Matematikkens mysterier 2. Trigonometri - KennethHansen.net

Eksempel
A
c
B
o b
o
=30 C =55
Vi vil finde arealet af trekanten fra det
foregående eksempel. Her er det fristende
bare at tage de afrundede værdier for b og c
og proppe ind i arealformlen - men det er
forkert!
Man skal enten tage de værdier, lommeregneren gav (med alle 117
decimaler), eller man skal regne eksakt:
B
T = 1 ab C = 1 sin( )
sin( ) ⋅a ⋅a ⋅ sin( C)
=
2
2
sin( A)
1 sin( 95°
)
⋅6 ⋅6⋅ sin( 55° ) = 29, 37725724≈ 29, 38
2
sin( 30°
)
Forsøger man at beregne arealet med de afrundede værdier b=11,95 og
c=9,83, så får man arealet til at være
1
2
a=6
1
2
T = bcsin( A)
= ⋅11, 95⋅ 9, 83⋅ sin( 30° ) = 29, 36
Som man ser, er der en vis forskel mellem de to resultater!
Vi har set, at sinus-relationerne er ganske nyttige; men de kan dog ikke bruges til
alt. Sinus-relationerne kræver nemlig, at man kender en vinkel og dens
modstående side, før man kan komme i gang. Kender man en vinkel, men ikke
dens modstående side, eller omvendt, så skal man bruge cosinus-relationerne:
Sætning 19 (cosinus-relationerne) (FS)
I en vilkårlig trekant gælder
2 2 2
a = b + c − 2bccos(
A)
2 2 2
b = a + c − 2accos(
B)
2 2 2
c = a + b − 2abcos(
C)
Cosinus-relationerne anvendes ofte omskrevet:
36