som tages i regning til
skitsedimensioneringen. I brudgrænsetilstanden regnes der kun med sandet,
mens moræneleret medtaget i sætningsberegningerne. Parametrene til sandlaget
bestemmes udfra CPT- og triaksialforsøg, jf. afsnit 11.2. Parametrene
for moræneleret bestemmes udfra boringer på lokaliteten, jf. afsnit 11.3. Kun
den udrænede model anvendes. Moræneleret underlejres af kridt, hvilket regnes
uendeligt stift og derfor ikke tages i regning. Der funderes i høj sikkerhedsklasse,
og derfor er partialkoefficienten, γϕ, for tangens til friktionsvinklen 1,3 og
partialkoefficienten, γc, for kohæsionen 2,0 [DS415 1999].
Jordlag
Lagtykkelse γ γ ′ ϕd cd K
[m] [kN/m 3 ] [kN/m 3 ] [ ◦ ] [kPa] [MPa]
Sand 9,9 18,0 8,0 33,0 0 30,0
Moræneler 32,5 23,3 13,3 15,6 357 37,7
Tabel 12.1
Jordlagsparametre til skitsedimensioneringen.
Den plane friktionsvinkel anvendes idet et plant dimensioneringsproblem betragtes
[Harremoës et al. 2000]. Der tages ikke hensyn til sandets dilatationsvinkel
i skitsedimensioneringen, hvilket vurderes at være på den sikre
side, idet dilatationsvinkelen vil øge sandets styrke.
12.3 Laster på fundamentet
Lasterne på fundamentet bestemmes i afsnit 9. Ydermere skal egenlasten fra
selve fundamentet bestemmes. Fundamentet er en hul betonkonstruktion, der
opfyldes med sand, jf figur 12.1. Den karakteristiske egenlast fremgår af tabel
12.2, hvor partialkoefficienterne ses i tabel 9.3 og tabel 9.4.
Materiale Tværsnitsareal Højde γ ′ Egenlast
[m 2 ] [m] [kN/m 3 ] [kN]
Beton 113,9 5,00 14,3 8.144,0
Sand 194,1 5,00 8,0 7.764,0
15.908,0
Tabel 12.2
Egenlast af fundament.
Figur 12.2 viser retningen af de resulterende laster på fundamentet.
108

Figur 12.2
Definiton af resulterende laster på fundamentet.
12. Skitsedimensionering
Der medtages ikke alle lastkombinationer i skitsedimensioneringen, idet kun
de seks lastkombinationer der vurderes at være farligst medtages.
• I brudgræsetilstanden vurderes det, at lastkombinationerne med mindst
vertikal last, størst vandret belastning samt største momentpåvirkning
er farligst.
• I anvendelsesgrænsetilstanden undersøges kun de ”hyppige” lastkombinationer,
jf. tabel 9.5, side 84, idet sætningerne forventes at foregå over en
årrække. Heraf undersøges den lastkombination med størst vertikal belastning,
idet denne giver de største sætninger ved en konventionel sætningsberegning.
Der gives også et overslag på differenssætningerne ved at
undersøge de ”hyppige” lastkombinationer med horisontale belastninger.
I tabel 12.3 ses de lastkombinationer, der vælges, og beregningen af disse findes
i afsnit 9.
109

12. Skitsedimensionering
Brudgrænsetilstand
Lastkomb.
V Hl Hb Htotal Ml Mb
[kN] [kN] [kN] [kN] [kNm] [kNm]
2.1.g 398230 25384 433 25388 1317800 48525
2.1.i 398230 31506 433 31509 1286900 48525
2.2.g 303070 29930 4979 30341 1317800 48525
2.2.i 303070 36052 4979 36394 1286900 48525
2.3.h 403790 15505 13310 20434 501000 273590
2.3.i 404080 28817 6495 29540 1041900 48525
Anvendelsesgrænsetilstand
Lastkomb. V Hl Hb Htotal Ml Mb
Hyppige [kN] [kN] [kN] [kN] [kNm] [kNm]
a 307697 0 0 0 0 0
b 299141 0 0 0 0 0
c 299141 2628 0 2628 275940 0
d 299141 0 0 0 0 0
Tabel 12.3
Regningsmæssige laster i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden.
12.4 Beregning af brudgrænsetilstand
I brudgrænsetilstanden undersøges der for bæreevne- og glidningsbrud.
12.4.1 Bæreevnebrud
Ved bestemmelse af fundamentets bæreevne anvendes Terzaghis bæreevneformel.
Bæreevneformlen forudsætter et fundament med en given bredde, B,
og som er uendelig langt. Under fundamentet er der et uendeligt halvrum af
ensformigt jordmateriale. Dette er ikke tilfældet i den givne situation, idet jorden
deles op i sand, moreæneler og kridt. Endvidere er længde-bredde forholdet
på fundamentet ca. 1-2. Disse afvigelser fra forudsætningerne gør, at dimensioneringen
må betragtes som en sktisedimensionering.
Sikkerheden mod bæreevnebrud sikres ved, at følgende ulighed opfyldes for
alle lasttilfælde og lastkombinationer:
Vd ≤ Rd
Hvor Vd er den regningsmæssige last i brudgrænsetilstanden henregnet
til og vinkelret på fundamentsfladen [kN].
Rd er den regningsmæssige bæreevne vinkelret på fundamentsfladen
under hensyn til skrå eller excentrisk last [kN].
110
(12.1)

12. Skitsedimensionering
Der regnes med drænet tilstand, idet fundamentet står på sand, og dermed
kan den lodrette bæreevne bestemmes af formel (12.2).
R ′ d 1
=
A ′ 2 · γ′ · b ′ · Nγ · sγ · iγ + q ′ · Nq · sq · iq + c ′ d · Nc · sc · ic
Hvor A ′ er det effektive areal [m 2 ].
γ ′ er rumvægten af sandet [kN/m 3 ].
b ′ er den effektive bredde [m].
q ′ er den effektive lodrette spænding ved FUK [kN/m 2 ].
c ′ d er den regningsmæssig drænede forskydnings
styrke [kN/m2 ].
Nγ, Nq, Nc er bæreevnefaktorer [-].
sγ, sq, sc er formfaktorer [-].
iγ, iq, ic er hældningsfaktorer [-].
For at finde det effektive areal udregnes den effektive længde og bredde:
b ′ = b − 2 · eb
l ′ = l − 2 · el
A ′ = b ′ · l ′
Excentriciteterne bestemmes ved følgende formler:
eb = Mb
V
el = Ml
V
Ekscentriciteten karakteriseres som lille, hvis følgende er opfyldt.
(12.2)
(12.3)
(12.4)
(12.5)
(12.6)
(12.7)
eb < 0, 3 · B (12.8)
el < 0, 3 · L (12.9)
Det effektive areal skitseres på figur 12.3.
Figur 12.3
Definition af det effektive areal.
111

12. Skitsedimensionering
Bæreevnefaktorerne bestemmes under forudsætning af en statisk og kinematisk
mulig brudfigur. Dette er dog ikke muligt, og derfor bestemmes hver af de
tre bæreevnefaktorer ud fra hver sin brudfigur, og derefter summeres de tre
faktorer. Formfaktorene kompencerer for at fundamentet ikke er uendeligt stift,
og hældningsfaktorene kompencerer for, at fundamentet kan være ekscentrisk
belastet. Bæreevne-, form- og hælningsfaktorene bestemmes af følgende:
Nγ = 1
4 ((Nq − 1) · cos(ϕ ′ d ))3 2
Nq = e π·tan(ϕ′ d )1 + sin(ϕ′ d )
1 − sin(ϕ ′ d )
Nc = (Nq − 1) · cot(ϕ ′ d)
Hvor ϕ ′ d er den regningsmæssige plane friktionsvinkel [ ◦ ].
sγ = 1 − 0, 4 · b′
l ′
sq = sc = 1 + 0, 2 · b′
l ′
iγ = i 2 q
iq = ic =
1 −
Hd
Vd + A ′ · c ′ d · cot(ϕ′ d )
Hvor Hd er den resulterende kraft af de to regningsmæssige vandrette
lastkomposanter, Hb og Hl [kN].
12.4.2 Glidningsbrud
For at sikre mod brud ved glidning skal følgende ulighed opfyldes:
Hd ≤ Sd + Ed
(12.10)
Hvor Sd er den regningsmæssige forskydningsmodstand mellem fundamentsfladen
og jorden [kN].
Ed er differensen mellem stabiliserende og drivende regningsmæssige
jordtryk på fundamentets sider [kN].
I drænet tilstand udregnes den regningsmæssige forskydningsmodstand af formel
(12.11).
112

Sd = V ′
d · tan(ϕ′ d ) + a′ d · A′
12. Skitsedimensionering
(12.11)
Hvor V ′
d er den effektive regningsmæssige last vinkelret på fundamentsfladen
[kN].
ϕ ′ d er den effektive regningsmæssige friktionsvinkel mellem konstruktion
og jord [ ◦ ].
a ′ d er den effektive regningsmæssige adhæsion mellem konstruktion
og jord [kN/m 2 ].
A ′ er det effektive areal [m 2 ].
12.4.3 Bæreevne- og glidningsbrud i lastkombination 2.3.h
I dette afsnit eftervises sikkerhed mod bæreevne- og glidningsbrud i lastkombination
2.3.h, jf. tabel 12.3. Dette gøres efter metoden beskrevet i afsnit 12.4.1
og 12.4.2. I tabel 12.4 ses de laster, fundamentet skal dimensioneres for i lastkombination
2.3.h.
Bæreevnebrud
V Hl Hb Hd Ml Mb
[kN] [kN] [kN] [kN] [kNm] [kNm]
403790 15505 13310 20434 501000 273590
Excentriciteterne bestemmes.
eb = Mb
V
273590
= = 0, 68 m
403790
el = 501000
= 1, 24 m
403790
Tabel 12.4
Laster i lastkombination 2.3.h.
Det undersøges hvor store excentriciteterne er i henhold til formel (12.9)
0, 68 < 0, 3 · 13, 00 ⇔ 0, 68 < 3, 90
1, 24 < 0, 3 · 23, 64 ⇔ 1, 24 < 7, 09
Heraf ses det, at fundamenterne belastes med en lille excentricitet.
Det effektive areal bestemmes:
A ′ = b ′ · l ′ = (13 − 2 · 0, 68) · (23, 64 − 2 · 1, 24) = 246, 36 m 2
Bæreevne-, form- og hælningsfaktorene bestemmes.
113

