teoretisk og empirisk teoretisk og empirisk undersøgelse af ...

5.2.4 VAR-model med negativ eksponentiel nytte
Der antages i artiklen en simpel VAR (Vector Auto Regressive) for ReNA- og racc-processerne,
for at få yderligere indsigt i risikojusteringsleddet. Den her benyttede VAR tjener således først og
fremmest som eksempel på, hvordan den endelige model kunne se ud. I praksis kunne vælges en mere
kompliceret model, men den mere simple model er tilstrækkelig til at vise effekten på risikojusteringen.
Antages det, at den stokastiske udvikling for ReNA og racc følger en førsteordens VAR med
mean-reversion til en deterministisk trend
ReNAτt − ReNA 0 t (1 + α) τ−t = ωr
raccτt − racc 0 t (1 + γ) τ−t = ωa
ReNAτ−1t − ReNA 0 t (1 + α) τ−1−t
+ ετ , (34)
raccτ−1t − racc 0 t (1 + γ) τ−1−t
+ δτ , (35)
hvor ωr ∈ [0, 1] og ωa ∈ [0, 1].
ετ og δτ er begge normalfordelte med middelværdi nul, serielt ukorrelerede med betingede vari-
anser V ar [ετ | yt] = σ 2 r og V ar [δτ | yt] = σ 2 a , og konstant betinget kovarians40 Cov [ετ, δτ | yt] = σra.
Fejlleddene, eller chokkene, udgør stokastikken i processerne og det er covariansen mellem dem, der
bestemmer størrelsen og fortegnet på risikojusteringen. En virksomhed er derfor mere værd i inve-
storernes øjne, hvis den uforudsigelige del af processerne covarierer negativt, det vil sige højere afkast
på den investerede kapital, når det aggregerede forbrug er lavere end forventet.
Løsning af (34) og (35) rekursivt giver
ReNAτt = ReNA 0 t (1 + α) τ−t + ω τ−t
r ReNAt − ReNA 0 τ−1−t
t +
raccτt = racc 0 t (1 + γ)τ−t + ω τ−t
a racct − racc 0 t
τ−1−t
+
s=0
s=0
ω s a δτ−s.
ω s rετ−s,
Konsekvensen af de antagede processer er dermed, at støddene fortsat vil påvirke værdien på
tidspunkt τ, men i aftagende grad. Med baggrund heri kan alle de nødvendige udtryk i (32) og (33)
beregnes ved at tage forventning og betinget varians 41 .
ReNAτt (yt) = ReNA 0 t (1 + α) τ−t + ω τ−t
r ReNAt − ReNA 0 t
V ar [ReNAτt | yt] = σ 2 r
τ−1−t
s=0
ω s2
r = σ 2 r
1 − ω 2[τ−t]
r
1 − ω 2 r
E [raccτt] = racc 0 t (1 + γ) τ−t + ω τ−t
a racct − racc 0 t
40 Denne kunne gøres tidsafhængig ved at specificere GARCH-processer for fejlleddene.
41 Udnyt, at der for en endelig geometrisk serie gælder,
a + ak + ak 2 + ... + ak n−1 = a 1−kn
1−k
39
(36)
(37)
(38)