teoretisk og empirisk teoretisk og empirisk undersøgelse af ...

TEORETISK TEORETISK TEORETISK OG OG EMPIRISK EMPIRISK UNDERSØGELSE UNDERSØGELSE UNDERSØGELSE AF
AF
MODELLER MODELLER MODELLER FOR FOR RISIKOJUSTERING RISIKOJUSTERING I
I
VÆRDIFASTSÆTTELSE
VÆRDIFASTSÆTTELSE
A A A THEORETICAL THEORETICAL THEORETICAL AND AND AND EMPIRICAL EMPIRICAL EMPIRICAL STUDY STUDY STUDY OF OF
OF
MODELS MODELS MODELS OF OF OF RISK RISK RISK IN IN IN VALUATION
VALUATION
VALUATION
AF
JESPER JESPER DAHL
DAHL
[Årskortnr.: 20021118]
Vejleder
Professor Peter Ove Christensen
Århus Universitet
Institut for Økonomi
Fagområde: Finansiering
Afleveringsdato: 31.08.07
Afhandlingen må offentliggøres

Indhold
1 Abstract 3
2 Indledning 4
3 Asset Pricing teori 6
3.1 Enkelt-periode model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 Elementer i modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.2 Ingen arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.3 Individuel optimalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4 Markedsligevægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.5 Diverse repræsentationer af ingen arbitrage priser . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.6 Effektivt komplette markeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Flér-periode model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Ingen arbitrage i flér-periode model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Individuel optimalitet i flér-periode model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Markedsligevægt i flér-periode model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Repræsentation af ingen-arbitrage priser for flér-periode model . . . . . . . . . 25
3.2.5 Effektivt komplette markeder i flér-periode model . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Pricing Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Yderligere bemærkninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Residual Indkomst modellen 30
5 Modeller for risikojustering 32
5.1 Standardmetode til fastsættelse af markedspriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1 Den klassiske CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.2 Standard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Christensen & Feltham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.1 Grundlæggende antagelser og regnskabs-værdi relation . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.2 Den regnskabsbaserede flér-perioders værdifastsættelsesmodel . . . . . . . . . . 35
5.2.3 Den regnskabsbaserede model med exponentiel nyttefunktion . . . . . . . . . . 37
5.2.4 VAR-model med negativ eksponentiel nytte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Shroff & Nekrasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.1 Motivation for benyttelse af regnskabstal i risikojustering . . . . . . . . . . . . 42
5.3.2 Teoretisk udledning af model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Diskussion af modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Empiri 48
6.1 Datamateriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Estimation af modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Estimation af risikofrie værdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.2 CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1

6.2.3 Risikojustering i Christensen & Feltham modellen . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.4 Risikojustering i Shroff & Nekrasov modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Opsummering af empirisk undersøgelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Udvidelse til Christensen & Feltham modellen 66
8 Konklusion 70
9 Appendiks 71
9.1 Appendiks A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.1.1 A1. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.1.2 A2. Ingen arbitrage og eksistens af eventpris-vektor . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.1.3 A3. Riesz’ repræsentations teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.1.4 A4. HARA nyttefunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.1.5 A5. HARA partnerskabsnyttefunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.1.6 A6. Betingelser på HARA nyttefunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.1.7 A7. Lineære faktormodeller og eventpris deflatorer . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.1.8 A8. Udledning af Residual Indkomst modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.1.9 A9. Udledning af CAPM på afkast-form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.10 A10. Christensen & Feltham model for nulkuponobligationspriser . . . . . . . . 76
9.1.11 A11. Udledning af Shroff & Nekrasov risikojustering . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Appendiks B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2.1 B1. Sample-virksomheder fra S&P 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2.2 B2. Forholdet mellem risikofrie nutidsværdi og markedskurser . . . . . . . . . . 79
9.2.3 B3. Fittede og faktiske racc-serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2.4 B4. SAS programkode til estimation af racc- og ReNA-processer . . . . . . . . 80
10 Referencer 82
2

1 Abstract
This paper 1 surveys two new models of the valuation of equity, and in particular to the measurement
of risk premia. The basis for evaluation of the models is the classical Asset Pricing theory and an
empirical implementation of the models on a sample of companies. Furthermore, the classic CAPM
is used as a benchmark.
It is found that the most widely applied model in practice, the CAPM, rests on a set of very
strong and unreasonable assumptions. Due to its applicability and fairly acceptable results it is,
however, hard to discard the model. The model presented by Shroff & Nekrasov seeks to be both
theoretically correct and implementable. In the end, however, this model too rests on quite strong
assumptions. Promising results of the model, though, underline the use of accounting numbers as
a serious alternative to the traditional return-based models. The model proposed by Christensen
& Feltham, although theoretically superior compared to the other models, has severe problems in
implementation and in its ability to describe risk attributable to different companies. Nevertheless,
this seems, to a large extent, to be caused by poor quality of consumption-data, which has previously
been pointed out in the literature. But even though the road to a practically feasible model in this
case seems long and dreary, solutions and possible extensions are in abundance.
Hence, the perspectives on improving the measurement of risk in valuation based on the new
suggestions are indeed positive.
1 I would like to thank David Skovmand, Martin Andreasen & Peter Ove Christensen for valuable discussions and
helpful advices.
3

2 Indledning
Værdifastsættelse af finansielle aktiver har optaget økonomer i mange år, og listen af artikler og bøger,
dette emne har kastet af sig, er alenlang. På trods af den intensive forskning, der har bragt vores
forståelse langt frem, er der dog stadig mange uopklarede spørgsmål. Prisfastsættelsen i markedet for
værdipapirer er en kompleks proces, bestående af psykologiske og økonomiske faktorer samt skiftende
signaler. Dertil kommer, at det selvfølgelig er krydret med usikkerhed. Samtidig med, at de teoretiske
udfordringer hober sig op, er der ligeledes en lang række praktiske, der skal tages højde for. At man
ikke er nået til en endegyldig model, eller enighed omkring hvad der er den rigtige tilgang, er derfor
ikke mærkeligt.
At området er kompliceret gør det kun endnu mere vigtigt at prøve at forstå de underliggende
mekanismer. Alene det at opnå forståelse for værdifastsættelsen af en virksomhed, er enormt inter-
essant og godt at have med i den økonomiske værktøjskasse, men samtidig har det stor genklang
i den virkelige verden. Der kan nævnes flere eksempler på dette; kapitalmarkederne har brug for
at analysere risici forbundet med lån til forskellige virksomheder. Investorer, der ønsker at placere
deres penge har brug for værktøj til at vurdere afkastmuligheder og risici. Virksomhederne har desu-
den selv et behov for risikostyring. Vigtigheden af at udvikle og udfordre nuværende metoder for
værdifastsættelse af risici bør derfor ikke undervurderes.
Værdifastsættelse kan ses som en to-delt proces; den ene består i en strategisk analyse af virk-
somheden og dens omgivelser samt en regnskabsanalyse med henblik på at bestemme de fremtidige
indtægter. Den anden, der er det overordnede emne i denne opgave, består i at bestemme, hvilken
værdi der skal til- eller fralægges, når der tages højde for den risiko, der er forbundet med investering i
den. Selvom førstnævnte naturligvis er vigtig, betyder forskelle i fremtidige estimater sjældent meget
for den endelige værdisættelse, der derimod generelt er ekstremt følsom overfor parametre estimeret
til måling af risiko. Tiltro til den anvendte model for risiko er derfor nødvendig, for at kunne stå inde
for værdifastsættelsesresultaterne.
Denne opgave omhandler mere præcist to artikler, der beskæftiger sig med værdifastsættelse
på hver deres facon. Begge tilbyder et utraditionelt bud på, hvordan der kan tages højde for den
risiko, der er forbundet med investering i aktier. Den første er et working paper af Christensen &
Feltham, der som noget særligt udleder information af nulkuponrentestrukturen, der modsat andre
finansielle aktiver kan måles ret præcist. Samtidig indtager regnskabstal en fremtrædende rolle i
risikojusteringen. Den anden artikel af Shroff & Nekrasov omhandler ligeledes muligheden for at
benytte regnskabstal som basis for risikojustering. En væsentlig del af det nye i de to artikler er derfor,
på forskellig vis, at anvende den information, der residerer i regnskabstallene - en oplagt mulighed,
der har været stort set tilsidesat indtil nu. De to artiklers modeller adskiller sig desuden fra normen
ved at foretage risikojusteringen i et særskilt led og ikke gennem justering af diskonteringsfaktoren.
Samlet set er formålet med denne opgave dermed at foretage en vurdering af, hvorvidt de mo-
deller, der fremstilles i ovenstående artikler, forbedrer det nuværende grundlag for korrekt værdifast-
sættelse.
For at skabe en klar forståelse af hvordan værdien af et aktiv teoretisk kan bestemmes, tages
4

udgangspunkt i den klassiske Asset Pricing teori. Denne vil således danne ramme for en del af vur-
deringen af modellerne præsenteret i artiklerne. Efter Asset Pricing teori udledes Residual Indkomst
modellen, der er en omskrivning af den sædvanlige dividende model. Residual Indkomst formen har
en række fordele, hvorfor den benyttes i resten af opgaven.
Foruden gennemgangen af de to modeller allerede nævnt er inkluderet en model, der foretager
risikojusteringen gennem den klassiske CAPM, der er tænkt som sammenligningsgrundlag for de nye
modeller. Den klassiske CAPM er i praksis så udbredt, at den er det oplagte valg som basis for en
sammenligning. På baggrund af gennemgangen diskuteres fordele og ulemper ved modellerne i et
teoretisk perspektiv.
Anden del af vurderingen beror på en empirisk undersøgelse. Udover den teoretiske behandling er
således trukket en sample af virksomheder, for at undersøge hvordan modellerne kan implementeres,
og hvorvidt de er i stand til at værdifastsætte. Dette kan give et yderligere indblik i og en prak-
tisk vinkel på eventuelle fordele og ulemper forbundet med den ene eller anden model. Indholdet
af det empiriske kapitel vil være en gennemgang af estimationsmetoder, samt diskussion af værdi-
fastsættelsesresultaterne og deres betydning. Som opfølgning herpå diskuteres en mulig udvidelse af
Christensen & Feltham modellen ved habit-formation.
Sluttelig konkluderes på den teoretiske og den empiriske gennemgang, og bud på retninger for
fremtidig forskning gives.
Der vil undervejs optræde enkelte beviser i teksten, men ofte vil der dog udelukkende henvises til
et resultat, da et eventuelt bevis vil blive for omfattende og irrelevant for opgaven som helhed. Alle
resultater fra det empiriske afsnit er at finde i Excel-arket på vedlagte CD-ROM.
5

3 Asset Pricing teori
I denne sektion gennemgås Asset Pricing teori med henblik på at opnå et solidt teoretisk grundlag for
værdifastsættelse af virksomheder. Samtidig vil det blive gjort klart, at teorien tilbyder en samlende
ramme for Asset Pricing modeller, hvilket giver muligheden for en bedre diskussion af de tilgange til
værdifastsættelse, der inddrages i denne opgave. Gennemgangens omdrejningspunkt er hovedsageligt
kapitler fra bogen Economics of Accounting: Volume I - Information in Markets (2003) af Christensen
& Feltham, men inspiration er ligeledes hentet i Cochrane (2005) og notat af Munk (2006), der
behandler samme emner.
Den overordnede opbygning af afsnittet er først en gennemgang af værdifastsættelse ud fra en
relativ simpel enkelt-periode model, der på en mere overskuelig vis redegør for principperne i værdi-
fastsættelse. Ikke desto mindre er enkelt-periode modellen ikke særlig virkelighedstro, hvorfor resul-
taterne efterfølgende generaliseres til en flér-perioders model.
Karakteriseringen af priser på værdipapirer foregår ved trinvist at pålægge restriktionerne ingen-
arbitrage, individuel optimalitet og markedsligevægt og kommentere på effekten heraf 2 .
Indledningsvis redegøres for elementerne i modellen, der med enkelte undtagelser følger samme
notation som i Christensen & Feltham (2003) 3 .
3.1 Enkelt-periode model
3.1.1 Elementer i modellen
Det antages, at markedet er under fuldkommen konkurrence og investorerne i økonomien er dermed
pristagere. Valget af sammensætningen af deres individuelle porteføljer foregår ved optimering af
den forventede nytte under de givne priser. Samtidig pålægges det, at de kun vil handle såfremt det
forventede afkast heraf er mindst lige så højt som ved ikke at gennemføre handlen. Investorerne kan
derfor siges at være karakteriserede ved individuel optimalitet og individuel rationalitet. I økonomien
er der I investorer, for hvilke ovenstående antagelser gør sig gældende. Udover dette, er det værd at
bemærke, at der ikke stilles begrænsninger på den funktionelle form. Resultaterne her vil derfor altid
være gældende 4 .
Hvordan de enkelte investorer opfatter den fremtidige usikkerhed kan opsummeres ved deres
sandsynlighedsrum: {S, Ξ, Pi} , i = 1, ..., I, hvor S indeholder alle mulige realisationer af (et endeligt
antal) states, medens Ξ er en opdeling af states i undersæt benævnt events, for hvilke, der kan
tillægges en sandsynlighed. For samlingen af events, Ξ, gælder det derfor, at de enkelte undersæt
er gensidig udelukkende og udtømmer states-sættet. States og events er fælles for alle investorer. Pi
er derimod investor i ′ s personlige vurdering af sandsynlighedsfordelingen over events, investorerne
har altså som udgangspunkt heterogene forventninger til fremtiden 5 . Det må dog antages, at alle
tillægger sandsynligheden 0 til de samme events, for at undgå infinite side-betting.
2 Der ses bort fra effekten af skatter og transaktionsomkostninger.
3 En samlet oversigt over den matematiske notation, der er brugt gennem opgaven, er kort beskrevet i appendiks A1.
4 Se eksempelvis Munk (2006) for en gennemgang af grundsætninger og krav for nyttefunktioner.
5 Der vil senere være situationer, hvor homogene forventninger er mere bekvemt.
6

I første periode (t = 0) har investorerne kun deres subjektive sandsynligheder, men i anden
periode modtages oplysninger om hvilken event, der er indtruffet fra et informationssystem af typen
η : S → Y . Sættet af signaler Y er partitioneringen af sættet af states i M mulige events, dvs.
Y ∈ {y1, ..., yM}, for hvilke hver investor i på t = 0 tillægger sandsynlighederne φ i (ym) > 0, m =
1, ..., M. For ikke at skulle behandle asymmetrisk information har alle investorer adgang til det samme
informationssystem.
I økonomien er der J værdipapirer, der betaler dividende på tidspunkt t = 1, hvis størrelse er
afhængig af hvilken event (og dermed state) der opstår. States indeholdt i samme event fører derfor
til samme udfald for aktiver og variable af betydning for disse, hvorfor dividender kan udtrykkes som
en funktion af de pågældende events ved dj(ym) ∈ R.
Værdipapir j er kendetegnet ved en M × 1 vektor med dividender for de M events, dj =
{dj (ym)} m=1,...,M og markedsværdi vj. Alle økonomiens værdipapirer kan derfor opsummeres ved
følgende J × M matrice, D, og J × 1 matrice, v, indeholdende henholdsvis eventafhængige dividen-
der og markedsværdier,
D
J×M =
⎡
d1 (y1)
⎢
⎢d2
(y1)
⎢ .
⎢
⎣ .
d1 (y2)
. ..
· · ·
. ..
· · ·
. ..
⎤
d1 (yM)
⎥
.
⎥
.
⎥ ,
⎥
.
⎥
⎦
dJ (y1) · · · · · · · · · dJ (yM)
v
J×1 =
′
v1 v2 · · · · · · vJ .
Hver investor vælger på tidspunkt t = 0 en kombination af de J værdipapirer i deres portefølje
zi ∈ R J , hvor zj er antallet af værdipapir j, hvorved
z
J×1 =
′
z1 z2 · · · · · · zJ .
Markedsværdien af porteføljen kan derfor findes som v′z, medens den eventbetingede dividende-
vektor er givet ved M × 1 vektoren D′z. En fordel ved et endeligt antal states er, at lineær algebra
kan tages i brug. Så længe dividender med videre begrænses til diskrete variable, er et endeligt sæt
af states på ingen måde restriktivt, når det inkluderer alle mulige udfald af variable, der påvirker
værdien af aktiver. Formuleringen i states og events gør det muligt at konkretisere og dermed lette
arbejdet med den usikkerhed, der uomtvisteligt er en del af markedet for værdipapirer.
Efter denne introduktion af modellens elementer er næste skridt at etablere en sammenhæng
mellem dem.
3.1.2 Ingen arbitrage
Det virker åbenlyst, at der må være en sammenhæng mellem prisen på et værdipapir og strømmen af
tilhørende dividender. Midlet til at etablere denne er at pålægge restriktionen ingen-arbitrage. Men
hvad er en arbitrage, og hvorfor skal det udelukkes?
7

En arbitrage kan defineres som en portefølje z ∈ R J , hvor v ′ z ≤ 0 og D′z > 0, eller alternativt
hvor v ′ z < 0 og D′z ≥ 0. I ord betyder det henholdsvis en portefølje, der kan rekvireres gratis, eller
hvor der modtages et beløb, men samtidig giver en positiv dividende i mindst én event og 0 i resten,
og henholdsvis en portefølje, hvor der modtages et beløb for at rekvirere denne, med et ikke negativt
afkast i alle events. Kort fortalt, en arbitrage vil sige, at der modtages noget på tidspunkt t = 0 eller
t = 1 for ingenting.
En ligevægt kan for det første ikke nås, hvis der er arbitrage-muligheder. Eksisterer en portefølje
således, at det er muligt at få noget for ingenting, som ovenfor skitseret, vil investorerne på grund
af antagelse om umættelighed benytte dette ved at ændre deres porteføljer i det uendelige for at
udnytte arbitrage-muligheden, da flere dividender frem for færre stiller dem bedre. Af denne grund vil
investorerne ikke kunne handle sig frem til et punkt, der ikke kan forbedre deres situation yderligere,
hvilket er ensbetydende med, at markedet ikke vil nå en ligevægt. Ingen-arbitrage restriktionen må
derfor som en naturlig følge heraf være opfyldt. For det andet har ingen arbitrage-muligheder en
betydning for markedspriser og dividender, der kan sammenfattes ved følgende:
Theorem 1 Der er ingen arbitrage hvis og kun hvis der eksisterer en eventpris-vektor p ∈ R M ++ ,
således at
og omvendt
v = Dp. (1)
Theorem 2 En eventpris-vektor p ∈ R M ++, hvor v = Dp, eksisterer hvis og kun hvis priserne ikke
tillader arbitragemuligheder 6 .
Pålæggelse af ingen-arbitrage restriktionen medfører dermed, at markedsværdien på t = 0 for
værdipapir j kan ses som summen af betingede dividender gange eventpriser, vj = M
m=1 dj (ym) p (ym),
j = 1, 2, ..., J 7 . De M eventpriser i p kan fortolkes som skyggepriserne eller de marginale omkost-
ninger for at få én enhed dividende mere i de tilsvarende events 8 . Det vil sige, at et værdipapir, der
betaler én monetær enhed mere, i forhold til et ellers præcist magen til, hvis event ym indtræffer, vil
være prissat p (ym) højere. Heraf følger endvidere, at p nødvendigvis må være strengt positiv.
Én ting er at have fastslået betingelserne for eksistensen af en eventpris-vektor, men p vil kun
være unik, ifald markedet er komplet. Et marked for værdipapirer siges at være komplet, når det
er muligt ved hjælp af de eksisterende værdipapirer at skabe en hvilken som helst event-afhængig
dividendebetaling. Den tekniske betingelse for dette er, at rangen af dividende-matricen D skal
være lig antallet af events, hvilket betyder, at der er lige så mange lineært uafhængige dividende-
vektorer som events. Dette gælder ligeledes, når antallet af værdipapirer J > M, da ingen-arbitrage
6
Dette kan vises ud fra et logisk argument og The Separating Hyperplane Theorem, se appendiks A2 for beviser.
7
Den lineær sammenhæng kan også etableres ved hjælp af Loven om en pris, men fravær af arbitrage indebærer, at
loven om en pris holder.
8
Eventpriser (eller statepriser) er ligeledes kendt som Arrow-Debreu priser, da de oprinder fra pionerarbejdet af K.
Arrow (1951, 1953, 1954) og G. Debreu (1954).
8

estriktionen sikrer, at de ekstra værdipapirer blot er lineære kombinationer af de første M, da
rummet af dividender spænder over R M . Det vil sige, at de er redundante i forhold til de første M,
da de kan skabes som lineære kombinationer herfra. For et færre antal værdipapirer end events, det
vil sige færre ligninger end ubekendte, er der dog et uendeligt antal løsninger til eventpris-vektoren,
der kan opfylde sammenhængen i (1), og dermed kan p ikke identificeres. Et komplet marked er i
andre henseender tilmed et krav, hvorfor der vendes tilbage til dette punkt senere.
Under antagelse af ingen arbitrage og komplette markeder er (D ′ D) ikke-singular, og derved kan
den unikke eventpris-vektor bestemmes ved at prikke (1) med (D ′ D) −1 D ′ på begge sider, sådan at
p = D ′ D −1 D ′ v.
Komplette markeder medfører som allerede påpeget, at enhver dividende matrice kan konstrueres
ved hjælp af økonomiens værdipapirer. For J > M vil en given dividende vektor kunne konstrueres
på flere måder, men vil på grund af ingen arbitrage have én pris, idet værdien af porteføljen v ′ z =
(Dp) ′ z = p ′ D ′ z = p ′ d ′ , jævnfør (1). Det vil sige, at selvom en portefølje med et givet eventafhængigt
payoff ikke er unik, vil dens pris altid være den samme, da det er dividende-vektoren, der prissættes.
Heraf ses det endvidere, at enhver portefølje kan ses som en vægtning, d, af eventpriserne, eller
portefølje af de M event-værdipapirer, som pm, m = 1, ..., M ligeledes kaldes.
Selvom ovenstående giver en ligetil beskrivelse af sammenhængen mellem markedsværdier og div-
idender, er eventpriser stadig blot en teoretisk konstruktion, der ikke umiddelbart giver indsigt og
heller ikke er særlig anvendelig andet end til relativ prisfastsættelse. Eventpriserne er i det foregående
udledt på baggrund af såvel markedsværdier som eventbetingede dividender. Ønskes der en given
dividende-vektor prisfastsat ved hjælp af eventpriserne, forudsætter det derfor, at markedspriserne
allerede er kendte. Interessen samler sig derfor om at få fastslået, hvilke mekanismer der optræder i
eventpriserne og dermed i sidste ende bestemmer markedspriserne. For at kunne identificere event-
priserne er det nødvendigt med yderligere struktur mellem eventpriser og variable, der beskriver
individers ageren i økonomien. Næste afsnit beskriver dette link.
3.1.3 Individuel optimalitet
For at få mere information ud af eventpris-konstruktionen er det først og fremmest vigtigt at komme
til den simple erkendelse, at investorer ikke handler værdipapirer for værdipapirernes skyld. Inve-
storerne interesserer sig derimod for, hvilket forbrug de kan opnå på forskellige tidspunkter og i
forskellige states, da deres nytte afhænger heraf. Dette viser sig at have afgørende betydning for
deres efterspørgsel efter værdipapirer. Med dette in mente indledes med investorerne.
Udover at agere individuelt optimalt og rationelt er de I investorer hver især kendetegnet ved
• event-betingede, strengt positive midler ei ∈ RM ++ til forbrug på tidspunkt t = 1, i form af
dividender fra en ejet portefølje9 ¯zi og løn eller lignende ¯ci,
9 Denne portefølje er bundet, det vil sige, det er ikke muligt, at sælge denne på t=0.
9

ei = D ′ ¯zi + ¯ci.
• En personlig sandsynlighedsfordeling over de M events ϕ i (ym) , m = 1, ..., M.
• En strengt stigende og konkav nyttefunktion defineret på et ikke-negativt forbrug på t = 1
ui : R+ → R, med u ′ i
> 0 og u′′
i
< 0.
Målet for den enkelte investor er at maksimere nytten på t = 1. De tilrådeværende midler i form
af ei resulterer i en given event-betinget forbrugsvektor ci, og dermed et givet niveau af forventet
nytte. Men det kunne eksempelvis tænkes, at en investor foretrak et højere forbrug i bestemte events,
medens et lavere niveau i andre kun ville betyde uvæsentlige fald i forventet nytte. Folk ønsker ikke
for megen usikkerhed omkring deres fremtidige forbrug, så der er en naturlig interesse i at udglatte
forbruget. Denne aversion mod risiko modelleres ved, at investorerne har konkave nyttefunktioner.
Derved er et højere forbrug i events med knaphed langt mere værd i forventet nytte end i perioder
med overflod. Da værdipapirer kan ses som porteføljer af event-værdipapirer, gør de det muligt for
investorerne at flytte forbrug mellem events. Ved at handle i værdipapirer på t = 0 kan derigennem
opnås et andet eventbetinget forbrug ci = D ′ zi + ei, der leder til en højere forventet nytte. Blot
må der stilles den betingelse, at denne portefølje opfylder v ′ z ≤ 0, da investorerne ikke har nogen
pengemidler på t = 0 og derfor ikke kan erhverve en portefølje med en positiv værdi. Investor i’s
valg af portefølje kan derfor beskrives ved løsningen til maksimeringsproblemet
Maksimer
ci∈Ci(ei,v,D)≡{ci|ci=D ′ zi+ei∈RM + , hvor v′ z≤0} Ui (ci)
′
D zi + ei
= Maksimer
zi∈{z∈R J |D ′ zi+ei∈R M + , v′ z≤0} Ui
= Maksimer
zi∈{z∈R J |D ′ zi+ei∈R M + , v′ z≤0}
M
m=1
Dette giver følgende Lagrange problem for investor i,
Li (zi, ζ i, λi) =
ui
J j=1 zijdj
(ym) + ei (ym) ϕi (ym) .
M J [ui j=1
m=1
zijdj
(ym) + ei (ym) ϕi (ym) (2)
J +ζi (ym) j=1 zijdj
J (ym) + ei (ym) ] − λi j=1
Ikke-negativitets betingelse
zijvj
.
portefølje betingelse
Førsteordensbetingelsen af (2) med hensyn til zj for optimal investering i værdipapir j, for j =
1, ..., J, findes som
10

