Ny Dallvej - Morten Christiansen

Ny Dallvej
Tilslutning til Motorvej E45
Bilagsrapport
Det Teknisk- Naturvidenskabelige Fakultet
Aalborg Universitet
Gruppe C104
B3 - Projekt 2005

Indhold
A Dimensionsgivende parametre for tracéring 1
A.1 Hastigheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A.2 Vejtype/Tværprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A.3 Horisontalradier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.4 Klotoider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A.5 Vertikalkurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B Støjberegninger 9
C Data fra Novapoint 13
D Masseberegninger 17
E Vejbefæstelse 21
E.1 Vejbefæstelsens opbygning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
E.2 Dimensionering af vejbefæstelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
E.2.1 Beregning af NÆ10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
E.2.2 Dimensionering af vejbelægning . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E.2.3 Beregning af normalspændinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E.2.4 Beregning af tøjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
F Trafikmængder i T-krydset 35
F.1 Kapacitetsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
G Vand og miljø 45
G.1 Oplandsarealer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
G.2 Beregning af afstrømningstiden fra vejoverfladen . . . . . . . . . . . . 45
G.2.1 Udregning af vandets hastighed p˚a vejen . . . . . . . . . . . . 46
G.2.2 Beregning af afstand fra fjerneste punkt . . . . . . . . . . . . 49
G.2.3 Beregning af afløbstiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
G.3 Grøfteberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
G.3.1 Grøftens naturlige dybde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
G.3.2 Gennemløbstid for grøft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ii Indhold
G.3.3 Resultat af grøfteberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
H Rørdimensionering 55
H.1 Dimensionering af det nordlige rør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
H.2 Dimensionering af det sydlige rør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I Dimensionering af regnvandsbassiner 61
I.1 Beregning af totalvoluminer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I.2 Dimensionering af bassiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
I.3 Dimensionering af rør fra bassin til recipient . . . . . . . . . . . . . . 66
I.4 Kontrol af Regnvandsbassin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
J Skitseprojektering af bro 71
J.1 Forslag til brotype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
J.1.1 Forudsætninger for skitseprojektet . . . . . . . . . . . . . . . 71
J.2 Modelering af laster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
J.2.1 Beregning af trafiklasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
J.2.2 Modelering af egenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
J.3 Gitterbro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
J.4 Placering af charnier i bjælkebroer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
J.5 Bjælkebro med skr˚a søjler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
J.5.1 Bjælkeberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
J.5.2 Søjleberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
J.6 Bjælkebro med lodrette søjler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
J.7 Statisk ubestemte bjælkebroer med lodrette søjler . . . . . . . . . . . 91
K Sikkerhed og laster 95
K.1 Laster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
K.1.1 Trafiklast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
K.1.2 Bremse- og accelerationslast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
K.1.3 Belægningslast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
K.1.4 Vindlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
K.1.5 Vandret masselast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
L Dimensionering af broplader 103
L.1 Lastplacering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
L.2 Anvendelsesgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
L.3 Brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
M Dimensionering af længdebjælker 115
M.1 Lastplacering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
M.2 Brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Indhold iii
N Dimensionering af tværbjælker 125
N.1 Lastplacering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
N.2 Brudgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
N.3 Anvendelsesgrænsetilstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
O Dimensionering af søjler 137
O.1 Lastplacering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
O.2 Søjlens statiske system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
O.3 Dimensionering af søjle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
O.4 Vindafstivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
P Dimensionering af boltesamlinger 147
P.1 Boltesamling af længdebjælker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
P.1.1 Snitkræfter i samlingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
P.1.2 Boltesamling i kroppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
P.1.3 Boltesamling i flangerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
P.2 Boltesamling mellem søjler og tværbjælker . . . . . . . . . . . . . . . 161
Q Elementmetoden 167

Bilag A
Dimensionsgivende parametre for
tracéring
N˚ar en ny vej skal anlægges, er der en række parametre, som skal bestemmes forud
for udarbejdelse af linieføring. Herunder bestemmes parametre som er gældende for
dette projekt.
A.1 Hastigheder
Den valgte vejstrækning fra City Syd til Motorvej E45 skal projekteres som en
almindelig landevej, hvilket medfører en hastighedsbegrænsning p˚a 80 km/t svarende
til den aktuelle hastighedsbegrænsning p˚a den nuværende Dallvej. Hastigheden
indg˚ar som parameter til bestemmelse af faktorer, der har betydning for traffikanternes
komfort og sikkerhed. Dette drejer sig om hendholdsvis ønsket hastighed Vø
og dimensioneringshastighed Vd. Dimensioneringshastigheden er en regningsmæssig
værdi, hvortil der adderes et ”sikkerhedsbidrag” p˚a 20 km/t (Thagesen 2000).
A.2 Vejtype/Tværprofil
Det er vigtigt forud for udfærdigelse af linieføringen at bestemme, hvilken vejtype
der skal anlægges. For at kunne beregne minimumsradier i de horisontale kurver
skal der bruges informationer, som varierer i forhold til oversigtsforhold og dermed
vejbredden. Ud fra den ønskede hastighed samt et ˚ ADT p˚a 15.467 køretøjer afsnit
2.3, vælges vejens tværprofil som type 12 — 2-sporet vej med kantbaner — i vejdi-

2 Dimensionsgivende parametre for tracéring
rektoratets typekatalog (Vejdirektoratet 1999a). Hvis der udelukkende fokuseres p˚a
vejens vejledende trafikkapacitet, burde der vælges en vejtype 7 eller 10. Det er dog
vurderet at strækningen er for kort til en ”2+1”-sporet vej, og at en bred 2-sporet
vej er uhensigtsmæssig, idet en bredere køresporsbredde kan give indtryk af gode
overhalingsmuligheder, hvilket ikke er ønskeligt. Derudover vil den valgte vejtype
inddirekte medfører, at trafikanterne i største omfang overholder hastighedsbegrænsningen,
idet køresporsbredden er mindre end ved de førnævnte. I vejtypekataloget
findes anbefalede elementbredder til kørespor 3,5 m, kantbane 0,5 m og yderrabat
2,5 m. Disse værdier benyttes til bestemmelse af parameteren d, som igen bruges til
at beregne kurvernes minimumsradier. P˚a figur A.1 er vejelementerne skitseret.
Figur A.1: De forskellige vejelementer der udgør d.
A.3 Horisontalradier
Sigtforholdet p˚a en vej har stor betydning for trafiksikkerheden. Derfor er det vigtigt,
at de valgte horisontalradier sikrer god kørselskomfort for bilisterne. Minimumsradier

A.4 Klotoider 3
kan beregnes ud fra (A.1) (Vejdirektoratet 1999c).
hvor
S 2 = 8 · R · d ⇔ Rmin = S2
8 · d
S er sigtelængden [ m]
R er radius [ m]
d er afstanden fra føreren til nærmeste sigthæmmende genstand [ m]
(A.1)
Sigtelængden bestemmes ud fra Vø og vejens længdehældning. Idet der minimum
kræves stopsigte, er sigtforholdet p˚a Ny Dallvej bestemt til minimum 188 m (Vejdirektoratet
1999c). P˚a hele strækningen anlægges der grøfter i begge kørselsretninger
med en bredde p˚a 2 m. Det er valgt at medtage denne afstand ved bestemmelse af
d for at mindske horisontalradierne. Afstanden d er fundet ved addition af yderrabattens
bredde, kantbanens bredde, afstanden fra centrum af kørespor til kantbane
og grøftebredde. Ved brug af de anbefalede elementbredder f˚ar d værdien 6,75 m.
Herefter kan strækningens minimumsradier bestemmes ud fra (A.1) til:
Rmin = S2
8 · d
= 188 m 2
8 · 6,75 m
= 654,52 m
Heraf ses, at radier i vejens horisontalkurver skal være minimum 655 m. Af hensyn
til bedre kørselskomfort øges horisontalradierne til 700 m. Det er ikke ønskeligt, at
der opn˚as overhalingsmulighed p˚a strækningen, hvorfor møde- og overhalingssigte
undg˚as.
A.4 Klotoider
Klotoiden er en spiral, hvorfor det kun er den første del, der benyttes som overgangskurve.
Derudover er klotoiden karakteriseret ved følgende parameterfremstilling
(Thagesen 2000):

4 Dimensionsgivende parametre for tracéring
hvor
L · R = A 2
L er klotoidens længde [ m]
R er cirkelbuen radius [ m]
A er klotoideparameteren [ m]
(A.2)
N˚ar der vælges klotoideparameter til en overgangskurve, er der tre forhold der bør
overholdes for at kørselskomfort og trafiksikkerhed er overholdt. Udledningen til
hvert udtryk beskrives ikke, men der tænkes p˚a følgende:
• Klotoidens vinkeldrejning bør være p˚a minimum 3 ◦ :
hvor
A ≥ 1
· R ⇔ A ≥ 334 m
3
R er cirkelbuen radius, 1000 m
b er kørebanens bredde,
• Overhøjden i kurven bør kunne tilvejebringes gennem overgangskurven med
en stigningsforskel mellem de to kørebanekanter p˚a maksimalt 6 0/00:
hvor
A ≥ vd 8,5 · b ⇔ A ≥ 215
vd er dimensioneringshastigheden indsat i m/s, 27,8 m/s
b er kørebanens bredde, 7 m
• Ændringen i sideacceleration gennem overgangskurven bør ikke overstige 0,5
m/sek 3
hvor
A ≥
2 · v3 d ⇔ A ≥ 208

A.5 Vertikalkurver 5
vd er dimensioneringshastigheden indsat i m/s, 27,8 m/s
Af ovenst˚aende ses, at alle tre betingelser er overholdt, idet klotoideparameteren
bestemmes ud fra vinkeldrejningen. For den valgte linieføring er klotoideparameteren
i Novapoint derfor valgt til at være 256 m.
A.5 Vertikalkurver
En vejstrækning vil opfattes som ubehagelig at køre p˚a, hvis centrifugalaccelerationen
overstiger 0,5 m/s 2 (Thagesen 2000). Ud fra det synspunkt skal vertikalradius
som minimum opfylde:
hvor
v 2
R ≤ 0,5 ⇒ Rmin = 2v 2
v er hastigheden indsat i [m/s]
(A.3)
I afsnit 4.1 er det vurderet, at hastigheden p˚a Ny Dallvej skal være 80 km/t, og
dimensioneringshastigheden er fundet til Vd = 100 km/t. Ved indsættelse i (A.3)
findes den mindste radius for overholdelse af komforthensyn til:
Rmin = 2V 2
d = 2 s 2 /m · (27,8 m/s) 2 = 1543 m
Vejens oversigtsforhold og krav om samme spiller en stor rolle under valg af længdeprofil.
I en konveks kurve begrænses udsynet af selve vejbanen, og i en konkav kurve
kan udsynet mindskes pga. krydsende broer eller nedkørsel til en tunnel.
Dimensionering af vertikalkurverne ud fra oversigtskrav afhænger af den ønskede
sigtelængde (fundet i afsnit 4.1), øjets højde over kørebanen samt genstandens højde
over vejen. Desuden afhænger radius af kurvens længde — lang hhv. kort kurve.
For en lang kurve, som er det ”værste”tilfælde, kan mindsteradius regnes efter (A.4).
I en lang kurve er sigtelængden kortere end kurven, og b˚ade øjnene og sigtgenstand
befinder sig s˚aledes p˚a kurven.

6 Dimensionsgivende parametre for tracéring
hvor
Rmin =
S 2
2 √ h1 + √ h2
2
S er den ønskede sigtelængde [m]
h1 er øjets højde over kørebanen [m]
h2 er højden som sigtes til [m]
(A.4)
I tilfældet med Ny Dallvej ønskes stopsigte, og i s˚adant tilfælde foreskriver vejreglerne
(Vejdirektoratet 1999a), at en bilist skal kunne se de øverste 0,05 m af en 0,15 m
høj genstand. Udsigtshøjden fra en personbil sættes til 1,00 m. Den p˚akrævede sigtelængde
for stopsigte er i afsnit 4.1 fundet til 188 m. Det et nu muligt at udregne
den p˚akrævede radius for lange konvekse vertikalkurver vha. (A.4).
Rmin =
S 2
2 √ h1 + √ h2
2 =
(188 m) 2
2 √ 1,00 m + √ 0,10 m 2 = 10200 m
Hvis der ikke er mulighed for at indpasse en radius af denne dimension, kan det
undersøges, om det er tilstrækkeligt at indlægge en kort kurve. Mindste radius for
en kort kurve bestemmes ud fra (A.5).
hvor
Rmin = 2
α2
2
α · S − h1 + h2
S er den ønskede sigtelængde [m]
h1 er øjets højde over kørebanen [m]
h2 er højden som sigtes til [m]
(A.5)

A.5 Vertikalkurver 7
α er stigningsændringen [rad]
Grænsen mellem de to tilfælde — lang hhv. kort kurve — g˚ar hvor S = R · α:
α = 2
2 h1 + h2
S
Vejstrækningen har ikke nogle konkave kurver, som kræver dimensionering for oversigtsforhold,
da vejstrækningen ikke føres under en bro eller andre sigthæmmende
genstande. Derfor undlades disse udregninger. I konkave kurver bør det ogs˚a vurderes,
hvorvidt køretøjernes lygter kan oplyse vejen tilstrækkelig langt frem. Her skal
som minimum være oplysning af en vejstrækning svarende til stopsigtelængden. Den
nødvendige konkavradius bestemmes da ved (A.6).
hvor
Rmin =
S 2
2 (h3 + S · β)
S er den ønskede sigtelængde [m]
h3 er lygtens højde over kørebanen (typisk 0,7 m)
(A.6)
β er lyskeglens opadg˚aende hældning i forhold til bilens grundplan (typisk 1 ◦ svarende
til 0,0175 i rent tal)
I en lang konkav vertikalkurve p˚a Ny Dallvej kræves som minimum en radius p˚a:
Rmin =
(188 m) 2
2 (0,7 m + 188 · 0,0175)
= 4429 m
N˚ar linieføring og længdeprofil skal kombineres, bør det tilstræbes, at linieføringen
tegner vejbilledet — dette opn˚as, n˚ar vertikalradius er 10 gange s˚a stor som kurvens
horisontalradius. Ud fra den betragtning skal vertikalradierne p˚a Ny Dallvej, jf. bilag
A.3, som minimum være:
Rv = 10 · Rh = 10 · 700 m = 7000 m

Bilag B
Støjberegninger
N˚ar nye vejanlæg projekteres, skal der tages højde for hvordan omkringliggende
omr˚ader p˚avirkes af støj fra vejens trafik. I omr˚adet ved Dall Villaby skal der tages
hensyn til et kolonihaveomr˚ade nord for Ny Dallvej. For s˚adanne omr˚ader er miljøstyrelsens
vejledende grænseværdier 55 dB (Kjems 2005b). Dette er derfor ønskeligt i
dette projekt, ogs˚a selvom kolonihaveomr˚adet i forvejen er p˚avirket af Motorvej E45.
I nærværende afsnit undersøges hvordan kolonihaveomr˚adet p˚avirkes af vejtrafikstøj
fra Ny Dallvej og om der skal laves støjreducerende anlæg p˚a strækningen.
For at bestemme støjp˚avirkning p˚a kolonihaveomr˚adet bestemmes ækvivalentniveauet
LAeq af støjen. Dette gøres ved følgende tre trin:
1. Basisværdi L1
2. Korrektion for afstand, terræn og skærmning
3. Andre korrektioner
Først bestemmes basisværdien L1 ud fra følgende kendte oplysninger 2.3 og A:
• Antal tunge køretøjer pr. døgn — 2390 Kt
• Antal lette køretøjer pr. døgn — 13077 Kt
• Faktisk hastighed for tunge køretøjer — 70 km/t
• Faktisk hastighed for lette køretøjer — 80 km/t

10 Støjberegninger
Nu bruges graferne, der ses p˚a figur B.1, til at bestemme LAeq,lette og LAeq,tunge
(Kjems 1998). Som det ses p˚a figur B.1 er værdierne aflæst til:
LAeq,lette=76 dB
LAeq,tunge=69 dB
Nu bestemmes absolitværdien mellem LAeq,lette og LAeq,tunge til:
LAeq,lette − LAeq,tunge = 76 dB − 69 dB = 7 dB
Ud fra denne værdi findes et tillæg til LAeq,lette. Som det ses p˚a figur B.1 er denne
værdi 0,8 dB. Dermed er L1 bestemt til 76,8 dB.
Der skal nu korrigeres efter afstand, terræn og skærmning ud fra 22 typetilfælde.
Det er vurderet at der i dette projekt skal arbejdes ud fra typetilfælde 6, der ses p˚a
figur B.2.
For at den vejledende grænseværdier p˚a 55 dB er overholdt, skal der laves en korrektion
p˚a -21,8 dB. Som det p˚a figur B.2 skal der være en afstand mellem Ny Dallvej og
kolonihaveomr˚adet p˚a ca. 82 m. Idet den mindste afstand fra Ny Dallvej til kolonihaveomr˚adet
er ca. 100 m, jf. tegning C104-001, kan det konkluderes at de vejledende
støjgrænser er overholdt. Det er alts˚a ikke nødvendigt af opføre støjreducerende
anlæg.

Figur B.1: Diagrammer til benyttelse af basisværdien L1
11

12 Støjberegninger
Højde over terræn
Afstand til centrum af vejen (a)
Figur B.2: Typetilfælde 6 — Vej i 2 m dyb afgravning i blødt terræn.

Bilag C
Data fra Novapoint
Herunder ses resultater fra *.res-filen bestemt i Novapoint. Denne indeholder inddata
til VIPS og resultat af VIPS’ linieberegning. Her seskoordinatpunkter, klotoideparametre,
radier, stationeringspunkter og elementlængder.
HOVEDPUNKTER INDGANGSDATA
PROJ.NR. BER.NR. KOSTN.STED BEST.DATO BER.DATO
- - - - 19/12-2005
STAT.-GRUNDLAG
BEG.PKT. RETNING PR.NR.
0. 1. 0.000
EL. R-BEG. PARAM. I X Y L-BEG. S-BEG. I
NR. R-SLUT LÆNGDE L-SLUT S-SLUT I
1 0.000 0.000 0 286145.722-239595.714 0.000 0.000 3
0.000 0.000 285951.453-239350.709 0.000 0.000 3
2 0.000 256.000 0
-700.000 0.000
3 -700.000 0.000 1 285783.686-239010.003 0.000 0.000 3
-700.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0
4 -700.000 256.000 0

14 Data fra Novapoint
0.000 0.000
5 0.000 256.000 0
700.000 0.000
6 700.000 0.000 1 285747.511-238726.510 0.000 0.000 1
700.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0
7 700.000 256.000 0
0.000 0.000
8 0.000 0.000 0 285718.724-238629.707 0.000 0.000 3
0.000 0.000 285665.988-238467.859 0.000 0.000 3
L I N I E B E R E G N I N G SIDE
H O V E D P U N K T E R 1
R E S U L T A T PROGRAM NADB-2101
PROJ.NR. BER.NR. KOSTN.STED BEST.DATO BER.DATO
- - - - 19/12-2005
EL. BEG.-PR.NR. R-BEG. PARAM. KOORDINATER B-RETN
NR. LÆNGDE R-SLUT X Y S-RETN
1 0.000 - - B 286145.722-239595.714 142.680
312.679 - S 285951.453-239350.709 142.680
2 312.679 - 256.000 B 285951.453-239350.709 142.680
93.623 -700.000 S 285894.945-239276.085 138.422
V 285912.665-239301.790
3 406.302 -700.000 - B 285894.945-239276.085 138.422
322.763 -700.000 S 285778.369-238978.170 109.068
V 285801.694-239140.809
C 286471.279-238878.796
4 729.065 -700.000 256.000 B 285778.369-238978.170 109.068
93.623 - S 285769.223-238885.013 104.811

V 285773.937-238947.265
5 822.688 - 256.000 B 285769.223-238885.013 104.811
93.623 700.000 S 285760.078-238791.857 109.068
V 285764.510-238822.762
6 916.311 700.000 - B 285760.078-238791.857 109.068
73.970 700.000 S 285745.731-238719.327 115.795
V 285754.822-238755.213
C 285067.167-238891.231
7 990.281 700.000 256.000 B 285745.731-238719.327 115.795
93.623 - S 285718.723-238629.704 120.053
V 285738.064-238689.062
8 1083.904 - - B 285718.723-238629.704 120.053
170.220 - S 285665.988-238467.859 120.053
1254.123
15

Bilag D
Masseberegninger
Da der i Novapoint ikke beregnes afgravning af muld, p˚a strækninger hvor der sker
p˚afyldning, er der i nærværende afsnit lavet et overslag p˚a denne mængde. Der
skal alts˚a fjernes et muldlag p˚a 30 cm p˚a p˚afyldningsstrækninger. Denne mængde
har indflydelse p˚a den samlede jordbalance idet der skal p˚afyldes jord, svarende til
mængden af muld der afgraves under dæmningen. De væsentligste ændringer findes
ved at betragte strækningen; station 1020—1200. For at bestemme volumenet under
dæmningen summeres volumenberegninger mellem stationeringerne. Volumenet
beregnes som for en prisme, hvor endefladen er et trapez — jf. figur D.1:
hvor
V = Aende · L =
1
· h · (a + b) · L (D.1)
2
Aende er arealet af endefladen under dæmningen m 2
L er længden mellem stationeringerne, 20 m
h er højden i endefladen, 0,3 m
a er længden af endefladens top m
b er længden af endefladens bund m
Her er det kun længden b som er ubekendt, hvorfor denne bestemmes ud fra en
geometrisk betragtning af figur D.1, hvor længderne x1 og x2 skal bestemmes. Det
forudsættes, at det eksisterende terræns hældning under dæmningen er konstant

18 Masseberegninger
Figur D.1: Geometrisk betragtning af endeflade p˚a prisme, som skal afgraves ved
p˚afyldningsarealerne. Afgravningsarealet er markeret med prikker.
med hældningen α. Endvidere kendes skr˚aningernes hældning, som er 0,5. Dermed
kan længdebidragene bestemmes.
x1
0,3 = tan−1 (tan(α) + tan(2))
⇕
x1 = 0,3 · tan −1 (tan(α) + tan(2))
x2
0,3 = tan−1 (tan(2) − tan(α))
⇕
x2 = 0,3 · tan −1 (tan(2) − tan(α))
Ovenst˚aende udfryk for x1 og x2 sammenfattes s˚a endefladens bund kan bestemmes:
b = x1 + x2 + a
= 0,3
tan −1 (tan(α) + tan(2)) + tan −1 (tan(2) − tan(α) + a
≈ 0,3 · 4 + a
(D.2)
Nu kan de enkelte delvolumener bestemmes ved at indsætte (D.2) i (D.1) hvorved
følgende udtryk kan opstilles til bestemmelse af hvert enkelt delvolumen.

V = 1
h(a + b)
2
= 1
0,3(a + (1,2 + a))
2
= 1
0,3(2a + 1,2)
2
= 0,3(a + 0,6)
Station a [ m] V [ m 3 ]
1020 17,214 106,884
1040 20,015 123,69
1060 22,882 140,892
1080 25,330 155,58
1100 27,745 170,07
1120 29,936 183,216
1140 31,876 194,856
1160 33,935 207,21
1180 34,584 211,086
1200 35,129 214,374
Sum: 1707,858
Tabel D.1: Korrektion for muldafgravning under p˚afyldningsstrækninger.
19
(D.3)
I Novapoint er længden under dæmningen — a — bestemt for hver stationering.
Derefter er de enkelte delvolumener bestemt og afslutningsvist summeret op. I tabel
D.1 ses volumenet af afgravningsvolumenet for strækningerne mellem station 1020
og 1200. Det totale volumen er beregnet til 1707,9 m 3 .

Bilag E
Vejbefæstelse
I det følgende afsnit dimensioneres vejbefæstelsen for Ny Dallvej, s˚a den kan holde
i en periode p˚a 20 ˚ar. Først gives en kort beskrivelse af hvordan en vejbelægning er
opbygget, hvorefter den aktuelle vejbelægning dimensioneres.
E.1 Vejbefæstelsens opbygning
En vejkonstruktion best˚ar oftest af flere lag, som har hver deres funktion. P˚a figur
E.1 ses en skitse over opbygningen af en vejbefæstelse (Kjems 2003) og herunder ses
hvert lag beskrevet.
1. Slidlaget er det øverste lag og vælges efter de ønskede egenskaber mht. slidstyrke,
lysreflektion, kørselskomfort, m.v.
2. Hvis der etableres et bindelag, indskydes det mellem bærelaget og slidlaget.
3. Bærelaget skal sørge for at vejbefæstelsen f˚ar den fornødne bæreevne. Ydermere
skal det sikre, at kræfterne bliver forplantet ned igennem belægningen,
s˚a der ikke sker skadelige deformationer i vejbelægningen og i undergrunden.
4. Bundsikringslaget laves bl.a. hvis det er nødvendigt at frostsikre vejen, hvilket
vurderes ud fra jordtyperne under konstruktionen. Bundsikringslaget er ogs˚a
med til at øge belægningens bæreevne.
5. Planum betegner den skilleflade, der er mellem selve vejbefæstelsen og undergrunden.

22 Vejbefæstelse
Figur E.1: Vejkonstruktionens principopbygning.
6. Underbunden er de jordlag, som ligger under vejbefæstelsen. Hvis lagene ikke
har en tilstrækkelig bæreevne, kan det være nødvendigt at stabilisere de øverste
jordlag eller erstatte dem med et kunstigt.
For at vælge de enkelte lags type og tykkelse, skal flere faktorer undersøges. Her kan
bl.a. nævnes de fysiske forudsætninger for vejen, s˚asom trafikal belastning, klima,
undergrundens egenskaber og temperaturp˚avirkninger. I det følgende afsnit dimensioneres
vejbefæstelsen dog kun ud fra den trafikale belastning og klimaet.
E.2 Dimensionering af vejbefæstelse
Vejbefæstelsen dimensioneres efter en analytisk-emperiske metode, som forudsætter,
at det øverste bærelag er et asfaltlag. Metoden er bygget p˚a erfaring med danske
materialetyper, trafikken i Danmark og det danske klima. Herudover bygger metoden
ogs˚a p˚a nogle teoretiske udledninger. Det dimensionsgivende kontakttryk σ0 sættes
til 0,90 MPa (Kjems 2003). Herudover skal det ækvivalente antal 10 tons akseltryk
NÆ10 kendes.

E.2 Dimensionering af vejbefæstelse 23
E.2.1 Beregning af NÆ10
For at dimensionere vejbefæstelsen skal det ækvivalerede antal 10 tons akseltryk,
forkortet NÆ10, bestemmes for dimensioneringsperioden p˚a 20˚ar. NÆ10 beregnes kun
ud fra mængden af køretøjer p˚a over 5,8 m, da personbiler kun giver et minimalt
bidrag.
Beregningen af NÆ10 foretages ud fra den analytisk-empirisk formel (E.1) (Vejdirektoratet
2005):
hvor
NÆ10 = P · KF · KK · KR · FSS ·
(FÆ10 · L) (E.1)
P er en vækstfaktor, som tager højde for trafikstigningen gennem dimensioneringsperioden
KF er en korrektionsfaktor, som tager højde for lastbilernes placering p˚a vejen. For
2-sporede veje sættes denne til 0,5
KK er en korrektionsfaktor, der tager højde for kanalisering af trafikken. For en vej
med normal køresporsbredde sættes denne lig med 1,0
KR er en korrektionsfaktor, som tager højde for rundkørsler. For en lige vej sættes
denne værdi til 1,0
FSS er en korrektionsfaktor for super-singledæk. Denne sættes til 1,3 for hovedlandeveje
og landeveje
FÆ10 afhænger af køretøjets art. Hvis lastbilens længde er 5,8 m-12,5 m er værdien
0,35. Derover sættes værdien til 1,35
L er antallet af lastbiler i begge retninger pr. ˚ar
Først beregnes vækstfaktoren P ud fra (E.2).
hvor
P = (1 + α)n − 1)
α
(E.2)

24 Vejbefæstelse
α er den gennemsnitlige ˚arlige stigning af køretøjer (i rene tal). Jf. afsnit 2.3 er det
rimeligt at sætte denne til 0,017 (AKN 2003)
n er dimensioneringsperioden (antal ˚ar). I dette tilfælde 20 ˚ar
Hermed f˚as følgende:
P = (1 + 0,017)20 − 1
0,02
= 23,58
Antallet af de to typer lastbiler, som vil benytte den nye vej pr. ˚ar, beregnes ud fra
(E.3).
hvor
L =˚arsdøgntrafik · 365 · lastbilprocent
100
· 0,86 (E.3)
˚arsdøgntrafik for Ny Dallvej sættes til 12011 køretøjer i ˚ar 2005, jf. afsnit 2.3
lastbilprocent for de to køretøjsklasser vurderes ud fra gamle tællinger p˚a Hobrovej
og en antagelse om, at der vil komme 50 procent flere lastbiler p˚a Ny Dallvej.
Dette gøres, da Ny Dallvej er direkte forbundet med motorvejen. Ud fra de
fire tællinger, som er foretaget af Aalborg Kommune, ses det, at 8,0 procent
af køretøjerne var mellem 5,8 m og 12,5 m, mens 2,25 procent var over 12,5 m
0,86 er en korrektionsfaktor, der tager hensyn til, at der kører færre lastbiler i weekenden
Nu kan NÆ10 beregnes:
NÆ10 = 23,58 · 0,5 · 1,0 · 1,0 · 1,0 · 1,3
8,0 · 1,5
· 12011 · 365 · 0,86 · (0,35 ·
100
= 5,2 · 10 6
2,25 · 1,5
+ 1,35 · )
100
Efter det ækvivalente 10 tons akseltryk NÆ10 er fundet, kan en egentlig vejbelægning
dimensioneres.