12. Skitsedimensionering
Nq = e π·tan(ϕ′ d )1 + sin(ϕ′ d )
1 − sin(ϕ ′ + sin(33, 0)
= eπ·tan(33,0)1 = 24, 5
d ) 1 − sin(30, 6)
Nγ = 1
4 ((Nq − 1) · cos(ϕ ′ d)) 3 1
2 = ((24, 5 − 1) · cos(33, 0)) = 22, 1
4
Nc = (Nq − 1) · cot(ϕ ′ d) = (24, 5 − 1) · cot(33, 0) = 36, 9
sγ = 1 − 0, 4 · b′ 21, 16
= 1 − 0, 4 · = 0, 78
l ′ 11, 65
sq = sc = 1 + 0, 2 ·
iq = ic = 1 −
= 1 −
21, 16
= 1, 11
11, 65
Hd
Vd + A ′ · c ′ d · cot(ϕ′ d )
20434
= 0, 90
403790 + 246, 36 · 0 · cot(33, 0)
iγ = i 2 q = 0, 902 = 0, 95
Af formel (12.2) bestemmes den lodrette bæreevne.
R ′ d
1
= · 8, 0 · 11, 65 · 22, 1 · 0, 78 · 0, 95 + 40, 0 · 24, 5 · 1, 110 · 0, 90+
2
0 · 36, 9 · 1, 11 · 0, 90 · 246, 36 = 418420 kN
Det ses, at den lodrette regningsmæssige bæreevne er større end den lodrette
regningsmæssige last. Dette giver følgende udnyttelsesgrad af fundamentets
bæreevne:
U% = R′ d
V ′
d
Glidningsbrud
· 100% = 403790
· 100% = 97 %
418420
Adhæsionen mellem fundamentsfladen og jorden sættes til nul, idet kohæsionen
er nul. Den regningsmæssige forskydningsmodstand mellem jord og fundament
bestemmes af formel (12.11).
Sd = V ′
d · tan(ϕ′ d ) = 403790 · tan(33, 0) = 160254 kN
Det ses, at forskydningsmodstanden er større end den vandrette regningsmæssige
last. Dette giver følgende udnyttelsesgrad for glidningsbrud:
114
U% = H′ d
S ′ d
· 100% = 20434
· 100% = 13 %
160254

12. Skitsedimensionering
12.4.4 Beregningsresultater af brudgrænsetilstand
I tabel 12.5 ses de effektive bredder, længder og arealer. Det ses, at i alle de
beregnede lastkombinationer er excentriciteten lille. Dette skyldes den store
egenlast fra bropillen og fundamentet.
Lastkombination
beff leff Aeff
[m] [m] [m 2 ]
2.1.g 12,88 20,33 261,81
2.1.i 12,88 20,41 262,81
2.2.g 12,84 19,29 247,69
2.2.i 12,84 19,39 249,00
2.3.h 12,32 22,40 276,00
2.3.i 12,88 21,06 271,26
Tabel 12.5
Effektive bredder, længder og arealer.
I tabel 12.6 ses beregningsresultatet af brudgrænsetilstanden for de udvalgte
lastkombinationer til skitsedimensioneringen.
Lastkombination UBrud UGlidning
[%] [%]
2.1.g 99 16
2.1.i 100 20
2.2.g 94 25
2.3.i 96 30
2.3.h 88 13
2.3.i 93 18
Tabel 12.6
Udnyttelsesgrader i brudgrænsetilstanden.
Af tabel 12.6 ses det, at sikkerhed mod bæreevnebrud bliver dimensionsgivende
og det ses også at fundamentet er optimalt udnyttet. De lave udnyttelsesgrader
mod glidningsbrud skyldes den store egenlast fra bropillen og fundamentet.
12.5 Beregning af anvendelsesgrænsetilstand
I anvendelsesgrænsetilstanden beregnes lodrette- og differenssætninger for fundamentet.
12.5.1 Konventionel sætningsberegning
Sætning af fundamentet beregnes ved den konventionelle metode. Metoden
tager ikke hensyn til forskydningsdeformationer, hvilket udgør størstedelen af
115

12. Skitsedimensionering
deformationerne i sand. Derfor må beregningen betragtes som et overslag på
størrelsen af deformationerne.
De jordlag der tages i regning, er de samme som angivet i tabel 12.1. For hvert
jordlag beregnes en sætning, og disse summeres for at finde den totale sætning.
Sætningen beregnes af følgende formel [Harremoës et al. 2000]:
δk = ∆ǫ · h (12.12)
Hvor δk er sætningen [m].
∆ε er tøjningen i jordlaget [-].
h er tykkelsen af jordlaget [m].
Tøjningen i jordlagene bestemmes af formel (12.13).
∆ε = ∆σz
K
(12.13)
Hvor ∆σz er den lodrette tillægsspænding som følge af den lodrette last
i midten af jordlaget [kPa].
K er konsolideringsmodulet [kPa].
Den lodrette tillægsspænding beregnes ved en trykspredning på 1:2. Denne
spændingstilvækst er en tilnærmelse, og derved begås en fejl, som er afhængig
af dybden af det sætningsgivende lag. Tillægsspændingen kan både regnes i
2D og i 3D, og beregnes af henholdsvis formel (12.14) og (12.15):
∆σz = Vd
(b + z)
∆σz =
Vd
(b + z) · (l + z)
(12.14)
(12.15)
Hvor Vd er den regningsmæssige lodrette last [kN].
b er bredden af fundamentet [m].
l er længden af fundamentet [m].
z er afstanden fra fundamentets underside til midten af jordlaget [m].
12.5.2 Beregningsresultater af vertikale sætninger
I anvendelsesgrænsetilstanden beregnes sætningerne for lastkonbination a, under
hyppige lastkombinationer, jf tabel 12.3. Sætningen regnes ved en trykspredning
i 3D. Beregningsproceduren af sætningen vises på skemaform i tabel
12.7.
116

Lag nr.
Sand
12. Skitsedimensionering
Lagtykkelse Lagmidte ∆σz K ∆ǫ δk
[m] [m] [kPa] [kPa] [-] [mm]
1 3 1,5 1608 30000 0,053 160
2 7 6,5 844 30000 0,028 197
Moræneler
3 11 15,5 384 38000 0,010 111
4 21,5 31,75 154 38000 0,004 87
29,1 556
Tabel 12.7
Skema til beregning af den konventionelle sætning.
Af tabel 12.7 ses det, at den samlede sætning er på godt en halv meter. Denne
konventionelle sætningsberegning er rumlig, og dersom Plaxis regner i planen
udføres der yderligere en sætningsberegning for det todimensionale tilfælde.
Beregningsproceduren er den samme som ved den rumlige, dog reduceres den
sætningsgivende last så denne svarer til det todimensionale tilfælde, og spændingstilvæksten
korrigeres ligeledes. Der fås herved en konventionel sætning i 2D
på 0,80 m.
12.5.3 Differenssætninger
Denne undersøgelse udføres for lastkombination 1.c, da denne lastkombination
indeholder horisontale kræfter fra vindlasten. Differenssætningen bestemmes
ved hjælp af Plaxis, sammenlignes med den konventionel beregning af differenssætningen
for den samme belastning. Herved kan det vurderes, hvilken fejl
der begås ved at anvende en simpel konventionel beregningsmetode.
Til den konventionelle differenssætningsberegning antages der trykspredning
i forholdet 1:2, samt at den permanente last har medført en forkonsolidering
af jorden under fundamentet. Det antages derfor, at konsolideringen kan
bestemmes af følgende udtryk [Teknisk Ståbi 2002, s. 366]:
δc = ∆σ ′
K
· ∆H
Hvor δc er konsolideringen [m].
∆σ ′ er middelspændingen fra lasten i hvert lag [Pa].
K er konsolideringsmodulen [Pa].
∆H er lagtykkelsen af lagene, der summeres over [m].
Fremgangsmåden for sætningsbestemmelsen er den samme som tidligere beskrevet
i den konventionelle sætningsberegning. Excentriciteten bestemmes
som:
117

12. Skitsedimensionering
e = M
V
Hvor M er momentet i FUK [kNm].
V er den vertikale belastning [kN].
Den effektive sætning findes som:
beff = b − 2e
Hvor beff er den effektive fundamentsbrede [m].
b er fundamentsbredden [m].
Ved trykspredning 1:2 bestemmes den dybde, hvor spændingsforskellen er
udlignet i de to sider af fundamentet, og det antages at differenssætningerne
foregår indtil den dybde. Herved bestemmes en forskel i sætningen fra punkt
A til punkt B på figur 12.4. Differenssætningen bestemmes som sætningen af
fundamentet i differenssætningszonen illustreret på figur 12.4.
Figur 12.4
Principskitse for konventionel sætningsberegning.
Plaxis regner i 2D, og derfor bestemmes trykspredningen i den konv. beregning
også i 2D. Lasterne fra lastkombination 3.a reduceres, da der kun betragtes en
"strimmel"af fundamentet på 1 m. På figur 12.5 ses det udsnit af fundamentet,
der betragtes.
118

Figur 12.5
Udsnit af fundament til beregning af differenssætninger.
Herved bliver kræfterne på udsnittet der betragtes:
M = 275940
13
V = 299141
13
= 21226 kNm/m
= 23010 kN/m
12. Skitsedimensionering
I den konventionelle bestemmelse af differenssætningen anvendes derfor følgende
værdier:
M = 21226 [kNm/m].
V = 23010 [kN].
e = 0,92 [m].
Ksand = 30000 [kPa].
b = 23,6 [m].
Det antages, at der ikke opstår sætning af Punkt A, og herved bestemmes
sætningen af punkt B på figur 12.4 til 0,12 m. Dette svarer til en hældning af
fundamentet på:
δc
α = = 5, 1 ‰
b
Differenssætningsbestemmelsen foretages også for en 3D trykspredning for lastkombination
1.c. Herved opnås som forventet en reduceret sætning. Resultaterne
af de konventionelle sætningsberegninger ses af tabel 12.8.
Model ∆δ [m] α [‰]
2D 0,12 5,1
3D 0,11 4,5
Tabel 12.8
Konventionelle differenssætninger af fundament.
Der foretages ikke en bestemmelse af differenssætningerne parallelt med broens
længderetning.
119

12. Skitsedimensionering
12.6 Opsummering
Ved skitsedimensionering af fundamentet til bropille N2, bestemmes det at, en
dimension på 13,00 m × 23,64 m er optimalt.
I brudgrænsetilstanden ligger udnyttelsesgraden ved brud på 100% ved lastkombination
2.3.i, men ellers ligger udnyttelsesgraden på 80-100%. Derfor kan
det konkluderes at fundamentet er optimalt dimensioneret.
I anvendelsesgrænsetilstanden fås en vertikal sætning på 0,56 m. Denne sætning
vurderes ikke at give bæreevneproblemer for broen. Differenssætningen af
fundamentet medfører en hældning af fundamentet på 5,1‰. Dette vurderes
at være en acceptabel hældning, da der for eksempelvis høje bygninger og
skorstene anbefales hældninger mindre end 3,5-4‰. [Harremoës et al. 2000].
Fundamentet er herved undersøgt ved konventionelle beregninger og i de næste
kapitler udføres en mere detaljeret undersøgelse af fundamentet.
120

