Matematikkens mysterier 2. Trigonometri - KennethHansen.net

Opgave: En retvinklet trekant har en katete med længden 3 og en hypotenuse
med længden 7. Bestem længden af den anden katete.
Løsning:
A
c=7
b=3
B
C
⇓
⇓
⇓
2 2 2
a + b = c
2 2 2
a = c − b
2 2
a = c − b
2 2
a = 7 − 3 = 49− 9 = 40
Vi skal nu til at bevise den omvendte sætning af Pythagoras' sætning. Hvad menes
der egenligt med dette?
Lad os tage ud på landet og besøge fåreavler K. Hansen, som bor tæt ved sin
fødeby Kølvrå i Midtjylland. Efter mange års intensive matematik-studier er
fåreavler Hansen blevet i stand til at bevise sætningen:
Alle Hansens får er hvide.
a
En dag er fåreavler Hansen ude på engen. Uheldigvis taber han sine briller (han er
nærsynet), så det eneste, han kan se, er klatter af forskellig størrelse og farve.
Pludselig ser har en hvid klat komme løbene hen over engen. Fåreavler Hansen
kaster sig over, og fanger, denne hvide klat. Kan fåreavler Hansen være sikker på,
at det indfangne dyr er et får?
Nej - ovenstående sætning kan ikke bruges her! Fåreavler Hansen mangler nemlig
den omvendte sætning:
Alle de hvide dyr, Hansen ejer, er får.
Hvis Hansen ikke ved, at denne omvendte sætning gælder, så kunne det hvide,
indfangne dyr faktisk være en hvid hyrdehund, eller en hvid ged, eller noget helt
tredie.
Tilbage til matematikbøgerne, hr. fåreavler Hansen!
En tilsvarende situation har vi med Pythagoras' sætning. Her kigger vi også på
trekanter, som måske/måske ikke er retvinklede, og som måske/måske ikke
2 2 2
opfylder ligningen a + b = c .
20