E.2 Dimensionering af vejbefæstelse 25
E.2.2 Dimensionering af vejbelægning
Opbygning og valg af materialer er lavet ud fra opbygningen af en typisk vejbefæstelse,
i henhold til de forventede laster p˚a den projekterede vejstrækning (Vejdirektoratet
2005). Opbygningen ses i tabel E.1. E-modulerne, der fortæller noget
om materialernes elasticitet, er angivet for hvert materiale i tabellen. (Vejdirektoratet
2005).
Type E-modul – MPa E-modul – MPa
100 mm
Slidlag AB 70/100 2000 2000
Slidlag ABB 40/60 3000 5000
Bærelag GAB1 40/60 3000 5000
Grusbærelag SG 300 300
Bundsikringslag BL 100 100
Planum Fint sand 40 40
Tabel E.1: E-modul og opbygning af vejbefæstelse.
Ud fra figur E.3 aflæses et estimat p˚a, hvor tykke lagene skal være, for at belægningen
har en tilstrækkelig bæreevne. En vejledning til aflæsning af figuren findes i (Vejdirektoratet
1984) og er illustreret i figuren. De fundne vejledende lagtykkelser ses i
tabel E.2.
Type Tykkelse – mm
Slidlag AB 70/100 40
Slidlag ABB 40/60 60
Bærelag GAB1 40/60 100
Grusbærelag SG 288
Bundsikringslag BL 280
Tabel E.2: Vejledende tykkelser for lagene i vejbefæstelsen.
For at vurdere om de fundne tykkelser er tilstrækkelige, beregnes normalspændingerne
mellem lagene, hvorefter de sammenholdes med de tilladte værdier. Ligeledes
bestemmes tøjningen i undersiden af asfaltlaget, hvorefter denne ogs˚a sammenlignes
med den tilladte værdi. Tøjningerne og normalspændingerne kan ses i figur E.2.

26 Vejbefæstelse
Figur E.2: Vejkonstruktionens opbygning samt normalspændinger og tøjninger i
vejbefæstelsen.
E.2.3 Beregning af normalspændinger
Asfaltlaget regnes som værende ét lag, hvilket giver følgende ækvivaleret værdi for
E-modulet:
40 mm · 2000 MPa + 60 mm · 3000 MPa + 100 mm · 5000 MPa
200 mm
= 3800 MPa
Herefter kan normalspændingen mellem de enkelte lag beregnes. Dette gøres ved
først at beregne de ækvivalerede højder af følgende lag:
• Lag 1 ovenp˚a lag 2, hvor lag 1 er asfaltlaget og lag 2 er grusbærelaget
• Lag 1+2 ovenp˚a lag 3, hvor lag 3 er bundsikringslaget
• Lag 1+2+3 ovenp˚a lag 4, hvor lag 4 er planum
Den ækvivalente højde af asfaltlaget ovenp˚a grusbærelaget he,2 beregnes ud fra (E.4).
he,2 = (0,99 − 0,07 · h1
a ) · h1 · 3
E1
E2
(E.4)

E.2 Dimensionering af vejbefæstelse 27
hvor
h1 er tykkelsen af asfaltlaget [mm]
a er belastningsfladens radius og er p˚a 157 mm, n˚ar det dimensionsgivende hjultryk
er 70 kN, og det dimensionsgivende kontakttryk er p˚a 0,90 MPa
E1 er E-modulet for asfaltlaget [MPa]
E2 er E-modulet for grusbærelaget [MPa]
Den ækvivalente højde af grusbærelaget ovenp˚a bundsikringslaget he,3 beregnes ud
fra (E.5).
hvor
he,3 = (1,04 − 0,176 · log E2
) · (h1 ·
E3
3
E1
+ h2) ·
E2
3
E2
E3
h2 er tykkelsen af grusbærelaget [mm]
E3 er E-modulet for bundsikringslaget [MPa]
(E.5)
Den ækvivalente højde af bundsikringslaget ovenp˚a planum he,4, beregnes ud fra
(E.6).
hvor
he,4 = (0,96 − 0,176 · log E3
) · [(h1 ·
E4
3
E1
+ h2) ·
E2
3
E2
+ h3] ·
E3
3
E3
E4
h3 er tykkelsen af bundsikringslaget [mm]
E4 er E-modulet for planum [MPa]
Ved indsættelse i formel E.4, f˚as den ækvivalente højde af asfaltlaget til følgende:
he,2 = (0,99 − 0,07 ·
200 mm
3 3800 MPa
) · 200 mm ·
157 mm 300 MPa
= 420,0 mm
(E.6)

28 Vejbefæstelse
Lag Ækvivalent højde – mm
Asfalt 420,0
Grusbærelag 1039,9
Bundsikringslag 1652,1
Tabel E.3: Ækvivalente højder for de enkelte lag.
Ligeledes beregnes de andre ækvivalente højder og resultaterne fremg˚ar af tabel E.3.
Efter de ækvivalente højder er fundet, kan normalspændingen mellem de enkelte lag
beregnes ud fra (E.7).
⎛
σhe,i = σ0 · ⎝1 −
1
[1 + ( a
he,i )2 ] 3
2
⎞
⎠ (E.7)
Normalspændingen mellem asfaltlaget og grusbærelaget beregnes derved som følgende:
⎛
σhe,2 = 0,90 MPa · ⎝1 −
[1 + (
1
157 MPa
420,0 mm )2 ] 3
2
⎞
⎠ = 0,1603 MPa
For at sikre sig at de forskellige lagt’s normalspændinger overholder den tilladte
værdi, beregnes nu den tilladte lodrette normalspænding ud fra (E.8).
hvor
σtill = 0,085 · E
1,16
·
160
N
106 −0,0263
(E.8)
E er E-modulet af det nederste af de to lag, hvor imellem normalspændingen er
beregnet [MPa]
N er det ækvivalerede 10 tons akseltryk
Den tilladte lodrette normalspænding mellem asfaltlaget og grusbærelaget bliver
derved som følgende:

E.2 Dimensionering af vejbefæstelse 29
σtill = 0,085 ·
1,16
300 MPa
·
160
5,2 · 106
106 −0,0263
= 0,1688
Det ses her, at den aktuelle spænding mellem asfaltlaget og bærelaget er lavere end
den tilladte værdi. For at den aktuelle spænding kommer s˚a tæt p˚a den tilladte
værdi som muligt, uden at den tilladte værdi bliver overskredet, reguleres tykkelsen
af asfaltlaget. Af økonomisk hensyn, ændres tykkelsen af GAB1 laget, da de øvre lag
er op til 50% dyrere.
Resultatet kan ses i tabel E.4. De tilladte og aktuelle normalspændinger for de øvrige
lag kan ligeledes ses i tabellen. Disse spændinger er ogs˚a blevet reguleret via lagenes
tykkelser, for at komme s˚a tæt p˚a den tilladte værdi som muligt. Tykkelserne af de
enkelte lag indg˚ar ogs˚a i skemaet.
Tykkelse Aktuel spænding Tilladte spænding Differens
mm MPa MPa MPa
AB 70/100 40
ABB 40/60 60 0,1674 0,1688 1,3 · 10 −3
GAB1 40/60 95
SG 146 0,04707 0,04719 1,2 · 10 −4
BL 317 0,01630 0,01630 3,3 · 10 −6
Tabel E.4: De enkelte lags tykkelse, samt de aktuelle normalspændinger, de tilladte
normalspændinger og differencen derimellem.
E.2.4 Beregning af tøjning
Som tidligere beskrevet, skal tøjninger i undersiden af asfaltbærelaget findes. De
aktuelle tøjninger findes ud fra (E.9), (Kjems 2003).
hvor
ǫ0 = ǫr,k = h1
2 · R
ǫ0 er tøjningen i undersiden af asfaltbelægningen
h1 er tykkelsen af asfaltlaget [mm]
(E.9)

30 Vejbefæstelse
R er krumningsradiusen og beregnes ud fra E.10 [mm]
Krumningsradiusen beregnes som:
hvor
a
R = E2 ·
(1 − v2 ·
) · σ0
(1 + ( he
a )2 ) 5
2
1 + (1 + 3 ) · (he
2·(1−v) a )2
E2 er E-modulet for grusbærelaget som ligger under asfaltlaget [MPa]
a er belastningsfladens radius - her 157 mm
(E.10)
v er Poissons forhold og er som forudsætning sat lig med 0,35 for alle materialer
(Kjems 2003)
σ0 er det dimensionsgivende kontakttryk - her 0,90 MPa
he er den ækvivalente lagtykkelse og bestemmes ud fra E.11 [mm]
Den ækvivalente lagtykkelse beregnes som:
hvor
he = fǫ · h1 · 3
E1
E2
E1 er asfaltlagets E-modul [MPa]
fǫ bestemmes ud fra (E.12) eller (E.13)
fǫ beregnes ud fra følgende to formler:
og
fǫ = 0,96 + 0,73 · a
h1
· E2
E1
for
h1
a
· E1
E2
(E.11)
≤ 10 (E.12)
fǫ = 1,13 − 0,0565 · ln[( h1
a )2 · E1
] (E.13)
E2

E.2 Dimensionering af vejbefæstelse 31
for
h1
a
· E1
E2
> 10
Tøjningen ǫa i undersiden af den aktuelle asfaltbelægning findes nu ved at benytte
de opskrevne formler. Først bestemmes det om (E.12) eller (E.13) skal benyttes:
h1
a
· E1
E2
= 195 mm
3769,23 MPa
·
157 mm 300 MPa
= 15,6
Da denne størrelse er over 10 benyttes (E.13) til at beregne fǫ.
195 mm
fǫ = 1,13 − 0,0565 · ln[(
157 mm )2 ·
3769,23 MPa
] = 0,9625
300 MPa
Nu kan den ækvivalente lagtykkelse beregnes ud fra (E.11).
he = 0,9625 · 195 mm · 3
3769,23 MPa
300 MPa
= 436,33 mm
Herefter kan krumningsradiusen beregnes ud fra (E.10).
R = 300 MPa ·
= 504979,5 mm
157 MPa
(1 − 0,35 2 ) · 0,90 MPa ·
436,33 mm
(1 + ( 157 mm )2 ) 5
2
1 + (1 + 3
2·(1−0,35)
Nu kan tøjningen i asfaltens underside beregnes via (E.9):
ǫ0 =
195 mm
2 · 504979,5 mm
= 19,3 · 10−5
) · (436,33 mm
157 mm )2
For at vurdere om den aktuelle tøjning er for stor, beregnes den tilladte tøjning ǫtill
ud fra (E.14).

32 Vejbefæstelse
hvor
ǫtill = 23 · 10 −5 · ( N
10 6)−0,191
N er de ækvivalerede antal 10 tons akseltryk
Ved indsættelse i E.14, f˚as den tilladte tøjning:
ǫtill = 23 · 10 −5 5,2 · 106
· (
106 ) −0,191 = 16,8 · 10 −5
(E.14)
Det ses nu, at den aktuelle tøjning for asfaltlagets underside er højere end den
tilladte tøjning. For at den tilladte værdi overholdes, reguleres tykkelsen af GAB1laget.
Ved en tykkelse p˚a 115 mm f˚as en tøjning i undersiden af asfaltbelægningen
p˚a 16,8 · 10 −5 , men med en positiv difference p˚a 3,55 · 10 −7 . Dette giver en mindre
normalspænding mellem asfaltlaget og grusbærelaget. Herefter reguleres tykkelserne
af de øvrige lag igen for, at de aktuelle normalspændinger kommer s˚a tæt p˚a de
tilladte som muligt. Resultaterne ses i tabel E.5.
Tykkelse Aktuel spænding Tilladte spænding Differens
mm MPa MPa MPa
AB 70/100 40
ABB 40/60 60 0,1417 0,1688 2,7 · 10 −2
GAB1 40/60 115
SG 91 0,04714 0,04719 4,2 · 10 −5
BL 315 0,01629 0,01630 1,1 · 10 −5
Tabel E.5: De enkelte lags tykkelse, samt de aktuelle normalspændinger, de tilladte
normalspændinger og differencen derimellem.
Hermed er vejbelægningen for Ny Dallvej dimensioneret, s˚a den kan føre de lodrette
normalspændinger ned i undergrunden. Herudover er det sikret, at der ikke sker
skadelige deformationer i undersiden af asfaltbelægningen, da den tilladte tøjning er
overholdt.

E.2 Dimensionering af vejbefæstelse 33
Figur E.3: Aflæsning af lagtykkelser.

Bilag F
Trafikmængder i T-krydset
Med udgangspunkt i ˚arsdøgnstrafikken fra afsnit 2.3 for Ny Dallvej samt trafiktællinger
fra Dallvej skal T-krydset dimensioneres. Det forventede fremskrevne ˚ ADT for
den gennemkørende trafik p˚a Ny Dallvej, som er primærvejen, er fastsat til 15467
køretøjer. Heraf skal der bruges den største timeintensitet, ogs˚a kaldet spidstimen.
Spidstimen findes ved at sammenligne med trafiktællinger fra Hobrovej, idet Hobrovej
vurderes til at have samme procentvise intensitet i spidstimen som Ny Dallvej.
P˚a den vedlagte CD kan trafiktællingerne fra Hobrovej ses, hvorfra den største gennemsnitlige
døgntælling for hver retning benyttes. Disse tal udgør samlet en gennemsnitlig
intensitet p˚a 18310 køretøjer pr. døgn. Ud fra trafiktællingerne fra Hobrovej
ses det ogs˚a, at spidstimen forløber i perioden 15:00–16:00, hvor der samlet set fra
begge retninger kører 1889 køretøjer. Dette udgør 10,3 % af den samlede intensitet
for den gennemsnitlige døgntrafik.
Dermed vil den gennemkørende intensitet for spidstimen p˚a Ny Dallvej være 10,3 %
af ˚ ADT:
hvor
Itime = 0,103 · 15467 Kt/døgn = 1593 Kt/T
Kt er køretøjer
Da den beregnede spidstimeintensitet ikke udelukkende best˚ar af biler, skal andelen
af tunge køretøjer bestemmes. Ud fra de omtalte trafiktællinger fra Hobrovej findes
det yderligere, at af den gennemsnitlige procentdel af intensiteten udgør lastbiler og
busser LB 8 % og sætte- og p˚ahængsvogntog SP 2,25 %. Det vurderes, at mængden

36 Trafikmængder i T-krydset
af tung trafik stiger 50 % frem til ˚ar 2020. Dermed er udgør den tunge trafik af
spidstimeintensiteten:
og
ILB = 8 % · 1,5 · 1593 Kt/T = 191 Kt/T
ISP = 2,3 % · 1,5 · 1593 Kt/T = 55 Kt/T
Intensiteten for sekundærvejen, Dallvej, bestemmes ud fra trafiktællinger p˚a den
eksisterende strækning. Disse tællinger kan ligeledes findes p˚a den vedlagte CD. P˚a
figur F.1 ses, hvordan ˚ ADT for Dallvej har udviklet sig i perioden 1998–2005. Her
kan det ses, at ˚ ADT for Dallvej har forløbet jævnt gennem de sidste otte ˚ar uden
nogen stigning. Da der ikke er planlagt byudvikling for Dall Villaby, antages det, at
den maksimale ˚ ADT vil være 4500 køretøjer frem til ˚ar 2020.
Spidstimen for Dallvej er vurderet til at udgøre 10,3 % af ˚ ADT, ligesom for Ny Dallvej.
Dette begrundes med, at trafikken er bolig-arbejdstrafik, hvormed intensiteten
i spidstimen er Itime = 464 Kt/T. Det vurderes, at LB udgør maksimalt 5 % af
spidstimen p˚a trods af, at der p˚a Dallvej ogs˚a er trafik til og fra mindre industri p˚a
Systemvej, der skal tilsluttes Dallvej.
Figur F.1: Trafikudvikling for Dallvej i perioden 1998-2005.
For Dallvej er trafikken p˚a vejen ansl˚aet til at fordele sig 50–50 %, da bolig-arbejdstrafikken
vil forløbe i begge retninger.
De 50 %, der svinger fra Ny Dallvej til Dallvej, vil have retningsfordelingen 60 %
venstresvingende og 40 % højresvingende.

F.1 Kapacitetsberegninger 37
Trafikanterne, der kører mod Ny Dallvej fra Dallvej, vil have en retningsfordeling
60–40 %. Men da der vil ikke være venstresvingende trafik fra sekundærvejen, vil
det kun være de 60 % højresvingende fra sekundærvejen, der vil belaste krydset. De
øvrige 40 % skal benytte Hjortevej, som ligger parallelt med Ny Dallvej.
Da Ny Dallvej skal aflaste Hobrovej, vurderes det, at den gennemg˚aende trafik p˚a
primærvejen vil fordele sig 62–38 %, hvor de 62 % kommer fra Hobrovej.
Dermed vil fordelingen af trafikken se ud som p˚a figur F.2.
Figur F.2: Trafikkens fordeling i T-krydset.
F.1 Kapacitetsberegninger
I følgende bilag gennemg˚as beregningsgangen for kapacitetsberegningen af det prioriterede
T-kryds, der skal etableres som bindeled mellem Ny Dallvej og Dallvej.
Beregningerne tager udgangspunkt i figur 7.3, hvor Dallvej er den sekundære vej
og Ny Dallvej den primære vej. I T-krydset er det den højresvingende sekundære
vej, der har vigepligt. Beregningsperioden er ved eftermiddagsspidstimen i perioden
15:00–16:00, hvormed tidsrummet er T = 3600 sek. I tabel F.2 kan de dimensionsgivende
trafikmængder fra de forskellige vejgrene ses.
Overordnet set er der tre punkter, der skal undersøges:
• Belastningsgrad

38 Trafikmængder i T-krydset
• Middelforsinkelse
• Kølængde
Da størrelserne p˚a køretøjerne er forskellige — afhængig af transporttype, skal de
ækvivaleres til personbilenheder Pe, der tager hensyn til denne forskel. Det antages,
at de to veje krydses med en længdegradient p˚a 0 0/00, hvormed der benyttes følgende
ækvivalenter (Vejdirektoratet 1999b):
• Personbiler/varevogne: 1,0
• Lastbiler og busser: 1,5
• Sætte- og p˚ahængsvogntog: 2,0
Den samlede trafikmængde i hhv. [ Kt/T] og [ Pe/T] for strøm 1 bestemmes til
følgende:
og
hvor
NM,Kt = 691 Kt/T + 98 Kt/T + 28 Kt/T = 817 Kt/T
NM = 691 Kt/T · 1,0 + 98 Kt/T · 1,5 + 28 Kt/T · 2,0 = 894 Pe/T
NM,Kt er den samlede intensitet [ Kt/T]
NM er den samlede intensitet [ Pe/T]
De øvrige strømmes samlede trafikmængder findes p˚a tilsvarende vis. Trafikmængderne
NM,Kt og NM for de enkelte trafikstrømme opskrives i tabel F.2.
Kapaciteten for hvert tilfartsspor afhænger af de strømme, som køretøjerne fra det
p˚agældende tilfartsspor skal holde tilbage for. Disse strømme kaldes for de overordnede
strømme HM og Hc/k, hvor M betegner motortrafikken og c/k betegner cykler
og knallerter. Da cyklisterne har vigepligt for motortrafikken i krydset, vil der ikke
forekomme overordnede strømme fra Hc/k. I T-krydset skal strøm 4, de venstresvingende
fra primærvejen, f.eks. holde tilbage for strøm 1 og strøm 3, hvilket giver en
overordnet strøm p˚a:

F.1 Kapacitetsberegninger 39
HM,4 = N1 + N3 = 894 Pe/T + 96 Pe/T = 990 Pe/T
Ligeledes bestemmes den overordnede strøm for strøm 6, hvilket kan ses i tabel F.2.
Da ikke alle trafikanter har samme adfærd i et kryds, er der fastsat to adfærdsparametre
for trafikanterne i tilfartssporene. Adfærdsparametrene kaldes det kritiske
interval τ og pasagetiden δ, som er medbestemmende for tilfartssporets grundlæggende
kapacitet. Det kritiske interval er det tidsinterval mellem to køretøjer i den
overordnede strøm, som trafikanten i den vigepligtige strøm forlanger, at der skal
være tilstede for at køre ud i krydset. Ligeledes er passagetiden det tidsinterval, der
skal være mellem to køretøjer i den overordnede strøm for, at køretøj nr. 2 vil anvende
samme tidsinterval som køretøj nr. 1 fra tilfartssporet. De kritiske intervaller
og passagetider aflæses af tabel F.1 og indsættes i tabel F.3. Da Hc/k er nul for alle
strømmene, vil det kritiske interval for motortrafikken τM være lig med det vægtede
kritiske interval τvægtet.
Kritiskinterval τ overfor:
Svingbevægelse Personbiler Cykler/ikke
reg. pligtige
Højresving fra
primærvej
Venstresving
fra primærvej
Højresving fra
sekundærvej
Krydsning af
primærvej
Ventresving fra
sekundærvej
Ubetinget
vigepligt
Fuldt stop
knallerter
Passagetiden δ
2,5 sek. 3,0 sek.
5,5 sek. 2,5 sek. 3,0 sek.
5,5 sek. 6,5 sek. 2,5 sek. 3,0 sek.
6,0 sek. 7,0 sek. 2,5 sek. 3,0 sek.
7,0 sek. 8,0 sek. 2,5 sek. 3,0 sek.
Tabel F.1: Det kritiske interval og passagetiden (Vejdirektoratet 1999b)
Det er dermed muligt at finde tilfartssporenes grundlæggende kapaciteter. Den
grundlæggende kapacitet bestemmes ud fra det kritiske interval, passagetiden og
trafikintensiteterne for de overordnede strømme og beregnes ved formel (F.1).
G = (HM + Hc/k) · e −(HM+H c/k)·τvægtet/T
1 − e −(HM+H c/k)·δ/T
(F.1)

40 Trafikmængder i T-krydset
hvor
G er den grundlæggende kapacitet [ Pe/T]
For tilfartsspor 4 vil den grundlæggende kapacitet være:
G4 =
Pe/T·5,5 sek)/3600 sek
990 Pe/T · e−(990
=
1 − e−990 Pe/T·3,0 sek/3600 sek
389 Pe/T
De øvrige tilfartsspors grundlæggende kapaciteter findes p˚a samme m˚ade og indsættes
i tabel F.3.
Den grundlæggende kapacitet tager dog ikke højde for, at der i de overordnede
strømme kan forekomme strømme med vigepligt. I disse tilfælde skal tilfartssporets
grundlæggende kapacitet korrigeres med en sandsynlighedsfaktor s. Sandsynlighedsfaktoren
er et udtryk for køfri tilstand i den overordnede strøms vigepligtige strømme.
I dette tilfælde skal den grundlæggende kapacitet for tilfartsspor 4 korrigeres.
Alle de højresvingende strømme bevarer deres grundlæggende kapacitet. Sandsynligheden
for køfri tilstand findes ud fra (F.2).
hvor
si = 1 − NM,i
NMax,i
i er nummeret for den aktuelle strøm, som s beregnes for
NM,i er trafikintensiteten for den aktuelle strøm [ Pe/T]
NMax,i er den aktuelle strøms kapacitet [ Pe/T]
(F.2)
Tilfartsspor 4 skal korrigeres for køfri tilstand ved strøm 3. Sandsynligheden for køfri
tilstand ved strøm 3 er:
s3 = 1 −
96 Pe/T
1200 Pe/T
= 0,92

F.1 Kapacitetsberegninger 41
Kapaciteten NMax for tilfartsspor 4 vil da være:
NMax,4 = G4 · s3 = 389 Pe/T · 0,92 = 358 Pe/T
Igen udregnes NMax for tilfartsspor 3 og 5 og indsættes i tabel F.3.
Middelforsinkelsen t [ sek/Kt] for hvert tilfartsspor er den tid, hvert køretøj bruger
for at passere krydset. Denne afhænger af tilfartssporets belastningsgrad B og den
maksimale kapacitet i [ Kt/T]. For at omregne den maksimale kapacitet NMax til
enheden [ Kt/T] skal der bruges en omregningsfaktor of, som findes ved (F.3).
of = NM,Kt
NM
For tilfartsspor 4 vil omregningsfaktoren blive:
of4 =
139 Pe/T
143 Pe/T
= 0,98
(F.3)
Tilsvarende omregningsfaktorer findes for de øvrige tilfartsspor og indsættes i tabel
F.3.
Belastningsgraden bestemmes som forholdet mellem trafikintensitet og den maksimale
kapacitet, hvilket kan ses af (F.4).
B = NM
NMax
Belastningsgraden for tilfartsspor 4 er:
B =
143 Pe/T
358 Pe/T
= 0,40
Denne og de øvrige belastningsgrader indføres i tabel F.3.
(F.4)

42 Trafikmængder i T-krydset
Dermed kendes alle de nødvendige indgangsvariable for middelforsinkelsen, som bestemmes
ved (F.5).
t =
T
NMax,Kt
+ T
4 ·
(B − 1) + (B − 1) 2 +
8 · B
NMax,Kt
For tilfartsspor 4 vil det betyde, at middelforsinkelsen er:
t =
(F.5)
3600 sek 3600 sek
+ · (0,40 − 1) + (0,40 − 1)
349 Kt/T 4
2
8 · 0,40
+ = 17 sek
349 Kt/t
De øvrige middelforsinkelser findes i tabel F.3.
Til sidst skal kølængderne for tilfartssporene findes. Disse findes ved iteration via
formel (F.6).
hvor
B =
2 · na%
NMax,Kt
+
1
a n
a%+1
100
(F.6)
na% er kølængden der overskrides i a % af beregningsperioden (ved denne beregning
benyttes a = 5 %)
Ved indsættelse af værdierne for tilfartsspor 4 bliver kølængden gennem iteration
n5% = 3 køretøjer.
Kølængderne indsættes i tabel F.3.
Dermed er alle kapacitetsfaktorerne for hver tilfartsspor fundet. I afsnit 7 bliver de
fundne tal fra tabel F.3 vurderet og analyseret.

F.1 Kapacitetsberegninger 43
Tabel F.2: Fastsættelse af trafikmængder i det prioriterede T-kryds.

44 Trafikmængder i T-krydset
Tabel F.3: Beregning af middelforsinkelsen og belysning af kødannelserne i
tilfartssporene.

Bilag G
Vand og miljø
G.1 Oplandsarealer
Efter arealerne, der bidrager med vand til grøften, er fundet, kan de dimensionsgivende
arealer nu findes ud fra (G.1).
Fred = ϕ · F (G.1)
Afløbskoefficienten ϕ er fastlagt i afsnit 9.3.3 til henholdsvis 0,1 for det eksterne
opland og til 1 for det interne oplandsareal. Ud fra (G.1) er de reducerede arealer
nord og syd for vejen fundet. De reducerede arealer ses i tabel G.1.
G.2 Beregning af afstrømningstiden fra vejoverfladen
For at finde regnintensiteten er det nødvendigt at kende den dimensionsgivende
regnvarighed. Regnvarigheden er den tid, det tager vandet at strømme fra det fjerneste
punkt til grøften. Ved brug af den rationelle metode anvendes afstanden til
det fjerneste punkt af den interne afvanding, alts˚a vejen.
Før tiden kan findes, er det nødvendigt at finde den hastighed, vandet bevæger sig
med hen over vejoverfladen. Hastigheden er afhængig af vanddybden p˚a vejen og
omvendt. Da det er en vejoverflade antages det, at dybden m˚a være meget lav. Ud
fra dette antages en vanddybde y p˚a 1 mm.

46 Vand og miljø
Stations nr.
[m]
Areal nord
[m 2 ]
Areal syd [m 2 ] Reduceret
areal Nord
[m 2 ]
Reduceret
areal syd [m 2 ]
360 - 380 1128 6562 235,7 686,4
380 - 400 1134 7699 251,6 783,9
400 - 420 1158 7443 363,0 749,3
420 - 440 1123 13184 260,4 1323,4
440 - 460 1147 9655 261,9 970,5
460 - 480 1155 9729 263,6 977,9
480 - 500 1144 9128 262,5 917,8
500 - 520 1143 5579 262,4 562,9
520 - 540 1114 5207 259,5 525,7
540 - 560 1124 7607 260,5 765,7
560 - 580 1125 3856 260,6 390,6
580 - 600 1123 3076 260,4 312,6
600 - 620 1122 2879 260,3 292,9
620 - 640 159 1734 164,0 178,4
640 - 660 159 1765 164,0 181,5
660 - 680 159 1480 164,0 153,0
680 - 700 159 3775 164,0 382,5
700 - 720 159 3029 164,0 307,9
Sum 15535 103387 4282,4 10462,9
Tabel G.1: Oplandsarealer ved Ny Dallvej.
Denne antagelse gør, at beregningerne kun er et overslag af den dimensionsgivende
afstrømningstid. Da dybden nu er forudsat, kan den hastighed vandet bevæger sig
med p˚a vejen findes.
G.2.1 Udregning af vandets hastighed p˚a vejen
Som figur G.1 viser, er der to hastigheder, der vil gøre sig gældende i de følgende
udregninger. Da vejen b˚ade har et længde- og et tværfald, vil der være en hastighedskomposant
til hver side. Dette problem løses med vektorregning, ifølge (G.2).
V =
V 2 2
b + Vl (G.2)
Mere problematisk er det at bestemme de to hastighedskomposanter. Ved at substituere
en omskrevet version af modstandsformlen ind i Colebrook & White’s formel

G.2 Beregning af afstrømningstiden fra vejoverfladen 47
Figur G.1: Regnvandets hastigheds og strækningskomposanter.
for friktionstallet, kan en formel bestemmes, s˚a kun hastigheden er ubekendt. Modstandsformlen
samt Colebrook og Whitet’s formel ses i henholdsvis (G.3) og (G.4).
hvor
I = f ·
⇓
f =
V 2
2 · g · R
2 · I · g · R
V 2
f er friktionstallet
I er grøftens bundliniegradient
V er hastigheden
R er den hydrauliske radius
g er tyngdeaccelerationen
(G.3)
Ved at isolere f i (G.3), kan den sættes ind i Colebrook & White’s formel, hvorved
denne kun kommer til at afhænge af hastigheden V :

48 Vand og miljø
hvor
2
f
= 6,4 − 2,45 · ln
k 4,7
+
R Re · √
f
⇕
2
( 2·I·g·R
V 2 ⎛
= 6,4 − 2,45 · ln ⎝
) k
R +
4,7
Re · ( 2·I·g·R
V 2 ⎞
⎠
)
k er den ækvivalente ruhedsfaktor
Re er reynoldstallet
(G.4)
Hvis vejen betragtes som et vandløb, kan der argumenteres for, at vandløbet er
uendeligt bredt, da der i realiteten aldrig er nogen bred p˚a vejen, hvormed den v˚ade
perimeter p bliver lig bredden af det virtuelle vandløb. Ligeledes bliver tværsnittet til
et rektangel. Dette resulterer i, at den hydrauliske radius kan sættes lig vanddybden
ifølge (G.5).
R = Agrøft
p
⇕
b · y
R =
b
⇕
R = y
Ligeledes bliver Reynoldstallet udtrykt ved hjælp af hastigheden V , som i (G.6).
hvor
Re =
V · R
v
ν er væskens viskositet
For at finde tiden t, mangler der nu kun en afstand L.
(G.5)
(G.6)

G.3 Grøfteberegning 49
G.2.2 Beregning af afstand fra fjerneste punkt
Som det ses p˚a figur G.1 kan længden beregnes ved hjælp af Pythagoras sætning
G.7:
L = √ b 2 + l 2 (G.7)
Herefter kan den tid t, det tager vandet at løbe fra det fjerneste punkt af oplandet
til grøften, findes. Denne tid bliver senere brugt som den dimensionsgivende
regnvarighed til udregning af vandføring fra det første oplandsstykke.
G.2.3 Beregning af afløbstiden
Ved hjælp af afstanden og hastigheden kan en formel for tiden opskrives som (G.8):
t = L
V
(G.8)
N˚ar tiden er fundet, kan regnintensiteten beregnes ved hjælp af regnformlen eller
landsregnrækkerne. Denne proces er indlagt i matlab Forklaring til hvordan intensiteten
findes ses i afsnit 9.1. Herefter kan den egentlige grøfteberegning g˚a igang.
G.3 Grøfteberegning
Efter vandføringen fra oplandet til det første grøftestykke er fundet, er det muligt at
finde de endelige dimensioner af grøften samt tiden, det tager vandet at tilbagelægge
grøftestrækningen. Denne tid skal bruges til udregningen af vandføringen i den næste
grøftestrækning.
Det er i forvejen bestemt at grøften er trapezformet med en bund p˚a 0,35 m, og
siderne har anlæg 1, hvilket kan ses p˚a figur 9.1 i hovedrapporten. Derudover er det
ogs˚a nødvendigt at vide, hvor dyb grøften som minimum skal være p˚a de forskellige
strækninger.