vj =
M
m=1
u ′ i (ci (ym)) ϕ i (ym) + ζ i (ym)
λi
dj (ym) . (3)
Når forbruget i en event nærmer sig nul, går den marginale nytte mod uendelig på grund af
konkaviteten i nyttefunktionen, hvis det antages, at u ′ i (ci) → ∞ for ci → 0. Dermed vil inve-
storerne sammensætte deres porteføljer sådan, at forbruget i alle events er større end nul. Ikke-
negativitetsbetingelsen er derfor ikke bindende, hvorfor ζ i (ym) = 0 og førsteordensbetingelsen istedet
vj =
M
m=1
u ′ i (ci (ym)) ϕ i (ym)
λi
dj (ym) . (4)
Der kan defineres et risikofrit aktiv som værende et, der på t = 1 betaler en dividende på én
enhed i alle events, og derfor på tidspunkt t = 0 har værdien β f ≡ IJ × p = M
m=1 p (ym) (hvor IJ er
en 1 × M vektor med et-taller). Det risikofrie afkast er således R f
1,0 = β f −1 og omvendt er β f lig
den risikofrie diskonteringsfaktor. Under antagelse af, at der eksisterer et risikofrit aktiv kan denne
benyttes til at løse for Lagrange-multiplikatoren ved
β f ′
= Ei u i (ci) /λi ⇔
′
u i (ci) /β f .
λi = Ei
Ved indsættelse i (4) leder dette til, at førsteordensbetingelsen for en investering i værdipapir
j = 1, ..., J kan skrives som
vj = β f
M
m=1
u ′ i (ci (ym)) ϕi (ym)
Ei [u ′ i (ci)]
dj (ym) .
Bemærk, at denne relation holder for hver investor i. Sammenlignes med (1) ses det, at event-
prisernes sammenhæng med investorernes marginale nytte kan skrives som
p ≡ β f
u ′
i (ci (ym)) ϕi (ym)
Ei [u ′ i (ci)]
m=1,...,M
. (5)
Af (5) fremgår det, at investor i’s optimale porteføljevalg indebærer, at eventpriserne afspejler den
tilbagediskonterede forventede nytte af én enheds forbrug mere vægtet med den forventede marginale
nytte. Der er altså et link mellem investorernes marginale nytter og eventpriser. Indtil nu er det
dog stadig investorerne, der tilpasser deres forbrug efter givne priser og samtidig er det ikke blevet
skænket en tanke, hvorvidt markedet er i ligevægt. Næste afsnit retter op på dette.
3.1.4 Markedsligevægt
Optimeringen af investorernes porteføljer med henblik på en højere forventet nytte fra forbrug, ledte
til anskaffelsen af porteføljen z med værdien p ′ D ′ z = p ′ δ ′ ≤ 0. Den eventbetingede dividende-vektor
δ fra optimeringen er således resultatet af handlen i værdipapirer, der flytter dividender mellem
events. Transaktionen kan således ses som handel med eventbetingede dividender ud fra de givne
11

eventpriser.
Ikke desto mindre er alt dette gjort uden hensyntagen til, om markedet er i ligevægt. Et eksempel
på dette er, at en investor med en høj marginal nytte i en bestemt event vil ønske at investere i
værdipapirer, der øger hans forbrug netop der, lige indtil det punkt, hvor (5) er opfyldt. Dette vil
dog være problematisk, hvis der for de givne priser ikke er nok værdipapirer, der kan sikre dette.
En ligevægt for økonomien består af denne grund af en eventpris-vektor p og I portefølje-vektorer
zi,i = 1, ..., I, der opfylder individuel optimalitet og samtidig sikrer, at markedet clearer, det vil sige
• zi ∈ arg max
zi∈{z∈R J |D ′ zi+ei∈R M + ,v′ z≤0}
• I
i=1 zi = 0.
Ui (D ′ zi + ei), i = 1, ..., I
Figur 1 illusterer en økonomi med to investorer og to events, hvor de initiale midler er givet ved
henholdsvis eA (y1, y2) og eB (y1, y2). Den forventede nytte af forbruget i de to events er givet ved de
stiplede kurver. Ved de intiale midler får investor A et meget lavt (højt) forbrug, hvis event y2 (y1)
indtræffer og omvendt for investor B. Det vil altså være i begges interesse at handle værdipapirer
for at flytte forbrug mellem events. Betragt først den lige linie p1, der går gennem de initiale midler.
Hældningen er forholdet mellem givne eventpriser, −p1/p2, som investorerne anvender i optimerings-
problemet fra sidste afsnit. Investor A kan derfor få p1/p2 højere forbrug i event y2 mod at opgive en
enhed i event y1. Det betyder, at de to investorer handler sig til den portefølje, der giver den højest
forventede nytte, langs denne linie. For investor i er det, hvor den forventede marginale substitutionsrate
mellem forbrug i de to events er lig med forholdet mellem eventpriserne10 , E MRS i p1
1,2 = p2 .
Dette svarer i figuren til, hvor investorernes indifferenskurver ligger parallet med p1.
Som det ses af figuren, har hver investor valgt det punkt, der er individuelt optimalt, men den
anden betingelse for en markedsligevægt er ikke opfyldt under de givne priser, da efterspørgselen
efter forbrug er for høj i event y1 og for lav i event y2 til, at markedet clearer. For at dette kan opnås,
må eventprisvektoren justere sig i en sådan grad, at når de individuelt optimale porteføljer er valgt,
er efterspørgsel lig udbud. I figur 1 betyder det, at hældningen på −p1/p2 skal være lavere, det vil
sige en relativ højere pris for forbrug i event 1, hvilket svarer til at flytte prisvektoren til p2. Det er
altså investorernes interesse i at flytte forbrug mellem events, der bestemmer efterspørgsel og udbud
for værdipapirer og derigennem ligevægtspriserne.
Ligevægten i figur 1 er endvidere Pareto-optimal, da det er umuligt at stille den ene investor
bedre uden at stille den anden ringere. For at det overhovedet er muligt at handle sig til denne
Pareto-optimale ligevægt, er det en væsentlig forudsætning, at markedet er komplet. Dette følger af
det første velfærdsteorem.
Det første velfærdsteorem:
Hvis ξ er en ligevægt og markedet for værdipapirer er komplet, vil ligevægtsallokeringen være
pareto efficient.
10 Følger af omskrivning af ligning (5).
12

CA(y 2)
CB(y 1)
Ua,e
Investor A
Ub,e
e B(y 1)
e A(y 1)
P2
Investor B
e A(y 2) e B(y 2)
Figur 1. Justering af prisvektor
At dette er rigtigt følger af resultater fra efficient risikodeling. Af individuel optimalitet blev det
tidligere vist, at investorerne handler sig til et eventafhængigt forbrug, så deres forventede marginale
nyttefunktion har følgende sammenhæng til eventpriserne, der tilmed er unikke under et komplet
marked for værdipapirer,
u ′
i (ci (ym)) ϕi (ym)
p (ym) =
λi
m=1,...,M
P1
CA(y 1)
CB(y 2)
. (6)
Dette er kendt som Borch førsteordensbetingelserne for Pareto-efficient deling af risiko 11 . Det er
præcis de samme førsteordensbetingelser, der viser sig, når en central planner maksimerer den samlede
nytte for alle agenter. I dette problem er en løsning Pareto-efficient, hvis der eksisterer en vægtning
af de enkelte nyttefunktioner, sådan at førsteordensbetingelsen er opfyldt. Ved at vælge vægtene til
den inverse af skyggepriserne vil førsteordensbetingelserne i (6) især være opfyldt. Investorerne er
således i stand til selv at handle sig frem til et socialt optimum, når markedet er komplet.
Efter at have fastslået, at der ved komplette markeder er Pareto-efficient risikodeling følger det,
at det andet kriterie for en markedsligevægt er opfyldt, da Pareto-efficiens er karakteriseret ved, at
alle forbrugsmuligheder i hver event allokeres.
11 Se eksempelvis Christensen & Feltham (2003), kapitel 4.
13

Er markedet ikke komplet, er det derimod ikke garanteret, at det er muligt at nå en ligevægt, hvor
risiko kan deles efficient. Problemet er, at det måske ikke vil være muligt for investorerne at handle
sig frem til de eventbetingede dividender, der vil være individuelt optimale. Ovenstående baserer
sig således på, at markedet er komplet, så priserne kan justere sig, når investorerne handler sig til
eventafhængigt forbrug, der for hver i opfylder (6).
Indtil nu er det blevet etableret, at ved ligevægt i et komplet marked gælder det, at
• der eksisterer en ligevægt med strengt positivt forbrug, ci ∈ RM ++ , i = 1, ..., I, og denne er
pareto-efficient.
• der eksisterer en unik eventpris-vektor p, der er proportional med den forventede afledte nytte,
idet der eksisterer positive konstanter λ1, ..., λI, hvorved (6) er opfyldt.
Ydermere gælder det, hvis investorerne holder homogene sandsynlighedsfordelinger over sættet
af events, at individuelle forbrugsplaner kan skrives som en funktion af det aggregerede forbrug,
x = I
i=1 ei, hvor ci (x) er en stigende funktion af x. Dette kan ses ved, at når sandsynlighederne
er ens, sætter investorerne deres marginale substitutionsrater skaleret med skyggeprisen lig hinan-
den. Når forholdet mellem de marginale nytter over forskellige events er ens for investorerne, er det
ensbetydende med, at forbruget for hver investor er en strengt stigende funktion af det samlede
forbrug.
I tråd med (5) kan event-prisvektoren derfor skrives som
p ≡ β f
u ′
i (ci (x (ym))) ϕ (ym)
Ei [u ′ i (ci)]
m=1,...,M, i=1,...,I
Under antagelsen om komplette markeder og homogene sandsynlighedsfordelinger siges det, at
der eksisterer en repræsentativ investor. Det betyder, at de enkelte investorer agerer således, at
det samlet set kan betragtes som en enkelt agent, der maksimerer sin nytte, hvor det aggregerede
forbrug er substitueret ind. Bemærk, at på baggrund af fordelingen af investorernes midler på t =
0 er ligevægtsallokeringen af forbrug unikt bestemt ved skyggepriserne. Det andet velfærdsteorem
fortæller, at ved redistribuering af midler kan en ligevægt med enhver Pareto-optimal allokering
opnåes. De resulterende eventpriser og markedsværdier er derfor afhængige af investorernes initiale
midler, med mindre det antages, at investorerne er fuldstændig homogene. Da dette er en streng
antagelse, vendes der tilbage til dette punkt.
Dette afsnit har vist, at eventpriser og dermed markedspriserne er bestemt af investorernes udbud
af og efterspørgsel efter værdipapirer. Det blev yderligere forklaret, at dette bunder i et ønske om for-
brugsudjævning. Det er dog ligeledes blevet gjort klart, at antagelsen om et komplet marked er vigtig
for at kunne opnå disse resultater. Dette emne tages derfor op igen senere. I næste afsnit introduceres
først populære alternative, men fuldt overensstemmende måder til beskrivelse af informationen inde-
holdt i markedsværdier. Disse er i nogle situationer mere praktiske og tillader yderligere fortolkning
af fastsættelsen af markedsværdier.
14

3.1.5 Diverse repræsentationer af ingen arbitrage priser
Risikoneutrale sandsynligheder
Et tilfældigt værdipapir fra (1), kan omskrives til følgende ved at gange og dividere med det
risikofrie aktiv β f
vj = β f
vj = β f
M
m=1
p (ym)
β f d (ym) ⇔
M
ˆϕ (ym) d (ym) ⇔
m=1
vj = β f Ê [dj] , (7)
hvor de normaliserede eventpriser ˆϕ (ym) = p (ym) /β f opfylder alle betingelser for at kunne tolkes
som sandsynligheder. Af denne grund kan markedsværdien af et værdipapir udtrykkes som i (7), nem-
lig den tilbagediskonterede værdi af de forventede dividender under det nye sandsynlighedsmål. Dette
sandsynlighedsmål er kendt som Q-målet, eller risikoneutrale sandsynligheder, idet sandsynlighederne
er konstrueret, som om investorerne er risikoneutrale, da der tilbagediskonteres med den risikofrie
rente - de forlanger intet afkast over eller under det risikofrie afkast.
De risikoneutrale sandsynligheder er dog kunstige sandsynligheder, idet de alene er et resultat af
ingen-arbitrage restriktionen fra tidligere. Der er derfor ikke nødvendigvis individer, hvis personlige
sandsynlighedsfordeling er lig den risikoneutrale.
I de risikoneutrale sandsynligheder er indeholdt investorernes sandsynligheder og marginale nytter
af forbrug. Dette følger af at benytte de stigende antagelser fra ingen arbitrage til markedsligevægt,
hvorefter de risikoneutrale sandsynligheder ˆϕ (ym), m = 1, ..., M, er definerede ved
ˆϕ (ym) ≡
p (ym)
β f
Ingen Arbitrage
m = 1, ..., M , i = 1, ..., I.
⇒ u′ i (ci (ym)) ϕ i (ym)
Ei [u ′ i (ci)]
Individuel optimalitet
⇒ u′ i (ci (x (ym))) ϕ (ym)
Ei [u ′ i (ci)]
Markedsligevægt, og éns ssh.
, (8)
Det, der sker i de risikoneutrale sandsynligheder, er, at events med en relativt højere marginal
nytte vægtes tungere, idet den risikofrie sandsynlighed for denne event bliver større end den faktiske
sandsynlighed. I maksimeringen fra investorens side lægges der derfor mere vægt herpå. Bemærk, at
så længe markedet for værdipapirer er komplet, må disse sandsynligheder være éns for alle investorer,
jævnfør tidligere.
Eventpris Deflatorer og Valuation Index
Denne tilgang til at karakterisere markedspriser benytter sig af Riesz’ repræsentations teorem 12 ,
der fører til følgende resultat.
12 Se appendiks A3.
15

Corollary 3 Der er ingen arbitrage med priserne v og dividender D, hvis og kun hvis, der eksisterer
m ≫ 0 så vj = E [mdj], j = 1, ..., J, for enhver fast og strengt positiv vektor af sandsynligheder
ϕ ≫ 0.
Denne vektor m er en meget brugt repræsentation, i litteraturen kaldet eventpris deflatoren, for
(v, D) 13 , og er givet ved m (ym) = p (ym) /ϕ (ym), m = 1, ..., M, se (1).
m (ym) ≡
p (ym)
ϕ i (ym)
Ingen Arbitrage
m = 1, ..., M , i = 1, ..., I.
⇒ β f u′ i (ci (ym))
Ei [u ′ i (ci)]
Individuel optimalitet
⇒ β f u′ i (ci (x (ym)))
Ei [u ′ i (ci)]
,
Markedsligevægt, og éns ssh.
Hvis eventpris deflatoreren yderligere normaliseres med den risikofrie diskonteringsfaktor, eller
alternativt at de risikoneutrale sandsynligheder deles med de tilhørende sandsynligheder, fremkommer
hvad der kaldes et valuation index, q. Eventpriserne er således korrigeret for såvel den tidsmæssige
værdi som sandsynlighedsfordelingen. Sammenhængen mellem repræsentationerne er derfor givet ved
m (ym)
q (ym) ≡
β
f = p (ym)
β f ϕ (ym)
= ˆϕ (ym)
ϕ (ym)
, m = 1, ..., M.
Ved at udnytte regneregler for kovarians og at E [q] = 1, kan markedspriserne på værdipapirer
skrives som
vj = β f E [qdj]
= β f {E [q] E [dj] + Cov [q, dj]}
= β f {E [dj] + Cov [q, dj]} , j = 1, ..., J. (9)
Igen, ved at lægge antagelser på om individuel optimalitet, markedsligevægt og homogene sandsyn-
ligheder, kan q defineres som
q (ym) =
p (ym)
β f ϕ (ym)
Ingen Arbitrage
⇒
m = 1, ..., M , i = 1, ..., I.
Der leder til følgende udtryk for markedspriser
u′ i (ci (ym))
Ei [u ′ i (ci)]
⇒
Individuel optimalitet
u′ i (ci (x (ym)))
E [u ′ i (ci)]
,
Markedsligevægt og éns ssh.
vj = β E [dj] + Cov u ′ ′
i (ci (x)) , dj /Ei u i (ci) , j = 1, ..., J , i = 1, ..., I. (10)
Dette giver muligheden for en enestående fortolkning af markedspriser. Værdien af et aktiv kan
således fortolkes som den forventede risikoneutrale værdi af de fremtidige dividender tillagt en risiko-
13 Den er andre steder kendt som stokastisk diskonteringsfaktor, state-price deflator og pricing kernel.
16

justering, der alt sammen tilbagediskonteres med den risikofrie rente for at tage højde for den tidsmæs-
sige værdi. Risikojusteringen er bestemt af kovariansen mellem værdipapirets dividender og den mar-
ginale forbrugsnytte ved optimalt forbrug. Læg mærke til, at den marginale nytte er faldende i det
aggregerede forbrug. Et værdipapir, der udbetaler høje (lave) dividender, når forbruget er højt (lavt)
vil derfor kovariere negativt med den marginale nytte og dermed give en negativ risikojustering og
en lavere markedsværdi. Forklaringen er, at der foretrækkes et højere forbrug i dårlige tider fremfor i
gode tider, hvor de alligevel har nok. Dette reflekteres i markedspriserne ved, at investorerne er villige
til at betale mere for værdipapirer, der har en sådan forsikrende effekt på forbruget. Det betyder også,
at idiosynkratisk risiko, som man kan diversificere sig ud af, ikke har nogen risikopræmie tilknyttet.
Risiko-neutrale sandsynligheder anvendes især i forbindelse med værdifastsættelse af derivater,
medens skiftesvis eventpris deflator- og valuation indeks repræsentationerne tages i brug i det føl-
gende.
3.1.6 Effektivt komplette markeder
Sættet af events Y kan være ganske betydeligt, hvis det skal kunne beskrive alle forhold med rele-
vans for udviklingen i dividender, hvorfor antagelsen om komplette markeder kan virke tvivlsom.
På den anden side er investorerne måske ikke interesserede i hver eneste mulig forbrugsplan, så et
komplet marked, som ovenfor beskrevet, er måske ikke en nødvendighed. Ved at pålægge yderligere
antagelser, der gør, at hver Pareto-optimale forbrugsallokering kan opnås ved at handle i de tilråde-
værende aktiver, siges markedet at være effektivt komplet. Dette har desuden en interessant effekt
på repræsentationen af priser.
Det antages, at investorerne har homogene sandsynlighedsfordelinger over sættet af events og
besidder præferencer givet ved HARA 14 nyttefunktioner med identisk risiko varsomhed α. I så tilfælde
er investorernes optimale forbrug karakteriseret ved en lineær funktion af det aggregerede forbrug,
ci (x) = fi + vix. Hvis der eksisterer en risikofri portefølje zf og personlige midler til forbrug ¯ci ∈
spænd(D ′ ), i = 1, ..., I, vil der eksistere en Pareto-efficient ligevægt, hvor investorernes porteføljer
kan ses som bestående af følgende tre delporteføljer 15 :
1. en portefølje zei med dividende D ′ zei = ¯ci, der kan omgøre investorernes personlige fremtidige
forbrugsmuligheder, hvis den sælges.
2. en del af den risikofrie portefølje fi, med dividende fidf = fi.
3. en del af markedsporteføljen vi, der betaler dividende vix.
De nødvendige værdipapirer i økonomien til sikring af et komplet marked er således begrænset i
forhold til tidligere. Det viser sig, at valuation indekset under ovenstående antagelser er givet ved
q (x) = w′ o (x)
E [w ′ , (11)
o (x)]
14 Hyperbolic Absolute Risk Aversion, se nyttefunktioner tilhørende denne klasse i appendiks A4.
15 For en detaljeret gennemgang henvises til Christensen & Feltham (2003).
17

hvor wo (x) er en partnerskabs nyttefunktion 16 , der er en vægtning af de enkelte investorers nyt-
tefunktion ved de inverse skyggepriser og kan ses som nyttefunktionen for en repræsentativ investor.
Dette kan gøre det mindre kompliceret, end når der skal tages højde for i investorer. Det særlige er,
at (11) under ovenstående antagelser er uafhængig af fordelingen af personlige midler eller hvilken
vægtning, investorerne har. Markedspriser kan således udtrykkes i aggregeret forbrug, uden at vi
behøver bekymre os om afhængighed af den initiale fordeling af midler.
16 Se appendiks A5 for specifikke parameteriseringer af wo (x).
18

3.2 Flér-periode model
I dette afsnit udvides enkeltperiode modellen under de samme stigende betingelser til at strække sig
over flere perioder 17 . I den nye formulering er modellen, der stadig har en endelig tidshorisont, opdelt
i følgende perioder:
t = 0 Første tidspunkt for handel og information
t = 1, 2, ..., T − 1 Efterfølgende tidspunkter for handel, dividender og forbrug
t = T Endelige information, dividender og forbrug
Igen defineres et informationssystem, η t : S → Yt, der giver investorerne viden om, hvilket subset
af states økonomien er i og derfor er afhængig af tidspunktet. Udviklingen i informationen er skitseret
for en 3-perioders økonomi i figur 2. Af figuren ses det, at investorerne på tidspunkt 0 starter i sættet
Y0, der indeholder alle states. På tidspunkt 1 er der tre mulige events, der derefter ender i et antal
forskellige states, hvor al information er kendt. De må derfor tage højde for i planlægningen af
deres forbrug og således også porteføljeplaner, at økonomien kan udvikle sig vidt forskelligt over tid.
Efterhånden modtager investorerne større viden om præcis, hvilken state økonomien befinder sig i,
det vil sige partioneringen bliver finere, indtil al information er kendt på t = T.
Figur 2. Informationssystem for 3 perioders model.
I takt med den information, der modtages på tidspunkt t om partitioneringen, opdaterer inve-
storerne derfor deres sandsynlighedsfordeling over fremtidige events ved hjælp af Bayes regel, det vil
sige, ϕ (yτ | yt) = ϕ(yτ )
ϕ(yt) , hvis yτ ⊆ yt og ellers 0.
17 Detaljeringsgraden i dette afsnit er bevidst lavere, da udledningerne på de fleste punkter blot er mere tekniske
versioner af dem fra sidste afsnit.
19

Investorerne er bekendte med sættet af states og partitioneringen i events, der dækker alle
mulige realiseringer af stokastiske variable med betydning for økonomien. Det må derfor ligesom
tidligere gælde, at der er konsistens mellem på den ene side information og på den anden side
dividender og markedsværdier. Dette er ensbetydende med, at realiseringerne af den stokastiske in-
formationsvariabel yt fanges perfekt i disse. Dividender og markedsværdier kan derfor skrives som
en funktion af information, djt = djt (yt) og vjt = vjt (yt). Dividender og markedsværdier siges, at
følge en adapteret stokastisk proces, der kan opsummeres i vektorerne dj = {dj1 (y1) , ..., djT (yT )} og
vj = {vj1 (y1) , ..., vjT (yT )}. Markedsværdien af værdipapir j på tidspunkt t, vjt, er efter dividende
betaling eller ex-dividende, medens cum-dividende markedsværdien er defineret ved Vjt = djt + vjt.
Hver investor sammensætter en porteføljeplan Z = {z1...zT }, der former sig efter økonomiens ud-
vikling. Denne er altså ligeledes en adapteret proces, der indeholder antallet af værdipapir j på et givet
tidspunkt, zjt (yt). I figur 2 betyder det på tidspunkt 1, at porteføljeplanen z1, er bestemt efter, hvilken
af de tre partitioner i informationssættet Y1 der er nået. Den tilhørende dividendeproces, afhængig af
udviklingen i informationssystemet, er derfor: d z t = (vt + dt) ′ zt−1−v ′ tzt , t = 0, 1, ..., T , z−1 ≡ 0.
Det antages, at der ikke udbetales dividender på t = 0.
3.2.1 Ingen arbitrage i flér-periode model
Det er som i enkeltperiode modellen et minimumskrav, at der ikke er nogen arbitrage muligheder,
hvilket i dette tilfælde vil sige, at det ikke er muligt at sammensætte en porteføljeplan, der giver et
ikke-negativt payoff i alle events til alle tidspunkter og strengt positive i nogle.
Theorem 4 18 Der er ingen arbitrage, hvis og kun hvis der er en strengt stigende lineær funktion
F : L → R således at F (d z ) = 0 for enhver portefølje plan Z, hvor L er rummet af alle mulige
processer adapteret til Y. Det vil sige, at der eksisterer en strengt positiv adapteret eventpris proces
p for hvilken
d z 0p0 + T
d
t=1 yt∈Yt
z t (yt) pt (yt) = 0, ∀ z ∈ L.
Da det må gælde, at d z 0 = −v′ 0 z0 og p0 samtidig sættes til 1 ses det, at værdien af enhver portefølje
z0 kan skrives som 19
v ′ 0z0 = T
hvorfor værdien af værdipapir j holdt til udløb er
vj = T
d
t=1 yt∈Yt
z t (yt) pt (yt) ,
t=1 yt∈Yt
djt (yt) pt (yt) . (12)
18 Beviset herfor er udeladt, men følger samme form som under enkeltperiode-modellen. Se eksempelvis Munk (2006).
19 Eventpriserne ikke mere unikke end til en given skalar, hvorfor p0 kan vælges frit og de resterende priser retter sig
ind efter dette, så ingen arbitrage restriktionen er opfyldt.
20

pt (yt) kan ses som prisen på t = 0 for at modtage én enheds udbytte på tidspunkt t > 0, hvis
event yt tilhørende eventsættet Yt hænder. Ingen arbitrage over hele perioden betyder tilmed, at
der heller ikke er arbitrage-muligheder mellem hvilke som helst på hinanden følgende handelsdatoer.
Mere generelt kan prisen på værdipapir j på tidspunkt t formuleres som
hvor
vjt (yt) = T
τ=t+1
yτ ⊆yt
djτ (yτ) pτ,t (yτ | yt) , j = 1, ..., J, (13)
pτ,t (yτ | yt) = pτ (yτ )
pt (yt) , ∀ yτ ⊆ yt, τ > t.
Markedsværdien på tidspunkt t, er således givet ved eventpriser, der er opdaterede på baggrund
af signalet yt, idet pτ,t (yτ | yt) er værdien af en enheds udbytte ved event yτ, givet at yt er indtruffet.
Disse benævnes date-eventpriser.
Et komplet marked i enkelt-periode modellen betød, at eventpriserne var unikke. Tilsvarende
skal økonomien i flér-periode modellen være komplet for at date-eventpriserne set på tidspunkt 0 er
unikke. Der er to måder, hvorpå dette kan opnås.
For det første er markedet for værdipapirer naturligvis komplet, hvis der handles date-eventafhængige
værdipapirer til alle tidspunkter og til alle events. Det vil dermed være muligt på t = 0 at handle sig
til en portefølje, der giver et forudbestemt dividendemønster, uden at porteføljen behøves at justeres
undervejs. Den anden situation opstår, når det ikke er muligt at handle date-eventafhængige værdipa-
pirer. Selvom der i økonomien udelukkende er almindelige værdipapirer, er det muligt, at disse løbende
kan sammensættes til et hvilket som helst dividendemønster, hvorfor markedet siges at være dynamisk
komplet. Dette er tilfældet, såfremt der for enhver adapteret proces X i rummet af mulige processer
adapteret til Y eksisterer en portefølje plan z, der kan generere denne dividende proces, således at
d z t (yt) = Xt (yt), yt ∈ Yt, t = 1, ..., T. Dette gælder, hvis og kun hvis for hver handelsdag og hver
event yt ∈ Yt, payoff-matricen fra de tilrådeværende værdipapirer Vt+1 (yt) ≡ [Vjt+1 (yt+1)] J×Mt(yt)
har rangen Mt (yt), hvor Mt (yt) er antallet af partitioner efter yt. Dette kan derfor kun være opfyldt,
når antallet af værdipapirer med lineært uafhængige payoffs overgår det højeste antal partitioneringer.
I figur 2 betyder det, at antallet af værdipapirer skal være større end eller lig med 4 i t = 1.
Summa summarum vil det sige, at et komplet marked for værdipapirer er sværere at sikre i
flér-periode modellen.
3.2.2 Individuel optimalitet i flér-periode model
Ligesom i enkelt-periode modellen skabes sammenhængen mellem investorernes forbrugsplanlægning
og værdipapir-priser. De I investorer i flér-periode modellen er hver især kendetegnet ved
• en adapteret proces af strengt positive midler ei = {ei1, ..., eiT } ∈ L++ til forbrug, hvilket kan
stamme fra en ejet portefølje ¯zi og lønkontrakter ¯ci, sådan at ei = d ¯zi + ¯ci.
• en sandsynlighedsfordeling over events ϕ i (yt).
• en strengt stigende og konkav nyttefunktion ui defineret på en ikke-negativ adapteret for-
brugsproces ci = {ci1, ..., ciT } ∈ L+.
21