KAPITEL
13
13. Analytisk løsning
ttt
Analytisk løsning
ttt
Formålet med disse analytiske beregninger er at bestemme bæreevnen af fundamentet.
For at kunne beregne denne, skal følgende tre betingelser overholdes
[Jacobsen 1989, s. 105]:
1. Den statiske betingelse eller ligevægtsbetingelsen.
2. Den geometriske betingelse.
3. Den fysiske betingelse.
Det er svært at bestemme den korrekte brudmåde, men det er dog muligt
at bestemme to delvist korrekte løsninger. Det er de statisk tilladelige løsninger,
som er en nedreværdiløsning, og de kinematisk løsninger, som er en
øvreværdiløsninger. Disse to beregningsmåder giver dog samme værdi, hvis
den korrekte brudmåde benyttes, og derfor skal bæreevnen henholdsvis maksog
minimeres.
Statisk tilladelige løsninger
De statisk tilladelige løsninger er løsninger, hvor der skal redegøres for hele
spændingsfeltet, hvor dette er i ligevægt med de ydre kræfter. Spændingerne
i spændningsfeltet må ikke overskride materialernes brudstyrke, hvilket udtrykkes
ved forskellige brudbetingelser. Dette betyder, at den ydre last, der
findes ved denne metode, ikke får jorden til at gå i brud, med mindre den
virkelige bæreevne er lig den maksimale for den valgte løsning. Derfor er det
en nedreværdiløsning [Jacobsen 1989, s. 106].
Kinematisk tilladelige løsninger
De kinematisk tilladelige løsninger angiver en brudmekanisme, der opfylder
grænsebetingelserne. Brudbetingelsen opfyldes alle steder langs brudlinier og
i brudzoner. Idet der forudsættes en brudmekanisme, vil den fundne ydre last
121

13. Analytisk løsning
få jorden til at gå i brud. Geometrien af den valgte brudfigur er dog meget
svær at tilnærme den virkeligt forekomne i brud. Det vides herom, at denne
vil være den brudfigur, der kræver mindst energi. Den kinematisk tilladelige
løsning er derfor en øvreværdiløsning på den usikre side, hvorfor den mindste
skal bestemmes [Jacobsen 1989, s. 107].
13.1 Brudmåder
Konstruktionen undersøges for forskellige brudmåder både statiske og kinematiske.
Dette gøres for at finde de grænser, den rigtige bæreevne ligger indenfor.
Der tages udgangspunkt i følgende brudmåder:
• Kinematisk: Glidning af fundamentet.
• Kinematisk: Spændingsoverførelse igennem sandlaget til lerlaget, og translation
samt rotation i lerlaget.
• Kinematisk: Ren rotation.
• Statisk: To spændingsbånd.
13.2 Materialeparametre og effektivt areal
Til beregning af bæreevnen benyttes materialeparametrene angivet i tabel 13.1,
hvor disse er hentet i hhv. tabel 11.7 og 11.8 og gjort regningsmæssige.
Parameter
γ ′ Sand γ ′ V and γ ′ Ler cud ϕpl,d
[kN/m 3 ] [kN/m 3 ] [kN/m 3 ] [MPa] [ ◦ ]
Værdi 8,0 10,0 13,3 357 33,8
Tabel 13.1
Materialeparametre til bestemmelse af bæreevnen for brudfigurerne.
De effektive længder og bredder fremgår af tabel 13.2.
122
Lastkombination
beff leff Aeff
[m] [m] [m 2 ]
2.1.g 12,878 20,330 261,81
2.1.i 12,878 20,407 262,81
2.2.g 12,840 19,291 247,69
2.2.i 12,840 19,393 249,00
2.3.h 12,322 22,398 276,00
2.3.i 12,880 21,061 271,26
Tabel 13.2
Effektive bredder, længder og arealer.

13. Analytisk løsning
13.3 Kinematisk tilladelig løsning 1 - Glidningsbrud
Denne brudfigur er den mest enkle af de valgte, da bruddet kun sker i sandlaget,
og kun har tre områder der sættes i bevægelse. Mellem sandet og disse
områder findes smalle brudzoner fremover benævnt som liniebrud, hvori der
sker dilatation, i modsætning til liniebrud i rent ler.
I disse områder, bestående af fundamentet og to stive legemer, regnes med ren
translation, stammende fra en enhedsflytning i horisontal retning benævnt δ
påført fundamentet. Grundet dilatation i liniebruddet, vil fundamentets virkelige
flytning ske med en vinkel i forhold til horisontalflytningen svarende til
dilatationsvinklen.
Ved at give fundamentet denne inkrementale flytning, δ, med en horisontal
komposant på 1, virker de to stive legemer på hver side af fundamentet som
aktivt og passivt jordtryk. Den horisontale flytning modsvares alene af ydre
kræfter, da brudlinierne løber i rent friktionsmateriale.
Idet normalitetsbetingelsen er opfyldt sættes friktionsvinklen lig dilatationsvinklen,
ϕ = ψ, og derfor kan de stive legemers og fundamentets virkelige flytning
findes ud fra dilatation i brudlinierne. Herefter kan den vertikale komposant
findes, der sammen med områdernes vægt eller last indgår i arbejdsligningen,
beskrevet ved formel (13.1). Da der ingen indre arbejde findes i brudfiguren,
sættes summen af det ydre arbejde lig 0 [Jacobsen 1989, s. 135.].
−H · δh + V · δv = 0 (13.1)
Hvor H er den horisontale last [kN].
δh er den inkrementale horisontale flytning [m].
V er summen af de vertikal laster [kN].
δv er den inkrementale vertikale flytning [m].
Figur 13.1 viser brudlinierne, mens figur 13.2 til 13.4 viser flytningen i de
forskellige områder.
Figur 13.1
Brudfigur for en inkremental horisontal flytning.
123

13. Analytisk løsning
Figur 13.2
Flytningen for det stive
legeme 2, virkende som
aktivt jordtryk.
Figur 13.3
Flytningen for fundamentet
med en horisontal
komposant på 1.
Figur 13.4
Flytningen for det stive
legeme 3, virkende som
passivt jordtryk.
Ved at undersøge for hhv. passivt og aktivt jordtryk findes de optimale α- og βvinkler
ved en ekstremumsbetingelse [Jacobsen 1989, s. 135]. Hermed anvendes
de vinkler, der giver de største bidrag til det ydre arbejde.
α = 45 + ϕ′
2
β = 45 − ϕ′
2
Da normalitetsbetingelsen forudsættes opfyldt, findes efterfølgende de enkelte
områders bidrag til det ydre arbejde:
Fundament - område 1
Arealet af fundamentet indgår ikke i dette bidrag, da arbejdet, Ay, findes alene
ved kraft multipliceret med vej.
Ay1 =V · tan(ϕ ′ )
δv
Aktivt brud - område 2
D 2
Ay2 = 1
·γ
2 tan(α)
areal
′ ·
Passivt brud - område 3
124
D 2
Ay3 = 1
·γ
2 tan(β)
areal
′ ·
sin(α − ϕ ′ )
cos(α) cos(ϕ ′ )
δv
sin(β + ϕ ′ )
cos(β) cos(ϕ ′ )
δv

13. Analytisk løsning
Den maksimale horisontale last bestemmes ved formel (13.1), hvor arbejdet
fra de to stive legemer findes for bredden af fundamentet, og den horisontale
last isoleres. Her anvendes ikke de effektive bredder men derimod den fulde,
da legemernes længde afhænger af denne ved en horisontal flytning.
Hd =Ay1 − Ay2 · B + Ay3 · B
Denne kraft er på den usikre side, da der regnes med kinematiske brud.
Det ses af arbejdsligningen, at hvis de to bidrag fra de stive legemer fjernes,
svarer ligningen til Mohr-Coulombs statiske brudbetingelse [Harremoës et al.
2000, s. 8.2]. Denne løsning er den korrekte, da den er lig med den kinematiske
uden de stive legemer, se formel (13.2). Dermed er den både statisk og
kinematisk tilladelig.
H = V · tan(ϕ ′ ) (13.2)
Bæreevnen for de forskellige lastkombinationer ses i tabel 13.3.
Lastkombination
Horisontal bæreevne Udnyttelse
[MN] [%]
2.1.g 270,36 9,4
2.1.i 270,36 11,7
2.2.g 206,65 14,7
2.2.i 206,65 17,6
2.3.h 274,08 7,5
2.3.i 274,27 10,8
Tabel 13.3
Bæreevne og udnyttelsesgrad for de udvalgte lastkombinationer.
13.4 Kinematisk tilladelig løsning 2 - Kombineret
brud
Da sandlagets mægtighed under fundamentet er lille i forhold til fundamentets
bredde, antages det ved denne brudfigur, at bruddet alene sker i lerlaget. For
sandlaget antages gennemlokning med hældning 1:2, se figur 13.5. Dermed
afgrænses der fra sandlaget i denne kinematiske beregning for leret, og sandet
over leret regnes som en fladelast.
125

13. Analytisk løsning
Figur 13.5
Kombineret brud i ler.
Da de to vinkler, α og β, ikke er ens under optimering af brudfiguren, kan der
ikke regnes med vægtløs jord. Dermed indgår to bidrag afhængig af vinklerne til
arbejdsligningen, i form af forskellen i de to stive områders areal og en vertikal
flytning af Prandtl-zonen, svarende til område 2 på figur 13.5. I tilfældet, hvor
de to vinkler er lige store, opvejer de to stive områder, 1 og 3, hinanden,
og i Prandtl-zonen, 2, foregår der kun rotation og vandret flytning. Hermed
modsvares den vertikale last alene af kohæsionsmodstanden i brudzonerne og
den udrænede forskydningsstyrke, cud, langs randen. De to væsentligste bidrag
til bæreevnen er arbejdet langs randen af brudlinien og arbejdet i Prandtlzonen.
Idet fundamentet gives en lodret inkremental flytning, δ = 1, findes den inkrementale
flytning langs brudlinierne som funktion af vinklen α:
δr = 1
sin(α)
Randarbejde
Randarbejdet er det indre arbejde, der skal udføres for, at der opstår brud
i jorden langs brudlinien. Det samlede randarbejde pr. løbende m findes ved
følgende udtryk:
Air = δr · lrand · cud
Hvor δr er flytningen på randen [m].
lrand er længden af brudlinien [m].
126

Zonearbejde
13. Analytisk løsning
Prandtl-zonen overfører en parallelbevægelse i en retning til en parallelbevægelse
i vinklen α + β herpå. Bruddet antages at ske ved at inddele zonen i
uendelig tynde cirkelformede strimler. De indbyrdes flytninger mellem strimlerne
virker som liniebrud, hvor det indre arbejdet pr. løbende m er givet ved
følgende udtryk [Jacobsen 1989, s. 118]:
Aiz = (α + β) · δr · Rzone · cud
Hvor α + β er vinklen i Prandtl-zonen [ ◦ ].
Rzone er radius i Prandtl-zonen [m].
Udover de to hovedbidrag er der også en række bidrag fra flytninger af jordlegemer.
Arbejde for Prandl-zone
Afhængig af vinklerne, α og β, sker der også arbejde ved flytning af de forskellige
jordlegemer. Jordlegemerne kan deles op i aktiv og passiv jordtryk. Område
1 er aktiv jordtryk, mens område 3 er passiv jordtryk. Område 2 kan ikke
prædefineres til aktiv eller passiv, idet dette område er afhængig af vinklerne
α og β. Når vinklerne α og β ikke er ens, udføres der arbejde, idet Prandtlzonen
flyttes. Dette kan både virke som aktivt eller passivt jordtryk, afhængig
af hvilken vinkel der er størst. Arbejdet for flytning af Prandtl-zonen beregnes
ved følgende formel:
Ayz = Rzone − Rzone · cos(β − α)
2
Arbejde for aktivt jordtryk
· δr · Rzone · γ ′ Ler
Jordlegemet i område 1 undergår en translation langs brudlinien, hvorved arbejdet
for dette område beregnes ud fra følgende udtryk:
Ay1 = A1 · γ ′ Ler
· sin(α) · δr
1
Fladelasten q5 undergår lige som fundamentet en inkrementiel lodret flytning
på 1, hvorved arbejdet beregnes af følgende udtryk:
Ay5 = l5 · q5 · 1
127