50 Vand og miljø
G.3.1 Grøftens naturlige dybde
Den naturlige dybde y0 bestemmes ved hjælp af kontinuitetsligningen, der beskriver,
at den mængde vand, der kommer ind i et system, skal ud igen. Det samme gælder for
regn i grøften. Den mængde vand, der tilføres, skal føres videre, uden at overskride
grøftens kapacitet. Alts˚a kan der opstilles en ligevægtsligning for vandføringen, som
ses af (G.9).
Qdim = Qopland
(G.9)
Umiddelbart kan der ud fra (G.9) ikke bestemmes nogen dybde. Ved at implementere
ligningen i Colebrook & White’s formel for friktionstallet f, der indg˚ar i (G.10) samt
Darcy-Weisbachs modstandsformel (G.3), kan et udtryk opstilles, hvori det kun er
den naturlige vandybde y0, der er ubekendt.
2
f
= 6,4 − 2,45 · ln
k 4,7
+
R Re · √
f
(G.10)
Ved at omskrive modstandsformlen, som i (G.3), findes et udtryk for friktionstallet.
I denne formel er det kun hastigheden V , der er ukendt og ikke umiddelbart kan
udtrykkes ved hjælp af vanddybden y. Det gælder dog, som tidligere beskrevet, at
vandføringen i grøften er lig vandføringen fra oplandet. Ud fra denne viden kan
hastigheden i grøften beskrives ud fra (G.11).
Q = A · V
⇓
Vgrøft = Qopland
Agrøft
(G.11)
Hermed kan der ved at kombinere formel (G.10), (G.3) og (G.11) opstilles en formel,
hvori kun y er ubekendt. For at gøre det overskueligt, er den generelle formel opstillet
i (G.12). Herefter vil det blive vist, hvordan de forskellige led afhænger af y.
2
( 2·I·g·R
( Q opland
A grøft )
⎜ k
= 6,4 − 2,45 · ln ⎜
2)
⎝R
+
4,7
Re ·
⎛
( 2·I·g·R
( Q opland
A grøft ) 2)
⎞
⎟
⎠
(G.12)

G.3 Grøfteberegning 51
Arealet A kan beskrives som (G.13).
Agrøft = y · (b + a · y) (G.13)
Den hydrauliske radius R kan omskrives til (G.14).
hvor
R = Agrøft
P
⇕
R =
y · (b + a · y)
b + 2 · ( y2 + (a · y) 2 )
P er den v˚ade perimeter, udledt ud fra det gældende tværsnit.
(G.14)
Afslutningsvis kan Reynoldstallet omskrives til (G.15). Hvor de tidligere udledte led
indg˚ar, hvorfor denne ogs˚a afhænger af y:
Re =
⇕
Re =
V · R
v
Qopland
Agrøft
ν
· R
(G.15)
Hermed kan dybden y beregnes. Da y ikke umiddelbart kan isoleres i (G.12), er det
nødvendigt at iterere sig frem til resultatet. Dette er gjordt i Matlab
Da b˚ade vandføringen og dybden af den dimensionerede grøft i det første snit er
kendt, kan hastigheden vandet bevæger sig med findes, og ud fra dette findes gennemløbstiden.
Herefter kan y for de forskellige snit findes.
G.3.2 Gennemløbstid for grøft
For at finde hastigheden i den fyldte grøft, vendes der igen tilbage til formlen for
vandføring (G.11), hvor det nu kun er hastigheden, der er ubekendt, hvilket ses i
(G.16).

52 Vand og miljø
Vgrøft = Qopland
Agrøft
Herefter kan tiden findes ud fra (G.17).
hvor
tgrøft = Vgrøft
Lgrøft
t er gennemløbstiden [s]
L er grøftens længde [m]
(G.16)
(G.17)
For at f˚a en mere generel formel skal der tages højde for den tid, det har taget vandet
at tilbagelægge strækningen fra det fjerneste punkt, hvorved den egentlige tid for et
grøftstykke bliver som (G.18).
ttotal = tgrøft + topstrøms
(G.18)
Med denne tid kan regnintensiteten for det næste dimensionsgivende omr˚ade findes.
G.3.3 Resultat af grøfteberegninger
Fra de ovenst˚aende beregninger er grøftens dybder, vandets hastighed samt gennemløbstiden
fundet. Hastigheden og gennemløbstiden ses figur G.2. Grøftens naturlige
dybder y ses i figur 9.5 i hovedrapporten.
Figur G.2 viser, hvor hurtigt vandet bevæger sig i grøften og hvor lang tid det tager
vandet at bevæge sig igennem de enkelte grøftestrækninger. Dette er de nødvendige
faktorer til at iterere resultateter for grøftens dybde.
Ud fra disse tal, kan grøftens endelige dimensioner bestemmes. Dette gøres i afsnit
9.6.

Figur G.2: afstrømningstid og hastighed i grøfterne

Bilag H
Rørdimensionering
I det følgende afsnit dimensioneres de rør, som skal lede regnvandet grøfterne til
forsinkelsesbassinene nær ved Øster˚a. Rørsystemet ses p˚a tegning C104-005. Som
det ses p˚a figuren, ønskes spildevandet ledt til et forsinkelsesbassin p˚a hver side af
vejen. B˚ade det nordlige og sydlige rør, fra grøft til bassin, dimensioneres ud fra
forudsætninger givet i afsnit 10.
H.1 Dimensionering af det nordlige rør
Ved dimensionering af det nordlige rør til bassinet bruges energiligningen til at
beregne den nødvendige diameter af røret. Som udgangspunkt vælges et betonrør
med en diameter p˚a 300 mm. Rørets fald sættes til 5 0/00. Jf. tegning C104-005 kræves
en rørlængde L p˚a 11,11 m og der laves to knæk p˚a hver 45 ◦ , for at røret kan løbe
parallelt med vejen. Der vælges to knæk p˚a 45 ◦ i stedet for et p˚a 90 ◦ , da dette giver
et mindre energitab. Den dimensionsgivende vandføring for den nordlige grøft er p˚a
0,144 m 3 /s, jf. afsnit 9.6.
Nu kan vandets hastighed i røret findes via energiligningen (H.1).
hvor
zA + PA
γ
2
α · VA
+
2 · g = zB + PB
γ
+ α · VB 2
2 · g
+ ∆HAB
(H.1)
z er afstanden fra tyngdepunktsaksen til underkanten af røret i henholdsvis pkt. A

56 Rørdimensionering
P
γ
og B
betegnes som y, og er afstanden fra vandspejlet til underkanten af røret i snit A
og B
α er hastighedskoefficienten, der sættes til 1,1 n˚ar andet ikke er anført
V er hastigheden i røret
g er tyndeaccelerationen, der sættes til 9,816 m/s 2
∆HAB er summen af alle energitab, se (H.3)
P˚a figur H.1 ses det nordlige rørsystem, hvor de forskellige værdier er angivet.
Figur H.1: P˚a figuren ses en tegning over det nordlige rør, som leder vandet fra grøften
til det nordlige bassin.
Da hastigheden i starten af røret er nul, jf. forudsætninger i afsnit 10 sættes VA = 0
og energiligningen kan reduceres til (H.2).
2
α · Vrr
zA + yA = zB + yB +
2 · g + ∆HAB (H.2)
Ud fra (H.2) kan hastigheden i røret nu findes. Først findes de forskellige energitab.
hvor
∆HAB = 2 · ∆Hknæk + ∆HF + ∆Hud
∆Hknæk er energitabet for˚arsaget af knæk p˚a røret
(H.3)

H.1 Dimensionering af det nordlige rør 57
∆HF er friktionstabet, for˚arsaget af friktion med røret
∆Hud er energitabet ved udløbet i bassinet
Først findes ∆Hknæk ud fra (H.4).
hvor
∆Hknæk = ζ ·
Vrør 2
2 · g
ζ er modstandstallet, der sættes til 1,1 · θ
90◦ 2 ∆HF findes nu ud fra (H.5)
hvor
∆HF = I · L
=
L er længden af røret
Vrør
M · R 2
2
· L
3
R er den hydrauliske radius, givet ved D
4
for et fuldtløbende cirkulært rør
M er manningtallet, og sættes til 75 m 1
3/s for et betonrør (Vejdirektoratet 2003)
Til sidst findes energitabet ved rørets udløb ∆Hud, ved (H.6).
hvor
∆Hud = α
Vrør 2
2 · g
α er modstandstallet for et rørs udløb
(H.4)
(H.5)
(H.6)

58 Rørdimensionering
Energiligningen (H.1) kan nu udtrykkes som (H.7).
2
α · Vrør
zA + yA =zB + yB +
+
⎛
⎝ Vrør
M · ( D
4 )2 3
2 · g
⎞
⎠
2
+ 2 · 1,1 ·
· L + α
Vrør 2
2 · g
θ
90◦
2
·
Vrør 2
2 · g
(H.7)
Herefter kan de p˚agældende tal findes og hastigheden i røret beregnes. Først kontrolleres
det, at Manning-formlen er gældende via (H.8) og (H.9).
hvor
Ka = 0,3 · k
ν ·
g · R · I > 10 (H.8)
k er ruhedsfaktoren og er p˚a 1,5 mm n˚ar Manning-tallet er 75 m 1/3 /s
g er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ]
ν er vands viskositet. Ved 10 ◦ er denne 1,3 · 10 −6 m 2 /s
og
0,0033 < k
R
Ved indsættelse f˚as.
og
< 0,21 (H.9)
Ka = 0,3 · 1,5 · 10−3 m
1,3 · 10−6 m2 /s ·
9,816 m/s2 ·
⇓
21 > 10
0,3 m
· 5 · 10
4
−3 > 10

H.1 Dimensionering af det nordlige rør 59
0,0033 < 1,5 · 10−3 m
< 0,21
0,3 m
4
0,0033 < 0,02 < 0,21
Da de to foreg˚aende udtryk er opfyldte, er Manning-formlen gyldig og nu kan hastigheden
i røret beregnes ud fra (H.7). Jf. figur H.1 fastsættes følgende værdier:
zA = L · I = 11,11 m · 5 · 10 −3 = 0,056 m
yA = 0,31 m
yB = 0,126 m
zB = 0 m
Hermed f˚as
2 ◦
1,1 · Vrør 45
0,056 m + 0,31 m =0,126 m + + 2 · 1,1 ·
2 · 9,816 m/s2 90◦ ⎛
⎞
+ ⎝
Vrør
75 m 1
3/s
0,3 m
· ( 4 )2
2
⎠
3
2
· 11,11 m + 1,1 ·
·
Vrør 2
2 · 9,816 m/s 2
Vrør 2
2 · 9,816 m/s 2
Vrør findes ved iteration i matlab til 1,09 m/s. Herefter kan den maksimale vandføring
i røret beregnes via (H.10):
0,3 m
Qrør = 1,09 m/s · π ·
2
2
= 0,077 m 3 /s (H.10)
Det ses, at et rør med en diameter p˚a 0,300 m ikke har en tilstrækkelig kapacitet,
da Qrør

60 Rørdimensionering
H.2 Dimensionering af det sydlige rør
Ved dimensionering af det sydlige rør bruges energiligningen, ligesom for det nordlige
rør, til at beregne den nødvendige diameter af røret. For at mindske dette rørs
dimensioner vælges et frit udløb, hvormed (H.6) ikke indg˚ar i energiligningen. Dette
bet´yder ogs˚a, at yB = 0.
Rørets fald sættes til 5 0/00. Jf. tegning C104-005, kræves en rørlængde L p˚a 20,39 m,
og der laves to knæk p˚a hver 45 ◦ , for at røret kan løbe parallelt med vejen. Den
dimensionsgivende vandføring for den sydlige grøft er p˚a 0,398 m 3 /s, jf. afsnit 9.6.
De øvrige værdier kan ses p˚a figur H.2.
Figur H.2: P˚a figuren ses en tegning over det sydlige rør, som leder vandet fra grøften
til det sydlige bassin.
P˚a den sydlige side af vejen, findes den nødvendige rørdiameter til 0,498 m. Ud fra
dette vælges et standard betonrør med en diameter p˚a 0,5 m.

Bilag I
Dimensionering af
regnvandsbassiner
For at kunne beregne de to regnvandsbassiners mindste dimensioner, skal det totale
volumen vand i bassinet beregnes. Det totale volumen af bassinet findes ved addition
af opholdsvolumen og det maksimale stuvningsvolumen, hvilket ses af I.1:
Vtotal = Vophold + Vstuvning
I det følgende beregnes først Vophold og bagefter Vstuvning i de to bassiner.
I.1 Beregning af totalvoluminer
(I.1)
Bassinets opholdsvolumen dimensioneres, s˚a kravene fra afsnit 11 overholdes, hvorved
de nødvendige opholdsvoluminer kan beregnes via (I.2):
hvor
Vophold = 250 m 3 /ha · Fr
(I.2)
Fr er det reducerede oplandsareal for henholdsvis det sydlige og nordlige opland
[ha]

62 Dimensionering af regnvandsbassiner
Det maksimale stuvningsvolumen bestemmes ved en simpel metode, hvor regnrækkerne
benyttes. Her ses der bort fra oplandets koncentrationstid — tiden det tager
vandet at strømme fra det fjerneste hjørne til bassinet. Dermed forudsættes det, at
alt regn, der ellers ville falde p˚a oplandet, ender direkte i bassinet.
Hvis kontinuitetsligningen (I.3) betragtes under en regnhændelse, kan nettotilstrømningen
af vand til bassinet findes ved at multiplicere vandføringen med regnhændelsens
varighed.
hvor
Vstuvning = (Qind − Qud) · tr
tr er regnvarigheden [sek]
(I.3)
Under denne dimensionering fastsættes udløbsvandføringen til at være konstant,
hvilket reelt ikke er tilfældet. Denne vil i praksis afhænge af bassinets stuvningshøjde.
Afslutningsvis udtrykkes indløbsvandføringen ved regnintensiteten og det reducerede
oplandsareal, hvilket udtrykkes ved regnformlen. Hermed bliver (I.3) til:
hvor
Vstuvning = (Qind − Qud) · tr
= (i · Fr − Qud) · tr
= (c · t −α
r · Fr − Qud) · tr
i er regnintensiteten [l/(s · ha)]
α er en enhedsløs faktor, se afsnit 9.2
c er en enhedsløs faktor, se afsnit 9.2
(I.4)
Her er den eneste variabel regnvarigheden tr for en given gentagelsesperiode der
afhænger af krav til overløbshyppighed.
Da det er hensigten at bestemme det maksimale stuvningsvolumen, m˚a det være
nødvendigt at bestemme regnvarighedens største værdi. Dette gøres ved at differentiere
mht. tr og sætte differentialkoefficienten lig nul:

I.1 Beregning af totalvoluminer 63
dV
dtr
= −(Qud · t α r + c · (α − 1) · t −α = 0
tr,maks =
−c · (α − 1) · Fr
Qud
1/α
(I.5)
Herefter kan det maksimale stuvningsvolumen beregnes ved at indsætte (I.5) i stedet
for tr i (I.4). Før den maksimale stuvningsvolumen kan bestemmes, skal udløbsvandføringen
og den tilladte overløbshyppighed bestemmes.
Udledning af vand til vandløb bestemmes ved en reducering til naturlig afstrømning
svarende til 1 l/sek · ha eller minimum 10 l/s (Nordjyllands Amt 2005c). I dette
tilfælde benyttes det aktuelle oplandsareal Fa. Dvs. at Qud beregnes via (I.6), hvis
Fa>10 ha.
Qud = 1 l/sek/ha · Fa
(I.6)
P˚a baggrund af ovenst˚aende er Qud bestemt ud fra det samlede oplandsareal —
addition af arealbidraget p˚a 50 m 2 pr. stationering med værdierne i tabel G.1, jf.
bilag G.1. Herved findes det samlede oplandsareal for det nordlige og sydlige opland.
Bassinerne dimensioneres, s˚a de ikke overbelastes hyppigere end hvert 5. ˚ar, hvormed
gentagelsesperioden i regnformlen er 5˚ar (Vejdirektoratet 2003). Resultater og
mellemregninger for beregning af de to bassiners totalvoluminer kan ses i tabel I.1.
Nordlige opland Sydlige opland
Opland Fa [ha] 1,63 10,09
Reduceret opland Fr [ha] 0,48 1,09
Vophold[m 3 ] 119,2 273,3
Qud[l/s] 10,00 10,09
tr,maks[s] 1988 5853
Vstuvning[m 3 ] 62,96 187,5
Vtotal[m 3 ] 182,2 460,8
Tabel I.1: Beregning af totalvolumin.
I det følgende vises hvordan værdierne for det nordlige opland er fremkommet. Vophold
beregnes via (I.2).

64 Dimensionering af regnvandsbassiner
Vophold = 250 m 3 /ha · 0,47684 ha = 119,21 m 3
Qud sættes til 10 l/s, da det samlede opland er mindre end 10 ha. Herefter kan tr,maks
beregnes ved (I.5).
tr,maks =
−28070 · (0,76 − 1) · 0,47684 ha
= 1988,18 s
10 l/s
1/0,76
Dette betyder, at regnvarigheden, hvor det største volumen kræves, er 1988,18 sek.
Resultatet indsættes nu i (I.4).
Vstuvning,maks = (28070 · 1988,18 s −0,76 · 0,47684 ha − 10 l/s) · 1988,18 s
= 62959,03 l
≈ 62,96 m 3
Idet Vophold og Vstuvning er bestemt, kan det totale volumen af bassinet bestemmes
ved (I.1):
Vtotal = Vophold + Vstuvning
= 119,21 m 3 + 62,96 m 3
= 182,17 m 3
De fundne totalvoluminer bruges til at dimensionere bassinerne.
I.2 Dimensionering af bassiner
Bassinernes anlægsskr˚aninger projekteres i anlæg 10 p˚a deres nordvendte side og
anlæg 5 p˚a de tre øvrige sider for at opn˚a en lavvandsside mod nord. Bassinernes
længde-breddeforhold ved opholdsvoluminets overflade sættes 2 til 1, s˚aledes en
tilfredsstillende gennemløbslængde opn˚as. Bassindybden fra bund til opholdvoluminets
overflade vælges til 0,8 m for at undg˚a anaerobe bundforhold og samtidig sikre
overvintringsmulighed for padder.

I.2 Dimensionering af bassiner 65
Voluminet kan nu regnes som en pyramidestub efter (I.7), og dimensionerne for
bassinernes bund samt opholdvoluminets overflade findes ved iteration i Matlab.
hvor
Vophold = 1
3 · hophold(a · 2a + (a − 15 · hophold) (2a − 10 · hophold)
+ a · 2a · (a − 15 · hophold) · (2a − 10 · hophold))
Vophold er bassinets nødvendige opholdsvolumen, fundet i afsnit I.1 [m 3 ]
hophold er højden fra bassinbund til vandoverfladen i tørvejrsperioder [m]
a er bassinets bredde ved vandoverfladen, n˚ar vanddybden er lig 0,8 m [m]
(I.7)
Bassinets længde kan udtrykkes ved bredden jf. forudsætningen om et længdebreddeforhold
p˚a vandoverfladen ved tørvejsperioder p˚a 2 til 1. Dimensionerne bruges
til bestemmelse at stuvningshøjden, som bestemmes ved endnu en iteration i
Matlab ud fra (I.8).
hvor
Vstuvning = 1
3 · hstuvning(a · 2a + (a + 15 · hstuvning) (2a + 10 · hophold)
+ a · 2a · (a + 15 · hstuvning) · (2a + 10 · hstuvning))
Vstuvning er bassinets nødvendige stuvningsvolumen fundet i afsnit I.1 [m 3 ]
(I.8)
hstuvning er højden fra opholdsvoluminets overflade til stuvningsvoluminets overflade
ved fuld opstuvning i bassinet [m]
a er bassinets bredde ved vandoverfladen af opholdsvoluminet, fundet ved foreg˚aende
iteration [m]
Basinnernes dimensioner fremg˚ar af tabel 11.1 og 11.2.

66 Dimensionering af regnvandsbassiner
I.3 Dimensionering af rør fra bassin til recipient
I dette afsnit dimensioneres de to rør som leder vandet fra forsinkelsesbassinerne ud i
Øster˚a. Rørene placeres ved opholdvoluminets overflade, som er 0,8 m over bassinets
bund. Rørene vælges til at være plastrør, hvormed Manningtallet bliver 80 m 1
3/s
(Larsen 2003).
Den dimensionsgivende vandføring Qdim er lig med Qud, som er beregnet i det forige
afsnit. Rørberegningerne laves ligesom i afsnit H ved hjælp af energiligningen. Her
bliver (H.7) dog reduceret til følgende udtryk, da rørene ender med et frit udløb og
da der ikke er knæk p˚a dem.
zA + yA = zB + yB +
2
α · Vrør
2 · g +
⎛
⎝ Vrør
M · ( D
4 )2 3
⎞2
⎠
· L (I.9)
Her er yA stuvningshøjderne, hvilke er beregnet i det forrige afsnit. I tabel I.2 ses de
valgte parametre samt den mindste rørdiameter for de to rør. I tabellen er der kun
listet de værdier, som adskiller sig fra værdierne i afsnit H.
Nordlige rør Sydlige rør
Qdim[l/s] 10,00 10,09
I 0,01 0,002
L[m] 16 5,5
zA[m] 0,16 0,011
yA[m] 0,17 0,28
yB[m] 0 0
Dmaks[m] 0,114 0,1
Tabel I.2: Beregning af de maksimale rørdiametre.
Normalt opfordres der til, at rør med en diameter under 150 mm som minimum har
en hældning p˚a 5 0/00, for at det er selvrensende. En hældning ned til 1 0/00 kan dog
tillades, hvis vandets hastighed, n˚ar det er fuldtløbende, overstiger 0,8 m/s. Dette
kontrolleres efter valg af rør.
Rørene der er valgt benyttet er Wavin PP-MD afløbsrør Ø110 i klasse SN8 , hvilke
har en indre diameter p˚a 0,1024 m (Wavin 2005).
Dette betyder, at det nordlige rør f˚ar en mindre aktuel vandføring, end der er p˚akrævet
og regnet med i bilag I. Dette er grunden til, at der vælges en hældning

I.4 Kontrol af Regnvandsbassin 67
p˚a 10 0/00, hvilket giver en større vandføring. Med det valgte rør er den maksimale
vandføring p˚a 0,008 m 3 /s. Dette vil give en større stuvningshøjde i bassinet, men
ved gennemregning ses det, at stuvningshøjden stiger med mindre end 1 cm og det
vurderes derfor ubetydeligt. Da rørets hældning er over 5 0/00 er røret selvrensende.
Det sydlige rør f˚ar en lidt større diameter end tilladt, hvilket er prøvet reguleret
med rørets hældning, s˚a den maksimale diameter bliver større. Det valgte rørprofil
giver en vandføring p˚a 10,8 l/s, hvilket er 0,71 l/s for meget. Umiddelbart ses dette
ikke som et problem, da der er en stor usikkerhed ved beregning af det samlede
oplandsareal og da forskellen er s˚a lille. Hvis det ønskes overholdt, kan bassinets
dimensioner øges, s˚a stuvningshøjden mindskes. Ved maksimal stuvning i bassinet
er vandets hastighed i røret p˚a 1,3 m/s og det er derfor selvrensende.
I.4 Kontrol af Regnvandsbassin
Ved at benytte kontinuitetsligningen, kan vandstanden som funktion af tiden beregnes,
hvorved det kontrolleres om dimensionerne er brugbare. Kontinuitetsligningen
er udtrykt som i (I.10).
Qind = Qud
(I.10)
Denne beskriver at den vandføring der kommer ind i et system ogs˚a skal ledes bort.
I et ˚abent bassin vil der være to udveje for vandet. Udløbsrøret til recipienten,
vil være det primære udløb, og hvis denne ikke kan klare indløbets vandføring, vil
vandstanden i bassinet stige, hvormed (I.10) kan omskrives til (I.11)
Qind = Qop + Qud
(I.11)
M˚alene, der bruges til at beskrive denne udvikling, kan findes p˚a figur 11.1 og figur
11.2 i hovedrapporten.
Qind er udregnet ved hjælp af regnformlen, med de parametre, der er beskrevet i
bilag I og bruges direkte i den samlede formel. Ved at omskrive Qop findes et udtryk
afhængig af tiden.

68 Dimensionering af regnvandsbassiner
Qop = Vop · Aoverflade,bassin
Qop = dy
dt · Aoverflade,bassin ≈ ∆y
· Aoverflade,bassin
∆t
= yt+1 − yt
∆t
P˚a samme m˚ade kan Qud udtrykkes.
Qud = Vud · Arør
Vud i (I.13) kan beregnes ved opstilling af energiligningen (I.14).
hvor
PA
γ
α·V 2 A
2g
PB
γ
(I.12)
(I.13)
ZA + PA
γ + α · V 2 A
2g = ZB + PB
γ + α · V 2 B
2g + ∆HAB (I.14)
= yA
≈ 0 pga. den meget lave hastighed i bassinet
= 0 pga. trykket i en fri vandstr˚ale er 0
Hermed er formel (I.14) reduceret til (I.15):
hvor
ZA + yA − ZB = α · V 2 B
2g + ∆HF + Σ∆HE (I.15)
HF er energitabet for˚arsaget af friktion i røret
HE er enkelttabet fra udløb

I.4 Kontrol af Regnvandsbassin 69
friktionstabet kan beskrives ved formel (I.16):
HF = I · L =
Vrør
R · M 2
· L (I.16)
3
I er energiliniegradienten udtrykt ved Manningformlen
Enkelttabet kan beskrives ved formel (I.17):
hvor
HE = ξ ·
V 2
rør
2g
ξ er modstandstallet for enkelttabet
Herefter kan (I.15) omskrives til (I.18):
ZA + yA − ZB = V 2
rør ·
L
M 2 · R 4
3
Endelig kan Vrør i (I.18) isoleres til (I.19):
Vrør =
+ α + ξHF
2g
(I.17)
(I.18)
ZA + yA − ZB
(I.19)
L
M 2 ·R 4 3
+ α+ξHF
2g
Herefter kan (I.11) samles, hvorved der fremkommer et udtryk, der beskriver vanddybden
i bassinet som funktion af højden. Dette ses i (I.20)
Qind = Qop + Qud
⇕
ty+1 = yt +
⎛
⎜
⎝ Qind −
ZA+yA−ZB
L
M 2 ·R 4 3
+ α+ξH F
2g
Aoverflade
⎞
⎟
· Arør
⎟
⎠
· ∆t
(I.20)

70 Dimensionering af regnvandsbassiner
Ved at indsætte parametre, ved forskellige regnvarigheder, kan bassinets volumenbalance
findes. Der er i Excel udarbejdet et program, der udregner balancen. Figur
I.1 og figur I.2 viser resultatene for de to regnbassiner.
Figur I.1: Stuvningskurve for nordbassinet som funktion af tiden.
Figur I.2: Stuvningskurve for sydbassinet som funktion af tiden.
Det ses at den maksimale dybde for henholdsvis nord og syd, ved en regnvarighed p˚a
15 minutter, er ca. 1,6 m og 1,4 m. Dette giver en stuvningshøjde p˚a hhv. 0,8 m og
0,6 m. Endelig ses det at til samme regnvarrighed, vil bassinernes vanddybde være
tilbage p˚a opholdsniveau efter hhv. 20 og 23 timer.