Investorernes nytte af en given forbrugsproces kan specificeres på flere måder. Indledningsvis ses
på generelle præferencer, og i forlængelse heraf de ofte anvendte tidsadditive præferencer.
Det er nu muligt for investorerne at tilpasse deres forbrug ved at identificere en porteføljeplan,
der flytter forbrug mellem events og tid. Dette foregår ved at vælge en portefølje plan zi, der tager
højde for alle mulige udviklinger i informationssystemet. Porteføljeplanen har dividendeproces d zi ,
hvor d zi
t = V′ tzit−1 − v ′ tzit, hvorigennem forbrugsprocessen cit = dit + eit opnås, for t = 1, ..., T .
Investor i’s valg af den optimale porteføljeplan foretages ved at løse følgende problem:
hvor
Maksimer
ci ∈ Ci(ei,v,d) Ui (ci) = Maksimer
zi ∈ {z ∈ LJ |dz +ei ∈ L+, v ′ 0z0 ≤ 0} Ui (d zi + ei) , (14)
Ui (ci) =
yT ∈YT
ui (ci (yT )) ϕ i (yT ) .
Bemærk, at ci (yT ) er hele forbrugsstien fra tidspunkt 1 til hver eneste endelig state yT , der i
figur 2 svarer til y1 − y9. Den optimale porteføljeplan er, når det antages, at der eksisterer en indre
løsning, givet ud fra førsteordensbetingelsen til lagrangefunktionen
Li =
yT ∈YT
J
ui (ci (yT )) ϕi (yT ) − λi zij0vj0.
j=1
Den afledte med hensyn til zijt for henholdsvis t = 0 og t > 0 giver førsteordensbetingelserne til
det optimale porteføljevalg,
vj0 = 1
λi
vjt (yt) =
yT ∈yt
yT ∈y0 uic1 (ci (yT )) Vj1 (y1) ϕ i (yT ) , j = 1, ..., J =⇒
uict+1 (ci (yT )) Vjt+1 (yt+1) ϕ i (yT )
Eiuict (ci (yT )) ϕ i (yT )
uict er den marginale nytte ved en ændring i forbruget på tidspunkt t.
, j = 1, ..., J.
Ved at benytte regneregler for betingede sandsynligheder kan førsteordensbetingelserne omskrives
til (15), idet kendskab til yt+1 netop afslører, hvilken event yt, der var forinden.
vj0 =
λi
y1∈Y1
vjt (yt) =
yt+1∈yt
1
Ei [uic1 (ci (yT )) | y1] Vj1 (y1) ϕi (y1) , j = 1, ..., J, (15)
Ei
uict+1 (ci
(yT )) | yt+1
Ei [uict (ci (yT )) | yt] Vjt+1 (yt+1) ϕi (yt+1 | yt) , j = 1, ..., J.
Sammenlignes med enkelt-periode modellen i (5), giver (15) sammenhængen mellem eventpriser
og investorernes optimale forbrugsplaner, som der blev stiftet bekendtskab med i enkelt-periode
modellen. Eventpriserne i flér-periode modellen mellem to på hinanden kommende tidspunkter er
derfor i det generelle tilfælde givet ved
22

pt+1,t (yt+1 | yt) ≡
⎧
⎨
⎩
1
λi Ei [uic1 (ci (yT )) | y1] ϕ i (y1) y1 ∈ Y1, t = 0
Ei[uic t+1 (ci(yT ))|yt+1]
Ei[uic t (ci(yT ))|yt] ϕ i (yt+1 | yt) yt+1 ∈ yt, t > 0
Jo højere den forventede marginale nytte er i den efterfølgende periode (hvis forbruget er lavt)
i forhold til den pågældende periode, og jo højere den betingede sandsynlighed for en given event,
desto mere værdi vil eventprisen have. Ved yderligere at kombinere (15) med (16) kan eventprisen
på et vilkårligt tidspunkt t set fra udgangspunktet beskrives. Prisen på et eventbetinget værdipapir,
der betaler én enhed på tidspunkt t er
pt (yt) = t−1
pτ−1,τ (yτ−1 | yτ )
τ=0
= 1
Ei [uic1 (ci (yT )) | y1] ϕi (y1) ×
λi
Ei [uic2 (ci (yT )) | y2]
Ei [uic1 (ci (yT )) | y1] ϕi (y2 | y1) ×
... × Ei [uict (ci (yT )) | yt]
ϕi (yt | yt−1)
Ei uict−1 (ci (yT )) | yt−1
= 1
Ei [uict (ci (yT )) | yt] ϕi (yt) . (17)
λi
Så istedet for at diskontere hver enkel periode en ad gangen, forenkles udtrykket til (17). At hele
eventprisprocessen p kan beskrives, bevirker, at (12) istedet kan repræsenteres som
vj0 = T
t=1 yt∈Yt
djt (yt) 1
Ei [uic1 (ci (yT )) | yt] ϕi (yt) .
λi
Ikke desto mindre bliver udtrykkene temmelig komplicerede, når nyttefunktionen sammenfatter
hele forbrugsstien. Derfor er det normalt at pålægge tidsadditive præferencer, så nytten fra en given
forbrugssti er ui (c (yT )) = T
uit (ct (yT )). Det betyder, at den marginale nytte af en enheds forbrug
t=1
mere på et givet tidspunkt kun afhænger af forbruget på dette tidspunkt. Som resultat heraf afhænger
eventpriserne derfor kun af forholdet mellem de marginale forbrugsnytter på de to tidspunkter, der
betragtes og ikke hele strømmen af forbrug c:
pτt (yτ | yt) ≡ u′ iτ (ciτ (yτ)) ϕ i (yτ | yt)
u ′ it (cit (yt))
⎫
⎬
⎭
(16)
, yτ ⊆ yt , τ > t = 0, 1, ..., T − 1. (18)
Eventpriser under tidsadditive præferencer afspejler således den marginale nytte af én enheds for-
brug mere for investor i for givne events og tidspunkter samt deres personlige sandsynlighedsfordeling
over disse, relativt til den marginale nytte af forbrug på tidspunkt t. Hvis eksempelvis den marginale
nytte af forbrug på tidspunkt τ var for høj relativ til den marginale nytte af forbrug på tidspunkt t,
ville den ikke stemme. Investoren kunne så sænke sit forbrug på tidspunkt t og hæve forbruget på
tidspunkt τ og derved opnå en højere nytte. For optimale porteføljer må (18) derfor nødvendigvis
gælde. Dette ses desuden ved en omskrivning af (18) til
23

pτt (yτ | yt) u ′ it (cit (yt))
marginale tab
= u ′ iτ (ciτ (yτ)) ϕi (yτ | yt) , yτ ⊆ yt , τ > t = 0, 1, ..., T − 1,
marginale gevinst
hvor venstresiden kan ses som det marginale tab i nytte og højresiden som den marginale nytte-
gevinst ved at flytte forbrug mellem event yt og yτ.
3.2.3 Markedsligevægt i flér-periode model
Ligesom i enkelt-periode modellen ønskes en ligevægt, hvor investorerne har valgt optimale porteføljer,
samtidig med at markedet clearer til hvert eneste tidspunkt. Det vil sige, der ledes efter en ligevægt
ξ ≡ {z1, ..., zI; v1, ..., vJ}, hvor
• zi ∈ arg max
zi∈{z∈L J |d z +ei∈L+,v ′ z≤0}
Ui (d zi + ei), i = 1, ..., I og
• I
i=1 zit (yt) = 0, ∀yt ∈ Yt, t = 0, ..., T − 1.
Definér nu en Radner Sekventiel-ligevægt som en ligevægt i et flér-perioders marked, hvor in-
vestorerne må handle værdipapirer over tid og events for at opnå et bestemt forbrugsmønster. En
Arrow-Debreu-ligevægt er det specielle tilfælde, hvor der eksisterer date-event-værdipapirer, hvorved
investorerne kan opnå et givet forbrugsmønster ved blot at handle initialt i disse. Pareto-efficiens og
det første velfærdsteorem kan udvides til flere perioder.
Det første velfærdsteorem, flér-periode model:
Hvis ξ er en Radner Sequential-ligevægt og markedet for værdipapirer er dynamisk komplet (eller
ξ er en Arrow—Debreu-ligevægt og markedet for værdipapirer er komplet), vil ligevægtsallokeringen
af forbrug være pareto efficient 20 .
Sammenfattende gælder følgende, hvis investorerne modtager positive personlige midler, har uen-
delig marginal nytte ved et forbrug på nul til alle tidspunkter samt strengt stigende og strengt konkave
nyttefunktioner:
1. Der findes en Arrow-Debreu ligevægt i en udvidet økonomi med et komplet sæt af date-event-
værdipapirer med en strengt positiv forbrugsplan c og en unik strengt positiv date-eventpris
proces p.
2. Hvis cum-dividende priserne på økonomiens oprindelige værdipapirer giver et dynamisk komplet
marked 21 , så findes der en Radner Sekventiel-ligevægt med forbrugsplan c og date-eventpris
proces p.
20 For et bevis henvises til Christensen & Feltham (2003).
21 Et marked er dynamisk komplet, hvis der til hver dato og event er en payoff-matrice med rang lig antallet af
efterfølgende events.
24

Hvis ξ er en Radner Sekventiel eller en Arrow-Debreu ligevægt, og investorerne har homogene
sandsynlighedsfordelinger samt tids-additive præferencer, har den pareto efficiente løsning den samme
egenskab som i enkelt-periode modellen, nemlig at individuelle forbrugsplaner kan skrives som funk-
tioner af det samlede forbrug til hvert tidspunkt, cit (xt (yt)).
De samme resultater kan dermed opnås for flér-periode modellen, men med det sagt, er det
svært at garantere et dynamisk komplet marked. Det afhænger af, om cum − dividenderne på hvert
tidspunkt og event har fuld rang, men ex − dividende værdierne er endogent bestemt af præferencer,
størrelsen af de personlige midler og sandsynlighedsfordelinger over events.
3.2.4 Repræsentation af ingen-arbitrage priser for flér-periode model
Fortolkningen af de forskellige repræsentationer er grundlæggende den samme som for enkelt-periode
modellen, hvorfor der ikke er tilføjet en længere forklaring.
Risikoneutrale sandsynligheder i flér-periode model
Relation (12) kan ligesom i enkelt-periode modellen omformuleres til en relation indeholdende
risikoneutrale sandsynligheder. Hvis et risikofrit aktiv defineres som β f
τt = pτt (yτ | yt), altså et
yτ ⊆yt
værdipapir, der betaler én enhed i hver event på tidspunkt τ > t, hvor yτ er events indeholdt i sættet
yt, kan værdien af et værdipapir skrives som
vjt (yt) = T
τ=t+1
β f
τt (yt) pτt (yτ | yt)
β f
τt (yt) djτ (yτ | yt) = T
β
τ=t+1
f
τt (yt) Êτt [djτ | yt] .
Under de stigende antagelser kan de risikoneutrale sandsynligheder i flér-periode modellen karak-
teriseres ved 22
ˆϕ τt (yτ | yt) ≡ pτt (yτ | yt)
β f
τt (yt)
Ingen Arbitrage
⇒ u′ iτ (ciτ (yτ)) ϕ i (yτ | yt)
Ei [u ′ iτ (ciτ) | yt]
Individuel opt. og tidsadd.præf.
Eventpris deflatorer og valuation indeks i flér-periode model
⇒ u′ iτ (ciτ (x (yτ))) ϕ i (yτ | yt)
Ei [u ′ iτ (ciτ (x)) | yt]
Markedsligevægt og éns ssh.
Ligeledes kan eventpris deflatoren repræsenteres for flér-periode modellen under de stigende an-
tagelser,
mτt (yt) ≡ pτt (yτ | yt)
ϕ (yτ | yt)
Ingen Arbitrage
⇒ u′ iτ (ciτ (yτ))
u ′ it (cit (yt))
Individuel optimalitet
for yτ ⊆ yt, τ > t , for i = 1, ..., I.
såvel som valuation indekset
⇒ u′ iτ (ciτ (xτ (yτ )))
u ′ it (cit (yt))
Markedsligevægt og éns ssh.
,
22 I mange fremstillinger er der ikke substitueret ind for det risikofrie aktiv, der kan skrives som
β f
τt (yt) = Ei[u ′ iτ (ciτ |yt)]
u ′ it (c it(yt))
25
.

qτt (yt) ≡
pτt (yτ | yt)
β f
τt (yt) ϕ (yτ | yt)
Ingen Arbitrage
for yτ ⊆ yt, τ > t , for i = 1, ..., I.
⇒ u′ iτ (ciτ (yτ))
Ei [u ′ iτ (ciτ) | yt]
Individuel optimalitet
⇒ u′ iτ (ciτ (xτ (yτ)))
E [u ′ iτ (ciτ (x)) | yt]
Markedsligevægt og éns ssh.
, (19)
Ved at benytte regler for kovarians kan værdien af værdipapir j omformuleres til
vjt (yt) =
=
T
τ=t+1
T
τ=t+1
β f
τt (yt) {E [djτ | yt] + Cov [djτ, qτt | yt]} ⇔ (20)
β f
τt (yt) E [djτ | yt] + Cov djτ, u ′ ′
iτ (ciτ (xτ)) | yt /E u iτ (ciτ) | yt ,
for j = 1, ....J , yt ⊆ Yt , t = 0, 1, ..., T .
Fortolkningen er den samme som i enkelt-periode modellen; risikotillægget for et værdipapir
er bestemt af kovariansen mellem dividender og den marginale forbrugsnytte som funktion af det
aggregerede forbrug.
3.2.5 Effektivt komplette markeder i flér-periode model
Ligesom i enkelt-periode modellen er det muligt at sikre effektivt komplette markeder ved tilføjelse
af en række milde betingelser. Dette er særligt vigtigt i forbindelse med flér-periode modellen, da det
som tidligere pointeret ellers er svært at sikre et komplet marked.
Hvis det forudsættes, at investorerne holder homogene sandsynlighedsfordelinger over sættet af
events og tidsadditive præferencer i form af HARA datoafhængige nyttefunktioner med identisk risiko
varsomhed α, og hvis nyttefunktionerne opfylder betingelserne vist i appendiks A6 23 , eksisterer der
parametre vi og fit, således at
cit (xt) = fit + vixt , i = 1, ..., I,
i vi = 1 og
i fit = 0 , t = 1, ..., T .
Antages det yderligere, at der eksisterer nulkuponobligationer til alle tidspunkter, og fremtidige
personlige midler til forbrug er ikke-stokastiske, eksisterer en Pareto-efficient ligevægt, hvor investor-
ernes portefølje kan ses som bestående af følgende tre delporteføljer:
1. En portefølje af nulkuponobligationer, der omgør investorernes tilrådeværende fremtidige for-
brugsmuligheder.
2. En portefølje af nulkoponobligationer med afkast fit.
3. En konstant andel af markedsporteføljen vi, der betaler dividende vixt.
23 Tilføjelse af parameterrestriktioner på nyttefunktionerne medfører, at andelen af det aggregerede forbrug ikke
varierer over tid. For et udførligt bevis for dette, se Christensen & Feltham (2003).
26

Kravet til, hvilke aktiver der er nødvendige for at sikre Pareto-efficiens, er således begrænset til
nulkuponobligationer og fordringer på forbrug. Dette har ligeledes den effekt på nyttefunktionen for
den repræsentative investor, at den ikke afhænger af initiale midler. Det er derfor igen muligt at
koble værdifastsættelse til aggregeret forbrug, så længe ovenstående antagelser er opfyldte.
Efter at have redegjort for forbrugsbaseret værdifastsættelse i enkelt- og flér-periode modeller,
vendes blikket derfor mod en alternativ tilgang til opstilling af værdifastsættelsesmodeller.
3.3 Pricing Factors
Flere populære værdifastsættelses-modeller indebærer en forventet afkasts-formel på formen E Ri =
Ri , f , hvor γ er den risikofrie rente, λ indeholder risikopræmier og βi er koefficienterne fra
γ + λ ′ β i
en regression af R i på faktorerne. I forhold til gennemgangen af den forbrugsbaserede model fra de
foregående afsnit, virker det umiddelbart som to helt uforenelige typer af modeller. Ikke desto mindre
viser det sig, hvis man er villig til at acceptere, at en lineær model for eventpris deflatoren er en god
approksimation, at de to typer har en tæt sammenhæng, idet den ene kan udledes fra den anden 24 .
Det betyder, at udover ingen-arbitrage antagelsen er det muligt at springe over de yderligere lag af
antagelser om individuel optimalitet og markedsligevægt. Istedet benyttes såkaldte Pricing Factors,
der specificerer eventpris deflatoren som en lineær funktion af diverse faktorer, eksempelvis
mt+1 = a + b1f 1 t+1 + b2f 2 t+1 + ... (21)
Kernen i brugen af Pricing Factors handler således om at finde en lineær funktion af markeds-
faktorer, der formår at give en god beskrivelse af eventpris deflatoren. Med baggrund i den forbrugs-
baserede mode svarer det til, at faktorerne skal kunne medvirke til at forklare investorernes vækst i
den marginale forbrugsnytte, u′ it+1 (cit+1(yt+1))
u ′ it (cit(yt))
≈ a + b ′ ft+1. Af den forbrugsbaserede model fremgik
det, at investorerne er særlig opmærksomme på states, hvor forbruget er lavere. Det betyder, at gode
faktorer forventes at være mål for, hvilken state økonomien er i eller indikatorer for, hvor økonomien
er på vej hen og således fanger stemningen i markedet. En regression af afkast på disse faktorer vil
derfor vise samvariationen og hvor megen risikopræmie, der skal tillægges virksomhedens forventede
afkast.
Den lineære faktor model (21) knytter sig dog til en enkelt-periode model. For at være konsistent
med flér-periode modellen, må a og b koefficienterne følge en adapteret stokastisk proces yt, sådan at
mt+1 (yt) = at (yt) + b1t (yt) f 1 t+1 + b2t (yt) f 2 t+1 + ...
Kun i specielle tilfælde er koefficienterne faste 25 .
The Capital Asset Pricing Model (CAPM) af Sharpe (1964) og Lintner (1965) er det typiske
eksempel på en faktor-model med mt+1 = a + bRM t+1 , hvor den eneste faktor, RM t+1 , er afkastet på
en fordring på alle værdier i verden, markedsporteføljen. The Arbitrage Pricing Theory (APT) af
Ross (1976) er et andet eksempel, hvor faktorerne er afkast på store porteføljer, der er udledt fra
24 Se appendiks A7 for et kort bevis for dette fra Cochrane (2005).
25 Se Cochrane (2005) kapitel 8 for en gennemgang af dette.
27

faktoranalyse. Denne model har et statistisk udgangspunkt, det vil sige, der optræder et fejlled i
(21). Det antages derfor, at faktorerne er i stand til at forklare al variation i eventpris deflatoren, så
fejlleddet forsvinder for veldiversificerede porteføljer, og eksakt prisfastsættelse opnås. Dette kræver,
at fejlled på tværs af værdipapirer er ukorrelerede, og at fejlled og faktorer er ukorrelerede. I de
nævnte faktor-modeller antages det, at koefficienterne er faste over tid. Grundlæggende kan alle
faktormodeller ses som en udledning fra den forbrugsbaserede model, under pålæggelse af særlige
antagelser. Disse antagelser anses dog oftest for temmelig urealistiske.
Bortset fra ovenstående formaninger er der ingen begrænsninger på, hvad der kan anvendes
som faktorer. At den forventede afkast-formel er så simpel at implementere, og ikke mindst at
dataudbuddet for afkast er så stort, har ført til en storstilet empirisk jagt på faktorer, der for-
klarer det cross-sektionelle virksomhedsafkast. De mange muligheder for valg af faktorer spænder
over makroøkonomiske variable, afkast på porteføljer til mere virksomhedsspecifikke. Problemet med
denne tilgang er, at man kan identificere faktorer, der formår at forklare afkastet for en given sam-
ple af virksomheder eller begrænset periode, men typisk klarer det mindre godt out-of-sample eller
efterfølgende år. Skulle man finde faktorer, der virker tilfredsstillende, er man imidlertid stillet over-
for det problem, at der ingen økonomisk indsigt opnås med hensyn til, hvorfor de virker, og man
kan derfor ikke være sikker på, om de bliver ved med at virke fornuftigt. Et eksempel herpå er det
empiriske Fama-French studie (1996), der resulterede i to faktorer udover markedsporteføljen; size
og book-to-market. Det er i den forbindelse interessant, at size-faktoren har vist sig at have mindre
betydning i nyere data 26 .
3.4 Yderligere bemærkninger.
Forbrugstilgangen til Asset Pricing præsenteret i dette kapitel giver et meget intuitivt indblik i, hvor-
dan værdien af aktiver fastsættes. Tankegangen om, at investorernes marginale forbrug er bestem-
mende for et aktivs risiko, er da også generelt accepteret.
Igennem årene har der dog været en del kritik af den forbrugsbaserede model. Baggrunden for
dette er, at modellen har været udsat for adskillige empiriske undersøgelser, med temmelig nedslående
resultater til følge. Et af en række spørgsmål affødt af undersøgelserne er kendt som equity premium
puzzle 27 . Essensen i dette er, at for at det historiske afkast på aktier over den risikofrie rente er
foreneligt med modellen, må parameteren for relativ risiko aversion i CRRA-nyttefunktionen være
cirka 100. I Munk (2006) slås det fast, at det ville være højst usandsynligt, at investorer har en
relativ risiko aversions-koefficient udenfor intervallet [1:10], hvorfor de empiriske undersøgelser er
ensbetydende med en ekstrem aversion overfor risiko.
I sidste afsnit blev nævnt faktor modeller som en måde at omgå problemerne med at få identificeret
den stokastiske diskonteringsfaktor i den forbrugsbaserede model, og de er da også i praksis de langt
mest anvendte. Teoretisk set har de dog en del at lade tilbage på grund af urealistiske antagelser
og ikke mindst et ofte mere eller mindre tilfældigt valg af faktorer, et fænomen kendt som factor
fishing. Så selvom en faktor model umiddelbart virker fornuftig i data, er det ingen garanti for, at
26 Se bl.a. diskussionen i Munk (2006) kapitel 9.
27 Se Mehra & Prescott (1985).
28

den vil gøre det fremover, med mindre der er økonomisk gode argumenter for det. Samtidig antages
koefficienter og risikopræmier i de fleste faktor-modeller konstante over tid, hvilket er en temmelig
streng antagelse i forhold til flér-periode modellen og empiriske undersøgelser 28 .
I forlængelse af de ringe empiriske resultater for den forbrugsbaserede model er der dog rettet en
del kritik mod testene, og der er kommet forslag til ekstra antagelser på den forbrugsbaserede model,
der i nogen grad løser problemerne 29 . I lyset heraf er den forbrugsbaserede model til stadighed et
stærkt fundament at arbejde ud fra, når der ledes efter bud på, hvordan nye og bedre Asset Pricing
modeller kan findes.
28 Se eksempelvis Jagannathan, McGratten & Scherbina (2001), der mener at vise, at risikopræmier er tidsvarierende.
29 Både Munk (2006) eller Cochrane (2005) har en diskussion af dette.
29