13. Analytisk løsning
Arbejde for passivt jordtryk
Jordlegemet i område 3 undergår ligesom jordlegemet i område 1 en translation
langs brudlinien, hvorved arbejdet for dette område beregnes ud fra følgende
formel:
Ay3 = A3 · γ ′ Ler
· sin(β) · δr
Fladelasten q4 der virker på område 3, undergår samme lodrette flytning som
område 3. Den lodrette flytning for dette område og længden hvor q4 virker på
er dog en funktion af vinklen, β, og flytningsinkrementet, δr. Arbejdet beregnes
af følgende udtryk:
Ay4 = l4 · q4 · sin(β) · δr
Arbejdsligningen kan derefter opstilles, hvor alle bidrag indgår:
Vpr. m · 1 = Air + Aiz + (Ay3 − Ay1) + (Ay5 − Ay4) ± Ayz
Hvor +Ayz er arbejdet for flytningen af Prandtl-zonen for α < β [kNm/m].
−Ayz er arbejdet for flytningen af Prandtl-zonen for α > β [kNm/m].
Det viser sig, at størrelsen af Ay5 − Ay4 er konstant lig kraften fra vægten
af det fortrængte sand, der hvor fundamentet er placeret. Dette skyldes, at
variationen af længden, hvor q4 virker på, opvejes af en tilsvarende større eller
mindre lodret flytning.
Ved at variere vinklerne α og β bestemmes bæreevnen. Idet det er en kinematisk
tilladelig løsning og dermed en øvreværdi, skal den mindste værdi for
bæreevnen benyttes. På figur 13.6 ses bæreevnen som funktion af vinklerne.
Figur 13.6
Bæreevnen pr. m som funktion af vinklerne α og β for lastkombination 2.1.g.
I tabel 13.2, side 122, fremgår de effektive længder og bredder, hvorudfra optimeringen
af brudfigurene og bæreevnen beregnes. Den samlede bæreevne
128

13. Analytisk løsning
beregnes som bæreevnen pr. meter multipliceret med længden af fundamentet,
hvor der tages højde for gennemlokning, se figur 13.7.
Figur 13.7
Gennemlokning af sandlaget.
Den samlede bæreevne beregnes efter følgende udtryk:
V = Vpr. m ·
Leff + 2 ·
1
· D
2
Hvor Leff er den effektive længde af fundamentet [m].
D er dybden af sandlaget, hvor der sker gennemlokning [m].
Last- α β Brudbæreevne Samlet brud- Udnyttelses
kombination [ ◦ ] [ ◦ ] pr. m [MN] bæreevne [MN] grad [%]
2.1.g 43,3 47,4 33,30 843,5 47,2
2.1.i 43,3 47,4 33,30 846,0 47,1
2.2.g 43,3 47,4 33,23 807,2 37,5
2.2.i 43,3 47,4 33,23 810,6 37,4
2.3.h 43,3 47,3 32,28 884,4 45,7
2.3.i 43,3 47,4 33,30 867,9 46,6
(13.3)
Tabel 13.4
Bæreevne, vinkler og udnyttelsesgrad for de forskellige lastkombinationer, beregnet for
bredden multipliceret med længden.
Ved i stedet at beregne bæreevnen over den effektive længde, og multiplicere
denne med bredden under hensyntagen til gennemlokning heraf, bestemmes
bæreevnen for de forskellige lastkombinationer som vist i tabel 13.5.
129

13. Analytisk løsning
Last- α β Brudbæreevne Samlet brud- Udnyttelseskombination
[ ◦ ] [ ◦ ] pr. m [MN] bæreevne [MN] grad [%]
2.1.g 42,8 48,3 46,91 838,7 47,5
2.1.i 42,8 48,4 47,05 841,2 47,3
2.2.g 42,9 48,2 45,02 803,1 37,7
2.2.i 42,9 48,2 45,20 806,4 37,6
2.3.h 42,9 48,2 45,20 806,4 37,6
2.3.i 42,7 48,4 48,25 862,6 46,8
Tabel 13.5
Bæreevne, vinkler og udnyttelsesgrad for de forskellige lastkombinationer, beregnet for
længden multipliceret med bredden.
Brudfigurerne, og dermed bæreevnen, er således optimeret til de i tabel 13.1
angivne materialeparametre. Ved denne beregning er der ikke taget hensyn til
gavlarbejdet, der stammer fra rotationen i planet på hhv. forside og bagside og
det dertilhørende indre arbejde. Medtagning af dette bidrag vil øge bæreevnen
yderligere, hvorfor der, grundet den allerede store bæreevne, ses bort fra dette.
Grundet udnyttelsesgraden på under 50% vælges det ikke at udføre en kinematisk
tilladelig brudfigur for ler og sand, hvor gennemlokningen i sandet sker
ved friktionsvinklen, se figur 13.8.
Figur 13.8
Kinematisk tilladelig brudfigur med både ler og sand.
Ved denne brudfigur opnås der yderligere bæreevne, idet der også skal ske
brud i sandet, og resultatet er således mindre udnyttelsesgrader end ved den
kinematiske tilladelige brudfigur kun for ler.
130

13. Analytisk løsning
13.5 Kinematisk tilladelig løsning 3 - Rotationsbrud
Denne brudfigur er mere komplekse end de foregående, idet brudlinien går
igennem både sand- og lerlaget, samt at brudlinierne er forskellige i lagene.
Der regnes med en logaritmisk spiral som brudlinie i sand og en cirkel som
brudlinie i ler [Jacobsen 1989].
Fundamentet gives en inkremental rotation, δθ, omkring et punkt i rummet,
og ud fra dette findes bæreevnen. For at finde bæreevnen opstilles det indre,
Ai, og ydre, Ay, arbejde og sættes lig hinanden, se udtryk (13.4).
Ay = Ai
(13.4)
På figur 13.9 ses brudfiguren. Punktet P er rotationspunktet, som hele brudfiguren
drejer omkring.
y
(0,0)
δ θ
Fundament
x
P(21,10)
Det indre og ydre arbejde opstilles:
Figur 13.9
Brudfigur ved ren rotation.
Sand
V · (rδθ)V + A · γ ′ sand · (rδθ)V = l · cud · rδθ (13.5)
Hvor V er den maksimale last pr. m i dybden [kN].
(rδθ)V er den vertikale flytning af områdets tyngdepunkt i
afstanden r [m].
A er arealet af de enkelte områder [m2 ].
γ ′ sand er den reducerede rumvægt af sandet [kN/m3 ].
l er længden af den cirkulære brudlinie i lerlaget [m].
cud er den regningsmæssige udrænede forskydningsstyrke [kN/m2 ].
rδθ er flytningen i afstanden r [m].
Brudfiguren kan inddeles i forskellige områder, som bidrager eller ikke bidrager
til det indre og ydre arbejde, se figur 13.10. I de følgende beregninger betegnes
arbejdet med hhv. nr. på tilhørende område og enten i eller y, afhængig af om
det er indre eller ydre arbejde.
Ler
131

13. Analytisk løsning
y
(0,0)
1
Område 1
x
6
3
2
P(21,10)
4 5
Figur 13.10
Områdeopdeling af brudfigur ved ren rotation.
Sand
Sandområdet med brudflade som logaritmisk spiral, se figur 13.10. Dette område
er et aktiv sandområde, og det ydre arbejde fra dette område er:
Område 2
Ay1 = A1 · γ ′ sand · (rδθ)V
Ler
(13.6)
Område 2 er symmetrisk og derfor giver den ikke flytning af jordmassen, ydre
arbejde, men der kommer et indre kohæsionsarbejde langs hele brudlinien i
leret.
Ai2 = l · cud · rδθ (13.7)
Flytningen rδθ er den tangentielle flytning langs brudlinien.
Område 3
Område 3 er et sandområde, som ikke giver noget bidrag til det ydre arbejde.
Denne giver ikke noget arbejde, idet den er symmetrisk lodret omkring punktet
P, se figur 13.10.
Område 4
Er et sandområde, der er stabiliserende for konstruktionen, hvilket betyder
et passivt jordtryk. Jorden flyttes opad og bidrager derfor med et negativt
arbejde. Arbejdet bliver:
132
Ay4 = −A4 · γ ′ sand
· (rδθ)V
(13.8)

Område 5
Er et område ens med område 4.
Område 6
Ay5 = −A5 · γ ′ sand
· (rδθ)V
(13.9)
13. Analytisk løsning
Er fundamentet, og der påsættes kraften V , som er bæreevnen. Kraften påføres
midt på fundamentet og i bunden. Denne kraft er med til at give det ydre
arbejde.
Bæreevne
Ay6 = V · (rδθ)V
Ved at isolere kraften/bæreevnen V kan denne bestemmes:
V = l · cud · rδθ − A · γ ′ sand
(rδθ)V
· (rδθ)V
(13.10)
(13.11)
Ved en given effektiv bredde og længde af fundamentet kan en bæreevne findes.
Da dette er en øvreværdiløsning, skal den mindste bæreevne findes. Ved at
variere placeringen af punktet P kan bæreevnen plottes for forskellige koordinater.
På figur 13.11 ses resultatet ved undersøgelse af lastkombination 2.1.g,
og på figur 13.12 ses brudfiguren for det beregnede punkt.
Figur 13.11
Bæreevnen som funktion af placering af P for lastkombination 2.1.g.
133

13. Analytisk løsning
y
(0,0)
Undersøgt areal
Fundament
x
P(20.4,9.8)
Figur 13.12
Brudfiguren for den mindste bæreevne, fundet ud fra figur 13.11.
Sand
Samme undersøgelse udføres for forskellige lastkombinationer og for fundamentet
korte og lange side, se tabel 13.6 og 13.7.
Last Punkt P Bæreevne Udnyttelse
kombination x y [MN] [%]
2.1.g 20,4 9,8 526,05 75,7
2.1.i 20,4 9,8 528,02 75,4
2.2.g 19,3 9,2 497,44 60,9
2.2.i 19,4 9,5 500,14 60,6
2.3.h 22,4 10,8 554,97 72,8
2.3.i 21,0 10,0 545,17 74,1
Tabel 13.6
Bæreevne af brudfigur 3 udregnet for brudlinier for den lange side.
Last Punkt P Bæreevne Udnyttelse
kombination x y [MN] [%]
2.1.g 12,9 6,3 523,17 76,1
2.1.i 12,9 6,3 525,16 75,8
2.2.g 12,9 6,3 495,00 61,2
2.2.i 12,9 6,3 497,62 60,9
2.3.h 12,9 6,2 551,27 73,3
2.3.i 12,9 6,3 542,04 74,6
Tabel 13.7
Bæreevne af brudfigur 3 udregnet for brudlinier for den korte side.
Det ses på tabellerne at udnyttelsen ligger på 60-75 % og det ses at løsningen
er en kinematisk løsning, øvreværdi løsning. Der er ved denne brudfigur ikke
taget hensyn til bidraget fra gavlarbejdet til det indre arbejde, stammende fra
rotation i leret, grundet den allerede store bæreevne.
134
Ler