Bilag J
Skitseprojektering af bro
J.1 Forslag til brotype
For at vurdere de fem forskellige brotyper, der er vist p˚a figur 12.1, er der valgt at
fokusere p˚a et simpelt lasttilfælde, hvor det kun er broens egenlast og trafiklasten,
som medtages. Lasterne modeleres, s˚a der fra trafiklasten fremkommer en punktlast
og en linielast, mens broens egenlast ogs˚a bidrager til linielasten.
Der ønskes bestemt et overslag p˚a st˚alforbruget, som skal benyttes inden for hver
brotype. Beregningerne laves ud fra, at broerne skal have et frit spænd over Motorvej
E45 ved Dall Villaby og at voldene langs motorvejen har anlæg 2.
J.1.1 Forudsætninger for skitseprojektet
For at kunne beregne st˚alforbruget for brotyperne er der for skitseprojektet benyttet
følgende forudsætninger:
• Broerne regnes værende brogruppe 1
• Der benyttes st˚alkvalitet S355
• Der regnes i høj sikkerhedsklasse og normal materiale kontrolklasse
• De fem konstruktioner regnes simpelt understøttet
• Der benyttes lastkombination 2.1a til egenlast og trafiklast for brudgrænsetilstand
(Vejdirektoratet 2002)

72 Skitseprojektering af bro
• Til nedbøjningsberegninger bruges anvendelsesgrænsetilstand (Vejdirektoratet
2002)
• Ved dimensionering af søjler og stænger med træk medtages muligheden for
stabilitetssvigt ikke, velvidende at dette kan finde sted
• Ved dimensioneringen af bjælker medtages kun momentet, velvidende at der
ogs˚a kan være en normal- og forskydningskraft
• Ved regning p˚a gitterbroen ækvivaleres alle laster til at have angrebspunkt i
knuderne. Hermed regnes der kun med normalkræfter i stængerne, velvidende
at der fra linielasten vil komme et moment i de underliggende flanger
J.2 Modelering af laster
For at kunne beregne trafiklasten p˚a broen er det nødvendigt at kende vejens bredde
b. Denne er i bilag A.2 fundet til at være p˚a 13,0 m og det er denne bredde, som der
regnes med i skitseprojektet.
De efterfølgende oplysninger tager udgangspunkt i figur J.1. For at kunne dimen-
Figur J.1: Illustration af broens dimensioner.
sionere broens søjler er det ogs˚a nødvendigt at kende broens højde over den underliggende
motorvej. Denne højde skal minimum være 4,50 m, hertil er der p˚akrævet
en tolerance p˚a 0,13 m (Vejdirektoratet 1998). I skitseprojektet arbejdes der med en
fritrumshøjde p˚a 4,70 m.
Til skitseprojektet beregnes broens spænd ud fra den underliggende motorvej. Den
nord-sydg˚aende Motorvej E45, som broen kommer til at krydse, har 4 spor og en
midterrabat p˚a 5,0 m. I alt har vejen en bredde p˚a 28,0 m.
Jordskr˚aningen langs motorvejen, der f˚ar broen op i en højde p˚a 4,70 m, giver et
tillæg til spændvidden p˚a 9,4 m i hver side. Hermed bliver den samlede spændvidde
p˚a 46,8 m.

J.2 Modelering af laster 73
J.2.1 Beregning af trafiklasten
I skitseprojektet dimensioneres de fem broers elementer ud fra deres regningsmæssige
egenlaster og trafiklaster ved lastkombination 2.1a. Dette skyldes, at de to laster
antages at være de største laster p˚a broen ved anvendelse af forudsætningen om
brudgrænsetilstand. Trafiklasten angives som en linielast og en punktlast, linielasten
placeres p˚a hele konstruktionen og punktlasten p˚a midten.
Den karakteristiske linielast og punktlast findes ud fra broens bredde, som er fundet
til at være p˚a 13,0 m. Først skal antallet af teoretiske vejbaner n beregnes. En vejbane
betragtes som værende 3,0 m bred, jf. (Eur 2002), og der regnes derfor med fire
vejbaner, hvilket ses p˚a figur J.2. Derudover bliver der et overskydende omr˚ade, som
er 1,0 m bredt.
Figur J.2: Placering af punkt- og jævnt fordelte laster p˚a kørebanen.
Normalt angives to punktlaster, som fremkommer af et køretøjs aksiallaster. Aksiallasten
Qt,k har følgende størrelse:
hvor
Qt,k = αQ · Qk
(J.1)
αQ er en justeringsfaktor, som bl.a. afhænger af hvilken brotype, der arbejdes med
Qk er punktlast for aksiallasten, hvor den dynamiske effekt af køretøjet er inddraget

74 Skitseprojektering af bro
I skitseprojektet forskydes de to punktlaster til det samme punkt, som ligger mellem
de to aksler. Da afstanden mellem akslerne ikke udgør nogen særligt stor del af den
samlede længde af broen, vurderes det, at ændringen af momentet ikke har nogen
væsentlig betydning.
Da den jævnt fordelte last for hver bane er angivet i kraft pr. kvadratmeter, kan
linielasten for den enkelte bane og det resterende omr˚ade findes ved at multiplicere
med de forskellige bredder. Den samlede linielast findes ved at addere linielasten
for hver teoretisk bane samt det resterende omr˚ade. Linielasten, hvor køretøjernes
dynamiske effekt er inddraget, har ogs˚a en justeringsfaktor αq, hvormed linielasten
har følgende størrelse:
qt,k = αq · qk
(J.2)
Aksiallasterne og fladelasterne varierer for hver teoretisk bane, hvilket ses p˚a tabel
J.1. Fladelasterne og punktlasterne for de enkelte baner skrives qik og Qik, hvor i
Lokation 2-akslet system Jævnt fordelt lastsystem
Axial last Qik — kN Flade last qik — kN/m 2
Bane nr. 1 300 9
Bane nr. 2 200 2,5
Bane nr. 3 100 2,5
Øvrige baner 0 2,5
Overskydende omr˚ade 0 2,5
Tabel J.1: Karakteristiske værdier for aksiallaster og fladelaster
viser, hvilken teoretisk bane lasten gælder for. Justeringsfaktorerne for beregning af
de karakteristiske linielaster og punktlaster findes til at have følgende værdier for
brogruppe 1 (Vejdirektoratet 2002) og (Eur 2002):
αiQ = 1,00
α1q = 0,67
αiq = 1,00fori ≥ 2
Ud fra punktlasterne kan den karakteristiske punktlast fra trafikken Qt,k beregnes:
Qt,k = 2 · (Q1k + Q2k + Q3k + Q4k) · αiQ
= 2 · (300 kN + 200 kN + 100 kN + 0 kN) · 1,00
= 1200 kN
Ligeledes kan den karakteristiske linielast fra trafikken qt,k beregnes:
qt,k = (q1k · α1q + q2k · α2q + q3k · α3q + q4k · α4q) · 3 m + qrk · αrk · 1,00 m
= (9,00 kN/m 2 · 0,67 + 3 · 2,50 kN/m 2 · 1,00) · 3 m + 2,50 kN/m 2 · 1,00 · 1,00 m
= 43,50 kN/m

J.2 Modelering af laster 75
J.2.2 Modelering af egenlasten
P˚a figur J.3 ses brodækkets opbygning for de to bjælkebroer. I beregningen af egenlasten
medtages kun vægten fra vejbelægningen og st˚alpladen, da de langsg˚aende
bjælker ikke er ens for bjælkebroerne og gitterbroen. Det antages, at b˚ade længdeog
tværbjælker ikke udgør en væsentlig del af det samlede last, hvorfor de undlades
i beregningerne. Dog vil der efter dimensioneringen være en vurdering af, om
antagelsen er acceptabel. Den karakteristiske egenlast ønskes fundet som en samlet
karakteristisk linielast.
Figur J.3: Brodækkets opbygning for de fire bjælkebroer.
Først beregnes den karakteristiske egenlast for vejbelægningen. Vejbelægningen skal
konstrueres, s˚a den f˚ar en tykkelse p˚a 90 mm(Vejdirektoratet 2004). Det antages, at
hele vejbelægningen har samme densitet som støbeasfalt, hvilken er p˚a 23,0 kN/m 3
(Mortensen 2005). Hermed kan den karakteristiske linielast fra vejbelægningen GB,k
regnes som følgende:
hvor
GB,k = ρasfalt · h · b
ρasfalt er asfaltbetons specifikke tyngde
h er vejbelægningens tykkelse
b er vejens bredde
N˚ar dette indsættes f˚as følgende:
GB,k = 23,0 kN/m 3 · 0,09 m · 12,0 m = 24,84 kN/m

76 Skitseprojektering af bro
Nu beregnes den karakteristiske egenlast for st˚alpladen. Det antages, at der skal bruges
en 30 mm tyk st˚alplade i valset st˚al. Denne har en specifik tyngde p˚a 77,0 kN/m 3
(DS 410 1998). Hermed kan den karakteristiske linielast GP,k beregnes som følgende:
hvor
GP,k = ρst˚al · b · h
ρst˚al er valset st˚als specifikke tyngde
h er pladens tykkelse
b er vejens bredde
Hermed f˚as:
GP,k = 77,0 kN/m 3 · 12,0 m · 0,03 m = 27,72 kN/m
Ved at lægge de to størrelser sammen f˚as den samlede karakteristiske egenlast Gk:
Gk = GB,k + GP,k = 24,84 kN/m + 27,72 kN/m = 52,56 kN/m
Dermed er det muligt, at opstille de regningsmæssige laster for hhv. egenlasten
og trafiklasterne. Ved brudgrænsetilstande bruges 1,00 for egenlasten og 1,30 for
nyttelasten, hvor nyttelasten i dette tilfælde er trafiklasten:
qd = 1,00 · Gk + 1,30 · qt,k
= 1,00 · 52,56 kN/m + 1,30 · 43,50 kN/m
= 109,11 kN/m
Qd = 1,30 · Qt,k
= 1,30 · 1200 kN
= 1560 kN
Ved anvendelsegrænsetilstande (til beregning af nedbøjning) skal der bruges følgende
for partialkoefficienterne; egenlasten 1,00, for punktlasten 0,75 og for linielasten 0,40.
Dermed bliver de regningsmæssige laster:
qd,a = 1,00 · Gk + 0,40 · qt,k
= 1,00 · 52,56 kN/m + 0,40 · 43,50 kN/m
= 69,96 kN/m
Qd,a = 0,75 · Qt,k
= 0,75 · 1200 kN
= 900 kN

J.3 Gitterbro 77
Dermed er alle de regningsmæssige laster fundet, hvormed den egentlige dimensionering
kan begynde.
J.3 Gitterbro
For at kunne dimensionere stængerne i gitterbroen ønskes de maksimale snitkræfters
størrelse og placering bestemt. Snitkræfterne vil som nævnt kun blive betragtet
som stangkræfter i konstruktionen. Belastningen af broen sker gennem dens knuder,
hvorfor den jævnt fordelte last qd ækvivaleres til punklaster i hver af knuderne i
underflangen, som det fremg˚ar af figur J.4. Punktlasten Qd placeres midt p˚a underflangen
og ækvivaleres med de to midterste knuder, da den her antages til at virke
størst belastende for hele konstruktionen. Der regnes p˚a gitterbroen, idet den best˚ar
af to identiske gitre, som hver optager halvdelen af de samlede regningsmæssige
laster. Lasterne p˚a hvert enkelt gitter qo og Qo bliver derfor som følgende:
qo = qd
2
Qo = Qd
2
= 109,11 kN/m
2
= 1560 kN
2
= 54,56 kN/m
= 780 kN
Figur J.4: Statisk system for hvert af de to gitre, der udgør brokonstruktionen.
Ved simpel analyse af reaktionerne ses det, at der ikke optræder nogle horisontale
laster ved konstruktionen, hvormed RHA = 0. Dermed er der symmetri i konstruktionen,
hvormed de to vertikale reaktioner RV A og RV S optager lige meget af lasterne:
RV A = RV Q = 1
2 · Qo + 1
· L · qo
2
= 1 1
· 780 kN + · 46,80 m · 54,56 kN/m
2 2
= 1666,70 kN

78 Skitseprojektering af bro
Da gitterkonstruktionen optræder som en simpelt understøttet bjælke, vil det største
resulterende moment kunne findes i midten af konstruktionen, hvormed stangkræfterne
i over- og underflangen vil være størst her. De tværg˚aende stænger har maksimal
stangkraft i enden af konstruktionen, ligesom forskydningskraften er størst i
enden af bjælken. Dette illustreres p˚a figur J.5, som er lavet i Calfem (I programmet
er der brugt HE400B- og HE180B-profiler for hhv. over-/underflanger og tværg˚aende
stænger samt et karakteristisk E-modul p˚a 210 GPa).
Højde/m
15
10
5
0
−5
−10
4000
0 10 20
Længde/m
30 40 50
Figur J.5: Illustration af hvordan stangkræfterne ændrer sig gennem konstruktionen.
Den viste lineal har enheden [kN].
For at finde stangkræfterne analytisk i over- og underflangen benyttes rittersnit, som
skærer igennem de tre miderste stænger. Udsnittet, der beregnes, er vist p˚a figur
J.6.
For at finde stangkræfterne SHJ og SIK er det nødvendigt at kende stangkraften

J.3 Gitterbro 79
Figur J.6: Rittersnit gennem de tre midterste stænger.
SIJ først. SIJ findes ved lodret ligevægt ↑ + :
SIJ · sin(61) + RV A − 4 · 5,20 m · qo − 2,60 m · qo − Qo
= 0
2
⇓
780 kN
−1666,70 kN + 23,4 m · 54,56 kN/m + 2
SIJ =
sin(61)
= 0,00 kN
For at finde SHJ tages moment om I + :
− SHJ · 4,70 m + 5,20 m · qo · 5,2 m · (1 + 2 + 3)
+ 2,60 m · qo · 4 · 5,2 m − RV A · 4 · 5,2 m = 0
⇓
5,20 m · 54,56 kN/m · 41,60 m − 1666,7 kN · 20,80 m
SHJ =
4,70 m
= −4864,88 kN
Dermed er det nu muligt at finde SIJ ved vandret ligevægt → + :
SIK + SHJ + SIJ · cos(61) = 0
⇓
SIK = −SHJ − SIJ · cos(61)
= −(−4864,88 kN) − 0 kN · cos(61)
= 4864,88 kN
Dermed er de største stangkræfter for over- og underflangen fundet til at være p˚a
4864,88 kN, hvilket stemmer overens med Calfem. Stangkræfter fungerer som tryk i
overflangen og træk i underflangen.

80 Skitseprojektering af bro
Figur J.7: Løsskæring af knude A til bestemmelse af de maksimale tværg˚aende
stangkræfter.
Dernæst kan størrelsen p˚a den maksimale tværg˚aende stangkraft findes. Dette gøres
ved at løsskære knude A, hvilket ses af figur J.7.
SAB kan bestemmes ved lodret ligevægt ↑ + :
RV A − 2,60 m · qo + SAB · sin(61) = 0
⇓
2,60 m · 54,56 kN/m − 1666,70 kN
SAB =
sin(61)
= −1743,44 kN
Dermed er den største kraft for de tværg˚aende stænger fundet til at være -1743,44 kN
eller et tryk p˚a 1743,44 kN, hvilket ligeledes stemmer overens med de fundne resultater
fra Calfem.
Nu dimensioneres over- og underflangerne til at være HE400B-profiler. Der bruges
HE-profiler, da de pga. ensformige inertimomenter i tværsnittet er velegnede som
søjler og stænger. Følgende viser, at et s˚adant profil har en tilstrækkelig bæreevne
(G. Mohr et al 2004):
hvor
fy
1,17 · γ0 · γ5
≥ N
A
fy er den valgte st˚altypes karakteristiske flydespænding
γ0 Faktor, der tager hensyn til sikkerhedsklassen
γ5 Faktor, der tager hensyn til materialekontrolklassen

J.3 Gitterbro 81
N er normalkraften
A er profilets areal
Ved indsættelse af værdier f˚as:
345 MPa
1,17 · 1,1 · 1,0
⇕
≥ 4864,88 kN
19,8 · 10 3 mm
268,07 MPa ≥ 245,70 MPa
Herefter dimensioneres de tværg˚aende stænger til at være HE180B-profiler. Følgende
viser, at et s˚adant profil ogs˚a har en tilstrækkelig bæreevne (G. Mohr et al 2004):
fy
≥
1,17 · γ0 · γ5
N
A
⇓
345 MPa 1743,44 kN
≥
1,17 · 1,1 · 1,0 6,53 · 103 mm
⇕
268,07 MPa ≥ 266,99 MPa
Nu beregnes den tilladte nedbøjning u for at kunne undersøge, om konstruktionen
af spændvidden:
overholder det vejledende krav p˚a maksimalt 1
400
u = L
400
= 46,8 m
400
= 0,12 m
Via Calfem er den maksimale nedbøjning beregnet til 0,11 m ved benyttelse af anvendelsesgrænsetilstande,
hvormed det ønskede krav er overholdt.
Endeligt beregnes det samlede st˚alforbrug ved konstruktionen af de to gitre. Først
beregnes længden af de tværg˚aende stænger Ltværg˚aende:
Ltværg˚aende =
5,20 m
2
2
+ (4,70 m) 2 = 5,37 m

82 Skitseprojektering af bro
Hermed kan st˚alforbruget Vgitter beregnes, n˚ar der for hvert gitter er 17 over- og
underflanger samt 18 tværg˚aende stænger:
Vgitter = 2 · (17 · 5,20 m · AHE400B + 18 · L1 · AHE180B)
= 2 · (17 · 5,20 m · 19,8 · 10 −3 m 2 + 18 · 5,37 m · 6,53 · 10 −3 m 2 )
= 4,76 m 3
Dvs. at st˚alforbruget for de to gitre bliver p˚a ialt 4,76 m 3
For at f˚a et mere nøjagtigt st˚alforbrug, skal der ogs˚a tages højde for de tværg˚aende
bjælker, som spænder af p˚a gitrene. Disse gitre understøtter brodækket, da det ikke
kan klare et spænd p˚a 12,00 m. Det antages, at der ca. skal være et HE300B-profil
for hver anden meter, hvilket resulterer i, at der bliver 23 bjælker p˚a 12,00 m. Dette
giver et ekstra st˚alforbrug p˚a 4,1 m 3 . Derudover skal der ogs˚a bruges stænger til at
stabilisere gitrene foroven. Det er skønnet, at der skal bruges ét vindkryds for hvert
femte meter i cirkulært rør-profil med tværsnitsareal p˚a 600 mm 2 . Dette resulterer
i et skønnet st˚alforbrug p˚a 0,20 m 3 . Samlet vil dette give et samlet st˚alforbrug p˚a
8,88 m 3 for hele gitterbroen.
J.4 Placering af charnier i bjælkebroer
Ved konstruktion af større broer kan der forekomme meget lange profiler, som kan
være vanskelige at producere og transportere fra fabrikken til byggepladsen. En evt.
specialfabrikation vil have store omkostninger. Ved at indsætte charnier i bjælkerne
kan profilernes længde reduceres, s˚a produktion og transport muliggøres.
Af hensyn til profilstørrelserne kan placeringen af charnierne have afgørende betydning
for, hvor stort et moment, der skal dimensioneres for. Derfor vil det være ideelt
at justeres charniernes placering, s˚a det positive maksimale moment er lig med det
negative maksimale moment. Charnierne har ogs˚a afgørende betydning for, hvorvidt
en konstruktion er statisk bestemt eller ubestemt.
I de to efterfølgende broers bjælkeberegninger er placeringen af charnierne optimeret
med hensyn til det maksimale moment.

J.5 Bjælkebro med skr˚a søjler 83
J.5 Bjælkebro med skr˚a søjler
Dette forslag bygger p˚a en bjælkebro, hvor de to understøttende søjler st˚ar med en
vinkel p˚a 45 ◦ , som det ses p˚a figur J.8. Konstruktionen er p˚aført de omtalte laster
qd og Qd og er gjort statisk bestemt ved at p˚aføre bjælken to charnier, hvormed der
kan opstilles to ekstra ligevægtsligninger.
Figur J.8: Statisk system for bjælkebroen med skr˚atst˚aende søjler.
Reaktionerne i punkt G og H opløses i komposanter, s˚a de svarer til de øvrige reaktioners
vertikale og horisontale retninger. Størrelserne p˚a reaktionerne i komposanterne
er ens, idet vinklen mellem bjælken og søjlerne er 45 ◦ . Da reaktionerne RG og RH
har angrebslinie gennem søjlen, kan komposanterne flyttes op til bjælken, som vist
p˚a figur J.9, hvormed de erstatter søjlerne. Derudover vil den vandrette reaktion
RHA = 0, da der ikke forekommer horisontale laster p˚a systemmet. Dette medfører,
at systemmet er symmetrisk omkring midten af bjælken.
Figur J.9: Statisk system af bjælkebroen efter RG’s opløsning i komposanter.
J.5.1 Bjælkeberegninger
Bjælkernes størrelse og derved materialeforbruget bestemmes ud fra det maksimale
moment. For at minimere det maksimale moment beregnes den optimale placering af
charnier C og D, s˚aledes det maksimale positive moment er lig med det maksimale

84 Skitseprojektering af bro
negative moment. For at finde denne placering indføres en variabel s, der er afgør
hvor charnierne placeres i forhold til hhv. punkterne A og F, som det fremg˚ar af figur
J.9. Dermed er det muligt at bestemme funktioner for reaktionerne, der er afhængige
af variablen s. Da der er symmetri pga. det simple lasttilfælde i systemmet vil:
RV A = RV F
og
RV G = RV H
For at finde reaktionerne opstilles momentligevægt for venstresiden af snittene gennem
charnier C og D. Da snittene ligger i charnier, vil snitmomentet være 0. Først
betragtes snittet gennem charnier C, se figur J.10, hvor momentligevægten + er:
Figur J.10: Momentligevægt om punkt C.
−RV G · (s − 9,4 m) − RV A · s + 0,5 · qd · s 2 = 0 (J.3)
Herefter betragtes snittet gennem charnier D, se figur J.11, hvor der ligeledes opstilles
momentligevægt + for:
Qd·(23,4 m−s)+0,5qd·(46,8 m−s) 2 −RV A·(46,8 m−s)−RV G·(37,4 m−s) = 0 (J.4)
De to ligninger indeholder begge RV A og RV G, hvormed et udtryk for hver af reaktionerne
med variablen s kan findes. De positive og negative maksimale momenter er
placeret hhv. ved understøttende søjler og midt p˚a bjælken, da lasterne er placeret
som p˚a figur J.9. For at finde momenterne bestemmes snitmomenterne ved disse
punkter. Snitmomentet ved de to understøttende søjler er ens pga. symmetrien i
systemmet, hvormed momentkurven kan spejles omkring midten af bjælken. Først

J.5 Bjælkebro med skr˚a søjler 85
betragtes snit 1, som ses p˚a figur J.12:
0 < x ≤ 9,40 m
Figur J.11: Momentligevægt om punkt D.
M(x) − RV A · x + 0,5qd · x 2 = 0
⇕
M(x) = RV A · x − 0,5qd · x 2
Ved understøtningen er x = 9,4 m, dette indsættes i M(x):
M(x = 9,4 m) = RV A · 9,4 m − 0,5qd · (9,4 m) 2
Figur J.12: Snit 1.

86 Skitseprojektering af bro
Snit 2, som ses p˚a figur J.13:
9,40 m < x ≤ 23,40 m
M(x) − RV A · x − RV G(x − 9,40 m) + 0,5qd · x 2 = 0
⇕
M(x) = −0,5qd · x 2 + RV A · x + RV G(x − 9,40 m)
Ved midten af bjælken er x = 23,4 m, dette indsættes i M(x):
M(x = 23,4 m) = −0,5qd · (23,4 m) 2 + RV A · 23,4 m + RV G · 14 m
Figur J.13: Snit 2.
Ved at sætte −M(x = 9,4 m) = M(x = 23,4 m) samt at benytte momentligevægtsligningerne
ved snittene gennem charnier C (J.3) og D (J.4) kan den optimale værdi
for s findes. Da dette er en besværlig proces vil mellemregningerne for dette ikke
fremg˚a af teksten, men de er i stedet for gennemarbejdet i Matlab.
P˚a figur J.14 ses, hvordan momentkurven forløber, n˚ar −M(x = 9,4 m) = M(x =
23,4 m). Længden p˚a s findes til 14,76 m. Ved at indsætte s i momentligevægtsligningerne
(J.3) og (J.4) er der opstillet to ligninger med to ubekendte, som løses,
hvormed reaktionerne RV A og RV G er fundet til:
RV A = −636,80 kN
og
RV G = 3970,00 kN
Ved indsættelse af reaktionerne i M(x = 9,4 m) findes det maksimale moment, som
ogs˚a kan aflæses af figur J.14:
Mmax = M(x = 9,4 m)
= −636,80 kN · 9,4 m − 0,5 · 109,11 kN/m · (9,4 m) 2
= −10806,40 kNm

J.5 Bjælkebro med skr˚a søjler 87
Moment − MNm
15
10
5
0
−5
−10
−15
0 10 20 30 40 50
Længde − m
Figur J.14: Momentkurve for bjælkebroen med skr˚atst˚aende søjler.
Der dimensioneres for hvor mange HE500B-profiler, der skal være i bredden af broen,
for at de kan opn˚a det maksimale moment. Der er følgende krav til dimensioneringen:
hvor
fy
1,17 · γ0 · γ5
≥ Mmax
Iy
· z
z er afstanden fra profilets tyngdepunkt til overflangen
Iy er bjælkens inertimoment om y-aksen
Da dette profil har en materialetykkelse p˚a 28 mm, bliver fy = 345MPa. Ved indsættelse
af talværdierne for de forskellige faktorer f˚as (G. Mohr et al 2004):
345 MPa
1,17 · 1,1 · 1,0 ≥ 10,81 · 109 Nmm · 250 mm
1072,00 · 106 mm4 · 250 mm
⇓
268,07 MPa ≥ 2520,99 MPa
Da normalspændingen er større end den spænding, som et HE500B-profil kan optage,
skal der bruges et vist antal profiler over bredden af broen. Dette antal findes ved:

88 Skitseprojektering af bro
2520,99 MPa
Antalb,skr˚a =
268,16 MPa
= 9,40 stk.HE500B-profiler
Derfor skal der som minimum bruges ti HE500B-profiler fordelt p˚a broens bredde,
som hver skal optage 1 af momentet. Dette antal profiler svarer til et st˚alforbrug
10
p˚a:
Vb,skr˚a = 10 · (AHE500B · Lbro)
= 10 · (23,90 · 10 −3 m 2 · 46,80 m)
= 11,19 m 3
J.5.2 Søjleberegninger
N˚ar søjlerne dimensioneres, ses der bort fra stabilitet. Her flyttes punktlasten over
søjlen, hvilket giver den maksimale normalkraft i søjlen. Denne normalkraft svarer
til størrelsen af den understøttende reaktion RG. Værdien for RV G med ændringen af
punktlastens placering er p˚a 4305,00 kN, hvormed RG og derved ogs˚a normalkraften
N kan findes:
RG = N
= 2 · R2 V G
= √ 2 · 4305,00 kN
= 6088,19 kN
Søjlerne dimensioneres som HE260B-profiler, hvor følgende skal være overholdt:
fy
1,17 · γ0 · γ5
≥ N
A
Da dette profil har en materialetykkelse p˚a 17,50 mm, bliver fy = 345 MPa:

J.5 Bjælkebro med skr˚a søjler 89
345 MPa
1,17 · 1,1 · 1,0 ≥ 6088,19 · 103 N
11,8 · 103 mm2 ⇓
268,07 MPa ≥ 515,95 MPa
Da uligheden ikke er opn˚aet, skal normalspændingen fordeles over flere søjler:
515,95 MPa
Antalsøjler =
268,07 MPa
= 1,92
Dvs. at der skal bruges fire HE240B-søjler som det er vist p˚a figur J.15 for at lasterne
kan overføres til reaktionerne.
Figur J.15: 3D-illustration af bjælkebroen med skr˚a søjler
Dette giver et materialeforbrug p˚a:
Vs,skr˚a = 4 · (11,8 · 10 −3 m 2 · 4,43 m)
= 0,21 m 3
Dermed er det samlede materialeforbrug ved denne brotype:
Vsamlet = Vb,skr˚a + Vs,skr˚a
= 11,40 m 3

90 Skitseprojektering af bro
For at f˚a et mere nøjagtigt st˚alforbrug, skal der ogs˚a tages højde for de tværg˚aende
bjælker, som de langsg˚aende bjælker spænder af p˚a. Det antages, at de langsg˚aende
bjælker kan understøtte brodækket. Ydermere antages det, at tværg˚aende bjælker
skal være HE600B-profiler. Der skal bruges to bjælker p˚a 13,00 m, hvilket giver et
ekstra st˚alforbrug p˚a 0,70 m 3 . Hermed bliver det samlede st˚alforbrug p˚a 12,10 m 3 .
Før dimensioneringen blev det antaget, at egenlasten af de dimensionerede bjælker
ikke udgjorde nogen væsentlig del af den samlede egenlast. Denne antagelse kan
accepteres, da de ti bjælker til sammen kun vil give et tillæg til egenlasten p˚a
18,7 kN/m set i forhold til de fundne værdier for bl.a. trafiklasten i afsnit J.2.2.
J.6 Bjælkebro med lodrette søjler
Dette forslag bygger p˚a en bjælkebro med lodrette søjler, som understøtter konstruktionen,
hvilket ses p˚a figur J.16. Konstruktionen er p˚aført de omtalte laster q
og Q og er gjort statisk bestemt ved at p˚aføre bjælken to charnier, hvormed der kan
opstilles to ekstra ligevægtsligninger. Da søjlerne st˚ar lodrette under broen vil de
ikke optage nogle horisontale kræfter, men er i stedet for bedre til at optage vertikale
kræfter end ved de skr˚a søjler. Dette ville have betydning for normalrkaften, hvis
den var medtaget. Da der ikke er p˚asat nogle horisontale laster p˚a konstruktionen,
vil ændringen af søjlernes position ikke have nogen betydning for momentkurven
til denne bro. Derfor vil samtlige beregninger vedrørende bjælkerne være de samme
som for afsnit J.5.1. Dermed vil momentkurven være som p˚a figur J.17.
Figur J.16: Statisk system for bjælkebroen med lodrette søjler.
Det bestemmes, at der skal bruges ti HE500B-profiler fordelt p˚a broens bredde,
hvilket giver et st˚alforbrug p˚a 11,19 m 3 . Ligeledes bestemmes det, at der skal bruges
fire HE220B-søjler, hvilket giver et st˚alforbrug p˚a 0,17 m 3 . Ydermere antages det, at
de tværg˚aende bjælker skal være HE600B-profiler. Der skal bruges to tværg˚aende

J.7 Statisk ubestemte bjælkebroer med lodrette søjler 91
Moment − MNm
15
10
5
0
−5
−10
−15
0 10 20 30 40 50
Længde − m
Figur J.17: Momentkurve for bjælkebroen med lodrette søjler.
bjælker p˚a 13,00 m, hvilket giver et ekstra st˚alforbrug p˚a 0,70 m 3 . Dermed er det
samlede st˚alforbrug 12,06 m 3 .
Da der er brugt samme mængde st˚al ved bjælkerne, vil bidraget til egenlasten her
ligeledes være ubetydlig i forhold til de øvrige laster.
J.7 Statisk ubestemte bjælkebroer med lodrette
søjler
Der er ogs˚a ønsket et overslag p˚a st˚alforbruget, hvis broen med lodrette søjler gøres
enkelt- eller dobbelt statisk ubestemt. Reaktioner og snitkræfter er beregnet
via to Calfem-programmer, idet der er brugt HE500B-profiler til længdebjælker og
HE220B-profiler til søjler samt et karakteristisk E-modul p˚a 210GPa.
Broen er gjort enkelt statisk ubestemt ved kun at placere et charnier p˚a midten af
den langsg˚aende bjælke, som ses p˚a figur J.18.
P˚a figur J.19 ses momentkurven for den enkelt statisk ubestemte bjælkebro.
Det maksimale moment er p˚a 21,61 MNm, hvilket resulterer i et st˚alforbrug p˚a
21,73 m 3 for de langsg˚aende bjælker (HE500B) og søjler (HE220B). Ydermere antages
det, at de tværg˚aende bjælker skal være HE600B-profiler. Der skal bruges

92 Skitseprojektering af bro
Figur J.18: Statisk system for enkelt statiske ubestemt bjælkebro.
to tværg˚aende bjælker p˚a 13,00 m, hvilket giver et ekstra st˚alforbrug p˚a 0,70 m 3 .
Dermed er det samlede st˚alforbrug p˚a 22,43 m 3
Dette st˚alforbrug virker stort i forhold til de øvrige bjælkebroer, men da punktlasten
som udgangspunkt er valgt til at virke p˚a midten af bjælkerne, hvorfra charnierne
er placeret, er det mest kritiske moment nødvendigvis ikke fundet ved disse broer.
Hvis charnierne var placeret p˚a de beregnede punkter, kunne punktlasten et andet
sted p˚a bjælken have givet et andet og eventuelt større maksimalt moment end de
fundne. Af denne grund ville broerne med skr˚atst˚aende og lodrette søjler muligvis
have haft et større st˚alforbrug.
Den dobbelte statiske ubestemte bro har ingen charnier i de langsg˚aende bjælker, se
figur J.20, hvormed det er et langt bjælkeprofil, der skal bruges til denne løsning.
P˚a figur J.21 ses momentkurven for den dobbelt statiske ubestemte bjælkebro. Det
maksimale moment er her p˚a 11,11 MNm. Dette giver er st˚alforbrug p˚a 11,66 m 3 for
de langsg˚aende bjælker (HE500B) og søjler (HE220B). Her antages det ligeledes, at
de tværg˚aende bjælker skal være HE600B-profiler. Der skal bruges to tværg˚aende
bjælker p˚a 13,00 m, hvilket giver et ekstra st˚alforbrug p˚a 0,70 m 3 . Dermed er det
samlede st˚alforbrug 12,36 m 3 .
Som det ses p˚a momentkurven, er den næsten ens med momentkurven ved de to
statiske bestemte bjælkebroer, hvorfor den dobbelt statiske ubestemte bro liges˚a
godt have charnier i punkterne 8,0 m fra hver søjle, hvor momentet er nul.
En vurdering af de forskellige løsninger samt den endelige udvælgelse af broen, der
skal detailprojekteres, kan findes i hovedrapporten afsnit 12.1.