4 Residual Indkomst modellen
Formålet med dette kapitel er en omskrivning af den repræsentation af markedsværdier på dividen-
deform, der hidtil er blevet anvendt i denne opgave. De to måder at repræsentere markedsværdier
på kan, som det vises her, udledes fra hinanden og leder derfor til nøjagtig det samme resultat.
Reformuleringen består i at benytte tal fra regnskabet i stedet for dividender, hvilket kan ses som
ensbetydende med, at fokus flyttes fra distributionen af værdi til den værdi-genererende proces. Dette
vil vise sig som en fordel i den empiriske del af opgaven, da virksomheders dividendepolitik sjældent
afspejler værdiskabelsen og derfor er misvisende ved værdifastsættelsesbrug. Endelig kan udledningen
ses som motivation for anvendelse af regnskabstal til prisfastsættelse generelt.
Udgangspunktet er ligning (12), der refereres til som Dividende modellen 30 ,
vt (yt) = T
τ=t+1
yτ ⊆yt
dτ (yτ ) pτ,t (yτ | yt) . (22)
Den grundlæggende antagelse, der må pålægges regnskabet for at kunne udlede Residual Indkomst
modellen er, at Clean Surplus relationen er opfyldt. Denne indebærer, at ændringen i den bogførte
værdi af egenkapitalen (bv) kan opgøres som nettoresultatet 31 (ni) korrigeret for betalinger til (eller
fra) aktionærerne (d). Denne relation er indarbejdet i de internationale regnskabsstandarder 32 . Denne
sammenhæng mellem dividender og de nævnte regnskabstal kan skrives på følgende vis,
bvτ (yτ) = bvτ−1 (yτ−1) + niτ (yτ) − dτ (yτ) , (23)
∀yτ ⊆ yτ−1 ∈ Yτ−1, τ = 1, ..., T .
Heraf ses det, at bogført værdi og nettoresultat ligeledes er adapterede stokastiske processer
af det underliggende informationssystem. Antages det, at selskabet ophører med at eksistere på
tidspunkt T , betyder (23), at afskrivninger på bogført værdi foretages gennem nettoresultatet, sådan
at bvT (yT ) = 0 opnås. Ved at summere over alle fremtidige dividender ses desuden af relationen, at
T
τ=t+1
dτ (yT )
= bvt (yt) − bvt+1 (yt+1) + nit+1 (yt+1) + bvt+1 (yt+1) − bvt+2 (yt+2) + nit+2 (yt+2) + ... ⇔
= bvt (yt) + T
niτ (yT ) .
τ=t+1
Summen af alle fremtidige dividender svarer til den bogførte værdi af egenkapitalen og fremtidige
nettoindtægter. Ved at benytte (23) kan (22) omskrives til
30 Der fokuseres på et bestemt værdipapir for at lette notationen.
31 Ofte omtalt som comprehensive income.
32 Se "Håndbog i årsrapport"og FASB 130.
30

vt (yt) = T
τ=t+1
yτ ⊆yt
[niτ (yτ) + bvτ−1 (yτ) − bvτ (yτ)] pτ,t (yτ | yt) . (24)
Idet den bogførte værdi af egenkapitalen på τ − 1 er kendt på tidspunkt τ − 1, må det gælde, at
bvτ−1 (yτ) = bvτ−1 (yτ−1) ∀yτ ⊆ yτ−1. Dernæst betyder bvT = 0, at
som 33
− T
τ=t+1
yτ ⊆yt
= bvt (yt) − bvt (yt) −
= bvt (yt) − T
τ=t+1
bvτ (yτ) pτ,t (yτ | yt)
T −1
τ=t+1
yτ−1⊆yt
yτ ⊆yt
bvτ (yτ) pτ,t (yτ | yt)
bvτ−1 (yτ−1) pτ−1,t (yτ−1 | yt) .
Ved at substituere dette udtryk ind i (24) og reducere, kan Residual Indkomst modellen udledes
vt (yt) = bvt (yt) + T
τ=t+1
yτ ⊆yt
hvor residual indkomst riτ er defineret ved
riτ (yτ) pτt (yτ | yt) , ∀yt ∈ Yt, t = 0, 1, ..., T − 1, (25)
riτ (yτ) = niτ (yτ) − r f
τ,τ−1 (yτ−1) bvτ−1 (yτ−1) ,
og r f
τ,τ−1 (yτ−1) er den risikofrie rente på tidspunkt τ − 1 til τ.
Værdifastsættelsen foregår således ved først og fremmest at indregne den bogførte værdi af
egenkapitalen fra regnskabet. Forskellen på den og dens fundamentale værdi gøres dernæst op ved
at summere over de fremtidige residual indkomster i hver event, ganget med eventpriserne. Residual
indkomsterne er nettoresultatet fratrukket en "omkostning" fra investeringen i egenkapitalen i form
af den risikofrie rente gange bogført værdi af egenkapitalen. Hvis denne er positiv, er der skabt værdi
udover værdien af egenkapitalel. Der er altså ingen brug af risikojustering i beregningen af residual
indkomst, hvilket står i kontrast til Residual Indkomst modellen vist i Penman (2004) og lignende.
Dette skyldes, at antagelse om konstante renter og en faktor model som den klassiske CAPM kun er
forenelig med en Residual Indkomst model, hvor afkastkravet på den bogførte værdi af egenkapitalen
er den risikojusterede diskonteringsrente.
Det er for Residual Indkomst modellen ligeledes muligt at omformulere denne i risikoneutrale
sandsynligheder, eventpris deflator og valuation indeks, nøjagtig som for Dividende modellen. I Chris-
tensen & Feltham (2003) foreslåes endvidere en udvidelse af (25) til et fokus på den operationelle
del af virksomheden (Residual Operating Income modellen), men da fokus i denne opgave er på selve
risikojusteringen, vil Residual Indkomst modellen være tilstrækkelig.
Med modellen på residual indkomst-form og den klassiske Asset Pricing teori i baghovedet vendes
blikket mod de forskellige modeller for risikojustering.
33 Se appendiks A8.
31

5 Modeller for risikojustering
I dette kapitel præsenteres tre forskellige metoder til bestemmelse af prisen på værdipapirer. In-
dledningsvis diskuteres en standard værdifastsættelsesmodel, hvor risikojusteringen foregår gennem
CAPM. På grund af denne models udbredte anvendelse, tjener den som et referencepunkt for de nye
modeller. Dernæst følger en beskrivelse af de to nye modeller foreslået af henholdsvis Christensen &
Feltham og Shroff & Nekrasov.
5.1 Standardmetode til fastsættelse af markedspriser
Den traditionelle værdifastsættelsesmodel tager som hovedregel udgangspunkt i, at værdien af en
virksomhed er bestemt af de fremtidige usikre dividender, helt i overensstemmelse med den gen-
nemgåede asset pricing teori. For at finde værdien af virksomheden tilbagediskonteres dividenderne
med en rente, der er justeret for den risiko, der er forbundet med investering i virksomheden. Stør-
relsen af denne risikojusterede rente, eller det forventede afkastkrav, dikteres af hvilken faktor model,
der er valgt.
Som tidligere nævnt kan alle faktor modeller udledes fra den forbrugsbaserede model ved tilføjelse
af restriktioner. I første del af dette kapitel illustreres dette for den klassiske CAPM som en forlængelse
af den forbrugsbaserede model for en enkelt periode. Efterfølgende kobles det til værdifastsættelse af
virksomheder.
5.1.1 Den klassiske CAPM
Med baggrund i de gennemgåede forudsætninger i kapitlet om Asset Pricing teori udledes nu en
version af den klassiske CAPM fra den forbrugsbaserede enkelt-periode model 34 .
På tidspunkt t = 1 forbruger alle investorer alt hvad de ejer og har, da det er sidste periode. Hvis
det antages, at de ikke modtager ekstra værdier fra løn eller lignende, betyder det, at
i ci = x =
dM =værdien af markedsporteføljen på tidspunkt t = 1. Eksisterer der yderligere en repræsentativ
investor, må denne have investeret i markedsporteføljen, hvorfor ci kan erstattes med dM. Værdipapir
j i (9) er således givet ved
vj = β f {E [dj] + Cov [q (dM) , dj]} j = 1, ..., J.
Den nødvendige antagelse er dernæst, at dividender fra markedsporteføljen og dividender fra
værdipapirer er simultant normalfordelte 35 :
dM ∼ N Ex, σ 2 x ,
.
dj ∼ N Ej, σ 2 j
34 Der fokuseres på én virksomhed, hvorfor fodtegnet i er udeladt.
35 CAPM kan udledes ved forskellige antagelser fra den forbrugsbaserede model. I litteraturen antages typisk enten
normalfordelt afkast eller kvadratiske nyttefunktioner, se eksempelvis Munk (2006).
32

Stein’s Lemma fortæller, at hvis X og Y er simultant normaltfordelte variable og F (·) er en given
differentiabel funktion med E [F ′ (Y )] < ∞, gælder det, at Cov (X, F (Y )) = E [F ′ (Y )] Cov [X, Y ].
Heraf følger, at (10) kan omskrives til
vj = β f E [dj] + E q ′ (dM) Cov [dM, dj]
j = 1, ..., J.
Den afledte af valuation indekset er stadig ukendt, men ved et lille trick kan denne substitueres
ud. Da værdien af det aggregerede forbrug nødvendigvis må følge samme regel for prisfastsættelse,
kan den skrives på samme form. Derved kan løses for E [q ′ (dM)] ved
vM = β f E [dM] + E q ′ (dM) V ar [dM] ⇔
E q ′ (dM) = Rfvm − E [dM]
.
V ar [dM]
Indsættes dette i udtrykket for vj giver det CAPM på value-form,
vj = β f
E [dj] + R f
Cov [dM, dj]
vM − E [dM]
V ar [dM]
Ved at definere dividender og det aggregerede forbrug i afkast,
R M ≡ dM
vM
, Rj ≡ dj
,
kan (26) istedet defineres på afkast-form 36 , som den er mere kendt for:
vj
j = 1, ..., J. (26)
E [Rj] = R f
+ E R M − R f Cov
markedsrisikopræmie
RM
, Rj
V ar [RM . (27)
]
Beta
Implikationen af CAPM er, at det er covariansen med markedsporteføljen, der bestemmer, hvilket
afkast et aktiv skal have. Det vil eksempelvis sige, at der af et aktiv, der giver et højt (lavt) afkast,
når afkastet på markedsporteføljen er lavt (højt), kræves et lavere forventet afkast, og dermed har
aktivet en højere værdi på grund af dets forsikrende effekt.
5.1.2 Standard model
CAPM fortæller således, at det forventede afkast på et givet værdipapir kan bestemmes ved (27), der
derfor kan bruges til at tilbagediskontere fremtidige dividender. En anden måde at vise dette på er
ved en omskrivning af ligning (27),
36 Se appendiks A9.
E [Rj] = R f
+
E [dj]
vj
= R f +
E R M − R f
β R M
, Rj ⇔
E R M − R f
β R M
, Rj ⇔
33

vj =
E [dj]
Rf
+ E R M − R f
β R M .
, Rj
risikopræmie for j, rpj
I praksis antages det generelt, at både den risikofrie rente, markedsrisikopræmien og følsomheden
overfor markedsporteføljen β, er konstante over tid. Denne simplificering leder til, at værdien af et
aktiv på tidspunkt t beregnes som
vjt =
=
R f + rpj
R f + rpj
= ... ⇔
∞
=
τ=t+1
−1 E [djt+1 + vjt+1] ⇔
−1 E [djt+1 + djt+2 + vjt+2] ⇔
R f −(τ−t) + rpj E [djτ ] .
I det empiriske afsnit benyttes residual indkomst modellen 37 fra tidligere afsnit samt en tids-
afhængig risikofri rente, selvom modellen egentlig anvender ikke-stokastiske renter. Derfor bliver
standard modellen til
vjt = bvt +
∞
τ=t+1
R f
−1 τt + rpj E [rijτ] . (28)
Efter at have præsenteret standard modellen vendes blikket mod de nyere modeller.
5.2 Christensen & Feltham
Dette afsnit gennemgår teorien til risikojustering foreslået af Peter Ove Christensen og Gerald
Feltham i arbejdspapiret Equity Valuation: Thirty Years Later (2006). Metoden er inspireret af
tidligere arbejde af Rubinstein (1976) og tager sit udspring i den Asset Pricing teori, der er blevet
gennemgået. En umiddelbar fordel er derfor, at den er konsistent med denne alment accepterede
ramme for værdifastsættelse. Som noget nyt er ideen heri at udnytte, at rentestrukturen kan ob-
serveres meget præcist, og derpå kan der bruges information indeholdt heri til værdifastsættelse
af andre aktiver. En anden iøjnefaldende konsekvens af modellen er, at regnskabsdata indtager en
fremtrædende rolle i risikojusteringen. Denne gennemgang adskiller sig fra artiklens ved, at der ikke
pålægges ekstra regnskabsforudsætninger på Residual Indkomst modellen.
Gennemgangen er opbygget således, at der gradvist pålægges yderligere antagelser, hvorved ef-
fekten af disse synliggøres.
37
Omskrivning til residual indkomst modellen fra modellen betragtet i dette afsnit som udgangspunkt er mere ligetil.
Udnyt at v0 = d1+v1
Rf +rp og substituer ind for d1 = Income1 − (bv1 − bv0) osv.
34

5.2.1 Grundlæggende antagelser og regnskabs-værdi relation
Først og fremmest er det nødvendigt med den grundlæggende antagelse, at der ingen arbitrage
muligheder eksisterer. Ved samtidig at antage at rummet af states er kontinuært, banes vejen for
brugen af mere kendte kontinuære sandsynlighedsfordelinger. Det betyder, at relation (13) istedet
skrives som
vjt (yt) = T
τ=t+1
Ξτ djτ (yτ) pτt (yτ | yt) , j = 1, ..., J.
Ved yderligere at benytte Clean Surplus relationen blev det tidligere vist, hvordan dividendemod-
ellen kunne omskrives til residual indkomst-formen, så
vt (yt) = bvt (yt) + T
τ=t+1
Ξτ riτ (yτ) pτt (yτ | yt) , ∀yt ∈ Yt, t = 0, 1, ..., T − 1.
Anvendelse af valuation indeks repræsentationen på ovenstående giver regnskabs-værdi relationen
vt (yt) = bvt (yt) + T
τ=t+1
β f
τt (yt) {E [riτ | yt] + Cov [riτ, qτt | yt]} . (29)
Dette giver en acceptabel, men ikke umiddelbar anvendelig sammenhæng, da valuation indekset q
endnu blot er en teoretisk konstruktion. Ideen er derfor at pålægge yderligere antagelser for at kunne
identificere q.
5.2.2 Den regnskabsbaserede flér-perioders værdifastsættelsesmodel
Ved at antage, at residual indkomster og valuation indekset er simultant normalfordelte, er det igen
muligt at udnytte Stein’s Lemma, der blev anvendt i forbindelse med udledningen af CAPM i sidste
afsnit. Lad der derudover være en ligevægt i et effektivt dynamisk komplet marked. Antag ydermere,
at investorerne har homogene sandsynlighedsfordelinger over sættet af events samt differentierbare,
strengt stigende, strengt konkave og tidsadditive præferencer med uendelig marginal nytte for ci → 0.
Valuation indekset kan nu skrives som en funktion af det aggregerede forbrug x.
Simultant normalfordelt residual indkomst og valuation indeks sammen med Stein’s Lemma an-
vendt på (29) giver med resten af antagelserne
vt (yt) = bvt (yt) + T
τ=t+1
β f
τt (yt)
E [riτ | yt] + E q ′
τt (xτ) | yt Cov [riτ, xτ | yt] . (30)
Da denne relation må værdifastsætte alle aktiver, må den ligeledes gælde for en fordring på det
samlede forbrug på tidspunkt τ. Det betyder, at
v x τt (yt) = β f
τt (yt)
E [xτ | yt] + E q ′
τt (xτ)
| yt Cov [xτ, xτ | yt] ⇔
E q ′
τt (xτ) | yt = Rf τt (y) vx τt (yt) − E [xτ | yt]
.
V ar [xτ | yt]
Med det aggregerede forbrugsafkast og det forventede aggregerede forbrugsafkast henholdsvis
35

afkastet på nettoaktiver (Return on Net Assets, ReNA) og det forventede afkast på nettoaktiver
defineret som
R x τt ≡
ReNAτt ≡
xτ
v x τt (yt)
riτ
bvt (yt)
kan regnskabs-værdi relationen skrives som
vt (yt) = bvt (yt) + T
vt (yt)
T
= 1 +
bvt (yt)
τ=t+1
τ=t+1
β f
τt (yt)
⎧
⎪⎨
E [riτ | yt] + Rf
¯R x τt (yt) ≡ E [xτ | yt]
v x τt (yt)
ReNAτt ≡ E [riτ | yt]
,
bvt (yt)
τt (y) vx τt (yt) − E [xτ | yt]
V ar [xτ | yt]
β f
τt (yt)
ReNAτt (yt) − ¯R
⎪⎩ 1.
x τt (yt) − R f
τt (y)
2.
Cov [riτ , xτ | yt]
Cov [ReNAτt, Rx τt | yt]
V ar [Rx τt | yt]
3.
⇔
⎫
⎪⎬
. (31)
⎪⎭
Værdifastsættelsesmodellen (31) viser tre delelementer, der umiddelbart springer i øjnene i forhold
til den traditionelle tilgang. Første punkt viser, at det andet led på højre-siden tilbagediskonteres med
en tidsafhængig risikofri rente og ikke en flad rentestruktur, som man i praksis oftest har for vane.
Punkt to er det aggregerede forbrugsafkast over den risikofrie rente på tidspunkt τ, der i artiklen
benævnes term structure of excess returns, der altså også er tidsafhængig. Det tredje punkt, covari-
ansen mellem afkast på aktiver og markeds-afkastet normaliseret med variansen på markedsafkastet,
benævnt term structure of systematic accounting risk, er anderledes end den sædvanlige faste beta,
som den er kendt fra eksempelvis CAPM.
En tidsafhængig rente er ikke noget problem, idet Nelson-Siegel eller en hvilken som helst anden
model for nulkuponrentestrukturen kan anvendes. Med hensyn til excess returns er det i praksis
accepteret, at den systematiske risiko ændrer sig over tid, hvorfor estimation typisk foregår over en
relativ kort periode, men alligevel antages fast derefter. En enkel måde at bestemme denne på er
derfor at antage, at excess returns er faste over tid, og at afkastet på et stort aktieindeks er en god
proxy for det forventede aggregerede forbrugsafkast, resulterende i en præmie nøjagtig som i CAPM.
At systematic accounting risk målt ved beta’erne bygger på regnskabstal, medfører på den positive
side, at der ikke opstår cirkularitet ved at værdien indgår til bestemmelse af afkast. Omvendt vil
datamateriealet være mere begrænset ved en tidsserieregression med regnskabsdata.
Det er således muligt at implementere modellen, som den er, men dette vil igen ignorere tids-
aspektet. I det følgende afsnit antages det, at investorernes præferencer er givet ved eksponentielle
nyttefunktioner, hvilket synliggør, hvad der ligger bag de tre elementer i (31), der blev pointeret.
Dette fører desuden til den model, der danner basis for estimation.
36

5.2.3 Den regnskabsbaserede model med exponentiel nyttefunktion
Lad det gælde, at der eksisterer en ligevægt i et effektivt dynamisk komplet marked og antag, at
investorerne besidder homogene sandsynlighedsfordelinger over sættet af states, tidsadditive nytte-
funktioner tilhørende HARA-klassen med identisk risiko varsomhed. Der forudsættes desuden samme
antagelser på nyttefunktionerne som gennemgået i afsnittet Effektivt komplette markeder i flér-periode
model, hvor der blev redegjort for, at forbrug herunder kan skrives som en lineær funktion af det
risikofrie aktiv og en konstant andel af markedsporteføljen, cit (xt) = fit +vixt. I den sammenhæng er
det væsentligt at erindre, at kravene, til hvilke værdipapirer der bør eksistere i økonomien, er mindre
for at sikre et effektivt komplet marked. Dette er specielt vigtigt i dette tilfælde, da rummet af states
er kontinuært.
Forudsæt nu yderligere, at investorerne mere specifikt har negative eksponentielle nyttefunk-
tioner, uit (cit) = −β P it exp [−cit/ρ i], hvor β P it = exp [−θit] er den personlige diskonteringsfaktor,
samt at risikoaversionen ikke afhænger af tid. Det gælder nu, at vi = ρ i/ρ 0 38 , hvor den aggregerede
risikotolerance er ρ 0 =
i ρ i, hvorfor valuation indekset i (19) kan formuleres som
qτt (xτ | yt) =
=
u ′ iτ
E u ′ iτ
fit + ρi ρ
xt
0
fit + ρ i
ρ 0 xt
| yt
exp [−xτ/ρ 0]
E [exp [−xτ/ρ 0] | yt] .
Ved at lægge de ekstra antagelser på fremkommer en eksplicit funktion for valuation indekset, så
fastsættelsen af markedsværdier kan studeres mere indgående. Differentieres valuation indekset med
hensyn til xτ og tages næstefter den betingede forventning, forenkles udtrykket til
E q ′
τt (xτ)
| yt = 1
E
ρ0 Det betyder, at (30) istedet kan skrives som
vt (yt) = bvt (yt) + T
vt (yt)
bvt (yt)
1
= 1 +
bvt (yt)
τ=t+1
T
τ=t+1
exp [−xτ/ρ 0]
E [exp [−xτ /ρ 0] | yt]
| yt
= − 1
.
ρ0 β f
τt (yt)
E [riτ | yt] − 1
Cov [riτ, xτ | yt] ⇔
ρ0 β f
τt (yt) {E [riτ | yt] − Cov [riτ, xτ/ρ 0 | yt]} ⇔
vt (yt)
T
= 1 + β
bvt (yt) τ=t+1
f
τt (yt) ReNAτt (yt) − Cov [ReNAτt, raccτ | yt] . (32)
raccτ er det risikojusterede aggregerede forbrug pr. investor, defineret ved
medens
38 Se Christensen & Feltham (2003), proposition 4.3.
raccτ = accτ/¯ρ,
37

accτ = xτ/I
¯ρ = ρ 0/I
er henholdsvis det aggregerede forbrug pr. investor og investorernes gennemsnitlige risikotole-
rance. Det betyder, at risikopræmien afhænger af covariansen mellem afkastet på aktiverne og det
aggregerede forbrug pr. individ, som det også tidligere blev vist, blot er det nu justeret for den
gennemsnitlige risikotolerance. En højere (lavere) risikotolerance i økonomien vil mindske (forstørre)
covariansudtrykket og dermed den præmie, investorerne er villige til at betale for et givent værdipapir.
Værdien af parameteren for risikotolerancen er dog ukendt, hvorfor mere information om denne er
nødvendig.
Det viser sig, at specifikationen af nyttefunktioner desuden har betydning for priserne på nulkupon-
obligationer, der kan beskrives ved (der summeres over hver event i yt på tidspunkt τ i (18))
β f
τt (yt)
E u
=
′
iτ (ciτ)
| yt
u ′
it (cit (yt))
Dette udtryk kan omskrives ved anvendelse af ovenstående antagelser 39 , sådan at
τt (yt) = βp
iτ
β f
= β 0 τt
β p
E [exp (−ciτ/ρi) | yt]
⇔
it exp (−cit/ρi) E [exp (−raccτ ) | yt]
.
exp (−racct)
Ved at anvende regler for forventede værdier bliver dette til en forbrugsbaseret model for nulkupon-
obligationspriserne,
β f
τt (yt) = β 0 exp
τt
−E [raccτ | yt] + 1
2var [raccτ | yt]
⇔
exp (−racct)
β f
τt (yt) = β 0
τt exp − E [raccτ | yt] − racct − 1
2 var [raccτ
| yt] . (33)
Ved at sammenholde (32) og (33) ses det, at racc indgår i begge. Det vil sige, at investorernes
risikotolerance, der bestemmer priserne på aktier, ligeledes bestemmer nulkuponpriserne. Ideen er
derfor, at kan man udlede information om racc fra nulkuponrentestrukturen, vil denne kunne bruges
til værdifastsættelse i sammenhæng med (32).
Næste afsnit forudsætter en bestemt model for udviklingen i ReNA- og racc-processerne, der
tillader et yderligere indblik i risikojusteringen. Efter at have specificeret tidsserie-egenskaberne er
det muligt at fastslå, hvordan den tidsafhængige risikojustering er sammensat.
39 En mere udførlig udledning er vist i appendiks A10.
38
.