13. Analytisk løsning
13.6 Statisk tilladelig løsning 1 - To spændingsbånd
Ved denne statiske løsning anvendes to spændingsbånd, der løber igennem
både sand- og lerlaget. Den maksimale spændingsforøgelse, der kan finde sted
over grænsefladerne, afhænger af det svageste materiale spændingsbåndet går
igennem for den givne spændingstilstand. Figur 13.13 viser de to spændingsbånd
samt vinklen θ, der varieres i intervallet [0 ◦ ;45 ◦ ]. Vælges θ lig 45 ◦ findes
samme spændingstilstand på begge sider af skillefladen mellem områderne, og
ved en større vinkel på spændingsbåndene aftager spændingerne ind under
fundamentet [Jacobsen 1989, s. 125].
Figur 13.13
Statisk tilladelig løsning med to spændingsbånd.
Sandet på begge sider af fundamentet omregnes til en fladelast, og trykspændingerne
under fundamentet opdeles i områder af spændingsbåndene.
Herved opstår tre forskellige områder under fundamentet, hvor det antages
at diskontinuiteten i spændingen over en skilleflade stiger med den maksimale
værdi dog begrænset af det svageste materiales brudstyrke. Spændingerne
over en grænseflade findes ved vandret og lodret projektion, der illustreres ved
Mohrs cirkel, se figur 13.14 og 13.15. Indeksnotationen på spændingen er som
følgende:
σxy
Hvor x betegner hovedspændingerne:
1 → største hovedspænding.
3 → mindste hovedspænding.
y betegner hvilket område spændingerne er i, 1, 2 eller 3,
se figur 13.13.
(13.12)
135

13. Analytisk løsning
Figur 13.14
Mohrs cirkel for sand hvor spændingstilstanden
mellem område 1 og 2
illustreres ved et snit gennem cirklen.
Figur 13.15
Mohrs cirkel for ler hvor spændingstilstanden
mellem område 1 og 2 illustreres
ved et snit gennem cirklen.
Den største spændingsændring i drænet friktionsmateriale beskrives ved Coulombs
brudkriterie [Jacobsen 1989, s. 142].
σ ′ max = σ′ min tan2
45 + ϕ′
(13.13)
2
For udrænet kohæsionsmateriale findes den største spændingsændring over en
skilleflade ved at benytte Trescas brudkriterie [Jacobsen 1989, s. 109].
σmax = σmin + 2cud
(13.14)
Spændingstilstanden over en skilleflade i ler er enkel at bestemme på grund
af den fastlagte radius af cirklerne. Dette er ikke tilfældet for sand grundet
friktionsvinklen, og efter bestemmelse af spændingen vinkelret på skillefladen,
σn, findes de resterende værdier for næste cirkel ved iteration. Figur 13.16 viser
et diskontinuert spændingsfelt i friktionsmaterialet [Jacobsen 1989, s. 142].
Figur 13.16
Diskontinuert spændingsfelt med betegnelser for spændinger på skillefladen.
Spændingen i områderne, varierende med θ, skal foruden brudbetingelsen sikre,
at der kun er normalspændinger under fundamentet, dette gøres ved at foretage
en samlet rotation i Mohrs cirkel på π eller 180 ◦ . Dette kan for en beregning
med sand betyde, at brudgrænsen overskrides for en lille værdi af θ.
136

13. Analytisk løsning
Ligeledes er det muligt, at den midterste cirkel ikke udnytter sandets brudstyrke
helt, hvilket har betydning for den endelige bæreevne. Den optimale
vinkel, θ, medfører at alle cirkler tangerer grænsefladen, hvorved det svageste
materiale regnes fuldt udnyttet i alle områder.
Figur 13.17 og 13.18 viser, hvilke vinkler der er kendte i cirklerne for både rent
ler samt ler og sand.
Figur 13.17
Eksempel med to spændingsbånd i ler
med optimal vinkel θ.
Figur 13.18
Eksempel med to spændingsbånd i ler
og sand med optimal vinkel θ.
I stedet for at opstille ligevægtsligningerne i de følgende beregninger anvendes
Mohrs cirkler til at illustrere spændingstilstanden, da disse ligeledes sikrer
ligevægt. Grundet den store styrke af leret antages det endvidere i de følgende
beregninger, at sandet er det svageste materiale i alle områder.
Område 1
Da dette område er i brud, findes hovedspændingerne ved formel 13.15 og da
sandlaget her giver de mindste spændinger begrænset af brudgrænsen. Den
mindste hovedspænding er lig med de effektive spændinger fra sandet over
FUK, figur 13.13.
σ31 = q
σ11 = σ31 tan 2
45 + ϕ′
(13.15)
2
Skilleflade 1-2
Spændingsdiskontinuiten findes over skillefladen, idet det stadig antages, at
sandet stadig er det svageste materiale. Figur 13.19 viser det diskontinuerte
spændingsfelt, hvor den mindste hovedspænding i område 2, σ32, findes ved
iteration over beliggenheden af punktet (σn, τ), idet det kræves, at cirklen
tangerer brudlinien.
137

13. Analytisk løsning
Område 2
Figur 13.19
Diskontinuert spændingsfelt mellem område 1 og 2.
Ud fra den mindste hovedspænding fundet ved iterationen, kan den største
hovedspænding bestemmes direkte ved formel (13.13).
σ12 = σ32 tan 2
45 + ϕ′
2
Skilleflade 2-3
Figur 13.20 viser spændingstilstanden i grænsen mellem område 2 og 3, hvor
den tredje cirkel skal overholde kravet til en samlet drejning på π eller 180 ◦ .
For små værdier af θ kan den tredje cirkel overskride brudgrænsen, hvilket ikke
er tilladeligt for den statiske løsning.
138
Figur 13.20
Diskontinuert spændingsfelt mellem område 2 og 3.

13. Analytisk løsning
Den mindste hovedspænding i det tredje område bestemmes ved geometriske
betragtninger, hvor først radius, r2, og centrum, c2, af den anden cirkel findes.
r2 = σ12 − σ32
2
c2 = (σ32 + r2)
τ2 = r2 · sin sin −1
τ1
+ 4 · θ
r2
σn2 = c2 + r2 · cos 180 − sin −1
τ1
r2
− 4 · θ
Da spændingstilstanden i (σn2, τ2) nu kendes, kan den mindste spændingstilstand
i cirkel 3 bestemmes.
r3 =
Område 3
sin(2 · θ)
τ2
c3 = σn2 + cos(2 · θ) · r3
σ33 = c3 − r3
Den maksimale normalspænding under fundamentet kan herefter findes som
den største spænding for i den tredje cirkel, σ13, idet der samlet er drejet 180 ◦ .
σ13 = σ33 tan 2
45 + ϕ′
2
Den maksimale bæreevne kan herefter bestemmes ved anvendelse af det effektive
areal for den gældende lastkombination.
V = σ13 · Aeff
Varieres θ findes den størst mulige bæreevne for den anvendte lastkombination
ved en vinkel på 18, 0 ◦ . Figur 13.21 viser den største normalspændingen som
funktion af θ.
139

13. Analytisk løsning
σ [kN/m 2 ]
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
θ [°]
Figur 13.21
Normalspænding under fundament som funktion af θ.
Det fremgår af figur 13.21, at der ikke kan anvendes værdier af θ fra 0 til
18 ◦ . Dette skyldes, at ved disse vinkler overskrides sandets brudstyrke, og
betingelserne for den statisk tilladelige løsning således ikke opfyldes. For de
største vinkler findes et knæk på kurven, hvilket skyldes, at den tredje cirkels
radius går mod nul, idet τ bliver mindre for til sidst at skifte fortegn, hvorefter
den tredje cirkels radius igen øges. Alternativt kunne knækket have illustreret,
hvor spændingen af den tredje cirkel blev begrænset af lerets brudgrænse, som
vist på figur 13.18, i stedet for sandets.
En yderligere optimering af bæreevnen kan ske ved at anvende forskellige vinkler
af θ for hhv. under og udenfor fundamentet.
Bæreevnen for de forskellige lastkombinationer fremgår af tabel 13.8, idet kun
det effektive areal har indflydelse herpå. Dette skyldes, at der ved denne beregning
findes en maksimal spænding under fundamentet uafhængig af spændingsbånd
og arealer.
Lastkombination
Horisontal bæreevne Udnyttelse
[MN] [%]
2.1.g 198,3 200,8
2.1.i 199,1 200,0
2.2.g 187,6 161,5
2.2.i 188,6 160,7
2.3.h 209,1 193,1
2.3.i 205,5 196,6
Tabel 13.8
Bæreevne og udnyttelses grad for de udvalgte lastkombinationer.
En udnyttelse på 160-200 % ligger ikke for lavt, idet det er en nedreværdi
løsning.
140

13.7 Sammenligning
13. Analytisk løsning
De fundne og optimerede bæreevner for de forskellige kinematiske og statiske
løsning vises i følgende grafer, der ligeledes viser lasten ved forskellige lastkombinationer.
Figur 13.22 viser den horisontale last og bæreevne fra kinematisk 1,
og figur 13.24 viser den vertikale last og bæreevner fra de resterende løsninger.
Bæreevne/Last [MN]
350
300
250
200
150
100
50
0
2.1.g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i
Figur 13.22
Horisontal last og bæreevne.
Last
Kinematisk 1
Bæreevne/Last [MN]
350
300
250
200
150
100
50
0
Last Kinematisk 2
Figur 13.23
Horisontal last og bæreevne.
Det fremgår af figur 13.22 og 13.23, at den horisontale last er langt under
bæreevnen, hvilket kan forklares med, at kinematisk tilladelig løsning 1 er
en øvreværdiløsning, og den rigtige bæreevne ligger derfor under den fundne.
Ud fra udnyttelsesgraden vist i tabel 13.3 vurderes det, at den horisontale
bæreevne er mere end tilstrækkelig.
Bæreevne/Last [MN]
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
2.1.g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i
Figur 13.24
Vertikal last og bæreevne.
Last
Kinematisk 2
Kinematisk 3
Statisk 1
Bæreevne/Last [MN]
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Last Kin 2 Kin 3 Statisk 1
Figur 13.25
Vertikal last og bæreevne.
For den vertikale bæreevne på figur 13.24 og 13.25 ses det, at lasten ligger
mellem den mindste øvreværdi og nedreværdien. Da den korrekte bæreevne
befinder sig mellem disse, kan det ikke endegyldigt fastslås, hvad den rigtige
bæreevne er. På baggrund af lastens placering midt mellem øvre og nedre
værdien vurderes det, at dimensionerne på fundamentet er tæt på den optimale
udnyttelse. Numerisk detailberegninger med Plaxis vil efterfølgende være
bestemmende for den endelige udformning af fundamentet.
2.1.g
2.1.i
2.2.g
2.2.i
2.3.h
2.3.i
2.1.g
2.1.i
2.2.g
2.2.i
2.3.h
2.3.i
141

13. Analytisk løsning
Kinematisk 2 giver en bæreevne langt over kinematisk 3, og idet de begge er
øvreværdier, kan det konkluderes, at kinematisk 2 er den mest usandsynlige af
de to.
142