J.7 Statisk ubestemte bjælkebroer med lodrette søjler 93
Moment − MNm
20
15
10
5
0
−5
0 10 20
Længde − m
30 40 50
Figur J.19: Momentkurve for den enkelt statiske ubestemte bro.
Figur J.20: Statisk system for dobbelt statiske ubestemt bjælkebro.

94 Skitseprojektering af bro
Moment − MNm
10
5
0
−5
−10
0 10 20
Længde − m
30 40 50
Figur J.21: Momentkurve for den dobbelt statiske ubestemte bro.

Bilag K
Sikkerhed og laster
Inden bregninger p˚a de enkelte brodele kan foretages, er det nødvendigt at kende
hvilke laster der skal p˚aføres og hvilke sikkerhedsparametre der skal bruges til
udregning af st˚alets flydespænding.
K.1 Laster
De mest relevante laster for brokonstruktionen bliver gennemg˚aet i det følgende
bilag.
K.1.1 Trafiklast
Der henvises til bilag J.2.1 for nærmere forklaring af placering og størrelse fra trafiklasten
p˚a broen. Der skal dog i følgende afsnit tages yderligere højde for hvor p˚a
broen, lasterne skal placeres for at virke til størst ugunst. Derfor kan lasterne ikke
længere blot summeres.
I tabel J.1 blev det fundet, at der for bane nr. 1 skal p˚aføres en jævnt fordelt
fladelast q1k p˚a 9 kN/m 2 og p˚a de øvrige baner en fladelast p˚a 2,5 kN/m 2 . For den
jævnt fordelte fladelast p˚a bane nr. 1 gælder det, at denne skal multipliceres med en
reduktionsfaktor αq1 = 0,67.
Kørebanearealet belastes yderligere med toakslede lastgrupper p˚a hver teoretiske kørebane
med et akseltryk Qik. Dette akseltryk multipliceres efter danske standarder
(Vejdirektoratet 2002) med en faktor αQi = 1,00. Ved tabel J.1 fra skitseprojekterin-

96 Sikkerhed og laster
gen kan det ses hvilke laster, der skal p˚aføres de enkelte teoretiske kørebaner. Hvert
hjulsæt optager halvdelen af det p˚agældende akseltryk. Akseltrykket regnes fordelt
p˚a to 0,4 m brede hjulsæt med en centerafstand p˚a 2,0 m. Længden p˚a hjulsættene
er 0,4 m i kørselsretningen, se figur K.1.
Figur K.1: Hjulsættenes placering i forhold til hinanden. Disse skal kun p˚aføres s˚afremt
de virker til ugunst. (Eur 2002).
K.1.2 Bremse- og accelerationslast
Lastp˚avirkningen for bremse og acceleration beregnes som en horisontallast Qlk, der
virker i kørebanens længderetning. Jf. (Eur 2002) beregnes bremse- og accelerationslasten
ud fra den totale vertikale trafiklast, der virker p˚a den teoretiske kørebane nr.
1. Lasten findes ved (K.1).
hvor
Qlk = 0,6 · αQ1 · (2Q1k) + 0,1 · αq1 · q1k · wl · L (K.1)

K.1 Laster 97
L er længden af dækket eller den del, der er i betragtning
wl er bredden p˚a én teoretisk kørebane
Ved indsættelse af værdierne fra K.1.1 f˚as en karakteristisk bremse- eller accelerationslast
p˚a:
Qlk = 0,6 · 1,0 · (2 · 300 kN) + 0,1 · 0,67 · 9 kN/m 2 · 3,0 m · 28 m = 411 kN
Her er det frie spænd p˚a 28 m brugt, da dette vurderes til at være den mest kritiske
del af brodækket. Bremsekraften er en vilk˚arligt placeret punktlast, der placeres
hvor den er til mest ugunst.
Sidekraft
Sidekraften Qtrk tilføres, da der kan forekomme skr˚a og assymetriske bremselaster
p˚a broen. Sidekraften virker vinkelret p˚a vejens længderetning i kørebanens niveau.
Den karakteristiske værdi for sidekraften Qtrk svarer til 25 % af den karakteristiske
værdi for bremsekraften Qlk, hvormed sidekraften er 103 kN. Bremse- og sidekraften
kan optræde p˚a samme tid, hvis et køretøj b˚ade glider til siden og fremad, hvilket
ville give en skr˚a kraftvektor, der kan deles op i to komposanter.
K.1.3 Belægningslast
Bestemmelse af belægningslasten p˚a grundlag af en belægningstype, der er velegnet
for st˚albroer. Opbygningen af belægningen er vist p˚a figur K.2 (Mortensen 2005).
Da der foreg˚ar løbende reperationer af det øverste slidlag grundet slitage, vil slidlaget
i realiteten kunne n˚a en større tykkelse end angivet p˚a figur K.2. Derfor dimensioneres
der med en tykkelse p˚a 60 mm for slidlaget.
Primerlaget er et klæbemiddel, der p˚aføres imellem st˚alpladen og det første asfaltlag,
for at skabe bedre kontakt mellem de to flader. Da belastningen fra primerlaget kun
er ca. 3 Pa, vil det ikke blive medregnet i belægningslasten.
Belægningslasten Gb kan herefter findes ved indsættelse af de i det ovenst˚aende
beskrevne værdier:

98 Sikkerhed og laster
Figur K.2: Opbygning af kørebanebelægning p˚a broen
Gb = 0,06 m·23,5 kN/m 3 +0,025 m·23,0 kN/m 3 +0,004 m·22,5 kN/m 3 = 2,08 kN/m 2
K.1.4 Vindlast
Efter ”Vej- og stibroer – Belastnings- og beregningsrgler” (Vejdirektoratet 2002)
regnes der med en karakteristisk vindlast qwf,k p˚a 1,8 kN/m 2 for broer ved en højde
p˚a op til 10,0 m over den omgivende jordoverflade. Brokonstruktionen vil i dette
tilfælde ikke overstige 10 m, hvormed den omtalte regel bruges. Højden p˚a trafikkens
vindflade regnes som 2,0 m. Det antages at trafiklasten i den mest ugunstige situation
strækker sig over hele broens spændvidde, og at den mest ugunstige last fremkommer
hvis al vindens kraft bliver optaget af køretøjer i en bane.
Vindlastens tyngdepunkt ligger højere end de dele der skal beregnes, hvorfor det
er nødvendigt at flytte den vandrette last, s˚a det virker i tyngdepunktet af den
broelement, der dimensioneres. Dette danner et moment, som det kan ses p˚a figur
K.3.
Vindlasten qw,k, der er den vertikale linielast, bestemmes ved (K.2).
hvor
qw,k = 1,8 kN/m 2 · l (K.2)

K.1 Laster 99
Qi,k Qi,k
Qi,k
Figur K.3: Moment og kraftpar for vindlasten p˚a trafikken.
l er afstanden i broens længderetning lasten virker over
Herefter kan den resulterende kraft Qw,k beregnes ved (K.3).
hvor
Qw,k = 1,8 kN/m 2 · l · h = 3,6 kN/m · l (K.3)
h er trafikkens højde p˚a 2 m
Da flytningen af lasten ikke foreg˚ar i angrebsretningen, vil der blive dannet et moment
ved flytningen. Denne kan beregnes ved (K.4).
hvor
Mw,k = 3,6 kN/m · l · hw
hw er afstanden mellem de to tyngdepunkter
(K.4)

100 Sikkerhed og laster
Momentet omskrives endeligt til et kraftpar Qw,k,p ved (K.5).
hvor
Qwp,k = ± Mw,k
d
d er afstanden mellem kraftparret
(K.5)
Da den mest ugunstige situation fra vindlasten p˚a køretøjer varierer mht. hvilket
broelement der beregnes, vil denne blive nærmere beskrevet ved dimensionering af
elementerne.
Som det ses p˚a figur K.4 strækker brodækkets vindlast sig imidlertid ned til begyndelsen
af tværbjælken. Vindlasten p˚a brodækket regnes optaget af st˚alpladen,
hvorfor der ikke dimensioneres for denne videre ned i konstruktionen.
K.1.5 Vandret masselast
Den vandrette masselast dækker over sm˚a jordskælv samt konstruktioner, der er
ude af lod. Lasten er, som navnet hentyder en vandret last, der opst˚ar af de lodrette
laster. Lasten findes som 1,5 % af den summerede lodrette last og vil kun optræde
i en vandret retning samtidig med de tilhørende lodrette laster. Retningen af
masselasterne skal være fælles for alle p˚a samme tid optrædende laster, hvorved
den største belastning opn˚aes. Masselasterne har angrebspunkt i tyngdepunkterne
for de tilhørende lodrette laster. P˚a figur K.4 ses de vandrette laster samt deres
excentriciteter.
De vandrette laster ækvivaleres til én vandret kraftkomposant Qvandret mellem understøtningerne
og et modsatrettet lodret kraftpar, der bruges i beregninger af søjlerne.
De ækvivalerede laster kan ligeledes ses i figur K.4.
Ved lastkombinaionerne bruges enten den vandrette masselast eller vindlasten, alt
efter hvilken der er dominerende.
For at finde hvilken last der skal tages i betragtning, er det nødvendigt at kende
de tilhørende lodrette laster, hvorved den vandrette masselast kan udregnes og
sammenlignes med vindlasten. Masselasterne kan ses i tabel K.1 og K.2.
Lasterne er fundet ved at estimere hvilke profiler der bruges gennem broens konstruktion,
hvorefter lasten fra disse profiler er udregnet.

K.1 Laster 101
Figur K.4: Vandret laster fra vandret masselast, samt excentriciteter.
Last fra: Lodrette laster Vandret masselast
Vejbelægning 2,08 kN/m 2 0,41 kN/m
St˚alplade 2,48 kN/m 2 0,48 kN/m
Længdebjælker 31,42 kN/m 0,47 kN/m
Sum - 1,36 kN/m
Tabel K.1: Lodrette linielaster omregnet til vandret masselast i broens længderetning.
Hvis masselastens linielaster og punktlaster ækvivaleres til en last, virkende over broens
frie spænd p˚a 28 meter, kan denne sammenlignes med vindlasten p˚a brodækket
over samme strækning.
QM,k = 28 m · 1,36 kN/m + 0,56 m = 38,64 kN
Qw,k = 28 m · 1,023 m · 1,8 kN/m 2 = 51,56 kN
Det ses, at vindlasten er størst, selvom vinden p˚a brodækket ikke medregnes. Derfor
undlades lastkombinationer med masselasten.
Last fra: Lodrette laster Vandret masselast
Tværbjælker 37 kN 0,56 kN
Tabel K.2: Lodrette punktlaster omregnet til vandret masselast i broens længderetning.

Bilag L
Dimensionering af broplader
Der skal i brodækket indlægges en plade, hvorp˚a selve vejbelægningen kan etableres.
Denne st˚alplade skal føre trafiklasten og tyngden af belægningen videre til de
underliggende længdebjælker.
Ud fra et økonomisk synspunkt ønskes pladens tykkelse s˚a tynd som mulig, dette
ogs˚a for at mindske egenvægtens tyngde p˚a den underliggende konstruktion. Pladen
skal selvfølgelig kunne optage lasterne, som virker p˚a denne, og kan dette ikke lade
sig gøre med en pladetykkelse p˚a ca. 35 mm eller mindre, er det mere hensigtsmæssigt
at forstærke pladen ved p˚asvejsning af f.eks. u-profiler.
I brudgrænsetilstanden skal pladen dimensioneres for værste lastkombination — jf.
afsnit 15.2 vælges lastkombination 2.1a. Endvidere skal det eftervises, at den tilladte
nedbøjning for anvendelsesgrænsetilstanden ikke overskrides for lastkombination a
— mere herom i afsnit L.2.
L.1 Lastplacering
Hver plade hviler p˚a tre underlæggende længdebjælker jf. afsnit 14. Derfor betragtes
pladen statisk som en kontinuerlig bjælke over to fag. Systemet med p˚aførte laster
ses af figur L.1, lasterne uddybes i det følgende, og størrelserne ses i tabel L.1.
Da pladen statisk bestragtes som en kontinuerlig bjælke over to fag, forventes den
mest kritiske belastning at optræde, hvor kun det ene fag er belastet. Lasterne skal
endvidere placeres, s˚a de virker til størst ugunst for det statiske system. Der er
opstillet lasttilfælde, som forventes at give størst moment hhv. forskydningskraft i
pladens tværsnit.

104 Dimensionering af broplader
Figur L.1: Statisk system for pladen. Lasttilfælde A svarer til værste forventelige
tilfælde mht. moment. Lasttilfælde B betegner tilfældet med størst forventeligt
forskydningskraft.
Fordeling af akseltrykslaster
N˚ar lasten fra akseltrykkene føres fra belægningens overflade og ned til st˚alpladens
tyngdepunkt, skredes kræfterne ud i belægningen. Denne spredning kan regnes at
fordele sig som en pyramidestub med en udbredelsesvinkel p˚a 45 ◦ (Eur 2002). P˚a
figur L.2 ses en eksempelskitse herp˚a.
P˚a belægningens overflade angriber akseltrykket over en flade p˚a 0,4 m x 0,4 m, og
dette bliver i pladens tyngdeflade forøget i begge dimensioner med et bidrag p˚a to
gange afstanden fra belægningsoverflade til pladens tyngdeflade.
Langreb = 0,4 m + 2 · Hbelægning + 1
2
· Hplade
Ud fra den fundne pladetykkelse p˚a 32 mm bestemmes denne længde til:
(L.1)

L.1 Lastplacering 105
Figur L.2: Fordeling af laster fra akseltryk gennem belægningslag.
Langreb = 0,4 m + 2 ·
0,091 m + 1
· 0,032 m = 0,614 m
2
Det bemærkes her, at hvert hjultryk kan indeholdes i én enkelt plades dybde, og
derfor reduceres akseltrykket ikke yderligere.
Størst moment
Størst momentbelastning forventes at opst˚a, hvis kun det ene fag belastes centralt,
jf. figur L.1 lasttilfælde A. Den største last, som akseltrykkene kan bidrage med,
stammer fra bane 1. Den halvdel af pladen, som strækker sig over ét fag, kan kun
rumme ét hjultryk grundet pladens begrænsede størrelse. Derfor placeres akseltrykket
Q1, s˚a ét hjultryk rammer centralt over det frie spæn, mens det andet fag er
ubelastet. De jævnt fordelte fladelaster fra trafiklasten skal kun p˚aføres i fald, at de
virker til ugunst. Derfor p˚aføres den jævnt fordelte fladelast kun, over det ene fag.
Ud fra bilernes teoretiske placering i banerne forekommer et spring i denne last q1
og q2.
B˚ade den jævnt fordelte fladelast og lasten fra hjultrykket modeleres om til linielaster,
som angriber hen over det ene fag. Lasternes placering ses p˚a figur L.1
lasttilfælde A. Vindlast og sidekraft bidrager endvidere med nogle punktlaster Qwp,
disse indlægges ogs˚a i modellen. Det forholder sig i midlertid s˚adan, at sidekraften
og vindlastens vandrette kraftbidrag angriber p˚a den tilstødende plade, og derfor
undlades i dette lasttilfælde. Egenlasten GP og belægningslasten GB p˚aføres følgelig
begge fag, da disse jo er permanente og gennemg˚aende over hele fladen.
Afstandene afhænger af pladens tykkelse, da denne har indflydelse p˚a akseltrykkenes
angrebslængde. Af samme grund er udregningen af længdestykkerne indlagt i
Calfem modellen, de endelige længder, som er fundet efter iteration ved anvendelsesgrænsetilstanden,
ses i tabel L.2.

106 Dimensionering af broplader
Størst forskydningskraft
Den størst forskydningkraft forventes at optræde, hvor hjultrykket placeres tæt ved
understøtningerne. Det er muligt at indpasse to hjultryk Q1 Q2 p˚a ét fag, da akseltryk
for sammenstødende baner (her bane 1 og 2) m˚a placeres med en afstand ned
til 0.5 m. Igen placeres de jævnt fordelte laster q1 og q2 kun over det ene fag, da de
i s˚a fald virker til størst ugunst.
De modelerede laster bliver dermed p˚aført som i figur L.1 lasttilfælde B. Hjultrykkene
p˚aføres nærmest hver sin understøtning. Som for foreg˚aende tilfælde p˚aføres
belægnings- og egenlast GB hhv. GP over begge fag. Endvidere p˚aføres ogs˚a her
sidekraft Qtr, vindlastens vandrette bidrag Qw og lodrette vindlaster Qwp med enkeltkræfter.
Lasternes størrelse
De forskellige laster varierer i henhold til de forskellige lastkombinationer, der gælder
for systemet. De forskellige karakteristiske laster og partialkoefficienter ses i tabel
L.1.
Partialkoefficienter Lasttype Karakteristisk last
2.1a a
1,3 0,75 Akseltryk (Q1,k & Q2,k) 244,3 kN/m & 162,87 kN/m
1,3 0,40 Trafik fladelast (q1,k & q2,k) 6,03 kN/m 2 & 2,5 kN/m 2
1,0 1,0 Belægningslast (GB,k) 2,08 kN/m 2
1,0 1,0 Egenlast (GP,k) 2,5 kN/m 2
0,5 − Sidekraft (Qr,k) 103 kN
0,5 − Vindlast (QW,k) 3,6 kN
0,5 − Kraftpar fra vind (Qwp,k) 1,8 kN
Tabel L.1: Pladens karakteriske laster med anførte partialkoefficienter 2.1a og a, for
henholdsvis brud- og anvendelsesgrænsetilstand.
De forskellige karakterisiske laster er fundet ud fra bilag K, dog er pladens egenlast
fundet ud fra:
GP =
ρ · g
· tp
1000
= 7850 kg/m3 · 9.82 m/s2 · 0,032 m
1000
= 2,5 kN/m 2

L.2 Anvendelsesgrænsetilstand 107
Da nogle af lasterne er angivet som en fladelast, multipliceres med pladens bredde,
der som tidligere beskrevet er 1 m. Herefter kan alle laster p˚aføres i Calfem modellen
og snitkræfterne kan beregnes.
Pladens tykkelse findes ved iteration i Calfem, da lasternes angrebslængder og størrelse
afhænger af st˚alpladens tykkelse. Pladetykkelsen bestemmes iterativt ud fra
overholdelse af nedbøjningskravene, se afsnit L.2. Derp˚a eftervises bæreevnen for
brudgrændsetilstanden for den fundne pladetykkelse, se afsnit L.3.
L.2 Anvendelsesgrænsetilstand
For at eftervise anvendelsesgrænsetilstanden, ses nærmere p˚a pladens nedbøjning
mellem fagene. Anvendelsesgrænsetilstanden giver en vejledende grænse for den acceptable
nedbøjningen p˚a pladen. De vejledende krav for nedbøjningen er 1/400 · l,
men da pladens nedbøjning mellem hver fag, ikke visuelt f˚ar nogen betydning, og
der er tale om en lokal del af broen og ikke broens totale spæn, accepteres en større
nedbøjning (L.2).
hvor
1
· l ≥ nedbøjning (L.2)
200
l er længden af pladens spænd over hvert fag [mm]
I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes lastkombination a, hvor lasterne er reduceret
væsentligt. Her benyttes ogs˚a den karakteristiske værdi af E-modulet.
Ud fra (L.2) bliver den tilladte nedbøjning for hvert fag 6,5 mm. Pladens tykkelse
bestemmes ved iteration under kontrol af, at nedbøjningskravene opfyldes. I Calfem
er den maksimale nedbøjning fundet til 6,4 mm for en pladetykkelse p˚a 32 mm ved
lasttilfælde B. Det er ikke muligt at overholde nedbøjningskravene med en tyndere
plade.
Den fundne pladetykkelse, giver mulighed for at beregne de endelige elementlængder
til modelering af figur L.1 i calfem. Længderne findes i tabel L.2. I afsnit 14 ses et
eksempel p˚a udregningen af et elements længde.

108 Dimensionering af broplader
Lasttilfælde A B
AB 0,343 0,607
BC 0,307 0,693
CD 0,307 0,307
DE 0,193 0,307
EF 0,15 0,072
FG 1,3 0,121
GH — 0,186
HI — 0,307
Tabel L.2: Elementafstande m˚alt i [m] knyttet til figur L.1.
L.3 Brudgrænsetilstand
Med udgangspunkt i lastkombination 2.1a og ved brug af det regningsmæssige Emodul,
findes snitkræfter i Calfem. Ud fra snitkræfterne kan de maksimale spændinger
beregnes. For at undersøge st˚alpladen i brudgrænsetilstanden, skal disse spændinger
sammenholdes med den regningsmæssige flydespænding fyd vha. von Mises
Brudhypotese (L.3).
hvor
(σN + σM) 2 + 3 · τ 3 ≤ fyd
σN er normalspændingen fra normalkraften [MPa]
σM er normalspændingen fra momentet [MPa]
τ er forskydningsspændingen [MPa]
fyd er den regningsmæssige flydespænding [MPa]
(L.3)
Normalspændingen fra normalkraften og normalspændingen fra momentet beregnes
ud fra Naviers formel, givet ved (L.4). Fortegnsregningen ses p˚a figur L.3.
hvor
σ = σN + σM = N
A
− M
Iz
· y (L.4)

L.3 Brudgrænsetilstand 109
N er den fundne maksimale normalkraft [N]
A er tværsnitsarealet [ mm 2 ]
M er det fundne maksimale moment [Nmm]
I er inertimomentet om den akse der bøjes om. I dette tilfælde regnes der om den
svageste akse [ mm 4 ]
y er afstanden til tværsnittets tyngdepunktsakse [mm]
Figur L.3: Illustration af fortegnsregning, ved brug af Naviers formel.
Forskydningensspændingen beregnes ud fra Grashofs formel, givet ved:
hvor
τ =
V · Sz
Iz · b
V er den maksimale forskydningskraft [N]
Sωz er det statiske moment om tyngdepunktsaksen [ mm 3 ]
b er tværsnittes bredde [mm]
(L.5)
Det statiske moment af pladen, udregnes ud fra (L.6). En principskitse af det statiske
moment ses p˚a figur L.4.
hvor
Sωz = t t
· b ·
2 4
t er pladens tykkelse, der ses p˚a figur L.4 [mm]
b er pladens bredde i tværsnittet, der ses p˚a figur L.4 [mm]
(L.6)

110 Dimensionering af broplader
Figur L.4: Principskitse til beregning af pladens statiske moment. t angiver pladens
tykkelse og b er pladens bredde i tværsnittet.
Lasttilfælde A
Lasttilfældene modeleres op med den ønskede lastkombination, og p˚a figur L.5 ses
kurven for forskydningskraft og snitmoment gennem bjælken, ved lasttilfælde A —
størst forventelige snitmoment. Normalkraften er nul gennem hele pladen, og angives
derfor ikke p˚a figuren.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Snit 1 Snit 2
Moment - 100 kNm
−1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Meter
Forskydningskraft - 100 kN
Figur L.5: Forskydnings- og momentkurve for lasttilfælde A.
De i Calfem fundne maksimale snitkræfter ses i tabel L.3 og de forskellige snit, der
beregnes, ses p˚a figur L.5 for lasttilfælde A. For at eftervise bærevnen af pladen, er
det nødvendigt at se nærmere p˚a dennes indre spændinger.
I dette system optræder ingen normalkræfter og σN indg˚ar derfor ikke i (L.4). Normalspændingen
fra momentet beregnes i kanten af pladen, da spændingen her er

L.3 Brudgrænsetilstand 111
Snit 1 Snit 2
Normalkraft [N] 0 0
Moment [Nmm] 39,84 · 10 6 −23,87 · 10 6
Forskydningskraft [N] ≈ 0 123,72 · 10 3
Tabel L.3: Maksimale snitkrafter for lasttilfælde A.
størst. For snit 1 findes normalspændingen til:
39,84 · 10
σM =
6 Nmm
( 1
12 · 1000 mm · (32 mm)3 · 16 mm
)
= 233,4 MPa
Forskydningskraften i dette snit er ligeledes nul, og bidrager derfor ikke n˚ar bæreevnen
eftervises ud fra von Mises brudhypotese (L.3):
σM 2 ≤ fyd
233,4 MPa ≤ 268 MPa
I snit 2 optræder b˚ade moment og forskydningskraft. Forskydningsspændingen beregnes
i pladens tyngdepunkt ud fra (L.5), idet den maksimale forskydningsspænding
optræder her. Først findes det statiske moment ud fra (L.6).
32 mm
Sα = · 1000 mm ·
2
= 12,8 · 10 4 mm 3
32 mm
4
Forskydningsspændingen bliver da:
123,72 · 10
τ =
3 N · 12,8 · 104 mm3 ( 1
12 · 1000 mm · (32 mm)3 ) · 1000 mm
= 5,80 MPa
For at eftervise von Mises brudhypotese med henblik p˚a den største forskydningsspænding,
beregnes ogs˚a normalspændigen fra momentet i dette punkt.

112 Dimensionering af broplader
23,87 · 10
σM =
6 Nmm
( 1
12 · 1000 mm · (32 mm)3 · 16 mm
)
= 139,86 MPa
Ud fra de maksimale spændinger kan von Mises brudhypotese (L.3) eftervises.
(σM) 2 + 3 · τ2 ≤ fyd
(139,86 MPa) 2 + 3 · (5,80 MPa) 2 ≤ 268 MPa
140,22 MPa ≤ 268 MPa
Hermed er bæreevnen eftervist for lasttilfælde A.
Lasttilfælde B
P˚a tilsvarende vis undersøges pladen i lasttilfælde B, fortsat med samme lastkombination.
Herved findes snitkraftkurver som vist p˚a figur L.6 for forskydningskraft,
snitmoment og normalkraft. Der eksistere kun normalkræfter i element AB som følge
af kræfterne Qtr + Qw. Deres placering kan ses p˚a figur L.1.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Snit 1 Snit 2 Snit 3
−0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Meter
Moment - 200 kNm
Forskydningskraft - 200 kN
Normalkraft - 200 kN
Figur L.6: Forskydnings-, moment- og normalkraftkurve for lasttilfælde B.