5.2.4 VAR-model med negativ eksponentiel nytte
Der antages i artiklen en simpel VAR (Vector Auto Regressive) for ReNA- og racc-processerne,
for at få yderligere indsigt i risikojusteringsleddet. Den her benyttede VAR tjener således først og
fremmest som eksempel på, hvordan den endelige model kunne se ud. I praksis kunne vælges en mere
kompliceret model, men den mere simple model er tilstrækkelig til at vise effekten på risikojusteringen.
Antages det, at den stokastiske udvikling for ReNA og racc følger en førsteordens VAR med
mean-reversion til en deterministisk trend
ReNAτt − ReNA 0 t (1 + α) τ−t = ωr
raccτt − racc 0 t (1 + γ) τ−t = ωa
ReNAτ−1t − ReNA 0 t (1 + α) τ−1−t
+ ετ , (34)
raccτ−1t − racc 0 t (1 + γ) τ−1−t
+ δτ , (35)
hvor ωr ∈ [0, 1] og ωa ∈ [0, 1].
ετ og δτ er begge normalfordelte med middelværdi nul, serielt ukorrelerede med betingede vari-
anser V ar [ετ | yt] = σ 2 r og V ar [δτ | yt] = σ 2 a , og konstant betinget kovarians40 Cov [ετ, δτ | yt] = σra.
Fejlleddene, eller chokkene, udgør stokastikken i processerne og det er covariansen mellem dem, der
bestemmer størrelsen og fortegnet på risikojusteringen. En virksomhed er derfor mere værd i inve-
storernes øjne, hvis den uforudsigelige del af processerne covarierer negativt, det vil sige højere afkast
på den investerede kapital, når det aggregerede forbrug er lavere end forventet.
Løsning af (34) og (35) rekursivt giver
ReNAτt = ReNA 0 t (1 + α) τ−t + ω τ−t
r ReNAt − ReNA 0 τ−1−t
t +
raccτt = racc 0 t (1 + γ)τ−t + ω τ−t
a racct − racc 0 t
τ−1−t
+
s=0
s=0
ω s a δτ−s.
ω s rετ−s,
Konsekvensen af de antagede processer er dermed, at støddene fortsat vil påvirke værdien på
tidspunkt τ, men i aftagende grad. Med baggrund heri kan alle de nødvendige udtryk i (32) og (33)
beregnes ved at tage forventning og betinget varians 41 .
ReNAτt (yt) = ReNA 0 t (1 + α) τ−t + ω τ−t
r ReNAt − ReNA 0 t
V ar [ReNAτt | yt] = σ 2 r
τ−1−t
s=0
ω s2
r = σ 2 r
1 − ω 2[τ−t]
r
1 − ω 2 r
E [raccτt] = racc 0 t (1 + γ) τ−t + ω τ−t
a racct − racc 0 t
40 Denne kunne gøres tidsafhængig ved at specificere GARCH-processer for fejlleddene.
41 Udnyt, at der for en endelig geometrisk serie gælder,
a + ak + ak 2 + ... + ak n−1 = a 1−kn
1−k
39
(36)
(37)
(38)

V ar [raccτt | yt] = σ 2 a
medens risikojusteringen i (32) findes som
τ−1−t
s=0
RAτt (yt) ≡ Cov [ReNAτt, raccτt | yt] = σra
ω s2
a = σ 2 a
τ−1−t
s=0
1 − ω 2[τ−t]
a
1 − ω2 , (39)
a
(ωrωa) s = σra
1 − (ωrωa) τ−t
. (40)
1 − ωrωa
Af ovenstående kan følgende fremhæves; risikojusteringen er stigende for τ → ∞, hvilket er en
konsekvens af, at tidsserieegenskaberne for ReNA og racc netop indgår i risikojusteringen RAτt (yt).
Det er derfor kun i tilfældet, hvor ReNA er serielt ukorreleret (ωr = 0), at risikojusteringen er
konstant ved σra., da markedet ikke kan udlede ny information om ReNA før den egentlig rammer
på tidspunkt τ. Er der derimod tale om en virksomhed med høj persistens, ensbetydende med at år
med høje afkast typisk efterfølges af tilsvarende høje afkast, anerkender modellen dette og forlanger
en mindre risikopræmie på de forholdsvis sikre afkast årene efter. Først når (ωrωa) τ−t er konvergeret
til 0, er risikojusteringen konstant, hvorefter effekten af et eventuelt positivt stød i ReNA-processen
er forsvundet helt.
Endelig sammenlignes i artiklen af Christensen & Feltham risikojusteringen i modellen med to
alternativer.
Først studeres den implicitte risikojustering RA SM
τt , der foretages ved standard metoden for værdifastsættelse.
Denne må, hvis der benyttes en tidsvarierende rente, for en given løbetid τ kunne
beskrives ved
1 + r f
τt (yt)
−(τ−t) + rp (yt) ReNAτt (yt) =
RA SM
τt (yt) = ReNAτt (yt)
1 + r f
τt (yt)
−(τ−t) ReNAτt (yt) − RA SM
τt (yt) ⇔
1 −
1 + r f
τt (yt)
1 + r f
τt (yt) + rp j (yt)
τ−t
Sammenholdes denne med (40), ses to væsentlige forskelle; den forventede værdi af ReNA indgår
i risikojusteringen, hvilket betyder, at virksomhederne bliver straffet ved høje størrelser af denne.
Særligt trendkoefficienten α har indflydelse på størrelsen af RA SM . Virksomheder med høj vækst
diskonteres således hårdere end lavvækst-virksomheder, selvom de ikke nødvendigvis er mere risik-
able, men blot fordi de har en høj vækst. Omvendt har virksomheder med en lav vækst en mindre
risikojustering, alene fordi de har en lav vækst. Den anden ting, der adskiller de to er, at ved høj
mean reversion (ωr lav) vil justeringen i (40) lynhurtigt gå mod en konstant, hvorimod (41) vil fort-
sætte med at øge risikojusteringen over tid gennem akkumulerede risikopræmier. Virksomheder, der
udviser lavere persistens, vil derfor konsekvent blive undervurderet ved standardmetoden. Samtidig
er der for virksomheder med høj persistens (ωr høj) et øvre loft, når (ωrωa) τ−t går mod 0. Som før
vil (41) øge risikojusteringen, lige indtil den er konvergeret mod ReNA, når andet led i parantesen
er 0. Standard modellen går således mod en fuldkommen risikojustering. da der ikke udnyttes viden
om tidsserieegenskaberne for ReNA. Det grundlæggende problem med standardmetoden for værdi-
fastsættelse er ifølge dette, at der ikke udnyttes information om virksomhedernes tidsserieegenskaber
for indtægter, men at der simpelthen risikojusteres uhæmmet.
40
.(41)

I Ang & Liu (2004) er præsenteret en model, der tilbagediskonterer fremtidige indtægter med en
risikojusteret rente ligesom i standard modellen. I denne er der dog taget højde for tidsvarierende
risikopræmier og tidsvarierende beta’er, hvorfor der estimeres en struktur af diskonteringsrenter,
R f
t + rpt, for t = 1, ..., T . Risikojusteringen heri kan derfor tilsyneladende ligeså godt vælges som den
i Christensen & Feltham modellen. For at se, hvad en risikojustering som i Christensen & Fetham
indebærer for risikopræmien i diskonteringsrenten, løses for rpt i følgende
ReNAτt (yt) 1 + r f
τt (yt)
−(τ−t) + rpτt (yt) =
ReNAτt (yt) − RAτt (yt) 1 + r f
τt (yt)
−(τ−t) .
Der eksisterer dog ikke altid en løsning til denne ligning; i det tilfælde, at virksomheden har et lavt
afkast på egenkapitalen og en høj risikojustering, dvs. ReNAτt (yt) < RAτt (yt), vil højresiden være
negativ. Venstresiden, derimod, vil altid være positiv så længe ReNAτt (yt) > 0 og antallet af år τ fra
t er positivt, uanset størrelsen på rpτt (yt). Man skal altså være opmærksom på, at der er tilfælde, hvor
risikojusterede diskonteringsrenter slet ikke kan anvendes. Antages det, at ReNAτt (yt) > RAτt (yt),
er det dog muligt at finde en løsning, givet ved
rpτt (yt)
1 + r f
τt (yt)
=
=
ReNAτt (yt)
ReNAτt (yt) − RAτt (yt)
1
1 − RAτt(yt)
ReNAτt(yt)
1
(τ−t)
− 1.
1
(τ−t)
− 1 ⇔
Af (40) ses det, at risikopræmien er stigende i covariansen mellem ReNA og racc, og af (36) at
den er faldende i vækstraten α, som det forventes. Løsningen til rp viser endvidere, at den bliver et
meget sammensat mål, der gør det svært at gennemskue, hvilke processer, der præcis tages højde for
i diskonteringsrenten.
I artiklen er til sidst vist et numerisk eksempel for en risikopræmie svarende til justeringen i Chris-
tensen & Feltham modellen. Dette viser, kort fortalt, at konsistens mellem de to metoder kræver, at
risikopræmien falder markant for høje τ. Dette bekræfter desuden observationen fra sammenligning-
en med standard modellen om, at en fast risikojusteret rente havde en tendens til at undervurdere
værdien af de fremtidige indtægter. Samtidig viser det, hvor let det er at undervurdere effekten af en
diskonteringsrente og den risikojustering, den indebærer. Der kan således ikke ukritisk benyttes en
risikojusteret rente til værdifastsættelse.
5.3 Shroff & Nekrasov
Dette afsnit gennemgår teorien til risikojustering foreslået af Pervin K. Shroff og Alexander Nekrasov
i artiklen Fundamentals-based Risk Measurement in Valuation (2006). I stedet for at måle risiko gen-
nem afkastet på markedspriser benyttes virksomhedens fundamentals, det vil sige tal fra regnskabet 42 .
42 Da anvendelse af regnskabstal nærmest er et paradigme i denne artikel, er valgt at motivere brugen af dem i
forbindelse med denne gennemgang, selvom det er ligeså relevant for Christensen & Feltham modellen.
41

Som der redegøres for i følgende afsnit, er der flere relevante grunde til, hvorfor det kunne være in-
teressant at inddrage fundamentals i måling af risiko.
5.3.1 Motivation for benyttelse af regnskabstal i risikojustering
I et tidligere afsnit blev sammenhængen mellem dividender og regnskabstal gjort eksplicit, da det blev
vist, hvordan Residual Indkomst modellen kunne udledes af Dividende modellen. Sammenhængen
mellem distributionen og genereringen af værdi er væsentlig, da den understreger, at værdien af
et aktiv grundlæggende udspringer af dens operationelle aktiviteter. Det er i sidste ende, hvordan
virksomheden udfører disse aktiviteter, der er bestemmende for, hvor risikofyldt den er. Det kunne
derfor forventes, at fundamentals, såsom earnings, der afspejler resultatet af aktiviteterne, er bedre
at basere måling af risiko på fremfor afkast.
Afkastbaserede risikomål som CAPM tilbyder en enkel og ligetil måde at justere for risiko, men
samtidig er særdeles usikre estimater en del af deres virkelighed, der i sidste ende medfører et skræm-
mende stort konfidensinterval for værdifastsættelse. Penman (2003) konstaterer på denne baggrund,
at der er for megen støj i modellerne til at opnå et tilfredsstillende mål. Shroff & Nekrasov nævner
ligeledes, at det i det hele taget er usikkert hvilke risici, der fanges i et så komplekst mål som afkast.
En bedre måde at måle risiko på er derfor ønskelig.
Spørgsmålet om, hvorvidt regnskabet kan være til nogen nytte i forbindelse med evaluering af
risiko, har været studeret før. Et eksempel på dette er Beaver, Kettler & Scholes (1970). Baggrunden
for artiklen var, at forfatterne bemærkede, at regnskabssystemet leverede oplysninger, der kunne
bruges som mål for risiko såsom diverse ratioer, men at der på samme tid ikke kunne knyttes en
sammenhæng mellem regnskabsmålene for risiko og traditionelle markedsmål kendt fra porteføljeteori.
Et af formålene med artiklen var derfor at afdække, hvilke regnskabsdata, der er indeholdt i det
risikoniveau, der bestemmer markedspriserne. Dette blev undersøgt ved at konstruere regnskabsmål
for risiko baseret på følgende: dividendeudbetaling, vækst, gældsniveau, likviditet, størrelse, earnings-
variabilitet samt covarians med earnings. Listen var ikke tænkt som udtømmende, men værende i
stand til at dække de væsentligste forhold. Det sidste mål er er en slags accounting-beta, der er
estimeret i stil med CAPM, blot med både earnings- og prisdata. Som det bliver vist senere minder
denne en del om Shroff & Nekrasovs risikomål. På baggrund af disse estimeredes for hver underperiode
cross-sektionelle korrelationer mellem markedsrisikomålet, CAPM-beta, og hver af de syv regnskabs
risikomål. Resultatet var over en bred kam, at risikomålene fra regnskabet var højt korrelerede med
den af CAPM implicerede risiko. Forfatterne konkluderede derfor, at regnskabstal reflekterer den
underliggende risiko i en virksomhed, som er indeholdt i dens prisfastsættelse.
Derudover forsøgte artiklen at besvare spørgsmålet om, hvorvidt regnskabs risikomål kan forecaste
fremtidig risiko. Dette blev udført ved at anvende regnskabsmålene som instrument variable i en cross-
sektionel regression på CAPM-beta for den første periode, der blev betragtet. Hvis der er målefejl
i CAPM, men den uafhængige variabel fra dens regression er korreleret med regnskabsmålene, der
tilgengæld er ukorrelerede med fejlleddet, kan instrument variabel metoden fjerne fejlen (kendt som
42

attenuation bias) 43 . I en sammenligning af hvorvidt CAPM-estimatet fra første periode eller den
fittede værdi fra IV-regressionen bedst forudsagde anden periodes beta-estimatet, var sidstnævnte
en klasse bedre. Forfatterne drog derfor konklusionen, at regnskabsmål for risiko kan føre til en
forbedring i forudsigelser.
I Fama & French (1995) følges op på tidligere arbejde ved at påvise en forbindelse mellem Fama-
French faktorerne og profitabilitet (gennem earnings). De finder således, at virksomheder med høje
book-to-market værdier har konstante lave earnings, medens lave book-to-market virksomheder er
konstant profitable. Ligeledes finder de, at små aktier har en tendens til at være mindre profitable
end store aktier. Konklusionen er således, at de risikofaktorer, der reflekteres i book-to-market- og
size-porteføljerne, ligeledes residerer i earnings.
Det er således empirisk understøttet, at regnskabet indeholder information om de faktorer, der
påvirker, hvor risikabel en virksomhed er. Artiklen, der præsenteres i dette kapitel, er dog sammen
med Christensen & Feltham artiklen, så vidt vides, blandt de første seriøse forsøg på at risikojustere
ved brug af regnskabstal.
5.3.2 Teoretisk udledning af model
Som for de to tidligere modeller benyttes her ligeledes Residual Indkomst modellen. Et naturligt
valg, da denne åbner op for muligheden for at benytte regnskabstal. I dette tilfælde tages ligesom i
Christensen & Feltham modellen afsæt i den klassiske Asset Pricing-teori, hvorfor udgangspunktet
for modellen minder om ligning (29). Dog er ikke pålagt andre restriktioner end ingen arbitrage,
så Valuation Indekset er ikke koblet til det aggregerede forbrug. Shroff & Nekrasov har valgt i-
stedet for valuation indekset at repræsentere deres model ved eventpris deflatoren, hvilket blot er en
omskrivning af (29) til
vt (yt) = bvt (yt) + ∞ E [rit+τ | yt]
τ=1 R f
t+τ,t (yt)
τ +
Risikofrie nutidsværdi
∞
Cov [rit+τ, mt+τ,t | yt] .
τ=1
Risikojustering
Modellen er fomuleret i to led ligesom Christensen & Feltham; først værdien af virksomheden
uden risiko involveret og dernæst risikojusteringsdelen, der foregår gennem covariansen mellem de
fremtidige residual indtægter og eventpris-deflatoren. Det er naturligvis risikojusteringsleddet, der
har vor interesse, men som ovenfor vist er den stadig ikke meget bevendt; estimation af et uendeligt
antal (eller T ) fremtidige covarianser er ikke en implementerbar mulighed uden et ekstra lag af
antagelser som i Christensen & Feltham modellen. Shroff & Nekrasovs løsning på dette problem er
en række antagelser, der simplificerer risikojusteringen for at gøre den tilstrækkelig medgørlig.
For det første omskrives residualindtægter til overnormalt afkast på egenkapitalen (Excess Return
On Equity, EROE)
43 Se eksempelvis Johnston & Dinardo (1997).
rit = nit − rf × bvt−1 ⇔ EROEt = rit/bvt−1 − rf,
43

hvor der antages en flad, ikke-stokastisk rente. EROE minder en del om ReNA fra sidste afsnit.
Forskellen ligger i, at EROEτt er skaleret med bvτ−1,t, hvorimod ReNAτt skaleres med bvt.
Risikojusteringen bliver for den første periode derfor
bvt (yt) Cov [EROEt+1, mt+1,t | yt] .
Shroff & Nekrasov påpeger, at EROE-serier er mere stationære end ri-serier, hvilket bruges som
rimeliggørelse af hovedantagelsen i udledningen, nemlig at der er konstant covarians mellem EROE
og eventpris-deflatoren,
Cov [EROEt+τ, mt+τ,t | yt+τ−1] = Cov [EROE, m] .
Dernæst antages det, at forventningen til EROEt+τ er den samme over tid, det vil sige, at
investorerne ikke opdaterer deres information, hvorfor
E [EROEt+τ | yt+τ−1] = E [EROEt+τ | yt] .
Sluttelig antages en tilfældig, men ikke-stokastisk dividende politik
kt+τ = Divt+τ
Earnt+τ
Ved anvendelse af ovenstående antagelser kan risikojusteringen for den første periode skrives som
bvt (yt) Cov [EROEt+1, mt+1,t | yt] ≡ bvt (yt) Cov [EROE, m] .
For anden periode dekomponeres eventpris-deflatoren i to dele, således at mt+2,t = mt+1,tmt+2,t+1
(se ligning (17)). En omskrivning fører derfor til
Cov [rit+2, mt+2,t | yt]
= Cov [Bt+1EROEt+2, mt+1,tmt+2,t+1 | yt] ⇔
= E [bvt+1 | yt]
Cov [m, EROE]
(1 + rf)
+bvt (yt) (1 − kt+1) Cov [m, ROE] Cov [m, EROE] + E [EROEt+2
| yt]
.
(1 + rf)
(42)
Udledningen af (42) er ikke ligefrem, hvorfor en mere detaljeret version af den er placeret i
appendiks A11.
Empirisk udgør anden del af højresiden ifølge artiklen en ubetydelig andel af den samlede risiko-
justering, hvorfor denne kan udelades og udtrykket reduceres til det mindre komplicerede første led 44 .
Ved at gentage dette for alle de resterende covarianser som i (42) og summere over dem, er den
resulterende risikojustering på tidspunkt t derfor givet ved
∞
τ=0
∞
τ=1 .
E [bvt+τ | yt]
(1 + r f ) τ Cov [m, EROE] (43)
44 I artiklen nævnes desuden tre tilfælde under hvilke relationen er eksakt, blandt andet under en komplet dividende
payout-politik.
44

Ligesom i teoriafsnittet og Christensen & Feltham modellen er det en nødvendighed at pålægge
flere antagelser for at identificere den stokastiske diskonteringsfaktor m. I Shroff & Nekrasov artiklen
simplificeres opgaven betydeligt ved at antage, at der eksisterer prisfaktorer, for hvilke
m = a −
l blfl.
Hvor Christensen & Feltham modellen specificerer det risikojusterede aggregerede forbrug pr.
capita som den betydende faktor, er der ingen hjælp at hente i Shroff & Nekrasov modellen.
Desuden er anvendt tidsafhængige renter for at have et éns sammenligningsgrundlag, men det
skal siges, at betydningen heraf på (43) er uvis. Dette implicerer, at den endelige model kan skrives
som
vt (yt) = bvt (yt) + ∞
τ=1
E [riτ | yt]
R f
t+τ,t (yt)
τ + ∞ E [bvt+τ | yt]
τ=0 R f
t+τ,t (yt)
τ l blCov [fl, EROE] . (44)
Risikojustering
I det følgende afsnit diskuteres fordele og ulemper ved de tre metoder.
5.4 Diskussion af modeller
Som afslutning på forrige kapitel blev det konkluderet, at det var vigtigt med et solidt økonomisk
teoretisk framework som udgangspunkt for modeller til værdifastsættelse. Med den klassiske Asset
Pricing teori in mente, gives derfor en vurdering af antagelserne i de gennemgåede modeller.
Den første model, der blev udledt, var standard modellen, hvor risikojusteringen foregår i diskon-
teringsrenten ved brug af CAPM. Sammenlignet med Asset Pricing teorien springer det i øjnene,
at modellen er udledt fra en én-periode model. Denne åbenlyse oversimplificering står i skærende
kontrast til læren fra flér-periode modellen, hvor risikojusteringen på et tidspunkt t afhænger af
covariansen mellem dividender og valuation indeks på dette tidspunkt, se (20). Konsekvensen af
én-periode modellen er derfor, at både beta og risikopræmie 45 holdes konstante, i direkte modstrid
med Asset Pricing teori og hvad der observeres i virkeligheden. Det blev ligeledes gjort klart under
afsnittet om Pricing Factors, at i en flér-perioder faktor-model må koefficienterne følge en adapteret
proces, hvorfor de ikke pr. automatik kan betragtes som konstanter. Kun under særdeles strenge
antagelser kan modellen, som vist, udvides til at gælde i flere perioder. I praksis er der dog en lidt
underlig logik ved på den ene side at anvende modellen under disse strenge antagelser, og på den
anden side at acceptere, at elementerne varierer over tid, ved at forsøge at tage højde for dette under
estimationen af modellens parametre.
Dernæst kan modellen udledes under flere forskellige sæt af antagelser, såsom normalfordelte
afkast eller kvadratiske nyttefunktioner, men fælles for disse antagelser er, at de anses for urealistiske;
empiriske fordelinger for afkast har mere sandsynlighedsmasse i yderpunkterne end normalfordelingen
(Penman 2004), og investorernes præferencerer repræsenteres dårligt af kvadratiske nyttefunktioner,
da de er ensbetydende med mæthed og stigende risiko aversion. Endelig er markedsfaktoren den
45 I mange tilfælde også den risikofrie rente.
45

eneste faktor, ifølge CAPM, der har betydning for, hvilket forventet afkast et aktiv skal have. Ikke
desto mindre er der kritik af markedsfaktoren for ikke at være en perfekt indikator for, hvilken state
økonomien befinder sig i 46 . Dermed fanger den ikke fuldt ud investorernes marginale nytte.
Ikke overraskende er der en alenlang liste af litteratur, der leverer empiriske beviser mod CAPM 47 .
Ikke desto mindre er CAPM stadig én af de mest anvendte modeller, hvilket ikke mindst skyldes, at
den er meget let at implementere. Dette er dog emnet i næste kapitel, så der vendes tilbage til dette
punkt.
Når der sammenlignes med modellen foreslået af Christensen & Feltham er der ingen tvivl om,
hvilken der er at foretrække teoretisk. Modellen bygger således på fundamentet fra Asset Pricing og er
derfor i høj grad konsistent med den bredt accepterede teori. Det er således inkoorpereret i modellen,
at renter er stokastiske, samt at risikopræmier og beta’er varierer over tid. Alle tre er punkter som
CAPM kan kritiseres for.
Dog indebærer denne model, at der må træffes en lang række svære valg. Den endelige model
for renten og selvfølgelig risikojusteringen er først og fremmest afhængig af, hvilken nyttefunk-
tion, der bedst repræsenterer investorernes præferencer. Samtidig er det et godt spørgsmål, hvordan
processerne for racc og ReNA bedst modelleres. I det gennemgåede eksempel er vist en én-faktor
model, men de mulige udvidelser er talrige; man kunne eksempelvis tænke sig at gøre ρ tidsvari-
erende eller modellere en proces for σra. Det kan således blive en temmelig kompliceret model og
dermed estimationsproces - under alle omstændigheder vanskeligere end under standardmodellen.
Hvis der på den anden side ønskes en model, der netop tager højde for den tidsmæssige variation
i risikojusteringen, må disse spørgsmål nødvendigvis behandles. Modellen kan med sine mange mu-
ligheder for udvidelse fungere som et springbræt, til at benytte yderligere information fra regnskabet
eller kæde andre variable relateret til forbrug ind i risikojusteringen. Dette kunne endda tænkes at
fremhæve andre forskelle mellem virksomheder og i sidste ende øge vores viden om værdifastsættelse
af virksomheder.
Begge nye metoder foretager opdeling af værdifastsættelsen i en risikofri nutidsværdi og tilhørende
risikojustering. Sammenlignet med den traditionelle risikojustering gennem diskonteringsfaktoren
giver det langt bedre mulighed for at analysere, hvor stor en risikopræmie, der er forbundet med
investering i en given virksomhed, og hvordan den er sammensat. At risikojusteringen ikke er gemt
væk i en uigennemskuelig diskonteringsrente vil helt klart kunne være behjælpelig i sammenligning
af virksomheder og industrier. Ydermere blev der gjort rede for i forbindelse med gennemgangen af
Christensen & Feltham modellen, at man må være varsom med at anvende risikojusterede diskon-
teringsrenter, da det let kan føre til en fejlagtig værdifastsættelse. Samtidig er der tilfælde, hvor
risikojusterede diskonteringsrenter slet ikke kan benyttes, hvorfor risikojustering gennem tælleren på
denne måde er mere praktisk.
Herudover er det væsentligste bidrag fra Shroff & Nekrasov modellen at benytte regnskabstal i
risikojusteringen, da valget af faktorer i artiklen stadig er fuldstændig mainstream. Som beskrevet
46 Notater fra faget Empirical Finance (2005) og Cochrane (2005).
47 Se eksempelvis Campbell, Lo, MacKinlay (1997).
46

kan der da også gives flere gode grunde til, hvorfor regnskabstal bør overvejes seriøst. Dermed ikke
sagt, at det er umuligt at snyde med regnskabstal, men der kan optræde alt muligt ikke-efficient
i aktiekurser, såsom bobler eller thin trading, der gør regnskabstallene mere attraktive. Det kunne
også forventes, at Shroff & Nekrasov modellen var bedre til værdifastsættelse, når prisdata er af ringe
kvalitet som ved illikvide aktier.
Selvom det ikke virker, som om der er så mange antagelser i Shroff & Nekrasov modellen i forhold
til dem, der blev nævnt under gennemgangen af Christensen & Feltham modellen, er antagelserne
her af en helt anden kaliber. Eksempelvis er en lineær faktor model for eventpris deflatoren en
meget streng antagelse. I artiklen lægges der ellers vægt på, at modellen tager udgangspunkt i Asset
Pricing teori, men der gøres i udledningen af modellen så lang en række forsimplende antagelser,
at sammenhængen til sidst bliver temmelig udvandet. Christensen & Feltham og Shroff & Nekrasov
artiklerne står indledningsvis ved den samme skillevej; der kan vælges mellem at specificere flere dele
af modellen, såsom investorernes præferencer, for at kunne identificere de bagvedliggende elementer
i risikojusteringen, eller vælge en række simplificerende antagelser, der gør modellen lettere at gå til.
Shroff & Nekrasov har valgt den sidste vej. Udover blot at benytte pricing factors forudsættes ikke-
stokastiske renter, konstant fremtidig covarians, og at investorerne ikke opdaterer deres forventninger.
Et andet kritikpunkt i den forbindelse er, at antagelserne ikke nødvendigvis gør, at modellen er
eksakt. Udgangspunktet er en accept af, at risikojusteringen varierer over tid, men antagelserne gør
den konstant, så i den henseende er den på mange måder lige så ringe teoretisk funderet som enkelt-
periode CAPM. Forfatterne understreger dog, at formålet ikke kun er en teoretisk acceptabel model,
men også at gøre den mulig at implementere i praksis.
Kort opsummeret blev det fundet, at modellen foreslået af Christensen & Feltham udmærker sig
ved, at den er i stand til at opfylde de teoretiske krav, der kan stilles til en værdifastsættelsesmodel,
hvilket dog øger kompleksiteten betydeligt. Derimod hviler såvel CAPM som Shroff & Nekrasov
modellen på strenge antagelser, der dog leder til en relativ simpel værdifastsættelsesmodel. Næste
kapitel behandler den praktiske vinkel af modellerne.
47

6 Empiri
Opbygningen af det empiriske kapitel består af følgende dele; først beskrives datamaterialet, dernæst
redegøres for de estimeringsmetoder, der er anvendt ved de tre modeller samt relevante statistikker
fra estimationen af modellernes parametre. Endelig præsenteres resultaterne, der følges op af en
diskussion.
6.1 Datamateriale
Til implementeringen af modellerne er valget faldet på 21 aktier fra Standard & Poor 100 48 , da det
forventes, at data omkring virksomhederne heri er af god kvalitet. For at estimere modellerne, der
som sagt alle har Residual Indkomst modellen som omdrejningspunkt, er anvendt en lang række data,
hvoraf en stor del er regnskabsdata. Fra Compustat North America er hentet Book Value per Share
(BPS), Earnings per Share (EPS) og Dividend Rate for årene 1972-2005.
Til forudsigelse af fremtidige earnings er anvendt I/B/E/S Consensus Forecasts ét og to år frem,
og Long Term Growth (LTG) til at forecaste earnings 3-6 år frem. I/B/E/S-forecastene er indsamlet
fra professionelle analytikere og reflekterer derfor den gennemsnitlige forventning. Disse er hentet fra
Datastream for årene 1982-2005. Tallene er fra begyndelsen af april måned ligesom i Shroff & Nekrasov
artiklen, formentlig for at sikre sig, at der i analytikernes forecasts er inkoorpereret oplysninger fra
det seneste årsregnskab. I de år, hvor to-års forecastet af earnings er negativt, er virksomheden fjernet
fra samplen, da det vil være misvisende at basere fremskrivningen på dette.
Diverse prisdata er alle hentet fra Datastream og indbefatter markedskurser for samplevirk-
somhederne og MSCI World indekset.
Som risikofri rente til beregning af risikopræmien i CAPM er valget faldet på den 10-årige US
Treasury Constant Maturity. Ifølge Grinblatt & Titman (2002) 49 er der ingen teoretisk begrundelse
for at vælge en rente med en lang løbetid frem for en kort, men da praktikere anbefaler en 10-årig
rente ud fra et argument om, at denne giver det bedste match med en virksomheds generering af
værdi over tid, er valget faldet herpå 50 . I Shroff & Nekrasov artiklen er den 10-årige rente endvidere
blevet valgt som konstant rente. At der er nogen uenighed om valget ses blandt andet ved, at der i
et test af den klassiske CAPM i Campbell, Lo, MacKinlay (1997) er anvendt ét-måneds US Treasury
Bill Return.
Desuden inkluderer datasættet årlige nulkuponrenter stillet til rådighed af Ph.D.-studerende
Martin Andreasen, der har estimeret rentestrukturen ud fra amerikanske obligationsdata ved hjælp
af Nelson-Siegel modellen. På baggrund heraf er Forward-renterne og nulkuponobligations-priserne
udledt. Da dette datasæt desværre kun strækker sig tilbage til 1985, er den 10-årige US Treasury
rente anvendt for perioden 1973 til 1984.
48
Se listen i Appendiks B1.
49
Se s. 395.
50
Se eksempelvis Koller, Goedhart & Wessels (2004).
48