KAPITEL
14
14. Numerisk analyse af fundament
ttt
Numerisk analyse af
fundament
ttt
Dette kapitel omhandler en numerisk analyse af gravitationsfundamentets stabilitet.
Fundamentet modelleres Plaxis, hvor det undersøges i brudgrænse- og
anvendelsesgrænsetilstanden.
Brudgrænsetilstanden undersøges ved en ϕ-c-analyse, hvor der bestemmes brudfigurer
og sikkerhedsfaktorer, og i anvendelsesgrænsetilstanden bestemmes lodrette
og differenssætninger fra JOF til oversiden af kridtlaget. Alle beregninger
udføres for to forskellige materialemodeller, som beskrives senere.
14.1 Modellering i Plaxis
I Plaxis skal de ydre rande for den geometriske model fastsættes. Det er, vigtigt
at modellen er stor nok til at sikre, at beregningerne er rigtige. Samtidig ønskes
en så lille model som muligt af hensyn til beregningstiden.
Geometri
I henhold til det geotekniske designprofil, jf. kapitel 11, findes et kridtlag i kote
-70 m. Kridtet er stærkt forbelastet, og der forventes ubetydelige deformationer
fra fundamentsbelastningen. Kridtet vurderes derfor anvendeligt som en
fast nedre randbetingelse i Plaxis modellen.
Den øvre grænse er havbunden, dog skal vandspejlet defineres til at ligge 27,5
m over havbunden.
Grænserne mod højre og venstre skal være tilstrækkelig langt væk fra fundamentet,
således at tillægsspændinger fra belastning af fundamentet er ubetydelige
i randområdet. Den ydre geometri ses på figur 14.1.
143

14. Numerisk analyse af fundament
Clusters og interfaces
Den geometriske model af fundamentet opbygges af linier og knuder, der afgrænser
materialeområder/clusters. Disse clusters kan anvendes til materialelag
eller til at danne områder, hvor der ønskes en høj diskretisering. Modellen
deles op i seks clusters. Et til fundamentet, to til moræneleret og tre til sandet.
Mellem fundamentet og sandet indføres interfaces, der tillader, at de to
materialelag slipper hinanden. Herved sikres, at der ikke opstår urealistiske
spændingstilstande i modellen (trækspændinger). Clusters og interfaces ses på
figur 14.1.
Randbetingelser
Figur 14.1
Geometrisk model af fundamentet.
I Plaxis skal følgende randbetingelser defineres for den geometriske model:
• Foreskrevne flytninger
• Foreskrevne laster
Angives der ikke en randbetingelse for en given rand, foreskriver Plaxis automatisk
en kraft lig nul samt mulighed for fri flytning i vandret og lodret
retning. Derfor afgrænses modellen ved at fastholde den mod både vertikale og
horisontale flytninger på den nederste grænse (laggrænse til kridt). På modellens
lodrette grænser fastholdes den kun mod horisontale flytninger, og på den
øvre grænse (JOF) er modellen fri i begge retninger.
Påvirkningen fra fundamentet overføres som en foreskreven linielast. Lasterne
er defineret i kapitel 9, og omregnes til linielaster som vist på figur 14.2.
144
Figur 14.2
Omregning af laster til anvendelse i Plaxis.

14. Numerisk analyse af fundament
Alternativt kan der påføres foreskrevne flytninger. Randbetingelserne for Plaxismodellen
ses på figur 14.3
Materialemodeller
Figur 14.3
Randbetingelser for Plaxis model.
Til beskrivelse af jordlagenes egenskaber skal der anvendes en hensigtsmæssig
materialemodel, og det skal angives, om materialet regnes drænet eller
udrænet. I henhold til det geotekniske designprofil, jf. kapitel 11, undersøges
to forskellige tilstande med to materialemodeller.
Følgende materialemodeller, beskrevet yderligere i appendiks G, anvendes:
• Mohr-Coulomb
• Hardening-Soil
For hver model undersøges to tilstande:
1. Drænet sand og udrænet ler (korttidstilstanden)
2. Drænet sand og drænet ler (langtidstilstanden)
I de to materialemodeller skal betonen, som anvendes til fundamentet, defineres.
Fundamentet ønskes regnet uendeligt stift, hvorfor betonens E-modul
sættes til 10 9 MPa og Poissons forhold til 0,2. Fundamentet regnes lineært
elastisk.
Anvendt elementtype
I Plaxis kan anvendes to elementtyper. Henholdsvis et 15-knuders trekantelement
og et 6-knuders trekantelement. Trekantelementet bestående af 15 knuder
giver ret præcise resultater ved relativ lav diskretisering, hvorimod 6-knuders
elementet er mindre præcist men anvendeligt til hurtige overslagsberegninger.
Det vælges, at modellere fundamentet med 15-knuders elementer, for at opnå
den mest præcise beregning. På figur 14.4 ses placeringen af knuder samt
spændingspunkter for 15-knuders elementet, som anvender formfunktioner af
4. orden til interpolation af flytninger.
145

14. Numerisk analyse af fundament
Figur 14.4
TV: knudepunktsplacering. TH: Placering af Gauss punkter.
Plaxis genererer automatisk et beregningsnet bestående af trekantelementer
udfra den geometriske model.
Den geometriske model inddeles i et passende antal elementer. Ved inddeling
i elementer sikres en passende diskretisering, ved at forfine inddelingen tæt på
fundamentet og anvende større elementer langs randen af modellen. På figur
14.5 ses elementerne der genereres i Plaxis, før gennemregningen påbegyndes.
Begyndelsesbetingelser
Figur 14.5
Elementinddeling i Plaxis.
Inden Plaxis udfører beregninger på den færdige finite element model, defineres
to begyndelsesbetingelser for modellen. Følgende begyndelsesbetingelser genereres
af Plaxis på baggrund af koten for vandspejl samt rumvægten af materialerne
i modellen:
• Poretryk
• Effektive spændinger (initialspændinger)
Herved er alle inputs til beregningerne udført, og Plaxis er i stand til at bestemmes
spændinger og tøjninger i finite element modellen. Herved kan det
undersøges, om der opstår brud, samt hvor store sætninger og spændinger der
kan forventes under bropillen.
14.2 Beregning af sætninger i Plaxis
Beregning af sætninger i Plaxis udføres i anvendelsesgrænsetilstanden. Det
ønskes, at bestemme den vertikale sætning og differenssætninger af fundamentet.
146

Vertikal sætning
14. Numerisk analyse af fundament
Den vertikale sætning beregnes ud fra lastkombination 1.a, da denne har den
største lodrette last på 308 MN, jf kapitel 9. Herved opnås sætninger af fundamentet,
δ, som anført i tabel 14.1.
Model Udrænet Drænet
Mohr-Coulomb:
δ [m] 0,37 1,13
Hardening-Soil:
δ [m] 0,42 1,07
Tabel 14.1
Sætninger af fundament ved forskellige materialemodeller for lastkombination 1.a.
Af resultaterne for henholdsvis drænet og udrænet tilstand ses, at der opnås
langt større sætninger i drænet tilstand. Dette var forventet, da den udrænede
tilstand svarer til en korttidstilstand, mens den drænede beregning svarer til
sætninger i langtidstilstanden.
På figur 14.6 ses hovedspændingsretningerne under fundamentet bestemt i Plaxis
for en udrænet Mohr-Coulomb model. Af figuren ses det, at en antagelse om
trykspredning i forholdet 1:2 er en grov antagelse i forbindelse med beregninger
af spændinger og deformationer under fundamentet. Af Plaxis beregningen ses
det, at trykspredningen er hyperbolsk, og derved opstår der større deformationer
tæt på fundamentet, når der beregnes sætninger med Plaxis.
Figur 14.6
Retning af hovedspændinger under fundamentet fra last. 1:2 trykspredning indtegnet.
Differenssætninger
Differenssætningerne er beregnet for lastkombination 1.c, der giver en horisontal
last som medfører disse sætninger. Der anvendes udrænede materialeparametre,
da de horisontale belastninger kan betragtes som kortvarige. Materialeparametrene
fremgår af tabel 11.9 og tabel 11.10. På figur 14.7 ses det
147

14. Numerisk analyse af fundament
deformerede net i Mohr-Coulomb modellen. Flytningerne er skaleret 10 gange
for at tydeliggøre sætningen.
Figur 14.7
Deformationer af Plaxis-model. Deformationer skaleret med en faktor 10.
Differenssætningen bestemmes som forskellen i sætning mellem fundamentets
to nederste hjørner. Herved bestemmes differenssætningen, for en udrænet
Mohr-Coulomb model, til 0,21 m. Dette svarer til en hældning af fundamentet
på 8,9‰.
Resultaterne fra begge materialemodeller ses i tabel 14.2.
Model ∆δ [m] α [‰]
Mohr-Coulomb: 0,21 8,9
Hardening soil: 0,16 6,8
Tabel 14.2
Udrænede differenssætninger af fundament.
De to materialemodeller giver sammenlignelige resultater, og derfor vurderes
det, at differenssætningen bliver 6,8 - 8,9‰, hvilket i toppen af bropillen svarer
til en udbøjning mellem 80 og 100 cm. Der opnås mindre sætninger med
Hardening-Soil modellen, hvilket skyldes at der for små spændinger opnås mindre
deformationer ved Hardening-Soil modellen.
14.3 Beregning af sikkerhedsfaktorer
I Plaxis er det muligt, at beregne en sikkerhedsfaktor ved en ϕ-c-reduktion.
Udfra denne sikkerhedsfaktor er det muligt, at bestemme, hvilken lastkombination,
der er farligst for fundamentet, og dermed begrænse antallet af lastkombinationer
der gennemregnes i brudgrænsetilstanden.
ϕ-c-reduktion beregnes kun i drænet tilstand, da det antages, at den farligste
lastkombination også er det i udrænet tilstand. Da Plaxis regner i 2D, er det
nødvendigt at beregne ϕ-c-reduktion i både længde- og bredderetningen, da det
ikke er sikkert, at den samme lastkombination er farligst for begge retninger.
148

14.3.1 ϕ-c-reduktion
14. Numerisk analyse af fundament
Ved brug af ϕ-c-reduktion reduceres jordens styrkeparametre gradvis, indtil
der opstår brud. Sikkerhedsfaktoren er defineret ved formel (14.1).
Msf = tan(ϕ)input
tan(ϕ)reduced
= cinput
creduced
(14.1)
Hvor ′ input ′ refererer til styrkeparametrene anvendt i input-filen i Plaxis.
′ reduced ′ refererer til de reducerede styrkeparametre anvendt i
ϕ-c-reduktions analysen.
Msf starter med værdien 1,0 i analysen, og derefter defineres det inkrement,
hvormed styrkeparametrene skal reduceres. Inkrementet sættes i beregningerne
til 0,1, og for hvert incrementstep undersøges jorden for brud. Opstår der brud,
stoppes analysen, og sikkerhedsfaktoren defineres herefter ved formel (14.2).
SF =
styrke til rådighed
styrke ved brud = Msf ved brud (14.2)
Anvendes ϕ-c-reduktion sammen med mere avancerede materialemodeller, vil
disse opføre sig som en Mohr-Coulomb model, idet hærdning og stivhed, som
afhænger af spændingsniveauet, ikke tages i regning.
Lasterne, som påføres fundamentet, er regningsmæssige og holdes konstant i
hele analysen, hvorimod styrkeparametrene er karakteristiske, idet disse skal
reduceres med samme forhold, jf. formel (14.1). Dette er ikke muligt med de
regningsmæssige styrkeparametre, da disse ikke har samme partialkoefficient.
Dette betyder, at sikkerhedsfaktorene bliver globale uden sikkerhed fra partialkoefficienterne
på styrkeparametrene.
14.3.2 Sikkerhedsfaktorer i drænet tilstand
Sikkerhedsfaktoren plottes som funktion af enten flytningen eller tøjningen i
et punkt, hvilket er underordnet. Det vælges, at anvende den samlede flytning
U i et punkt lige under fundamentet.
Figur 14.8 viser sikkerhedsfaktoren, beregnet for fire udvalgte lastkombinationer,
ved en fundamentsbredde på 13,00 m. Lastkombination 2.1.i og 2.2.i er
ikke medtaget, da disse lastkombinationer giver samme belastninger som 2.1.g
og 2.2.g, jf kapitel 9 i denne retning. Punkterne som ligger på Msf=1 har ikke
betydning for analysen.
149