L.3 Brudgrænsetilstand 113
Snit 1 Snit 2 Snit 3
Normalkraft [N] 53,3 · 10 3 0 0
Moment [Nmm] −12,13 · 10 6 28,02 · 10 6 38,46 · 10 6
Forskydningskraft [N] 21,36 · 10 3 209,30 · 10 3 ≈ 0
Tabel L.4: Maksimale snitkræfter for lasttilfælde B.
Tabel L.4 viser snitkræfterne i tre kritiske snit i pladen ved størst forskydningskraft,
moment hhv. normalkraft.
Normalkraften er ens gennem elementet AB, og snittet lægges derfor i elementets
største snitmoment. Normalspændingerne i pladen findes ud fra (L.4).
σ =
53.3 · 10 3 N
1000 mm · 32 mm +
= 72,74 MPa
12,13 · 10 6 Nmm
( 1
12 · 1000 mm · (32 mm)3 )
· 16 mm
Forskydningsspændigerne udregnes som før ud fra (L.5) og f˚as til:
τ = 1,00 MPa
Bæreevneeftervisningen efter von Mises brudhypotese bliver da:
(σN + σM) 2 + 3 · τ 2 ≤ fyd
(72,74) 2 + 3 · (1) 2 ≤ 268 MPa
72,76 MPa ≤ 268 MPa
I midten af faget ved snit 3, hhv. ved snit 2 optræder største snitmoment hhv.
forskydningskraft. P˚a tilsvarende vis eftervises von Mises brudhypotese for disse
snit:
164,27 MPa ≤ 268 MPa

114 Dimensionering af broplader
225,35 MPa ≤ 268 MPa
Det ses, at brudhypotesen er opfyldt for samtlige udvalgte snit i begge lasttilfælde,
og at den dimensionerende spænding, egentlig er forskydningsspændingen, da denne
giver det afgørende bidrag. Dermed er pladens tykkelse p˚a 32mm tilstrækkelig til at
optage de p˚aførte laster.

Bilag M
Dimensionering af længdebjælker
I dette bilag dimensioneres de længdeg˚aende bjælker, der understøtter den ovenliggende
st˚alplade samt belægningen. Bjælken udføres i HE900B-profiler, hvilket
eftervises i dette bilag at overholde kravene for anvendelses- og brudgrænsetilstande.
I broens bredde skal der ligge 11 HE900B-profiler, hvor der mellem hvert profil
er 1,3 m jf. afsnit 14.
M.1 Lastplacering
Inden bjælkens bæreevne eftervises, skal de gældende lasterne bestemmes og placeres
p˚a bjælkens statiske system, s˚a de virker til størst ugunst.
Trafiklast
Pladerne spænder i broens bredderetning over to fag p˚a de underliggende længdebjælker.
Ved at føre trafiklasten ned p˚a en plade som i afsnit 14 kan et statisk system
modeleres. Jf. (Eur 2002) p˚asættes en last p˚a 300 kN for bane 1, da denne vurderes
at være til størst ugunst for den enkelte bjælke. Da det kun er et hjulsæt, der
p˚avirker længdebjælken, halveres lasten til 150 kN fra hver af de to akseltryk, der
kommer fra køretøjet. Figur M.1 illustrerer det statiske system for st˚alpladerne,hvis
reaktioner giver en linielast p˚a længdebjælken jf. afsnit 14.
Fladelasten, der efter kravene i (Eur 2002) udgør 6 kN/m 2 , føres ligeledes p˚a pladen
som illustreret i figur M.2.
Reaktionerne beregnes herefter i Calfem, hvorved det f˚as, at de karakteristiske laster,

116 Dimensionering af længdebjælker
Figur M.1: Skitse af hjultrykkets overførsel til plade.
Figur M.2: Skitse af trafikkens fladelasts overførsel til plade.
svarende til RV B, for henholdsvis fladelasten og hjultrykket er 8,02 kN og 142 kN .
Reaktionerne fungerer som linielaster i længderetningen jf. afsnit 14. Ved at bruge
superpositionsprincippet kan den samlede lastsituation for længdebjælkerne for˚arsaget
af trafiklasten bestemmes. Lasterne findes i tabel M.1. Herudover kan trafiklasten
statiske system i længderetningen opstilles. Disse ses ses p˚a figur M.3.
De øvrige laster, der p˚avirker længdebjælken, er bestemt ud fra et skøn om, at
længdebjælken vil optage laster fra en flade med bredden 1,3 m. Dette ses p˚a figur
M.4.
Dette er to forskellige m˚ader at modellere lasterne. Hvis den egentlige last skulle
bestemmes, ville det kræve en komplet 3D-modellering af broen, hvorfor de brugte
metoder blot er overslag og formentligt overdimensionerer konstruktionen. I afsnit
21 forklares dette nærmere.
Bremselast
Bremselasten p˚aføres midt mellem de to hjultryk, hvormed denne skal flyttes ned
til bjælkens tyngdepunktsakse. Flytningen af bremselasten til længdebjælkens tyngdepunkt
medfører et moment, hvor excentriciteten er afstanden fra belægningens
overflade til længdebjælkens tyngdepunktsakse, der er p˚a 0,573 m. Størrelsen p˚a den
karakteristiske bremselast og moment findes i tabel M.1.

M.1 Lastplacering 117
Vindlast
Figur M.3: De tre betragtede lastsituationer.
Vindlasten, der virker p˚a køretøjerne, vil give et kraftpar, der virker vertikalt p˚a
konstruktionen. Ved dimensionering af længdebjælkerne antages det, at fladelasten
fra trafikken udgør ét langt køretøj, der p˚aføres vindlasten. Denne situation svarer
til, at der er kø over hele broens længde, hvilket betyder den maksimale belastning
opn˚as.
Køretøjets akseltryk fra vindlasten regnes som virkende i hele broens længderetning,
hvormed kraftparret fra vindlasten vil virke som linielaster ved hjultrykkene. Som
nævnt ovenfor vil der kun være ét hjultryk pr. aksel, der p˚avirker længdebjælkerne,
hvormed den vertikale linielast fra vindlasten, der virker i samme retning som
hjultrykkene, vil være mest kritisk.
Bestemmelsen af vindlasten tager udgangspunkt i figur K.3, hvor tyngdepunktet i

118 Dimensionering af længdebjælker
Figur M.4: HE900B-profil med tilhørende lastflade.
dette tilfælde vil ligge ved længdebjælkerne. Kraftparret bestemmes ved det tilhørende
moment, der i dette tilfælde er et liniemoment. Den karakteristiske værdi af
liniemomentet bestemmes ved (M.1).
hvor
Mw,linie,k = 1,8 kN/m 2 · h · hw
h er højden p˚a køretøjer [ m]
(M.1)
hw er armen fra den resulterende linielasts angrebspunkt til HE900B-profilets tyngdepunkt
Mw,linie,k = 1,8 kN/m 2 · 2,0 m · 1,573 m = 5,66 kNm/m
Linielasterne fra kraftparret findes ved at dele liniemomentet med afstanden mellem
kraftparret, der er 2 m:
5,66 kNm/m
qw,k = ±
2 m
= ±2,83 kN/m
Dette er ikke en stor p˚avirkning, men regnes alligevel med, da den indg˚ar i lastkombinationerne.
Den positive værdi af qw,linie,k indsættes derfor i tabel M.1.

M.1 Lastplacering 119
Partialkoefficienter Lasttype Karakteristisk last
2.1a a
1,3 0,75 Trafiklast - hjultryk (Q1,k) 142 kN/m
1,3 0,40 Trafiklast - jævnt fordelt (q1,k) 8,02 kN/m
1,0 1,0 Egenlast - belægning (GB) 2,08 kN/m 2
1,0 1,0 Egenlast - st˚alplade (GP) 2,47 kN/m 2
1,0 1,0 Egenlast - profil (GL) 2,86 kN/m
0,5 − Vindlast (QW,k) 2,83 kN/m
0,5 − Bremselast (Ql) 411 kN
0,5 − Bremselast - moment (Mb) 235,5 kNm
Tabel M.1: Længdebjælkenss karakteriske laster med anførte partialkoefficienter 2.1a
og a, for henholdsvis brud- og anvendelsesgrænsetilstand.
Lastplaceringer
For at finde den mest ugunstige placering af lasterne p˚a længdebjælkerne undersøges
der for moment, normal- og forskydningskræfter samt maksimal nedbøjning. Hertil
er det vurderet, at de tre lastplaceringer, der er vist p˚a figur 17.2, virker til størst
ugunst for bjælkerne.
Snitkræftskurverne for hver lastplacering er vist p˚a figur M.5, M.6 og M.7.
2500
2000
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−2000
Snit 1
Snit 2
Normalkraft - kN
Forskydningskraft - kN
Moment - kNm
−2500
0 10 20 30 40 50
Meter
Figur M.5: Moment, normal- og forskydningskraftskurver for længdebjælkerne ved
lastplacering 1.
De tilhørende snitkræfter og maksimale nedbøjninger for de viste placeringer af
laster er fundet vha. Calfem. De fundne værdier kan ses i tabel M.2.

120 Dimensionering af længdebjælker
1500
1000
500
0
−500
Snit 1
Snit 2
Normalkraft - kN
Forskydningskraft - kN
Moment - kNm
−1000
0 10 20 30
Meter
40 50
Figur M.6: Moment, normal- og forskydningskraftskurver for længdebjælkerne ved
lastplacering 2.
Snit 1 Snit 2
Placering N [kN] V [kN] M [kNm] N [kN] M [kNm] Nedbøjning [mm]
1 -102,8 -467,8 -2178,7 102,8 2375,0 66
2 0 -483,4 -1286,7 0 970,3 54
3 102,8 435,9 -1333,9 0 820,2 27
Tabel M.2: Nedbøjning, normal- og forskydningskræfter samt moment for snit 1 og 2
ved de tre lastplaceringer. Ved snit 2 er forskydningskræfterne ≈ 0.
Som det ses i tabel M.2 adskiller lastplacering 1 sig markant i begge snit set i forhold
til de to øvrige placeringer. Det vil derfor være denne placering af laster, der skal
kontrolleres for styrke og stivhed.
M.2 Brudgrænsetilstand
Længdebjælkerne dimensioneres for brudgrænsetilstand ved at eftervise, at den maksimale
spænding ved von Mises brudhypotese er mindre end den regningsmæssige
flydespænding fyd fundet i afsnit K.
For det anvendte HE900B-profil er der tre relevante snit, A, B og C, hvor de største
samlede spændinger forventes at forekomme, hvilket ses figur 17.4. Snittene er
ved de maksimale normalspænding, den maksimale forskydningsspænding samt lige
under overflangen, hvor der forekommer b˚ade forholdsvis stor forskydnings- og

M.2 Brudgrænsetilstand 121
1500
1000
500
0
−500
Snit 1
Snit 2
Normalkraft - kN
Forskydningskraft - kN
Moment - kNm
−1000
0 10 20 30
Meter
40 50
Figur M.7: Moment, normal- og forskydningskraftskurver for længdebjælkerne ved
lastplacering 3.
normalspænding. For de tre snit vil der være forskellige statiske momenter samt
forskellige afstande z til bestemmelse af spændingerne.
Beregninger af normalspændinger σ
Gennemgang af beregninger for snit 1:
Ved snit A for z = 450 mm:
σ1 = N M
−
A Iy
Ved snit B for z = 415 mm:
· z = −102,8 · 103 N
37,1 · 10 3 mm 2 + −2178,7 · 106 Nmm
4941 · 10 6 mm 4 · 450 mm = −201 MPa
σ2 = −102,8 · 103 N
37,1 · 10 3 mm 2 + −2178,7 · 106 Nmm
4941 · 10 6 mm 4 · 415 mm = −186 MPa
Ved snit C for z = 0 mm:
σ3 = −102,8 · 103 N
37,1 · 10 3 mm 2 + −2178,7 · 106 Nmm
4941 · 10 6 mm 4 · 0 mm = −3 MPa

122 Dimensionering af længdebjælker
Beregninger af forskydningsspændinger τ
Det statiske moment beregnes for de respektive snit, der kan ses p˚a figur M.8:
Figur M.8: De tre snits delarealer med afstande mellem tyngdepunkter.
Ved snit A for z = 450 mm:
S1 = 432,5 mm · 35 mm · 140,75 mm = 2,13 · 10 6 mm 3
Dernæst beregnes forskydningsspændingen τ:
τ1 =
−V · S1
Iy · t = −(−467,8 · 103 N) · 2,13 · 10 6 mm 3
4941 · 10 6 mm 4 · 35 mm
Ved snit B for z = 415 mm:
S2 = 432,5 mm · 35 mm · 300 mm = 4,54 · 10 6 mm 3
τ2 = −(−467,8 · 103 N) · 4,54 · 10 6 mm 3
4941 · 10 6 mm 4 · 18,5 mm
= 23 MPa
= 6 MPa

M.2 Brudgrænsetilstand 123
Ved snit C for z = 0 mm:
S3 = S2 + 207,5 mm · 18,5 mm · 415 mm = 6,13 · 10 6 mm 3
τ3 = −(−467,8 · 103 N) · 6,13 · 10 6 mm 3
4941 · 10 6 mm 4 · 18,5 mm
Beregninger ved von Mises brudhypotese
Ved snit A for z = 450 mm:
= 31 MPa
σ2
1 + 3 · τ1 = (−201 MPa) 2 + 3 · (6 MPa) 2 = 201 MPa ≤ 268 MPa
Ved snit B for z = 415 mm:
σ2
2 + 3 · τ2 = (−186 MPa) 2 + 3 · (23 MPa) 2 = 190 MPa ≤ 268 MPa
Ved snit C for z = 0 mm:
σ2
3 + 3 · τ3 = (−3 MPa) 2 + 3 · (31 MPa) 2 = 54 MPa ≤ 268 MPa
Ligeledes bestemmes det, hvorvidt spændingerne ved snit 2 overholder uligheden.
Disse tal er listet i tabel M.3.
Snit 2 Snit A Snit B Snit C fyd
Spændinger [MPa] 219 202 3 ≤ 268
Tabel M.3: Spændinger ved von Mises for snit 2.
Det kan ses, at alle spændingerne overholder uligheden for den regningsmæssige
flydespænding, hvormed HE900B-profilet er godkendt for styrke. Det vises i afsnit
17, at stivhedskravet er overholdt.

Bilag N
Dimensionering af tværbjælker
Over broens søjler lægges der to tværbjælker, som de langsg˚aende bjælker spænder
af p˚a, jf. afsnit 14. Tværbjælkerne udføres i HE600B-profiler, som ses p˚a figur
N.1. I dette bilag eftervises det, at bjælkerne overholder kravene for anvendelsesog
brudgrænsetilstande. Ved den anden lastplacering vælges bjælken, som giver et
bidrag til punktlasten D, belastet mest muligt. Dette skyldes, at denne punktlast
ligger tættest p˚a midten mellem to tværbjælkens understøtninger.
Figur N.1: HE600B-profil med m˚al og akser.
Da broen er symmetrisk om dens midterakse vil en bjælke være dimensionsgivende
for begge.

126 Dimensionering af tværbjælker
N.1 Lastplacering
Der vurderes to kritiske placeringer af akseltrykket Qi og to forskellige placeringer
af trafikfladelasten qi for at finde m˚aden, hvormed tværbjælken belastes s˚a kritisk
som muligt. Situationen 1 kan ses p˚a figur N.2 og situation 2 kan ses p˚a figur N.3.
Ved den første lastplacering er pladen, som giver et bidrag til punktlasten C, D og
E, belastet mest muligt af akseltrykket.
Figur N.2: Den første placering af trafiklasten.
Figur N.3: Den anden placering af trafiklasten.
I tabel N.1 ses de karakteristiske laster og partialkoefficienterne, som anvendes i
brudgrænse- og anvendelsesgrænsetilstand.
Tværbjælkens statiske system, som ses p˚a figur N.4, afhænger af trafiklastens placering.
Linielasten fremkommer fra tværbjælkens egen tyngde GT, som er p˚a 212 kg/m

N.1 Lastplacering 127
Partialkoefficienter Type af last Karakteristisk last
2.1a a
1,3 0,75 Akseltryk (Q1,k) 244,3 kN/m
1,3 0,40 Trafik fladelast (q1,k & q2,k) 6,03 kN/m 2 & 2,5 kN/m 2
1 1 Belægningslast (GB) 2,08 kN/m 2
1 1 St˚alpladelast (GP) 2,47 kN/m 2
1 1 Langsg˚aende bjælke (GL) 2,9 kN/m
1 1 Egenlast (GT) 2,08 kN/m
0,5 − Sidekraft (Qtr,k) 103 kN
0,5 − Vindlast (Qw) 3,6 kN
Tabel N.1: Tværbjælkens karakteristiske laster, med anførte partialkoefficienter 2.1a og
a, for henholdsvis brudgrændse- og anvendelsesgrænsesetilstand.
Figur N.4: Tværbjælkens statiske system.
(G. Mohr et al 2004). Pga. sidekraften og vindlasten p˚aføres konstruktionen en
normalkraft, en afstand a fra punktlasten D, hvilket kan ses p˚a figur N.4. Afstandens
størrelse afhænger af akseltrykkets placering, hvilket vises senere i afsnittet. Da
normalkraften og sidekraften forskydes fra deres angrebspunkt ned i tværbjælkens
tyngdepunkt, belastes bjælken ogs˚a med et moment.
Punktlasterne A-K svarer til de ovenlæggende langsg˚aende bjælkers reaktioner, jf.
afsnit 14. Disse reaktioner afhænger af belægningens, st˚alpladens og længdebjælkernes
tyngde samt placeringen af trafiklasten. I det følgende bruges superpositionsprincippet
til at beregne størrelserne af punktlasterne. Superpositionsprincippet gør
det muligt at betragte en last ad gangen. Først betragtes akseltrykket, herefter fladelasten
fra trafikken og til sidst tyngden af de ovenliggende elementer.

128 Dimensionering af tværbjælker
Akseltrykket
Jf. afsnit 14 fordeler akseltrykket sig ned gennem belægningen til pladens tyngdepunkt,
hvilket giver en linielast p˚a 0,614 m p˚a pladen, og mellem de to akseltryk er
der en afstand p˚a 2 m. Beregningerne er foretaget via flere Calfem-modeller.
Ved den første lastplacering er pladen, som giver et bidrag til punktlasten C, D
og E, belastet mest muligt af akseltrykket. Det statiske system p˚a pladerne ses p˚a
figur N.5. P˚a figuren er der kun medtaget tre ud af de fem plader, da de øvrige ikke
belastes. Reaktionerne, som jf. afsnit 14 bliver en linielast p˚a længdebjælken, bliver
benævnt R1,Q. Det statiske system for længdebjælken ses p˚a figur N.6.
For at finde bidraget til punktlasterne p˚a tværbjælken beregnes reaktionerne Sit1,Q
fra længedebjælken. I tabel N.2 er reaktionerne og hermed bidraget til punktlasterne
p˚a den tværg˚aende bjælke ogs˚a skrevet ind.
I situation 2 vælges bjælken, som giver et bidrag til punktlasten D, belastet mest
muligt. Dette skyldes, at denne punktlast ligger tættest p˚a midten mellem to af
understøtningerne for tværbjælken. Det statiske system for st˚alpladerne ses p˚a figur
N.7. Reaktionerne R2,Q, som giver en linielast p˚a de langsg˚aende bjælke, findes i
tabel N.2. Ligeledes er bidraget til punktlasterne Sit2,Q skrevet ind i tabellen.
Bidraget til punktlasterne Sit1,Q og Sit2,Q p˚a tværbjælken er listet i tabel N.4.
Fladelasten fra trafikken
Fladelasten fra trafikken sættes til at belaste brokontruktionen, s˚a den ud fra placeringen
af akseltrykkene, belaster tværbjælken mest muligt. Dette gøres ved at give
det største bidrag til punktlasterne C, D og E. P˚a figur N.8 ses det statiske system
for st˚alpladerne ved den første placeringen af fladelasten.
Figur N.5: St˚alpladernes statiske system som følge af den første placering af
akseltrykkene.

N.1 Lastplacering 129
Figur N.6: Længdebjælkernes statiske system ved placering af akseltrykkene.
Figur N.7: St˚alpladernes statiske system som følge af den anden placering af
akseltrykkene.
Reaktionerne R1,q fra dette system giver, jf. afsnit 14, en linielast p˚a de langsg˚aende
bjælker. Reaktionerne kan ses i tabel N.3. Længdebjælkernes statiske system kan
ses p˚a figur N.9. Ligesom i det forrige afsnit skrives bidraget til punktlasterne Sit1,q
ogs˚a ind i tabel N.3.
Fladelasten er ogs˚a valgt placeret, som p˚a figur N.10. Her er hele spændet mellem to
af søjlerne forsøgt belastet mest muligt. Reaktionerne R2,q og bidraget til punktlasten
Sit2,q er skrevet ind i tabel N.3.
Bidraget til punktlasterne p˚a tværbjælken Sit1,q og Sit2,q er listet i tabel N.4.
Situation 1 Situation 2
R1,Q [kN] Sit1,Q [kN] R2,Q [kN] Sit2,Q [kN]
C 127,72+2,22 257,83 2,56 5,11
D 130,11 259,60 189,88 378,86
E 127,72+2,22 257,83 2,56+72,82 150,40
F 139,35 278,04
G -17,18 -34,28
Tabel N.2: Bidrag til punktlasterne p˚a tværbjælken ud fra de tre placeringer af
akseltrykket. (Regningsmæssige laster)

130 Dimensionering af tværbjælker
Figur N.8: St˚alpladernes statiske system som følge af den første placering af fladelasten
fra trafikken
Figur N.9: Længdebjælkernes statiske system ved placering af fladelasten fra trafikken.
Ovenliggende elementers tyngde
Tyngden af de ovenliggende elementer er ogs˚a med til at give et bidrag til punktlasterne
A-K.
Lasterne fra de enkelte elementer regnes ikke p˚a samme m˚ade som for trafiklasten,
hvor pladernes statiske system betragtes. I stedet fokuseres der p˚a, at afstanden
mellem bjælkerne er ens, hvormed de enkelte bjælke m˚a være belastet ligeligt. Dette
er gjort p˚a samme m˚ade som i bilag M. De to yderste længdebjælker, som bl.a. er
angivet p˚a tegning C104-007, regnes til at optage laster fra 0,65 m brodæk, hvilket
Figur N.10: St˚alpladernes statiske system som følge af den anden placering af
fladelasten fra trafikken.

N.1 Lastplacering 131
Situation 1 Situation 2
R1,q [kN] Sit1,q [kN] R2,q [kN] Sit2,q [kN]
A -0,28 -6,89 -0,26 -6,49
B 2,75 67,63 2,64 64,95
C 3,82+2,67 159,62 3,36 82,56
D 12,74 313,33 11,151 274,25
E 3,82+2,67 159,62 8,51 209,25
F 2,75 67,63 6,37 156,64
G -0,28 -6,89 -0,64 -15,67
Tabel N.3: Bidrag til punktlasterne p˚a tværbjælken ud fra de to placeringer af trafik
flade lasten. (Regningsmæssige laster)
svarer til halvdelen af hvad de øvrige længdebjælker optager.
Ved omregning belastes længdebjælkerne, som giver et tillæg til punktlasterne B-J,
med følgende linielast:
qg,1 = (GB · 1,3 m + GP · 1,3 m + GL) · 1
= (2,08 kN/m 2 · 1,3 m + 2,47 kN/m 2 · 1,3 m + 2,9 kN/m) · 1
= 8,82 kN/m
De yderste længdebjælker belastes med.
qg,2 = (GB · 0,65 m + GP · 0,65 m + GL) · 1
= (2,08 kN/m 2 · 0,65 m + 2,47 kN/m 2 · 0,65 m + 2,9 kN/m) · 1
= 5,86 kN/m
I tabel N.4 er bidraget til lasterne A-K skrevet ind. I tabel N.5 ses punktlasternes
værdier n˚ar bidraget fra akseltrykkene, fladelasten fra trafikken og tyngden af de
ovenliggende elementer er adderet for hver af de to lastplaceringer.
Sidekraft og vindlast
Sidekraften Qtr og vindlastens Qw angrebspunkt er afhængig af punktlastens placering.
Dette skyldes, at vindlasten og sidekraften p˚a køretøjerne sættes til at angribe

132 Dimensionering af tværbjælker
Sit1,Q Sit2,Q Sit1,q Sit2,q GB+P+L
[kN] [kN] [kN] [kN] [kN]
A - - -6,89 -6,49 142,99
B - - 67,63 64,95 216,43
C 257,83 5,11 159,62 82,56 216,43
D 259,60 378,86 313,33 274,25 216,43
E 257,83 150,40 159,62 209,25 216,43
F - 278,04 67,63 156,64 216,43
G - -34,28 -6,89 -15,67 216,43
H - - - - 216,43
I - - - - 216,43
J - - - - 216,43
K - - - - 142,99
Tabel N.4: Akseltryk, fladelasten og tyngden af de ovenliggende elementers bidrag til
punktlasterne A-K. (Regningsmæssige laster)
mellem akslerne. De to laster forskydes til tværbjælkens tyngdepunkt, hvilket resulterer
i et moment i tværbjælken. Momentet afhænger af excentriciteterne for
vindlasten. Vindlastens excentricitet betegnes e1 og sidekraftens betegnes e2.
e1 = 1 m + 0,092 m + 0,032 m + 0,9 m +
e2 = 0,092 m + 0,032 m + 0,9 m +
0,55 m
2
0,6 m
2
= 1,32 m
= 2,32 m
Excentriciteterne er regnet ud fra de ovenliggende elementers størrelse og ud fra
at sidekraften angriber ved belægningens overflade, mens vinden angriber 1 m over,
hvilket ogs˚a kan ses p˚a figur N.11.
I tabel N.1 ses de karakteristiske laster og de benyttede partialkoefficienter for brudgrænsetilstanden,
hvilket resulterer i følgende størrelse af momentet:
M = Qw · e1 · 0.5 + Qtr,k · e2 · 0,5
= 3,6 kN · 2,32 m · 0,5 + 103 kN · 1,32 m · 0,5
= 72,156 kNm

N.2 Brudgrænsetilstand 133
Situation 1 Situation 2
A 136,1 136,5
B 284,06 281,38
C 633,88 304,1
D 789,36 869,54
E 633,88 576,08
F 284,06 651,11
G 209,54 166,48
H 216,43 216,43
I 216,43 216,43
J 216,43 216,43
K 142,99 142,99
Tabel N.5: De seks forskellige kombinationer af punktlasternes værdier [kN].
(Regningsmæssige laster)
P˚a figur N.4 er vind- og sidekrafterne samt momentets placering angivet som a. Ved
den første placering af akseltrykkene, som kan ses p˚a figur N.5, bliver a lig med 0 m.
Ved den anden situation, hvor et af akseltrykkene bliver placeret lige over D, bliver
a lig med 1,0 m.
N.2 Brudgrænsetilstand
Der er lavet to forskellige Calfem-modeller — en for hver placering af normalkraften
og momentet. Kombinationerne for punktlasterne A-K, som er skrevet i tabel N.5,
er indført i de tilhørende programmer, hvorved snitkræftkurverne er fundet. For hver
af de to placeringer af trafiklasten er der lavet to snit, hvor snitkræfterne er fundet.
Værdierne ses i tabel N.6. P˚a figur N.12-N.13 ses snitkraftkurverne for de to tilfælde.
Situation 1 Situation 2
M1 [kNm] 1208,3 1061,3
V1 [kN] 499,4 459,5
N1 [kN] -25,6 17,1
M2 [kNm] -921,1 -817,0
V2 [kN] 1138,6 1041
N2 [kN] -25,6 -36,2
Tabel N.6: Moment, forskydnings- og normalkræfter i de to snit, som er foretaget for
hver af de seks placeringer af trafiklasten.

134 Dimensionering af tværbjælker
Figur N.11: Angivelse af excentriciteternes størrelser for vindlasten Qw og sidekraften
Qtr.
I tabel N.6 kan det ses, at det maksimale moment i bjælken opn˚as ved snit 1 situation
1, hvor
M = 1208,3 kNm
V = 499,4 kN
N = −25,6 kN
Ligeledes kan det ses, at den maksimale forskydningskraft opn˚as ved snit 2 situation
2. Værdierne for snitkræfterne er
1 1,0
0,50.5
0 0
-0,5 −0.5
-1,0
−1
Snit 1 Snit 2
-1,5 −1.5
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14
Meter
Normalkraft - MN
Forskydningskraft - MN
Moment - MNm
Figur N.12: Snitkraftkurve for situation 1.

N.2 Brudgrænsetilstand 135
1
0.5
0
−0.5
−1
M = −921,1 kNm
V = 1138,6 kN
N = −25,6 kN
Snit 1 Snit 2
Normalkraft - MN
Forskydningskraft - MN
Moment - MNm
−1.5
0 2 4 6 8 10
Meter
12 14
Figur N.13: Snitkraftkurve for situation 2.
Udover de fundne normalkrafter bliver tværbjælken ogs˚a p˚aført en normalkraft fra
det mellem søjlerne og tværbjælken indlagte vindkryds. Den maksimale p˚avirkning,
hvormed vindkrydset belaster tværbjælken, er p˚a 204 kN. Denne er fundet i bilag
O.4.
Herefter kan von Mises brudhypotese eftervise, at den maksimale spænding i tværsnittet
er lavere end den regningsmæssige flydespænding.
Beregningerne er foretaget som i bilag M, hvor der laves tre snit A, B og C i bjælken.
I hvert af disse snit beregnes forskydningsspændingen og normalspændingen, som
herefter kan sættes ind i von Mises brudhypotese. Resultaterne kan ses i tabel N.7
og tabel N.8.
Maks. moment Snit A Snit B Snit C fyd
Spændinger [MPa] 221 216 102 ≤ 268
Tabel N.7: Spændinger ved von Mises for snittet med maksimalt moment.
Da alle de aktuelle spændinger er lavere end flydespændingen overholder tværbjælken
kravene i brudgrænsetilstanden. Det kan ogs˚a ses, at den mest kritiske situation
er ved maksimal forskydning, da der i dette tilfælde ogs˚a er et betragteligt moment.