I forbindelse med Christensen & Feltham modellen er benyttet forbrugsdata bestående af Non-
durable Goods og Services, som er det anbefalede mål for forbrug 51 , samt befolkningstal, der er hentet
fra Federal Reserve Bank of St. Louis. Ovenstående samt yderligere oplysninger om datamaterialet
er at finde i vedlagte regneark.
6.2 Estimation af modeller
6.2.1 Estimation af risikofrie værdi
Som det er fremgået af beskrivelserne af Shroff & Nekrasov og Christensen & Feltham modellerne,
sker værdifastsættelsen i to led: den risikofrie nutidsværdi og en tilhørende risikojustering. I dette
afsnit beskrives estimationen af den risikofrie værdi, der er ens for de to modeller. Desuden foregår
estimationen af standard modellen ligesom estimationen af den risikofrie værdi, blot med en risiko-
justeret rente.
Den risikofrie værdi (RF P V ) beregnes ved 52
RF P Vt = bvt + 5
τ=1
E [RIt+τ | yt]
1 + r f
E [RIt+6 | yt]
τ +
t+τ,t 1 + r f
5
t+5,t r f
. (45)
t+20,t − g
Der forecastes altså 6 år frem ved hjælp af I/B/E/S tallene, hvor beregningen af residual ind-
komsten foretages ved opsplitning i de to komponenter, earnings og bogført værdi af egenkapitalen.
Beregningen af værdierne forenkles, da det ved brug af I/B/E/S tallene ikke er nødvendigt at forecaste
resten af regnskabet som sædvanligt. I (45) er det desuden væsentligt at bemærke terminalværdibereg-
ningen, der er kendt som Gordon´s vækstformel. Denne beregning gælder kun, såfremt renterne er
konstante og ikke-stokastiske. Ved at vælge den 20-årige løbetid på rentestrukturen har nulkupon-
renten nået et forholdsvist konstant niveau og giver derfor et fornuftigt bud på den gennemsnitlige
rente, der må gælde for terminalperioden. Var valget istedet faldet på den 5-årige løbetid, ville renten
ikke nødvendigvis have nået et sådant niveau, hvilket kan have en enorm indvirkning på terminalvær-
dien. Særligt de sidste tre år i sampleperioden er strukturen stigende, hvorfor terminalværdien vokser
eksplosivt her, hvis ikke den 20-årige rente vælges.
Earnings for de første to år er som sagt I/B/E/S-estimater, medens earnings 3-6 år frem findes
ved at fremskrive earnings fra det andet år med LTG-estimatet.
De fremtidige bogførte værdier af egenkapitelen indgår i residual indkomsterne, men også i bereg-
ningen af den kapitaliserede bogførte egenkapital i (44). Der beregnes fremtidige Book Value per
Share ved hjælp af Clean Surplus relationen, dvs. E (BP St+1) = BP St + EP St+1 − DP St+1. Frem-
tidige dividender er fundet ved at benytte dividende payout ratio for det seneste år i samplen, eller
et år tæt på, der virker normalt set over hele perioden. Hvis earnings er negativt et år, bestemmes
payout ratio til værende 10% af BPS 53 .
51 Se eksempelvis Campbell, Lo & MacKinlay (1997), kapitel 8.
52 Alle beregninger i regneark osv. er foretaget på et per share basis. Bemærk, at terminalværdien kun tilbagediskonteres
5 år, da vækstformlen indebærer, at terminalværdien allerede er nutidsværdien på t = 5, se Koeller, Goedhart &
Wessels (2004), s. 340.
53 Shroff & Nekrasov benytter 6% af samlede aktiver, men dette tal er ikke inkluderet i datasættet.
49

Renten, der benyttes som afkastkrav i residualindkomsten er forward-renterne fundet ved R f τ 2,τ 1 =
τ 1
R2 + (R2 − R1) τ . I ovenstående er vækstraten sat til 0, hvilket ikke er afgørende, da det er de
2−τ 1
relative værdifastsættelser, der har interesse. Sluttelig diskonteres den resulterende værdi frem til 01.
april for at kunne sammenligne med markedsværdierne.
I figur 3 er afbildet den gennemsnitlige risikofrie nutidsværdi for samplen med den gennemsnitlige
markedskurs pr. aktie. Forholdet mellem den risikofrie værdi og markedets værdi er nogenlunde
stabilt, men en smule højere i de sidste tre år 54 .
6.2.2 CAPM
Dollars
100,00
90,00
80,00
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
0,00
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
År
RFPV Markedskurs
Figur 3. Risikofrie nutidsværdi og markedskurser.
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Estimation af afkastkravet fra egenkapitalen følger den gængse metodik, skildret i det følgende 55 .
CAP-modellen i (27) fortæller, at det forventede afkast for et aktiv er bestemt ved den risikofrie
rente tillagt en præmie, der afhænger af aktivets covarians med markedsporteføljen. Denne ligning er
kendt som Securities Market Line (SML) og giver det forventede afkast på alle aktiver. Estimation
af en virksomheds placering på denne linie foregår ved en tidsserieregression af aktivets afkast på
markedsporteføljens afkast (begge i excess returns, hvor den risikofrie rente er den 10-årige rente) 56 .
Det vil sige for aktiv i 57
erit = α + β iermt + εt, εt ∼ IID.
Her er den vigtige antagelse med henblik på at opnå unbiased og konsistente skøn, at fejlleddet er
uafhængigt og identisk distribueret (IID). Se eksempelvis Johnston & Dinardo (1997) for en komplet
54
I appendiks B2 er dette vist tydeligere.
55
Koller, Goedhart & Wessels (2004), blandt andre, indeholder en praktisk beskrivelse.
56
Denne måde at omskrive CAPM på er iorden, hvis der antages ikke-stokastiske renter, se noter fra faget Empirical
Finance (2006).
57
I regressionen er inkluderet en konstant, der er lig nul, hvis Capital Asset Pricing Modellen er sand, idet α forskellig
fra nul indebærer, at der risici som modellen systematisk ikke er i stand til at forklare.
50

liste over designkriterier 58 . Der rapporteres ikke statistikker for, hvorvidt disse er opfyldte, dog er
det en kendt sag, at der er en tendens til at være problemer med fejlleddet.
Efter at have opnået et estimat på β i, indsættes dette i SML, og afkastkravet for tidspunkt τ
bestemmes med værdien af nulkuponrenten med løbetid τ og markedsrisikopræmien.
Et estimat på markedsrisikopræmien er fundet ved at tage det aritmetiske gennemsnit af det
historiske afkast på markedsporteføljen over den 10-årige risikofrie rente 59 :
2006 R
t=1971
M t+1,t
R f
t+1,t
= 1, 71%.
Estimatet er out-of-sample for at få den længste mulige periode, da det er enormt afhængigt af
den valgte periode; vælges perioden 1973-2006 ændres resultatet til 1, 17, medens perioden 1975-2006
giver 2, 95. Hvor præmien befinder sig, er der megen uenighed omkring. Lektor Claus Parum fra CBS
har estimeret den til ca. 3% for danske data, medens Nationalbanken skriver i sin 1. kvartalsoversigt
fra 2003, at den er ca. 5%. Koeller, Goedhart & Wessels (2004) mener, at den bør ligge i inter-
vallet 4, 5 − 5, 5% 60 , men nævner samtidig, at tidligere estimationer baseret på amerikanske data
har vist risikopræmier på alt imellem 18% og 0% afhængig af, hvilken periode der analyseres, på
trods af forholdsvis lange estimationsperioder. Da der ikke er nogen gylden regel for dette, fastholdes
estimatet.
Resultater fra regressioner er at finde i regnearket på vedlagte CD-ROM. Figur 4 viser sam-
pleperiodens gennemsnitlige diskonteringsrente og risikopræmie for det første år sammen med den
et-årige nulkuponrente, der indgår i diskonteringsrenten. Det ses, at ændringen i perioden mest af
alt kan henføres til den faldende rente, hvilket delvist skyldes, at markedsrisikopræmien holdes fast
over hele perioden. Den gennemsnitlige risikopræmie, beta gange markedsrisikopræmien, er da også
nogenlunde konstant, dog med et lavere niveau i midten af halvfemserne. I årene 2003-2004 har den
risikofrie rente samme størrelse som selve risikopræmien.
De gennemsnitlige CAPM-beta estimater for sample-virksomhederne er vist i figur 5. Den laveste
værdi er opnået af Anheuser Busch, der anses for en defensiv aktie, medens den højeste værdi tilfalder
Intel, der anses for værende et forholdsvis risikabelt værdipapir.
58 Normalfordelt fejlled er ikke en nødvendighed for at estimere ligningen.
59 Et estimat på præmien for hvert værdifastsættelsesår ville have ført til mere variation, og dette kan have påvirket
de endelige resultater i nogen grad.
60 Se kapitel 10.
51

E(r)
0,160
0,140
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
0,000
1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
År
Gns. 1-årig diskonteringsrente Et-årig nulkuponrente Gns. Rp
Figur 4. Gennemsnitlig risikopræmie, 1-årig diskonteringsrente for sample-virksomheder og et-årig
Beta
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
nulkuponrente.
3M
Abbott
Alcoa
Allegheny
Altria
Am. Express
Am. International
Anheuser
Avon
Baker Hughes
Baxter
Bank of America
Black & Decker
Boeing
Bristol Myers
Intel
Burlington
Campbell
Caterpillar
Dow Chemical
Du Pont
Sample-virksomheder
Gennemsnitlig CAPM Beta
Figur 5. Gennemsnitlig CAPM-beta for sample-virksomheder
6.2.3 Risikojustering i Christensen & Feltham modellen
Da udledning af information fra nulkuponrentestrukturen til værdifastsættelse i praksis, modsat de to
andre modeller, er helt uprøvet, er det et åbent spørgsmål, hvordan implementeringen af Christensen
& Feltham modellen gribes bedst an.
Først og fremmest er modellen således afhængig af, hvilke antagelser der gøres om nyttefunk-
tioner og processerne for afkast på nettoaktiver og det risikojusterede aggregerede forbrug pr. capita.
Næstefter presser spørgsmålet sig på om, hvilken statistisk metode, der er anvendelig til estimation
af modellen.
Antagelserne bag modellen er her valgt til de samme som gennemgået i den tidligere beskrivelse af
modellen, det vil sige eksponentielle nyttefunktioner samt førsteordens autoregressive processer med
52

mean-reversion til en deterministisk trend. Risikojusteringen afhænger derfor af komponenterne: ωa,
ωr og σra, som vist i (40). I det følgende redegøres for, hvordan estimationen først var tiltænkt at
skulle forløbe. Metoden foregår i flere trin.
Processerne for ReNA og racc implicerer, at forventninger og varians til et givet tidspunkt kan
beskrives ved ligningerne (36)-(39). Substitueres dette ind i udtrykket for priser på nulkuponobliga-
tioner i ligning (33) og lader φ = 1/¯ρ, giver dette modellen for nulkuponpriserne,
β τt (yt) = exp (− (τ − t) θ) × exp(−racc 0 t (1 + γ) τ−t
−ω τ−t
a φacct − racc 0 t + φacct + 1
2 σ2a 1 − ω 2[τ]
a
1 − ω2 ). (46)
a
Data er udtrykt i renter, hvilket der tages højde for ved en omskrivning af (46) ved hjælp af
sammenhængen mellem nulkuponrenter og obligationer: βτt = e−(τ−t)rf τt ⇔ r f
τt
Ligningen til estimation bliver derfor
r f
1
τt = θ +
τ − t
(racc 0 t (1 + γ) τ−t + ω τ−t
a
φacct − racc 0 t − φacct − 1
2 σ2a = − 1
(τ−t) ln (β τt).
1 − ω 2[τ]
a
1 − ω2
) + ǫτt. (47)
a
Der er seks ubekendte i (47), der skal estimeres i første trin, nemlig: θ, racc 0 t , γ, ωa, φ og σ 2 a.
Parametrene skal estimeres for hver t, så det antages, at racc 0 t
blot er et (nogenlunde) vilkårligt tal
for hvert tidspunkt, hvorfor det ikke er nødvendigt at lave antagelser om udviklingen i racc 0 . Selvom
parametrene er tidsuafhængige og konstante for hvert prisfastsættelsestidspunkt, er estimation for
hver t konsistent med praksis. Baggrunden for dette er, at ved at fitte modellen til alle tidspunkter
på én gang, vil det føre til, at modellen ikke matcher rentestrukturen på noget tidspunkt. Ved istedet
at fitte til den seneste rentestruktur, håber man at kunne udnytte så megen information som muligt
på værdifastsættelsestidspunktet.
I andet trin gør estimatet på den inverse af den gennemsnitlige risikotolerance, ˆ φ, sammen med
forbrugsdata det muligt at konstruere tidsserien for racc. Estimation af racc-processen i ligning (35)
giver ωa, der benyttes i risikojusteringen 61 .
Sidste trin er estimation af ReNA-processen for hver enkelt virksomhed med henblik på et estimat
af den anden komponent til risikojusteringen, ωr. Ved hjælp af regnskabsdata konstrueres en ReNA-
tidsserie for hver virksomhed. Ud fra disse foretages estimation af ligningen 62
ReNAτt = ReNA 0 t (1 + α)τ−t + ωr
ReNAτ−1t − ReNA 0 t (1 + α)τ−1−t + ετ. (48)
61 ωa estimeres også for hver år i ligning (46), men det vurderes, at det bedste estimat opnås fra racc-serien.
62 Se appendiks B4 for programkode til estimation af ReNA- og racc-processerne.
53

På baggrund af estimaterne fra de to tidsserier beregnes covariansen (σra) mellem residualerne
fra hver virksomheds ReNA-tidsserie og racc-tidsserierne. Denne out-of-sample estimation er valgt
for at få så lang en tidsserie som mulig. Selvom det kan virke problematisk at benytte fremtidige
data til værdifastsættelse på et tidligere tidspunkt, er det ikke en forkert tilgang ud fra modellen, da
den er specificeret sådan, at σra er konstant over tid.
Da ingen af ligningerne er lineære kan OLS ikke benyttes. Istedet er ligningerne estimeret ved
hjælp af Non-linear Least Squares (NLS), der forklares til sidst i dette afsnit.
som
Ved samme antagelser til terminalværdi bliver værdien af den estimerede model således bestemt
vt (yt) = bvt + 5
τ=1
E [RIt+τ | yt]
1 + r f
E [RIt+6 | yt]
τ +
t+τ,t 1 + r f
5
t+5,t r f
t+20 − g
⎛
⎞
ˆσra
T ⎜ =30
(ˆωaˆωr)
−bvt
⎝
1 − (ˆωaˆωr) τ=1
τ
R f
t+τ,t
1
+
1 + r f
30t
Ikke desto mindre viser der sig flere problemer ved ovenstående fremgangsmåde. Nelson-Siegel
renterne har en løbetid på 30 år, hvorfor det ikke umiddelbart burde give problemer at estimere de
seks parametre. Ved estimation i SAS PROC Model viser det sig, at forklaringsgraden er én eller
tæt på, og der rapporteres, at problemet er singulært. Problemet er, at Nelson-Siegel modellen kun
bruger fire parametre, så det er en forholdsvist glat rentekurve, der kommer ud. Når der forsøges
at fitte seks parametre til disse, er der naturligt nok ikke tilstrækkeligt med information i renterne.
Resultatet er derfor, at enkelte parametre ikke er identificerede. Den eneste rigtige metode ville være
at fitte (46) til amerikanske obligations rådata for at kunne udtrække mest mulig information. Dette
ville dog blive en alt for omfattende løsning til denne opgave.
For at tage hånd om multikollinaritetsproblemet er, udover data fra værdifastsættelsesåret, yderligere
anvendt data fire år tilbage. Dette løser da også problemet, men på samme tid fitter modellen i meget
ringe grad den observerede rentestruktur. Det lader til, at modellen især har svært ved at ramme
niveauet for rentekurven. Da det er svært at argumentere for, at parameterestimaterne er anven-
delige, når de ikke formår at fitte de data, de er udledt af, er der foretaget en vægtning af de fem
år, hvor det sidste år har den tungeste vægt. Ved at anvende vægtene (1, 0.5, 0.25, 0.1, 0.05) bliver
modellens fit betydeligt bedre, jævnfør figur 6, der giver et eksempel på dette for 1993.
54
T
1
r f
30t
⎟
⎠ .

ente
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
År
Est. 1993 1993
Figur 6. Faktiske og estimerede nulkuponrentestruktur for 1993.
Ikke desto mindre er tilfredsheden over at have fittet rentestrukturen kort, da det har været en
nødvendighed at pålægge skrappe parameterrestriktioner. Først og fremmest er problemet enormt
afhængig af valget af startparametre. Valg af forskellige startparametre, der ligger fornuftigt i forhold
til, hvad der kunne forventes, giver for nogle parametres vedkommende et bedre billede, men overord-
net set er de fleste af estimaternes værdier stadig utroværdige. I SAS er det desuden forsøgt at køre 40
estimationer med forskellige startværdier trukket fra en uniform fordeling omkring startestimaterne,
i håbet om at problemet kunne konvergere til en bedre løsning, men kun i få tilfælde leder dette til
mere brugbare estimater.
Da det er parameteren for risikotolerance, der er vigtig, er desuden valgt en mindre omskrivning
af enkelte af parametrene i (47), sådan at σ2 a = φ2σ2 cons og racc0t = φacc0t , for at få et bedre estimat på
denne. Som en konsekvens af de omfattende problemer med estimationen, er der lagt øvre og nedre
grænser på parametrene. Dermed sikres, at parametrene ligger i et fornuftigt leje, men samtidig er
parametrene fra modellen herefter desværre mindre valide. Værdierne har da også en tendens til at
hoppe op og ned i intervallerne. Se eksempelvis figur 7, der viser ˆσ 2 a .
Varians
3,50%
3,00%
2,50%
2,00%
1,50%
1,00%
0,50%
0,00%
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
År
Figur 7. Estimater på ˆσ 2 a.
55

acc-serien konstrueres ud fra gennemsnittet af φ-estimaterne og det aggregerede forbrug delt
med befolkningstallet, hvorefter processen kan estimeres. Dette viser sig heller ikke at være helt
problemfrit. Selvom modellen for racc-processen er forholdsvis simpel, formår den at fitte data næsten
perfekt, se appendiks B3. Som følge heraf bliver residualerne temmelig små. Den længst mulige racc-
serie starter i 1952, men dette resulterer i et estimat på ωa lidt højere end ét, hvorfor det har været
nødvendigt at vælge en kortere serie startende i 1970 63 . Parametrene er følsomme overfor, hvilket
tidsinterval der vælges, hvilket i sidste ende har stor betydning for σra og dermed størrelsen af
risikojusteringen.
For enkelte af ReNA-processerne var det også nødvendigt at tilføje parameterrestriktioner. For
resultater af parameterestimationer henvises til vedlagte regneark.
Med residualerne fra ReNA-processerne og racc-processen opnåes σra ved at tage covariansen
mellem fejlleddene. Resultaterne er afbildet i figur 8 64 . Estimaterne på covarianserne er dog temmelig
lave, hvilket ikke er så underligt med baggrund i de lave racc-residualer.
Sigma ra
1,2%
1,0%
0,8%
0,6%
0,4%
0,2%
0,0%
-0,2%
-0,4%
-0,6%
-0,8%
-1,0%
3M
Abbott
Alcoa
Allegheny
Altria
Am. Express
Am. International
Anheuser
Avon
Baker Hughes
Baxter
Bank of America
Black & Decker
Boeing
Bristol Myers
Burlington
Campbell
Caterpillar
Dow Chemical
Du Pont
Sample-virksomheder
Sigma ra
Figur 8. Estimater af σra for sample-virksomheder.
Dette risikomål ligger ikke helt fjernt fra CAPM beta’erne, da correlationskoefficienten mellem
de to er 43% 65 .
Ikke-lineær semiparametrisk regression 66
En ikke-lineær regressionsmodel antager en vilkårlig funktionel form, der forventes at kunne
beskrive den data-genererende proces. Den kan for det generelle tilfælde skrives som
63 Det har ligeledes været forsøgt at estimere processen for hvert værdifastsættelsesårs estimat på ρ, istedet for et
gennemsnit, men kun racc 0 -parameteren ser ud til at ændre sig ved dette, og samtidig er resultaterne ringere.
64 Intel er fjernet fra grafen, da den har en ekstremt høj værdi på 28%.
65 46% hvis Intel er inkluderet.
66 Baseret på Econometric Foundations (2000).
56

Y = g (x, β) + ε. (49)
Da modellen er så generel, er det ensbetydende med, at den indeholder den lineære model. Prin-
cippet i estimationen af en lineær model og dens mere generelle sidestykke i (49) er da også meget
ens, idet det handler om at minimere det kvadrerede fejlled. NLS-estimatoren er
ˆβ = arg max
β
1
[m (β, Y, x)] = arg min
β n [Y − g (x, β)]′
[Y − g (x, β)] .
For at kunne identificere β ved NLS er det for det første nødvendigt, at parametrene er identi-
ficerede, hvilket vil sige, at det ikke må gælde, at to forskellige parametervektorer giver den samme
fortolkning af data. Som tidligere nævnt viste dette sig at være et problem med Nelson-Siegel renterne.
Modsat OLS er det ikke muligt at opstille et udtryk for estimatoren ˆβ. NLS er en iterativ pro-
cedure, der kort fortalt sætter de afledte af den definerede funktion multipliceret med ændringen i
parameterværdier lig funktionens fejlskøn. Ud fra disse ligninger løses for den inkrementelle ændring
i parametrene, der sætter fejlene lig nul. Iterationen fortsætter, indtil den estimerede funktion er
konvergeret tilstrækkeligt, afhængig af kriterierne for estimationen. Det er derfor en mulighed, at
den fundne løsning er et lokalt minimum og ikke det globale. Valg af startværdier kan derfor have
afgørende betydning.
6.2.4 Risikojustering i Shroff & Nekrasov modellen
Dette afsnit beskæftiger sig med estimeringen af det sidste led, risikojusteringen, i (44). Metoden går
ud på at isolere risikodelen i (44) og estimere de to komponenter, faktor sensitivitet og faktor risiko
præmier hver for sig. Start med en omskrivning, hvor det nødvendigvis må antages at vt = v o t , med
v o t værende den observerede markedskurs, og del med v o t .
hvor
RF P Vt − v o t
v o t
Kt = T −1
j=0
=
l bl
Faktor præmie
KtCov [fl, EROE]
v o t
,
Faktor sensitivitet
Et (bvt+j)
(1 + rf Et (bvt+T )
+ j
) (1 + rf ) (rf − g) .
Dette viser dermed også, at for at kunne implementere modellen er det alligevel nødvendigt at
anvende markedsværdier, som man forsøgte at undgå ved at anvende regnskabstal.
I deres artikel lader Shroff & Nekrasov valget af faktorer falde på Market EROE, ROE på size
og book-to-market porteføljer, der er regnskabsækvivalenter til markedsafkastet og Fama-French fak-
torerne. Shroff & Nekrasov begrunder dette med, at Fama & French (1992) på baggrund af empirisk
57

analyse konkluderer, at størrelse og book-to-market variablene fanger risici, der ikke tages højde for
i markedsfaktoren og derfor bør inkluderes i det forventede afkast. Følgelig vises i Fama & French
(1995), jævnfør som tidligere beskrevet, at disse faktorer kan forklares af tilsvarende faktorer i fun-
damentals.
Derfor er faktorerne-sensitiviteterne valgt som accounting beta, der er EROE for markedet, der
beregnes som det simple gennemsnit af EROE for samplen, samt size beta (SMB - small minus
big), der er ROE på en portefølje af små virksomheder fratrukket ROE fra en portefølje af store
virksomheder, og endelig book-to-market (HML - high minus low), der er ROE fra en portefølje af
virksomheder med høj book-to-market fratrukket ROE fra en portefølje af virksomheder med lav
book-to-market.
Shroff & Nekrasov inkluderer resultater fra både modellen med de tre ovennævnte faktorer og fra
en én-faktor model kun med accounting beta. I denne opgave er kun foretaget værdifastsættelse ud
fra sidstnævnte med markedsfaktoren accounting beta 67 . Grundet, at estimationsproceduren med tre
faktorer er mere generel end med én faktor, følger forklaringen denne.
Estimeringen af faktor sensitivitet foregår ved regression af EROEτ på faktorerne for τ = t −
20, ..., t − 1, eller minimum 10 år forinden tidspunktet for værdifastsættelsen:
EROEτ = α1 + β ACCMarketEROEτ + ε1τ, (50)
EROEτ = α2 + β ESMBSMBROEτ + ε2τ,
EROEτ = α3 + β EHMLHMLROEτ + ε3τ.
Kombineret med Kt−1 og vo t−1 giver det faktor sensitiviteterne, CovACC = Kt−1βACC , CovESMB =
Kt−1β ESMB
v o t−1
og CovEHML = Kt−1βEHML vo .
t−1
For at estimere faktor præmierne foretages cross-section regression over data fra året forinden,
det vil sige estimation af ligningen
RF P Vt−1 − vo
t−1
v o t−1 V sh.
Den endelige værdi af
= c1CovACCV sh. + c2CovESMBV sh. + c3CovEHMLV sh. + vt−1. (51)
RF P Vt−vt−1
vt−1
v o t−1
findes således ved, at estimaterne på risikopræmierne ganges
på de tilhørende covarianser fra året før, hvilket svarer til den fittede værdi af (51). I den lettere
udgave med én faktor, der præsenteres resultater for senere i kapitlet, er opgaven enklere. Det er
stadig nødvendigt at estimere den første ligning i (50), men risikopræmien er givet ud fra teorien,
idet der for værdifastsættelsen af markedet som helhed må gælde, at
67 Samplen i denne opgave er desuden for lille til at oprette de nødvendige porteføljer.
58