14. Numerisk analyse af fundament
Σ M sf
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
M sf i drænet tilstand
2.1.g
2.2.g
2.3.h
2.3.i
1
0 0.2 0.4 0.6
U [m]
0.8 1 1.2
Figur 14.8
Sikkerhedsfaktor ved en fundamentsbredde på 13,00 m.
Af figur 14.8 fremgår det, at lastkombination 2.3.h er den farligste, idet sikkerhedsfaktoren
er lavest med en værdi på 1,77.
Det ses at der for lastkombination 2.1.g, foregår et udpræget sejt brud, mens
bruddet for lastkombination 2.3.h bedst beskrives som et sprødt brud.
Figur 14.9 viser sikkerhedsfaktoren beregnet for de seks udvalgte lastkombinationer
ved en fundamentsbredde på 23,64 m.
Σ M sf
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
M sf i drænet tilstand
2.1.g
2.1.i
2.2.g
2.2.i
2.3.h
2.3.i
1
0 0.5 1
U [m]
1.5 2
Figur 14.9
Sikkerhedsfaktor ved en fundamentsbredde på 23,64 m.
Af figur 14.9 fremgår det, at lastkombination 2.2.i er den farligste, idet sikkerhedsfaktoren
er lavest med en værdi på 1,59
Det ses at der for lastkombination 2.3.i, foregår et udpræget sejt brud, mens
bruddet for lastkombination 2.1.g er et sprødt brud.
Umiddelbart kan det ikke vurderes ,om de to sikkerhedsfaktorer på hhv. 1,77 og
1,59, er tilstrækkelig i brudgrænsetilstanden, idet de fundne sikkerhedsfaktorer
skal svare til en kombination af partialkoefficienten på tangens til friktionsvinklen
og partialkoefficienten på kohæsionen.
150

14. Numerisk analyse af fundament
De to farligste lastkombinationer, for henholdsvis en fundamentsbredde på
13,00og 23,64 m, udvælges til de videre beregninger i brudgrænsetilstanden
14.4 Eftervisning af sikkerhed mod bæreevnebrud
i brudgrænsetilstanden
Det er eftervist i Plaxis, at fundamentet har tilstrækkelig bæreevne i brudgrænsetilstanden.
Dette er gjort i drænet og udrænet tilstand for både en
Mohr-Coulomb og Hardening-Soil model. I og med at jorden ikke er i brud, er
der efterfølgende udført en ϕ-c-reduktion i Mohr-Coulomb modellen, samt en
forøgelse af lasten i Hardening-Soil modellen, som medfører bruddet. Dette er
gjort, for at få brudfigurer ud af Plaxis.
14.4.1 Brudfigurer
Udfra brudtilstanden er brudfigurene fra plaxis optegnet for drænet og udrænet
tilstand. Disse ses på figur 14.10 til 14.13, hvor materialer der er blå illustrerer
en flytning lig nul. Øvrige farver viser den totale flytning af materialet, hvor
rød er størst. Af andre undersøgelser vides det at bruddene sker som liniebrud.
Brudfigurer i drænet tilstand
I drænet tilstand har brudfigurerne samme form, dog er brudfiguren ved en
fundamentsbredde på 23,64 m, noget større en brudfiguren ved 13,00 m. Det
ses, at brudfigurene går ned i moræneleret
Figur 14.10
Brudfigur i drænet tilstand ved en fundamentsbredde
på 13,00 m.
Brudfigurer i udrænet tilstand
Mohr-Coulomb
Figur 14.11
Brudfigur i drænet tilstand ved en fundamentsbredde
på 23,64 m.
I udrænet tilstand har brudfigurene samme form, dog er brudfiguren ved en
fundamentsbredde på 23,64 m, noget større en brudfiguren ved 13,00 m. Det
ses, at brudfigurene går ned i moræneleret
Mohr-Coulomb
151

14. Numerisk analyse af fundament
Figur 14.12
Brudfigur i udrænet tilstand ved en
fundamentsbredde på 13,00 m.
Figur 14.13
Brudfigur i udrænet tilstand ved en
fundamentsbredde på 23,64 m.
Det ses, at brudfigurene bliver væsentlig større i drænet tilstand end i udrænet
tilstand. Dette skyldes, at i drænet tilstand bliver moræneleret til et friktionsmateriale,
og for brudfigure gælder generelt, at jo større friktionsvinkel, jo
større brudfigur [Harremoës et al. 2000, s 14.2].
152

KAPITEL
15
15. Funderings opsummering
ttt
Funderings
opsummering
ttt
I dette kapitel sammenlignes geotekniske beregninger udført i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden.
For brudgrænsetilstanden sammenlignes bæreevner
beregnet efter DS415 med bære-evner beregnet analytisk (øvre- og nedreværdiløsninger).
Ydermere sammenlignes analytiske brudfigurer med brudfigurer
beregnet i Plaxis.
For anvendelsesgrænsetilstanden sammenlignes konventionelt beregnede sætninger
med sætninger beregnet i Plaxis.
15.1 Brudgrænsetilstand
I brudgrænsetilstanden er der beregnet bæreevne på tre forskellige metoder,
en konventionel normbaseret metode, en analytisk og en numerisk beregning.
Der er i den konventionelle og den analytiske beregning fundet en vertikal og
horisontal bæreevne.
15.1.1 Vertikal bæreevne
På figur 15.1 og 15.2 ses de vertikale bæreevner og regningsmæssige laster ved
forskellige lastkombinationer. Det ses på figuren, at de konventionelle beregninger
ligger tæt på den regningsmæssige last. Dette skyldes, at konstruktionen
er optimeret ud fra den konventionelle brudberegning.
153

15. Funderings opsummering
Bæreevne/Last [MN]
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
2.1.g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i
Last
Kinematisk 2
Kinematisk 3
Statisk 1
Konvensionel
Figur 15.1
Lastkombinationer og tilhørende bæreevner.
Bæreevne/Last [MN]
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Last Kin 2 Kin 3 Statisk 1 Konvensionel
Figur 15.2
Dimensionsgivende laster og bæreevner.
I de mere komplekse analytiske beregninger, hvor der er taget udgangspunkt
i to kinematiske (øvreværdi - kinematisk løsning 2 og 3) og en statisk løsning
(nedreværdi - statisk løsning 1), er der også fundet en bæreevne. Det ses
på figur 15.1, at øvre- og nedreværdierne ligger på den rigtige side af den regningsmæssige
last, henholdsvis over og under. Den rigtige bæreevne skal derfor
findes mellem kinematisk 3 og statisk 1. Ud fra figurer 15.1 og 15.2 kan det
konkluderes at den konventionelle bestemmelse er en god metode til af beregne
bæreevnen af broens fundament.
15.1.2 Horisontal bæreevne
Der er også fundet en horisontal bæreevne i den konventionelle og analytiske
beregning. På figur 15.3 og 15.4 ses disse bæreevner sammen med de regningsmæssige
horisontale laster.
Bæreevne/Last [MN]
350
300
250
200
150
100
50
0
2.1.g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i
Last
Kinematisk 1
Konventionel
Figur 15.3
Lastkombinationer og tilhørende bæreevner.
Bæreevne/Last [MN]
350
300
250
200
150
100
50
0
Last Kinematisk 2 Konventionel
Figur 15.4
Dimensionsgivende laster og bæreevner.
Det ses på figurerne, at begge bæreevner er større end belastningen. Det er dog
ikke muligt at skønne om den konventionelle beregning er god, idet begge beregnede
bæreevner er større end lasten. Dog ligger den konventionelle bæreevne
154
2.1.g
2.1.i
2.2.g
2.2.i
2.3.h
2.3.i
2.1.g
2.1.i
2.2.g
2.2.i
2.3.h
2.3.i

15. Funderings opsummering
under øvreværdi-løsningen (kinematisk 1) og må derfor betragtes som en tilfredsstillende
bestemmelse af den horisontale bæreevne.
15.1.3 Numeriske brudberegninger i Plaxis
Fundamentet er også modelleret i Plaxis. Her er fundamentet på 13 m × 23,6
m fundet til at kunne holde til samtlige lastkombinationer uden at gå i brud.
Brudlinier bestemmes derfor ved at øge lasten indtil brud.
15.1.4 Sammenligning af brudfigurer
For at vurdere om brudfiguren kinematisk løsning 3, ligger tæt på den rigtige
brudfigur, er jorden belastet til brud i Plaxis. På figur 15.5 og 15.6 ses brudfiguren
for de to undersøgte tilfælde.
Figur 15.5
Udrænet brud ved lastkombination 2.3.h
ved en fundamentsbredde på 13 m.
Figur 15.6
Drænet brud ved lastkombination 2.3.h
ved en fundamentsbredde på 13 m..
Som det ses, er den analytiske brudlinie næsten identisk med den drænede
tilstand, mens den udrænede giver en meget mindre brudfigur. Det er dog
ikke muligt at sammenligne de analytiske og de numeriske brudlinier direkte
ud fra figur 15.6, fordi normalitetsbetingelsen benyttes i de analytiske beregninger.
For at sammenligne dem foretages der en numerisk beregning, hvor
dilatationsvinkel sættes lig friktionsvinklen. Resultatet af dette ses på figur
15.7.
Figur 15.7
Drænet brud ved lastkombination 2.3.h
ved en fundamentsbredde på 13 m, hvor
normalitetsbetingelsen forudsættes.
Ved at ændre den numeriske beregning sker der ikke nogen synlige ændringer
af brudfiguren. Det ses, at den analytiske brudfigur er næsten ens med brudfiguren
fra Plaxis og det må derfor være tæt på den rigtige brudfigur, hvilket
betyder, at den virkelige bæreevne ligger tæt på den bæreevne, der er fundet
ud fra brudlinie 3.
155