136 Dimensionering af tværbjælker
Maks. forskydning Snit A Snit B Snit C fyd
Spændinger [MPa] 176 245 233 ≤ 268
Tabel N.8: Spændinger ved von Mises for snittet med maksimal forskydningskraft.
N.3 Anvendelsesgrænsetilstand
Lasterne som p˚aføres bjælken i anvendelsesgrænsetilstanden er fundet p˚a samme
m˚ade som i brudgrænsetilstanden. Der er dog brugt partialkoefficienter for anvendelsesgrænsetilstand,
hvilke kan ses i tabel N.1. I anvendelsesgrænsetilstanden er
partialkoefficienterne for vindlasten og sidekraften 0 og derfor medtages de ikke.
Det vejledende krav til den maksimale nedbøjning findes som 1/400 af det frie
spænds længde. For det stykke af bjælken, som spænder mellem søjlerne, er denne
lig 12,5 mm og den maksimale aktuelle nedbøjning findes til 3,7mm.
Ved tværbjælkens ender bøjer bjælken 2,8 mm op. Den tilladte nedbøjning er p˚a
3,75 mm og det vurderes, at denne værdi ogs˚a m˚a svare til den maksimale opbøjning.
Hermed kan det konkluderes, at tværbjælkerne overholder kravene for anvendelsesog
brudgrænsetilstande.

Bilag O
Dimensionering af søjler
Broen hviler p˚a to rækker søjler placeret i en afstand p˚a 9,4 m fra broens ender.
Disse søjler skal optage lasterne som spænder af fra tværbjælkerne. Alle seks søjler
ønskes udført i ens profiler, og derfor dimensioneres efter den h˚ardest belastede søjle.
O.1 Lastplacering
Det søges at finde den for søjlerne h˚ardeste belastning og dermed dimensionsgivende
lasttilfælde. Det vurderes, at denne kan opn˚as i den centrale søjle, da denne
afdækker en lidt større del af tværbjælken jf. figur O.4. Trafiklasterne placeres p˚a
belægningsoverfladen s˚a de virker til størst ugunst. Dette forventes hvor lasterne placeres
centralt omkring den midterste bjælke. Umiddelbart eksisterer to scenarier for
placering af de teoretiske baner og akseltryk, som kan forventes at give den største
p˚avirkning af søjlen. De to scenarier er opstillet p˚a figur O.1 hhv. O.2. De i pladerne
fundne reaktioner overføres som linielaster p˚a længdebjælkerne, og eftersom kun to
pladerækker er belastet af akseltryk Qi (Eur 2002), vil de øvrige linielaster være
reduceret hermed. Linielasten p˚a længdebjælkerne kan betragtes som p˚a figur O.3,
hvor to rækker plader p˚a hver side af tværbjælken har en større linielast. Systemet
for hver plade er modelleret op i Calfem og overføres til en ny Calfemmodel for
længdebjælken. Her p˚aføres de fundne laster som linielaster. For hver længdebjælke
udregnes reaktionerne, og disse overføres til tværbjælkerne som 11 enkeltkræfter jf.
figur O.4 og afsnit 14. Lasternes overførsel er similær med den beskrevet i bilag N.
Den forsimplede statiske betragtning betyder, at de lodrette reaktionerne i tværbjælkerne
skal projiceres om i søjlens længderetning. Reaktionen findes i tværbjælkens
tyngdepunkt, og paralleltforskydes i kraftens angrebsretning, dette lader sig fint

138 Dimensionering af søjler
Figur O.1: Placering af akseltryk og teoretiske baner for tilfælde A-E i kørebanens
bredde.
Figur O.2: Placering af akseltryk og teoretiske baner for tilfælde 1-5 i kørebanens
bredde.
gøre. I charniet, hvor søjlen understøtter, skal den lodrette kraft projiceres om i
søjlens retning, det resterende bidrag, som opst˚ar, bliver en vandret last. Scenariet
er illustreret p˚a figur O.5.
Den forsimplede betragtning af broens delelementer bevirker, at det ikke bliver muligt
at overføre vandrette laster til søjlerne, selvom deres skr˚a placering gør dem i
stand til at optage en del af det vandrette tryk/træk.
Derfor kommer det vandrette bidrag her til at optræde som en kraft, der p˚avirker
Figur O.3: Linielastens fordeling p˚a længdebjælkens statiske system.

O.1 Lastplacering 139
Figur O.4: Reaktionerne fra længdebjælkerne angriber som punktlaster p˚a tværbjælken
— understøtningerne repræsenterer hver en søjle.
Figur O.5: Eksempelskitse for projicering af lasterne fra tværbjælker til søjler.
de ovenlæggende elementer. Afhængig af elementernes orientering og excentricitet
til charniet vil der komme et vrid eller en bøjning i elementerne — i tværbjælken et
vrid, i længdebjælken bøjning og i bropladen et vrid. Det er valgt ikke at medregne
disse bidrag i indeværende projekt grundet den begrænsede tidsperiode.
Lasternes størrelse
Til beregning af søjlens normalkraft N, benyttes lastkombination 2.1a, da denne
giver den største p˚avirkning p˚a søjlen. Der ses bort fra den direkte vindlast p˚a
søjlerne, da denne forventes ubetydelig. De laster, der ned igennem brodækket, vil
p˚avirke søjlen med en normalkraft N, ses i tabel O.1, hvor partialkoefficinterne
knyttet til lastkombination 2.1a ogs˚a er angivet.
Den maksimale lodrette kraft p˚a den midterste søjle er fundet til 2,829 MN. Denne
nedstammer fra reaktionen i tværbjælkens understøtning for lasttilfælde A-E, figur

140 Dimensionering af søjler
2.1a Type af last Karakteristisk last
1,3 Akseltryk (Q1,k & Q2,k & Q3,k) 244 kN/m & 163 kN/m & 81 kN/m
1,3 Trafik fladelast (q1,k & q2,k) 6,03 kN/m 2 & 2,5 kN/m 2
1,0 Belægningslast (GB) 2,08 kN/m 2
1,0 St˚alplade (GP) 2,47 kN/m 2
1,0 Længdebjælke (GL) 2,86 kN/m 2
1,0 Tværbjælke (GT) 1,95 kN/m 2
0,5 Vindlast (Qw,k) 3,6 kN
0,5 Kraftpar fra vind (Qwp,k) 1,8 kN
Tabel O.1: Søjlens karakteriske laster med anførte partialkoefficienter fra
lastkombination 2.1a.
O.1. Søjlen har en hældning p˚a 1, og n˚ar lasten projiceres ud i søjlens længderetning
findes lasten til:
√ 2 · 2,829 MN = 4,001 MN
Udover de overst˚aende laster bliver søjlen p˚avirket af en normalkraft fra det mellem
søjlerne indlagte vindkryds. Den maksimale p˚avirkning, hvormed vindkrydset
belaster søjlen, er p˚a 80 kN. Denne er fundet i bilag O.4.
De to kraftbidrag adderes ud fra superpositionsprincippet. Søjlen bliver sammenlagt
p˚avirket med en normalkraft p˚a N = 4,081 MN.
O.2 Søjlens statiske system
Efter den største normalkraft, hvormed den centrale søjle belastes, er fundet, kan
denne p˚aføres det statiske system. Dette er opstillet p˚a figur O.6.
Da der ses bort fra en direkte vindlast p˚a søjlen, kan søjlen under dimensioneringen
betragtes som en centralt belastet søjle.
O.3 Dimensionering af søjle
Til dimensioneringen af den midterste søjle, vælges et HE400B-profil. Herefter kan
bæreevnen af søjlen eftervises som i det følgende.

O.3 Dimensionering af søjle 141
Figur O.6: Søjlernes statiske system.
Før en egentlig dimensionering kan p˚abegyndes, skal det undersøges, om slankhedsforholdet
er mindre end 200. Dette findes af (O.1).
hvor
ls
ls
I
A
< 200
i
⇕
< 200
ls er den teoretiske søjlelængde [mm]
i er inertiradius med hensyn til den betragtede udknækningsretning, givet ved
[mm]
(O.1)
Inertimomentet IZ og tværsnitsareal A for det valgte HE400B-profil findes ved opslag
(G. Mohr et al 2004), og (O.1) undersøges. Profilet vil ved belastning bøje ud
omkring den svageste akse, derfor vælges inertimomentet om profilets svage akse —
IZ. ls sættes lig med søjlens fulde længde, da søjlen, pga af dens understøtning, kan
bøje ud om hele længden.
I
A

142 Dimensionering af søjler
3500 mm
108,2·10 6 mm 4
19,8·10 3 mm 2
< 200
47,3 < 200
Herefter kan bæreevnen af den centralt belastet søjle findes ud fra (O.2). De følgende
søjleberegninger bygger p˚a (DS412 1998).
hvor
Nb,R = χ · A · fyd
χ er en søjlereduktionsfaktor, givet ved (O.3)
hvor
χ =
1
φ + √ φ 2 − λ 2
φ er en faktor, givet ved (O.4)
hvor
(O.2)
(O.3)
φ = 0,5(1 + α(λ − 0,2) + λ 2 ) (O.4)
λ er det relative slankhedsforhold givet ved (O.5)
α er en imperfektionsfaktor, der bestemmes ud fra tabel V 6.4.2 i (DS412 1998)
hvor
A · fyd
λ = 1,05 ·
Ncr
(O.5)

O.3 Dimensionering af søjle 143
Ncr er den kritiske søjlekraft [N], givet ved (O.6)
hvor
Ncr = π2 · Ed · I
l 2 s
Ed er det regningsmæssige E-modul for søjlen [MPa]
(O.6)
Ud fra overst˚aende kan bæreevnen for søjlen eftervises. Først findes den kritiske last
ud fra (O.6). Det regningsmæssige E-modul Ed er fundet til 1,63 ·10 5 MPa, jf. afsnit
15.2.1.
Ncr = π2 · Ed · I
l 2 s
= π2 · 1,63 · 10 5 MPa · 108,2 · 10 6 mm 4
(3500 mm) 2
= 14,2 · 10 6 N
Herefter kan søjlens relative slankhedsforhold og faktoren φ beregnes ud fra (O.5)
og (O.4). Imperfektionsfaktoren α for profilet er 0,34 (Bent Bonnerup et al 2004).
A · fyd
λ = 1,05 ·
Ncr
= 1,05 · 19,8 · 103 mm 2 · 268 N/mm 2
14,2 · 10 6 N
= 0,641
φ = 0,5(1 + α(λ − 0,2) + λ 2 )
= 0,5(1 + 0,34(0,641 − 0,2) + 0,641 2 )
= 0,781
Søjleredutionsfaktoren χ bestemmes ud fra (O.3).

144 Dimensionering af søjler
1
χ =
φ + √ φ2 − λ2 1
=
0,781 + √ 0,7812 − 0,6412 = 0,816
Søjlens regningsmæssige bæreevne Nb,R findes ud fra (O.2).
Nb,R = χ · A · fyd
= 0,816 · 19,8 · 10 3 mm 2 · 268 N/mm 2
= 4,330 MN
Det ses her, at det valgte profil for søjlen kan klare den p˚aførte belastning N p˚a
4,081 MN.
O.4 Vindafstivning
I dette afsnit bestemmes dimensionerne for vindafstivning mellem søjlerne, s˚a de
er i stand til at optage de vandrette belastninger, vindlast og sidekraft. Da vindafstivningen
laves af lange, slanke stænger, ses der bort fra evnen til at optage tryk,
da denne anses for at være minimal. Derfor regnes der kun p˚a de stænger, der kan
optage træk.
Vindafstivningen fremg˚ar af figur O.7, hvor de punkterede linier antyder, at der ogs˚a
skal være vindafstivning til optagelse af belastning fra den anden side af.
Sidekraften Qtr,k er 103 kN jf. bilag K. Vindlasten Qw,k er 102 kN, hvilket er bestemt
ved den karakteristiske vindlast p˚a 1,8 kN/m 2 jf. bilag K, hvorp˚a fladen, der er vist
p˚a figur O.8, er multipliceret. Det er vurderet, at søjlerækken, der dimensioneres
for, optager fladelast fra en længde p˚a 18,7 m, hvilket svarer til halvdelen af det frie
spænd p˚a 28 m samt halvdelen af spændet mellem understøtning og søjle. Den øvrige
vindflade forudsættes optaget af de øvrige fundamenter.
Lasterne p˚aføres konstruktionen i knude C, hvor de maksimeres ved sætte dem i
samme positive retning.
Vindafstivningen undersøges for brud ved de to lastkombinationer, 2.1b og 2.1g,
hvor følgende er gældende:

O.4 Vindafstivning 145
Figur O.7: Illustration af vindgitterets opbygning mellem tre søjler og en tværbjælke.
Figur O.8: Illustration af vindfladen, som vindafstivningen skal optage last fra.
• 2.1b: 1,3 · sidekraft
• 2.1g: 0,5 · sidekraft + 1,5 · vindlast
Der er i Calfem udarbejdet et program, der bestemmer stangkræfterne for systemet
p˚a figur O.7, idet dimensionerne for søjlerne og tværbjælken er indsat p˚a de respektive
pladser. Det er gennem iteration fundet, at et cirkulært rør DIN2458 76,1 mm
opfylder de krav, der herefter eftervises. Den største stangkraft ved dette rør er
fundet til NS =130 kN for SAE. For SAE skal det ifølge (DS412 1998) eftervises, at
formel (O.7) overholdes.
hvor
fyd ≥ NS
A
= σN
(O.7)
NS er normalkraften i stangen

146 Dimensionering af søjler
I afsnit 15.2.1 er det bestemt, at der bruges st˚alstyrke S355, hvormed den regningsmæssige
flydespænding er 276 MPa. For det valgte profil er tværsnitsarealet
A =0,60 mm 2 . Dermed kan det ses, at det valgte profil opfylder uligheden for bæreevnen:
217 MPa < 276 MPa
Vindgitteret giver ligeledes stangkræfter til søjlerne og tværbjælken p˚a hhv. 80 kN
og 204 kN under beregning af disse.

Bilag P
Dimensionering af boltesamlinger
Der bliver i følgende afsnit detailprojekteret to boltesamlinger. Samling 1 mellem
to af broens længdebjælker og samling 2 mellem en tværbjælke og en søjle. De to
samlinger ses p˚a figur P.1.
Samling 2
Samling 1
Figur P.1: De to boltesamlinger der dimensioneres.
I begge tilfælde dimensioneres boltene efter følgende forudsætninger:
• Boltene er af styrkeklasse 8.8
• Der regnes der efter normal materialekontrolklasse og høj sikkerhedsklasse
• Boltesamlingerne regnes efter at være efter kategori A — dornsamlinger
• Dimensionerne af bolte og lasker dimensioneres efter brudspændingen

148 Dimensionering af boltesamlinger
P.1 Boltesamling af længdebjælker
P˚a figur P.2 er samlingerne mellem længdebjælkerne anskueliggjort. For samlingen i
kroppen er det valgt at benytte M30-bolte og sekskantede laskeplader med tykkelsen
9 mm. For samlingen p˚a flangerne er det valgt at benytte M24-bolte og rektangulære
laskeplader med en pladetykkelse p˚a 7 mm.
Samlingen p˚a kroppen dimensioneres til at overføre forskydningskraften mellem
bjælkerne. Momentet og normalkraften overføres i samlingerne p˚a bjælkernes flanger.
Der er en kort afstand mellem de to bjælker, s˚a der ved bøjning ikke overføres
kræfter mellem flangerne, og boltene placeres symmetrisk om samlingen af de to
bjælker.
Figur P.2: Skitse af laskernes placering p˚a de to længdebjælker.
De virkende snitkræfter skal flyttes, s˚a de kommer til at virke i boltegruppernes tyngdepunkt.
For samlingen p˚a flangen er boltegrupperne symmetriske omkring kræfternes
angrebslinie, hvorved det ikke er nødvendigt at bestemme tyngdepunkt. For
samlingen p˚a kroppen bestemmes boltegruppens tyngdepunkt i et følgende afsnit.
P˚a figur P.3 ses de virkende krafter p˚a samlingen.
P.1.1 Snitkræfter i samlingen
I afsnit 14 er det bestemt, hvor der er samlinger mellem længdebjælkerne, og ud fra
dette afsnit findes de mulige samlinger. Det er valgt at dimensionere den h˚ardest
belastede samling og udføre alle lignende samlinger herefter. I Calfem er der beregnet
snitkræfter i samlingernes placeringer, hvor de belastes h˚ardest muligt — jf. bilag
M. Den dimensionsgivende lastplacering ses p˚a figur P.4.

P.1 Boltesamling af længdebjælker 149
Figur P.3: Boltesamlingen p˚a kroppen af bjælken.
Figur P.4: Lastplacering ved bestemmelse af maksimale snitkræfter i Calfem.
Længdebjælkernes samlinger er markeret med et kryds i bjælken.
De største snitkræfter er fundet til:
V = 217,2 kN
N = 58,7 kN
M = 1616,0 kNm
Nu kendes kræfterne, som skal overføres mellem bjælkerne og boltesamlingernes kan
herefter eftervises.
P.1.2 Boltesamling i kroppen
Boltesamlingen i kroppen ses p˚a figur P.3. Det ses her, at samlingen best˚ar af seks
bolte. Hermed skal hver boltegruppe, via laskerne, overføre forskydningskraften mellem
bjælkerne. Derudover vil der virke en exentrisk kraft idet forskydningskraften

150 Dimensionering af boltesamlinger
forskydes til boltegruppens tyngdepunkt. Der vil alts˚a ogs˚a være en momentlast
p˚a boltene. Den resulterende kraft Fres beregnes for hver bolt i samlingen, idet der
skal gælde, at forskydningskraften pr. bolt ikke m˚a overstige overklipningsbæreevnen
Fv,R eller hulrandsbæreevnen FFb,R (DS412 1998).
Først bestemmes boltegruppens tyngdepunkt ved at indlægge et koordinatsystem
(x ∗ i,y ∗ i ) med nulpunkt mellem boltene 2 og 3 — jf. figur P.3, (Bent Bonnerup et
al 2004). P˚a figur P.5 findes de nødvendige m˚al.
hvor
ex = 1
n
yx = 1
n
n
i=1
n
i=1
x ∗ i = 1
(−52,4 mm) = −52,4
3 3 mm
y ∗ i = 1
(22,5 mm − 22,5 mm + 0 mm) = 0 mm
3
n er antallet af bolte i boltegruppen
x ∗ i er den i’te bolts afstand til boltegruppens tyngdepunkt, p˚a det indlagte koordinatsystems
x-akse
y ∗ i er den i’te bolts afstand til boltegruppens tyngdepunkt, p˚a det indlagte koordinatsystems
y-akse
Hermed er boltegruppens tyngdepunkt bestemt og forskydningskraften forskydes
hertil, hvilket ses p˚a figur P.3. Nu beregnes det polære inertimoment via bolteafstande
til tyngdepunktet (Bent Bonnerup et al 2004). De anførte m˚al findes af figur
P.5:
hvor
n n
Ip = ri = (x
i=1 i=1
2 i + y 2 i )
ri er den i’te bolts afstand til boltegruppens tyngdepunkt
Ip = (−34,9 mm) 2 + ((−17,5 mm) 2 + 22,5 mm 2 ) + ((−17,5 mm) 2 + (−22,5 mm 2 )
= 2843 mm 2

P.1 Boltesamling af længdebjælker 151
Figur P.5: Koordinatsystem A bruges til bestemmelse af boltesamlingens tyngdepunkt
og koordinatsystem B bruges til bestemmelse af polært inertimoment.
Systemet betragtes herefter ud fra, at der laves en konvention hvorved forskydningskraften
og momentet ændrer retning. For at bestemme momentlasten p˚a boltene
findes først det virkende moment i tyngdepunktet. Her multipliceres forskydningskraften
med afstanden til boltegruppens tyngdepunkt, jf. figur P.5:
M = V · (x ∗ + x)
= −217,2 kN) · (45 mm + 17,5 mm)
= −13575 kNmm
⇓
M
· r1
|F1| =
Ip
= −13575 kNmm · (−34,9 mm)
2843 mm2
= 166,6 kN
M
· r3
|F2| = |F3| =
Ip
−13575
kNmm · (−22,5 mm)
=
2843 mm2
= 107,4 kN
Herefter kan forskydningskraftens last p˚a boltene bestemmes ved følgende (Bent
Bonnerup et al 2004):

152 Dimensionering af boltesamlinger
Fi = −V
n = F1 = F2 = F3 =
−217,2 kN
3
= −72,4 kN
Afslutningsvist bestemmes den resulterende kraft p˚a hver bolt ved at projicere momentlasten
efter x- og y-retning og addere med bidraget fra forskydningslasten (Bent
Bonnerup et al 2004).
Bolti
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Fxi = N
n
Fyi = V
n
− M · yi
Ip
+ M · xi
Ip
F res
i =
F 2 xi + F 2 yi
Nu bestemmes Fres for de tre bolte efter ovenst˚aende formel:
⎧
⎪⎨ Fxi =
Bolt1
⎪⎩
0 −13575 kNmm · 0
−
3 2843 mm2 = 0
−217,2 kN
Fyi = +
3
−13575 kNmm · (−34,9 mm)
2843 mm2 F res
1 = (94,2 kN) 2 = 94,2 kN
= 94,2 kN
⎧
⎪⎨ Fxi =
Bolt2
⎪⎩
0 −13575 kNmm · 22,5 mm
−
3 2843 mm2 = 107,4 kN
−217,2 kN
Fyi = +
3
−13575 kNmm · (17,5 mm)
2843 mm2 = −156,0 mm
F res
2 = (107,4 kN) 2 + (−156,0 mm) 2 = 189,4 kN
⎧
⎪⎨ Fxi =
Bolt3
⎪⎩
0 −13575 kNmm · (−22,5 mm)
−
3 2843 mm2 = −107,4 kN
−217,2 kN
Fyi = +
3
−13575 kNmm · (17,5 mm)
2843 mm2 = −156,0 kN

P.1 Boltesamling af længdebjælker 153
F res
3 = (107,4 kN) 2 + (−156,0 mm) 2 = 189,4 kN
Hermed er den resulterende kraft pr. bolt fastlagt og nu bestemmes om boltegruppens
overklipningsbæreevne er tilstrækkelig. Dernæst undersøges hulrandsbæreevnen.
Afslutningsvist sikres mod blokforskydning.
Overklipningsbæreevne
Trykket mellem bolt og laske medfører forskydningsspændinger i boltene. Det er
derfor nødvendigt at bestemme boltenes overklipningsbæreevne ved (P.1), (DS412
1998).
hvor
Fv;R = c3 · A · fub,d
(P.1)
c3 er en reduktionsfaktor ved overklipningsbæreevne. Ved snit gennem rullet gevind
er denne lig 0,6 (DS412 1998)
A er boltens skafteareal
fub,d er den regningsmæssige brudstyrke for boltene
Der skal gælde at den resulterende kraft pr. bolt ikke m˚a overstige overklipningsbæreevnen.
Dette undersøges ud fra de bestemte værdier for boltene 2 og 3 idet kraften
er størst for disse. Først findes den regningsmæssige brudstyrke ved at dividere med
materialets partialkoefficient γm (DS412 1998):
fub,d = fub
γm
= 800 MPa
1,43 · 1,1 · 1,0
≈ 509 MPa
Overklipningsbæreevnen for M20-boltene bliver:
Fv;R = c3 · A · fub,d
0,6 · 707 mm 2 · 509 N/mm 2
= 215,9 kN
Det er hermed vist, at overklipningsbæreevnen er tilstrækkelig, idet den bestemte
værdi overstiger den resulterende kraft p˚a 189,4 kN.

154 Dimensionering af boltesamlinger
Hulrandsbæreevne
Overførslen af forskydningskræfter mellem lasker og bolte sker ved et tryk p˚a laskerne
— hulrandstrykket. Dette tryk kan medføre deformationer eller brud i laskepladen,
hvis ikke afstanden mellem boltene og laskernes kanter er tilstrækkelig store.
Hulrandsbæreevnen Fb,R bestemmes ved (P.2) (DS412 1998).
hvor
Fb,R = 2,5 · c1 · c2 · d · t · fud
c1 er en korrektionsfaktor
c2 er en korrektionsfaktor
d er boltenes diameter [ mm]
t er laskepladens tykkelse [ mm]
fud er laskepladens regningsmæssige brudstyrke
Her bestemmes korrektionsfaktorerne c1 og c2 ved følgende:
hvor
⎧
⎪⎨
c1 ≤
⎪⎩
⎧
⎪⎨
c2 ≤
⎪⎩
e1
3 · d0
p1
for 1,2 · d0 ≤ e1 < 3,0 · d0
− 0,25 for 2,2 · d0 ≤ p1 < 3,75 · d0
3 · d0
e2
0,9 · d0
p2
1,8 · d0
− 2
3 for 1,2 · d0 ≤ e2 < 1,5 · d0
− 2
3 for 2,4 · d0 ≤ p2 < 3,0 · d0
(P.2)
d0 findes ved addition mellem boltediameter og maksimal tilladelig frigang —
33 mm (DS412 1998)

P.1 Boltesamling af længdebjælker 155
Det ønskes, at bolteafstandene opfylder de optimale minimumsafstande, hvormed c1
og c2 bliver 1. Dette fastlægger følgende værdier for e1, e2, d1 og d2 (DS412 1998),
jf. figur P.6:
e1 = 3,0 · d0 = 3,0 · 33 mm = 99 mm
p1 = 3,75 · d0 = 3,75 · 33 mm = 123,5 mm ≈ 124 mm
e2 = 1,5 · d0 = 1,5 · 33 mm = 49,5 mm ≈ 50 mm
p2 = 3,0 · d0 = 3,0 · 33 mm = 99 mm
Figur P.6: Parametre for bolteafstande.
Laskepladens regningsmæssige brudstyrke er bestemt i afsnit 15.2.1 til 312 MPa og
hulrandsbæreevnen bestemme ved (P.2):
Fb,R = 2,5 · c1 · c2 · d · t · fud
= 2,5 · 1 · 1 · 30 mm · 9 mm · 312 N/mm 2
= 210,6 kN
Da den resulterende kraft pr. bolt ikke m˚a overstige hulrandsbæreevnen, er det
af ovenst˚aende eftervist, at hulrandsbæreevnen i kroppens samling er tilstrækkelig.
Dette m˚a gælde da den maksimale forskydningskraft pr. bolt er bestemt til 189,4 kN.
Da kroptykkelsen for længdebjælken er 18,5 mm og optimale minimumsafstande er
opfyldt, m˚a hulrandsbæreevnen ogs˚a være tilstrækkelig for kroppen.
Blokforskydningsbæreevne
For boltegruppen er der risiko for, at den samlede ydre kraft kan rive den del af
lasken, som boltene sidder i, ud. Dette kaldes blokforskydning. Vedrørende blokforskydning
kan der være flere forskellige brudfigurer, men i dette tilfælde vurderes det

156 Dimensionering af boltesamlinger
rimeligt kun at betragte brudfiguren p˚a figur P.7, da boltesamlingen kun p˚avirkes
af én forskydningskraft. Da godstykkelsen i laskerne er væsentlig tyndere end for
kroppen er det blokforskydningsbæreevnen i laskerne der er afgørende.
Figur P.7: Blokforskydning i bjælkens krop.
Brudfigurens bæreevne undersøges via (P.3) (DS412 1998).
hvor
Fbl,R = Avinkelret,net · 0,9 · fud + Aparallel,net · fud
√3
(P.3)
Avinkelret,net er arealet af brudfigurens snit gennem lasken — vinkelret p˚a den p˚aførte
ydre kraft
Aparallel,net er arealet af brudfigurens snit gennem lasken — parallel med den p˚aførte
ydre kraft
Blokforskydningsbæreevnen bestemmes alts˚a som summen af trækbæreevnen i et
nettotværsnit gennem rækken af huller i træksiden, adderet med forskydningsbæreevnen
i nettotværsnittene gennem rækkerne af huller langs boltegruppens forskydningsp˚avirkede
flader.
For at finde frem til de ovennævnte arealer betragtes figur P.7. Ved indsættelse i
(P.3) f˚as følgende:

P.1 Boltesamling af længdebjælker 157
Fbl,R = (113,7 mm − 33 mm) · 9 mm · 0,9 · 312 MPa
+ (66 mm + 49,5 mm + 149 mm − 2 · 33 mm) · 9 mm ·
= 525,8 kN
312 MPa
√ 3
Blokforskydningsbæreevnen er alts˚a tilstrækkelig, idet forskydningskraften er 217,2 kN.
Hermed er boltesamlingen p˚a kroppen dimensioneret. Samlingen er detailtegnet p˚a
tegning c104-008.
P.1.3 Boltesamling i flangerne
P˚a figur P.8 ses boltesamlingen p˚a profilets flanger. Her ses det, at der benyttes to
samlinger p˚a hver flange, hvor hver samling best˚ar af to boltegrupper p˚a 4 bolte.
Disse boltesamlinger skal overføre momentet og normalkraften mellem de to langsg˚aende
bjælker.
Figur P.8: Boltesamlingen i bjælkens lasker. Den øverste figur viser profilets tværsnit.
Den nederste figur viser profilets over- og underflange.
Den resulterende kraft p˚a hver bolt Fres beregnes for hver bolt i samlingen, idet
der skal gælde, at forskydningskraften pr. bolt ikke m˚a overstige overklipningsbæreevnen
Fv,R og hulrandsbæreevnen FFb,R (DS412 1998). For at kunne beregne den
resulterende kraft p˚a hver bolt omregnes momentet først til et kraftpar, virkende i

158 Dimensionering af boltesamlinger
henholdsvis over- og underflangen. Da det valgte HE900B-profil er dobbeltsymetrisk,
kan kraftparret beregnes som følgende, jf. figur P.3:
hvor
M = 2 · FM · y
⇓
FM = M
2 · y
FM er kraften i over- og underflangen, som udgør momentet
(P.4)
y er afstanden fra bjælkens tyngdepunkt til flangens tyngdepunkt — 432,5 (G. Mohr
et al 2004)
Kraften beregnes ud fra (P.4) til:
FM = 1616,0 · 103 kNmm
2 · 432,5 mm
= 1868,2 kN
For at f˚a den samlede kraft p˚a boltegrupperne adderes kraften med normalkraften i
bjælken. Denne findes som halvdelen af den bestemte normalkraft og virker s˚aledes
i tyngdepunktet for hver boltegruppe, jf. figur P.3. Her ses, at boltene i overflangen
belastes h˚ardest, hvorfor bæreevnen eftervises for disse.
F = FM + N = 1868,2 kN + (
58,7 kN
) = 1897,6 kN
2
Nu kan den resulterende kraft p˚a hver bolt beregnes.
Fres = F
n
= 2370,8 kN
8
= 237,2 kN
Igen undersøges først om boltegruppens overklipningsbæreevne er tilstrækkelig. Derefter
eftervises hulrandsbæreevnen og afslutningsvist sikres der mod blokforskydning.