RF P VMt − v o Mt
v o Mt
= bM
KMt
β EROE M
ACC
Cov [EROEM, EROEM]
V ar [EROEM]
v o Mt
bM = RF P VMt − vo Mt . (52)
KMt
Risikopræmien ved enkeltfaktormodellen er således givet som ved CAPM, men stadig må man
blot håbe, at éns markedsproxy er fornuftig. Dette er ikke nødvendigvis tilfældet i denne analyse, da
den kun er sammensat af de 21 samplevirksomheder, der dog har en forholdsvis stor markedsværdi. I
nedenstående figur er afbildet den estimerede risikopræmie for sampleperioden. Det ses, at præmien
er stigende over perioden og især er høj for 2003-2005 - mere herom senere.
ARP
8,0%
7,0%
6,0%
5,0%
4,0%
3,0%
2,0%
1,0%
0,0%
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
Figur 9. Accounting Risk Premium.
Således kan udtrykket for risikojusteringen istedet forenkles til 68
RAt/v o t−1 = RF P VMt−1 − vo Mt−1
CovACCt−1
KMt−1
År
= RF P VMt−1 − v o Mt−1
KMt−1
⇔
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Kt−1βACCt−1 vo .
t−1
Den endelige model for værdifastsættelse efter Shroff & Nekrasov er derfor efter rearrangering
vt (yt) = bvt + ∞
τ=1
Et [riτ | yt]
R f
t+τ,t
(53)
− RF P VMt−1 − vo Mt−1
Kt−1βACCt−1. (54)
KMt−1
68 Ved flere faktorer fanges variansen på markedets EROE fra tidsserieregressionen i risikopræmierne i den crosssektionelle
regression. For én-faktor modellen anvendes derimod stadig beta som covarians mellem markedets og virksomhedernes
EROE, hvorfor variansen på markedets EROE indgår. Artiklen kommenterer ikke på dette, selvom det
umiddelbart virker inkonsistent.
59

I figur 10 er vist de gennemsnitlige Accounting og CAPM Beta-værdier for sample-virksomhederne.
Selvom der er en betydelig større spredning i Accounting beta’erne, er der en vis sammenhæng i,
hvilke virksomheder der tildeles enten høje eller lave værdier. Dette understreges af, at correlation-
skoefficienten er på 52%. Risikojustering med regnskabstal ser således ud til i begge nye modeller at
fange en del af de samme underliggende risici indeholdt i CAPM.
Beta
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
3M
Abbott
Alcoa
Allegheny
Altria
Am. Express
Am. International
Anheuser
Avon
Baker Hughes
Baxter
Bank of America
Sample-virksomheder
Black & Decker
Boeing
Bristol Myers
Intel
Burlington
Campbell
Caterpillar
Dow Chemical
Du Pont
Gennemsnitlig Accounting Beta Gennemsnitlig CAPM Beta
Figur 10. Gennemsnitlige CAPM og Accounting Beta-estimater.
Efter at have estimeret alle parametre i modellerne gennemgås i næste afsnit resultaterne af
værdifastsættelserne.
6.3 Resultater
I dette afsnit præsenteres resultater fra de tre modellers værdifastsættelse af samplevirksomhederne.
I vurderingen af modellerne har det været nødvendigt at antage, at der er efficiente markeder, for
at kunne holde værdifastsættelserne sammen med markedspriserne. Et kapitalmarked siges at være
efficient, hvis det fuldt ud og korrekt reflekterer al relevant information i fastsættelsen af priser på
værdipapirer (Malkiel (1992)). Da samplevirksomhederne kommer fra Standard & Poor 100 indekset
holdes de af et stort antal investorer og er følgelig meget udsatte for offentlighedens søgelys. Marked-
spriserne for samplevirksomhederne bør derfor i høj grad reflektere informationen i markedet, hvorfor
antagelsen ikke virker urimelig 69 .
Til at sammenligne modellerne er beregnet den procentuelle absolutte værdifastsættelsesfejl, der
defineres ved
|V −P |
P . På den måde er det muligt at vurdere modellernes indbyrdes evne til at fange
markedskursen. Resultaterne er repræsenteret ad to dimensioner; figur 11 viser de samlede resultater
for sampleperioden 1983-2005. Værdiansættelsesfejlene for de enkelte modeller er vist mere præcist i
tabel 1. I Figur 12 ses værdiansættelsesfejlene ad den anden dimension, hver enkelt sample-virksomhed
for den samlede sampleperiode. De præcise resultater er ligeledes skildret under figuren, se tabel 2.
69 Fordi standard modellen har været brugt mange år tilbage, har den sandsynligvis påvirket prissætningen. Der er
derfor en risiko for, at modellen på den måde bliver selvopfyldende historisk.
60

Absolutte værdifastsættelsesfejl
140%
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
År
Standard S&N C&F Risikofri
Figur 11. Værdifastsættelsesfejl 1983-2005.
Tabel 1 Standard S&N C&F Risikofri
1983 32 49 53 48
1984 42 55 64 59
1985 27 48 45 36
1986 37 49 60 49
1987 48 56 74 66
1988 48 56 72 67
1989 38 41 60 56
1990 55 54 77 72
1991 38 64 57 52
1992 40 59 60 54
1993 43 72 57 51
1994 66 69 76 79
1995 36 47 47 44
1996 69 60 75 81
1997 38 37 47 47
1998 42 37 53 54
1999 48 53 65 62
2000 48 59 59 58
2001 60 60 79 79
2002 32 46 49 43
2003 105 100 138 126
2004 63 54 86 82
2005 79 77 107 102
61
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005

Absolutte værdifastsættelsesfejl
250%
200%
150%
100%
50%
0%
3M
Abbott
Alcoa
Allegheny
Altria
Am. Express
Am. International
Anheuser
Avon
Baker Hughes
Baxter
Bank of America
Black & Decker
Sample-virksomheder
Boeing
Standard S&N C&F Risikofri
Bristol Myers
Burlington
Campbell
Figur 12. Værdifastsættelsesfejl for sample-virksomheder.
Tabel 2 Standard S&N C&F Risikofri
3M 14 15 20 21
Abbott 28 30 34 34
Alcoa 57 51 78 80
Allegheny 73 67 79 88
Altria 204 194 225 220
Am. Express 62 58 87 88
Am. International 40 41 46 53
Anheuser 23 26 27 27
Avon 18 44 26 26
Baker Hughes 30 79 30 31
Baxter 45 38 59 58
Bank of America 81 95 106 106
Black & Decker 49 46 72 73
Boeing 40 49 54 57
Bristol Myers 28 27 32 32
Burlington 104 112 142 143
Campbell 16 22 20 19
Caterpillar 34 66 53 53
Dow Chemical 33 60 44 46
Du Pont 28 21 42 42
Intel 37 59 145 46
62
Caterpillar
Dow Chemical
Du Pont
Intel

Af figur 11 og tabel 1 ses det, at værdiansættelse ved den klassiske CAPM leverer de bedste
resultater over en stor del af sampleperioden. Særligt perioden 1983 til og med 1996 viser entydigt
bedre resultater for standard-modellen. Til gengæld leverer Shroff & Nekrasovs model tydeligvis de
bedste værdifastsættelser i de seneste tre år af sample-perioden. Set over hele perioden er resultaterne
dog stadig forholdsvis gode, selvom der er et par enkelte år, hvor modellen er den mindst foretrukne.
For Christensen & Feltham modellen er værdiansættelsesfejlene forholdsvis høje over hele perioden,
endda set i forhold til den risikofrie nutidsværdi.
Beregnes den samlede målefejl for hele perioden, har standardmodellen en gennemsnitlig fejl på
49,5%, Shroff & Nekrasov 56,6%, Christensen & Feltham 67,9% og den risikofrie nutidsværdi 85%.
Standard og Shroff & Nekrasov modellernes resultater i Shroff & Nekrasov’s studie er henholdsvis 42%
og 55% 70 . Selvom værdifastsættelsesfejlene kan virke høje, skyldes de især nogle markante outliers,
idet medianen er væsentlig lavere på 31,6%, 37,1% og 46,5% for henholdsvis standard, Shroff &
Nekrasov og Christensen & Feltham modellerne.
Flyttes blikket til figur 12 og tabel 2, nuanceres billedet en smule, hvilket er medvirkende til
delvist at forklare nogle af resultaterne fra figur 11. For det første ses det, at der er en enkelt outlier,
idet værdifastsættelserne af Altria Group rammer betydeligt mere ved siden af end de andre sample-
virksomheders. Fjernes denne virksomhed fra samplen, forbedres det samlede resultat betydeligt.
Dette ses også ved, at medianen for den absolutte værdifastsættelsesfejl for de enkelte modeller er
cirka 20% lavere end gennemsnittet.
Ydermere sker der et lille skift i, hvilken model der er foretrukket, når dimensionen, der betragtes,
istedet er virksomheder. I figur 11 er standard modellen den foretrukne i 15 ud af de 23 år, medens
Shroff & Nekrasov er 7 gange. I figur 12 derimod er Shroff & Nekrasov at foretrække i 8 ud af 21
virksomheder, medens det for standard modellen er 13 virksomheder. Samtidig ses det tydeligt, at
Shroff & Nekrasov i mange år er tæt på at give en lige så lav fejlprocent som standardmodellen.
Årsagen til dette er, at der for enkelte virksomheder rammes betydeligt ved siden af markedskursen,
endda mere end den risikofrie nutidsværdi. Dette betyder i sidste ende, at det samlede fejlniveau løftes
for Shroff & Nekrasov modellen, hvorfor billedet på årsbasis forringes. Det samme scenario udspiller
sig for Christensen & Feltham modellen; i størstedelen af årene har modellen den højeste fejlprocent,
men af figur 12 ses det, at det næsten udelukkende er på grund af en stor værdifastsættelsesfejl i
Intel. Ikke desto mindre er det tydeligt, at risikojusteringen fra modellen er meget lav i forhold til de
andre modeller.
En stor del af grunden til, at de to modeller for enkelte virksomheder rammer betydeligt ved
siden af, er, at risikojusterings-leddet for disse modeller er positivt. De positive risikojusteringer gør
sig især gældende for Christensen & Feltham modellen, men indimellem også for Shroff & Nekrasov
modellen. Aktiver med en forsikrende værdi, der som tidligere beskrevet vil sige, at de giver et højt
afkast i dårlige states og et lavt afkast i gode states, er på ingen måde en umulighed. Dog lader det
til, at det for samplevirksomhederne ikke er tilfældet, hvis der tages udgangspunkt i markedskursen.
70 Selvom det ikke fremgår af de præsenterede resultater, er der en tendens til, at den gennemsnitlige værdifastsættelse
skyder over. Det er i den sammenhæng interessant at tænke på, at aktieanalytikere før har været kritiserede for at have
et for optimistisk syn på den fremtidige udvikling i de virksomheder, de følger, medens data på Long Term growth
forekommer temmelig høje.
63

Selvom positive risikojusteringer spiller ind, er der dog også enkelte virksomheder, hvor den
markante procentuelle værdifastsættelsesfejl skyldes, at risikojusteringen simpelthen er alt for stor,
resulterende i en negativ værdi 71 .
Der er megen usikkerhed knyttet til estimaterne. I et tidligere kapital blev det nævnt, at et af
problemerne med CAPM var, at den leverer meget usikre estimater. Ved at gå til regnskabstal, bliver
der et endnu mindre datamateriale at arbejde med, og dette vil naturligvis have en indvirkning, som
allerede vist ved den væsentlig højere variation i accounting beta sammenlignet med CAPM beta i
figur 10. Enkelte år, der udviser store ændringer i EROE, vil medføre store ændringer i beta. Et
eksempel på dette er Campbell Soup, hvor der i slutningen af perioden sker en eksplosiv ændring i
accounting beta på grund af et par turbulente år. Det samme er tilfældet for Christensen & Feltham
modellen; for alle virksomheder er ˆσra lavere end 1%, pånær Intel med hele 28%.
For at få en blot nogenlunde rimelig dataserie at arbejde med er det desuden en nødvendighed at
gå langt tilbage i tiden, men dette øger samtidig sandsynligheden for, at en virksomhed har foretaget
fundamentale ændringer i sin forretning siden da, eller at dens forretningsvilkår har undergået foran-
dringer. 20 år gamle data kan derfor simpelthen være forældede i forhold til at beskrive processen
for EROE, og i Christensen-Feltham modellen ReNA. Alternativt er en tidsserie på 20 datapunkter
heller ikke længere, end at der kan være indtruffet enkelte misvisende hændelser, der er alvorlige nok
til at sætte meget støj i parameterestimaterne.
Det er desuden karakteristisk, at alle modeller skyder markant ved siden af i 2003 og i nogen
grad for 2004-2005. En delvis forklaring af dette beror på, at den korte nulkuponrente er så lav,
medens den stiger betydeligt for senere løbetider. At dette er tilfældet blev allerede vist i figur 3,
der viste sampleperiodens afkastkrav. At Shroff & Nekrasov modellen klarer sig bedre (omend stadig
ringe) kan henføres til, at Accounting risikopræmien, ligning (52), finder et højere niveau de sidste
tre år. Baggrunden for dette er, at den risikofrie nutidsværdi af markedet stiger voldsomt, alt imens
markedspriserne falder eller er svagt stigende 72 . Den lave korte rente får derfor i denne model en
modsatrettet effekt for risikopræmien.
Overordnet er Shroff & Nekrasov modellens resultater meget opløftende sammenlignet med stan-
dardmodellens, specielt i betragtning af, at proxy’en for markedets EROE er bestemt ud fra en så
begrænset portefølje. På den anden side er det svært at konkludere alt for meget på den baggrund,
da samplen jo netop er lille.
Som det fremgår af ovenstående er det imidlertid et væsentligt problem, at datamaterialet er så
begrænset, da det unægteligt vil medføre meget usikre resultater. I Shroff & Nekrasov artiklen er
yderligere foretaget værdifastsættelse med accounting beta baseret på porteføljer opdelt efter størrelse
og book-to-price ratioer og industri-betaer. Denne forøgelse af datamateriale medfører i deres studie
markante forbedringer, endda bedre end for CAPM.
Én-faktor regnskabsmodellen har den fordel, at risikopræmien er klart defineret, men den er
ligeså afhængig af markedsproxy’en som CAPM, og samtidig er det et større arbejde at sætte den
71 Dette er faktisk tilfældet ved Intel for begge modeller.
72 2003 er et stormomsust år, efter terrorangrebet 9. september, der blev fulgt op med USAs invasion af henholdsvis
Afghanistan og Irak.
64

op. Som det blev diskuteret, har det mere eller mindre tilfældige valg af markedsrisikopræmie i
standardmodellen været årsag til flere hovedbrud, og for blandt at understrege hvor væsentlig denne
er, viser det sig, at en forhøjelse af risikopræmien til 5%, som anbefalet af Koeller, Goedhart &
Wessels, mindsker den samlede værdifastsættelsesfejl for standardmodellen med ca. 6% - en ganske
betragtelig forbedring.
6.4 Opsummering af empirisk undersøgelse
Overordnet må det konstateres, at den simple standard værdifastsættelses model er lettere at im-
plementere, og for denne sample giver den de bedste resultater. Estimationen af Shroff & Nekrasov
modellen volder ikke de store problemer, og samtidig leverer modellen også ret gode resultater. Den
synes imidlertid at være hæmmet af for få data til estimation af modellens parametre, og dette
har fået betydning for det samlede billede. Som det blev gjort klart i afsnittet om risikojustering i
Christensen & Feltham, var der en del problemer forbundet med estimationen, hvilket blandt andet
nødvendiggjorde pålæggelse af en række strenge parameterrestriktioner, og følgelig mindre troværdige
estimater. Samtidig er estimaterne meget følsomme overfor ændringer. Endelig viser der sig et pro-
blem ved estimation af σra, da serien af forbrugsdata beskrives forbavsende godt af den foreslåede
racc-proces. Ikke overraskende er resultaterne for denne model temmelig nedslående.
Grundet de skuffende resultater diskuteres i næste kapital et løsningsforslag, der kunne tænkes
at lede til bedre resultater for modellen.
65

7 Udvidelse til Christensen & Feltham modellen
Den empiriske undersøgelse viste, at der var en lang række problemer forbundet med at implementere
modellen foreslået af Christensen & Feltham. For det første var det svært at fitte den forbrugsbaserede
rentestruktur med eksponentiel nytte til data. Årsagen hertil kunne blandt andet være, at de benyt-
tede Nelson-Siegel rente-data havde udjævnet strukturen i en sådan grad, at megen af informations-
indholdet er tabt. Et andet problem viste sig ved estimationen af σra; værdierne af residualerne fra
racc-serien blev meget lave, da modellen formåede at fitte data næsten perfekt, hvilket resulterede i et
lavt estimat på σra. Dette kan skyldes, at forbrugs data er af en for ringe kvalitet (Breeden, Gibbons
& Litzenberger 1989), og i Christensen & Feltham modellen er dette det vigtigste input. Problemet
er for det første, at der er en del målefejl forbundet med forbrugsdata, og for det andet er tallene
aggregeret for en relativ lang periode, og dette medfører en forholdsvis deterministisk data-serie.
Når alt kommer til alt, er det dog den mest simple model, der kan antages, så resultaterne
er måske ikke forbavsende, specielt set i sammenhæng med de mange empiriske undersøgelser, der
dokumenterer problemer med den forbrugsbaserede model. Ideen bag modellen er ikke desto mindre
velfunderet, hvorfor de dårlige estimationsresultater blot kan skyldes, at der ikke er lagt den rette
struktur over modellen endnu.
I dette afsnit beskrives en måde at udvide modellen på, der kunne tænkes at føre til bedre
resultater. Dette foregår ved istedet for negativ eksponentiel nyttefunktion at antage, at økonomiens
individer besidder power nytte med ekstern habit-formation, det vil sige hvor nytten eksempelvis
afhænger af tidligere perioders aggregerede forbrug. Denne tilgang lægger op til at føje mere volatilitet
til den relativt deterministiske forbrugsserie.
Campbell & Cochrane (1999) og Wachter (2006) er eksempler på modeller, hvor investorerne
besidder nyttefunktioner med habit-formation, men begge artikler tager udgangspunkt i en repræsen-
tativ agent. Først vises udledningen af Christensen & Feltham modellen med habit-formation 73 ,
men indeholdende heterogene agenter. Bagefter ses på parameteriseringen af habit-justeret forbrug i
Campbell & Cochrane (1999).
Det antages, at investorerne har power nytte funktioner af typen
uit (cit, yt) = β P t
1
α − 1 [αcit − bit (yt)] α−1
α , β P t > 0, αcit − bit (yt) > 0, (55)
hvor nytten af forbruget er påvirket af niveauet fra tidligere tider gennem bit (yt), vanen. Sam-
menlignet med standard power funktionen i appendiks A5 er b nu både tids- og eventafhængig. Det
antages desuden, at den personlige diskonteringsfaktor samt risiko varsomhed α er fælles for alle inve-
storer. Ved at udlede de pareto-efficiente forbrugsplaner kan de benyttes til at karakterisere valuation
indekset og dermed nulkupon- og virksomhedspriser.
ved
For en central planlægger er førsteordensbetingelserne for pareto-efficiente forbrugsplaner givet
73 Christensen & Feltham (2006), appendiks B.
66

λiu ′ it (cit (yt) , yt) ϕ (yt) = µ t (yt) og (56)
I
i=1 cit (yt) = xt,
hvor λi er investor i’s vægt i optimeringsproblemet og µ t (yt) er lagrange multiplieren for betingelsen
på det aggregerede forbrug. Ved at tage den afledte af nyttefunktionen og indsætte denne i (56), samt
lade λit ≡ λiβ P t ., giver det
Ved at summere over alle investorer er
[αcit − bit (yt)] = λ α it
[αxt − bot (yt)] = λ α ot
−α µt (yt)
.
ϕ (yt)
−α µt (yt)
,
ϕ (yt)
der substitueret tilbage i udtrykket for hver enkelt investor giver
[αcit − bit (yt)] = λαit λα ot
cit =
[αxt − bot (yt)] ⇔
1
bit (yt) −
α
λαit λ α
bot (yt)
ot
fit(yt)
+ λαit λ α xt
ot
. (57)
vixt
Der kan være et problem i, at den faste komponent i (57) er eventbetinget modsat tidligere,
hvorfor efficient individuelt forbrug muligvis ikke kan skrives som en funktion af det aggregerede
forbrug, og et effektivt dynamisk komplet marked er dermed ikke garanteret. Det vil dog være muligt
at opnå dette, så længe habit er bestemt ved nuværende og tidligere forbrug, og der eksisterer et
tilstrækkeligt varieret sæt af aggregerede forbrugsfordringer blandt værdipapirerne, der vil gøre det
muligt at handle sig frem til den faste del af forbrugsplanerne.
Ved at skalere med antallet af investorer kan den marginale nytte nu omskrives til
u ′ it (cit (yt) , yt) = β P 1
−
t [bit (yt) − vibot (yt) + αvixt − bit (yt)] α ⇔
= β P 1
1
− −
t I α [αvixt/I − vibot (yt) /I] α ⇔
= β P 1
−
t (viI) α
αacct − ¯ bt (yt) − 1
α .
Dette betyder, at valuation indekset får følgende form 74 , der er uafhængig af investorernes initiale
midler og individuelle habit niveau,
qτt (yτ | yt) =
αaccτ − ¯bτ (yτ ) − 1
α
αaccτ E − ¯bτ (yτ) − 1
α | yt
74 Det følger, at den ikke nødvendigvis er målelig mht. det aggregerede forbrug.
67
, yτ ⊆ yt, τ = t + 1, ..., T.

Definér nu det log-aggregerede forbrug som lacct ≡ ln acct − ¯ bt (yt) og antag, at det følger en
normalfordeling. Differentieres valuation indekset, giver det - 1
α . Lad racct = lacct/α, hvor prisen på
nulkuponobligationer og virksomheder kan bestemmes som henholdsvis
og
Bτt (yt) =
β P 1
− αaccτ
τ (viI) α E − ¯bτ (yτ) − 1
α | yt
β P t
= β P τt exp
(viI) − 1
α
−
αacct − ¯ bt (yt) − 1
α
⇔
[raccτ | yt] − racct − 1
2 V ar [raccτ | yt]
vt (yt)
T
= 1 + β
bvt (yt) τ=t+1
f
τt (yt) ReNAτt (yt) − Cov [ReNAτt, raccτ | yt] .
Det vil sige, at modellen er den samme, blot er udtrykket for det risikojusterede aggregerede for-
brug ændret; istedet for den gennemsnitlige risikotolerance ¯ρ benyttes den fælles risikovarsomhed α,
og det aggregerede forbrug pr. capita har måttet vige pladsen for det habit-justerede log-aggregerede
forbrug pr. capita.
Modellen i Campbell & Cochrane indeholder en funktion for surplus consumption ratio, givet ved
st = ct − bt
ct
ln st+1 = (1 − φ) ¯s + φ ln st + λ (ln st) (ct+1 − ct − g) .
Parametrene ¯s og λ (st) er specificeret sådan, at forbrug altid vil være højere end habit. Processen
for habit er således indirekte bestemt ved at modellere forholdet mellem forbrug og habit.
Af (58) ses det, hvordan nyttefunktionen påvirkes af st. Ved at tage sig den frihed at udskifte
variablene i (58) med αaccτ og ¯ bτ (yτ) kan der opnås mere intuition ved at substituere ind i valuation
indekset, hvorved
qτt (yτ | yt) =
1
−
[sταaccτ] α
1
−
E [sταaccτ] α | yt
, yτ ⊆ yt, τ = t + 1, ..., T.
Det er nu covariansen med såvel surplus consumption ratio som forbrug, der er afgørende for værdi-
fastsættelse eller afkast for værdipapirer. Den nye variabel kommer til at optræde som en konjunktur-
indikator, idet den efter flere perioders lavkonjunktur er lav og tilsvarende høj, når økonomien er i en
højkonjunktur. I starten af en lavkonjunktur tilpasser habit sig langsomt til de dårlige tider, hvilket
gør spændet mellem forbrug og habit mindre. Historien er derfor næsten den samme som tidligere,
men samtidig fortæller den, at risikopræmien kan være høj, selvom forbruget er forholdsvis højt.
Dette skyldes, at hvis den seneste tid har været mindre god, er investorerne mere end sædvanligt
bange for, at aktierne klarer sig dårligt, når der kommer nedgang. Man kan sige, at modellen på den
måde fanger en eventuelt faldende eller stigende nervøsitet i markedet.
68
(58)

Ved at benytte habit-formation skabes mere volatilitet i valuation indekset, hvilket kunne give
et bedre estimat på σra. Campbell & Cochrane modellen indebærer konstante renter, men Wachter
(2006) omhandler en udbygning af modellen med inflation, og resultaterne herfra er gode. Hvorvidt ek-
stern habit-formation rent faktisk kan forbedre Christensen & Feltham modellen, er et godt spørgsmål,
men som der er blevet redegjort for, er muligheden ihvertfald til stede.
69