15. Funderings opsummering
15.2 Anvendelsesgrænsetilstanden
I anvendelsesgrænsetilstanden bestemmes vertikale og differenssætninger for
bropillen. Disse beregninger udføres dels efter normbaserede overslagsberegninger,
samt ved numeriske fine element-beregninger.
15.2.1 Sammenligning af vertikale sætninger
De vertikale sætninger er bestemt ud fra lastkombination 1.a, jf. afsnit 12.3,
ved henholdsvis en konventionel sætningsberegning (2D og 3D) og en finite
element beregning i Plaxis (2D). Lastkombination 1.a er anvendt, da denne
indeholder den største vertikale last.
Ved den konventionelle sætningsberegning bestemmes spændingsfordelingen
under fundamentet tilnærmet ved 1:2 trykspredning, og sætningen beregnes
ved et elasticitetsteoretisk udtryk, hvor konsolideringsmodulen indgår. I afsnit
12.5 beregnes den konventionelle sætning i 2D og 3D, og resultaterne fremgår
af tabel 15.1.
Metode Drænet (2D) Drænet (3D)
Konventionel
δ [m] 0,80 0,56
Tabel 15.1
Vertikale sætninger beregnet ved anvendelse af konventionel metode.
I Plaxis beregnes den vertikale sætning på fire forskellige måder, se tabel 15.2.
Model Udrænet Drænet
Mohr-Coulomb:
δ [m] 0,37 1,13
Hardening-Soil:
δ [m] 0,42 1,07
Tabel 15.2
Vertikale sætninger beregnet med Plaxis.
Afvigelserne mellem de to materialemodeller skyldes, at Mohr-Coulomb modellen
anvender en lineær-elastisk idealplastisk arbejdskurve for jorden, og
Hardening-Soil modellen er baseret på en elasto-plastisk krum arbejdskurve.
Sætningen, beregnet ved den udrænede tilstand svarende til korttidstilstanden,
er ikke anvendelig til sammenligning med den konventionelt beregnede, der er
gældende for langtidstilstanden.
156

15. Funderings opsummering
Ved sammenligning af de konventionelt beregnede sætninger med sætningerne
bestemt i Plaxis for det drænede tilfælde fås de relative afvigelser, angivet i
tabel 15.3.
Konventionel Plaxis Afvigelse
[m] [m] [%]
0,80 (2D) 1,13 (M-C) 41
0,80 (2D) 1,07 (H-S) 34
Tabel 15.3
Relative afvigelser mellem konventionelt- og Plaxis-beregnede sætninger.
I Plaxis regnes der i 2D, hvorfor resultaterne herfra kan sammenlignes direkte
med den konventionelt beregnede sætning i 2D. Det fremgår af tabel 15.3,
at sætningerne beregnet i Plaxis afviger med 41% og 34% fra den konventionelle,
hvilket hovedsageligt skyldes, at den konventionelt beregnede sætning
er baseret på 1:2 trykspredning, hvilket har vist sig at være en grov antagelse
ved store fundamentsbelastninger. Sætningerne beregnet i Plaxis vurderes
mere korrekte end den konventionelle, og Hardening-Soil modellens resultat
vurderes at være det mest præcise sammenlignet med Mohr-Coulomb
modellens resultat.
Den konventionelle sætning beregnet i 3D er 43% mindre end den tilsvarende
sætning i 2D. Overføres dette til sætningen beregnet i 2D i Plaxis, svarer det
groft til, at sætningen i 3D er på ca. 0,75 m, hvilket vurderes mere realistisk end
sætningen beregnet i 2D på 1,07 m. Den vertikale sætning af fundamentet er
altså ca. 0,75 m, hvilket vurderes at være en relativ stor sætning. Det forventes
dog, at en del af den totale sætning er initialsætninger, som opstår umiddelbart
efter opførelsen af bropillen. Dertil skal tilføjes, at der mellem bropillerne
er en afstand på ca. 240 m, hvorfor mindre sætninger af bropillerne ikke medfører
bæreevnemæssige konsekvenser for broen i form af brud i brodækket og
lignende.
15.2.2 Sammenligning af differenssætninger
Der er bestemt differenssætninger af bropillen ved en konventionel metode
samt ved anvendelse af Plaxis.
Ved den konventionelle metode er fastlagt følgende differenssætninger, se tabel
15.4, hvor både sætningen, δ, og hældningen, α, er angivet. Den konventionelle
metode bestemmer sætninger for den drænede tilstand, idet både initialsætninger
og konsolideringssætninger indregnes, hvorfor differenssætningen forventes
at afvige fra den korrekte differenssætning, da denne vil opstå i den
udrænede tilstand som følge af en stor kortvarig vandret lastpåvirkning.
157

15. Funderings opsummering
Metode ∆δ [m] α [‰]
Konventionel 0,12 5,1
Tabel 15.4
Differenssætninger ved konventionel metode (drænet).
I Plaxis er differenssætningen bestemt i den udrænede tilstand, og resultater
fra anvendelse af henholdsvis en Mohr-Coulomb model og en Hardening-Soil
model fremgår af tabel 15.5.
Model Udrænet
Mohr-Coulomb:
∆δ [m] / α [‰] 0,21/8,8
Hardening soil:
∆δ [m] / α [‰] 0,16/6,8
Tabel 15.5
Differenssætninger bestemt i Plaxis.
Ved sammenligning af den konventionelle differenssætning med differenssætningerne
beregnet i Plaxis fås følgende relative afvigelser, se tabel 15.6.
Konventionel Plaxis Afvigelse
[m] /[‰] [m]/[‰] [%]
0,12/5,1 0,21/8,9 (M-C) 75
0,12/5,1 0,16/6,8 (H-S) 33
Tabel 15.6
Relative afvigelser mellem konventionelt- og Plaxis-beregnede differenssætninger
Begge beregninger er udført i 2D, og kan derfor umiddelbart sammenlignes. Det
fremgår af tabel 15.6, at der er relative afvigelser på 75% og 33%. Afvigelserne
kan dels forklares med, at den konventionelle beregning er foretaget i den
drænede tilstand, hvilket ikke er korrekt da belastningen der medfører differenssætninger
er kortvarig, og dels skyldes afvigelserne, at den konventionelle
metode anvender trykspredning 1:2, hvilket undersøgelser i Plaxis har vist ikke
er rigtigt. De numeriske undersøgelser viser, at trykspredningen er parabolsk,
dvs. at denne spredes med en krum kurve pga. den store fundamentsbelastning.
Differenssætningerne beregnet i Plaxis vurderes mest præcise, og Hardening-
Soil modellens resultat vurderes mere anvendeligt end Mohr-Coulomb modellens
resultat, og der kan således forventes differenssætninger af fundamentet,
der medfører en hældning på ca. 7‰. Differenssætningerne af fundamentet på
ca 7‰omregnes til det tredimentionelle tilfælde, hvorved der kan forventes en
differenssætning af størrelsesordenen 5‰.
158

KAPITEL
16
ttt
Konklusion
ttt
16. Konklusion
Der er i denne rapport foretaget en analyse af en bropille til en skråstagsbro
over Femer Bælt. Analysen har dels bestået i at bestemme lasterne på bropillen
med hovedvægt på estimering af bølgelasten, som er fastlagt ud fra ekstrembølgestatistik
konstrueret vha. vindstatistik. Derudover er der foretaget en
stabilitetsanalyse af bropillens fundament, som er undersøgt ved analytiske og
numeriske metoder i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden.
16.1 Vandbygning
For bropillen er der bestemt egenlast, trafiklast og vandret masselast samt
vindlast, islast og bølgelast. Vindlasten er regnet kvasistatisk, idet en egensvingningsundersøgelse
har vist, at den dynamiske forstærkning hidrørende
fra dynamiske laster kan negligeres. Bølgelasten er estimeret ved analytiske,
numeriske og eksperimentelle metoder. Den analytiske beregning er baseret
på Morisons formel, og Morisonkraften bestemmes både i tids- og frekvensdomænet.
Den numeriske beregning er udført ved anvendelse af elementprogrammet
ShipSim, der benytter en potentialteoretisk kilde/dræn-metode til
bestemmelse af bølgekraften. I vandbygningslaboratoriet er udført forsøg med
en skalamodel af bropillen, for herved at fastlægge bølgekraften eksperimentelt.
Ydermere var formålet med modelforsøget at undersøge graden af linearitet
mellem bølgehøjde og bølgekraft, og forsøget viste, at der var god lineær sammenhæng
mellem de to størrelser. Herved kunne bølgekraften bestemmes udfra
bølgespektret ved anvendelse af en transferfunktion. Ved sammenligning af de
estimerede bølgekræfter viser det sig, at der er god overensstemmelse mellem
den numeriske og den eksperimentelle, idet afvigelsen er på 0,3%. Den analytiske
bølgekraft afviger med 8% fra den eksperimentelle, hvilket skyldes, at
forudsætningerne for metoden ikke er tilstrækkeligt opfyldt. Den analytiske beregning
med Morisons formel forudsætter, at den betragtede konstruktionsdel
er mindre end 1/5 af bølgelængden, hvilket ikke er tilfældet for den ellipseformede
del af bropillen. Det vurderes, at den eksperimentelt bestemte bøl-
159

16. Konklusion
gekraft er den mest anvendelige, idet bropillens størrelse gør, at begge beregningsmetoder
kommer ud i grænsen af deres gyldighedsområde.
16.2 Fundering
Der opstilles et geoteknisk designprofil for jorden ved bropillen på baggrund
af udførte bundundersøgelser på lokaliteten, og geotekniske designparametre
fastlægges hovedsageligt udfra et CPT- og triaksialforsøg samt udfra boreprofiler
fra lokaliteten. Det vurderes mest hensigtsmæssigt at anvende et gravitationsfundament,
og hoveddimensionerne fastlægges ved en normbaseret skitsedimensionering,
hvor fundamentet beregnes i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden.
Herefter detailanalyseres fundamentet yderligere ved anvendelse af
analytiske og numeriske metoder. Ved de analytiske beregninger anvendes henholdsvis
statisk og kinematisk tilladelige løsninger, hvorved der findes nedreog
øvreværdier for bæreevnen. Til de numeriske beregninger anvendes Plaxis,
hvor fundamentet undersøges i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden. Ved
sammenligning af de analytiske og normbaserede bæreevner findes, at de analytiske
øvre- og nedreværdier er beliggende på de forventede sider af lasten,
og at den normbaserede bæreevne har en størrelse lige over lasten, hvilket
også var at forvente. En af de analytiske brudfigurer sammenlignes med de
numerisk bestemte, og det er fundet, at den analytiske er næsten identisk med
den numeriske. Ved sammenligning af konventionelt beregnede sætninger og
differenssætninger med numeriske findes, at de konventionelle er væsentligt
mindre end de numeriske, hvilket skyldes utilstrækkelige forudsætninger ved
den konventionelle metode. De optimerede fundamentsdimensioner er fastlagt
til 23,6 m × 13,0 m.
De numeriske resultater er generelt mere præcise end de analytiske og normbaserede,
men den numeriske metode er også mere tidskrævende. Den normbaserede
metode vurderes anvendelig til hurtige overslagsberegninger, og metoden
er forholdsvis præcis til beregninger i brudgrænsetilstanden. De analytiske
metoder er lidt mere tidskrævende end den normbaserede, og det kræver en del
øvelse at finde de korrekte brudfigurer. Det vurderes afslutningsvis, at der ved
dimensionering af store konstruktioner som brokonstruktioner vil være behov
for numeriske beregninger for at opnå tilstrækkeligt nøjagtige resultater.
160