P.1 Boltesamling af længdebjælker 159
Overklipningsbæreevne
Overklipningsbæreevnen for boltene i flangernes samlinger, undersøges ved (P.1).
Det skal igen være opfyldt, at overklipningsbæreevnen overstiger forskydningskraften
pr. bolt (Bent Bonnerup et al 2004). For at boltene er sikret mod overklipning, skal
overklipningsbæreevnen alts˚a være større end Fres,
idet der er to mulige brud p˚a
2
skaftet — 118,6 kN.
Overklipningsbæreevnen for M24-boltene bliver:
Fv;R = c3 · A · fub,d
0,6 · 452 mm 2 · 509 N/mm 2
= 138,0 kN
Hermed er det eftervist, at overklipningsbæreevnen for M24-boltene i flangens samlinger
er tilstrækkelig. Dette gælder, da den bestemte værdi for Fv;R overstiger den
halve resulterende kraft p˚a 118,6 kN.
Hulrandsbæreevne
For at der ikke sker brud i laskepladen eller profilet, undersøges om samlingens
hulrandsbæreevne er tilstrækkelig. Først fastlægges laskepladens dimensioner ud fra
opfyldelse af optimale minimumsafstande. Dette giver følgende værdier for e1, e2, d1
og d2, idet d0 er lig 26 mm (DS412 1998):
e1 = 3,0 · d0 = 3,0 · 26 mm = 78 mm
p1 = 3,75 · d0 = 3,75 · 26 mm = 97,5 mm ≈ 98 mm
e2 = 1,5 · d0 = 1,5 · 26 mm = 39 mm
p2 = 3,0 · d0 = 3,0 cot 26 mm = 78 mm
Samlingernes hulrandsbæreevne eftervises nu ved (P.2):
Fb,R = 2,5 · c1 · c2 · d · t · fud
= 2,5 · 1 · 1 · 26 mm · 7 mm · 312 N/mm 2
= 142,0 kN

160 Dimensionering af boltesamlinger
Det ses heraf, at hulrandsbæreevnen i flangernes samlinger overholder de gældende
krav om at overstige den resulterende kraft pr. bolt.
Blokforskydning
Der er kun én tænkelig brudfigur for boltesamlingerne i flangerne, hvilken ses p˚a
figur P.9. Da flangetykkelsen er væsentlig større end lasketykkelsen, bliver blokforskydningsbæreevnen
for laskerne undersøgt.
Figur P.9: Brudfigur for flangernes lasker.
Via (P.3) findes samlingens blokforskydningsbæreevne.
Fbl,R = (78 mm − 26 mm) · 7 mm · 0,9 · 312 MPa
= 102,2 kN
Den samlede ydre kraft p˚a hver boltegruppe svarer til en fjerdedel af den resulterende
kraft — da der er fire boltegrupper — og bliver derfor 474,4 kN. Dermed er
blokforskydningsbæreevnen ikke tilstrækkelig. For at opn˚a en tilstrækkelig bæreevne
kan bolteafstande eller lasketykkelse ændres. Det er valgt at ændre begge dele,
for at minimere lasketykkelsen, hvilket er relevant, da de tværg˚aende bjælker og
vejbelægningen hviler herover. For bolteafstandene er e2 ændret til 50 mm, under
hensynstagen til profilets krop og rundingen under flangerne. Lasketykkelsen er ændret
til 23 mm, hvormed blokforskydningsbæreevnen bliver 477,9 kN. Boltesamlingen
mellem længdebjælkerne er nu dimensioneret. Samlingen er detailtegnet p˚a tegning
c104-008.
Ovenst˚aende lasketykkelse medfører, at der skal laves udskæringer i de tværg˚aende
plader der er 32 mm høje. Herved opst˚ar der problemer mhp. bæreevnen, da pladerne
er 1,0 m brede og laskepladen i flangerne breder sig over 0,9 m — jf. tegning c104-
008. Det vil derfor være hensigtsmæssigt at lave en anden type samling. P˚a figur
P.10 ses to andre alternativer, hvor samlingen i overflangen er undg˚aet.

P.2 Boltesamling mellem søjler og tværbjælker 161
Figur P.10: Alternative løsninger til boltesamlingen mellem de langsg˚aende bjælker.
P.2 Boltesamling mellem søjler og tværbjælker
Boltesamlingen mellem tværbjælker og søjler er dimensioneret ud fra placering af laster
som i bilag O.1. Herved regnes der p˚a den h˚ardest belastede samling og lignende
samlinger laves herefter. Samlingen laves mellem to plader, hvilket ses p˚a figur P.11.
Det er vurderet nødvendigt at lave samlingen via to mellemstykker idet flangetykkelsen
p˚a tværbjælken er 30 mm. Det vurderes, at der vil være problemer med blokforskydning
for denne tykkelse. Samlingen mellem hhv. tværbjælke/mellemstykke
og mellemstykke/søjle dimensioneres ikke.
Trykkraften fra tværbjælkerne overføres ved kontakttryk til søjlerne. Herved fremkommer
en skr˚a kraft i søjlen. Denne kan inddeles i to komposanter — én vandret
og én lodret idet søjlerne er vinklet 45 ◦ . Boltegruppen vil kun være p˚avirket af en
forskydningskraft. For at kunne bestemme de virkende kræfter, antages kraftfordelingen
at forløbe som p˚a figur P.11.
Den lodrette kraft er bestemt i bilag O.1 til 2,829 MN. Den vandrette kraft bestemmes
ud fra, at søjlerne er vinklet 45 ◦ , hvorfor den vandrette kraft bliver lig den
lodrette kraft.
Den vandrette kraft vil give anledning til overklipning af bolte, deformationer af
st˚alpladen og blokforskydning. Dette vil blive undersøgt i de følgende afsnit, for
at eftervise samlingens bæreevne ved følgende materialevalg. Det er valgt at lave

162 Dimensionering af boltesamlinger
Figur P.11: Overførelse af kræfter fra tværbjælke til søjle. Den skr˚a last kan fordele sig
til en vandret og en lodret kraftkomposant. De virker dog ikke samtidig.
samlingen med otte M36-bolte, placeret symmetrisk omkring pladens midte. Hver
plade har tykkelsen 105 mm.
Overklipningsbæreevne
Først bestemmes den samlede overklipningsbæreevne for hele samlingen, idet der
forudsættes, at alle lastoverførende snit g˚ar gennem skaftearealet. Derefter kan det
bestemmes om lasten FV kan overføres i samlingen. Da der er otte kraftoverførende
snit, findes overklipningsbæreevnen efter (P.1) (G. Mohr et al 2004) til:
Fv;R = 8 · c3 · A · fub,d
= 8 · 0,6 · 1018 mm 2 · 590 MPa
= 2,9 MN
Der skal gælde, at forskydningskraften Fv,S ikke overstiger overklipningsbæreevnen
Fv,R. Dermed skal følgende ulighed være overholdt, for at overklipningsbæreevnen
er tilstrækkelig:
Fv,R > Fv,S
2,9 MN > 2,829 MN

P.2 Boltesamling mellem søjler og tværbjælker 163
Hermed er det vist, at overklipningsbæreevnen er tilstrækkelig.
Hulrandsbæreevne
Som før undersøges hulrandsbæreevnen, denne gang ved hulrande i de to st˚alplader.
Der forudsættes, at de optimale minimumsafstande er overholdt, hvormed korrektionsfaktorerne
i (P.2) bliver lig én (Bent Bonnerup et al 2004). Da der er tale om 8
bolte, hver med ét snit, kan hulrandsbæreevnen bestemmes ved (P.2) til:
Fb,R = 8 · 2,5 · 1 · 1 · d · t · fud
= 8 · 2,5 · 1 · 1 · 36 mm · 105 mm · 312 MPa
= 23,6 MN
Igen skal der i anvendelsestilstanden gælde, at forskydningskraften Fv,S ikke overstiger
hulrandsbæreevnen Fb,R. Dermed skal følgende ulighed være opfyldt, for at
hulrandsbæreevnen er tilstrækkelig:
Fb,R > Fv,S
23,6 MN > 2,829 MN
Hvormed det er eftervist, at hulrandsbæreevnen er tilstrækkelig.
Blokforskydningsbæreevne
Det skal vises, at blokforskydningsbæreevnen er større end den samlede ydre kraft
p˚a boltegruppen. For denne boltegruppe er der flere mulige brudfigurer, men det er
vurderet at den dimensionsgivende er den, der ses p˚a figur P.12.
For at bestemme blokforskydningsbæreevnen ved (P.3), skal de optimale bolte- og
kantafstande bestemmes. Idet der benyttes M36-bolte med en frigang p˚a 3 mm, bliver
d0 lig 39 mm. De optimale minimumsafstande bestemmes til:
e1 = 3,0 · d0 = 3,0 · 39 mm = 117 mm
p1 = 3,75 · d0 = 3,75 · 39 mm = 146,25 mm ≈ 147 mm

164 Dimensionering af boltesamlinger
Figur P.12: Brudfiguren for samling 2.
e2 = 1,5 · d0 = 1,5 · 39 mm = 58,5 mm ≈ 59 mm
p2 = 3,0 · d0 = 3,0 · 39 mm = 117 mm
Nu kan Avinkelret,net og Aparallel,net bestemmes ved aflæsning p˚a figur P.12. Brudfiguren
regnes ud fra den antagelse, at samlingen mellem st˚alpladen og mellemstykket ikke
har nogen indflydelse p˚a, hvordan bruddet opst˚ar. Blokforskydningsbæreevnen er
bestemt ved (P.3) til:
Fbl,R = Avinkelret,net · 0,9 · fud + Aparallel,net · fud
√3
= (986 mm − 4 · 39 mm) · 105 mm · 0,9 · 312 MPa
= 24,5 MN
For at den samlede ydre kraft — forskydningskraften Fv,S — ikke river den del af
pladen ud, som boltene sidder i, skal følgende ulighed være opfyldt:
Fbl,R > Fv,S
124,5 MN > 2,02 MN

P.2 Boltesamling mellem søjler og tværbjælker 165
Hermed er det vist, at hulrandsbæreevnen er tilstrækkelig og boltesamlingen er nu
dimensioneret. P˚a tegning c104-009 ses boltesamlingen mellem tværbjælkerne og
søjlerne.

Bilag Q
Elementmetoden
I dette bilag beskrives, hvorledes elementmetoden kan bruges til at finde reaktioner,
flytninger og snitkræfter for et statisk ubestemt system. For at eksemplificere elementmetoden
tages der udgangspunkt i det dobbelt statisk ubestemte system, der
er vist p˚a figur Q.1.
Figur Q.1: Det dobbelt statisk ubestemte system, der bruges til eksemplet.
Ved elementmetoden forudsættes det, at bjælkematerialerne er lineært elastiske,
hvormed Hookes lov benyttes. Derfor skal elementernes materialeparametre opskrives,
idet der benyttes enhederne [ kN] og [ m]:

168 Elementmetoden
• E = 2,0 · 10 8 kN/m 2
• A = 5,0 · 10 −4 m 2
• I = 2,0 · 10 −8 m 4
Punktlasten F er p˚a 100 kN og linielasten q er p˚a 10 kN/m.
Elementernes stivhedsrelation i lokale koordinater
Elementernes stivhedsrelation i lokale koordinater findes ved (Q.1), idet konstruktionen
er opbygget af bjælkeelementer. Denne beskriver elementets stivhed ved flyt-
ning i elementes længde- og tværretning, samt ved vinkeldrejning. u ′
i er flytning og
P ′
i er elementkraft ved den i’te frihedsgrad.
hvor
⎡
⎢
⎣
P ′
1
P ′
2
P ′
3
P ′
4
P ′
5
P ′
6
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎢
⎣
qxl
2
qyl
2
qyl 2
12
qxl
2
qyl
2
− qyl2
12
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ + ⎢
⎥ ⎣
⎦
q ′
x er en jævnt fordelt last i x ′
-retningen
q ′
y er en jævnt fordelt last i y ′
-retningen
EA
0 0 − L EA
0 0
L
12EI
0
L3 6EI
L2 0 − 12EI
L3 6EI
L2 6EI
0
L2 4EI
0 − L 6EI
L2 2EI
L
− EA
EA
0 0
0 0
L L
0 − 12EI
L3 − 6EI
L2 12EI
0
L3 − 6EI
L2 0 − 6EI
L2 2EI
0 − L 6EI
L2 4EI
L
⎤
⎡
⎥
⎦ ·
⎢
⎣
P ′
i er elementkraften i den i’te frihedsgrad, som vist p˚a figur Q.2 og Q.3
u ′
i er flytningen i den i’te frihedsgrad
′ viser, at stivhedsrelationen er opskrevet i lokale koordinater
(Q.1) kan skrives p˚a kort form ved (Q.2).
f e′
= f 0e′
+ K e′
· a e′
u ′
1
u ′
2
u ′
3
u ′
4
u ′
5
u ′
6
⎤
⎥
⎦
(Q.1)
(Q.2)
Elementstivhedsrelationen for element 1 i lokale koordinater, se figur Q.2, er givet
ved (Q.3), idet længden l er 5 m.

⎡
⎢
⎣
P ′
1
P ′
2
P ′
3
P ′
4
P ′
5
P ′
6
⎤1
⎥
⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎣
Figur Q.2: Lokale frihedsgrader for element nr. 1.
0
−25
−20,8
0
−25
20,8
⎤
⎡
⎥
⎦ +
⎢
⎣
idet der er brugt modsat fortegnsregning i f 0e′
20000 0 0 −20000 0 0
0 0,384 0,96 0 −0,384 0,96
0 0,96 3,2 0 −0,96 1,6
−20000 0 0 20000 0 0
0 −0,384 −0,96 0 0,384 −0,96
0 0,96 1,6 0 −0,96 3,2
i forhold til (Q.1).
⎤
⎥
⎦ ·
⎡
⎢
⎣
u ′
1
u ′
2
u ′
3
u ′
4
u ′
5
u ′
6
⎤
169
⎥ (Q.3)
⎥
⎦
Element 2, se figur Q.3, har en længde p˚a l = √ 3 2 + 4 2 = 5 m, hvormed elementstivhedsrelationen
er givet ved (Q.4).
⎡
⎢
⎣
P ′
1
P ′
2
P ′
3
P ′
4
P ′
5
P ′
6
⎤2
⎥
⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎣
Figur Q.3: Lokale frihedsgrader for element nr. 2.
20000 0 0 −20000 0 0
0 0,384 0,96 0 −0,384 0,96
0 0,96 3,2 0 −0,96 1,6
−20000 0 0 20000 0 0
0 −0,384 −0,96 0 0,384 −0,96
0 0,96 1,6 0 −0,96 3,2
⎤
⎥
⎦ ·
⎡
⎢
⎣
u ′
1
u ′
2
u ′
3
u ′
4
u ′
5
u ′
6
⎤
⎥
⎦
(Q.4)

170 Elementmetoden
Elementernes stivhedsrelation i globale koordinater
Elementstivhedsrelationerne skal omskrives fra lokale til globale koordinater. Dette
sker ved at transformere stivhedsrelationerne med den geometriske transformation
(Q.5).
hvor
K e = G T K e′
G (Q.5)
G er transformationsmatricen, der for bjælkeelementer er givet ved (Q.6).
⎡
⎢
G = ⎢
⎣
cos θ sin θ 0 0 0 0
−sin θ cos θ 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos θ sin θ 0
0 0 0 −sin θ cos θ 0
0 0 0 0 0 1
⎤
⎥
⎦
(Q.6)
Dermed kan stivhedsmatricen K e 2 for element 2 omregnes til globale koordinater,
idet vinklen θ = 53 ◦ :
⎡
K e ⎢
2 = ⎢
⎣
7200 9600 −0,768 −7200 −9600 −0,768
9600 12800 0,576 −9600 −12800 0,576
−0,768 0,576 3,2 0,768 −0,576 1,6
−7200 −9600 0,768 7200 9600 0,768
−9600 −12800 −0,576 9600 12800 −0,576
−0,768 0,576 1,6 0,768 −0,576 3,2
Stivhedsmatricen K e 1 for element 1 er identisk med K e′
1 (Q.3), da de lokale koordinater
er identiske med de globale koordinater. I Calfem benyttes funktionen beam2e
til at opstille stivhedsmatricen for bjælken.
Den lokale nummering af frihedsgraderne erstattes med globale koordinater, hvormed
elementernes stivhedsrelationer kan opstilles i globale koordinater. Dette kan skrives
p˚a kort form som (Q.7).
f e = K e · a (Q.7)
⎤
⎥
⎦

171
Da der er indført et indre charnier mellem de to elementer, skal bjælkeenderne
nødvendigvis ikke have samme rotation. Dermed er de ikke fælles om rotationsfrihedsgraden,
hvorfor der indføres en ekstra rotationsfrihedsgrad, s˚aledes at der bliver
én for hver af de to elementer. Dette fremg˚ar af figur Q.4, hvor frihedsgrad 6 og 7
ikke er ens.
Stivhedsrelationen for element 1 i globale koordinater, som det ses p˚a figur Q.4,
bliver dermed:
⎡
⎢
⎣
P1
P2
P3
P4
P5
P6
⎤1
⎥
⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎣
0
−25
−20,8
0
−25
20,8
⎤
⎡
⎥
⎦ +
⎢
⎣
20000 0 0 −20000 0 0
0 0,384 0,96 0 −0,384 0,96
0 0,96 3,2 0 −0,96 1,6
−20000 0 0 20000 0 0
0 −0,384 −0,96 0 0,384 −0,96
0 0,96 1,6 0 −0,96 3,2
Figur Q.4: Globale frihedsgrader for element nr. 1 og nr. 2.
⎤
⎡
⎥
⎦ ·
⎢
⎣
Stivhedsrelationen for element 2 i globale koordinater, som det ses p˚a figur Q.4,
bliver dermed:
⎡
⎢
⎣
P1
P2
P3
P4
P5
P6
⎤2
⎥
⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎣
7200 9600 −0,768 −7200 −9600 −0,768
9600 12800 0,576 −9600 −12800 0,576
−0,768 0,576 3,2 0,768 −0,576 1,6
−7200 −9600 0,768 7200 9600 0,768
−9600 −12800 −0,576 9600 12800 −0,576
−0,768 0,576 1,6 0,768 −0,576 3,2
⎤
⎡
⎥
⎦ ·
⎢
⎣
u8
u9
u10
u4
u5
u7
⎤
⎥
⎦
u1
u2
u3
u4
u5
u6
⎤
⎥
⎦

172 Elementmetoden
Konstruktionens stivhedsrelation
De to elementstivhedsrelationer ekspanderes, s˚aledes alle frihedsgrader indg˚ar i ligningssystemerne.
Dette udføres vha. funktioen assem i Calfem.
For element nr. 1:
⎡ ⎤1
⎡ P1
P2 ⎢ ⎥ ⎢
⎢ P3 ⎥ ⎢
⎢ P4 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢ P5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ = ⎢
⎢ P6 ⎥ ⎢
⎢ 0 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣ 0 ⎦ ⎣
0
0
⎡
⎢
+ ⎢
⎣
0
−25
−20,8
0
−25
20,8
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦
P˚a kort form som (Q.8).
20000 0 0 −20000 0 0 0 0 0 0
0 0,384 0,96 0 −0,384 0,96 0 0 0 0
0 0,96 3,2 0 −0,96 1,6 0 0 0 0
−20000 0 0 20000 0 0 0 0 0 0
0 −0,384 −0,96 0 0,384 −0,96 0 0 0 0
0 0,96 1,6 0 −0,96 3,2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ · ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
f ee
1 = f 0ee
1 + K ee
1 · a (Q.8)
For element nr. 2:
⎡
⎢
⎣
0
0
0
P1
P2
0
P3
P4
P5
P6
⎤2
⎥
⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎣
P˚a kort form som (Q.9).
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 7200 9600 −0,768 −7200 −9600 −0,768
0 0 0 0 9600 12800 0,576 −9600 −12800 0,576
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 −0,768 0,576 3,2 0,768 −0,576 1,6
0 0 0 0 −7200 −9600 0,768 7200 9600 0,768
0 0 0 0 −9600 −12800 −0,576 9600 12800 −0,576
0 0 0 0 −0,768 0,576 1,6 0,768 −0,576 3,2
⎤
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
u10
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ · ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
⎥
⎦
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
u10
⎤
⎥
⎦

173
f ee
2 = K ee
2 · a (Q.9)
Konstruktionens knuder fritskæres, som det ses p˚a figur Q.5. De ydre kræfter og
elementkræfter med modsat fortegn p˚asættes knuder. Der opstilles 10 ligevægtsligninger
— 3 for hver knude samt én der repræsenterer den ekstra ligning, der kommer
ved charnieret — som det fremg˚ar af (Q.10):
Figur Q.5: Konstruktionen med fritsk˚arne knuder, der er p˚avirket af ydre kræfter og
elementkræfter.
⎡
⎢
⎣
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
P1
P2
P3
P4
P5
P6
0
0
0
0
⎤1
⎥
⎦
⎡
⎢
+ ⎢
⎣
0
0
0
P1
P2
0
P3
P4
P5
P6
⎤2
Ligevægten skrives p˚a kort form som (Q.11).
f = f ee
1 + f ee
2
Ved indsættelse af (Q.8) og (Q.9) i (Q.11) f˚as:
⎥
⎦
(Q.10)
(Q.11)

174 Elementmetoden
f = K ee
1 · a + f 0ee
1 + K ee
2 · a
Dermed kan konstruktionens stivhedsrelation skrives som:
hvor
f = f 0ee
1 + K · a
K = K ee
1 + K ee
2
Dermed kan K findes ved at addere de to elementstivhedsmatricer, hvormed konstruktionens
stivhedsrelation opskrives:
⎡
⎢
⎣
⎢
+ ⎢
⎣
⎡
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
⎡
⎢
· ⎢
⎣
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
−25
−20,8
0
−25
20,8
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦
20000 0 0 −20000 0 0 0 0 0 0
0 0,384 0,96 0 −0,384 0,96 0 0 0 0
0 0,96 3,2 0 −0,96 1,6 0 0 0 0
−20000 0 0 27200 9600 0 −0,768 −7200 −9600 −0,768
0 −0,384 −0,96 9600 12800 −0,96 0,576 −9600 −12800 0,576
0 0,96 1,6 0 −0,96 3,2 0 0 0 0
0 0 0 −0,768 0,576 0 3,2 0,768 −0,576 1,6
0 0 0 −7200 −0,96 0 0,768 7200 9600 0,768
0 0 0 −0,96 −12800 0 −0,576 9600 12800 −0,576
0
⎤ u1
0 0 −0,768 0,576 0 1,6 0,768 −0,576 3,2
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
u10
⎥
⎦
De ydre kræfter er givet i f-vektoren:
⎤
⎥
⎦

⎡
⎢
f = ⎢
⎣
F1
F2
F3
0
−100
0
0
F8
F9
F10
⎤
⎥
⎦
175
Randbetingelser indføres nu i systemet. P˚a grund af understøtningerne er følgende
flytninger givet:
u1 = u2 = u3 = u8 = u9 = u10 = 0
Ved indsættelse af randbetingelserne og de ydre kræfter kan konstruktionens stivhedsrelation
løses vha. funktionen solveq. Dette giver følgende reaktioner og flytninger:
og
⎡
⎢
⎣
⎡
⎣
F1
F2
F3
F8
F9
F10
u4
u5
u6
u7
⎤
⎡
⎥
⎦ =
⎢
⎣
⎤
⎡
⎦ = ⎣
−89,1
31,3
31,3
89,1
118,7
−0,005
44,5
−126,2
65066,3
33,4
⎤
⎥
⎦
⎤
⎦ · 10 −4
Den deformerede konstruktion kan ses p˚a figur Q.6.
Snitkræfter
Ved bestemmelse af snitkræfterne benyttes (Q.2). Denne omskrives, idet (Q.12) er
gældende.

176 Elementmetoden
a e′
= G · a e
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
Indsættes (Q.12) i (Q.2) er:
f e′
= f 0e′
1
0 1 2 3 4 5
Figur Q.6: Deformationer p˚a konstruktionen (Ej m˚alfast).
+ K e′
Ga e
2
(Q.12)
Dermed er elementkræfterne i lokale koordinater udtrykt ved knudeflytningerne i
globale koordinater. Som det fremg˚ar af figur Q.7 er elementkræfterne i lokale koordinater
i bjælkeenderne egentlig snitkræfter, dog med anden fortegnsregning.
Snitkræfternes variation genem bjælkerne bestemmes i Calfem ved bjælkens differentialligninger.
Dette gøres ved funktionen beam2s, der er gældende for bjælker.
Snitkræftskurverne for konstruktionen er vist p˚a figur Q.8, Q.9 og Q.10.
Herefter gennemg˚as inputfilen for eksemplet.
1 % Eksempel p˚a elementmetoden fra bilaget.
2 % Bestemmelse af knudeflytninger, reaktioner og snitkræfter.
3

4 % Laster:
Figur Q.7: Lokale elementkræfter som snitkræfter, illustreret med element 2.
5 F=100 % kN - Punktlasten
6 q=10 % kN/m - Linielasten
7
8 % Elementernes placering i konstruktionen ved topologimatricen Edof:
9 Edof=[1 1 2 3 4 5 6
10 2 8 9 10 4 5 7];
11 % Første element i hver række angiver element nr., de øvrige
12 %angiver elementendernes frihedsgrader med global nummerering.
13
14 % Koordinater i hhv. x- og y-retningen [m]:
15 ex=[0 5;5 2];
16 ey=[4 4;4 0];
17
18 % Konstruktionen plottes vha. funktionen eldraw2:
19 figure(1)
20 clf
21 eldraw2(ex,ey,[1 2 1],Edof(:,1))
22
23 % Da systemet har 10 frihedsgrader bliver stivhedsmatricen en
24 % 10x10-matrix, K. Denne etableres i første omgang som en tom matrix
25 % vha. funktionen zeros:
26 K=zeros(10,10);
27
28 % Lastvektoren, f, etableres ligeledes som en tom matrix:
29 f=zeros(10,1); % 10 rækker og 1 søjle
30
31 % Punktlasten placeres p˚a konstruktionen og indsættes i f-matricen:
32 f(5)=-F;
177

178 Elementmetoden
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Normalkraftskurve
0
0 1 2 3 4 5
Figur Q.8: Normalkraftskurve for konstruktionen (Ej m˚alfast).
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Forskydningskraftskurve
0
0 1 2 3 4 5 6
Figur Q.9: Forskydningskraftskurve for konstruktionen (Ej m˚alfast).
5
4
3
2
1
0
Momentkurve
−1
0 1 2 3 4 5 6
Figur Q.10: Momentkurve for konstruktionen (Ej m˚alfast).

33
34 % Element proportionerne E, A og I opskrives:
35 E=2.0*10^8; % E-modul [kN/m^2]
36 A=5.0*10^-4; % Areal [m^2]
37 I=2.0*10^-8; % Inertimoment [m^4]
38
39 % Disse gemmes i ep:
40 ep=[E A I];
41
42 % Linielaster p˚a konstruktionen:
43 eq=[0 -q];
44 % I dette tilfælde er der ingen linielaster i x-retningen,
45 % derfor 0. Da nedadrettet last i y-retningen (-).
46
47 % Elementstivhedsmatricerne Ke etableres i globale koordinater:
48 [Ke1,fe1]=beam2e(ex(1,:),ey(1,:),ep,eq)
49 Ke2=beam2e(ex(2,:),ey(2,:),ep)
50
51 % ke indsættes i K:
52 [K,f]=assem(Edof(1,:),k,ke1,f,fe1)
53 K=assem(Edof(2,:),k,ke2)
54
55 % Randbetingelser:
56 bc=[1 0;2 0;3 0;8 0;9 0;10 0];
57
179
58 % Knudeflytningerne a og reaktionerne Q kan nu bestemmes med funktionen
59 % solveq:
60 [a,Q]=solveq(K,f,bc)
61
62 % Flytningerne plottes vha. funktionen eldisp2:
63 ed=extract(Edof,a);
64
65 eldisp2(ex,ey,ed,[2 4 0])
66
67 % Snitkræfter bestemmes vha. funktionen beam2s:
68
69 % Momentkurven optegnes:
70 figure(2)
71 clf
72 sfac=10^-1.5;
73 for i=1:2;
74 [es,edi,eci]=beam2s(ex(i,:),ey(i,:),ep,ed(i,:),eq,15)

180 Elementmetoden
75 eldia2(ex(i,:),ey(i,:),es(:,3),[3 1],sfac)
76 end
77 grid on
78 title(’Momentkurve’)
79
80 % Forskydningskraftskurven optegnes:
81 figure(3)
82 clf
83 sfac=10^-1.5;
84 for i=1:2;
85 [es,edi,eci]=beam2s(ex(i,:),ey(i,:),ep,ed(i,:),eq,15)
86 eldia2(ex(i,:),ey(i,:),es(:,2),[2 1],sfac)
87 end
88 grid on
89 title(’Forskydningskraftskurve’)
90
91 % Normalkraftskurven optegnes:
92 figure(4)
93 clf
94 sfac=10^-2;
95 for i=1:2;
96 [es,edi,eci]=beam2s(ex(i,:),ey(i,:),ep,ed(i,:),eq,15)
97 eldia2(ex(i,:),ey(i,:),es(:,1),[1 1],sfac)
98 end
99 grid on
100 title(’Normalkraftskurve’)
101
102 % I ’es’ kan snitkræfterne aflæses henover elementet.
103 % ’edi’ beskriver flytninger varierende gennem elementet.