8 Konklusion
Ved evalueringen af modellerne med den klassiske Asset Pricing teori som framework, kan det kon-
kluderes, at den mest anvendte model i praksis, CAPM, balancerer på en række uholdbare antagelser.
Ikke desto mindre er modellen præsenteret af Shroff & Nekrasov i høj grad baseret på ligeså strenge
antagelser, der, selvom de er standard i mange modeller, af denne grund ikke er mere korrekte. Udover
at anvende regnskabstal i risikojusteringen er det således, rent teoretisk, svært at se modellen som en
virkelig udfordrer til CAPM. Den anden nye model, af Christensen & Feltham, er derimod konsistent
med den gennemgåede Asset Pricing teori og åbner op for, at der kan tages højde for tidsvarierende
risikopræmier og stokastiske renter, der er en del af virkelighedens verden.
I det empiriske kapitel fremgik det, at CAPM ikke alene var lettest at implementere, men tilmed
leverede de bedste resultater. Ikke desto mindre viser de mange gode resultater fra Shroff & Nekrasov
modellen, at regnskabstal er et seriøst alternativ til markedsafkast. Den største hindring synes at være,
at regnskabstallene fører til mere usikkerhed i estimaterne på grund af det ringere datagrundlag. For
Christensen & Feltham modellen viste der sig en lang række problemer under den komplicerede
estimation af modellen. Dette kan i nogen omfang henføres til, at der manglede information i de
benyttede renter, men den væsentligste årsag til de dårlige resultater knytter sig til en for ringe
kvalitet af forbrugsdata. Modellen er dog meget afhængig af antagelserne, hvorfor der efterfølgende
blev belyst én af flere mulige udvidelser til forbedring af resultaterne for modellen. Fra et praktisk
synspunkt måtte det dog konkluderes, at de nye modeller er betydeligt vanskeligere at implementere.
For at gøre brug af regnskabstal i risikojusteringen til et muligt scenarie i fremtiden, består en
vigtig opgave i først og fremmest at bevise, at de er i stand til at levere mindst lige så sikre estimater
som markedsafkast. Dette kan opnås på flere måder, eksempelvis ved anvendelse af industri-tal. En
mere oplagt mulighed er sæsonkorrigerede kvartalsregnskaber, som det foreslåes i begge artikler.
En anden mulig retning er at benytte flere tal fra regnskabet til at belyse, hvilken situation
virksomheden faktisk står i, da nettoindtægterne ikke nødvendigvis afslører al information, der er
vigtig i værdifastsættelsesøjemed. Den nødvendige viden for at kunne indarbejde information fra
regnskabet er allerede tilstede i litteraturen, hvorfor det mere eller mindre er et spørgsmål om at
udnytte den i modellerne.
Christensen & Feltham modellen fremstår som en åbenlys platform for den sidstnævnte frem-
gangsmåde. Endelig vil en kortlæggelse af de praktiske implikationer for Christensen & Feltham
modellen af andre antagelser på nyttefunktioner og processer være interessant. Kan den gøres anven-
delig, vil modellens mange udvidelsesmuligheder, såsom at relatere forbrug til andre variable på en
teoretisk acceptabel måde, kunne tjene til at udbygge forståelsen for risikojustering.
Under alle omstændigheder må det konstateres, at kravene er store til de nye modeller. Der fore-
ligger altså et betydeligt arbejde, ikke mindst empirisk, før CAPM er detroniseret. Som afsluttende
kommentar bringes følgende citat fra Koeller, Goedhart & Wessels, for kort at opridse konklusionen.
The bottom Line? It takes a better theory to kill an existing theory, and we have yet to see the
better theory. Therefore, we continue to use the CAPM while keeping a watchful eye on new research
in the area.
70

9 Appendiks
9.1 Appendiks A
Dette appendiks vedrører teoridelen af opgaven.
9.1.1 A1. Notation
x er et tal, x er en vektor, medens X er en matrice.
Hvis x er en vektor i R N , så betyder x ≥ 0, at hvert koordinat er ikke-negativt, eller x ∈ R N + .
Hvis x er en vektor i R N , så betyder x > 0, at hvert koordinat er ikke-negativt, men ikke en
nul-vektor.
Hvis x er en vektor i R N , så betyder x ≫ 0, at hvert koordinat er strengt positivt, eller x ∈ R N ++. ˆ φ
Notation
S Sæt af states
Ξ Sæt af events
Pi
Investor i’s sandsynlighedsfordeling over eventsættet
I Antallet af investorer
η Informationssystem, funktion af S, giver Y
Y Partitioneringen af S i M mulige events
φ i (ym) Investor i’s sandsynlighed for event m
M Antal events
J Antal værdipapirer
dj (ym) Dividende fra aktiv j i event m, (d i vektor- og D i matriceform
vj
zj
p (ym) Eventpris
Markedsværdi for værdipapir j (Vj = vj + dj)
Antal værdipapir j i portefølje
ci (ym) Forbrug i event m, investor i
ei (ym) Midler i event m, investor i
r f
τt
R f
τt
β f
τt
risikofrie rente for perioden t til τ
1 + r f
τt
1 + R f
−1 τt
m Eventpris deflator
q Valuation indeks
ˆφ Risikoneutral sandsynlighed
β CAPM beta
bvt
EROEt
rit
erjt
R M t
g Vækst
Bogførte værdi af egenkapitalen på tidspunkt t
Excess Return On Equity på tidspunkt t
Residual indkomst på tidspunkt t
Excess Return på værdipapir j på tidspunkt t
Afkast på markedsporteføljen på tidspunkt t
71

Notation
xt
Kt
Det aggregerede forbrug på tidspunkt t
Kapitaliserede bogførte værdi
f Faktor i lineær model for eksempelvis eventpris deflatoren
ρi Investor i’s risiko tolerance
nit Net Income på tidspunkt t
rpj Risikopræmie over den risikofrie rente for værdipapir j
ReNA Afkast på nettoaktiver
RAt
Risikojustering til indtægter på tidspunkt t
9.1.2 A2. Ingen arbitrage og eksistens af eventpris-vektor
Begge teoremers beviser er fra Munk (2006).
Beviset for, at eksistensen af en event-prisvektor er ensbetydende med ingen arbitrage er som
følger; antag, at der eksisterer en positiv event-prisvektor p og lad z være en portefølje med ikke-
negative dividender, D ′ z ≥ 0. Da elementerne i event-prisvektoren er strengt positive må værdien af
porteføljen ligeledes være ikke-negativ, v ′ z = p ′ D ′ z. Hvis det desuden gælder, at en af elementerne
i D ′ z er strengt positiv, vil prisen ligeledes være strengt positiv - man kan altså ikke få noget for
ingenting, hvorfor arbitrage kan udelukkes.
Det omvendte bevis, at ingen arbitrage garanterer, at der eksisterer en event-prisvektor, er
udelukkende matematisk og baserer sig på Separating Hyperplane Theorem. Lad en given porte-
følje θ have en markedsværdi på −vθ og M × 1 dividendevektor dθ = D ′ z og lad S være lig sættet
af alle (M + 1) dimensionelle par (−vθ, dθ), der genereres af alle mulige porteføljer θ ∈ R J . S er en
lukket og konveks delmængde af L ≡ R × R S . Lad K være den del af L, der er positiv, det vil sige
K ≡ R+ ×RS + . K er også en lukket og konveks delmængde af L. Bemærk, at så længe fællesmængden
til S og K alene består af (0, 0), er der ingen arbitrage. Hvis vi eksempelvis laver en portefølje, der har
en positiv værdi, det vil sige −vθ < 0, kan den naturligvis have både positive og negative dividender
i de M forskellige events. Herudfra er det naturligvis umuligt at vurdere, om der er arbitrage eller ej.
En sådan portefølje kan justeres ved hjælp af værdipapirerne og porteføljer (antaget at de opfylder
ingen arbitrage-kriteriet), så dividenderne neutraliseres. Dernæst tjekkes blot, om markedsværdien er
nul eller positiv/negativ. Derfor kan det konkluderes, at hvis S ∩K ∈ (0, 0), så er der ingen arbitrage.
Hvis der antages ingen arbitrage, S ∩ K ∈ (0, 0), siger Separating Hyperplane Theorem, at der
eksisterer en lineær funktion F : L → R med egenskaben F (z) = 0 for alle z ∈ S og F (x) > 0 for alle
x = 0, men tilhørende K. Der kan således findes en ψ 0 og en S-dimensional ψ-vektor med strengt
positive elementer, sådan at F (ψ 0, ψ) = ψ 0d0 +ψd for alle (d0, d) i L. Siden (−vθ, dθ) ∈ S for enhver
portefølje θ,
0 = F (−vθ, dθ) = −ψ 0vθ + ψd θ = 0 ⇔
vθ = 1
ψd
ψ
θ,
0
72

hvor ψ/ψ 0 er en event-prisvektoren. Dette beviser dermed begge teoremer.
9.1.3 A3. Riesz’ repræsentations teorem
Antag at funktionen F : R M → R er lineær, eksempelvis F (x) = p ′ x for en given p ∈ R M , og lad
ϕ ∈ R M ++ være en vektor af sandsynligheder. Så er der en unik vektor π ∈ R M , sådan at for alle
x ∈ R M
F (x) =
M
πmxmϕm = E [πx] .
m=1
F er strengt stigende, hvis og kun hvis, π ∈ R M ++ .
9.1.4 A4. HARA nyttefunktioner
En nyttefunktion tilhører HARA klassen, hvis den absolutte risikotolerance (ART ) er lineær, dvs.
ART = 1
ARA
= −u′′ = αc + β.
u ′
Hvor ARA er den absolutte risiko aversion, kendt som Arrow-Pratts mål for risiko aversion.
• Exponentiel:
• Logaritmisk:
• Power:
− exp [−ci/ρ i], α = 0
ln (ci + β i), α = 1
1
α−1 [αci + βi] α−1
α , α ∈ [0, 1]
Hvor parametrene α og ρ er henholdsvis risikovarsomhed og risikotolerance.
9.1.5 A5. HARA partnerskabsnyttefunktioner
• Exponentiel:
• Logaritmisk:
• Power:
wo (x) ∼ wi (x) ∼ − exp
− x
ρ .
o
wo (x) ∼ wi (x) ∼ ln [x + β o] x + β o > 0.
wo (x) ∼ wi (x) ∼ 1
α−1 [αx + β o] α−1
α αx + β o ≥ 0.
73

9.1.6 A6. Betingelser på HARA nyttefunktioner
• uit (cit) = −β P it exp [−cit/ρ i] β P it > 0, ρ i > 0
• uit (cit) = β P t ln [cit + bit] β P t > 0, cit + bit > 0
• uit (cit) = −β P t exp 1
a−1 [acit + bit] a−1
a β P t > 0, a = 0, 1, acit + bit > 0
9.1.7 A7. Lineære faktormodeller og eventpris deflatorer
Bevis fra Cochrane (2005)
Givet modellen
m = 1 + [f − E (f)] ′ b, 0 = E (meri) , (59)
der er i excess returns er det muligt at finde λ således, at
Omvendt er det muligt for ligning (60) at finde b, der giver (59).
Benyt (59) til at vise, at
i ′
E (eri) = βi R , f λ. (60)
0 = E (meri) = E (m) E (eri) + Cov (m, eri) = E (er) + Cov f ′
, eri b ⇔
E (eri) = −Cov f ′
, eri b
= Cov (f ′ , eri)
var (f)
β i [eri,f] ′
(−var (f) b)
9.1.8 A8. Udledning af Residual Indkomst modellen
Udgangspunktet er Dividende modellen
λ
vt (yt) = T
τ=t+1
Substitution af CSR fører til udtrykket
vt (yt) = T
τ=t+1
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
dτ (yτ ) pτ,t (yτ | yt) .
[niτ (yτ) + bvτ−1 (yτ) − bvτ (yτ)] pτ,t (yτ | yt) .
Ved yderligere at benytte observationerne nævnt i kapitlet bliver højresiden til
74

= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
= bvt (yt) + T
τ=t+1
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
⎡
[niτ (yτ) + bvτ−1 (yτ)] pτ,t (yτ | yt) −
yτ−1⊆yt
[niτ (yτ) + bvτ−1 (yτ−1)] pτ,t (yτ | yt) −
yτ−1⊆yt
bvτ−1 (yτ−1) pτ−1,t (yτ−1 | yt)
bvτ−1 (yτ−1) pτ−1,t (yτ−1 | yt)
⎢
⎣[niτ (yτ) + bvτ−1 (yτ−1)] − bvτ−1 (yτ−1) pτ−1,t (yτ−1 | yt)
⎥
⎦ pτ,t (yτ | yt) ⇔
pτ,t (yτ | yt)
yτ ⊆yτ−1
⎡ ⎧
⎪⎨
⎢
⎣niτ (yτ) +
⎪⎩ 1 − pτ−1,t
⎫
⎪⎬
(yτ−1 | yt)
pτ,t (yτ | yt)
⎡ ⎧
⎪⎨
⎢
⎣niτ (yτ) −
⎪⎩
yτ ⊆yτ−1
pτ−1,t (yτ−1 | yt)
yτ ⊆yτ−1
⎫
⎪⎬
− 1
pτ,t (yτ | yt)
⎪⎭ bvτ−1 (yτ−1)
⎪⎭ bvτ−1 (yτ−1)
⎤
⎤
⎥
⎦ pτ,t (yτ | yt) ⇔
⎤
⎥
⎦ pτ,t (yτ | yt) ⇔
⎡ ⎧⎛
⎞−1
⎫
⎪⎨
pτ,t (yτ | yt) ⎪⎬
⎢
⎜ yτ ⊆yτ−1
⎟
⎣niτ (yτ) − ⎝
⎠ − 1
⎪⎩ pτ−1,t (yτ−1 | yt) ⎪⎭ bvτ−1
⎤
⎥
(yτ−1) ⎦ pτ,t (yτ | yt) ⇔
⎡ ⎧
⎫
⎨
−1
⎬
⎣niτ (yτ) −
pτ,τ−1 (yτ | yτ−1) − 1
⎩ yτ ⊆yτ−1
⎭ bvτ−1
⎤
(yτ−1) ⎦ pτ,t (yτ | yt) ⇔
niτ (yτ) − β f
τ,τ−1 (yτ−1)
−1
− 1 bvτ−1 (yτ−1) pτ,t (yτ | yt) ⇔
yτ ⊆yt
yτ ⊆yt
niτ (yτ) − r f
τ−1 (yτ−1)
bvτ−1 (yτ−1) pτ,t (yτ | yt) ⇔
riτ (yτ) pτt (yτ | yt) , ∀yt ∈ Yt, t = 0, 1, ..., T − 1
9.1.9 A9. Udledning af CAPM på afkast-form
vj = β f
1 E [dj]
= f
β vj
E [dj] + Rf vM − E [dM]
V ar [dM]
+ 1
vj
Cov [dM, dj] ⇔
RfvM − E [dM]
Cov [dM, dj] ⇔
V ar [dM]
R f = E [Rj] + RfvM − E [dM]
v2
MV ar
1
vj
dM
vM
Cov [dM, dj] ⇔
E [Rj] = R f + E RM − Rf V ar [RM 1
Cov [dM, dj] ⇔
] vMvj
E [Rj] = R f
+ E R M − R f Cov RM
, Rj
V ar [RM ] ⇔
75
⇔
⇔

9.1.10 A10. Christensen & Feltham model for nulkuponobligationspriser
βτt (yt) = βp
iτ
β p
E [exp (−ciτ/ρi) | yt]
⇔
it exp (−cit/ρi) = exp (−θiτ)
exp (−θit)
E [exp (− (fiτ + vixτ) /ρ i) | yt]
exp (− (fit + vixτ) /ρ i)
= exp (− (τ − t) θi) E [exp ((−fiτ + fit) /ρi − (ρi/ρ0) xτ/ρi) | yt]
exp (− (ρi/ρ0) xτ /ρi) = exp (− (τ − t) θi) E [exp ((−fiτ + fit) /ρi − xτ/ρ0) | yt]
exp (−xτ/ρ0) Betragt nu leddet (−fiτ + fit) /ρ i. Den faste del af udbyttet for den negativt eksponentielle nyt-
tefunktion er (se Christensen & Feltham (2003) kapitel 4)
fit = ρ i
n
ρj
vj ln
j=1 λjt
⇔
ρi
− ln
λit
I en flérperioders model er λit = β p
iτ λi. Reducer på leddet
(−fiτ + fit) /ρi = 1
n
ρj ρi
−ρi vj ln − ln
ρi j=1 λjτ λiτ
n
ρj ρi
+ ρi vj ln − ln
j=1 λjt λit
⇔
= n
j=1
= n
= n
ρj
−vj ln +
λjτ
n
ρj ρi ρi
vj ln + ln − ln ⇔
j=1 λjt λiτ λit
−vj ln ρj + vj ln λjτ + vj ln ρj − vj ln λjt + ln ρi − ln λiτ − ln ρi + ln λit ⇔
j=1
j=1
= n
j=1
= n
j=1
= n
vj ln β p
jτ λi − vj ln β p
jt λi − ln β p
iτ λi + ln β p
it λi ⇔
vj ln β p
jτ + vj ln λi − vj ln β p
jt − vj ln λi − ln β p
iτ − ln λi + ln β p
it + ln λi ⇔
vj ln β p
jτ − vj ln β p
jt − ln βp
iτ + ln βp
it ⇔
vj ln
j=1
β p
jτ
β p
jt
p
βiτ − ln
β p
⇔
it
= n
−vj (τ − t) θj + (τ − t) θi ⇔
j=1
= n
j=1
− ρj (τ − t) θj + (τ − t) θi
ρo Indsæt det reducerede led i (61) og omskriv
76
⇔
(61)

= exp (− (τ − t) θi)
= exp (τ − t) n
j=1
E
ρj θj
ρo exp
− (τ − t) n
j=1
E [exp (−xτ/ρ 0) | yt]
exp (−xτ/ρ 0)
ρj θj ρ + (τ − t) θi − xτ/ρ0 o
exp (−xτ/ρ 0)
⇔
βτt (yt) = β 0 E [exp (−raccτ) | yt]
τt
exp (−racct)
9.1.11 A11. Udledning af Shroff & Nekrasov risikojustering
Udledningen er foretaget under følgende antagelser:
• Ikke-stokastiske renter
• Cov [mt+τ−1, EROEt+τ | yt+τ−1] = Cov [m, EROE] ∀ j
• E [EROEt+τ | yt+τ−1] = E [EROEt+τ | yt] ∀ j
• En tilfældig, men ikke-stokastisk dividendeafkastspolitik, kt
Der tages udgangspunkt i risikojusteringen i anden periode, der omskrives ved
Cov [πt,t+2, rit+2 | yt]
= Cov [mt,t+1mt+1,t+2, bvt+1EROEt+2 | yt]
= E [E [mt,t+1mt+1,t+2bvt+1EROEt+2 | yt+1] | yt]
−E [E [mt,t+1mt+1,t+2 | yt+1] | yt] E [E [bvt+1EROEt+2 | yt+1] | yt]
= E [mt,t+1bvt+1E [mt+1,t+2EROEt+2 | yt+1] | yt]
−E [mt,t+1E [mt+1,t+2 | yt+1] | yt] E [bvt+1E [EROEt+2 | yt+1] | yt]
= E [mt,t+1bvt+1 (Cov [mt+1,t+2, EROEt+2 | yt+1] + E [mt+1,t+2 | yt+1] E [EROEt+2 | yt+1]) | yt]
1
−E mt,t+1 | yt E [bvt+1E [EROEt+2 | yt] | yt]
1 + rf
1
= E mt,t+1bvt+1Cov [m, EROE] + mt,t+1bvt+1
1 + r f E [EROEt+2 | yt] | yt
1
−
1 + rf 2 E [bvt+1 | yt] E [EROEt+2 | yt]
= E [mt,t+1bvt+1 | yt] Cov [m, EROE] + E [EROEt+2 | yt]
1 + rf
1
−
1 + rf 2 E [bvt+1 | yt] E [EROEt+2 | yt] .
Ved omskrivning af den bogførte værdi af egenkapitalen på t + 1 ved hjælp af CSR og dernæst
tage forventningen fås
77
| yt
⇔

vt+1 = bvt + xt+1 − xt+1kt+1 ⇔
bvt+1
= bvt + xt+1 (1 − kt+1) ⇔
bvt
= 1 + ROEt+1 (1 − kt+1) ⇔
bvt+1 = bvt + ROEt+1bvt (1 − kt+1) ⇒
E [bvt+1 | yt] = bvt + E [ROEt+1 | yt] bvt (1 − kt+1) .
Dette gør en omskrivning mulig af E [mt,t+1bvt+1 | yt] ved
E [mt,t+1bvt+1 | yt] = Cov [mt,t+1, bvt+1 | yt] + E [mt,t+1 | yt] E [bvt+1 | yt] ⇔
= bvt (1 − kt+1) Cov [mt,t+1, ROEt+1 | yt] + 1
1 + r f E [bvt+1 | yt] ⇔
= bvt (1 − kt+1) Cov [m, ROE] + 1
1 + r f E [bvt+1 | yt] .
Indsættes dette i ovenstående, reduceres udtrykket:
= E [mt,t+1bvt+1 | yt] Cov [m, EROE] + E [EROEt+2 | yt]
1 + rf
1
−
1 + rf 2 E [bvt+1 | yt] E [EROEt+2 | yt]
= bvt (1 − kt+1) Cov [m, ROE] + 1
1 + rf E [bvt+1
| yt] Cov [m, EROE] + E [EROEt+2 | yt]
1 + rf
1
−
1 + rf 2 E [bvt+1 | yt] E [EROEt+2 | yt]
1
=
1 + rf E [bvt+1
| yt] Cov [m, EROE] + E [EROEt+2 | yt]
1 + rf − E [EROEt+2 | yt]
1 + rf
+ (bvt (1 − kt+1) Cov [m, ROE]) Cov [m, EROE] + E [EROEt+2 | yt]
1 + rf
= E [bvt+1 | yt]
(1 + rf Cov [m, EROE]
)
+bvt (1 − kt+1) Cov [m, ROE] Cov [m, EROE] + E [EROEt+2 | yt]
(1 + rf
.
)
78

9.2 Appendiks B
Dette appendiks vedrører den empiriske del af opgaven.
9.2.1 B1. Sample-virksomheder fra S&P 100
Virksomhed Kode
3M Company MMM
Abbott Laboratories ABT
Alcoa Inc. AA
Allegheny Tech New ATI
Altria Group Inc. MO
American Express AXP
American International AIG
Anheuser Busch BUD
Avon Products AVP
Baker Huges BHI
Baxter International BAX
Bank of America BAC
Black & Decker BDK
Boeing Co. BA
Bristol Myers Squibb BMY
Burlington N. Santa Fe BNI
Campbell Soup Co. CPB
Caterpillar CAT
Dow Chemical DOW
Du Pont DP
Intel Corporation INT
9.2.2 B2. Forholdet mellem risikofrie nutidsværdi og markedskurser
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
År
RFPV/Markedskurser
79

9.2.3 B3. Fittede og faktiske racc-serie
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1971
1973
1975
1977
1979
1981
1983
1985
1987
racc fitted racc
1989
1991
1993
1995
1997
1999
2001
2003
2005
9.2.4 B4. SAS programkode til estimation af racc- og ReNA-processer
DATA stvalue;
rena0 =0.1;
alfa =0.1;
omegar =0.9;
PROC PRINT;
PROC MODEL data=Kandidat.Rena CONVERGE=0.000001 MAXITER=32000;
restrict rena0 < 1 , rena0 > 0 , omegar > 0 , omegar < 1 , alfa > 0;
aig = rena0 * ((1 + alfa) ** (Dato - 1978)) + omegar * (lag(aig)
- rena0 * ((1 + alfa) ** (Dato - 1978-1)));
fit aig /OUTEST=nlinest ESTDATA=stvalue;
run;
PROC PRINT data=nlinest;
run;
Data temp;
80

set Kandidat.Racc;
lracc = lag(racc);
DATA stvalue;
racc0 =1;
gamma =0.05;
omegar =0.7;
PROC PRINT;
PROC CONTENTS;
PROC MODEL data=temp CONVERGE=0.00001 MAXITER=32000;
racc = racc0 * ((1 + gamma) ** (dato - 1970)) + omegar * (lracc - racc0
* ((1 + gamma) ** (dato - 1970-1)));
fit racc /OUTEST=nlinest ESTDATA=stvalue;
run;
PROC PRINT data=nlinest;
run;
81

10 Referencer
Bøger og artikler.
Litteratur
[1] Ang, A. & Liu, J. (2004). How to Discount Cashflows with Time-varying Expected Returns,
Journal of Finance 59, 2745-2783.
[2] Beaver, W., Kettler, P. og Scholes, M. (1970). The Association between Market Determined and
Accounting Determined Risk Measures. The Accounting Review 45 Oktober: 654-682.
[3] Breeden, D.T., Gibbons, M.R. & Litzenberger, R.H. (1989). Empirical Tests of the Consumption-
Oriented CAPM.
[4] Campbell, J.Y., Lo, A.W., MacKinlay, A.C. (1997). The Econometrics of Financial Markets.
Second Edition. Princeton University Press.
[5] Campbell, J.Y., Cochrane, J.H. (1999). By Force of Habit: A Consumption-based explanation
of aggregate Stock Market Behavior, Journal of Political Economy 107, 205-251.
[6] Christensen, P.O. & Feltham, G. A. (2003). Economics of Accounting: Volume I - Information
in Markets, Springer Science+Business Media, Inc.
[7] Christensen, P.O. & Feltham, G.A. (2006). Equity Valuation: thirty years later. Working paper.
[8] Cochrane, J.H. (2005). Asset Pricing - Revised Edition, Princeton University Press.
[9] Fama, E. & French, K. (1992). Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds.
Journal of Financial Economics 33: 3-56.
[10] Fama, E. & French, K. (1995). Size and Book-to-Market Factors in Earnings and Returns. The
Journal of Finance 50 Marts: 131-155.
[11] Grinblatt, M. & Titman, S. (2002). Financial Markets and Corporate Strategy, McGraw-Hill.
[12] Jagannathan, R., McGrattan, E.R. & Scherbina, A. (2001). The declining U.S. equity premium,
Quarterly Review, Federal Reserve Bank of Minneapolis 24, Fall, 3—19.
[13] Johnston, & Dinardo, Econometric methods, 4th edition (1997), McGraw-Hill.
[14] Kiertzner, L. (2004). Håndbog i Årsrapport, Revifora.
[15] Munk, C. (2006). Financial Asset Pricing Theory, lecture notes, Department of Business and
Economics, University of Southern Denmark.
[16] Mittelhammer, R.C., Judge, G.G. & Miller, D.J. (2000). Econometric Foundations. Cambridge
University Press.
82

[17] Penman, S. (2004). Financial Statement Analysis and Security Valuation 2nd Edition, McGraw-
Hill.
[18] Shroff, P. & Nekrasov, A. (2006). Fundamentals-Based Risk Measurement in Valuation.
[19] Wachter, J.A. (2006). A Consumption-based Model of The Term Structure of Interest Rates,
Journal of Financial Economics 79, 365-399.
Databaser.
Datastream (gennem Århus Universitet)
Compustat (gennem Århus Universitet)
The Federal Reserve Bank of St. Louis (http://research.stlouisfed.org/)
Andet.
Noter fra faget Empirical Finance (2006).
IF-nyt 2004, Institut for Finansiering, CBS.
Nationalbanken, 1. kvartalsoversigt, 2003.
83